702932819-Aprendendo-Matematica-do-Zero-IV-matematica-do-zero

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Mat. do
− 
0
×÷
@matematica.do.zero
√
@matematica.do.zero 1
Apresentação...............................................................................
 1. Potenciação........................................................................ 
 1.1. Casos Particulares.....................................................
 1.2. Propriedades..............................................................
 1.2.1. Propriedade 1....................................................
 1.2.2. Propriedade 2....................................................
 1.2.3. Propriedade 3....................................................
 1.2.4. Propriedade 4....................................................
 1.2.5. Propriedade 5.....................................................
 1.2.6. Resumo..............................................................
 1.3. Potências Importantes................................................
 1.3.1. Quadrado Perfeito.............................................
 1.3.2. Cubo Perfeito....................................................
 2. Notação Científica..............................................................
 2.1. Adição........................................................................
 2.2. Subtração...................................................................
 2.3. Multiplicação...............................................................
 2.4. Divisão........................................................................
 2.5. Potenciação................................................................
 3. Radiciação..........................................................................
 3.1. Propriedades..............................................................
 3.1.1. Propriedade 1....................................................
 3.1.2. Propriedade 2....................................................
 3.1.3. Propriedade 3....................................................
 3.1.4. Propriedade 4....................................................
 3.1.5. Propriedade 5....................................................
 3.1.6. Propriedade 6....................................................
 3.1.7. Propriedade 7....................................................
 3.1.8. Resumo.............................................................
 3.2. Métodos para extrair Raiz Quadrada ........................
 3
 5
 9
11
11
12
13
14
15
16
18
18
19
20
24
25
25
26
27
28
32
32
33
33
34
35
35
36
37
38
@matematica.do.zero 2
 3.3. Aproximação de Raízes.............................................
 3.4. Operações com Raízes..............................................
 3.4.1. Adição e Subtração...........................................
 3.4.2. Multiplicação e Divisão......................................
 3.5. Racionalização dos Denominadores..........................
 4. Lista de Questões..............................................................
 5. Gabarito..............................................................................
 6. Questões Comentadas....................................................... 
 7. Conteúdo Extra..................................................................
 8. Considerações Finais......................................................... 
42
43
43
45
49
53
60
61
77
83
@matematica.do.zero
Conjuntos Numéricos
Adição
Multiplicação
Operações com números inteiros 
Operações com números decimais 
Regra de Sinais
Expressões numéricas
Lista de questões
Símbolos Matemáticos
Passo a passo de todas 
as operações.
Divisão
Divisores de um número
Nomenclaturas de Frações
MMC e MDC
Passo a passo de todas 
as operações.
Lista de questões
E-BOOK 2
E-BOOK 1
Grandezas Diretamente e
Inversamente Proporcioanis
Passo a passo de todas 
as operações.
Lista de questões
E-BOOK 3
3
 Apresentação
Sou o professor Raffaías Santos, é com enorme alegria que
damos início ao nosso curso de matemática Aprendendo
Matemática do Zero IV. 
Olá, querido aluno! Tudo bem?
Nos E-Books anteriores (Aprendendo Matemática do Zero I,II e
III), demos inicio a nossa jornada rumo ao conhecimento
introdutório de uma das mais importantes ciências: a matemática.
Este E-Book é uma continuidade, por isso é de fundamental
importância que você já tenha lido os primeiros. Citarei aqui os
assuntos que foram abordados.
Subtração Resolução bem detalhada 
Critérios de Divisibilidade
Tipos de Frações
Simplificação de Frações
Números Compostos
Números Primos
Operações com Frações
Transformar nº decimal em Fração
Números primos entre 1 e 1000
Resolução bem detalhada 
Razão
Proporcionalidade
Proporção
Porcentagem
Aumentos e Descontos Sucessivos
Unidades de Medidas
Resolução bem detalhada 
Regra de 3 Composta
Regra de Sociedade
Regra de 3 Simples
@matematica.do.zero
COMBO
4
EU QUERO
Se você ainda não adquiriu os anteriores, basta clicar na
imagem e será direcionado a nossa página de venda. Professor,
não adquirir os e-books, mas já sei todos os conteúdos que foram
abordados. Óootimo! Então, você não precisa adquiri-los. O
importante, querido aluno, é não pular as etapas. 
Para que seu estudo seja ainda mais eficiente, recomendamos
que faça o estudo das aulas em PDF realizando grifos e
anotações próprias no material. Isso será fundamental para as
revisões futuras do conteúdo. Mantenha também a resolução de
questões como um dos pilares de seus estudos. Elas são
essenciais para a fixação do conteúdo teórico.
Neste material veremos as operações, os casos particulares e as
propriedades da potenciação e radiciação, além disso
trabalharemos com números escritos em notação científica. 
Todos esses assuntos estão interligados e tudo que você precisa
para aprendê-los já vimos nos e-books anteriores. Anote todas as
informações que achar importante, porque os conteúdos serão
minuciosamente explicados e os exercícios são criteriosamente
selecionados seguindo uma ordem crescente de dificuldade para
a sua melhor compreensão.
https://aprendendomatematicadozero.kpages.online/ebooks3
@matematica.do.zero 5
Potenciação
Nos materiais anteriores, vimos que a multiplicação nada mais é
que uma soma de várias parcelas iguais. Por exemplo: 
5 = 5 × 5 × 5
3 × 4 = 4 + 4 + 4 
Da mesma forma, a potência é uma forma abreviada para uma
multiplicação de vários fatores iguais. Observe: 
3
Ou seja, 
Frequentemente você vai encontrar o termo exponenciação, que
pode ser utilizado no lugar de potenciação. Eles significam
exatamente a mesma coisa. 
Se você sabe ADIÇÃO sabe MULTIPLAÇÃO
sabe MULTIPLICAÇÃO sabe POTENCIAÇÃO
1.
5 = 5 × 5 × 5 = 1253
Base Potência
Expoente
a = bn
Base Potência
Expoente
Antes de falarmos da definição, vou apresentar aqui a
nomenclatura, pois também é muito importante, principalmente,
para entender as propriedades que virão.
Sua tarefa vai ser identificar quem é a base e quem é o
expoente, vamos analisar a definição:
a = a a a a n × × × ×· · ·
n vezesn ∈ ℕ *
Ou seja, a base é o número que iremos repetir e o expoente irá
@matematica.do.zero 6
determinar quantas vezes repetiremos.
Perceba que aqui calcularemos tanto multiplicação com números
decimais ( ), como multiplicação entre frações ( ). 
Ou porque repete a base duas vezes somando.
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
4 vezes
(−2)5=(−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = −32
5 vezes
1
5( )3
= ( )1
5( ) 1
5
1
5( ) 1
125× × =
3 vezes
(1,4)2 = (1,4) × (1,4) = 1,96
2 vezes
e-book 1 e-book 2
Quando pergunto aos alunos quanto é 5², sempre tem algum que
responde 10. IssoI - Sabemos que em uma raiz quadra o resultado sempre será positivo.
Logo, sendo a um n.º real e positivo, o correto seria: =√ a2 a
Como queremos apenas as alternativas incorretas, já eliminamos a
alternativa d)
II - Quando temos expoente negativo, invertemos a base.
1=
−b
ca a( )
b
c
Agora que temos um expoente positivo e fracionário, podemos transformar
em um radical com a propriedade 6.
1=
−b
ca a( )
b
c
= √ 1
a( )bc
@matematica.do.zero 71
A igualdade está incorreta, pois o índice e o expoente foram invertidos. 
Eliminamos as alternativa a) e c)
III - Aqui poderíamos usar a propriedade 2 da racionalização. Note que b é
divisor comum entre o índice e o expoente.
=√ab2
b c √ acbb c
ba√
b2
b =
Está igualdade está correta, eliminamos a alternativa e).
P.2
Gabarito: letra b
15) Reduza os radicais a uma expressão na forma com a
e b inteiros. 
a) 
b)
c)
d)
20√
4
+ 45√
63√ − 7√
50√ + 98√ − 72√
, b√a
12√ + 75√ + 108√
Em todas as alternativas, antes de somar ou subtrair, precisamos fazer a
simplificação daqueles números que não são primos. 
Resolução:
Como temos apenas raiz quadrada, o pensamento será: a cada dois, um sai.
a) + = 2 √20 √45
√20 = √2 5
5 5
20 2
10 2
1 2 52
A cada dois, um sai
√5 +
√45 = √3 5
5 5
45 3
15 3
1 3 52
A cada dois, um sai
3√5 = 5√5
b) 4 63√ − 7√
√63 = √3 7
7 7
63 3
21 3
1 3 72
A cada dois, um sai
= 4 √7 − √7 = 12√73 − √7 = 11√7
c) 50√ + 98√ − 72√
√50 = √5 2
5 5
50 2
25 5
1 2 52
A cada dois, um sai
√98 = √7 2
7 7
98 2
49 7
1 2 72
A cada dois, um sai
√72 = √2 2
18 2
72 2
36 2
9
A cada dois, um sai
2
3
33
1 2 322
3 = √6 2
= 5 √2 + 7√2 − 6√2 = 6√2
@matematica.do.zero 72
Questão bem semelhante a anterior, a única diferença é que temos uma
fração e conseguiremos simplificar o radical no final. 
Resolução:
a)
√28 = √2 7
7 7
28 2
14 2
1 2 72
A cada dois, um sai
b)
√75 = √5 3
5 5
75 3
25 5
1 3 52
A cada dois, um sai
= √2 3
27 3
108 2
54 2
9
A cada dois, um sai
2
3
33
1 3 322
3 = √6 3
d) 12√ + 75√ + 108√
√12 = √2 3
3 3
12 2
6 2
1 2 32
A cada dois, um sai
108√
= 2 √3 + 5√3 + 6√3 = 13√3
a) 28√ + 175√
63√
b) 50√ −
200√
18√
16) Qual é a forma reduzida simplificada de cada uma das
frações 
28√ + 175√
63√
= +2√7 5√7
3√7
√63 = √3 7
7 7
63 3
21 3
1 3 72
A cada dois, um sai
= √5 7
7 7
175 5
35 5
1 5 72
A cada dois, um sai
175√
= 7√7
3√7
= 7
3
50√ −
200√
18√
√50 = √5 2
5 5
50 2
25 5
1 2 52
A cada dois, um sai
√18 = √3 2
3 3
18 2
9 3
1 2 32
A cada dois, um sai
= √2 2
50 2
200 2
100 2
25
A cada dois, um sai
2
5
55
1 2 522
5 = √10 2200√
= −5√2 3√2
10√2
= 2√2
10√2
= 2
10 = 1
5
÷2
÷2
17) Se 𝑝 = 3 + e 𝑞 = 2 − , então 𝑝 𝑞 − 𝑝 é igual a: 2√ 2√
a) 1 − 2 
b) 1 −
2√
2√
c) 1 + 2√
2√d) 1 + 2 
2√e) 1 + 3 
Resolução:
Precisamos resolver em que e
( ) ( )
( ) ( )
𝑝 𝑞 − 𝑝 𝑝 = 3 + 2√ 𝑞 = 2 − 2√
3 + 2√ ( )2 − 2√ 3 + 2√
3 + 2√ ( )2 − 2√ 3 + 2√
@matematica.do.zero 73
Substituindo os valores, temos:
−
Dá para resolver tudo ao mesmo tempo, porém vamos fazer por parte para
ficar mais didático.
−
Primeiro aquele, depois este e no final os juntamos. 
( ) + √2 ( ) 2 − √ 3 2 − 3 + 2 −√ √ √
6 − 3 + 2 − 2√ √
4 − √
3 2 = 2 2 22
= 2 2
= 2
( ) + √23− − 3 − √= 2
Dessa forma,
( ) ( )3 + 2√ ( )2 − 2√ 3 + 2√−
4 − √2 − 3 − √2
𝑝 𝑞 − 𝑝 =
𝑝 𝑞 − 𝑝 = 4 − √2 − 3 − √2
𝑝 𝑞 − 𝑝 =
1 − 2√2𝑝 𝑞 − 𝑝 =
Gabarito: letra a
18) Racionalize o denominador de cada uma das expressões:
a) 
b)
2
1
3 −
c) 
d)
10√
6√
+ 2√3√
− 2√3√
2
2√ 79
Resolução:
Nessa questão veremos os 3 casos de racionalização de denominadores. 
letra a) 1.º caso 
letra b) e c) 2.º caso 
letra d) 3.º caso 
Em cada alternativa, usaremos um fator racionalizante diferente.
@matematica.do.zero 74
a) 
√10
= ×
10 10
=
210
10 =2 2 10
√ √
√ √
√
fator racionalizante
2
10
10 =
√2
5
10√
3
=1
− 6 3
1
− 6
×
= 3 + 6
9 − 6
= 3 √+ 6
3
invertemos o sinal
+ 6
+ 6√ √
√
√
√
= 3 + 6
√− 62
√3
3 32
b) 
c) 
Na letra c) o numerador é uma diferença e o denominador uma soma entre
dois quadrados. A forma de fazer é a mesma: multiplicamos pelo conjugado
do denominador. 
3
=
+ 2 3 + 2
×
invertemos o sinal
3 − 2
3 − 2√ √ √ √
√ √
√ √
√3 √− 2 √3 √− 2
Note que no numerador precisamos usar a distributiva, já no
denominador podemos usar o produto da soma pela diferença. 
Faremos cada um separadamente e depois substituiremos.
√− 2( ) 3 −√ √
5 − √
3 2 = 32
= √6 √6
= 6
√ √ ( ) − √3 2 − √2 3 + √ 22
3 − − + 2
2
( ) √+ 2 3 −√ √3 2 = 32√ √ ( ) − √ 22 = 3 − 2 = 1
Daí,
c) 
3
=
+ 2 3 + 2
×
invertemos o sinal
3 − 2
3 − 2√ √ √ √
√ √
√ √
√3 √− 2 √3 √− 2 = 5 − √62
1
= 5 − √62
√ 2
= ×
2 2 92
72 2
√ √
√ √
√
7√= =2
2
fator racionalizante
9 99 2
2
9
29 92 292
7 7
= 7√ 29d) 
19) O número é:100 × + 118√( )
2√ − 1
a) superior a 1.000 e inferior a 1.500
b) superior a 1.500 e inferior a 2.000
c) superior a 2.000 
Produto da Soma pela diferença
(a + b) (a − b) = a − b2 2
@matematica.do.zero 75
d) inferior a 500
e) superior a 500 e inferior a 1.000
√( ) 300 + 100√2 + 12( ) 
( )
Questão difícil, entretanto há vários caminhos para chegarmos ao resultado.
Resolução:
Primeiro vamos simplificar a
√18 = √3 2
3 3
18 2
9 3
1 2 32
A cada dois, um sai
√18 √ 2 = 3
Substituindo, temos:
100 × + 118√( )
2√ − 1
100 × + 1
2√ − 1
= √23
Agora faremos a distributiva no numerador.
100 × + 118√( )
2√ − 1
= 300 + 100
2√ − 1
=
√2( )100 × + 1
2√ − 1
√23
Como temos um radical no denominador, temos que racionalizá-lo. 
100 × + 118√( )
2√ − 1
= 300 + 100
2√ − 1
=
√2( )100 × + 1
2√ − 1
√23
2√ + 1
× 2√ + 1
√= 22
=
=
+
No numerador usaremos a distributiva, no denominador podemos usar o
produto da soma pela diferença. 
( ) √ ( ) √− 1 2 + √2 1 = 22 − 12 = 2 − 1 = 1
300 300 + 100
+ 100300 2 + 400 √2
√2 √2 + 100
Sendo assim,
100 × + 118√( )
2√ − 1
= =
1
700 + √2400 700 + √2400
Note que essa questão exige que você saiba o valor de = 1,414213562...√2
Logo, podemos usar a fórmula da aproximão.
 Q é o quadrado perfeito mais próximo do número X
√2
√ ≈
 
