EM_MATEMÁTICA_3Ano_ESTUDANTE FINALIZADO

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<p>VOLUME 1</p><p>Língua Portuguesa</p><p>MATERIAL DE</p><p>APOIO PEDAGÓGICO</p><p>PARA APRENDIZAGENS</p><p>MATERIAL DE</p><p>APOIO PEDAGÓGICO</p><p>PARA APRENDIZAGENS</p><p>2024</p><p>3º Ano3º Ano</p><p>Ensino MédioMatemática</p><p>e suas Tecnologias</p><p>Estudante - 3º Bimestre</p><p>GOVERNO DO ESTADO DE MINAS GERAIS</p><p>SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS</p><p>ESCOLA DE FORMAÇÃO E DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL DE EDUCADORES</p><p>2</p><p>Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores</p><p>Av. Amazonas, 5855 - Gameleira, Belo Horizonte - MG</p><p>30510-000</p><p>Governador do Estado de Minas Gerais</p><p>Romeu Zema Neto</p><p>Secretário de Estado de Educação</p><p>Igor de Alvarenga Oliveira Icassatti Rojas</p><p>Secretária Adjunta</p><p>Geniana Guimarães Faria</p><p>Subsecretaria de Desenvolvimento da Educação Básica</p><p>Kellen Silva Senra</p><p>Superintendente da Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de</p><p>Educadores</p><p>Weynner Lopes Rodrigues</p><p>Diretora da Coordenadoria de Ensino da EFE</p><p>Janeth Cilene Betônico da Silva</p><p>Produção de Conteúdo</p><p>Professores Formadores da Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de</p><p>Educadores</p><p>Revisão</p><p>Equipe Pedagógica e Professores Formadores da Escola de Formação e Desenvolvimento</p><p>Profissional de Educadores</p><p>3</p><p>Convidamos você a conhecer e utilizar os Cadernos MAPA. Esse material foi elaborado com todo</p><p>carinho para que você possa realizar atividades interessantes e desafiadoras na sala de aula ou em</p><p>casa. As atividades propostas estimulam as competências como: organização, empatia, foco, inte-</p><p>resse artístico, imaginação criativa, entre outras, para que possa seguir aprendendo e atuando como</p><p>estudante protagonista. Significa proporcionar uma base sólida para que você mobilize, articule e</p><p>coloque em prática conhecimentos, valores, atitudes e habilidades importantes na relação com os</p><p>outros e consigo mesmo(a) para o enfrentamento de desafios, de maneira criativa e construtiva.</p><p>Ficou curioso(a) para saber que convite é esse que estamos fazendo para você? Então não perca</p><p>tempo e comece agora mesmo a realizar essa aventura pedagógica pelas atividades.</p><p>Bons estudos!</p><p>Olá, estudante!</p><p>4</p><p>SUMÁRIO</p><p>MATEMÁTICA .......................................................................................................5</p><p>TEMA DE ESTUDO: Geometria Analítica da Reta e da Circunferência. .......................5</p><p>TEMA DE ESTUDO: Trigonometria. ...................................................................... 16</p><p>TEMA DE ESTUDO: Fractais. ............................................................................... 25</p><p>REFERÊNCIAS .................................................................................................... 33</p><p>5</p><p>MATERIAL DE APOIO PEDAGÓGICO PARA APRENDIZAGENS - MAPA</p><p>ANO DE ESCOLARIDADE</p><p>3º Ano</p><p>ÁREA DE CONHECIMENTO</p><p>Matemática e suas Tecnologias</p><p>COMPONENTE CURRICULAR</p><p>Matemática</p><p>REFERÊNCIA</p><p>Ensino Médio</p><p>ANO LETIVO</p><p>2024</p><p>Geometria Analítica da Reta e da Circunferência.</p><p>TEMA DE ESTUDO:</p><p>O sistema de Coordenadas no plano cartesiano, também chamado de espaço cartesiano, é um es-</p><p>quema reticulado necessário para especificar pontos em um determinado "espaço" com dimensões.</p><p>O plano cartesiano é composto por infinitos pontos. As coordenadas de cada ponto são representa-</p><p>das por um par ordenado.</p><p>Plano Cartesiano</p><p>A abscissa é a coordenada horizontal de um referencial plano de coordenadas cartesianas. Repre-</p><p>sentando esse referencial sob a forma de um gráfico, obtemos a abscissa (x) medindo a distância</p><p>do ponto observado ao eixo das ordenadas (y), perpendicular ao eixo das abcissas.</p><p>É representada pela incógnita x num gráfico tipo (x, y), o que significa que representa o objeto so-</p><p>bre o qual a função opera, convertendo-o na sua imagem (y). Todo ponto que pertença à bissetriz</p><p>dos quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes) apresenta ordenada igual à abcissa (y=x). Todo ponto</p><p>que pertença à bissetriz dos quadrantes pares (2° e 4° quadrantes) apresenta ordenada igual ao</p><p>simétrico da abscissa (y=-x).</p><p>A ordenada é a coordenada vertical de um ponto num referencial plano de coordenadas cartesia-</p><p>nas. Representando este referencial sob a forma de um gráfico, obtemos a ordenada (y) medindo</p><p>a distância do ponto observado ao eixo das abscissas (x), paralelamente ao eixo das ordenadas.</p><p>Distância entre dois pontos</p><p>A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento que une estes dois</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>W</p><p>ik</p><p>ip</p><p>éd</p><p>ia</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>6</p><p>pontos.</p><p>Fórmula da distância entre dois pontos A(xA,yA) e (xB, yB) quaisquer:</p><p>Coordenadas do ponto médio</p><p>Ponto médio é o ponto que divide um segmento em duas partes da mesma medida. Sendo M(xM,YM)</p><p>o ponto médio de um segmento , suas coordenadas são as médias aritméticas das abscissas e</p><p>ordenadas.