Compilado semana 7

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<p>Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa</p><p>17/03/24</p><p>Completada</p><p>Enviado</p><p>Status Resultado da tentativa 10 em 10 pontos</p><p>Pergunta 1</p><p>2,5 em 2,5 pontos</p><p>O Teorema de Stokes é uma generalização do teorema fundamental do cálculo, que estabelece que a</p><p>integral de uma função f sobre um intervalo [a, b] pode ser calculada através de uma antiderivada F de f.</p><p>E o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a</p><p>integral dupla, sobre a região limitada pela mesma curva.</p><p>Sendo assim, é correto afirmar sobre esses teoremas:</p><p>d. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de integração em várias variáveis e possuem</p><p>importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>Pergunta 2</p><p>Sobre os pontos máximos e mínimos de uma função, é correto afirmar:</p><p>d. Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for maior ou igual ao valor da</p><p>função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>2,5 em 2,5 pontos</p><p>Pergunta 3</p><p>1,5 em 1,5 pontos</p><p>→</p><p>Calcule a integral de superfície do campo vetorial F(x, y, z) = xy2.î + x2y.ĵ +</p><p>y.k através da superfície S de um bloco cilíndrico, onde este é limitado por</p><p>x2 + y2 ≤ 1 ez = ± 1.</p><p>2</p><p>Pergunta 4</p><p>e. π</p><p>1,5 em 1,5 pontos</p><p>Podemos dizer que o Teorema de Stokes é uma generalização do teorema fundamental do cálculo, onde a integral</p><p>de uma função em um intervalo pode ser calculado através de uma antiderivada de F de f.</p><p>Qual resposta abaixo está correta para a função desse teorema?</p><p>d.</p><p>f(x) dx = F(b) - F(a).</p><p>a</p><p>Pergunta 5</p><p>Em qual dos casos abaixo pode ser usado o Teorema de Gauss?</p><p>d. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas permeáveis que sejam fechadas. É</p><p>importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>Pergunta 6</p><p>Qual a principal característica do Teorema de Gauss, para que ele seja relevante em diversas</p><p>aplicações?</p><p>c. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, é uma ferramenta para relacionar</p><p>integrais de superfície e integrais triplas.</p><p>1 em 1 pontos</p><p>1 em 1 pontos</p><p>Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa</p><p>Informações do teste</p><p>Descrição</p><p>Instruções Olá, estudante!</p><p>1. Para responder a esta atividade, selecione a(s) alternativa(s) que você considerar</p><p>correta(s);</p><p>2. Após selecionar a resposta correta em todas as questões, vá até o fim da página</p><p>e pressione “Enviar teste”.</p><p>3. A cada tentativa, as perguntas e alternativas são embaralhadas</p><p>Pronto! Sua atividade já está registrada no AVA.</p><p>Várias</p><p>tentativas</p><p>Este teste permite 3 tentativas. Esta é a tentativa número 1.</p><p>Forçar</p><p>conclusão</p><p>Este teste pode ser salvo e retomado posteriormente.</p><p>Suas respostas foram salvas automaticamente.</p><p>O Teorema de Stokes é uma generalização do teorema</p><p>fundamental do cálculo, que estabelece que a integral de uma</p><p>função f sobre um intervalo [a, b] pode ser calculada através de</p><p>uma antiderivada F de f. E o Teorema de Green relaciona a</p><p>integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a</p><p>integral dupla, sobre a região limitada pela mesma curva.</p><p>Sendo assim, é correto afirmar sobre esses teoremas:</p><p>a. Podemos dizer que os Teoremas de Green e Gauss são teoremas</p><p>de pequena importância e consistem na integração de três</p><p>variáveis e possuem poucas aplicações na geometria e na física.</p><p>b.Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de</p><p>integração em várias variáveis e possuem importantes aplicações</p><p>na geografia e na história.</p><p>c. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de</p><p>integração em várias variáveis e possuem poucas aplicações em</p><p>qualquer área da matemática.</p><p>PERGUNTA 1 2,5 pontos   Salva</p><p>Estado de Conclusão da Pergunta:</p><p>Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar. Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as r</p><p>d.Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de</p><p>integração em várias variáveis e possuem importantes aplicações</p><p>na geometria e na física.</p><p>e. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de</p><p>busca de domínios matriciais em várias variáveis e possuem</p><p>importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>Sobre os pontos máximos e mínimos de uma função, é correto</p><p>afirmar:</p><p>a. Um ponto de domínio é um ponto de mínimo se o valor da função</p><p>naquele ponto for maior ou igual ao valor da função em todos os</p><p>outros pontos de domínio.</p><p>b.Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função</p><p>naquele ponto for maior ou igual ao valor da função em todos os</p><p>outros pontos de domínio.</p><p>c. Um ponto vetorial é um ponto de máximo se o valor da função</p><p>naquele ponto for maior ou igual ao valor da função em todos os</p><p>outros pontos de domínio.</p><p>d.Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função</p><p>naquele ponto for menor ou o triplo do valor da função em todos</p><p>os outros pontos de domínio.</p><p>e. Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função</p><p>naquele ponto for o triplo ou igual ao valor da função em todos os</p><p>outros pontos de domínio.</p><p>PERGUNTA 2 2,5 pontos   Salva</p><p>Sobre o Teorema de Gauss, é correto afirmar que:</p><p>a. Podem ser calculadas condições, como “S” sendo uma superfície</p><p>fechada não orientável e orientada pelo vetor normal exterior →n .</p><p>Dessa forma, o que ele irá dizer é algo sobre o fluxo desse campo</p><p>nessa superfície.</p><p>b.Ele necessita de condições, como “S” sendo uma superfície</p><p>fechada orientável e orientada pelo vetor normal exterior →n . Dessa</p><p>forma, o que ele irá dizer é algo sobre o fluxo desse campo nessa</p><p>superfície.</p><p>c. Ele necessita de condições, como “S” sendo uma superfície</p><p>aberta orientável e orientada pelo vetor normal exterior →n . Dessa</p><p>forma, o que ele irá dizer é algo sobre o fluxo desse campo nessa</p><p>superfície.</p><p>d.Ele necessita de condições, como “S” sendo uma superfície</p><p>fechada orientável e orientada pelo vetor diagonal exterior →n .</p><p>PERGUNTA 3 1 pontos   Salva</p><p>Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar. Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as r</p><p>Dessa forma, o que ele irá dizer é algo sobre o fluxo desse campo</p><p>nessa superfície.</p><p>e. Ele necessita de condições, como “S” sendo uma superfície</p><p>plana orientável e orientada pelo vetor normal exterior →n . Dessa</p><p>forma, o que ele irá dizer é algo sobre o domínio desse campo</p><p>nessa superfície.