x x + Q 
Q 
700 + √= 2400
+ 100600 + 400 √2
@matematica.do.zero 76
√ 2 2 + 1
√2
3≈ 
1
=
2 1
3=
2
= 1,5
100 × + 118√( )
2√ − 1
= 700 + √2400
Dessa maneira,
≈ 700 + 400 1,5 = 700 + 600 = 1300
Gabarito: letra a
20) Na igualdade o valor de a − b é:
a) 1
− 5√7√
+ 5√7√ = a + b √ 2
b) 2 c) 3 d) 5 e) 7
( ) ( ) √ √
√ √ ( ) 
Para encontrarmos o valor de a e b, precisamos racionalizar o denominador.
Resolução:
7
=
− 5 7 − 5
×
invertemos o sinal
7 + 5
7 + 5√ √ √ √
√ √
√ √
√7 √+ 5 √7 √+ 5
Note que no numerador precisamos usar a distributiva, já no
denominador podemos usar o produto da soma pela diferença. 
Faremos cada um separadamente e depois substituiremos.
√+ 5 7 +√ √
12 +
7 5 = 72
=
=
+ √7 5 + √5 7 + √ 52
2
( ) √+ 5 7 −√ √7 5 = 72 − √ 52 = 7 − 5 = 2
Daí,
= 2
= 6 +
7 + + + 5√35 √35
√35
7
=
− 5 7 − 5
×
invertemos o sinal
7 + 5
7 + 5√ √ √ √
√ √
√ √
√7 √+ 5 √7 √+ 5 12 + 2√35 √35
Como
− 5√7√
+ 5√7√ = a + b √ concluímos que a = 6 e b = 35
Portanto, a − b = 6 − 35 = 36 − 35 = 1 2 2
Gabarito: letra a
@matematica.do.zero 77
Conteúdo Extra7.
Para te ajudá-lo nessa tarefa, como conteúdo extra, veremos
alguns resumos, mapas mentais e tabelas dos assuntos
estudados.
Vimos durante a leitura do material a relação que existe entrea
raiz quadra e o quadrado perfeito, a raiz cúbica e o cubo perfeito.
Além disso, há os casos de simplificação, aproximação,
trabalhamos muito com a potência de base 10, usamos
muuuuitas propriedades, enfim, esse foi um e-book recheado de
definições e processos que você precisa entender. 
 
 
2,83
3
3,16
 3,32
√ 5
1 
3,61
3,74
3,87
4
4,12
1,41
1,73
2
2,24
√ 3
√ 6
√ 7
√ 8
√ 9
√ 2
√ 1
√ 4
4,24
4,36
4,47
1 a 1001 a 100
2,45
2,65
3,46
√ 14
√ 12
√ 15
√ 16
√ 17
√ 18
√ 11
√ 10
√ 13
√ 19
√ 20
 
 
5,29
5,39
5,48
5,57
√ 25
4,47
5,74
5,83
5,92
6
6,08
4,69
4,80
4,90
5
√ 23
√ 26
√ 27
√ 28
√ 29
√ 22
√ 21
√ 24
6,16
6,24
6,32
5,10
5,20
5,66
√ 34
√ 32
√ 35
√ 36
√ 37
√ 38
√ 31
√ 30
√ 33
√ 39
√ 40
 
 
6,93
7
7,07
7,14
√ 45
6,40
7,28
7,35
7,42
7,48
7,55
6,48
6,56
6,63
6,71
√ 43
√ 46
√ 47
√ 48
√ 49
√ 42
√ 41
√ 44
7,62
7,68
7,75
6,78
6,86
7,21
√ 54
√ 52
√ 55
√ 56
√ 57
√ 58
√ 51
√ 50
√ 53
√ 59
√ 60
 
 
8,25
8,31
8,37
8,43
√ 65
7,81
8,54
8,60
8,66
8,71
8,77
7,87
7,94
8
8,06
√ 63
√ 66
√ 67
√ 68
√ 69
√ 62
√ 61
√ 64
8,83
8,89
8,94
8,12
8,19
8,49
√ 74
√ 72
√ 75
√ 76
√ 77
√ 78
√ 71
√ 70
√ 73
√ 79
√ 80
 
 
9,38
9,43
9,47
9,54
√ 85
9
9,64
9,70
9,75
9,80
9,85
9,06
9,11
9,17
9,22
√ 83
√ 86
√ 87
√ 88
√ 89
√ 82
√ 81
√ 84
9,90
9,95
10
9,27
9,33
9,59
√ 94
√ 92
√ 95
√ 96
√ 97
√ 98
√ 91
√ 90
√ 93
√ 99
√100
Aproximação deAproximação de
Raiz QuadradaRaiz Quadrada
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero 78
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero900
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225
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6724
6889
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7744
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42²
43²
1² 
13²
14²
15²
16²
17²
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22²
23²
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82²
83²
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68²
69²
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100²400
 
 
8²
9²
 
11²
 
2²
3²
4²
5²
324
9
36
49
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81
121
144
169
196
256
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361
4
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1
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1225
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961
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676
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529
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45²
46²
47²
48²
49²
 
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52²
53²
54²
55²
56²
57²
58²
79²
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61²
62²
63²
64²
65²
66²
 
71²
72²
73²
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75²
76²
77²
78²
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85²
86²
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88²
89²
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91²
92²
93²
94²
95²
96²
97²
98²18²
19²
20²
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3025
3136
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@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
100
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
 
 
8
9
 
11
 
10100
25
225
@matematica.do.zero
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9604
9801
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9409
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7921
7225
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6724
6889
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7744
1 
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13
14
15
16
17
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22
23
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3
4
5
324
9
36
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81
121√
144
169
196
256
289
361
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16 24
25
26
27
28
29
 
31
32
33
34
35
36
37
38
900
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1296
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784
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676
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19
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82
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100
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71
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3364
3025
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2809
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2601
2209
2304
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2025
2116
1681
1764
1849
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3481
3721
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5776
5929
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4624
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59
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44
45
46
47
48
49
 
51
52
53
54
55
56
57
58
50√
√
√
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√
√
√
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero 79
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531441
551368
571787
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681472
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42³
43³
1³ 
13³
14³
15³
16³
17³
39³
40³
21³
22³
23³
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81³
82³
83³
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68³
69³
99³
100³8000
 
 
8³
9³
 
11³
 
2³
3³
4³
5³
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1331
1728
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4913
6859
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25³
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27³
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32³
33³
34³
35³
36³
37³
38³
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54872
42875
46656
50653
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24389
29791
19683
21952
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15625
17576
9261
10648
12167
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45³
46³
47³
48³
49³
 
51³
52³
53³
54³
55³
56³
57³
58³
79³
80³
61³
62³
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71³
72³
73³
74³
75³
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77³
78³
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85³
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87³
88³
89³
90³
91³
92³
93³
94³
95³
96³
97³
98³18³
19³
20³
493039
195112
166375
175616
185193
140608
148877
157464
117649
125000
132651
103823
110592
85184
91125
97336
68921
74088
79507
474552
421875
438976
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373248
389017
405224
328509
343000
357911
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314432
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274625
287496
226981
238328
250047
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205379
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7³
12³
10³ 30³ 50³ 70³
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
41
42
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44
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51
52
53
54
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56
57
58
50
 
 
8
9
 
11
 
101000√
√125
3375
592704
941192
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15
16
17
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40
21
22
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2
3
4
5
5832
√ 27
√216
√343
√512
√729
1331√
1728√
2197√
2744√
√
4096√
4913
6859
√ 8
Raiz CúbicaRaiz Cúbica
√ 1
√ 64 24
25
26
27
28
29
 
31
32
33
34
35
36
37
38
27000
64000
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54872
42875
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50653
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24389
29791
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21952
√13824
15625
17576
√9261
√10648
√12167
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19
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100
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66
 
