Sequencia e Series

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1
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
 
SEQÜÊNCIAS 
 
Seqüência numérica é uma sucessão infinita de números determinados por uma lei ou função. 
Exemplo: 
• A seqüência dos números pares: 0, 2, 4, 6, …, 2n, … 
• A seqüência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, … , 2n+1, … 
 
Cada termo de uma seqüência é, em geral, representado por uma variável indexada. Dessa forma 
denota-se uma seqüência arbitrária da seguinte maneira: 
LL ,a,,a,a,a n321 
Onde: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
 termoésimo-n o éa
 termosegundo o éa
 termoprimeiro o éa
n
2
1
M
*** A seqüência é ordenada !! 
 
Quando se conhece o termo geral de uma seqüência pode-se representá-la escrevendo o mesmo 
entre chaves ou entre parênteses : { } ou 0nna ≥ ( ) 0nna ≥ . 
 
Exemplos: 
Seqüência dos números pares: { } 0n2n ≥ 
Seqüência dos números ímpares: { } 0n12n ≥+ . 
 
Observação: 
A variação do n não começa obrigatoriamente em zero, pode ser em 1 ou em qualquer outro número 
inteiro positivo. Muitas vezes encontra-se a seqüência representada por ou , nesse caso 
convenciona-se que n começa em 1. 
{ }na ( )na
 
✔ Exercício de aula 
Represente por extenso os 5 primeiros termos das seguintes seqüências: 
⒜ 
1n1n
n
≥⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+ 
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SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 2
⒝ 
0n
n2
1
≥⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ 
⒞ { } 0n!n ≥
 
Também se pode definir uma seqüência como uma função cujo domínio é o conjunto dos números 
inteiros positivos: 
f(n)n
lRlN:f *
a
→
Onde: 
( )
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒=
=
=
seqüênciadagenéricotermonfa
2fa
1fa
n
2
1
M
 
 Encarando a seqüência com uma função podemos considerar o seu gráfico no plano 
cartesiano e como o domínio da função é o conjunto , os pontos do gráfico serão 
. 
*lN( ) ( ) ( n21 a,n,,a,2,a,1 L )
 
 As vezes usamos o gráfico cartesiano de uma sequência para avaliar o comportamento do 
termo quando n cresce indefinidamente. na
 
Representação gráfica de seqüências 
Exemplo: 
Considerando a seqüência .
n
11 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ + , temos: 
n
11a n += ou n
11f(n) += 
M
4
5a
3
4a
2
3a
2a
4
3
2
1
=
=
=
=
 
L,5,4,3,2
432
 
Ao se estudar uma seqüência interessa saber como ela evolui, ou seja, como ela se comporta à 
medida que os seus termos vão sendo gerados. Analisando o gráfico da seqüência pode-se avaliar o 
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SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 3
comportamento do termo quando n cresce indefinidamente. Na seqüência acima, à medida que n 
aumenta o termo se aproxima de 1. 
na
na
 
 
Associação com funções de variável real 
Pode-se entender uma seqüência numérica como uma seleção de pontos de uma função de variável 
real. 
 
Exemplo: 
n
11a n += 
 
x
11f(x) += 
 
 
 
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 4
Teorema 
 
Seja uma função f definida em um intervalo [ )∞+;c , onde IRc∈ , e a seqüência tal que 
 para cada inteiro positivo. 
( )na
naf(n)=
• Se Lf(x) então Lalim
x
=
∞+→
lim nn =∞+→ . 
• Se ∞+= (ou )∞− então ∞+→ f(x)limx ∞+=∞+→ nn alim (ou )∞− 
 
Isto significa que o limite de uma seqüência pode ser obtido a partir do limite da função de 
variável real correspondente. Assim sendo, pode-se usar a Regra de L´Hôpital para a verificação de 
limites com indeterminações 
0
0 ou ∞
∞ . 
 
Exemplo: 
Seja a seqüência .
n
11 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ + 
Temos que: 
101
x
1lim1lim
x
11lim
xxx
=+=+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + +∞→+∞→+∞→ 
 
ou, usando a Regra de L´Hôpital: 
11lim
1
01lim
x
1xlim
x
11lim
xxxx
==+=+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + +∞→+∞→+∞→+∞→ 
Logo 1
n
11lim
n
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞+→ 
 
Se uma seqüência ( é tal que )na Lalim nn =∞+→
nn
alim
∞+→
, diz-se que a seqüência é convergente ( ou 
converge para L ). Quando não existe , diz-se que a seqüência é divergente ( ou 
diverge ). 
 