</p><p>Em qual dos casos abaixo pode ser usado o Teorema de</p><p>Gauss?</p><p>a. Cálculo de fluxos de campos circulares através de membranas</p><p>impermeáveis que sejam fechadas. É importante destacar que</p><p>esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na</p><p>física.</p><p>b.Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas</p><p>permeáveis que sejam abertas. É importante destacar que esse</p><p>teorema possui importantes aplicações na física espacial.</p><p>c. Cálculo de fluxos de campos circulares através de membranas</p><p>permeáveis que sejam fechadas. É importante destacar que esse</p><p>teorema possui importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>d.Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas</p><p>impermeáveis que sejam fechadas. É importante destacar que</p><p>esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na</p><p>física.</p><p>e. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas</p><p>permeáveis que sejam fechadas. É importante destacar que esse</p><p>teorema possui importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>PERGUNTA 4 1 pontos   Salva</p><p>Sobre o Teorema de Gauss, para campos com fluxo sobre</p><p>superfícies fechadas, cujo interior esteja no seu domínio, este é</p><p>nulo e pode ser representado a partir da seguinte equação:</p><p>a.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdW = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 3.</p><p>b.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA =∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdV · dW · dZ =∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 21.</p><p>c.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdV = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 180.</p><p>d.</p><p>∬ →</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫ Div</p><p>→</p><p>FdV = ∫ ∫ ∫ 0dV = 0.</p><p>PERGUNTA 5 1,5 pontos   Salva</p><p>Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar. Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as r</p><p>∬</p><p>S</p><p>F ndA ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>DivFdV ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV 0.</p><p>e.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdV = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 2.</p><p>Seja S a porção superior de uma esfera</p><p>+ y² + z² = 9</p><p>e x² + y² + z² = 16.</p><p>A) - 175π</p><p>2</p><p>B) π</p><p>4</p><p>C) 175π</p><p>2</p><p>D) 0</p><p>E) 175π</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Considerando a relação entre as coordenadas cartesianas e polares, vamos pensar no</p><p>eixo y de um plano de coordenadas cartesianas e correlacionar com as coordenadas polares.</p><p>Dito isso, encontre uma equação de coordenadas polares para uma determinada curva onde</p><p>a equação em coordenadas cartesianas é (x² + y²)² - 4 (x² - y²) = 0</p><p>Semana 3</p><p>Semana 3</p><p>Semana 3</p><p>Comentário da resposta</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação da reta tangente a y no ponto y(tₒ)</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a integral que calcula a massa de γ, onde</p><p>y:[a,b] → R³ é uma curva dada por y(t) = (x(t) , y(t), z(t))</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a integral que calcula o trabalho realizado</p><p>pelo campo ao longo da trajetória γ.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha as condições equivalentes que o</p><p>campo deve satisfazer para ser chamado se conservativo.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Questão referente ao Texto-base - Curvas, integrais e campos conservativos: roteiro de estudos</p><p>Assinale a alternativa que contenha a condição para que um campo vetorial seja Gradiente.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Questão referente ao Texto-base - Cálculo, Volume 2</p><p>Assinale a alternativa que contenha as fórmulas das integrais de linha com relação a x e y,</p><p>respectivamente, dado C a curva.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Uma outra condição para que o trabalho realizado por uma força seja nulo é:</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a propriedade para que um campo de força</p><p>exerça trabalho nulo.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Uma curva fechada é uma função da forma de de forma que</p><p>A partir disto, assinale a alternativa que indica a razão pelo qual um ponto P pode ser</p><p>denominado de múltiplo.</p><p>Qual alternativa melhor se encaixa na definição conceitual sobre uma curva</p><p>parametrizada?</p><p>A integral de linha de campo vetorial é a soma de todos os valores do campo em diversos</p><p>pontos da curva, ponderado pelo campo vetorial, com um determinado comprimento de arco ou</p><p>vetor, onde o produto do campo de vetores realiza um diferencial de uma determinada curva.</p><p>Dessa forma, qual das alternativas abaixo melhor resume o conceito de integral de linha e</p><p>campo vetorial?</p><p>A - É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da tangente y.</p><p>B - É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cossecante y.</p><p>C - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cotangente y.</p><p>D - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da bissetriz y.</p><p>E - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da secante y</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a massa da curva</p><p>e densidade</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Seja γ C R² um arco circular orientado no sentido anti-horário, partindo de (5,0) e chegando em (-4,3).</p><p>Usando o conceito de integral de linha, qual o resultado da seguinte equação:</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Determine a função potencial associada ao campo vetorial</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha o comprimento da curva</p><p>Semana</p><p>4</p><p>O Teorema sobre campos conservativos nos diz que, se um campo de forças</p><p>for um campo gradiente, e se o vetor gradiente da função potencial for igual ao campo de</p><p>forças, então o trabalho ao longo de uma curva γ pode ser calculado por:</p><p>ᵩ</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a definição de uma curva fechada simples.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>O Teorema do Valor Médio (ou Teorema de Lagrange) afirma que, para uma função f</p><p>que seja contínua, definida e diferenciável em um intervalo fechado [a,b], existe um ponto c</p><p>tal que: f (c) = f (b) – f (a) lb – a. Geometricamente, a tangente ao gráfico de f no ponto c é</p><p>paralela à secante que passa pelos pontos a e b.</p><p>Comentário da resposta: Quando um objeto está em velocidade (movimento) e sua velocidade média é igual</p><p>a v, então, durante o percurso entre o intervalo fechado [a, b], haverá um instante (denominado como ponto</p><p>"c") em que a velocidade instantânea também será igual a v.