71
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75
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91
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98
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110592
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195112
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474552
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438976
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389017
405224
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357911
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274625
287496
238328
250047
512000
1 a 1001 a 100
6
7
12
30
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3 √3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
@matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero@matematica.do.zero @matematica.do.zero
Nome
1.000.000.000.000
Símbolo Potência de
Base 10 Equivalência Decimal
10Tera T
Giga
Mega
Quilo
Hecto
Deca
Deci
Centi
Mili
Micro
Nano
Pico
G
M
K
h
da
d
c
𝑚
𝜇
𝜂
𝑝
10
10
9
12
6
10
10
3
2
10
10
10
1
2
10
10
3
6
10
10
9
12
1.000.000.000
1.000.000
1.000
100
10
0,1
0,01
0,001
0,000.001
0,000.000.001
0,000.000.000.001
−
−
−
−
−
−
Prefixos MétricosPrefixos Métricos
@matematica.do.zero 80
Potência Nome
10
10
10
3
1
6
10
10
9
12
10
10
1021
10
10
24
27
10
10
30
33
Potências GrandesPotências Grandes
Potência Nome
10
10
10
39
36
42
10
10
45
48
10
10
10
10
10
10
10
15
18
57
60
63
100
10
51
54
100
Dez
Mil
Milhão
Bilhão
Trilhão
Quatrilhão
Quintilhão
SextilhãoSeptilhão
Octilhão
Nonilhão
Decilhão
Undecilhão
Duodecilhão
Tredecilhão
Quatuordecilhão
Quindecilhão
Sexdecilhão
Septendecilhão
Octodecilhão
Novendecilhão
Vigintilhão
Googol
Googolplex
@matematica.do.zero 81
ERRADO CERTOExemplo
=
=
 =
=
PotenciaçãoPotenciação
a a
a
 
2 
4
 
 a a a a
n m na m a
 
n + m
( )n 2 a
 
n2
a
 
4
( +b)2 a
 
 + b2 2 + 2 b2 2
a0 0 1
a
 
n
a
 a
 
a
 
 + a
 
b=
=32 6 9
 
 
−2
3
−32 9 −9
(−3)2 −9 9
3 −9 9
1
1 3 1
=
=
=
=
ERRADO CERTOExemplo
=
=
 =
=
RadiciaçãoRadiciação
=
=
 
 
=
=
=
=
√ 2− ∄−a a 
√ 33
− ∄ −a a 
√nm√ √m+n √nma a a 
√ √+ √ 2 √2a a a a 
√16 8 4
√ 92− ∄
√ 33
−9 ∄ −
16√√
−9
9
4 2
√16 + 9 7 5
√25 − 16 1 3
@matematica.do.zero 82
Potenciação
C.4
Radiciação
C.1 C.1
1 = 1n √1 =n 1
C.2
C.3
P.5
P.2
P.3
P.4
√0 =n 0
C.2
P.1
P.2
√ nn =a a
√ m÷pn÷p√ =mn a a
√√ m n√m n =a a
P.5
√n √= bna a√n b
√
√
n = √ bb
n an a
√ n
mn m =a a
( )√n = √na a
m
m
P.3
P.4
P.6
P.7
0 = 0n
a 10 =
1a−n
an=
a a an × m n + m=
P.1
a a an ÷ m n − m=
n( )m m × na a=
a b a b ( ) n n=n
a b a b n( ) ÷ n= ÷n
@matematica.do.zero 83
Considerações Finais8.
Ficamos por aqui, querido aluno. Espero que tenha gostado do
material.
Esse foi o nosso quarto e-book e muitos ainda virão, começamos
do básico e iremos até os conteúdos mais avançados.
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que você pode
fazer perguntas e sugestões no direct da página
@matematica.do.zero. 
Estou sempre à disposição. 
Um forte abraço e até a próxima!
 
 
Pirataria é Crime
Essa lei todo mundo conhece, mas é sempre bom
revisar o porquê e como você pode ser prejudicado com
essa prática.
Professor investe seu tempo para elaborar o curso
Pirata revende as aulas protegidas por direitos autorais,
praticando concorrência desleal e em flagrante desrespeito à Lei 
de Direitos Autorais (Lei 9.610/98)
Paga o crime organizado. O dinheiro da pirataria é usado para a
prática de outros crimes.
Pirata fere os Termos de Uso, adultera as aulas e retira a
identificação dos arquivos PDF
O professor que elaborou o curso não ganha nada e a pessoa
que praticou todos os ilícitos anteriores (pirata) fica com o lucro.
Deixando de lado esse mar de sujeira, aproveitamos para
agradecer a todos que adquiriram este e-book de maneira
honesta e permitem que a página continue existindo. 
@matematica.do.zeroocorre porque multiplica a base com o
expoente.
5 = 5 × 2 = 10 2
5 = 5 + 5 = 10 2
Então, lembre-se que repetimos a base SEMPRE multiplicando.
5 = 5 × 5 = 25 2
Além disso, para se resolver uma potenciação, é fundamental
saber operar com os sinais. Conseguimos observar uma
regularidade quando a base da nossa potenciação é um número
negativo. Veja só: ( − ) × ( − ) = + 
( − ) × ( − ) × ( − ) = − 
( − ) × ( − ) × ( − ) × ( − ) = + 
( − ) × ( − ) × ( − ) × ( − ) × ( − ) = − 
5 vezes (ímpar)
4 vezes (par)
3 vezes (ímpar)
2 vezes (par)
@matematica.do.zero 7
O expoente será um número par ou ímpar, logo teremos dois
casos.
Professor, então sempre que o expoente for par, o sinal será
positivo? Siiiiiim! Mas cuidado.
Você precisa analisar quem é a base, ela será todo o número que
estiver entre parênteses. 
No primeiro exemplo a base é −1 0, consequentemente o sinal
fica positivo. Já no segundo exemplo a base é apenas o 10, pois
somente ele está elevado ao quadrado, o resultado fica negativo.
1.º Caso
Expoente par:
(+3)4 = (+3) × (+3) × (+3) × (+3) = + 81
(−3)4 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) = + 81
Note que o sinal das duas potências é positivo. Esse fato se
repetirá sempre que o expoente for um número par. 
(−10)2 = (−10) × (−10) = + 100
−102 = − 10 × 10 = − 100
Sendo assim (−10) ≠ −102 2 e isso vale para qualquer número. 
ANOTE AÍ
(−a) −a2 2
≠
2.º Caso
Expoente ímpar:
(+3)3 = (+3) × (+3) × (+3) = + 27
(−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = − 27
Quando o expoente for um número ímpar, a potência terá sempre
o mesmo sinal da base. 
a ≠ 0 
@matematica.do.zero
Sinal da Potência
Expoente ímpar
Expoente Par Sinal Positivo
Mesmo sinal 
da base
(+4) + 162 =
(−4) + 162 =
(+4) + 643 =
(−4) − 643 =
8
Resumindo, temos que:
Maravilha, já aprendemos a definição de Potenciação, porém
quero chamar sua atenção para dois números: o um e o zero. 
Quando eles estiverem na base, é bem tranquilo.
1 = 1n
Base igual a 1
1 18 =
1 145 =
Exemplos
1 1749 =
0 = 0n
Base igual a 0
0 08 =
0 045 =
Exemplos
0 0749 =
Base igual a 1 a potência será sempre igual a 1 e base igual a
zero a potência será sempre igual a zero. Isso acontece porque
quando multiplicamos o 1 por ele mesmo, não importa quantas
vezes, o resultado não altera (1 = 1×1×1 = 1). 3
n ≠ 0
O problema é quando esses números estão no expoente, porque
os casos não são tão óbvios assim, chamarei de casos
particulares. 
Dá mesma forma funciona com o zero (0 = 0×0×0 = 0), contudo
não se define a potência 0 .
3
0
@matematica.do.zero 9
A definição que vimos anterior não faz muito sentido para os
casos em que o expoente é 1 ou 0, já que não há como falar em
multiplicação de um único fator ou de nenhum. Além desses dois
caos, também temos um terceiro que é quando o expoente é
negativo.
Casos Particulares1.1. 
Expoente igual a 1:1.º1.º
( )
Sempre que o expoente for igual a 1 o resultado será igual à
base.
a a1 =
5 = 51
(−7)1 = −7
68 = 681
(2,3)1 = 2,3
1
2
1
= 1
2
( )13
10
1
= 13
10
Expoente igual a 0:2.º2.º
Sempre que o expoente for igual a 0 o resultado será igual a 1.
a 10 =
( )8 = 10
(−4)0 = 1
99 = 10
(0,5)0 = 1
5
3 = 1
( )1
7
0
= 1
0
Expoente negativo:3.º3.º
Se o expoente for negativo, podemos inverter a base e trocar o
sinal do expoente (depois calculamos).
5 =−2
a−n = 1
an
1
52 = 1
5×5
= 1
25
4 =−3 1
43 = 1
4×4×4
1
64
=
@matematica.do.zero
5 
5 −2
1
1
5
1
25
81= 16( )2
3 ( )3
2
= 25
49
( )( ) ( )( )
( )7
5 ( )5
7
=( )1
4 ( )4
1
2
3
( )−n
= ( )a
n
b
a b
3
2
3
2
3
2
3
2
( )( )5
7
5
7
( )( ) ( )4
1
4
1
4
1
64
1
1
5
1
10
Inverter a base significa trocar o numerador pelo denominador,
tínhamos 5 podemos colocar o denominador igual a 1, que não
altera nada, então:
Ou seja, quanto tivermos uma fração com expoente negativo,
fazemos exatamente da mesma maneira. 
−2
5 =−2 −2
1
Pronto, então basta trocar o numerador pelo denominador e
alterar o sinal do expoente.
5 =−2
+2= =
64
−4
−2
−3
4
=
Esses são os casos particulares, dê uma atenção especial a
eles. Como falei antes, não fazem muito sentido, principalmente o
segundo (a = 1). É claro que existe um porquê disso, há várias
formas de demonstrar e explicar, trarei aqui a mais simples
possível.
× × =×
× =
× × = =
0
5 = 1253
5 = 252
5 = 5 1
5 = 1 0
5 =−1
1
=
=
5 =−2
52
÷5
÷5
÷5
÷5
÷5
a a1 =
a 0 =
a−n = 1
an
1
a, ≠ 0 b
@matematica.do.zero 11
Propriedades1.2. 
As propriedades da potenciação são técnicas que utilizamos para
facilitar a resolução de cálculos envolvendo potências. Este é o
tópico mais importante deste assunto, porque a grande maioria
das questões pedem o uso das propriedades para podermos
chegar ao resultado. 
Propriedade 11.2.1. 
Observe a seguinte multiplicação de potências de mesma base:
62 × 63 =
3 vezes
6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 6 = 6
2 vezes 2 + 3 = 5 vezes
2+3 5
Note, então, que
62 × 6 6 = 63 = 2+3 5
Portanto, para multiplicar potências de mesma base, basta repetir
a base e somar os expoentes.
Propriedade 1
a a = an × m n + m
2 × 2 = 2 = 2 = 1284 3 4 + 3 7
3 × 3 = 3 = 3 = 812 2 2 + 2 4
A propriedade é bem simples, no entanto quero fazer três
observações que são muuuuuito importantes.
Obs.1 : Quando o expoente não está expresso numericamente,
é considerado que ele equivale a 1. lembre-se do nosso caso
particular ( ), dá no mesmo escrever ( ).a a1=a a1 =
1 1
1 1
128
𝑥𝑥 𝑥𝑥 == 𝑥𝑥22 𝑥 𝑥 = 𝑥2
@matematica.do.zero 12
Obs.2 : Estude novamente Regra de Sinais ( ) aqui você
pode se deparar com todos os casos. 
7 × 7 = 7 × 7 = 7 = 7 = 3432 2 + 1 32 1
2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 = 2 = 2 = 10243 106 16 3 6 + 1 + 3
e-book 1
9 × 9 = 9 = 9 = 9 = 818 −6 8 +(−6) 28 − 6
8 × 8 = 8 = 8 =−4 5 −4 + 5 +1 8
5 × 5 = 5 = 5 =−8 6 −8 + 6 −2
52 =
25
2 × 2 = 2 = 2 = 2 =−3 −4 −3 +(−4)
27 =−3 − 4 −7
Obs.3 : Se a base for uma letra (geralmente ou ), não se
assuste! Funciona da mesma maneira: conserva a base e soma
os expoentes. 
𝑥 𝑦
𝑥2 𝑥3 = 𝑥2 + 3 𝑥= 5
𝑦5 𝑦4 = 𝑦5 + 4 𝑦= 9
Tenho certeza que em algum momento um professor já te
perguntou: "quanto é vezes ?" Basta usar essa propriedade.
𝑥 𝑥 = 𝑥1 + 1 𝑥= 2𝑥1 𝑥1 =
ANOTE AÍ
errado
𝑥 𝑥
Todas essas observações que fiz, servirá para as próximas
propriedades. 
Propriedade 21.2.2. 
Observe a seguinte divisão de potências de mesma base: 
@matematica.do.zero 13
𝑥8 𝑥5 = 𝑥8 − 5 𝑥= 3
76 ÷ 74 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7
7 × 7 × 7 × 7
7
74
6
= = 7 2
Note, então, que
76 ÷ 7 7 = 74 = 6−4 2
Logo, para dividir potências de mesma base, basta repetir a base
e subtrair os expoentes.
Propriedade 2
a a = an ÷ m n − m
11 ÷ 11 = 11 = 11 = 1113 12 13 − 12 1
(1,5) ÷ (1,5) = (1,5) = (1,5) = 2,255 3 5 − 3 2
4
46 =
9
 4 = 4 = 649 − 6 3
2 ÷ 2 = 2 = 2 = 2 = 322 −3 2 −(−3) 52 + 3
3 ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 3 = 3 =−2 −3 − 1 −4−2 1 1 1
34 =
81
Propriedade 31.2.3. 
Tomemos o seguinte caso para exemplificar: (2 )3 4
Perceba que a base é tudo que está dentro do parênteses e
iremos repeti-la 4 vezes.
(2 ) = 2 × 2 × 2 × 2 3 4 3 3 3 3
4 vezes
Caímos em uma multiplicação de bases iguais, logo podemos
usar a propriedade 1: conservar a base e somar os expoentes.
(2 ) = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 = 23 4 3 3 3 3 3 + 3 + 3 + 3 12
(3 ) = 3 = 3 = 729
2
(5 ) = 5 = 5 = 125
3
1 1
(2 ) = 2 = 23 4 3 × 4 12
n( )m =
 