Teorema 
Seja a seqüência ( )na . 
Se 0alim nn =∞→ então 0alim nn =∞→ 
 
Exemplo: 
Seja a seqüência .
3
11)(
0n
n
n
≥
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − 
Considerando o valor absoluto de cada termo, obtém-se a seqüência: 
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 5
LL ,
3
1,,
81
1,
27
1,
9
1,
3
1,1 n 
Temos que: 
0
3
1lim
3
1lim
n
nnn
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∞+→∞+→ . 
Logo, a seqüência ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
n3
1 converge para 0. 
Assim, pelo teorema anterior conclui-se que 
0
3
11)(lim n
n
x
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −∞+→ 
e que a seqüência dada é convergente. 
 
✔ Exercícios 
① Verifique a convergência das seqüências: 
 
⒜ 
1nn
1
≥⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ Maple: > limit(1/sqrt(n), n=infinity) 0
 
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 6
⒝ 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+
+
2
2
2n9
6n5 
 
 
⒞ { } 0 n n2 ≥ Maple: > limit(2^n, n=infinity); ∞
 
⒟ 
0n
ne
n
≥⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ 
 
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 7
⒠ ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++−
+
54nn
3n1)( 2
1n 
 
⒡ ( )5 
 
⒢ ( )
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +1
3
1-
n
n
 
 
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 8
⒣ ( ){ }3n1- n 
 
 
 
② Represente graficamente no mínimo 6 termos da seqüência e conclua a respeito 
de sua convergência ou divergência. Justifique sua resposta. 
( ){ } 0nnπcos ≥
 
 
Seqüências definidas recursivamente 
Algumas seqüências não surgem de uma fórmula para o termo geral, mas de fórmulas que 
especificam como gerar cada termo em função de seus anteriores. Tais seqüências dizemos são 
definidas recursivamente e as fórmulas que as definem são chamadas de fórmulas de recursão. 
 
Exemplo: 
A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é chamada seqüência de Fibonacci. 
Qual sua fórmula recursiva? 
 
Exercícios Complementares 
Referência: Anton, H. Cálculo. Volume 2. 
Exercícios 10.1 (8ª edição) : 1, 3, 5, 6, 7, 11, 23, 25, 27 
 
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 9
SÉRIES 
 
Motivação 
No século V a.C. o filósofo grego Zenon propôs o seguinte problema: “Uma pessoa percorre um 
trajeto de um quilômetro em etapas, sendo que em cada etapa ela percorre a metade da distância 
restante. Quando termina sua jornada?” Essa questão constituía um paradoxo, pois era impossível 
conceber que se realizasse um número infinito de etapas em um tempo finito, de modo que ir de um 
ponto a outro seria impossível! 
 
 
 0 1/2 3/4 ... 1
 
No entanto, a subdivisão infinita de [0;1] proposta por Zenon trouxe à tona a evidência de que 
1
8
1
4
1
2
1 =+++ L 
 
ou seja, de que um processo infinito de acumulação poderia resultar em um resultado finito. Este é 
principal objeto do estudo das séries. 
 
Cálculo via Maple: 
Compare os resultados obtidos via Maple considerando-se diferentes quantidades de etapas: 
> restart: 
sum(1./2^n, n=1..3); 0.8750000000
 
> restart: 
sum(1./2^n, n=1..10); 0.9990234375
 
> restart: 
sum(1./2^n, n=1..100); 1.000000000
 
 
Observação 
Uma soma interminável de termos pode ou não resultar num número finito. 
 
Exemplos: 
⒜ 1 resultado tende ao infinito L+++++ 1111
⒝ 00000 =++++ L
⒞ ???111111 =+−+−+− L
⒟ 
3
10003,0003,003,03,0 =++++ L 
 
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 10
Definição e Notação 
Se { }na é uma sequência então a soma é chamada de série infinita ou 
simplesmente série. 
1 2 3 na +a +a +...+a +...
+
n 1 2 3 n
n=1
a = a +a +a +...+a +...
∞∑ 
Observação 
Quando se quer representar uma série genericamente pode-se usar na∑ . 
 
