Conceitos de Ondulatória e Pêndulo

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ACÚSTICA E ÓPTICA
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Hugo Henrique Amorim Batista
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CONVERSA INICIAL
Falar sobre física é compreender as revelações da natureza por intermédio das equações,
entendendo as suas temáticas, verificando as suas abordagens e esclarecendo seus conceitos e suas
leis, interagindo com o conhecimento de forma a aprender os mistérios que a física vem a esclarecer.
Nesta aula, abordaremos os conceitos relacionados ao movimento harmônico simples (MHS) e
suas aplicabilidades.
TEMA 1 – ONDULATÓRIA
Imagine uma situação em que duas crianças batem corda para uma terceira pular. Nesse caso,
movimento da corda é incitado para ocorrer (por não ser natural), e tal movimentação denominamos
pulso ou perturbação.
Definimos, então, uma onda como a perturbação em determinado meio.
1.1 PERÍODO E FREQUÊNCIA
É normal nos basearmos no cotidiano em cuja situação nos deparamos com uma determinada
frequência ou período.
No conceito que envolve frequência, vamos imaginar uma situação na qual um estudante do
ensino regular se desloca até a sua escola de segunda a sexta. Temos um exemplo de frequência, pois
esse estudante foi para a escola em cinco dias dos sete que temos na semana. Outro exemplo pode
se dar pelo bater das asas de um beija-flor.
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Figura 1 – O beija-flor movimenta as suas asas cerca de 80 vezes por segundo, o que garante que ele
se estabilize e pareça estar parado no ar
Crédito: Keneva Photography/Shutterstock.
A frequência (f) representa o número de oscilações de onda, por um certo período de tempo e
é definido pelo sistema internacional (SI) como sendo o hertz (Hz). Já o período (t), representa o
tempo necessário para que um movimento realizado por um corpo volte a se repetir, definido pelo SI
como segundo (s). Essas duas grandezas correlacionam-se da seguinte maneira: o produto entre
ambas sempre deve ser 1.
1.2 COMPREENSÃO SOBRE O QUE É UMA ONDA
Para compreender tal fenômeno, vamos imaginar um “barulho” contínuo. Essa perturbação
deverá manter-se sempre da mesma forma em uma sucessão regular. Dessa maneira, podemos então
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descrever uma sequência harmônica de som, chegando sempre com a mesma intensidade, pulsação
e vibração com o passar do tempo. Assim sendo, teremos então uma onda periódica.
Podemos descrever tal conceito como sendo uma onda cossenoidal, em que podemos descrever
tais fenômenos como sendo um movimento harmônico simples (MHS). Em ondulatória, o termo
onda refere-se a um pulso contínuo, baseando-se nas funções trigonométricas seno e cosseno.
Assim, temos uma descrição como ocorre na imagem a seguir.
Figura 2 – Representação de uma onda
Crédito: Udaix/Shutterstock.
Dessa forma, partindo de uma região central e avançando para o sentido positivo ou negativo
do eixo y, encontramos o que chamamos de amplitude. Dentro dessa sistemática, podemos
perceber que esse(s) pulso(s) avançam pelo eixo x, apresentando um caminho com picos superiores e
também inferiores. Os picos superiores são denominados cristas e a distância entre duas cristas
consecutivas é denominada comprimento de onda (λ); o mesmo se aplica para o vale, que é a parte
inferior. Ao analisar a forma com a qual essa onda se desloca, podemos descrever também a
velocidade de propagação dessa onda, sendo definida em função do seu período (t) ou da sua
frequência (f).
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  velocidade em função do tempo
  velocidade em função da frequência
TEMA 2 – PÊNDULO
Nos conceitos da mecânica, um pêndulo é um simples dispositivo que consiste em uma massa
puntiforme, fixada em um fio (cabo) inextensível que oscila em torno de um ponto. O objeto, por sua
vez, quando entra em movimento, realiza movimentos alternados ao redor da posição central.
Figura 3 – Uma criança realiza um movimento pendular ao se balançar
Crédito: Nasky/Shutterstock.