m × na a
−1 −3
(2 ) = 2 = 2 =4 −1
𝑥( ) = =6 4 6 × 4 24𝑥 𝑥@matematica.do.zero 14
Note que o expoente final foi o produto dos expoentes iniciais.
Logo, para calcular uma potência de potência, basta repetir a
base e multiplicar os expoentes.
Propriedade 3
3 × 2
3
24 =
16
As propriedades anteriores são as mais importantes, quando
estamos operando apenas com números. Esta propriedade e a
próxima (propriedade 5) terão suas importâncias, quando fomos
trabalhar com linguagem algébrica (letras e números). Trarei aqui 
para aproveitar o momento, porém neste material usaremos
apenas as anteriores para resolver as questões. 
6
(−1) × (−3)
−44 × (−1)
Essa propriedade só é válida, quando
a base estiver entre parênteses. 
n( )ma a
nm
( ) = 32 3 2 × 3
6= 3 
= 729 
 3 = 3 23 2 × 2 × 2
= 3 8
= 6561
Aqui a base é 
Podemos usar 
a propriedade
Aqui a base é 
Não Podemos usar
a propriedade
2
3
23
Propriedade 41.2.4. 
(3 × 4) = (3 × 4) × (3 × 4) = 3 × 3 × 4 × 4 = 3 × 42
@matematica.do.zero 15
Observe as seguintes operações de bases diferentes: 
Observe as seguintes operações de bases diferentes:
Propriedade 51.2.5. 
2 2
Note, então, que
(3 × 4) = 3 × 42 2 2
Sendo assim, ao elevar um produto a um expoente, elevamos
cada um dos termos a esse expoente.
Propriedade 4
a b = a b n n
(5 4) = 5 4 = 25 16 = 4002
( ) n
2 2
Poderíamos ter realizado primeiro a multiplicação e depois a potência. 
(5 4) = (20) = 4002 2
Por isso, apenas com números essa propriedade não é tão importante.
(3 ) = 3 = 81 = 814 4 4𝑥 𝑥 4𝑥 4𝑥
Em casos semelhantes a esse, sim, ela será fundamental. 
Cuidado! A propriedade é utilizada quando temos uma potência
de um produto e não quando temos uma potência de uma soma. 
a + b = a + b ( ) n n n
errado
(3 ÷ 4) =2
Note, então, que
(3 ÷ 4) = 3 ÷ 42 2 2
( )3
4
2
 = ( )3
4
× ( )3
4
 = 3
4
2
2 = 3 ÷ 42 2
Sendo assim, ao elevar um quociente a um expoente, elevamos 
@matematica.do.zero 16
cada um dos termos a esse expoente.
Propriedade 5
a b = a b n n( ) n÷ ÷
Em todas essas propriedades, tanto a ida, como a volta são
válidas. Isto significa que posso reescrever essa propriedade da
seguinte forma.
Propriedade 5
a b = a b n n( ) n ÷÷
15 ÷ 5 = (15 ÷ 5) = 3 = 814 444
14 ÷ 7 = (14 ÷ 7) = 2 = 646 666
Cuidado! A propriedade é utilizada quando temos uma potência
de um quociente e não quando temos uma potência de uma
subtração. 
a b = a b n n( ) n −−
errado
Nesses casos de subtração ou soma não existem regras
específicas. Então, calculamos a potência e depois realizamos as
operações indicadas.
5 − 3 = 625 − 81 = 5444 4
3 + 8 = 9 + 64 = 732 2
Essa é a única forma de resolver, veja que se usarmos a
propriedade, chegaremos em um resultado totalmente diferente.
5 − 3 = (5 − 3) = 2 = 164 4
3 + 8 = (3 + 8) = 11 = 1212 2
4 4
2 2
Resumo1.2.6. 
( ) 
1 1
n
( )m 2
( )3
a b a b n( ) 4 5 4 5 
𝑥 𝑥 = 𝑥 + 2
𝑥 𝑥 = 𝑥 2=
= 𝑥 𝑥 3 𝑥 2 5
@matematica.do.zero 17
Propriedade ExemploNome
Expoente igual a 1
Base igual a 1
Base igual a 0
Expoente igual a 0
Expoente negativo
Potência de potência
Produto de potências
Quociente de potências
Potência de um produto
Potência de um quociente
a a an × m n + m
1 = 1n 1 = 13
0 = 0n 0 = 03
a a1 =
a−n
an
4 41 =
a 10 = 4 10 =
= 4−3
43=
= 4 4 43 × 2 5=
a a an ÷ m n − m= 4 4 43 ÷ 2 1=
m × na a=
64 4=
n n= 3 3 3=
( ) a b a b n n( ) ÷ n= 4 5 4 5 3 3 3=÷ ÷ ÷
Além disso, quando formos trabalhar com a linguagem algébrica
(o famoso " " ) usaremos, basicamente, essas propriedades.
Vimos muitas definições e propriedades até aqui, nada melhor
que uma tabelinha com todas juntas, né verdade?!
𝑥 2 𝑥 6𝑥 =÷8
( )𝑥 = 𝑥 3 62
( )𝑥 = 𝑥 33
2 8
𝑥 
P.1
P.1
P.2
P.3
P.4
neste caso não usamos as
propriedades, apenas somamos.
propriedade 1 -
Potências Importantes1.3. 
@matematica.do.zero 18
Existem algumas potências que são muito importantes, não só
porque caem frequentemente em questões, mas também porque
nos ajudarão bastante quando formos estudar radiciação. 
Qradrado Perfeito1.3.1. 
Um número é quadradro perfeito quando ele é igual a um
quadrado de um número natural, ou seja, é o resultado da
operação de um número multiplicado por ele mesmo.
21 = 1 × 1 = 1
22 = 2 × 2 = 4
23 = 3 × 3 = 9
24 = 4 × 4 = 16
25 = 5 × 5 = 25
26 = 6 × 6 = 36
27 = 7 × 7 = 49
28 = 8 × 8 = 64
29 = 9 × 9 = 81
210 = 10 × 10 = 100
+3
+5
+7
+9
+11
+13
+15
+17
+19
Os quadrados perfeitos são infinitos (121, 144, 169,...) deixei ao
lado como curiosidade para que você percebece que eles
crescem seguindo um padrão. Veja que basta acrescentar
números ímpares consecutivos (3,5,7,9,...) que chegamos a cada
um dos quadrados perfeitos subsequentes.
Se tomarmos a geometria como base, podemos pensar que um
quadrado é a figura que possui os lados com a mesma medida.
Cubo Perfeito1.3.2. 
@matematica.do.zero 19
Todo quadrado cujos lados forem números inteiros, serão
quadrados perfeitos.
Um número é cubo perfeito quando ele é igual a um cubo de um
número natural, ou seja, mutiplicaremos a base 3 vezes.
31 = 1 × 1 × 1 = 1
32 = 2 × 2 × 2 = 8
33 = 3 × 3 × 3 = 27
34 = 4 × 4 × 4 = 64
35 = 5 × 5 × 5 = 125
36 = 6 × 6 × 6 = 216
37 = 7 × 7 × 7 = 343
38 = 8 × 8 × 8 = 512
39 = 9 × 9 × 9 = 729
310 = 10 × 10 × 10 = 1000
Os cubos perfeitos também são infinitos (1331, 1728, 2197,...)
recomendo que tente decorar o máximo possível, principalmente
os quadrados perfeitos. Quanto mais você souber esses
valores, menos tempo irá gastar para resolver as questões.
2 × 2 = 41 × 1 = 1 3 × 3 = 9
Geometricamente, temos:
1 × 1 × 1 = 1
2 × 2 × 2 = 8
3 × 3 × 3 = 27
@matematica.do.zero 20
Notação Científica
A notação científica é um modo de representação métrica muito
útil porque permite escrever números muito extensos ou muito
pequenos de uma maneira mais compacta, tornando os cálculos
mais simples. Essa vantagem faz com que a notação científica
seja muito utilizada nos ramos da Física, Química e Engenharias.
2.
Antes de falarmos da definição, vamos estudar o conceito de
potência de base 10. Em que teremos três casos: expoente igual
a zero, expoente positivo ou expoente negativo.
10 = 1
10 = 10000
0
1010 = 10000000000 −1010 = 0,0000000001
910 = 1000000000 −910 = 0,000000001
10 = 1000000008
710 = 10000000
610 = 1000000
510 = 100000
4
310 = 1000
210 = 100
110 = 10
−510 = 0,00001
−410 = 0,0001
−310 = 0,001
−210 = 0,01
−110 = 0,1
10 = 0,00000001−8
−710 = 0,0000001
−610 = 0,000001
Potência de Base 10Potência de Base 10
Note que, quando o expoente é positivo, adicionamos zero à
direita. Quando o expoente é negativo, adicionamos zero à
esquerda.
5000 = 5 × 1000 = 5 × 10 3 0,02 = 2 × 0,01 = 2 × 10 −2
= =
@matematica.do.zero 21
Outro conceito que precisamos citar é o de módulo (ou valor
absoluto) de um número. Vamos ver a definição algébrica.
Se ele for positivo ou nulo, será o próprio número.
𝑥| |{= 𝑥 , se 
𝑥− , se
𝑥 ≥ 0
𝑥bem prática de transforma um número em
notação científica. Teremos dois casos: números maiores que 
@matematica.do.zero 22
um e números menores que um.
1.º Caso
Quando o número for maior que um (usaremos como exemplo
580.000), seguiremos os seguintes passos:
Passo 1:
Desloque a vírgula para a
esquerda até atingir o primeiro
 algarismo do número.
5, 8 0 0 0 0 0
123456
Passo 2:
O número de casas deslocadas
corresponderá ao expoente
positivo da potência de 10. 
5, 8 0 0 0 0 0 = 5,8 × 10 
123456
6
2.º Caso
Quando o número for menor que um (usaremos como exemplo
0,0046), seguiremos os seguintes passos:
Passo 1:
Desloque a vírgula para a
direita até atingir o primeiro
algarismo diferente de zero.
0 0 0 4,6
321
,
,
Passo 2:
O número de casas deslocadas
corresponderá ao expoente
negativo da potência de 10. 
0 0 0 4,6 = 4,6 × 10
321
, −3
Esses são os dois casos, vamos analisar outros exemplos:
7 6 2 5 0 0 = 7,625 × 10 5
345 2 1
1 6 5, 2 5 = 1,6525 × 10 2
12
0,0 0 0 7 = −7 × 10 
1 32
 −4
4
0,0 0 0 0 3 2 = 3,2 × 10 
321 4 5
 −5
−
ERRADO CERTOExemplo
=
=
320000 =
10000
4
0,0004
32 × 10 3,2 × 105
10 × 10 1 × 10
0,4 × 10 4 × 10−4
=0,000075 0,75 × 10 7,5 × 10
−3
−5−4
43
não estão em
notação científica
 estão em
notação científica
360000 ÷ 0,004 = 360000 36 × 10 
@matematica.do.zero 23
Quero chamar sua atenção para um detalhe, a notação científica
exige que o coeficiente a que multiplica a potência de 10 seja um
número tal que 1 ≤ aapresentados, as raízes quadradas
indicadas são de números quadrados perfeitos.
Raiz 
Quadrada
Quadrado
Perfeito 
21 = 1 
22 = 4 
23 = 9
24 = 16
25 = 25
26 = 36
27 = 49
28 = 64
29 = 81
210 = 100
√ =1 1
√ =4 2
√ =9 3
√ =16 4
√ =25 5
√ =36 6
√ =49 7
√ =64 8
√ =81 9
√ =100 10
Raiz 
Quadrada
Quadrado
Perfeito 
211 = 121 
212 = 144 
213 = 169
214 = 196
215 = 225
216 = 256
217 = 289
218 = 324
219 = 361
220 = 400 =200 20
=121 11
=144 12
=169 13
=196 14
√ =225 15
√ =256 16
√ =289 17
√ =324 18
√ =361 19
√ 
√ 
√ 
√ 
√ 
@matematica.do.zero 30
Também podemos usar a definição para calcular a raiz cúbica
exata de um número real.
√ a = b
⇔
b3 = a3
√ =8 Qual n.º 
elevado a 3
é igual a 8
⇔
3 = 8
Essa é a pergunta 
que você precisa
se fazer.
3 = 82 Logo, √ =8 2
Seguindo esse mesmo raciocínio, temos:
√ =64 4, pois 4 = 64 √ =216 6, pois 6 = 2163 3
Em todos os exemplos apresentados, as raízes cúbicas indicadas
são de números cubos perfeitos.
Raiz 
Cúbica
Cubo
Perfeito 
31 = 1 
32 = 8 
33 = 27
34 = 64
35 = 125
36 = 216
37 = 343
38 = 512
39 = 729
310 = 1000
√ =1 1
√ =8 2
√ =27 3
√ =64 4
=125 5
=216 6
=343 7
=512 8
=729 9
=1000 10
Raiz 
Cúbica
Cubo
Perfeito 
311 = 1331 
312 = 1728 
313 = 2197
314 = 2744
315 = 3375
316 = 4096
317 = 4913
318 = 5832
319 = 6859
320 = 8000 =8000 20
=1331 11
=1728 12
=2197 13
=2744 14
=3375 15
=4096 16
=4913 17
=5832 18
=6859 19
3 3
3 3
 