Exemplos: 
n n
n=1
1 1 1 1 1 1(a) = + + + +...+ + ...
3 9 27 813 3
∞∑ 
n=1
n 1 2 3 n(b) = + + + ... + + ...
n+1 2 3 4 n+1
∞∑ 
 
 
Séries de termos positivos são aquelas cujos termos são todos positivos. 
Exemplos: 
Observe que dentre as séries abaixo apenas a primeira é uma série de termos positivos. 
(a) 
+ 
n=1
1
n.(n+1)
∞∑ (b) n+
n=1
(-1)
n
∞∑ (c) n+
n=1
1+(-1)
n
∞∑ 
 
CUIDADO! 
+ 
n=1
sen(n)
n
∞∑ 
NÃO é uma série de termos positivos!!! 
 
 
Séries de termos alternados são aquelas cujos termos são alternadamente positivos e 
negativos 
n +1
n 1 2 3 4(-1) a a -a +a -a +......=∑ ou n n 1 2 3 4(-1) a -a +a-a +a -......=∑ 
Exemplos: 
+
n
n=0
(-1)
∞∑ n+1+
n=1
(-1)
n
∞∑ + + n
n =1 n =1
cos(nπ)cos(nπ) ou (-1)
n n
∞ ∞∑ ∑
 
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 11
✔ Exercício 1 
Encontre a soma dos 5 primeiros termos de cada série: 
 
⒜ +
n=1
n
∞∑ ⒝ + 2
n=1
1
n
∞∑ ⒞ + n
n=1
1
2
∞∑ 
⒟ 
n+
n=1
(-1)
n
∞∑ ⒠ + n
n=1
3
10
∞∑ ⒡ n+ 10
n=1
(-2)
n
∞∑ 
 
 
Somas parciais de uma série 
Dada a série ∑ , pode-se construir uma nova seqüência { } tal que: + n 1 2 3 n
n=1
a = a +a +a +...+a +...
∞
2
3
n
1nnS ≥
1 1S = a 
2 1S = a +a 
3 1 2S = a +a +a 
 M 
n 1 2 3S = a +a +a +...+a 
 
Essas somas parciais formam uma nova sequência { }nS chamada seqüência das somas parciais 
da série. 
 
Se a sequência { }nS converge para L, isto é, LSlim nn =∞+→ , então dizemos que a série na∑ 
converge e que L é a sua soma. 
 
 
Se não existe então a nn +lim S→ ∞ série na∑ diverge, isto é, não tem soma. 
 
Observação: = nn +lim S→ ∞ na∑
 
Exemplo: 
 Seja a série 
n=1
1
n (n+1)
∞∑ ( Série telescópica ) 
 
⒜ Vamos encontrar e 1 2 3 4S ,S ,S ,S nS .
⒝ Vamos mostrar que a série converge e encontrar sua soma. 
 
 
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 12
Séries geométricas 
Uma série geométrica é a soma de uma seqüência geométrica ou progressão geométrica. Uma série 
geométrica é uma série da forma 
2 3 n-1 n-
n=1
a+ar+ar +ar +...+ar +...= ar
∞∑ 1 
onde a e r são constantes e a 0 ≠
 
A n-ésima soma parcial da série geométrica é 
n
2 3 n-1
n
a (1- r )S = a+ar+ar +ar +...+ar = , r 1
1-r
≠ 
 
Se r <1 , e se n
n +
lim r = 0
→ ∞
r 1≥ , não existe. n
n +
lim r
→ ∞
Logo: 
A série geométrica converge se | r | < 1 e sua soma é S = a
1- r
 
A série geométrica diverge se | r | ≥ 1 
 
Exemplo: 
Vamos mostrar que a série 
n
30,3+0,03+0,003+0,0003+...+ +...
10
 
converge e vamos determinar sua soma. 
A série dada é uma série geométrica com e . Como a = 0,3 r = 0,1 r = 0,1 <1, pelo teorema 
anterior concluímos que a série converge e tem por soma 
 
3
1
9
3
0,9
0,3
0,11
0,3
r1
aS ===−=−= 
Assim, 
3
1
10
30,00030,0030,030,3 n =++++++ LL
 
Que justifica a notação periódica 
L33333,0
3
1 =
 
** As séries geométricas permitem expressar qualquer dízima periódica através de uma fração. 
 
✔ Exercício 2 
Determine quais séries são geométricas. 
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⒜ n
n=1
1
2
∞∑ ⒝ ⒞ ( )∑∞
=
−
0n
n1 n
n=1
3
10
∞∑ 
⒟ 
n=1
1
n.(n+1)
∞∑ ⒠ ⒡ 
n=1
n
∞∑ n-1
n=1
5-
4
∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 
 