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha uma curva parametrizada e seu respectivo</p><p>vetor tangente.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que indica a variável matemática responsável por relacionar um</p><p>campo vetorial com um campo escalar.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>͢ ͢</p><p>Sendo F (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), um campo vetorial, a função potencial de F é</p><p>definida por:</p><p>ᵩ</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que mostra a equação que seja a aproximação linear de</p><p>primeira ordem de uma função f(x), diferenciável e com valores da variável x próximos do</p><p>ponto xₒ = a.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela que mostre uma variável física que pode</p><p>ser determinada por meio da aplicação do conceito de integral de linha de função escalar,</p><p>ao longo de uma trajetória definida por uma curva gamma.</p><p>a. Densidade.</p><p>b. Velocidade.</p><p>c. Cinética.</p><p>d. Massa.</p><p>e. Volume.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação da reta tangente a curva y(t) = (e ̄² ͭ, √t+1, tcost)</p><p>no ponto tₒ = 0.</p><p>̶ ̶̶̶ ̶̶̶</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Seja um campo vetorial o bordo da região fechada limitada por D, então a</p><p>integral do tipo trabalho é calculada segundo o Teorema de Green da seguinte forma:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação do plano tangente de uma superfície com gráfico</p><p>z = f(x, y)</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Dado o campo vetorial em R³, sabendo que as derivadas parciais de P,Q e R</p><p>existem, então o rotacional de F é dado por:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Determine a equação do plano tangente à superfície do elipsoide S de equação</p><p>no ponto de coordenadas</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Calcule sendo Y a curva que é o bordo do retângulo de vértices (-1,1), (3,1),</p><p>(3,2) e (-1,2) percorrido no sentido anti-horário.</p><p>A. 60</p><p>B. 30</p><p>C. -30</p><p>D. 0</p><p>E. Nenhuma das anteriores</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Após os estudos de Cálculo II, conseguimos entender o conceito de superfícies no espaço.</p><p>Podemos dizer que as superfícies no espaço são consideradas um plano, em que é necessário utilizar</p><p>duas variáveis para realizar a parametrização.</p><p>Sabendo desses conceitos, qual a motivação desse estudo, segundo o material apresentado?</p><p>A. O cálculo de uma reta de superfície e da massa, a partir de uma distribuição superficial de massa</p><p>B. O cálculo de área de superfície e do volume, a partir de uma distribuição superficial de massa</p><p>C. O cálculo de área de superfície e da massa, a partir de uma distribuição superficial de volume</p><p>D. O cálculo de área de superfície e da massa, a partir de uma distribuição superficial de massa</p><p>E. O cálculo de volume de superfície e da massa, a partir de uma distribuição superficial de massa</p><p>Comentário da resposta: Após os estudos de Cálculo II, conseguimos entender o conceito de superfícies no</p><p>espaço. Podemos dizer que as superfícies no espaço são consideradas um plano em que é necessário utilizar duas</p><p>variáveis para realizar a parametrização. E, ainda, segundo os estudos efetuados, a motivação desse estudo será o</p><p>cálculo de área de superfície em geral e da massa a partir de uma distribuição superficial de massa.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Com relação ao Teorema de Green, podemos afirmar que:</p><p>A. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque,</p><p>segundo o Teorema de Green, nós precisamos apenas derivar essas componentes. Para que as teorias de integração funcionem</p><p>bem, as componentes precisam ser contínuas, porque eu derivo e as derivadas passam a ser contínuas</p><p>B. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre</p><p>precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque,</p><p>segundo o Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. Para que as teorias de integração</p><p>funcionem bem, as componentes precisam ser contínuas, porque eu derivo e as derivadas passam a ser contínuas.</p><p>C. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque,</p><p>segundo o Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. Para que as teorias de integração</p><p>funcionem bem, as componentes não precisam ser contínuas, porque eu derivo e as derivadas passam a ser contínuas após a</p><p>derivação</p><p>D. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque,</p><p>segundo o Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. Para que as teorias de integração</p><p>funcionem bem, as componentes precisam ser paralelas</p><p>E. Todos os campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque,</p><p>segundo o Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. Para que as teorias de integração</p><p>funcionem bem, os domínios precisam ser iguais</p><p>Comentário da resposta: A partir dos estudos, entendemos que o Teorema de Green é um teorema de dimensão dois, ele se passa no</p><p>plano, isto é, os domínios estão no plano. Lembrando, também, que o campo vetorial é composto por duas variáveis, x e y.Todos os</p><p>campos, as curvas e os domínios sempre precisam supor diferentes classes de diferenciabilidade e derivabilidade, porque, segundo o</p><p>Teorema de Green, nós precisamos derivar essas componentes e depois integrar. E é muito importante lembrar que, para que as teorias de</p><p>integração funcionem bem, as componentes precisam ser contínuas, porque eu derivo e as derivadas passam a ser contínuas.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Leia as afirmações abaixo sobre a teoria de rotacional e divergente:</p><p>Agora responda:</p><p>( ) Apenas (III) é verdadeira.</p><p>( ) Nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>( ) Todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>( ) São verdadeiras apenas as afirmações (II) e (III).</p><p>( ) Apenas (II) é verdadeira.</p><p>As afirmações (I) e (II) são falsas porque em que é o vetor de</p><p>componentes</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Para determinarmos que um campo é conservativo, podemos dizer que uma determinada força é</p><p>considerada conservativa se o trabalho que ela realiza em função de um objeto que se move de um ponto</p><p>a outro é sempre a mesma, sendo o caminho indiferente para o sistema. Em outras palavras, essa integral</p><p>é independente do caminho. Sendo assim, é correto afirmar que:</p><p>Sendo assim, é correto afirmar que:</p><p>a. É possível pressupor que um campo conservativo é quando o gradiente de uma função escalar é nulo. Assim, a função possui um</p><p>potencial para o campo</p><p>b. Um campo é considerado conservativo se for igual ao gradiente de uma função escalar. Podemos dizer que esta função é um potencial</p><p>para o campo</p><p>c. O campo é considerado conservativo quando o gradiente da função escalar for positivo. Assim, podemos dizer que tal função é um</p><p>potencial para o campo</p><p>d. Quando falamos em campo conservativo, podemos considerar como sendo conservativo se o gradiente for menor em função escalar.