√ 
√ 
√ 
√ 
√ 
√
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
Á medida que o índice vai aumentando, fica mais difícil encontrar
o resultado.
√ =81 3, pois 3 = 81 √ =32 2, pois 2 = 324 5
Porém não se preocupe, a grande maioria das questões são
sobre raiz quadrada, algumas sobre raiz cúbica e raramente
encontramos questões abordando os outros tipos de raízes.
4 5
@matematica.do.zero 31
Quando vamos calcular , a pergunta que nos fazemos é: qual
n.º elevado a 2 é igual a 25? Veja que temos duas possíveis
respostas. 
√25
(+5) = 252 e (−5) = 252
Porém, consideraremos apenas o valor positivo, ou seja, se em
alguma questão, tiver afirmando que = 5 é pegadinha.√25 +−
Agora eu quero que você tente encontrar a raiz quadrada do
seguinte número:
√25 = 5 √25 = −5 √25 = 5+−
=√−9 Qual n.º 
elevado a 2
é igual a −9
Se você não conseguiu, parabéns. No conjunto dos números
reais, não existe raiz quadrada de número negativo. 
Isso acontece porque todo número elevado ao quadrado resulta
em um valor positivo.
(+3) = 92 e (−3) = 92
Entretanto, se for uma raiz cúbica, existe!
= Qual n.º 
elevado a 3
é igual a −8
⇔
3 = −8
Essa é a pergunta 
que você precisa
se fazer.
3 = −8(−2) Logo, √ =−8 −23√−8
Portanto, para extrair a raiz de um número negativo, precisamos
analisar o índice.
Índice par 
Radicando Negativo
Índice ímpar 
√−25 não existe em ℝ −125 = − 5√3
√−81 não existe em ℝ4 −243 = − 3√5
√−64 não existe em ℝ6 −128 = − 2√7
3
Propriedades 3.1. 
@matematica.do.zero 32
Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na
radiciação. Vamos verificar como funciona cada uma delas. 
Propriedade 13.1.1. 
Se o radical possuir índice igual ao expoente do radicando, a
raiz será igual à base do radicando.
Propriedade 1
√ nn
=a a
10 = 103 3
7 = 75 5
9 = 98 8
5 = 56 6
√
√
√
√
√3 = 32
√12 = 124 4
Se o radicando não tiver expoente, você pode fatorá-lo e depois
usar a propriedade.
32√ √2= 25 5 5 =√125 = 53 √ 5
3 3 =
5
5
5 5
1
125
25
53
2
2
2 2
1
8
4
25
32
16
2
2
Essa propriedade é muuuito importante, veja que você acabou de
aprender outra forma de calcular raízes. Entretanto, lembre-se
que não existe raiz negativa quando temos índice par. 
√(−3) = −32 √(−3) =2 √ 9 = 3
Nesses casos o resultado é o módulo do radicando.
√(−4) = −4 = 46 √(−2) =86 8 −2 = 2
Propriedade 23.1.2. 
@matematica.do.zero 33
Quando o expoente do radicando e o índice do radical
apresentam divisor comum, podemos simplificar o radicando
dividindo o índice e o expoente por esse divisor. 
Propriedade 2
3
3
3 3
1
27
9
34
81 3
Observe: √81 = 34 e √ 9 = 3
Logo: √814 = √34 =4 √34÷2 =4÷2 √ 32 = 3
Dessa forma:
√ m÷pn÷p√ =mn a a
p é divisor comum de n e m
√
√ √√√81 =10 =10÷5 5÷5 812 181 =5 81 = 9
27 =21 √27=√21÷7 7÷7 3 127 =7 27 = 33√
Propriedade 33.1.3. 
A raiz de uma raiz pode ser escrita como um único radical cujo
índice será o produto dos índices anteriores. 
Observe: √64 = 26e
Note que a igualdade se mantém se multiplicarmos os índices das
raízes.
64 =√√3 √3 8 = 2
64 =√√3 √3×2
64 = √6 64 = 2
Dessa forma:
@matematica.do.zero 34
Propriedade 43.1.4. 
O produto de radicais pode ser escrito como radical de um
produto.
Observe:
Logo:
√4 9 =
Dessa forma:
Propriedade 3
√√ m n√m n =a a
512512√√3 3 √= √= 23 3 2 =9 9
729√√ √3 2 = 729 √= 33 2 3 =6 6
512√ =9
√729 =6
Essa propriedade é boa, porém você pode resolver de dentro
para fora e não utilizá-la. 
81√√ = √ 9 = 3
81√√ = √2×2
81 = √4 34 = 3
√ 36 = 6√ 4 = 2 3 = 6 e√ 9
√ 4 =√ 9 √4 9 
√n √=√n bb na a
Propriedade 4
 
