Matemática Discreta BLKFUM

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c) \( 5e^{i\frac{4\pi}{3}} \) 
 d) \( 5e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 Resposta: a) \( 5e^{i\frac{4\pi}{3}} \) 
 Explicação: O módulo é \( r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) e o argumento é \( \tan^{-
1}(\frac{4}{3}) \). 
 
32. Se \( z = 2 - 2i \), qual é o valor de \( z - \overline{z} \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( -4i \) 
 c) \( 4i \) 
 d) \( 2 \) 
 Resposta: c) \( 4i \) 
 Explicação: O conjugado de \( z \) é \( \overline{z} = 2 + 2i \). Portanto, \( z - \overline{z} = 
(2 - 2i) - (2 + 2i) = -4i \). 
 
33. Qual é o valor de \( z^2 + 2z + 1 = 0 \)? 
 a) \( -1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 2 \) 
 Resposta: b) \( 0 \) 
 Explicação: A equação é um quadrado perfeito, \( (z + 1)^2 = 0 \), então \( z = -1 \). 
 
34. Qual é o valor de \( z^3 \) se \( z = 1 + i \)? 
 a) \( 1 + 3i \) 
 b) \( -2 + 2i \) 
 c) \( 2 + 2i \) 
 d) \( 0 \) 
 Resposta: b) \( -2 + 2i \) 
 Explicação: Calculando \( z^3 = (1 + i)^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i \). 
 
35. Determine o valor de \( z \) se \( z^2 + 1 = 0 \). 
 a) \( i \) e \( -i \) 
 b) \( 1 \) e \( -1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 2 \) 
 Resposta: a) \( i \) e \( -i \) 
 Explicação: A equação pode ser reescrita como \( z^2 = -1 \), resultando nas raízes \( z = i 
\) e \( z = -i \). 
 
36. Se \( z = 4 + 3i \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 a) \( 7 + 24i \) 
 b) \( 16 + 24i - 9 \) 
 c) \( 25 + 24i \) 
 d) \( 25 - 24i \) 
 Resposta: c) \( 25 + 24i \) 
 Explicação: Calculando \( z^2 = (4 + 3i)^2 = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i \). 
 
37. Qual é a forma retangular do número complexo \( 2 \text{cis}(\frac{\pi}{2}) \)? 
 a) \( 0 + 2i \) 
 b) \( 2 + 0i \) 
 c) \( 2 + 2i \) 
 d) \( 0 + 0i \) 
 Resposta: a) \( 0 + 2i \) 
 Explicação: A forma polar \( r \text{cis}(\theta) \) é convertida para a forma retangular 
usando \( r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \). Portanto, \( 2(\cos(\frac{\pi}{2}) + 
i\sin(\frac{\pi}{2})) = 2(0 + i) = 0 + 2i \). 
 
38. Se \( z = 1 + 2i \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 a) \( -3 + 4i \) 
 b) \( -2 + 4i \) 
 c) \( 1 + 4i \) 
 d) \( -3 - 4i \) 
 Resposta: a) \( -3 + 4i \) 
 Explicação: Calculando \( z^2 = (1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i \). 
 
39. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 - 3z + 2 = 0 \)? 
 a) \( 3 \) 
 b) \( -3 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( -2 \) 
 Resposta: a) \( 3 \) 
 Explicação: A soma das raízes de uma equação quadrática é dada por \( -\frac{b}{a} \). 
Aqui, \( b = -3 \) e \( a = 1 \), então a soma é \( 3 \). 
 
40. Se \( z = 2 + 2i \), qual é o valor de \( \overline{z}^2 \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 8 \) 
 c) \( 4 - 8i \) 
 d) \( 8 + 0i \) 
 Resposta: b) \( 8 \) 
 Explicação: O conjugado é \( \overline{z} = 2 - 2i \). Portanto, \( \overline{z}^2 = (2 - 2i)^2 = 
4 - 8i + 4 = 8 \). 
 
41. Determine o valor de \( z \) se \( z^2 + 1 = 0 \). 
 a) \( i \) e \( -i \) 
 b) \( 1 \) e \( -1 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 2 \) 
 Resposta: a) \( i \) e \( -i \) 
 Explicação: A equação pode ser reescrita como \( z^2 = -1 \), resultando nas raízes \( z = i 
\) e \( z = -i \). 
 
42. Se \( z = 1 - i \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 a) \( 1 - 2i \) 
 b) \( 1 + 2i \)