</p><p>e</p><p>Condição de alinhamento de três pontos</p><p>Dados os pontos: A(xA,yA) , (xB, yB) e (xc, yc) .</p><p>Estes três pontos estão alinhados se o determinante da seguinte matriz for igual a zero.</p><p>Coeficiente angular de uma reta</p><p>O coeficiente angular m de um Inclinação da reta</p><p>Para obter o coeficiente angular a partir de dois pontos:</p><p>Se m > 0 a reta é ascendente, caso contrário, se m</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>9</p><p>Condição de alinhamento de três pontos</p><p>Eliminando x1y1 (simétricos), vem:</p><p>Escrevendo na forma matricial, temos a condição de alinhamento de P1, P e P2:</p><p>Exemplo: Verifique que os pontos (– 2, – 1), (2,2) e (6,5) estão alinhados.</p><p>RETAS</p><p>A condição de alinhamento de três pontos é dada pelo cálculo da condição.</p><p>Onde com as linhas das duas primeiras colunas representando as coordenadas dos pontos. No caso,</p><p>o ponto P(x,y) é genérico, isto é, na reta que contém P1 e P2 há infinitos pontos P´s. Como dois pon-</p><p>tos já são suficientes para determinar uma reta. Este mesmo determinante representa uma forma</p><p>direta de encontrar uma reta que passa por dois pontos dados.</p><p>Exemplo. Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (2,1) e (3,-1).</p><p>Solução. Seja P(x,y) o ponto genérico desta mesma reta. Então esses pontos estão alinhados.</p><p>Por questão de praticidade escrevemos o ponto genérico na 1ª linha do determinante. Resolve-se</p><p>por qualquer método e temos:</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>10</p><p>Exemplo de condição de alinhamento de três pontos</p><p>OBS: Note que é possível fazer a verificação substituindo as coordenadas dos pontos dados na</p><p>equação e encontrando o valor zero.</p><p>Essa é chamada equação geral da reta: ax + by + c = 0.</p><p>Coeficiente angular e linear da reta. Na figura a seguir há um ângulo indicado que a reta faz</p><p>com a horizontal. A razão entre as distâncias entre as ordenadas e as abscissas é a tangente deste</p><p>ângulo e chama-se coeficiente angular da reta. O ponto (0,b) onde a reta intercepta o eixo ver-</p><p>tical é chamado coeficiente linear. Temos:</p><p>Coeficiente angular e linear da reta</p><p>Esta equação tem forma análoga à expressa pela função afim , cujo gráfico é uma reta. Então as</p><p>duas expressões vistas representam a equação de uma reta:</p><p>OBS: Cuidado ao utilizar o coeficiente a. Na função afim ele representa a taxa de variação e na</p><p>equação da reta será o coeficiente angular na equação reduzida. Por isso é comum utilizar a letra</p><p>m para representar o coeficiente angular.</p><p>Exemplo. Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (2,1) e (3,-1).</p><p>Solução. Vamos encontrar o coeficiente angular (m) e o linear (n) da reta.</p><p>Ö coeficiente angular:</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>11</p><p>A equação está da forma y = – 2x + n.</p><p>Ö coeficiente linear: Para calcular n usamos o fato que os pontos estão sobre a reta e por</p><p>isso devem satisfazer a equação desta reta. Utilizando (2,1) temos:</p><p>Logo a equação é y = – 2x + 5. Se todos os termos forem colocados no 1º membro, temos 2x +</p><p>y + 5 = 0, encontrado anteriormente.</p><p>OBS: 1) O valor de m poderia ser calculado como com o cuidado de acompanhar a ordem de sub-</p><p>tração das coordenadas.</p><p>2) O cálculo de n pode ser feito com qualquer ponto da reta. No caso, se fosse utilizado (3, –1) o</p><p>resultado seria o mesmo:</p><p>Paralelismo e perpendicularismo: Duas retas distintas quando se interceptam tem um ponto em</p><p>comum que é o resultado do sistema de 1º grau.</p><p>Se duas retas não têm interseção em nenhum ponto, elas são paralelas. É possível encontra a</p><p>equação de uma em função da outra. Repare que as retas paralelas possuem o mesmo ângulo</p><p>de inclinação. Logo possuem o mesmo coeficiente angular. O linear será diferente, mas com o</p><p>ponto indicado, será possível encontrá-lo.</p><p>Retas Paralelas</p><p>Ângulo entre duas retas: Observando a figura vemos que as retas r e s se interceptam formando</p><p>dois ângulos agudos e dois obtusos. Considerando o ângulo agudo â, e os ângulos que as retas</p><p>formam com o eixo X, temos:</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>12</p><p>Ângulo entre duas retas</p><p>No caso das retas serem perpendiculares, a diferença entre as inclinações será de 90º.</p><p>Isto é θ = α + 90° .</p><p>Retas Perpendiculares</p><p>Considerando as retas r: e s: e, lembrando que a inclinação é a tangente, aplicamos a fórmula da</p><p>tangente da diferença de arcos teremos : mr = -1/ms</p><p>Circunferência</p><p>Circunferência é o lugar geométrico no plano em que todos os pontos P(x, y) estão à mesma distân-</p><p>cia r do seu centro C(a, b), onde r é a medida de ser raio.</p><p>Circunferência</p><p>Equação da circunferência na forma reduzida</p><p>(x - a)² + (y - b)² = r²</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>W</p><p>ik</p><p>ip</p><p>éd</p><p>ia</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>13</p><p>Onde:</p><p>Ö r é o raio, a distância entre qualquer ponto de seu arco e o centro C.</p><p>Ö a e b são as coordenadas do centro C.</p><p>Equação geral da circunferência:</p><p>x² + y² - 2ax - 2by + (a² +b² - r²)</p><p>É obtida ao desenvolver os termos elevados ao quadrado da equação reduzida da circunferência.