√√√ 32 232
√
√18 12
= 82 = √64 =
√√ 24 624 = 126 = √144 =
√√18 = 612 = √216 =3 3 3 3
√25 25√ =√25 525 = √625 =4 4 4 4
Propriedade 53.1.5. 
@matematica.do.zero 35
O quociente de radicais de mesmo índice pode ser escrito como
radical de um quociente.
Observe: = e√25
Logo:
Dessa forma:
√36
5
6
= 5
6
=
√25
√36
25
36√
25
36√
Propriedade 5
√n
√n
= √ bb
na a
√√75
√ 3
= 75
3
= √25 = 5
√√54
√ 2
= 54
2
= √27 = 3
3
3
3 3
Propriedade 63.1.6. 
Todo radical pode ser transformado numa potência com expoente
fracionário, em que a base será o próprio radicando e o expoente
é formado pelo quociente entre o expoente do radicando e o
índice do radical.
Propriedade 6
√ n
mn m =a a
@matematica.do.zero 36
√ 3 =2 =
8
3 =8 812 34
√ 2 =3 =
15
2 =15 323 25
Essa propriedade é suuuper importante, tende entender tanto a
ida, como a volta. Em algumas questões, a resolução ficará mais
fácil se transformarmos de radical para potência, em outras, de
potência para radical.
Vou passar um macete que é fenomenal, você nunca mais
esquecerá essa propriedade.
√ana
m n m=
Quem está no vai para e
quem está na vai para o
SOL 
SOL SOMBRA
SOMBRA
36
1
2 = √362 1 = √36 = 6
64 = √643 1 = √64 = 43
1
3
na
m
√an m =
Quem está no vai para e
quem está na vai para o
SOL 
SOMBRA
SOMBRA
3
6
= 5 = 52 = 25√ 53 6
4
12
= 2 = 23 = 8√ 24 12
Utilizando esse macete, conseguirá escolher entre resolver o
cálculo por radiciação ou por potenciação. 
Exemplo Potenciação
= √ √=10÷5 5÷5 362 136 = 6√3610 5 =
5
36 = (6 )10 36
1
2 2
1
2 = 6
2
2 = 6
Radiciação
= 10 =
7
10 7 101 = 10
1
125 3 = √ =3 125 √ 53 3 = 5 (5 )3
1
3 = 5
3
3 = 5
√107 7
90,5 = =
5
9 = (3 )10 9
1
2 2
1
2 = 3
2
2 = 3√ √=10÷5 5÷5 92 19 = 3
5
910 =
Propriedade 73.1.7. 
Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente 
@matematica.do.zero 37
para o radicando.
Observe:
Logo:
Dessa forma:
Propriedade 7
( )√5 =3
3
√5 =3 × √53 × √53 √1253 = √ 53 3 = 5
( )√5 =3
3
√ 53 3
( )√n = √na a
m
m
( )√11 =6
6
√116 6 = 11
7
8
4( )√7 =4
8
√ 74 8 = = 72 49=
Propriedade ExemploNome
Índice igual ao expoente
Radicando igual a 1
Radicando igual a 0
Divisor comum
Raiz de uma raiz
Radical para potência
Produto de radicais
Quociente de radicais
√1 =n 1
√0 =n 0
√1 =9 1
√0 =9 0
√ nn =a a √ 99 =4 4
√ 6÷39÷3√ =69 4 4√ m÷pn÷p√ =mn a a
√√ √9 69 6 =4 4√√ m n√m n =a a
√n √= bna a√n b √9 √= 594 4√9 5
√
√
9 =√ 55
9 49 4
√
√
n =√ bb
n an a
√ n
mn m =a a √ 9
69 6 =5 5
Potência de uma raiz ( )√n = √na a
m
m ( )√9 = √95 5
6
6
Resumo3.1.8. 
Nesta tabela veremos não só todas as propriedades, como
também os casos particulares de radicando igual a 1 ou 0.
@matematica.do.zero 38
Métodos para extrair Raiz Quadrada 3.2. 
Já vimos que, com a definição, podemos encontrar o resultado de
uma raiz quadradapensando em um número que elevado ao
quadrado resulta no radicando. Entretanto, esse método é útil
apenas quando temos um radicando pequeno. 
Imagine que você precise encontrar a ou a . √3600 √1369
Utilizando apenas a definição daria um certo trabalho. Além disso,
até o momento falamos apenas de raiz quadrada exata, mas
também há raiz quadrada não exata. 
Os métodos que veremos a seguir deixaram você preparado para
resolver qualquer tipo de raiz.
1.º Método
Esse é o método tradicional, usando a definição. Devido sua
importância, colocarei novamente a tabela de quadrados
perfeitos. Tente decorar o máximo possível, os dez primeiros é
obrigação! Vai te ajudar muuuuito.
Raiz 
Quadrada
Quadrado
Perfeito 
21 = 1 
22 = 4 
23 = 9
24 = 16
25 = 25
26 = 36
27 = 49
28 = 64
29 = 81
210 = 100
√ =1 1
√ =4 2
√ =9 3
√ =16 4
√ =25 5
√ =36 6
√ =49 7
√ =64 8
√ =81 9
√ =100 10
Raiz 
Quadrada
Quadrado
Perfeito 
211 = 121 
212 = 144 
213 = 169
214 = 196
215 = 225
216 = 256
217 = 289
218 = 324
219 = 361
220 = 400 =200 20
=121 11
=144 12
=169 13
=196 14
√ =225 15
√ =256 16
√ =289 17
√ =324 18
√ =361 19
√ 
√ 
√ 
√ 
√ 
@matematica.do.zero 39
=√ bn a √n √n ba
√ √= 100√ 16√16 × 100
√ √= 100√ 9√ 9 × 100
√ √= 100√ 49√
√ √= 100√ 81√
Quanto é a √1369
√1369
2.º Método
Utilizando a volta da propriedade 4. 
Propriedade 4
Ela é perfeita para calcularmos raízes em que o radicando
termina em 00, já que 1600 = 16 × 100. 
×1600 = = 40= 4 × 10
×900 = = 30= 3 × 10
×4900 = = 7049 × 100 = 7 × 10
×8100 = = 9081 × 100 = 9 × 10
3.º Método
Esse método funciona para todas raízes quadradas exatas
quando temos o radicando entre 100 e 10000. 
Passo 1:
Responda a seguinte pergunta:
qual algarismo elevado ao
quadrado termina em 9?
Como 10 = 100 e 100 = 10000, sabemos que o resultado será
um número com dois algarismos (dezena e unidade). 
Utilizando esse método, você precisará testar apenas dois valores.
=
Dezena 
Unidade
√1369 =
Resposta: o 3 e o 7. 
3 = 9 e 7 = 49
A unidade será um dos dois.
2 2
3 
7
ou
2 2
@matematica.do.zero 40
Note que, sem esse método, você teria que testar vários valores
para encontrar o resultado. Vale a pena reler o passo a passo e
tentar entendê-lo.
Passo 2:
Ignore os dois últimos algarismos
do radicando e veja qual n.º
elevado ao quadrado se aproxima
por baixo do número que restou.
Esse n.º será a dezena.
√1369
3 = 9 e 4 = 162 2
não pode passar do 13
√1369 =
3 
7
ou3 
Passo 3:
Eleve ao quadrado os dois
possíveis resultados e verifique
qual é a resposta.
33 = 1089 
√1369 = 73 
2
37 = 1396 2
Vamos ver outro exemplo:
√1764
Passo 1:
Qual algarismo elevado ao
quadrado termina em 4?
=
Dezena 
Unidade
√1764 =
Resposta: o 2 e o 8. 
2 = 4 e 8 = 642 2
2
8
ou
Passo 2:
Ignore os dois últimos algarismos
do radicando e veja qual n.º
elevado ao quadrado se aproxima
por baixo do número que restou.
√1764
4 = 16 e 5 = 252 2
não pode passar do 17
√1764 =
2
8
ou4
Passo 3:
Eleve ao quadrado os dois
possíveis resultados e verifique
qual é a resposta.
42 = 1764 
√1764 = 24
2
48 = 23042
@matematica.do.zero 41
√ 225 =
4.º Método
Método da decomposição em fatores primos, esse é o mais
completo, pois com ele conseguimos calcular qualquer tipo de
raiz, seja uma raiz exata, seja uma raiz não exata. 
3
3
25 5
5 5
1
225
75
32 2
√3 52 2 = √ 32 √ 52 = 3 5 = 15
=√ bn a √n √n ba
Propriedade 4 Propriedade 1
√ nn
=a a
5
P.4 P.1
Achou difícil? Muitos processos, né! Há uma forma bem prática
de resolver, como estamos calculando raiz quadrada, o
pensamento será o seguinte:
225
3
3
25 5
5 5
1
225
75
3 52 2
1225
A cada dois, um sai
= 3 5 =15 = 5 7 = 35
A cada dois, um sai
5
5
49 7
7 7
1
1225
245
5 72 2
√ √
a cada dois, um sai.
Finalmente, chegou a hora de falarmos sobre as raízes não
exatas. Se a = 4 e a = 5, qual é a √16 √25 √20
Não tem como encontrarmos o resultado, mesmo com a
calculadora. O máximo que podemos fazer é simplificar ou fazer
uma aproximação. 
Utilizando esse método, conseguimos simplificar. O pensamento
continua o mesmo: (quem não sai, fica).a cada dois, um sai
20 = √2 5 √63 = √3 7
5 5
20 2
10 2
1 2 52
7 7
63 3
21 3
1 3 72
√
A cada dois, um sai A cada dois, um sai
Da mesma maneira, conseguimos calcular uma raiz cúbica ou 
@matematica.do.zero 42
simplificá-la. A única coisa diferente é que o pensamento será o
seguinte: (quem não sai, fica).a cada três, um sai
5
5
5 5
1
125
25
53
125
A cada três, um sai
= 5√3
7
7
7 7
1
343
49
73
343
A cada três, um sai
= 7√3
24
A cada três, um sai
= 2√3
2
2
6 2
3 3
1
24
12
2 33
√ 3 135
A cada três, um sai
= 3√3
3
3
15 3
5 5
1
135
45
3 53
√ 53 3
Para calcular raiz quarta, a cada quatro, um sai. Para calcular raiz
quinta, a cada cinco, um sai. E assim sucessivamente.
Aproximação de Raízes3.3. 
Conforme citei antes, o máximo que podemos fazer com uma raiz
quadrada não exata é simplificar ou fazer uma aproximação.
A grande maioria das questões são resolvidas apenas com a
simplificação, entretanto em alguns casos é necessário saber o
valor aproximado.
Colocando em uma calculadora temos que:
√20 = 4,472135955...
Para conseguirmos encontrar um valor aproximado a esse,
precisaremos encontrar qual é o quadrado perfeito mais próximo
de 20.
Temos que: 4 = 16 e 5 = 25
usaremos esse.
2 2
@matematica.do.zero 43
Utilizando a fórmula, encontramos que = 4,5 o que é um
resultado bem próximo do verdadeiro e mais que suficiente para
resolver as questões, quando necessário. 
 Q é o quadrado perfeito mais próximo do número X
√2
√ ≈
 