</p><p>Podemos dizer que essa função é um potencial para o campo</p><p>e. O campo conservativo é uma teoria hipotética, e prediz que ele é igual ao gradiente de uma função escalar. Poderíamos dizer que</p><p>qualquer função é um potencial para o campo conservativo</p><p>Comentário da resposta: Um campo é considerado conservativo se for igual ao gradiente de uma</p><p>função escalar. Podemos dizer que esta função é um potencial para o campo. Um exemplo clássico que</p><p>motivou essa definição vem da física: o campo gravitacional.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Dada uma superfície regular S parametrizada por assinale a</p><p>alternativa que contenha as equações das retas tangentes e do plano X no ponto A.</p><p>Comentário da resposta: Como a superfície S é parametrizada nas variáveis (u,v), então o vetor de derivadas</p><p>parciais de X(u,v) é um vetor tangente a superfície. Assim, para as equações das retas tangentes basta termos um ponto</p><p>dado A e um vetor tangente, que no caso temos dois são linearmente independentes, logo podemos escrever a</p><p>equação do plano por</p><p>Semana</p><p>5</p><p>A reta normal ao elipsoide no ponto é:</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>A equação do plano tangente ao hiperboloide no ponto (3,4,2) é:</p><p>A. 6x + 8y + 8z - 2 = 0</p><p>B. 6x – 8y - 8z - 2 = 0</p><p>C. 6x – 8y + 8z - 2 = 0</p><p>D. 6x + 8y -8z - 2 = 0</p><p>E. 6x – 8y +8z + 2 = 0</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Quais condições devem ser observadas para a aplicação do Teorema de Green em uma dada função?</p><p>Comentário da resposta: Nos estudos matemáticos, entendemos que o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma</p><p>curva fechada no plano frente à integral dupla em uma região limitada por uma curva. Em suma, estabelece uma relação entre a integral dupla</p><p>de uma integral de linha ao longo de sua fronteira. Para verificarmos o Teorema de Green em uma dada função, é objetivamente coerente</p><p>analisarmos que, em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando,</p><p>por exemplo, duas integrais, precisamos identificar se temos: curva fechada, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da</p><p>curva.</p><p>a. Curva aberta, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.</p><p>b. Curva aberta, curva negativamente orientada e campo não necessariamente bem definido dentro</p><p>da curva</p><p>c. Curva fechada, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.</p><p>d. Curva fechada, curva negativamente orientada e campo não necessariamente bem definido dentro</p><p>da curva</p><p>e. Curva aberta, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Leia as afirmações abaixo sobre o Teorema de Green:</p><p>1. Orientação positiva de uma região quer dizer que a componente externa da fronteira é percorrida no</p><p>sentido horário e as componentes internas no sentido anti-horário.</p><p>2.Se então o campo F não é conservativo</p><p>3.Para aplicar o Teorema de Green é necessário que toda a região D esteja contida no domínio do campo de</p><p>vetores</p><p>Agora responda:</p><p>Todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>São verdadeiras apenas as afirmações (II) e (III).</p><p>Apenas (III) é verdadeira.</p><p>Apenas (II) é verdadeira.</p><p>Nenhuma das afirmações é verdadeira</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Assinale a alternativa que contenha formas de especificar uma superfície no espaço:</p><p>a. Lugar geométrico, equação geral, gráfico da função e superfícies parametrizadas.</p><p>b. Intersecção com os eixos coordenados, equação geral e gráfico da função.</p><p>c. Lugar geométrico, curvas de nível, gráfico da função e superfícies parametrizadas.</p><p>d. Lugar geométrico, equação geral, projeção nos planos coordenados e superfícies parametrizadas.</p><p>e. Curvas de nível, equação geral e gráfico da função</p><p>Comentário da resposta: As quatro formas para especificar uma superfície no espaço é: lugar geométrico,</p><p>equação geral e gráfico da função</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Usando o Teorema de Green, o cálculo de em que Y é o triângulo de vértices</p><p>(0,0), (1,2) e (0,2) percorrido no sentido anti-horário é:</p><p>a. 4</p><p>b. -4/3</p><p>c. 8/3</p><p>d. -46/3.</p><p>e. 4/3</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Leia as afirmações abaixo sobre a teoria de superfícies no R3:</p><p>I. Superfície de nível é o mesmo que superfícies a valores constantes de uma função de três variáveis</p><p>II. O vetor gradiente de uma função de três variáveis é paralelo à superfície representada por essa função</p><p>III. Uma superfície S parametrizada X(u, v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) é uma superfície regular</p><p>se</p><p>Agora responda:</p><p>a. Nenhuma das afirmações é verdadeira.</p><p>b. São verdadeiras apenas as afirmações (II) e (III).</p><p>c. Todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>d. Apenas (III) é verdadeira.</p><p>e. São verdadeiras apenas as afirmações (I) e (III).</p><p>Comentário da resposta: A alternativa (II) está errada pois o vetor gradiente de uma</p><p>função de três variáveis é normal (ou perpendicular) à superfície representada por essa</p><p>função</p><p>Semana</p><p>5</p><p>O vetor normal a superfície parametrizada é:</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>O rotacional e o divergente do campo vetorial são</p><p>respectivamente:</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>O Teorema de Green é considerado um dos resultados mais importantes quando o assunto é Cálculo.</p><p>Tal notoriedade se dá pela relação que esse teorema carrega: a relação entre uma integral dupla de uma</p><p>região e uma integral de linha ao redor da fronteira da mesma.</p><p>Entendendo e explorando esse teorema, podemos afirmar que:</p><p>a. Calcular a integral de linha pela sua definição pode ser mais complicado do que o cálculo de uma integral dupla, mas, em certos casos, calcular a integral</p><p>dupla de uma determinada região que desconhecemos pode resultar em dificuldades. Porém, para esses casos, podemos utilizar o resultado que o Teorema</p><p>de Green nos oferece: a igualdade entre as integrais.