Apostila Calculo1 com Exercicios_pag33

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<p>29</p><p>lim</p><p>v→π/3</p><p>1− 2 cos(v)</p><p>sen(v − π/3)</p><p>= lim</p><p>t→0</p><p>1− 2 cos(t+ π/3)</p><p>sen(t)</p><p>= lim</p><p>t→0</p><p>(1− 2 cos(t+ π/3))′</p><p>(sen(t))′</p><p>=</p><p>lim</p><p>t→0</p><p>2 sen(t+ π/3)</p><p>cos(t)</p><p>=</p><p>2</p><p>√</p><p>3/2</p><p>1</p><p>=</p><p>√</p><p>3</p><p>Obs: Usamos a substituição v = t+ π/3</p><p>(g) lim</p><p>z→1</p><p>(1−z) tg</p><p>(πz</p><p>2</p><p>)</p><p>= lim</p><p>u→0</p><p>(1−(u+1)) tg</p><p>(</p><p>π(u+ 1)</p><p>2</p><p>)</p><p>= lim</p><p>u→0</p><p>−u sen(πu/2 + π/2)</p><p>cos(πu/2 + π/2)</p><p>=</p><p>lim</p><p>u→0</p><p>−u sen(πu/2) cos(π/2) + sen(π/2) cos(πu/2)</p><p>cos(πu/2) cos(π/2)− sen(π/2) sen(πu/2)</p><p>= lim</p><p>u→0</p><p>−u cos(πu/2)</p><p>− sen(πu/2)</p><p>=</p><p>lim</p><p>u→0</p><p>(</p><p>cos</p><p>(πu</p><p>2</p><p>) 2</p><p>π</p><p>πu/2</p><p>sen(πu/2)</p><p>)</p><p>=</p><p>2</p><p>π</p><p>Obs: Usamos a substituição (1− z) = u.</p><p>(h) lim</p><p>x→0</p><p>2 arcsen(x)</p><p>3x</p><p>= lim</p><p>u→0</p><p>2u</p><p>3 sen(u)</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>Obs: Usamos a substituição u = arcsen(x). Note que é possível fazer tal</p><p>substituição, pois arcsen(x) é uma função contínua e estritamente crescente na</p><p>vizinhança de x = 0.</p><p>(i) lim</p><p>x→0</p><p>tg(x)− sen(x)</p><p>x3</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>sen(x)</p><p>x</p><p>1− cos(x)</p><p>x2 cos(x)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>sen(x)</p><p>x</p><p>(1− cos(x))(1 + cos(x))</p><p>x2 cos(x)(1 + cos(x))</p><p>=</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>(</p><p>sen(x)</p><p>x</p><p>)3</p><p>1</p><p>cos(x)(1 + cos(x))</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(j) lim</p><p>x→0</p><p>sen(a+ x)− sen(a− x)</p><p>x</p><p>=</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>sen(a) cos(x) + sen(x) cos(a)− (sen(a) cos(x)− sen(x) cos(a))</p><p>x</p><p>=</p><p>2 sen(x) cos(a)</p><p>x</p><p>= 2 cos(a)</p><p>6. Cálcule os limites sabendo que:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>x</p><p>)x</p><p>= e</p><p>(a) lim</p><p>x→0</p><p>sen(x)</p><p>tg(x)</p><p>= lim</p><p>x→0</p><p>cos(x) = 1</p>