O sistema de oscilação de um pêndulo segue uma sequência cronológica, com os movimentos
periódico e de fácil observação. Na figura 3, temos uma balança que aborda exatamente esse
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contexto, porém, esse sistema depende do comprimento da corda (L), da ação gravitacional (g) e o
período (T), podendo ser descrito pelas equações a seguir:
2.1 O PÊNDULO DE FOUCAULT
O sistema de um pêndulo livre oscilante é caracterizado como um dos mais belos experimentos
da física, responsável por evidenciar uma mudança na direção da oscilação do sistema, evidenciando
a rotação do planeta Terra.
O físico Léon Foucault percebeu que, se prolongasse o tempo de oscilação de um pêndulo,
poderia demonstrar que a Terra estava girando sob o céu. Para se fazer satisfatória a experiência, o
fio que estivesse preso ao peso deveria ser muito longo, o que o faria balançar lentamente, porém,
para tal feito, o teto da estrutura deveria ser muito elevado, e o Panteão, com o teto elevado e em
forma de abóboda, seria o local adequado para tal feito.
Com uma massa de 28 kg e um fio de aço com extensão de 67 m, a cidade de Paris pôde, em
1851, ter um experimento científico que evidenciou o movimento de rotação do planeta, levando
mais do que 30h para finalizar o experimento.
TEMA 3 – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
Os movimentos periódicos ocorrem em determinados intervalos de tempo, sendo eles iguais.
Esse período   é o menor intervalo de tempo para a repetição do fenômeno. A situação é
representada dentro de determinada amplitude de movimento, a qual pode ser demonstrada por um
pêndulo ou um movimento de uma mola oscilante. No caso da mola, desprezando as forças
dissipativas, o movimento dessa massa m é oscilatório (seja ele vertical ou horizontal).
Figura 4 – Deslocamento de um objeto de massa M em função do movimento periódico de uma
mola
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Crédito: Fouad A. Saad/Shutterstock; DNK0049/Shutterstock.
Esse oscilador harmônico opera de acordo com a função baseada em forças de contração e de
expansão. Sendo assim, essa movimentação segue uma função que pode ser descrita
matematicamente pelas funções seno e cosseno. Analisando o deslocamento por intermédio do eixo
das abscissas, imaginando o deslocamento para a direita, assumimos o lado positivo (x = +a); já para
a esquerda, assumimos o lado negativo (x = -a). Esse valor, que denominamos a, é a amplitude do
movimento, ou seja, o deslocamento causado em função da contração e expansão cíclicas dessa
mola. A força é representada pela lei de Hooke:
3.1 FUNÇÃO POSIÇÃO DO MHS
Em física, um objeto de massa qualquer estando em movimentação, possui representações
próprias de seu movimento, independentemente da forma, massa ou viscosidade desse componente.
No movimento harmônico simples, tal contextualização não é diferente, e ele poderá ser definido
conforme a sua caracterização.
Figura 5 – Descrição do movimento em função de sua amplitude
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Crédito: Morphart Creation/Shutterstock.
Podemos observar pela imagem que a descrição do movimento é observada por intermédio do
raio em função do cosseno do ângulo, em que podemos definir por:
Dessa forma, podemos fazer analogias e descrever a equação de forma correta. Assim, r = a,
sendo o raio a amplitude do movimento, φ é o espaço angular de onda do ponto p, sendo que ele
varia em função de sua posição inicial e da velocidade angular em função do tempo ( 0 ).
Assim:
0
Podemos definir que a velocidade angular é referente a velocidade, e, por sua vez, temos:
  convertida, temos: 
Exemplo: um móvel executa um movimento harmônicosimples segundo a seguinte equação: x =
4.cos(π.t + π) – s.i. determine a amplitude do movimento, a pulsação, a fase inicial, o período e a
frequência do movimento.
Para compreender o que se pede e como poderemos responder, vamos por partes. Devemos,
primeiramente, nos basear na equação horária da posição:
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E compará-la com a equação do problema .
Tabela 1 – Resolução do problema
Amplitude Pulsação Fase inicial Frequência
A = 4m W = π rad/s φ0 = π rad
W = 2 .π.f → w = 2 .π.f
π= 2 .π.f → 1 = 2.f → f = 1/2 hz
3.2 FUNÇÃO VELOCIDADE DO MHS (VELOCIDADE)
Perceba que a velocidade poderá ser positiva ou negativa, dependendo do sentido do
deslocamento, porém, quando o objeto está sobre a origem (em  ou ), teremos o valor
máximo da função seno (+1) e mínimo (-1), respectivamente; assim, podemos definir que ,
ou seja, .