</p><p>b. Calcular a integral de linha pela sua definição pode ser mais complicado do que o cálculo de uma integral dupla, mas, em certos casos, calcular a integral</p><p>dupla de uma região que não conhecemos pode trazer grandes dificuldades. Porém, para esses casos, podemos utilizar o resultado que o Teorema de Green</p><p>nos oferece: a intercalação entre os domínios das integrais.</p><p>c. Calcular a integral de linha pela sua definição pode ser mais complicado do que o cálculo de uma integral tripla, mas, em certos casos, calcular a integral</p><p>tripla de uma região que não conhecemos pode trazer grandes dificuldades. Porém, para esses casos, podemos utilizar o resultado que o Teorema de Green</p><p>nos oferece: realizar apenas o cálculo do domínio.</p><p>d. Calcular a integral de linha pela sua definição pode ser mais complicado do que o cálculo de uma integral dupla, mas, em certos casos, calcular a integral</p><p>dupla de uma região que não conhecemos pode trazer grandes facilidades. E, para esses casos, podemos utilizar o resultado que o Teorema de Green nos</p><p>oferece: a igualdade entre as integrais.</p><p>e. Calcular a integral de linha, via definição, pode ser mais complexo do que o cálculo de uma integral tripla, mas, em certos casos, calcular a integral tripla de</p><p>uma região que não conhecemos pode trazer grandes dificuldades.....</p><p>Semana</p><p>5</p><p>O Teorema de Green estabelece uma relação entre uma curva fechada simples (C) - percorrida em um determinado</p><p>sentido - com a região no plano delimitada pela mesma (D), conforme se observa na figura abaixo.</p><p>Sendo assim, podemos afirmar que a orientação positiva possui o seguinte conceito.</p><p>a. Significa que a região fica no centro ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a curva “C”</p><p>no sentido horário.</p><p>b. Significa que a região fica à direita e à esquerda ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a</p><p>curva “C” no sentido horário.</p><p>c. Significa que a região fica à direita ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a curva “C” no</p><p>sentido anti-horário.</p><p>d. Significa que a região fica à esquerda ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a curva “C”</p><p>no sentido anti-horário.</p><p>e. Significa que a região fica à esquerda ao percorrermos a curva. Na figura apresentada, percorremos a curva “C”</p><p>no sentido horário.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Sobre o Teorema de Green, podemos afirmar que:</p><p>a. É um importante resultado envolvendo integrais duplas e integrais triplas, e ele possui muitas consequências relevantes</p><p>em termos da físico-química.</p><p>b. É um resultado relevante que envolve integrais duplas e/ou de linha, possuindo muitas consequências relevantes, tanto</p><p>em termos de geometria quanto nas aplicações relacionadas à física.</p><p>c. É um importante resultado envolvendo apenas integrais triplas, e ele possui muitas consequências relevantes, tanto em</p><p>termos de geometria quanto nas aplicações relacionadas à química quântica.</p><p>d. É um importante teorema que apresenta resultados envolvendo integrais triplas, e que possui importantes aplicações</p><p>apenas no setor da física.</p><p>e. É um importante teorema que apresenta resultados envolvendo integrais duplas, com importantes aplicações apenas</p><p>no setor matemático.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Nos estudos voltados para a matemática, entendemos que o Teorema de Green relaciona integrais de linha no</p><p>decorrer de uma curva fechada em um plano frente a uma integral dupla em uma região delimitada por uma curva. Em</p><p>suma, o teorema estabelece uma relação entre a integral dupla de uma região e a integral de linha do sistema ao longo de</p><p>sua fronteira.</p><p>Questões da Turma 2021</p><p>Para verificarmos o Teorema de Green em uma dada função, é objetivamente coerente analisarmos as seguintes definições.</p><p>a. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo,</p><p>quatro integrais, precisamos identificar se temos: curva aberta, curva negativamente orientada e campo bem definido dentro da curva.</p><p>b. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo,</p><p>duas integrais, precisamos identificar se temos: curva aberta, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.</p><p>c. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo,</p><p>duas integrais, precisamos identificar se temos: curva fechada, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.</p><p>d. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo,</p><p>duas integrais, precisamos identificar se temos: curva fechada, curva negativamente orientada e campo bem definido dentro da curva.</p><p>e. Em uma determinada função em que precisamos verificar o Teorema de Green, precisamos saber que ele diz que calculando, por exemplo,</p><p>três integrais, precisamos identificar se temos: curva aberta, curva positivamente orientada e campo bem definido dentro da curva.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Quando observamos sobre o Teorema de Green, temos a relação da integral de linha percorrendo uma curva fechada</p><p>dentro do plano com a sobreposição de uma integral dupla limitada por esta mesma curva, estabelecendo uma relação</p><p>entre as integrais sendo intitulada como a apresentada região D e a integral de linha no contorno de sua fronteira,</p><p>conforme imagem abaixo.</p><p>Questões da Turma 2021</p><p>Sendo assim, é correto afirmar o seguinte sobre esse conceito:</p><p>a. É correto dizer que as integrais de linha em círculos percorridas em ambos os sentidos se alternam, observando que a região</p><p>fica sempre à direita quando percorremos a fronteira.</p><p>b. É correto dizer que as integrais de linha em curvas percorridas em ambos os sentidos se conectam, observando que a região</p><p>fica sempre à direita quando percorremos a fronteira.</p><p>c. É correto dizer que as integrais de linha em curvas percorridas em ambos os sentidos se cancelam, observando que a região</p><p>fica sempre à esquerda quando percorremos a fronteira.</p><p>d. É correto dizer que as integrais de linha em curvas percorridas em ambos os sentidos se conectam, observando que a região</p><p>fica sempre à esquerda quando percorremos a fronteira.</p><p>e. É correto dizer que as integrais de linha em curvas percorridas em ambos os sentidos se cancelam, observando que a região</p><p>fica sempre à direita quando percorremos a fronteira.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Quando falamos em regiões simples na demonstração do Teorema de Green, podemos dizer que a região “D”</p><p>(demonstração na figura abaixo)</p><p>pode ser descrita de duas maneiras:</p><p>Questões da Turma 2021</p><p>Onde: g1, g2, h1, h2 são funções contínuas.