✔ Exercício 3 
Verifique se cada uma das séries abaixo são convergentes ou divergentes e, em caso de 
convergência, determine a sua soma ( ou valor numérico). 
⒜ 2 3 4 n-1
2 2 2 2 22+ + + + +...+ +...
3 3 3 3 3
 
⒝ n3n=0
1∞∑ 
⒞ 
n
2n
n=1
(-1) 1 1 1= - + - +...
9 81 7293
∞∑
 
⒟ 
n-1
1 1 1 -11 - + - +....+ +...
77 7 7 7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⒠ ⒡ n-11+2+4+8+16+...+2 +... 4 + 4 + 4 + 4 +...
⒢ n-1n=1
3 8+
n (n+1)4
∞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ⒣ 
n
n=1
(-1)
∞∑
⒤ n+1 n -1
n=1
10(-1)
9
∞∑ ⒥ n+2
n=1
2-
3
∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 
⒦ 
n -1
n
n=1
(-3)
4
∞∑ 
✔ Exercício 4 
Determine a série geométrica cuja soma é 0,484848484848484...: 
✔ Exercício 5 
Determine o número racional representado pela dízima periódica: 
 
⒜ 0,152152152⋯ 
⒝ 7,222⋯ 
⒞ 12,0444⋯ 
 
 
Propriedades das séries 
❶ Se converge e “c” é um número qualquer então também converge e vale n
n=1
a
∞∑ n
n=1
ca
∞∑
n
n=1
ca
∞∑ = n
n=1
c a
∞∑ . 
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 14
❷ Se diverge e “c” é um número qualquer então também diverge . n
n=1
a
∞∑ n
n=1
ca
∞∑
❸ Se e n
n=1
a
∞∑ n
n=1
b
∞∑ convergem então também converge e vale n n
n=1
( a ± b )
∞∑
n n
n=1
( a ± b )
∞∑ = n
n=1
a
∞∑ ± n
n=1
b
∞∑ . 
❹ Se converge e n
n=1
a
∞∑ n
n=1
b
∞∑ diverge então diverge. n n
n=1
( a ± b )
∞∑
 
Observação 
Se e n
n=1
a
∞∑ n
n=1
b
∞∑ são ambas divergentes então pode convergir ou divergir. n n
n=1
( a ± b )
∞∑
 
 
Como, na maioria dos casos, fica difícil ou praticamente impossível encontrar o valor 
correspondente à soma da série, empregaremos testes para estabelecer apenas a convergência 
ou a divergência da mesma. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a 
soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando 
somar um número suficiente de termos da série. 
 
 
TESTES 
 
 
Teste da divergência 
 
Se nn +lim a 0→ ∞ ≠ então a série nn=1 a
∞∑ diverge 
 
OBS: No caso de termos nada podemos afirmar sobre a convergência da série, nn +lim a = 0→ ∞
ou seja, 
a condição não é suficiente para garantir a convergência da série nn +lim a = 0→ ∞ nn=1
a
∞∑ 
 
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 15
Exemplos: 
SÉRIE TESTE CONCLUSÃO 
n=1
4n
5n-2.
∞∑ n + 4n 4lim = 05n-2 5→ ∞ ≠ A série é divergente 
2
n=1
1
n
∞∑ 2n + 1lim n→ ∞ =0 Nada se afirma 
n
n=1
e
n
∞∑ 0nelim
n
n
≠+∞→ A série é divergente 
n=1
1
n
∞∑ n + 1lim n→ ∞ = 0 Nada se afirma 
 
Existem séries divergentes, apesar de possuírem n
n=1
a
∞∑ nn +lim a 0→ ∞ = . 
Exemplo: 
n +
1lim 0
n→ ∞
= e no entanto a série 
n=1
1
n
∞∑ , chamada série harmônica, é divergente. 
 