</p><p>É muito comum aparecer a forma geral da equação da circunferência nos exercícios, também co-</p><p>nhecida como forma normal.</p><p>1 – (MCAMPOS/MG) Um triângulo possui como vértices os pontos A(-1, 0), B(4, 0) e C(0, -4). A área</p><p>desse triângulo será indicada pelo número:</p><p>A) -10.</p><p>B) 10.</p><p>C) -6.</p><p>D) 6.</p><p>E) 8.</p><p>2 – (FJPINHEIRO/MG) A equação da reta que passa por (-6, -7) e pelo ponto médio do segmento</p><p>cujos extremos são (8, 1) e (2, -7) é:</p><p>A) 6x + 5y – 1 = 0.</p><p>B) x + y + 13 = 0.</p><p>C) 2x - 3y + 19 = 0.</p><p>D) 4x + 10y + 94 = 0.</p><p>E) 4x - 11y – 53 = 0.</p><p>3 – (FMTM/MG) A condição para que o ponto P(2, y) não esteja alinhado com os pontos: A(-4, 6)</p><p>e B(0, 3) é:</p><p>A) y ≠ 1,5.</p><p>B) y = 3,5.</p><p>C) x 2,5.</p><p>4 – (PUC/MG) A interseção da reta s com o eixo das ordenadas é o ponto M(0, b). A reta s passa</p><p>pelos pontos A(6, 3) e B(-2, 6). O valor de b é:</p><p>A) 6x + 5y – 1 = 0.</p><p>B) x + y + 13 = 0.</p><p>C) 2x - 3y + 19 = 0.</p><p>D) 4x + 10y + 94 = 0.</p><p>ATIVIDADES</p><p>14</p><p>E) 4x - 11y – 53 = 0.</p><p>5 – (ITAÚNA/MG) Duas retas r e s concorrem no ponto P(1, 4). A reta r intercepta o eixo y em A</p><p>e s intercepta o eixo x em B. Seus coeficientes angulares são, respectivamente, 1 e -1. A área do</p><p>quadrilátero OAPB é, em cm2.</p><p>A) 8,5.</p><p>B) 11,5.</p><p>C) 12,5.</p><p>D) 4,5.</p><p>6 – (PUC/MG) Na figura abaixo, o ângulo B é reto. A abscissa do ponto C é igual a:</p><p>7 – Considere uma cidade em que as ruas são representadas por retas e as casas, por pontos. Num</p><p>mapa cartesiano dessa cidade, com medidas em km, a padaria Pannetutti se localiza no ponto P(–5,</p><p>0) e o açougue Quasar se localiza no ponto Q(–1, –3). Uma pessoa que estiver na origem desse</p><p>mapa e quiser se dirigir à Rua Pedro Quintão, na qual se localizam a padaria e o açougue, terá de</p><p>caminhar uma distância de, no mínimo,</p><p>A) 2 km.</p><p>B) 2,5 km.</p><p>C) 3 km.</p><p>D) 3,5 km.</p><p>E) 4 km.</p><p>8 – Sabedoria Egípcia Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão pro-</p><p>vocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho</p><p>e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos</p><p>dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto</p><p>da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes.</p><p>Adaptado da Revista "Galileu", janeiro de 2001</p><p>Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2</p><p>metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8</p><p>metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual</p><p>o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de</p><p>A) 3.</p><p>B) 4.</p><p>C) 5.</p><p>D) 6.</p><p>E) 7.</p><p>15</p><p>reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde,</p><p>assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB:</p><p>A) y = 8 - 4x.</p><p>B) x = 6 - 3y.</p><p>C) x = 8 - 4y.</p><p>D) y = 6 - 3x.</p><p>16</p><p>Falar de trigonometria é lidar com um tabu histórico que compreende o ensino deste ramo da ma-</p><p>temática tão frequentemente associado à ideia de dificuldade e incompreensão. Porém, antes que o</p><p>interessado no tema desista de compreendê-lo, antes mesmo de esgotar as ferramentas possíveis</p><p>de aprendizagem, convido-os a viajar pelos fatos históricos na busca de justificativas para a existên-</p><p>cia dessa ferramenta matemática tão utilizada por outras ciências e áreas do conhecimento</p><p>humano.</p><p>Mesmo sem haver uma identificação de quando a trigonometria foi criada, acredita-se que sua fun-</p><p>ção surgiu a partir da necessidade do homem em calcular distâncias pouco acessíveis.</p><p>A ideia inicial dos antigos estudiosos era resolver alguns problemas relacionados à necessidade</p><p>humana voltadas para Astronomia, a partir de análises de tudo que cerca a Terra. Esses estudos</p><p>começaram por volta do século IV ou V a.C., através dos egípcios e babilônios.</p><p>O astrônomo Hiparco de Nicéia ficou conhecido como o “pai da Trigonometria”, por volta dos anos</p><p>180 e 125 a.C., em virtude da produção de um tratado dividido em 12 livros que trazia o que deve</p><p>ter sido a primeira tabela trigonométrica.</p><p>Muitos não sabem, mas a trigonometria pode ser utilizada para diversas áreas, como:</p><p>Economia; Engenharia elétrica; Engenharia mecânica; Navegação; Sismologia (estudo dos abalos</p><p>físicos, ou seja, terremotos); Farmácia, Computação gráfica dentre outras áreas.</p><p>Um exemplo do uso da trigonometria no dia a dia é nos casos em que é necessário calcular a altura</p><p>de um avião ou a distância percorrida por ele. Esse cálculo é feito através da análise entre o seno,</p><p>cosseno e tangente de um ângulo do triângulo, formado pela altura do avião, o deslocamento.</p><p>Outro exemplo seria de um engenheiro, quando se refere à inclinação de uma rampa, costuma afir-</p><p>mar, por exemplo, que ela é de 20%. Isto é, a cada cem unidades deslocadas na horizontal, uma</p><p>pessoa “se eleva” 20 unidades. Certamente, você deve estar se perguntando se não seria mais fácil</p><p>afirmar qual é o ângulo que essa rampa faz com o solo.</p><p>Neste estudo mostraremos para você que a porcentagem usada pelo engenheiro e o ângulo que a</p><p>rampa faz com o solo se relacionam através da trigonometria.