</p><p>Podemos descrever tais regiões sendo simples. O Teorema de Green pode ser</p><p>compreendido para o caso em que "D" (figura abaixo) é a união finita das regiões</p><p>simples do sistema. Diante disso, analise a figura a seguir:</p><p>Agora, assinale a alternativa correta quanto às integrais de linha.</p><p>a. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de linha sobre C3 e -C3 se cancelem.</p><p>b. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de linha sobre D3 e -D3 se cancelem.</p><p>c. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de sobreposição entre C3 e -C3 se</p><p>intercalam.</p><p>d. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de linha sobre C3 e -C3 se</p><p>complementam.</p><p>e. A ideia central, quando falamos sobre Teorema de Green, é que as integrais de linha sobre D1 e D2 se cancelem.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Dessa forma, podemos afirmar o seguinte sobre coordenadas cilíndricas.</p><p>A. Coordenadas cilíndricas são coordenadas circulares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as</p><p>coordenadas polares, a representação da origem das coordenadas quadráticas não é considerada única.</p><p>B. Coordenadas cilíndricas são coordenadas polares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as</p><p>coordenadas circulares, a representação da origem das coordenadas cilíndricas é considerada única.</p><p>C. Coordenadas cilíndricas são coordenadas polares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as</p><p>coordenadas polares, a representação da origem das coordenadas cilíndricas não é considerada única.</p><p>D. Coordenadas cilíndricas são coordenadas circulares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as</p><p>coordenadas polares, a representação da origem das coordenadas cilíndricas não é considerada única.</p><p>E. Coordenadas cilíndricas são coordenadas polares no plano xy junto com a altura z do ponto. Fazendo uma analogia com as</p><p>coordenadas quadráticas, a representação da origem das coordenadas cilíndricas não é considerada única.</p><p>Veja a figura a seguir, que demonstra um esquema de coordenadas cartesianas e cilíndricas:</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Integrais de superfície são encontradas em vários ramos das ciências e engenharias, em</p><p>problemas envolvendo fluxo de fluido e/ou calor, eletricidade, magnetismo, massa e gravidade, entre</p><p>outros. Dessa forma, qual procedimento matemático relevante pode ser realizado, envolvendo campos</p><p>vetoriais?</p><p>A. Cálculo de fluxos de campos vetoriais a partir de membranas impermeáveis.</p><p>B. Cálculo de fluxos de campos quadráticos por meio de membranas permeáveis.</p><p>C. Cálculo de fluxos de campos espaciais por meio de membranas permeáveis.</p><p>D. Cálculo do domínio por meio de membranas permeáveis.</p><p>E. Cálculo de fluxos de campos vetoriais por meio de membranas permeáveis.</p><p>Comentário da resposta: Para estudar integrais de superfície de campos vetoriais, haverá como</p><p>motivação o cálculo de fluxos de campos vetoriais por meio de membranas permeáveis, que são</p><p>importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Quando falamos sobre aplicações de integrais de superfície, podemos pensar como</p><p>exemplo uma folha de papel alumínio. Se essa folha de alumínio obtiver a forma de uma</p><p>superfície S e a sua densidade em relação a (x, y, z) for p(x, y, z) , qual a expressão para obter a</p><p>massa da folha?</p><p>Comentário da resposta: No exemplo citado,</p><p>temos uma função de f com três variáveis,</p><p>cujo domínio contém S. Sendo assim, no</p><p>exemplo dado, se pensarmos em uma folha</p><p>de alumínio com uma superfície S, e se a</p><p>densidade em (x,y,z) for ρ(x, y, z), então é</p><p>correto dizermos que a função para esse</p><p>exemplo é</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Quando você liga a torneira, a água faz um percurso da fonte até a saída. O fluido</p><p>(água) fez um percurso por meio de alguma superfície (pode ser a superfície de um cano, por</p><p>exemplo) e chegou até a torneira. É possível quantificar o fluido por uma superfície por</p><p>unidade de tempo. Qual o conceito envolvido nesta descrição?</p><p>.</p><p>A. Domínio</p><p>B. Matrizes exponenciais.</p><p>C. Fluxo.</p><p>D. Campos vetoriais.</p><p>E. Gráficos de curvas.</p><p>Comentário da resposta: O fluxo de um fluido por meio de uma superfície ocorre quando</p><p>ele escoa e passa através de uma superfície. É possível quantificar o fluido que passa de</p><p>uma lado para o outro de uma determinada superfície em relação a uma unidade de</p><p>tempo. Essa é a ideia do conceito intrínseco ao termo "fluxo".</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação que calcule a integral de superfície S com</p><p>equação z = g(x, y) de um campo escalar.</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Quando falamos sobre superfícies parametrizadas X = X (x ( u, v), y ( u, y), z ( u, y)), é</p><p>possível obter vetores Xu e Xv tangentes em um ponto da mesma. Tendo isto como base,</p><p>qual das afirmações abaixo está correta?</p><p>A. Caso os vetores sejam linearmente dependentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor nulo</p><p>e perpendicular à superfície.</p><p>B. Caso os vetores sejam linearmente dependentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor não</p><p>nulo e perpendicular à superfície.</p><p>C. Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor</p><p>não nulo e perpendicular à superfície.</p><p>D. Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço a somatória vetorial e obtenho um vetor</p><p>não nulo e perpendicular à superfície.</p><p>E. Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço a divisão vetorial e obtenho um vetor nulo</p><p>e perpendicular à superfície.</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação que calcula a integral de uma superfície S,</p><p>de um campo escalar, parametrizada por X(u, v) = (x ( u, v), y ( u, y), z ( u, y) Є D</p><p>Semana</p><p>6</p><p>No processo de parametrização de uma superfície, três variáveis podem ser</p><p>definidas em função de outras duas variáveis independentes cada, atentando para o seu</p><p>limite no espaço. Dessa forma, ao passarmos para o espaço, qual variável relevante pode</p><p>ser obtida?</p><p>A. Um elemento circular.</p><p>B. Um elemento de área.</p><p>C. Um elemento de volume.</p><p>D. Uma reta.</p><p>E. Um elemento variável.</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Quando falamos em parametrizar uma função, sabemos que é necessário</p><p>visualizar três variáveis e escrevê-las em função de duas variáveis.</p><p>Lembrando sempre que é de suma importância escolhermos um limite,</p><p>pois, nesse caso, não teremos superfícies infinitas. Sendo assim, quando</p><p>passamos tudo isso para um plano gráfico, nosso principal objetivo é</p><p>obter um elemento de área.