✔ Exercício 6 
Use o teste da divergência para mostrar que as séries dadas abaixo divergem: 
⒜ ⒝ ∑∞
=1n
1
n=1
11+
n
∞ ⎛⎜⎝ ⎠∑ ⎞⎟ ⒞ n=1
1n sen
n
∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ 
 
 
 
Séries – p ( ou p-séries ou séries hiper-harmônicas ) 
Uma série do tipo 
p p p p p p
n=1
1 1 1 1 1 1= + + + +...+ +...
n 1 2 3 4 n
∞∑ 
 
com é denominada série – p. p > 0
 
Teorema 
 
A série p é convergente se e é divergente se 0< p >1 p 1≤
 
∗ Se então a série-p é a Série Harmônica p =1
n=1
1 1 1 1= 1+ + + +...
n 2 3 4
∞∑ ( série divergente ) 
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 16
✔ Exercício 7 
Verifique se as séries dadas abaixo são convergentes ou divergentes. 
 
⒜ ∑∞
=1n 5 3n
1 ⒝ ∑∞
=1n
en
1 ⒞ 
n=1
1
n n
∞∑ ⒟ 2
n=1
1
n
∞∑ ⒠ 
n=1
1
n
∞∑ 
 
✔ Exercício 8 
Mostre que a série 
n-1
3 2
n=1
1 1+
6n
∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑ é divergente. 
 
✔ Exercício 9 
Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente 
metade da distância após cada queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total 
feito pela bola até o repouso completo. 
 
 
 
Teste da integral 
O teorema conhecido como teste da integral serve para estudar a convergência ou divergência de 
uma série de termos positivos, através do cálculo da integral imprópria de uma função, cujas 
imagens para valores inteiros não negativos, correspondem aos termos da série. 
 
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente no intervalo [ )+ ∞;1 
e seja ( )nfa n = . 
Se 
( )
( )⎪⎪
⎪⎪⎨
⎧
∞=
=
∫ ∑
∫ ∑
∞+ ∞
+∞ ∞
=
n
1 1n
n
divergenteéa então ,divergente édx xf
econvergentéa então e,convergent é Ldx xf
⎩ =1 1n
 
 
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 17
✔ Exercício 10 
Use o teste da integral para verificar se as séries dadas abaixo são convergentes ou divergentes: 
 
⒜ 2
+
- n
n=1
n.e
∞∑ ⒝ + 2
n=1
2n
1+n
∞∑ ⒞ + 3
n=1
1
n
∞∑ ⒟ +
n=1
1
n
∞∑ 
⒠ 
+
2
n=1
1
n
∞∑ ⒡ +
n=1
1
n
∞∑ ⒢ + - n
n=1
e
∞∑ ⒣ + 
n=1
1
n ln (n)
∞∑ 
 
 
 
Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada) 
 
Uma série alternada é convergente se satisfizer as seguintes condições: 
• 1nn a para todo n a +≥ >1
e 
• 
n +
lim = 0na→ ∞
 
✔ Exercício 11 
Use o teste da série alternada para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries: 
 
⒜ 
n
n=1
(-1)
n
∞∑ ⒝ n
n=1
(-1) .(n+3)
n.(n+1)
∞∑ ⒞ n+1
n=1
(-1)
∞∑
⒟ n-1
n=1
2n(-1)
4n-3
∞∑ ⒠ 2n
n=1
n(-1)
3n(n+1)
∞∑ ⒡ n-1 2
n=1
2n(-1)
4n-3
∞∑ 
 
 
Teste da Comparação dos Limites 
 
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Seja uma série de termos na∑ não negativos e nb∑ uma série de termos positivos. 
Se n
n +
n
a
lim = L>0
b→ ∞
, então ambas as séries convergem ou ambas divergem. 
Se n
n +
n
a
lim = 0
b→ ∞
 e nb∑ converge, então na∑ converge. 
Se n
n +
n
a
lim =
b→ ∞
+ ∞ e nb∑ diverge, então na∑ diverge. 
 
✔ Exercício 12 
Use o teste da comparação dos limites para determinar a convergência ou a divergência das 
seguintes séries. 
 
(a) ∑∞
= +1n n31
1 (b) ∑∞
= +1n 2 2n
1 c) ∑∞
= +1n 2 1n
n 
(d) ∑∞
= ++1n 24 2nn
1 (e) ∑∞
= −2 1n
2
n
 (f) ∑∞
=
+
1n
3n
1n 
 
 
 
Teste da Razão 
 
Seja ∑ uma série de termos não nulos e seja na Laalim n1nn =+∞→ ( ou ). ∞
• Se 1L < então a série é convergente . 
• Se 1L > ou ∞=+∞→
n
1n
n a
alim então a série é divergente 
• Se 1L = nada se conclui. 
 