</p><p>Uma rampa de inclinação constante, como a do Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de</p><p>altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3</p><p>metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. Quantos metros a pessoa</p><p>ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa?</p><p>Desenho da rampa</p><p>Fonte: Fonte: Lanna, 2024</p><p>Trigonometria.</p><p>TEMA DE ESTUDO:</p><p>17</p><p>Num triângulo retângulo é possível relacionarmos as medidas de seus lados com a medida de seus</p><p>ângulos agudos. Essas relações são conhecidas por razões trigonométricas. São elas: o seno, o</p><p>cosseno e a tangente.</p><p>Definimos o seno como sendo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.</p><p>Logo, de acordo com a figura acima, sen 𝛼 = b/a. O cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao</p><p>ângulo e a hipotenusa do triângulo. Assim, cos 𝛼 = c/a. Finalmente, a tangente é a razão entre o</p><p>cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo. De acordo com a figura, tg 𝛼 = b/c.</p><p>• Que podemos observar em relação ao sen 𝛼 e ao cos 𝛽 ?</p><p>• E em relação ao sen 𝛽 e ao cos 𝛼?</p><p>• Quanto vale a soma 𝛼 + 𝛽?</p><p>• Que podemos concluir?</p><p>Usando essas definições, voltemos ao problema inicial: se a rampa tem 50% de inclinação, podemos</p><p>afirmar que tg 𝛼 = 50/100 ou 0,5. Utilizando uma calculadora ou uma tábua trigonométrica, pode-</p><p>mos determinar o ângulo 𝛼, que é de aproximadamente 26°33´54”.</p><p>• Que podemos afirmar sobre o seno de um ângulo?</p><p>• Ele pode ser maior que 1?</p><p>• E o cosseno?</p><p>• Existe um limite para o valor da tangente?</p><p>ARCOS E ÂNGULOS</p><p>Como estamos relacionando as medidas dos lados de um triângulo com ângulos, vale a pena lem-</p><p>brar que existe uma correspondência entre os ângulos centrais de uma circunferência e a medida</p><p>dos arcos por eles determinados.</p><p>O ângulo AÔB é um ângulo central que determina o arco AB. É correto afirmar que a medida do</p><p>ângulo AÔB é exatamente a mesma que a medida do arco AB.</p><p>Para medirmos arcos e ângulos podemos utilizar duas unidades de medida:</p><p>• o grau, que corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais.</p><p>• o radiano, que é definido como a razão entre o comprimento do arco AB e o raio da circunferência.</p><p>l = comprimento do arco AB</p><p>𝛼 = l/r</p><p>r = raio da circunferência</p><p>Existe uma equivalência entre a medida em graus e a medida em radianos:</p><p>180° = 𝜋 radianos</p><p>Usando essa equivalência, podemos transformar uma unidade na outra. Veja as situações abaixo.</p><p>Transformar 2𝜋 /5 radianos em grau.</p><p>Basta utilizar uma regra de três. Se 𝜋 radianos correspondem a 180°, 2𝜋 /5 radianos correspondem</p><p>a quantos graus?</p><p>18</p><p>No quadro abaixo você vê a medida de alguns arcos notáveis em graus e em radianos.</p><p>Ângulo Medida em</p><p>graus</p><p>Medida em</p><p>radianos</p><p>Completo 360o 2𝜋</p><p>Raso 180o 𝜋</p><p>Reto 90o 𝜋 /2</p><p>CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA</p><p>Ao definirmos as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, restringimos seu uso apenas aos</p><p>ângulos agudos; entretanto essas definições podem ser generalizadas para um número real qual-</p><p>quer. Para isso utilizamos o ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.</p><p>A partir de agora chamaremos de circunferência trigonométrica a uma circunferência de raio unitário</p><p>orientada no sentido anti-horário a partir do ponto A. A essa circunferência associaremos um siste-</p><p>ma cartesiano cuja origem é o centro da circunferência.</p><p>O sentido anti-horário será o sentido positivo e o sentido horário será o sentido negativo.</p><p>Descreveremos, a partir de agora, a maneira pela qual associamos um número real a um ponto da</p><p>circunferência.</p><p>Dado o número real 𝛼 , observamos se ele é positivo ou negativo. A partir do ponto A do ciclo trigo-</p><p>nométrico, considerando o sentido anti-horário ou horário de acordo com o sinal de 𝛼 , percorremos</p><p>sobre a circunferência uma distância igual ao módulo de 𝛼 , marcando um ponto P. Esse ponto P,</p><p>assim obtido, é o ponto da circunferência ao qual associamos o número real 𝛼 .</p><p>Estabelecemos assim a seguinte relação entre os quadrantes e o número real 𝛼 :</p><p>Quadrante 𝛼</p><p>1o quadrante 0</p><p>notáveis, podemos consultar a tabela trigonométrica para resolvê-lo.</p><p>Ciclo trigonométrico</p><p>Utilizamos o plano para representar os valores de seno e cosseno para determinados ângulos. O</p><p>círculo ou ciclo trigonométrico auxilia no trabalho com ângulos maiores que 90º. O desenvolvimento</p><p>da trigonometria no ciclo permitiu perceber que existem ângulos simétricos aos ângulos do primeiro</p><p>quadrante, o que alavancou os estudos da área, e, inclusive, a análise de uma função trigonométrica</p><p>só é possível por conta da trigonometria no círculo.</p><p>Para construir-se o círculo trigonométrico, basta um círculo de raio 1. No eixo horizontal, temos os</p><p>valores do cosseno do ângulo, já no eixo vertical, temos os valores do seno do ângulo.</p><p>Note então que os valores do seno e do cosseno para os ângulos notáveis e os ângulos simétricos a</p><p>eles são representados como um par ordenado (cosseno, seno).