x x + Q 
Q 
√20
√ 5 5 + 4
√2
9≈ 
4
=
2 2
9=
4
= 2,25
√18 18 + 16
√2
34≈ 
16
=
2 4
34=
8
= 4,25
√33 33 + 36
√2
69≈ 
36
=
2 6
69=
12
= 5,75
20 + 16
√2
36≈ 
16
=
2 4
36=
8
= 4,5
√20
Vamos ver outros exemplos:
Operações com Raízes3.4. 
Com tudo que vimos, já estamos em condições de analisar as
operações, aliás, quando falamos sobre as propriedades, já
citamos algumas delas. 
Adição e Subtração3.4.1. 
Como já sabemos, na adição e na subtração não temos nenhuma
propriedade relacionada a elas. Se as raízes forem exatas, é
bem tranquilo, substituímos as raízes por seus valores e fazemos
os cálculos indicados.
√49 + √16 = 7 + 4 = 11
√ − √
√ √
√ , √ −5 √ 23
√ √
√ √
√ √ 2 √ 23 = (10 + 5 − 7) = √ 23 √ 23
√ 5 √ √ 5 = 11√ 5
√ 73 √ 73
+ = 2√ 73 √ 73 √ 73
errado
√5 3 + 4 = 7√5 √10
@matematica.do.zero 44
Se as raízes forem não exatas, só podemos somá-las ou
subtraí-las quando temos radicais semelhantes. 
8 16 = 2 − 2 = 03 4
Dois ou mais radicais são semelhantes quando têm o mesmo
índice e o mesmo radicando. 
7 e 7 são radicais semelhantes3
2 2 são radicais semelhantes43 e 3
5 e 5 não são radicais semelhantes6
2 3 não são radicais semelhantes43 e 3
3
Se houver vários radicais semelhantes, podemos colocá-los em
evidência. 
2310 + 35 − 7 8
Coloca em evidência o fator comum
Essa parte de colocar em evidência você pode pular e
simplesmente somar ou subtrair os coeficientes dos radicais.
6 − 54 + 9
Caso não apareça o coeficiente do radical, é porque é 1.
Lembre-se que qualquer número multiplicado por 1 é igual a ele
mesmo.
= 1
Um erro bastante comum é o aluno além de somar os
coeficientes, também somar os radicandos. 
Conseguiu entender? Se estiver com muita dificuldade, pense
que o radical é uma laranja rsrs. Sério! Isso ajuda alguns alunos.
6 = 16
10√ 5 6 √ 5 16 √ 5
@matematica.do.zero 45
10 +
+ =
Se em uma expressão contiver radicais diferentes, juntamos
apenas os que são semelhantes.
3 + 6 + 5
3 + 6
√5 √7 √5
+ 5
− 2 = √7
−
8 + 4√5 √7
2 = 8 + 4
Juntamos apenas radicais semelhantes, certo?! Entretanto,
quando o radicando não for um número primo, é necessário fazer
a simplificação para verificar se são semelhanteou não.
+ = 5 √50 √18
√50 = √5 2
5 5
50 2
25 5
1 2 52
A cada dois, um sai
√2 +
√18 = √3 2
3 3
18 2
9 3
1 2 32
A cada dois, um sai
3√2 = 8√2
− =√27 √12
√27 = √3 3
3 3
27 3
9 3
1 3 32
A cada dois, um sai
√3 − 2√3 = 6 √32
√12 = √2 3
3 3
12 2
6 2
1 2 32
A cada dois, um sai
2 3 − 2√3 = 4√3
Multiplicação e Divisão3.4.2. 
Falamos da multiplicação e da divisão quando estávamos
conhecendo as propriedades.
√n √=√n bb na a
Propriedade 4 Propriedade 5
=√ b
n a √n
√n b
a
Note que diferente da adição (ou subtração) os radicais não
precisam ser semelhantes, basta termos índices iguais.
=√ 2 √ 8 √2 8 √16 √ 2
√ √ (−5 4) √3 2 −20√
√ 5 √ 5 √ 5√25
√ 7 √ 7 √ 7
√ 8 √ 8
√ √ X √
√ 8
√ √ (8 1)√2 5 8√
√
√
√
√
@matematica.do.zero 46
Isso já vimos, quero falar de outros casos que são
importantíssimos. Primeiramente falaremos sobre a multiplicação.
Multiplicação entre raízes quadradas com radicandos iguais.
= = = 24 4 4 4 4 4
Quando os radicais têm coeficientes, multiplicamos coeficiente
com coeficiente e radicando com radicando. 
235 4 − = = 6
= = 52=
= = 72
=
=X X = X2
= 82
528 = = 10
Multiplicação entre número inteiro e radical, conserva o radical.
72 − =
54 =
72 −
3 512
Citei esses casos, porque utilizaremos bastante a propriedade
distributiva da multiplicação ("chuveirinho"). Algo que vimos no 
( ) e aqui será uma ferramenta indispensável. e-book 1
5 = 5√ 7 + √ 2( ) √ 7 + 5√ 2
( ) 4 √ 6 − √ 5 √ 63 − 4 √ 52 =3 3 34 2 = √ 63 − √ 534 8
( ) 3√5 √2 + √5 = √5 3√2 + √5 √5
= 3 +√10 √ 52 = 3 +√10 5
a (b + c) = a b + a c
Distributiva
@matematica.do.zero 47
Acabamos de ver o caso em que apenas um dos fatores é uma
adição (ou subtração). Analisaremos agora quando os dois
fatores são adições (ou subtrações).
Distributiva
(a + b) (c − d) = a c − a d + b c − b d
( ) 5 + √7 ( ) 2 − √7 = 5 2 − 5 + 2 −√7 √7 √ 72
= 10 − 5 + 2 − 7√7 √7
= 3 − 3 √7
( ) 4 + √2 ( ) 4 − √2 = 4 4 − 4 + 4 −√2 √2 √ 22
= 16 − 4 + 4 − 2√2 √2
= 16 − 2 
No último exemplo, os radicais se anularam e ficamos apenas
com um número inteiro. Podemos tirar uma regra para esse
produto: o produto da soma pela diferença de dois termos é
igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do
segundo termo.
= 14 
Produto da Soma pela diferença
(a + b) (a − b) = a − b2 2
Essa fórmula faz parte dos produtos notáveis (assunto que ainda
veremos). Pode ser usada para facilitar os cálculos, faremos
novamente o último exemplo utilizando ela, veja como agiliza: 
( ) 4 + √2 ( ) 4 − √2 = 4 − = 16 − 2 = 14√ 22 2
Portanto, quando precisar resolver esse tipo de cálculo, você
pode utilizar a distributiva ou a fórmula. 
0,25√
@matematica.do.zero 48
Na divisão já vimos que:
=
√49
√25
=√49
25
= 7
5
Podemos nos deparar com alguns casos em que será necessário
transformar o radicando em uma fração e depois aplicar a
propriedade.
Radicando sendo um decimal exato.
= 1,4
√25
100√
=√25
100
= 5
10
= 0,5
0,09√ =
√ 9
100√
=√ 9
100
= 3
10
= 0,3
0,444...√ =
Radicando sendo uma dízima periódica.
√ 4
9√
=√ 4
9
= 2
3
= 0,666...
2,777...√ =
√25
9√
=√25
9
= 5
3
= 1,666...
Radicando sendo uma porcentagem.
16%√ =
√16
100√
=√16
100
= 4
10
= 0,4 = 40%
4%√ =
√ 4
100√
=√ 4
100
= 2
10
= 0,2 = 20%
2√3 √2+ 2 = √5 2
Índices e radicandos iguais
Adição e Subtração
Apenas Índices iguais
√3 √× 12 = √36 = 6
√39 √7− 3 = √2 34 4 4
Multiplicação e Divisão
Deixarei logo abaixo um resumo, para lembrá-lo do que é exigido
quando vamos fazer as operações, não confunda.
Caso precise multiplicar ou dividir radicais com índices diferentes 
√40 √÷ 5 = √8 = 23 3 3
@matematica.do.zero 49
(o que é muuuito raro), você pode transformar o radical em
potência, usar as propriedades devidas e depois retomar para o
radical.
÷
=√ 2 √ 24 10 3
1
2 4
3
210 =
1
2 4
3
10+
=
11
220 = √ 220 11
=√10 √103
1
102
1
103 =
1
102
1
3−
=
1
106 = √106÷
Racionalização dos Denominadores3.5. 
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os
radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor
da fração.
Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o
denominador da fração por um número chamado fator
racionalizante do denominador.
Teremos três casos, começaremos pelo mais simples e
seguiremos até o mais complexo.
1.º Caso
Este é o caso mais simples e com maior frequência, quando o
denominador é uma raiz quadrada. 
Sabemos que 5. Logo, se multiplicarmos a raiz
quadrada por ela mesma, eliminamos o radical do denominador. 
√ 5 √ 5 =×
Como queremos uma fração equivalente, multiplicamos o
numerador e o denominador pelo mesmo resultado. 
√ 5
= ×
5 5
=
25
5 =1 1 5
5
5
√ √
√ √
√
√
fator racionalizante
√ 2
= ×
2 2
=
22
2 =8 8 2
√ √
√ √
√
fator racionalizante
8
2
2 = 4 2
√ √8
@matematica.do.zero 50
2.º Caso
Quando o denominador é uma soma ou diferença de dois
quadrados. 
Se o radical tiver um coeficiente, não precisamos utilizá-lo como
fator racionalizante. Apenas o radical já será suficiente. 
×
6 2×66
=
6
=3 6 = 6
2
3
2
3
√ √
√
√
√
=
4
6√
12
63√
fator racionalizante
De modo geral temos:
√ a 
fator 
racionalizante √ a 
Ao racionalizar um denominador, não mudamos o valor da fração,
mudamos apenas a forma de escrevê-la.
1
5 + 3√ √
Nessas situações multiplicamos o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador. Chamamos de conjugado de 
 o inverso do segundo número, isto é, .5 + 3√ √ 5 − 3√ √
5
=1
+ 3 5
1
+ 3
×
invertemos o sinal
5 − 3
5 − 3√ √ √ √
√ √
√ √
No denominador temos o produto da soma pela diferença. O
seu resultado sempre é o quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do segundo termo.
5
=1
+ 3 5
1
+ 3
×
= 5 − 3
5 − 3
√
= 5 √− 3
2
invertemos o sinal
5 − 3
5 − 3√ √ √ √
√ √
√ √
√ √ √
= 5 − 3
5 √− 32 2
√ √
=63√
62√ 2
@matematica.do.zero 51
7
=1
− 2 7
1
− 2
×
= 7 + 2
7 − 2
√
= 7 √+ 2
5
invertemos o sinal
7 + 2
7 + 2√ √ √ √
√ √
√ √
√ √ √
= 7 + 2
7 √− 22 2
√ √
Se no denominador for uma soma (ou subtração) entre um
número inteiro e uma raiz quadrada fazemos exatamente da
mesma maneira.
2
=1
− 3 2
1
− 3
×
= 2 + 3
4 − 3
= 2 √+ 3
1
invertemos o sinal
+ 3
+ 3√ √
√
√
√
= 2 + 3
√− 32
√2
2 22
= 2 √+ 3
3.º Caso
Quando o denominador não é uma raiz quadrada.
5
7√3
Note que se fizermos não conseguimos
eliminar o radical. 
7√3 × 7√3 = 7√3 2
Nosso objetivo é chegar em algo do tipo √ nn
=a a
Você pode pensar assim: quanto falta para o expoente ficar igual
ao índice? 
7√3 × 7√3 = 7√3 1 +1
A resposta é 2, pois 1 + 2 = 3 e 7√3 × 7√3 = 7√3 31 2 = 7
Logo o fator racionalizante, para a fração inicial é 7√3 2
a
fator 
racionalizantem √n √ n−m n a
De modo geral, temos:
√ 7
= ×
7 7 37
75 7
√ √
√ √
√
7√
√ 5
= ×
5 5 35
51 5
√ √
√ √
√
5√
√ 7
= ×
7 7 57
71 7
√ √
√ √
√
7√
Imagine que em determinada questão você chegou ao resultado
final . Os valores nas alternativas serão algo do tipo:
√
a) √ 2 b)
 
√ 5
2
@matematica.do.zero 52
= =5
7
fator racionalizante
3 33 2
2
3
23 35 235
= =1
5
fator racionalizante
3 33 1
1
3
3 3
2 2
3
= =1
7
fator racionalizante
5 55 2
2
5
5 5
3 3
52 2
Você já deve ter percebido que o fator racionalizante muda
conforme o denominador. 
Essa parte de racionalizar é parecido com o que acontece na
simplificação, somos obrigados a fazer.
5
10
10 c) √ 5 d)2 √ 55
Você pode achar que errou toda a conta e reiniciar, mas na
verdade falta apenas racionalizar. 
√ 5
= ×
5 5
=
25
5 =10 10 5
√ √
√ √
√
fator racionalizante
10
5
5 = 2 5
√ √10
√
Fator Racionalizante
√ √ n−mn
+ 
+ 
−
−
√
√ √
√ √
√ √ √ √
√ √ √ √
mn
+ 
+ 
− 
− 
Fator RacionalizanteDenominador
a
a a
a
a b
a b
a b
a bab
a b
a b
a b
@matematica.do.zero 53
Lista de Questões
1) Calcule as seguintes potências:
4.
a) 5435
2) Aplicando as propriedades das potências, escreva cada
expressão como uma única potência. 
0
( )b)
( )5
7
−2
c)
d) 80,333...
2
3
4
e) 32
3
5
a) 37
b)
c)
d)
e)
3 3−2 34
76 72÷ 7−3÷
[ ]( )52 3 4
( )X 3
X
5
2
a a a102
a4( )a3 5
3) Simplifique cada expressão utilizando as propriedades da
potenciação. 
a)
3 278
812243
b) 8149
1
2 −
1
4
16
1
4
@matematica.do.zero 54
a) 
5) O valor da expressão , para A = 2 e B = −1, é um 
−1
b) 1
c)
d)
e)
a) −2 e 1
b) 1 e 4
4) Sabendo-se que é um número real diferente de zero, é
correto afirmar: 
 X
 X = − X
−1 X = X
−1 X = 1 − X
−1 X = − 1 X
1−1 X = X−
c) 4 e 7
d) 7 e 9
e) 9 e 10
A − B 2 3
A + B B A
número compreendido entre 
6) Os valores de e apresentam entre si uma diferença
igual a 
( )2 32 2 
32
a) 0
b) 64
c) 128
d) 192
e) 256
7) Qual é o resultado da expressão numérica:
3 − ( )37 × 49 − 2
1
3
1
3 × 1
4 − 7
8
@matematica.do.zero 55
a) 
8) Um número real R é tal que 
b)
Qual é o valor de R
9) O valor da expressão numérica
7
3
19
8
c) 
d)
−3
4
13
4
e) 11
6
2
( )−3 2
−2 +
4−2 +
1
3( )−2
+ 04
R =
a) 
b)
−5
6
−2
3
c) 
d)
−1
2
5
6
e) 11
6
0,00003 200 0,0014 
0,05 12000 0,8 
 é igual a: 
a) 
b)
3 2 1,4
5 1,2 8
c) 
103
3 2 1,4
5 1,2 8 100
3 2 1,4
5 1,2 8 10−2
@matematica.do.zero 56
d) 
10) O corpo humano possui cerca de 50 bilhões de células e a
população brasileira é de cerca de 200 milhões de habitantes. A
quantidade de células de toda a população brasileira é cerca de:
e)
A = 0,5 34 − 4 ( )
3 2 1,4
5 1,2 8 10−5
3 2 1,4
5 1,2 8 10−7
a) 10
b) 10
c) 10
d) 10
e) 10
16
17
18
19
20
11) O quociente entre as expressões
2 e B = [ ( )]36√ − 64√ + 2 + 1
vale:
a) 
b)
−1
3
1
3
c) −3
d) 3
e) −9
12) Sejam os números irracionais: 𝒙 = , ,3√ 𝒚 = 6√ 𝒛 = 12√
e . A expressão 𝒚𝒘 − 𝒙𝒛 apresenta como resultado:𝒘 = 24√
a) 6
b) 8
c)
d)
e)
12
3√2
2√3
@matematica.do.zero 57
13) A raiz quadrada de é:
14) Considere as igualdades a seguir, em que a é um número
real maior do que zero e b e c são números inteiros positivos.
I 
√ 1
15) Reduza os radicais a uma expressão na forma com a
e b inteiros. 
a) 
b)
c)
20√
4
12,25√
a) 1,5
b) 2,5
c) 3,5
d) 4,5
e) 5,5
= +−√ a2 a
II - =
-
−b
ca a( )cb
III = √a- b2
b c √ acb
Baseando-se nessas informações, estão incorretas as igualdades:
a) I, apenas
b) I e II, apenas
c) I e III, apenas
d) II e III, apenas
e) I, II e III
+ 45√
63√ − 7√
50√ + 98√ − 72√
, b√a
d) 12√ + 75√ + 108√
16) Qual é a forma reduzida simplificada de cada uma das
frações 
@matematica.do.zero 58
a) 1 − 2 
b) 1 −
c)
a) 28√ + 175√
63√
b) 50√ −
200√
18√
17) Se 𝑝 = 3 + e 𝑞 = 2 − , então 𝑝 𝑞 − 𝑝 é igual a: 2√ 2√
2√
2√
1 + 2√
2√d) 1 + 2 
2√e) 1 + 3 
18) Racionalize o denominador de cada uma das expressões:
a) 
b)
2
1
3 −
c) 
d)
10√
6√
+ 2√3√
− 2√3√
2
2√ 79
19) O número é:100 × + 118√( )
2√ − 1
a) superior a 1.000 e inferior a 1.500
b) superior a 1.500 e inferior a 2.000
c) superior a 2.000 
d) inferior a 500
e) superior a 500 e inferior a 1.000
@matematica.do.zero 59
20) Na igualdade o valor de a − b é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 7
− 5√7√
+ 5√7√ = a + b √ 2
@matematica.do.zero 60
Gabarito
1) a) 1 b) c) d)2 e)8 
5.
16
81
49
25
2) a) 3 b) 7 c) 5 d) e) 10 7 24 X 9 a5
3) a) 9 b) 2 
4) b 
5) b 
6) d 
7) b 
8) a 
9) e 
10) d 
11) c 
12) a 
13) c 
14) b 
15) a) b) c) d) 5 5√ 11 7√ 6 2√ 13 3√
16) a) b) 7
3
1
5
17) a 
18) a) b) c) d) 
5 3
3 +10√ 6√ 6√5 − 2 2√ 29
19) a 
20) a 
( ) ( )52 e) 32
3
5
( )2
3 ( )4
= ( )( )2
3
2
3
2
3
16
81× × =
4 vezes
( )2
3×
= 49
25( )5
7 ( )7
5
2 ( )( )7
5
7
5
−2
× ==
80,333... =
3
98 =
1
38
2
2
2 2
1
8
4
23
3 1
(2 )
1 3
n( )m =
 