✔ Exercício 13 
Use o teste da razão para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries: 
 
(a) ∑+∞
=1k !k
1 (b) ∑+∞
=1k
k2
k (c) ∑∞
=1n
2
n
n
3 
(d) ∑+∞
=3k
k4
(2.k)! (e) ∑+∞
= −1k 12.k
1 (f) ∑∞
=1n
2n
1 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 19
(g) ∑∞
=
+−
1n
2
1n
n
n!1)( (h) ∑∞
=1n
n2
n! (i) ∑∞
=
−
1n
n
n
n!
31)( 
 
Observação importante 
 
O teste da razão é mais adequado quando an contém fatorial, potências e produtos, não funciona 
em série-p. 
 
 
Séries de Potências 
 
Usamos séries de potências para representar algumas das mais importantes funções que aparecem na 
matemática, na física e na química. 
 
Série de potências em x é uma série da forma 
∑∞
=
+++++=
0n
n
n
2
210
n
n xbxbxbbxb LL 
onde 
nb é um número real 
x é uma variável 
Exemplos: 
⒜ ∑∞
=
++++++=
0n
n32n ...x...xxx1x
Neste caso, 1bbbbb n3210 ====== LL 
 
⒝ ( ) ( ) ...!2n
x1)(...
6!
x
4!
x
2!
x1
!2n
x1)(
2n
n
6
0n
422n
n +−++−+−=−∑∞
=
 
Neste caso, 
720
1b;
24
1b;
2
1b;1b 3210 −==−== 
 
 
Série de potências de potências em x-c é uma série da forma 
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
+−++−+−+=−
0n
n
n
2
210
n
n cxbcxbcxbbcxb LL 
onde 
nb é um número real 
x é uma variável 
c é uma constante ( centro da série ) 
Exemplo: 
n
2
n=1
(x-5)
n
∞∑ 
**Note que: 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 20
⒜ ao escrevermos o termo correspondente a n = 0 adotamos por convenção que mesmo 
quando . 
0(x-c) =1
x = c
 
⒝ quando todos os termos são iguais a zero para , assim a série sempre converge 
quando e 
x = c
n
n >1
x = c ( )∑∞
=
=−
0
0
n
n bcxb 
 
 
Intervalo de Convergência 
Uma série de potências pode ser encarada como uma função na variável x. Segundo essa 
interpretação, o conjunto de valores de x para os quais a série é convergente representa o domínio 
dessa função. Esse conjunto é também denominado intervalo de convergência. 
Para uma série de potências aplica-se o ( )∑∞
=0n
n
n c-xb teste da razão do mesmo modo que para uma 
série numérica. A partir disto podemos ter apenas três possibilidades: 
✔ a série converge apenas para x = c
Exemplo: n
n=0
n!(x-1)
∞∑
ou 
✔ série converge para todos os valores reais de x
Exemplo: 
n
n=0
x
n!
∞∑ 
ou 
✔ existe um número real positivo “R” de modo que a série converge para todo x tal que 
x-c < R e diverge para todo x tal que x-c > R 
R é chamado raio de convergência e é o intervalo de convergência. (c-R ; c+R)
Para determinar o intervalo de convergência, neste caso, testa-se a convergência dos extremos do 
intervalo individualmente com os procedimentos vistos para séries numéricas. 
Exemplo: 
n
n=0
x
n+4
∞∑ 
 
Exercício 14 
Encontre o intervalo de convergência de cada uma das séries dadas abaixo: 
a) 
n
n=1
(x+1)
n
∞∑ b) nn
n=0
(x-3)(-1)
n+1
∞∑ c) nn
n=1
n x
5
∞∑ 
d) n
n=0
n!x
∞∑ e) n
n=1
(x-3)
n
∞∑ f) n 2n2n 2
n=0
(-1) x
2 (n!)
∞∑ 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 21
g) 
n
n+1
n=0
n(x+2)
3
∞∑ 
 
 
Representação de Funções por Séries de Potências 
Uma série de potências pode representar uma função quando for convergente. 
Exemplo: 
( )
x1
1xf −= pode ser representada por ( ) LL ++++++= n32 xxxx1xf 
desde que 1x < 
 
pois é uma LL ++++++ n32 xxxx1 série geométrica e se 1x < então esta série é 
convergente. Neste caso, a soma de seus termos é dada por 
x1
1S −= . 
Logo, 
( ) ∑∞
=
=−= 0n
nx
x1
1xf se 1x < 
 
Exercício 15 
Considerando o resultado acima, obtenha uma representação em série de potências para: 
a) ( )
x1
1xg1 += b) ( ) x1
1xg 2 −−= c) ( ) 23 x1
1xg −= d) ( ) x1
xxg
3
4 −= 
 
 
A questão que permanece é “como associar uma função a uma série” ? 
Trabalhos notáveis realizados no sentido da associação de funções e séries foram desenvolvidos 
pelos matemáticos Colin Maclaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731). 
 