</p><p>Funções trigonométricas</p><p>Função Seno</p><p>Dado um número x pertencente ao conjunto dos números reais e A como o ponto que representa</p><p>sua imagem no ciclo trigonométrico, definimos como função seno a função descrita pela lei de for-</p><p>mação f(x) = sen (x), com domínio e contradomínio em R.</p><p>O valor de x é o ângulo, podendo ser trabalhado em radianos ou em graus. O gráfico da função seno</p><p>é conhecido como senoide.</p><p>Analisando o gráfico, note que a imagem da função está sempre contida no intervalo [-1,1], já que</p><p>o valor do seno nunca ultrapassa 1. Isso se deve ao fato da construção do círculo trigonométrico ter</p><p>raio 1. Note que, após 2π, o gráfico volta ao mesmo comportamento.</p><p>21</p><p>Função Cosseno</p><p>A função cosseno está definida nos mesmos parâmetros que a função seno, é uma função de R em</p><p>R, cuja lei de formação é f (x) = cos (x). A diferença está somente nas imagens para os valores de x,</p><p>e, ainda, a função cosseno tem um comportamento cíclico muito parecido com a função seno, com</p><p>imagem limitada ao intervalo [-1, 1]. Seu gráfico é conhecido como cossenóide.</p><p>Função Tangente</p><p>A tangente de um ângulo é calculada quando construímos o ciclo trigonométrico de raio 1 e traça-</p><p>mos a reta que passa pelo ponto (1,0), conhecida como reta tangente ao ciclo. Considerando um</p><p>ângulo α, a tangente desse ângulo é igual ao comprimento do segmento que liga o ponto (1,0),</p><p>representado na imagem a seguir pelo ponto A até o ponto P.</p><p>Relação fundamental da trigonometria</p><p>Relaciona os valores do seno e do cosseno dado um mesmo ângulo, com base no teorema de Pitá-</p><p>goras.</p><p>sen²x + cos² x = 1</p><p>Círculo Trigonométrico e seus Sinais</p><p>De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente variam.</p><p>Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.</p><p>Para compreender melhor, veja a figura abaixo:</p><p>22</p><p>Círculo Trigonométrico e seus Sinais</p><p>1 – (Vunesp-SP) Em um jogo eletrônico o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm,</p><p>como mostra a figura.</p><p>A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perí-</p><p>metro “do monstro”, em cm, é:</p><p>A) 𝜋 – 1.</p><p>B) 𝜋 + 1.</p><p>C) 2 𝜋 – 1.</p><p>D) 2 𝜋</p><p>E) 2 𝜋 + 1.</p><p>2 – Os moradores de certa cidade costumam fazer caminhada em torno de duas de suas praças. A</p><p>pista que contorna uma dessas praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de extensão; a pista</p><p>que contorna a outra praça é um círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas condições, o</p><p>valor da razão R/L é aproximadamente igual a:</p><p>Use 𝜋 = 3,14.</p><p>A) 1/2.</p><p>B) 5/8.</p><p>C) 5/4.</p><p>D) 3/2.</p><p>E) 1/16.</p><p>3 – Nossa época, marcada pela luz elétrica, por estabelecimentos comerciais abertos 24 horas e pra-</p><p>zos apertados de trabalho, que muitas vezes exigem o sacrifício dos períodos de sono, pode muito</p><p>bem ser considerada a era do bocejo. Estamos dormindo menos. A ciência mostra que isso contribui</p><p>para a ocorrência de males como diabetes, depressão e obesidade. Por exemplo, quem não segue a</p><p>recomendação de dormir no mínimo de 8 horas por noite, tem 73% mais risco de se tornar obeso.</p><p>ATIVIDADES</p><p>23</p><p>Uma pessoa que durma à zero hora e siga a recomendação do texto apresentado, quanto ao núme-</p><p>ro mínimo de horas diárias de sono, acordará às 8 horas da manhã. O ponteiro das horas, que mede</p><p>6 cm de comprimento, do despertador dessa pessoa, terá descrito, durante seu período de sono, um</p><p>arco de circunferência com comprimento igual a:</p><p>A) 6 𝜋 cm.</p><p>B) 32 𝜋 cm.</p><p>C) 36 𝜋 cm.</p><p>D) 8 𝜋 cm.</p><p>E) 18 𝜋 cm.</p><p>4 – Os ponteiros de um relógio marcavam duas horas e vinte minutos. O menor ângulos entre os</p><p>ponteiros é:</p><p>A) 45°.</p><p>B) 50°.</p><p>C) 55°.</p><p>D) 60°.</p><p>E) 65°.</p><p>5 – Uma pessoa situada em um ponto A, em uma das margens de um rio, observa uma árvore T</p><p>diretamente à sua frente, na outra margem. Caminha, então, 150 metros para um outro ponto B,</p><p>perpendicularmente à direção AT e mede o ângulo ABT, obtendo 30°.</p><p>Assim sendo, a medida de AT é:</p><p>A) 50 m.</p><p>B) 75 m.</p><p>C) 50 √3 m.</p><p>D) 100 √3m.</p><p>E) 150 √3 m.</p><p>6 –Durante o estudo do momento circular, um físico fez a análise de um objeto que estava girando</p><p>em torno dele mesmo, formando um ângulo de 15.240º. Analisando esse ângulo, o arco formado</p><p>por ele está no:</p><p>A) Quadrante I.</p><p>B) Quadrante II.</p><p>C) Quadrante III.</p><p>D) Quadrante IV.</p><p>E) Em cima de um dos eixos.</p><p>7 – (Enem 2017) Os raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo</p><p>x com a sua superfície, conforme indica a figura.</p><p>24</p><p>Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície</p><p>do lago, seja dada aproximadamente por l(x) = k.sen(x) sendo k uma constante, e supondo-se que</p><p>x está entre 0º e 90º.</p><p>Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?</p><p>A) 33%.</p><p>B) 50%.</p><p>C) 57%.</p><p>D) 70%.</p><p>E) 86%.</p><p>8 – Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um</p><p>ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75° e o</p><p>ângulo ACB mede 75°. Determine a largura do rio.</p><p>A) 40 m.</p><p>B) 20 m.</p><p>C) 20√3 m.