3.3 FUNÇÃO ACELERAÇÃO DO MHS (VELOCIDADE)
Conforme a mola é esticada ou comprimida, o movimento poderá se acelerar ou desacelerar em
função do tempo.
Assim, temos:
 , em que a 0
Dessa maneira, podemos concluir que a aceleração é proporcional à abscissa que define a
posição e de sinal contrário. Assim, teremos no movimento em:
2      e          2
Dentro do conceito dos diversos tipos de movimentações que podem ter um sistema oscilatório,
uma representação ou descrição gráfica vem a favorecer a sistemática da posição, velocidade e
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aceleração em função do tempo. Assim, temos os gráficos a seguir.
Figura 6 – Gráficos representativos de posição, velocidade e aceleração em função do tempo
Fonte: Halliday; Resnick, 2016, p. 91.
3.4 FUNÇÃO ACELERAÇÃO DO MHS (VELOCIDADE)
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A fase inicial é representada na equação por , representando a posição no instante .
Nesse conceito, associamos o MHS com o MCU. Sempre a orientação é a partir do eixo das abscissas
no sentido anti-horário (ou trigonométrico). Uma vez definido o posicionamento inicial, ele será o
mesmo para a posição, velocidade e aceleração.
3.5 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES NA PRÁTICA
O Burj Al Arab é um grande feito da engenharia civil, finalizado na virada do milênio. Conhecido
como o único hotel 7 estrelas do mundo, é um berço de luxo e de tecnologia, pois foi projetado
sobre uma ilha artificial. Situado em Dubai (Emirados Árabes), foi o primeiro marco de turismo de
luxo na região, porém, o que muitos desconsideram é que a parte do Golfo Pérsico se situa sobre
uma falha geológica, o que poderia abalar a estrutura. Para prevenir isso, no exoesqueleto foram
instalados 11 amortecedores em massa, de 5 toneladas cada um, que reduzem a turbulência dos
vórtices de vento e eventuais terremotos. Esses pêndulos “amortecedores” levariam as vibrações para
o limite de segurança, onde eles vibrariam, e não a estrutura.
Figura 7 – Imagem aérea do Burj Al Arab
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Crédito: Andrey_Popov/Shutterstock.
TEMA 4 – DIFRAÇÃO E PRINCÍPIO DE HUYGENS
A difração refere-se à passagem de uma onda pela borda de uma barreira ou através de uma
abertura, provocando, em geral, um alargamento do comprimento de onda e interferência das
frentes de onda que criam regiões de maior ou menor intensidade (as ondas podem ser
eletromagnéticas, de som ou aquelas associadas a partículas atômicas e subatômicas, e a barreira
pode ser formada por fendas ópticas ou mesmo átomos numa rede cristalina).
Quando se analisa ondas definidas como bidimensionais e tridimensionais, define-se o que
denominamos frente de onda para o conjunto de pontos que se propagam em determinado instante.
Assim, temos uma diferença distinta de onde a propagação da onda passa (onde ocorreu
perturbação) de localizações onde ela não ocorreu.
Figura 8 – Frente de onda em deslocamento tridimensional
Crédito: Osweetnature/Shutterstock; Fouad A. Saad/Shutterstock
Em meio à frente de onda de uma forma temporal, pode-se determinar a evolução da onda no
decorrer do tempo e, dessa forma, podemos definir que existe um movimento coordenado com a
frente de onda. Desta maneira, podemos determinar o que chamamos de princípio de Huygens.
Pode ocorrer de o som passar por duas barreiras, onde atuará possuindo alternâncias entre
máximos e mínimos.
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TEMA 5 – REFLEXÃO E REFRAÇÃO DE ONDAS
5.1 REFLEXÃO DAS ONDAS
Quando analisamos determinada onda propagada em um meio líquido homogêneo, como é o
caso da água em uma piscina, temos as laterais onde um deslocamento qualquer colide e retorna,
evidenciando o fenômeno de reflexão.
O que devemos perceber é que o ângulo de incidência é o mesmo ângulo de reflexão, a
referência que temos em relação à normal (que é perpendicular ao anteparo onde a onda colidiu e
que apresenta determinado ângulo – incidência –, que é exatamente o mesmo que o ângulo de
reflexão).