 
Série e Polinômio de Maclaurin 
A idéia proposta por Maclaurin era supor que uma função poderia ser escrita na forma de uma série 
de potências, ou seja, 
2 n
0 1 2 nf(x) = a +a .x+a .x +...+a .x +...
0 1 2 n 0f(0) = a +a .0+a .0 +...+a .0 +...= a
 
 
restando determinar os coeficientes an adequadamente. Substituindo x por 0 tem-se: 
2 n 
 
Influenciado pelos trabalhos de Newton sobre o cálculo infinitesimal, Maclaurin observou que, nas 
condições enunciadas, 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 22
2 3 4 n
0 1 2 3 4 nf(x)=a +a .x+a .x +a .x +a .x +...+a .x +... ⇒ 0f(0) = a
2 3 n-1
1 2 3 4 nf '(x)= a +2.a .x+3.a .x +4.a .x +...+n.a .x +... ⇒ 1f '(0) = 1.a
2
2 3 4 nf ''(x)= 2.a +3.2.a .x+4.3.a .x +...+n.(n-1).a .x +...
n-2 ⇒ 2f ''(0) =2.1.a
n-3
3 4 nf '''(x)= 3.2.a +4.3.2.a .x+...+n.(n-1).(n-2).a .x +... ⇒ 3f '''(0) =3.2.1.a
 M 
 
Genericamente: 
(n)
nf (0) = n!.a 
ou ainda: 
 
 
(n)
n
f (0)a = 
n!
 , se n≥ 1 
 
A forma geral da Série de Maclaurin é, então, dada por 
 
(n)
2 nf (0) f (0) f (0)f(x) = f(0)+ x+ x +...+ x +...
1! 2! n!
′ ′′
 
ou 
(n)
n
n=1
f (0)f(x) = f(0)+ x
n!
∞∑ 
 
Observe que para ser possível a expansão em Série de Maclaurin: 
 
ƒ a função tem de estar definida em x = 0; 
 
ƒ a série deve ser convergente. 
 
Exercício 16 
Obtenha a série de Maclaurin para as funções: 
a) xf(x) = e b) f( x) = sen(x) c) 
1f(x) = 
1-x
 
Série e Polinômio de Taylor 
Taylor posteriormente generalizou a idéia proposta por Maclaurin, observando que esse processo 
também era válido para uma expansão em um centro c genérico: 
 
A forma geral da Série de Taylor com centro c é dada por 
(n)
2 nf (´c) f´´ (c) f (c)f(x) = f(c)+ .(x-c)+ .(x-c) +...+ .(x-c) +...
1! 2! n!
)
 
0a = f(0
ou 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 23
( )(n) n
n=1
f (c)f(x) = f(c)+ . x-c
n!
∞∑ 
 
Observe que para ser possível a expansão em Série de Taylor: 
 
ƒ a função tem de estar definida em x = c; 
ƒ a série deve ser convergente. 
 
 
Observação 
Ao polinômio gerado pelo truncamento da Série de Taylor no termo de grau n dá-se o nome de 
polinômio aproximador de Taylor de grau n: 
 
(n)
2 n
n
f (´c) f´´ (c) f (c)p (x) = f(c)+ (x-c)+ (x-c) +...+ (x-c)
1! 2! n!
 
 
Observe ainda que: 
 
ƒ O polinômio aproximador de grau 1 é a reta tangente à função. 
 
ƒ A Série de Maclaurin é a Série de Taylor com centro c = 0. 
 
Exemplo 
Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados: 
 
a) f(x) , c = = sen(x) π
2
 b) 1f(x) = 
1-x
 , c = 3 c) 1f(x) = 
x
 , c = 1 
 
Exercício 17 
Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados: 
 
a) f(x) , c = 0 = ln(x+1) b) f( , c = 1 x) = lnx c) , c = 0 -2xf(x) = e
d) , f(x) = cos(x) c = π e) f( , c = x) = sen(2x) π f) 1f(x) =
x-1
 , c = 0 
 
 
Respostas 
Exercício 1 
(a) 15 (b) 1,463611... (c) 0,96875 
(d) -0,783333... (e) 0,33333 ⒡ -1,998079... 
 