</p><p>D) 30 m.</p><p>E) 25.</p><p>25</p><p>Olá estudante,</p><p>• Você sabe o que são as transformações isométricas?</p><p>• Você sabe o que é uma rotação na geometria? Como ela é reali-</p><p>zada?</p><p>• Você sabe o que é uma reflexão na geometria? Como ela é reali-</p><p>zada?</p><p>• Você sabe o que é uma translação na geometria? Como ela é realizada?</p><p>• Você sabe o que é um fractal? Cite alguns exemplos.</p><p>Fonte: Lanna, 2019.</p><p>Fractal, tipo de conjunto em matemática</p><p>Fractal (do latim fractu: fração, quebrado) é uma figura da geometria não clássica muito encontrada</p><p>na natureza, isto é, um objeto em que suas partes separadas repetem os traços (a aparência) do</p><p>todo completo (padrão repetitivo), como por exemplo na Brassica oleracea e no floco de neve de</p><p>Koch. O termo, criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, é uma tentativa de se medir o tamanho de</p><p>objetos para os quais as definições tradicionais da geometria euclidiana falham.</p><p>Outra vista do conjunto de Mandelbrot.</p><p>A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e o comportamento dos</p><p>fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássi-</p><p>ca, e foram aplicadas em ciência, em tecnologia e em arte gerada por computador.</p><p>Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhan-</p><p>te ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto similares e</p><p>de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um</p><p>processo recorrente ou iterativo.</p><p>Fonte: Wikipedia/Fractal, 2024.</p><p>Fractais.</p><p>TEMA DE ESTUDO:</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>W</p><p>ik</p><p>ip</p><p>ed</p><p>ia</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>26</p><p>Transformações geométricas são mudanças realizadas em imagens, como: transportar, espelhar,</p><p>girar, ampliar ou reduzir. Podem ser feitas em qualquer figura, sejam formas geométricas simples ou</p><p>imagens complexas.</p><p>Estas transformações nos permitem criar novas figuras a partir das originais ou alterar sua posição.</p><p>Para realizar estas transformações precisamos utilizar um sistema de referência e uma unidade de</p><p>medida padrão, como no plano cartesiano.</p><p>O plano cartesiano é um sistema de coordenadas em um plano, onde cada ponto possui um único</p><p>endereço. Ele é composto por dois eixos numerados, ox e oy. Assim, um par (x, y) fornece a locali-</p><p>zação exata deste ponto.</p><p>Ao conservar as formas, ou seja, mantendo os comprimentos e os ângulos, podemos realizar três</p><p>transformações geométricas: translação, rotação e reflexão.</p><p>Por exemplo, ao mover uma imagem para um novo local, estaremos realizando uma translação. Se</p><p>girarmos em torno de um ponto, será uma rotação. Se refletirmos a figura em relação a um eixo,</p><p>estaremos fazendo uma reflexão.</p><p>Translação</p><p>A translação consiste em mover uma figura de um ponto a outro no plano, mantendo sua forma,</p><p>orientação e tamanho.</p><p>Exemplo</p><p>Os dois triângulos da imagem abaixo são congruentes, ou seja, iguais. Podemos dizer que o triân-</p><p>gulo ABC se moveu para a segunda posição, representada pelo triângulo A'B'C'.</p><p>O triângulo ABC foi transladado ou, transportado</p><p>Reflexão</p><p>A reflexão consiste em espelhar uma imagem em relação a uma reta, que pode ser horizontal, ver-</p><p>tical ou inclinada. Esta reta é chamada de eixo de reflexão.</p><p>Na reflexão, as coordenadas de cada ponto da figura original são invertidas em relação ao eixo de</p><p>reflexão.</p><p>Exemplo</p><p>Na reflexão em relação ao eixo x abaixo, as coordenadas dos pontos A, B e C, passaram para A', B'</p><p>e C', assim:</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>27</p><p>A (-5, 3) ► A' (-5, -3)</p><p>B (-6, 1) ► B' (-6, -1)</p><p>C (-2, 2) ► C' (-2, -2)</p><p>Em outros termos, cada ponto A, B e C está na mesma distância do eixo x, de reflexão, que estão</p><p>os pontos A', B' e C'.</p><p>Reflexão do triângulo ABC em relação ao eixo x</p><p>Rotação</p><p>A rotação de uma imagem consiste em girá-la em relação a um ponto no plano, chamado de centro</p><p>de rotação. Para realizar a rotação de uma figura, devemos considerar a orientação do giro (sentido</p><p>horário ou anti-horário), e a medida, em graus, do ângulo de rotação.</p><p>Exemplo</p><p>O triângulo ABC sofreu um giro no sentido anti-horário de um ângulo de rotação de 45°. O centro</p><p>de rotação é o ponto A, que por isto, permanece fixo.</p><p>Triângulo ABC gira em torno do centro de rotação A</p><p>Transformações geométricas de redução e ampliação</p><p>Na redução ou ampliação, as dimensões da imagem são aumentadas ou diminuídas, mantendo a</p><p>proporção.</p><p>Nestes casos, os ângulos permanecem os mesmos, mas os comprimentos e larguras aumentam ou</p><p>diminuem. Por isto, a forma da imagem é mantida, enquanto sua área é alterada.</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>L</p><p>an</p><p>na</p><p>, 2</p><p>02</p><p>4</p><p>28</p><p>Exemplo</p><p>Borboletas: redução e ampliação</p><p>Ocorre isometria quando as imagens apresentam formato e tamanho idênticos. No caso das ho-</p><p>motetias, apenas os formatos são iguais, podendo ter variação proporcional de tamanho. Enquanto</p><p>as isometrias preservam os ângulos correspondentes e as medidas dos lados correspondentes, as</p><p>homotetias conservam apenas as medidas dos ângulos correspondentes.