Vamos analisar as alternativas uma a uma para encontrar a correta. 1. Alternativa a): A função \( f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 4x + 1}{x^3 - x^2 - x + 1} \) é uma função racional própria. Para ser uma função racional própria, o grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador. O grau do numerador é 4 e o do denominador é 3, portanto, essa alternativa é falsa. 2. Alternativa b): A função \( f(x) \) é uma função racional imprópria e a decomposição apresentada não parece correta. Como já vimos, o numerador tem grau maior que o denominador, então essa alternativa é falsa. 3. Alternativa c): A integral apresentada não parece estar correta. A integral de uma função racional pode ser complexa, mas a expressão dada não parece ser a solução correta. Portanto, essa alternativa é falsa. 4. Alternativa d): A integral apresentada também não parece estar correta. A expressão não se alinha com a forma esperada para a integral de uma função racional. Portanto, essa alternativa é falsa. 5. Alternativa e): A integral apresentada não parece estar correta. A expressão não se alinha com a forma esperada para a integral de uma função racional. Portanto, essa alternativa é falsa. Agora, vamos analisar a segunda parte da pergunta sobre as integrais: 1. Alternativa a): \( \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + C \). Essa alternativa é falsa. 2. Alternativa b): \( \int -\cos x \, dx = -\sin x + C \). Essa alternativa é falsa. 3. Alternativa c): \( \int t^3 \cos(t^4 + 2) dt \) não está correta, pois a integral não é simplesmente \( \frac{1}{4} \cos(t^4 + 2) + C \). Essa alternativa é falsa. 4. Alternativa d): \( \int 10(x^3 + 1) dx = 10 \left( \frac{x^4}{4} + x \right) + C = \frac{10}{4} x^4 + 10x + C \). Essa alternativa é falsa. 5. Alternativa e): \( \int \frac{1}{-1} x^2 dx = -\frac{1}{3} x^3 + C \). Essa alternativa é falsa. Após analisar todas as alternativas, parece que todas estão incorretas. Você precisa criar uma nova pergunta.