Integral de Superficie

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Exercícios
1. Calcule a integral de superfície.
(a)
∫∫
S
(x+y+z) dS, S é o paralelogramo com equações paramétricas x = u+v, y = u−v,
z = 1 + 2u+ v, 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1. GAB: 11
√
14
(b)
∫∫
S
(x2+y2) dS, S é a superfície com equação vetorial r(u, v) = (2uv, u2−v2, u2+v2),
u2 + v2 ≤ 1 GAB:
√
2π
(c)
∫∫
S
x2z2 dS, S é a parte do cone z2 = x2 + y2 que está entre os planos z = 1 e z = 3.
GAB:
364
√
2
3
π
(d)
∫∫
S
(x2z + y2z) dS, S é o hemisfério da esfera x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0. GAB: 16π
(e)
∫∫
S
xz dS, S é a região delimitada pelo cilindro y2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0 e
x+ y = 5. GAB: 0
2. Calcule
∫∫
S
F dS para o campo vetorial F e a superfície orientada S. Para superfícies
fechadas, use a orientação positiva (vetor normal apontando para o exterior da superfície).
(a) F(x, y, z) = xi−zj+yk, S é a esfera x2+y2+z2 = 4 no primeiro octante, com orientação
positiva. GAB:
4
3
π
(b) F(x, y, z) = yj − zk, S é formada pelo paraboloide y = x2 + z2 0 ≤ y ≤ 1, e pelo disco
x2 + z2 ≤ 1, y = 1. GAB: 0
(c) F(x, y, z) = xi + 2yj + 3zk, S é o cubo com vértives (±1, ±1, ±1). GAB: 48
(d) F(x, y, z) = xi + yj + 5k, S é o limite da região delimitada pelo cilindro x2 + z2 = 1 e
pelos planos y = 0 e x+ y = 2. GAB: 4π
1