</p><p>Dentro de um mesmo grupo, há diferentes tipos de transformação.</p><p>A isometria inclui simetrias de reflexão, translação e rotação. A reflexão é uma transformação que</p><p>espelha todos os pontos de um lugar geométrico em relação a um ponto, uma reta ou um plano. Já</p><p>a translação desloca uma figura original segundo uma direção, um sentido ou um comprimento. A</p><p>rotação, por sua vez, faz com que a figura gire em torno de um ponto central definido.</p><p>O grupo das homotetias pode apresentar transformações de redução ou ampliação. Quando a razão</p><p>de proporcionalidade é k1 , a homo-</p><p>tetia é considerada uma ampliação. O caso mais simples de homotetia é quando k = 1, em que a</p><p>imagem não sofre nenhuma mudança.</p><p>A figura abaixo apresenta diferentes tipos de transformação de isometria e homotetia no triângulo</p><p>original ABC.</p><p>Diferentes tipos de transformações</p><p>Observe que, com base no triângulo ABC, foram criados outros triângulos. Vamos analisar quais</p><p>deles foram gerados de isometrias e quais foram gerados de homotetias.</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>V</p><p>ec</p><p>te</p><p>ez</p><p>y,</p><p>20</p><p>24</p><p>Fo</p><p>nt</p><p>e:</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a,</p><p>2</p><p>02</p><p>4</p><p>29</p><p>Será que você consegue analisar cada caso?</p><p>A1B1C1Este triângulo é produto da isometria de reflexão do triângulo ABC pela linha s.</p><p>A2B2C2este triângulo é produto da isometria de translação do triângulo ABC pelo vetor u .</p><p>A3B3C3 este triângulo é produto da isometria de rotação do triângulo ABC em relação ao ponto H com</p><p>um ângulo de 130º no sentido anti-horário.</p><p>A4B4C4 este triângulo é produto de uma homotetia de k = 3 em relação ao ponto I.</p><p>A5B5C5 este triângulo é produto de uma homotetia de k = 1/2 em relação ao ponto I.</p><p>Por meio dos triângulos gerados e apresentados na figura, podemos verificar que o grupo das</p><p>isometrias preserva os ângulos e os tamanho dos lados, enquanto a homotetia mantém a propor-</p><p>cionalidade, conservando os ângulos originais.A partir de informações sobre uma transformação</p><p>em função de alguns pares de pontos e suas respectivas imagens, determinamos de qual tipo de</p><p>transformação ela pode ser.</p><p>1 – Utilizando o Geogebra ou uma folha quadriculada, lápis, compasso e régua, traçe dois eixos “x”</p><p>e “y” e depois execute os passos abaixo:</p><p>� Marque os pontos A(2,3), B(0,3) e C( 4,3) e faça um semicírculo de 180° com a sua abertura</p><p>voltada para a parte de baixo passando pelos pontos B e C, com centro no ponto A.</p><p>� Marque o ponto D(0,-4) e depois construa um segmento de reta ligando os pontos C e D.</p><p>� Faça uma reflexão do semicírculo e do segmento de reta em relação ao eixo “y”.</p><p>Após finalizar a figura, responda, qual figura foi formada?</p><p>Agora, utilizando os conhecimentos adquiridos e sua criatividade, desenhe outras figuras geométri-</p><p>cas utilizando as transformações isométricas.</p><p>2 – (Enem - 2018) Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura, mantém</p><p>as distâncias entre pontos. Duas das transformações isométricas são a reflexão e a rotação. A re-</p><p>flexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como um espelho, a imagem</p><p>refletida é o resultado da transformação. A rotação é o “giro" de uma figura ao redor de um ponto</p><p>chamado centro de rotação. A figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa ordem:</p><p>1ª) Reflexão no eixo x;</p><p>2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A;</p><p>3ª) Reflexão no eixo y;</p><p>ATIVIDADES</p><p>30</p><p>4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A;</p><p>5ª) Reflexão no eixo x.</p><p>Qual a posição final da figura?</p><p>A) D)</p><p>B) E)</p><p>C)</p><p>3 – (ENEM - 2017) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada</p><p>intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos</p><p>pontos A e B.</p><p>Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após</p><p>o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do</p><p>horizonte.</p><p>31</p><p>Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo pos-</p><p>sível inferior a 360°.</p><p>A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em</p><p>um ângulo de</p><p>A) 90° no sentido horário.</p><p>B) 135° no sentido horário.</p><p>C) 180° no sentido anti-horário.</p><p>D) 270° no sentido anti-horário.</p><p>E) 315° no sentido horário.</p><p>4 – O quadrilátero ABCD a seguir, transladou quais medidas nas direções x e y, até a posição A'B'C'D'?</p><p>5 – Faça um esboço da reflexão do pentágono em relação à reta vertical.</p><p>6 – O triângulo retângulo a seguir sofreu uma rotação com centro de rotação no ponto B. Responda</p><p>o sentido do giro e a medida do ângulo de rotação.</p><p>32</p><p>7 – Observe os polígonos EFGH e E’F’G’H’ no plano cartesiano a seguir:</p><p>Que tipo de simetria é observado na transformação do polígono EFGH no polígono E’F’G’H’?</p><p>A) Reflexão em relação ao eixo x.</p><p>B) Reflexão em torno da origem do sistema de coordenadas.</p><p>C) Translação.</p><p>D) Rotação em relação ao ponto F.</p><p>E) Rotação em relação à origem do sistema de coordenadas.