</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Sendo o campo vetorial , calcule o valor da integral de linha</p><p>abaixo, usando o teorema de Green. Considere que a curva fechada simples C delimita</p><p>no plano uma região D, onde esta possui área A.</p><p>A. 2A</p><p>B. 5A/2</p><p>C. 3A/2</p><p>D. A</p><p>E. 3A</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Resposta válida no sitema é a B: 5A/2</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Dentre os conjuntos de funções apresentados logo abaixo, selecione aquele que representa</p><p>corretamente a relação entre os sistemas de coordenadas cartesiana e cilíndrica.</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Sendo S uma superfície com equação z = f(x,y) (gráfico da função), reconheça a equação que</p><p>calcule a área dessa superfície:</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Um subconjunto é denominado de superfície S se existe uma região R e uma função injetora f,</p><p>de forma que:</p><p>a. A função f junto com a região R é chamada de somatória de S.</p><p>b. A função f junto com a região R é chamada de domínio de S.</p><p>c. A função f junto com a região R é chamada de não nulidade de S.</p><p>d. A função f junto com a região R é chamada de divisão de S.</p><p>e. A função f junto com a região R é chamada de parametrização de S.</p><p>JUSTIFICATIVA</p><p>Quando falamos sobre parametrização de um plano, um subconjunto é chamado superfície se existe um</p><p>subconjunto e uma função injetora, tal que é correto afirmar que a função junto com a região é chamada de</p><p>parametrização.</p><p>Semana</p><p>6</p><p>O cálculo de onde 𝑆 é a superfície esférica x² + y² + z² = 16 é:</p><p>a. 2048 π</p><p>b. 2048 π / 2</p><p>c. 2048 π / 4</p><p>d. 2048 π / 3</p><p>e. 2048 π / 5</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação que calcula o fluxo de uma superfície S dada por um gráfico</p><p>z = g(x, y), com F = (P, Q, R)</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Semana</p><p>6</p><p>O valor de onde S é a superfície plana 3x + 2y + z = 12 delimitada pelos planos y = 0, y = 2, x = 1 e x = 0</p><p>é:</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação do cálculo da área de uma superfície S</p><p>parametrizada por X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))</p><p>A. .</p><p>B. .</p><p>C. .</p><p>D. .</p><p>E. .</p><p>Comentário da resposta: Dado uma superfície S parametrizada por</p><p>X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) a equação do cálculo da área dessa</p><p>superfície é dada por:</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação do cálculo do fluxo de um campo F</p><p>através de uma superfície S na direção de n(u,v), onde a superfície S é parametrizada</p><p>por X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))</p><p>Comentário da resposta: . Dado uma superfície S parametrizada por</p><p>X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) a equação do cálculo do fluxo de um</p><p>campo F através de uma superfície S na direção de n(u,v) é dada por:</p><p>A. .</p><p>B. .</p><p>C. .</p><p>D. .</p><p>E. .</p><p>Semana</p><p>6</p><p>A. 116/5</p><p>B. 29</p><p>C. 116/3</p><p>D. 116/7</p><p>E. Nenhuma das anteriores</p><p>Calcule a massa do pedaço do cilindro x² + y² = 4 , acima do plano z = - 1 e abaixo da</p><p>superfície z = 10 – xy, com x ≥ 0, y ≥ 0 e com densidade</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Calcule sendo S o pedaço do paraboloide</p><p>, com , orientado com a normal de cota positiva.</p><p>Comentário da resposta:</p><p>A. 180 π</p><p>B. 60 π</p><p>C. 10 π</p><p>D. 90 π</p><p>E. Nenhuma das anteriores</p><p>Semana</p><p>6</p><p>A. 12 π</p><p>B. 24 π</p><p>C. 6 π</p><p>D. π</p><p>E. Nenhuma das anteriores</p><p>Calcule sendo S o pedaço do paraboloide</p><p>, com , orientado com a normal de cota positiva.</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Comentário da resposta: Se for possível escolher um vetor norma n em cada ponto</p><p>(x, y, z) de modo que n varie continuamente sobre S, então S é chamada superfície</p><p>orientada e a escolha dada de n fornece orientação para S</p><p>Questão referente ao Texto-base – Cálculo: volume 2.</p><p>Uma superfície S é dita superfície orientada se:</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Questão referente ao Texto-base – Teorema de Green e integrais de superfícies: roteiro de</p><p>estudos.</p><p>Assinale a alternativa que contenha uma aplicação do Teorema de Green.</p><p>Comentário da resposta: Uma aplicação do Teorema de Green é a</p><p>simplificação do cálculo de integrais de linha, transformando-as em integrais</p><p>duplas. Essa aplicação funciona principalmente quando a expressão do</p><p>rotacional do campo vetorial é mais simples que a expressão do campo.</p><p>A. Associar o campo vetorial com seu rotacional</p><p>B. Simplificar o cálculo de integrais de linha, transformando-as em integrais duplas</p><p>C. Associar o contorno (ou fronteira) de uma região com a região</p><p>D. Aplicar o cálculo do rotacional no cálculo do trabalho</p><p>E. Entender a dificuldade do cálculo da integral de linha</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Turma 2021</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Turma 2021</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Turma 2021</p><p>Semana</p><p>6</p><p>Semana</p><p>7</p><p>a. É dada pela regra da mão esquerda da física onde o dedo polegar fica na direção do vetor normal e o</p><p>movimento dos dedos palmares orienta o bordo</p><p>b. É dada pela regra da mão direita da física onde o dedo polegar fica na direção do vetor normal e o</p><p>movimento dos dedos palmares orienta o bordo</p><p>c. É dada pela regra da mão direita da física onde o dedo polegar fica na direção oposta do vetor normal e o</p><p>movimento dos dedos palmares orienta o bordo</p><p>d. É dada pela regra da mão direita da física onde o dedo polegar fica na direção do vetor tangente a um</p><p>ponto e o movimento dos dedos palmares orienta o bordo</p><p>e. É dada pela regra da mão direita da física onde o dedo polegar fica na direção do vetor normal e o</p><p>movimento dos dedos palmares é a orientação oposta o bordo</p><p>Assinale a alternativa que contenha o modo de obter a orientação coerente e uma superfície.</p><p>Comentário da resposta: Para obter a orientação coerente de uma superfície devemos</p><p>utilizar a regra da mão direita da física, onde o dedo polegar fica na direção do vetor normal</p><p>e o movimento dos dedos palmares orienta o bordo.</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>.</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Em qual dos casos abaixo pode ser usado o Teorema de Gauss?</p><p>a. