Teoria dos Grafos AYKGPMG

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- B) \( x^4 \sin(x) - 4 \int x^3 \sin(x) \, dx \) 
 - C) \( x^4 \sin(x) + 4 \int x^3 \cos(x) \, dx \) 
 - D) \( x^4 \sin(x) - 4 \int x^3 \cos(x) \, dx \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação**: Usamos integração por partes: 
 \[ 
 \int u \, dv = uv - \int v \, du. 
 \] 
 
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72. **Problema 72**: Qual é a integral \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \)? 
 - A) \( \frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{2} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{6} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C \) 
 - D) \( \frac{1}{2} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = e^{3x} \), temos \( du = 3e^{3x}dx \) ou \( dx 
= \frac{du}{3u} \): 
 \[ 
 \int \sin(2u) \frac{1}{3u} \, du = \frac{1}{3} \cos(2u) + C = \frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + 
C. 
 \] 
 
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73. **Problema 73**: Determine a integral \( \int (4x^2 - 5x + 2) \, dx \). 
 - A) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
 - B) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2 + C \) 
 - C) \( \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x + 2 + C \) 
 - D) \( 4x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação**: A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (4x^2 - 5x + 2) \, dx = \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C. 
 \] 
 
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74. **Problema 74**: Calcule a integral \( \int (x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{4}x^4 - x^2 + x + C \) 
 - B) \( \frac{1}{4}x^4 - x + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + C \) 
 - D) \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{2}x + C \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação**: A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (x^3 - 2x + 1) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + x + C. 
 \] 
 
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75. **Problema 75**: Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x^2 + 1) \)? 
 - A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 - D) \( \frac{1}{2(x^2 + 1)} \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{1+(x^2 + 1)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}. 
 \] 
 
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76. **Problema 76**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 **Resposta: B)** 
 **Explicação**: Usando a definição da derivada de \( e^{x} \) em \( x = 0 \): 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1. 
 \] 
 
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77. **Problema 77**: Determine a integral \( \int (3x^2 + 4x + 5) \, dx \). 
 - A) \( x^3 + 2x^2 + 5x + C \) 
 - B) \( x^3 + 2x^2 + 5 + C \) 
 - C) \( x^3 + 4x^2 + 5 + C \) 
 - D) \( 3x^3 + 4x + 5 + C \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação**: A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (3x^2 + 4x + 5) \, dx = x^3 + 2x^2 + 5x + C. 
 \] 
 
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78. **Problema 78**: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 - A) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 - B) \( -\frac{1}{4x^4} + C \)