Figura 9 – Frente de onda que incide e a sua respectiva onda sendo refletida
Crédito: Fouad A. Saad/Shutterstock.
Denominamos reverberação e eco outras duas situações em que o contexto da reflexão surge
dentro dos estudos de ondulatória. Apesar de ambos os fenômenos serem parecidos em sua
natureza (pela reflexão das ondas), são distinguíveis audivelmente. No caso do eco, a reflexão de
ondas ocorre a uma distância superior a 17 m; em distâncias inferiores, temos a reverberação.
5.2 REFRAÇÃO DAS ONDAS
Quando tratamos o fenômeno da refração, temos a passagem de um meio para o outro (do ar
para a água, por exemplo), onde a velocidade de propagação acaba sendo diferente. No entanto,
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podemos perceber que a frequência se mantém constante e o comprimento de onda é maior onde a
água é mais profunda.
Figura 10 – Pulso de ondas sendo refratado da parte mais profunda para uma parte mais rasa
Fonte: Medeiros, [S.d.].
Quando uma onda em uma superfície líquida (a água, por exemplo) incide com um ângulo i1,
com uma mudança muito significativa em sua profundidade, a variação da velocidade causa variação
na propagação da onda, resultando mudança da direção de propagação dela. Dessa maneira,
podemos definir que a frequência é constante, e na água profunda, o comprimento de onda é maior
do que na água rasa (λ1 > λ2). Por analogia, se temos a equação da velocidade para a água profunda
sendo v1 = λ1.f e na água rasa temos v2 = λ2.f, podemos concluir que a velocidade de propagação
dessa onda em superfícies de água mais profundas é maior do que a velocidade de propagação em
superfícies de águas mais rasas (v1 > v2).
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Com isso, podemos perceber que, no litoral, as ondas “quebram” nas proximidades da areia
(paralelamente à costa).
Figura 11 – As ondas quebram na costa em virtude da redução da profundidade da água, devido à
refração
Crédito: Magnifier/Shutterstock.
Exercício
A figura representa a propagação de uma onda plana na superfície de um líquido contido em
um recipiente. Sendo v a velocidade de propagação, λ o comprimento de onda e θ o ângulo entre
frente de onda e o meio de separação, e sabendo-se que o módulo da velocidade da onda diminui
quando ocorre a refração da região de maior profundidade para a de menor profundidade, marque
com V as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.
Figura 12 – Exercício
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(           ) o comprimento de onda λ2 é igual a λ1sen θ2/sen θ1.
(           ) a profundidade do meio 2 é maior do que a do meio 1.
(           ) a frequência da onda no meio 1 é maior do que a do meio 2.
(                    ) a superposição da onda incidente com a refletida pela parede do recipiente é uma
interferência destrutiva.
A alternativaque indica a sequência correta, de cima para baixo, é a:
a) V V F F
b) V F V V
c) F V F V
d) F V V V
e) V F F V
Resolução
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Analisando cada uma das opções, teremos:
1. Verdadeiro: aplicando a lei de Snell para o caso da refração de ondas na água, temos:
2. Falso:  observando a figura, pode-se perceber que λ1  > λ2. Sendo assim, sabendo que na
refração a frequência mantém-se constante, podemos concluir que v1 > v2. A região mais profunda é
aquela que possui maior velocidade, portanto, a profundidade do meio 1 é maior que a do meio 2.
3. Falso: a frequência é uma característica que depende exclusivamente da fonte, portanto, na
refração, essa característica não é alterada.
4. Verdadeiro:  ao chocarem-se perpendicularmente com as paredes do recipiente, as ondas
sofrem reflexão na mesma direção e no sentido oposto. Isso ocasionará interferências destrutivas de
ondas, ou seja, as ondas que se sobrepõem estarão em fases diferentes.
Resposta: alternativa e.
NA PRÁTICA
Agora é a sua vez!
Vamos procurar descobrir a aceleração da gravidade em sua casa. Com um barbante com
extensão de 1 m e uma garrafa cheia d’água (cerca de 600 ml), crie um pêndulo que tenha liberdade
para oscilar. Ele pode ser montado no alto da porta, por exemplo. Com um cronômetro, realize no
mínimo 10 oscilações. Anote seus dados e calcule o tempo médio. Com isso, determine a gravidade
local.