Exercício 2 
(a) , (b) , (c) e (f) 
CÁLCULODIFERENCIAL E INTEGRAL II 
SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 24
 
Exercício 3 
(a) C ; S = 3 (b) C ; S = 
3
2
 (c) C ; S = 1- 
10
 (d) C ; S = 
7
7 1+ 
(e) D (f) D (g) C ; S = 12 (h) D 
(i) C ; S = 9 (j) C ; S = 
8- 
45
 (k) C ; S = 1
7
 
 
Exercício 4 
2n
n =1
48
10
∞∑ 
 
Exercício 5 
(a) 152/999 (b) 65/9 (c) 542/45 
 
Exercícios 6 
(a) 
n +
lim 1 1 0
→ ∞
= ≠
(b) 
n + n + n +
1 n 1lim 1 + = lim lim 1 0
n n+1 1→ ∞ → ∞ → ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≠ 
(c)
2
n + n + n + n +
2
1 1 1sen cos
1 1n n nlim n sen = lim lim lim cos 1 0
1 1n n
n n
→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ≠ 
 
Exercício 7 
 (a) D (b) C (c) C (d) C (e) D 
 
Exercício 8 
2 33 2
n = 1 n = 1
1 1 = 
nn
∞ ∞∑ ∑ (Série-p) 2 2p = = <13 3 (Série divergente) 
 
n -1
2 3 4
n =1
1 1 1 1 11+ ...
6 6 6 6 6
∞ ⎛ ⎞ = + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (Série geométrica) 
1a =1 ; r =
6
 ; 1 1r = = <1
6 6
 (Série convergente) 
** A série dada é a soma de uma série divergente com uma série convergente, logo ela é uma série 
divergente. 
 
Exercício 9 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
SEQÜÊNCIAS & SÉRIES 
25
30 m 
 
Exercício 10 
(a) C (b) D (c) C (d) D (e) C (f) D (g) C (h) D 
 
Exercício 11 
(a) C (b) C (c) D (d) D (e) D (f) C 
 
Exercício 12 
(a) C (b) C (c) C (d) C (e) D (f) C 
 
Exercício 13 
(a) C (b) C (c) D (d) D (e) D (f) C (g) D (h) D (i) C 
 
Exercício 14 
a) [ )-2;0 b) (2; 4] c) (-5; 5) d) 0 e) [2; 4) 
f) IR g) (-5; 1) 
 
Exercício 15 
a) ( )∑∞
=
−
0n
nx b) n
0n
x∑∞
=
− c) 2n
0n
x)(∑∞
=
d) n3
0n
x +
∞
=
∑
 
 
Exercício 16 
a) 
2 3 nx x x+ + +...+ +...
2! 3! n!
1+x 
 b) 
3 5 7 2n +1
nx x x xx - + - +...+ (-1) +...
3! 5! 7! (2n+1)!
 
 c) 2 3 n1+x+x +x +...+x +...
 
Exercício 17 
a) ∑ ∞
=
+−
1n
n1n
n
x1)( b) 
n
1)(x1)(
n
1n
1n −−∑∞
=
− c) ∑∞
=
−
0n
nn
n!
x2)( 
d) ∑∞
=
+ −−
0n
2n1n
(2n)!
π)(x1)( e)∑∞
=
++
+
−−
0n
n12n1n
1)!(2n
1)(π).(x(2) f) n
0n
x∑∞
=
−
 
	Representação gráfica de seqüências
	Associação com funções de variável real
	Teorema
	Teorema
	Seqüências definidas recursivamente
	Exercícios Complementares
	Motivação
	Definição e Notação
	Somas parciais de uma série
	Séries geométricas
	Teste da integral
	Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada)
	Teste da Comparação dos Limites
	Seja uma série de termos não negativos e uma série de termos positivos.
	Use o teste da comparação dos limites para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries.
	Teste da Razão
	Intervalo de Convergência
	Exercício 14
	Encontre o intervalo de convergência de cada uma das séries dadas abaixo:
	Representação de Funções por Séries de Potências
	Série e Polinômio de Maclaurin
	Série e Polinômio de Taylor