Apostila Calculo1 com Exercicios_pag26

Prévia do material em texto

<p>22</p><p>10. Tente calcular as seguintes integrais sem resolvê-las por métodos usuais de integração</p><p>mas buscando o resultado pela simetria e pelo desenho geométrico que as funções</p><p>representam.</p><p>(a)</p><p>1∫</p><p>−1</p><p>x3</p><p>√</p><p>1− x2 dx</p><p>(b)</p><p>1∫</p><p>−1</p><p>(x5 + 3)</p><p>√</p><p>1− x2 dx</p><p>11. Mostre que</p><p>x∫</p><p>0</p><p>sen t</p><p>t+ 1</p><p>dt > 0</p><p>para todo x > 0. Tente separar em intervalos (0, π/2], [π/2, π] e assim por diante.</p><p>1.4.3 Integrais Impróprias</p><p>1. Sabe-se que as funções y = e−x</p><p>4</p><p>e y =</p><p>sen(x)</p><p>x</p><p>não possuem primitivas elementares.</p><p>Independentemente desse fato, as integrais impróprias:</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−x</p><p>4</p><p>dx e</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>sen(x)</p><p>x</p><p>dx</p><p>são convergentes. Mostre isso!</p><p>2. A função Gamma de Euler (no caso real) é assim de�nida:</p><p>Γ : (0,∞)→ R</p><p>Γ(x) =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t tx−1 dt</p><p>(a) Mostre que a integral converge.</p><p>(b) Mostre que Γ(x+1) = xΓ(x) e conclua que Γ(n) = (n+1)! para todo n natural.</p><p>(c) Faça a substituição u = tx e conclua que:</p><p>Γ(1/2) = 2</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−x</p><p>2</p><p>dx</p><p>Sabendo que</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−x</p><p>2</p><p>dx =</p><p>√</p><p>π</p><p>2</p><p>, conclua que Γ(1/2) =</p><p>√</p><p>π</p><p>3. Seja k > 1. Considere as seguintes integrais:</p><p>(I)</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>√</p><p>x ln(x) dx</p>