Sabendo que a gravidade oficial é de 9,8 m/s2 em nosso planeta, verifique a taxa de variação de
diferença (porcentagem) e as eventuais causas dessa diferença.
A seguir, algumas questões para serem resolvidas. O gabarito pode ser encontrado ao final deste
material, após a seção Referências.
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1.  Uma partícula está sob a ação de um campo elétrico executa um movimento em MHS em um
plano horizontal, a função de sua posição é dada pela equação si, x = 0,8.cos t.
a)  A velocidade da partícula após 2s é de 0,4  m/s
b)  A velocidade da partícula após 2s é de 0,8
c)  A velocidade da partícula após 2s é de 0
d)  A velocidade da partícula após 2s é de - 0,8 m/s
e)  A velocidade da partícula após 2s é de - 0,4  m/s
2.  A Revolução Industrial, no século do XVIII, modificou a forma da produção: máquinas a vapor
faziam o trabalho mais rápido, assim como as máquinas de fazer tecido. A agulha de um tear
movimenta-se conforme a equação da posição . Determine o módulo da
aceleração da agulha no sistema internacional de medidas para o instante  segundo.
a)  0,43
b)  4,16
c)  5,16
d)  6,16
e)  7,16
3.  A oscilação de um pistão de uma máquina injetora de plástico possui 5 cm de amplitude e
período de 1,5s. Calcule a velocidade e aceleração do pistão no SI, quando a sua elongação for de 3,5
cm. Assinale a resposta correta aproximada.
a)  0,15 e 0,61
b)  0,25 e 1,22
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c)  0,20 e 0,40
d)  0,36 e 0,18
e)  0,50 e 1,00
4.    Uma mola presa a um bloco de 4.   kg regula a quantidade de produção de certa
máquina de tubos de creme dental, executando um movimento oscilatório. A mola possui uma
constante elástica de 16 n/m com amplitude de 3,5. m. Calcule a maior velocidade atingida pelo
bloco no SI.
a)  1
b)  0,9
c)  0,8
d)  0,7
e)  0,6
5.  Em um experimento, prende-se uma mola em suporte vertical com um bloco de 2 kg,
colocando-o coloca para oscilar. Sabendo que a máxima amplitude da mola é de 1,6 m, calcule a
velocidade máxima aproximada atingida pelo bloco. Dado g = 9,8 m/s².
Figura 13 – Mola e bloco
a)  4,0
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b)  5,0
c)  6,0
d)  7,0
e)  8,0
6.  Christiaan Huygens, em 1656, criou o relógio de pêndulo. O aparelho funciona com o
sincronismo obtido pelo(a):
a)  massa presa na ponta do fio.
b)  o tamanho do fio.
c)  o conjunto fio e massa.
d)  sincronismo dado inicialmente.
7. Tarzan, o homem-macaco, faz parte da literatura infantil. Sabendo que ele possui 75 kg e
agarra um cipó de 9,8 m no alto de uma grande árvore, sem tomar impulso e entrando em
movimento, qual o período de oscilação de Tarzan enquanto segura o cipó? Dado   = 3,14 e
g=9,8m/s².
a)  12,36
b)  6,28
c)  3,14
d)  9,8
e)  2,18
FINALIZANDO
Verificamos nesta aula alguns elementos que abordam uma das partes mais importantes da
ondulatória, que remete ao período e à frequência, movimento harmônico simples, pêndulo, reflexão
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e refração das ondas, além de algumas referências e abordagens que nos remetem a aplicações
práticas e até a experimentos inovadores.
REFERÊNCIAS
FEYNMAN, R.; LEIGHTON, R. B.; SANDS, M. L. The feynman lectures on physics. Califórnia:
Addison-Wesley, 1963. v. III.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
______. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2.
______. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 3.
______. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 4.
PIZZO, S. M. Fundamentos de termodinâmica. São Paulo: Pearson, 2016.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v.
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______. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 2.
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UCHIDA, M. M. M. Ótica e movimento ondulatório. São Paulo: Pearson, 2016.
YOUNG, H. D.; FREDDMAN, R. A. Física II: termodinâmica e ondas. São Paulo: Pearson, 2003.
GABARITO
1.    A
2.    D
3.    A
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4.    D
5.    A
6.    B
7.    B