</p><p>8 – (ENEM) Um programa de edição</p><p>de imagens possibilita transformar figuras em outras mais</p><p>complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. E a nova figura deve apresentar</p><p>simetria em relação ao ponto O.</p><p>A imagem que representa a nova figura é:</p><p>33</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>AMARAL, Fábio José. Ensino da trigonometria via resolução de problemas mediado por</p><p>dinâmicas de grupo, analogias e recursos informáticos. 2002. Dissertação de Mestrado do</p><p>CEFET/MG.</p><p>ANDRADE, Thaís Marcelle de. Matemática Interligada. 1.ed. São Paulo: Scipione, 2020.</p><p>ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando Matemática, 3 ed. renovada. São</p><p>Paulo: Editora do Brasil, 2012. (Coleção Praticando Matemática).</p><p>BITTENCOURT, A. O. O ensino da trigonometria no ciclo trigonométrico, por meio do sof-</p><p>tware Geogebra. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática).</p><p>Centro Universitário Franciscano de Santa Maria, Santa Maria - RS, 2012.</p><p>BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Ruy Giovanni; SOUSA; Paulo Roberto Câmara de. Prisma</p><p>Matemática: Geometria e Trigonometria: Ensino Médio – 1° ed. – São Paulo: Editora FTD,</p><p>2020.</p><p>CHAVANTE, Eduardo; PRESTES, Diego. Quadrante Matemática e suas tecnologias: Trigono-</p><p>metria e Sequências – 1° ed. – São Paulo: Edições SM, 2020.</p><p>DANTE, Luiz Roberto. Contexto e Aplicações: vol II.2.ed.São Paulo: Ática,2013.</p><p>DISCOVERY NA ESCOLA. Conceitos de Trigonometria. [Discovery Channel].Disponível em:</p><p>http://www.dailymotion.com/video/x10bzkz_discovery-na-escola-conceitos-de-trigonometria-disco-</p><p>very-channel_school. Acesso em: 10 abr. 2024.</p><p>GEOGEBRA. Aplicativos Matemáticos. [s. l.], 08 mai. 2018. Disponível em: https://www.geoge-</p><p>bra.org/?lang=pt. Acesso em: 02 mar. 2023.</p><p>GEOGEBRA. Classic. Disponível em:https://www.geogebra.org/classic?lang=pt. Acesso em: 11 abr.</p><p>2024.</p><p>GEOGEBRA. Calculadora gráfica. [s. l.] 2023. Disponível em: https://www.geogebra.org/graphin-</p><p>g?lang=pt. Acesso em: 14 abr. 2023.</p><p>GoHealth. Propriedades da Água: Densidade. [s. l.], 21 fev. 2021. Disponível em: https://goheal-</p><p>thcursos.com/hidroginastica/propriedades-da-agua-densidade/#:~:text=A%20densidade%2C%20</p><p>em%20m%C3%A9dia%2C%20do,inferior%20%C3%A0%20densidade%20da%20%C3%A1gua.</p><p>Acesso em: 24 fev. 2023.</p><p>GOOGLE MAPS. Belo Horizonte. [s. l.], [2024]. Disponível em: https://www.google.com.br/map-</p><p>s/@-19.9263691,-43.9426745,16.5z. Acesso em: 02 mar. 2023.</p><p>IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993.</p><p>IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único. Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.</p><p>IEZZI, Gelson;Fundamentos de matemática elementar, 3 : trigonometria : 506 exercícios</p><p>propostos com resposta, 167 testes de vestibulares com resposta / Gelson Iezzi. — 9. ed. — São</p><p>Paulo : Atual, 2013.</p><p>HAZZAN, Samuel: Fundamentos de matemática elementar, 5. 8. ed.São Paulo: Atual, 2013</p><p>LANNA, Valéria. MPU: Matemática e Raciocínio Lógico, Técnico e Analista 6.ed.Salvador/BA:</p><p>Juspodivm,2019.</p><p>34</p><p>MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Plano de Curso: ensino fundamental -</p><p>anos finais. Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais,</p><p>Belo Horizonte, 2024. Disponível em: https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/</p><p>plano-de-cursos-crmg. Acesso em: 05 fev. 2024.</p><p>MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Plano de Curso: ensino médio. Escola</p><p>de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, Belo Ho-</p><p>rizonte, 2024. Disponível em: https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/plano-de-</p><p>-cursos-crmg. Acesso em: 05 fev. 2024.</p><p>MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Material de Apoio Pedagógico para Apren-</p><p>dizagem. 1º ano. Ensino Médio - Matemática e suas tecnologias. 2º bimestre. Escola de</p><p>Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2022.</p><p>Disponível em: https://drive.google.com/file/d/1BcuJECTZ58Hn66aaobQPFzib0usT0tiz/view. Acesso</p><p>em: 14 abr. 2024.</p><p>2024.</p><p>MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Material de Apoio Pedagógico para Apren-</p><p>dizagem. 3º ano. Ensino Médio - Matemática e suas tecnologias. 1º bimestre. Escola de</p><p>Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2022.</p><p>Disponível em: https://drive.google.com/file/d/19SSPUPAd5fiRhBYlk_2HHhCDcCPKXcGr/view. Aces-</p><p>so em: 14 abr. 2024.</p><p>MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Material de Apoio Pedagógico para Apren-</p><p>dizagem. 3º ano. Ensino Médio - Matemática e suas tecnologias. 2º bimestre. Escola de</p><p>Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2022.</p><p>Disponível em: https://drive.google.com/file/d/1BkxKzmMHE4uZ82AZet1M0-ROsdr92afw/view.</p><p>Acesso em: 14 abr. 2024.</p><p>SOUZA, J. I. G. de. Utilização do Software GeoGebra no Ensino das Funções Trigonomé-</p><p>tricas. Dissertação de (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Universidade</p><p>Federal do Ceará. Juazeiro do Norte – CE, 2014.</p><p>Geometria Analítica da Reta e da Circunferência.</p><p>Trigonometria.</p><p>Fractais.</p>