teste com gabarito hbx

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<p>d) A presença de números complexos.</p><p>**Resposta:** a) A presença de um vetor nulo e a adição de vetores.</p><p>**Explicação:** Um espaço vetorial deve conter um vetor nulo e deve permitir a adição</p><p>e multiplicação de vetores por escalares.</p><p>54. **Problema:** O que é uma série convergente?</p><p>a) Uma série que diverge.</p><p>b) Uma série cujos termos não se aproximam de um limite.</p><p>c) Uma série cujos termos se aproximam de um limite finito.</p><p>d) Uma série que é sempre crescente.</p><p>**Resposta:** c) Uma série cujos termos se aproximam de um limite finito.</p><p>**Explicação:** Uma série convergente possui uma soma que se estabelece em um</p><p>número específico à medida que mais termos são adicionados.</p><p>55. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2}{x^3 + 5} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) 5</p><p>**Resposta:** b) 3</p><p>**Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \), temos:</p><p>\( \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x^3}}{1 + \frac{5}{x^3}} = \frac{3 + 0}{1 + 0} = 3 \).</p><p>56. **Problema:** O que caracteriza uma função par?</p><p>a) \( f(-x) = f(x) \) para todo \( x \).</p><p>b) \( f(-x) = -f(x) \) para todo \( x \).</p><p>c) \( f(x) > 0 \) para todo \( x \).</p><p>d) \( f(x) \) é uma função constante.</p><p>**Resposta:** a) \( f(-x) = f(x) \) para todo \( x \).</p><p>**Explicação:** Funções pares são simétricas em relação ao eixo y, ou seja, seu gráfico</p><p>é idêntico em ambos os lados do eixo y.</p><p>57. **Problema:** Calcule a integral \( \int x^5 \, dx \).</p><p>a) \( \frac{1}{5}x^6 + C \)</p><p>b) \( \frac{1}{6}x^6 + C \)</p><p>c) \( \frac{1}{4}x^6 + C \)</p><p>d) \( \frac{1}{3}x^6 + C \)</p><p>**Resposta:** b) \( \frac{1}{6}x^6 + C \)</p><p>**Explicação:** A primitiva de \( x^n \) é \( \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \). Assim, \( \int x^5 \,</p><p>dx = \frac{1}{6}x^6 + C \).</p><p>58. **Problema:** O que é a integral definida de uma função?</p><p>a) A área sob o gráfico da função em um intervalo.</p><p>b) O valor da função em um ponto.</p><p>c) A soma de todos os valores da função.</p><p>d) O valor máximo da função.</p><p>**Resposta:** a) A área sob o gráfico da função em um intervalo.</p><p>**Explicação:** A integral definida representa a soma contínua dos valores da função</p><p>entre dois limites, interpretada como a área sob o gráfico da função.</p><p>59. **Problema:** Determine o valor da integral \( \int_0^1 (6x) \, dx \).</p><p>a) 0.5</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) 2</p><p>**Resposta:** c) 3</p><p>**Explicação:** A primitiva de \( 6x \) é \( 3x^2 \). Avaliando de 0 a 1, temos:</p><p>\( [3(1^2) - 3(0^2)] = 3 - 0 = 3 \).</p><p>60. **Problema:** O que é um método de bisseção?</p><p>a) Um método para integrar funções.</p><p>b) Um método para resolver equações não lineares.</p><p>c) Um método para resolver sistemas de equações.</p><p>d) Um método para calcular determinantes.</p><p>**Resposta:** b) Um método para resolver equações não lineares.</p><p>**Explicação:** O método de bisseção é uma técnica numérica que busca as raízes de</p><p>funções continuas, dividindo repetidamente um intervalo ao meio.</p><p>61. **Problema:** Calcule a integral \( \int (3x^2 + 2) \, dx \).</p><p>a) \( x^3 + 2x + C \)</p><p>b) \( 3x^3 + 2x + C \)</p><p>c) \( \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \)</p><p>d) \( 3x^3 + C \)</p><p>**Resposta:** a) \( x^3 + 2x + C \)</p><p>**Explicação:** A primitiva de \( 3x^2 \) é \( x^3 \) e a primitiva de \( 2 \) é \( 2x \).</p><p>Portanto, \( \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x + C \).</p><p>62. **Problema:** O que é uma função contínua em um intervalo fechado?</p><p>a) Uma função que tem descontinuidades.</p><p>b) Uma função que não apresenta quebras ou saltos no intervalo.</p><p>c) Uma função que é sempre constante.</p><p>d) Uma função que é sempre decrescente.</p><p>**Resposta:** b) Uma função que não apresenta quebras ou saltos no intervalo.</p><p>**Explicação:** Uma função é contínua em um intervalo fechado se não existem</p><p>descontinuidades nesse intervalo.</p><p>63. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta:** b) 1</p><p>**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} =</p><p>\frac{0}{1} = 0 \).</p><p>64. **Problema:** O que é um espaço topológico?</p><p>a) Um espaço que não tem limites.</p><p>b) Um conjunto de pontos com uma noção de proximidade.</p><p>c) Um conjunto de números reais.</p><p>d) Um conjunto de funções.</p><p>**Resposta:** b) Um conjunto de pontos com uma noção de proximidade.</p><p>**Explicação:** Um espaço topológico é uma estrutura matemática que permite definir</p><p>conceitos de continuidade, limites e convergência.</p><p>65. **Problema:** Calcule a integral \( \int_0^3 (2x^3 - 4x^2 + 1) \, dx \).</p><p>a) 6</p><p>b) 3</p><p>c) 9</p><p>d) 12</p><p>**Resposta:** a) 6</p><p>**Explicação:** A primitiva é \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x \). Avaliando de 0 a 3,</p><p>obtemos \( \left[ \frac{1}{2}(3^4) - \frac{4}{3}(3^3) + 3 \right] - 0 = \frac{81}{2} - 36 + 3 =</p><p>\frac{81}{2} - \frac{72}{2} + \frac{6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \).</p><p>66. **Problema:** O que é um número complexo?</p><p>a) Um número que não pode ser escrito na forma \( a + bi \), onde \( a \) e \( b \) são</p><p>números reais.</p><p>b) Um número que pode ser escrito na forma \( a + bi \), onde \( a \) e \( b \) são números</p><p>reais.</p><p>c) Um número que é sempre positivo.</p><p>d) Um número que é sempre negativo.</p><p>**Resposta:** b) Um número que pode ser escrito na forma \( a + bi \), onde \( a \) e \( b</p><p>\) são números reais.</p><p>**Explicação:** Números complexos são fundamentais em várias áreas da matemática</p><p>e são usados para resolver equações que não possuem soluções reais.</p><p>67. **Problema:** O que é a regra de L'Hôpital?</p><p>a) Uma técnica para calcular integrais.</p><p>b) Uma técnica para resolver limites que resultam em indeterminações.</p><p>c) Uma técnica para resolver equações diferenciais.</p>