m × na a
@matematica.do.zero 61
Questões Comentadas6.
1) Calcule as seguintes potências:
a) 54350 b)
7
−2
c) d) 80,333...
3
4
Resolução:
a) Todo número elevado a zero é igual a 1. Logo, 5435 = 1 0
b) Nessa basta usar a definição: primeiro identificamos quem é a base e
depois repetimos quantas vezes o expoente mandar. 
c) Temos um expoente negativo, portanto invertemos a base e trocamos
o sinal. 
d) Primeiramente precisamos transformar o expoente em uma fração
Agora poderíamos transformar em um radical ou fatorar a base e depois
usar a propriedade 3 da potenciação, farei pela fatoração.
80,333... = 98 = 38 = 3 3 = 32 = 2 =1 2P.3
Propriedade 3
Nas próximas questões, quando for preciso fatorar ou usar alguma
propriedade apenas citarei. Tudo bem?! Vamos em frente.
e) Essa é semelhante a anterior, fatoramos a base e depois usamos a P.3.
3
(2 )
3 15
532 = 5 5 = 52 = 2 =3 8P.3
fatorando
@matematica.do.zero 62
2) Aplicando as propriedades das potências, escreva cada
expressão como uma única potência. 
a) 37 3 3−2 34
b) 76 72÷ 7−3÷
c) [ ]( )52 3 4
d)( )X 3
X
5
2
e)
a a a102
a4( )a3 5
Resolução:
a) Multiplicação de bases iguais P.1: conserva a base e soma os expoentes. 
Lembre-se que, quando não aparece expoente, colocamos 1. 
37 3 3−2 34 =
 
37 + 1 + (−2) + 4 1 
Precisamos fazer a regra de sinal +(−2) = −2
37 3 3−2 34 =
 
37 + 1 + (−2) + 4 1 =
 
37 + 1 − 2 + 4 310=
 
b) Usaremos a P.2: conserva a base e subtrai os expoentes. 
76 72÷ 7−3÷ =
 
76 − 2 − (−3)
=
 
76 − 2 + 3 =
 
77
c) Quando temos potência de potência, usamos a P.3: basta repetir a base
e multiplicar os expoentes.
[ ]( )52 3 4
=
 
52 × 3 × 4 =
 
524
d) Temos uma divisão de base iguais (P.2) e potência de potência (P.3).
Usaremos as duas propriedades.
( )X 3
X
5
2 =
 
=
 
( )X 35−2P.2 ( )X 33 =
 
X 3 × 3P.3 =
 
X 9
e) Nessa usaremos a P.1, P.2 e P.3. Primeiramente a P.3 para eliminarmos
os parênteses. 
a a a102
a4( )a3 5
=
 
P.3
a a a102
a4a3 × 5
=
 
a a a102
a4a15
Agora a P.1.
a a a102
a4( )a3 5
=
 
P.3
a a a102
a4a15
=
 
a2 + 1 + 10
a15 + 4
P.1
=
 
a13
a19
Por fim, a P.2.
a a a102
a4( )a3 5
=
 
P.3
a a a102
a4a15
=
 
P.1
a13
a19
=
 
P.2 a19 − 13 =
 
a5
4
@matematica.do.zero 63
Resolução:
a) Você já deve ter percebido que o primeiro passo é fatorar os números e
deixar a base sendo um número primo. Nessa questão, quando fatoramos o
número 243, encontramos a fatoração dos números 81 e 27 também. 
b) Fatorando os números encontramos: 49 = 7 , 81 = 3 e 16 = 2 . Daí,
P.3
3) Simplifique cada expressão utilizando as propriedades da
potenciação. 
a)
3 278
812243 b) 8149
1
2 −
1
4
16
1
4
3
3
3 3
1
27
9
35
3
3
243
81
35243 = 
3481 =
3327 =
Substituindo os valores temos:
3 278
812243 =
 
3 38
3 235 4( )
3
Para retirar os parênteses, usamos a P.3. Depois a P.1 e no final a P.2. 
3 278
812243 =
 
3 38
3 235 4( )
3 =
 
3 38
3 35 8
3
P.1=
 
311
313
P.2=
 
32
8149
1
2 −
1
4
16
1
4
2 4 4
=
 
1
2 −
1
4
1
4( )2 4
( )7 2 ( )3 4
=
 
2
2 −
4
4
4
2 
7 3 =
 
−7 3 
2 
=
 
4
2 =
 
2 
P.3
√ana
m n m=
Quem está no vai para e
quem está na vai para o
SOL 
SOL SOMBRA
SOMBRA
49
1
2 = √492 1 = √49= 7
81 = √814 1 = √81 = 34
1
4
16 = √164 1 = √16 = 24
1
4
Quando temos expoentes fracionários, é possível resolver utilizando a
propriedades 6 (macete do sol) da radiciação. 
8149
1
2 −
1
4
16
1
4
=
 
−7 3 
2 
=
 
4
2 =
 
2 
=
 
9
@matematica.do.zero 64
Resolução:
Nessa questão usaremos dois casos particulares da potenciação:
expoente negativo e expoente igual a 1.
a) −1
b) 1
4) Sabendo-se que é um número real diferente de zero, é
correto afirmar: 
 X
 X = − X
−1 X = X
c)
d)
e)−1 X = 1 − X
−1 X = − 1 X
1−1 X = X−
a a1 =a−n = 1
an
1−1 X = X1
1= X
Logo, 1−1 X = X
Gabarito: letra b
5) O valor da expressão , para A = 2 e B = −1, é um 
a) −2 e 1 b) 1 e 4 c) 4 e 7 d) 7 e 9 e) 9 e 10
A − B 2 3
A + B B A
número compreendido entre:
Resolução:
Substituindo na expressão os valores de A = 2 e B = −1, temos:
=A − B 2 3
A + B B A
2 − 2
2 + −1
( )−1 3
( )−1 2 =
No numerador temos base negativa com expoente ímpar = −1( )−1 3
( )−1 2No denominador temos base negativa com expoente par = +1
=A − B 2 3
A + B B A
2 − 2
2 + −1
( )−1 3
( )−1 2 = 4 − 
+
( )−1
( )+1
=1
2
4 + 1
+ 1
=1
2
5
3
2
= 10
3 = 3,333...
Expoente
 negativo
Regra de 
sinais
Soma de
frações
Divisão de
 frações
Encontramos o valor 3,333...
Portanto, está entre 1 e 4
Gabarito: letra b
@matematica.do.zero 65
6) Os valores de e apresentam entre si uma diferença
igual a: 
( )2 32 2 
32
a) 0 b) 64 c) 128 d) 192 e) 256
Essa questão é ótima, porque, embora os números são bem parecidos, o
resultado é totalmente diferente.
Resolução:
Só podemos usar a P.3 quando a base estiver entre parênteses.
n( )ma a
nm
( ) = 22 3 2 × 3
6= 2 
= 64
 2 = 2 23 2 × 2 × 2
= 2 8
= 256
Aqui a base é 
Podemos usar 
a propriedade
Aqui a base é 
Não Podemos usar
a propriedade
2
2
22
Por fim, calculamos a diferença entre esses dois valores:
256 − 64 = 192 
Gabarito: letra d
7) Qual é o resultado da expressão numérica:
3 − ( )37 × 49 − 2
1
3
1
3 × 1
4 − 7
8
a) b)7
3
19
8 c) d)−3
4
13
4
e) 11
6
Estamos diante de uma Expressão Numérica, assunto que vimos no 
 e-book . Vamos ver um resuminho para relembrarmos a ordem.
Resolução:
PARÊNTESES POTENCIAÇÃO E
RADICIAÇÃO
MULTIPLICAÇÃO E
DIVISÃO
ADIÇÃO E 
SUBTRAÇÃO
1.º 2.º 3.º 4.º
e-book 1
3 − ( )37 × 49 − 2
1
3
1
3 × 1
4 − 7
8
Questão bem complicada, né!? Vou resolver passo a passo colocando ao
lado todas as ações que foram tomadas. 
@matematica.do.zero 66
3 − ( )37 × 49 − 2
1
3
1
3 × 1
4 − 7
8
3 − ( )7 × − 8
1
3
1
3 × 1
4 − 7
8
3 − ( )7 × 7 − 8
1
3
2
3 × 1
4 − 7
8
( )7 2n( )m =
 
m × na a
Propriedade 3
3 − ( )7 − 8
1
3
2
3 × 1
4 − 7
8
+
3 − ( )7 − 8
3
3 × 1
4 − 7
8
3 − ( )7 − 8 × 1
4 − 7
8
3 − ( )− 1 × 1
4 − 7
8
3 + 1 × 1
4 − 7
8
3 + 1
4 − 7
8
24 + 2 − 7
8
19
8
Fatorando
Propriedade 1
a a = an × m n + m
a a1 =
 ( a) a− − = +
1 a a=×
soma e subtração 
entre frações
Resolvendo
Gabarito: letra b
8) Um número real R é tal que 
Qual é o valor de R
2
( )−3 2
−2 +
4−2 +
1
3( )−2
+ 04
R =
a) b)−5
6
−2
3 c) d)−1
2
5
6
e) 11
6
Existem vários caminhos para chegar ao resultado final, você poderia
resolver primeiro o numerador depois o denominador. Faremos os dois ao
mesmo tempo.
Resolução:
Primeiro vamos encontrar o resultado de cada potência e depois
substituiremos os valores em seus respectivos lugares.
@matematica.do.zero 67
Gabarito: letra a
Deixando todos os números em notação científica, temos:
Resolução:
2
( )−3 2
−2 +
4−2 +
1
3( )−2
+ 04
R =
Usaremos basicamente três casos:
( )−n
= ( )a
n
b
a b a 0 = 1(−a) −a2 2
≠
2
( )−3 2
−2 =
− 16 + 9 + 1 
04− 4
4−2 = − 16
= + 9 ( )=( )1
3 ( )3
1
9
1
−2 2
= = 9
= 1
Desse modo,
2
( )−3 2
−2 +
4−2 +
1
3( )−2
+ 04
R = =
− 4 + 9
− 6
= 5
6
= − 5
9) O valor da expressão numérica é igual a: 0,00003 200 0,0014 
0,05 12000 0,8 
a) 3 2 1,4
5 1,2 8 103
b) 3 2 1,4
5 1,2 8 100
c) 3 2 1,4
5 1,2 8 10−2
d) 3 2 1,4
5 1,2 8 10−5
e) 3 2 1,4
5 1,2 8 10−7
a 10 n 1 ≤ a