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas permeáveis que sejam abertas. É</p><p>importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na física espacial.</p><p>b. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas impermeáveis que sejam</p><p>fechadas. É importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria</p><p>e na física</p><p>c. Cálculo de fluxos de campos circulares através de membranas permeáveis que sejam</p><p>fechadas. É importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria</p><p>e na física.</p><p>d. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas permeáveis que sejam fechadas. É</p><p>importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na física</p><p>e. Cálculo de fluxos de campos circulares através de membranas impermeáveis que sejam</p><p>fechadas. É importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria</p><p>e na física</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Qual a principal característica do Teorema de Gauss, para que ele seja</p><p>relevante em diversas aplicações?</p><p>a. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, é uma ferramenta</p><p>para corrigir integrais de superfície e integrais triplas</p><p>b. O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, é uma das</p><p>ferramentas para relacionar as integrais de superfície e as integrais duplas de um sistema</p><p>c. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da convergência, é uma</p><p>ferramenta para relacionar integrais de superfície e integrais triplas</p><p>d. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da convergência, é uma</p><p>ferramenta para relacionar integrais de superfície e integrais quadráticas</p><p>e. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, é uma ferramenta</p><p>para relacionar integrais de superfície e integrais triplas</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Semana</p><p>7</p><p>Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa</p><p>Informações do teste</p><p>Descrição</p><p>Instruções Olá, estudante!</p><p>1. Para responder a esta atividade, selecione a(s) alternativa(s) que você considerar correta(s);</p><p>2. Após selecionar a resposta correta em todas as questões, vá até o fim da página e pressione “Enviar teste”.</p><p>3. A cada tentativa, as perguntas e alternativas são embaralhadas</p><p>Pronto! Sua atividade já está registrada no AVA.</p><p>Várias tentativas Este teste permite 3 tentativas. Esta é a tentativa número 1.</p><p>Forçar conclusão Este teste pode ser salvo e retomado posteriormente.</p><p>Suas respostas foram salvas automaticamente.</p><p>Podemos dizer que o Teorema de Stokes é uma generalização do teorema fundamental do cálculo,</p><p>onde a integral de uma função em um intervalo pode ser calculado através de uma antiderivada de F</p><p>de f.</p><p>Qual resposta abaixo está correta para a função desse teorema?</p><p>a.</p><p>∫</p><p>a</p><p>b</p><p>f (x ) dy = F (x ) − F (y ) .</p><p>b.</p><p>∫</p><p>a</p><p>b</p><p>f (x ) dy = F (x ) − F ( z) .</p><p>c.</p><p>∫</p><p>a</p><p>b</p><p>f (x ) dx = F ( b) − F ( a) .</p><p>d.</p><p>∫</p><p>a</p><p>b</p><p>f (x ) dx = F (xy ) − F (yb) .</p><p>e.</p><p>∫</p><p>a</p><p>b</p><p>f (x ) dx = F ( 3) − F ( 8) .</p><p>PERGUNTA 1 1,5 pontos   Salva</p><p>Sobre o Teorema de Gauss, para campos com fluxo sobre superfícies fechadas, cujo interior esteja no</p><p>seu domínio, este é nulo e pode ser representado a partir da seguinte equação:</p><p>a.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdW = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 3.</p><p>b.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdV = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 0.</p><p>c.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdV · dW · dZ = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 21.</p><p>d.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdV = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 180.</p><p>PERGUNTA 2 1,5 pontos   Salva</p><p>Estado de Conclusão da Pergunta:</p><p>e.</p><p>∬</p><p>S</p><p>→</p><p>F · →ndA = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>Div</p><p>→</p><p>FdV = ∫ ∫ ∫</p><p>v</p><p>0dV = 2.</p><p>O Teorema de Stokes é uma generalização do teorema fundamental do cálculo, que estabelece que a</p><p>integral de uma função f sobre um intervalo [a, b] pode ser calculada através de uma antiderivada F</p><p>de f. E o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com</p><p>a integral dupla, sobre a região limitada pela mesma curva.</p><p>Sendo assim, é correto afirmar sobre esses teoremas:</p><p>a. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de busca de domínios matriciais em várias</p><p>variáveis e possuem importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>b. Podemos dizer que os Teoremas de Green e Gauss são teoremas de pequena importância e consistem</p><p>na integração de três variáveis e possuem poucas aplicações na geometria e na física.</p><p>c. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de integração em várias variáveis e possuem</p><p>importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>d. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de integração em várias variáveis e possuem</p><p>poucas aplicações em qualquer área da matemática.</p><p>e. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de integração em várias variáveis e possuem</p><p>importantes aplicações na geografia e na história.</p><p>PERGUNTA 3 2,5 pontos   Salva</p><p>Sobre os pontos máximos e mínimos de uma função, é correto afirmar:</p><p>a. Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for o triplo ou igual ao</p><p>valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>b. Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for menor ou o triplo</p><p>do valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>c. Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for maior ou igual ao</p><p>valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>d. Um ponto vetorial é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for maior ou igual ao valor</p><p>da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>e. Um ponto de domínio é um ponto de mínimo se o valor da função naquele ponto for maior ou igual ao</p><p>valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>PERGUNTA 4 2,5 pontos   Salva</p><p>Sobre o Teorema de Gauss, é correto afirmar que:</p><p>a. Ele necessita de condições, como “S” sendo uma superfície plana orientável e orientada pelo vetor</p><p>normal exterior →n . Dessa forma, o que ele irá dizer é algo sobre o domínio desse campo nessa</p><p>superfície.</p><p>b. Ele necessita de condições, como “S” sendo uma superfície fechada orientável e orientada pelo vetor</p><p>diagonal exterior →n . Dessa forma, o que ele irá dizer é algo sobre o fluxo desse campo nessa superfície.</p><p>c. Podem ser calculadas condições, como “S” sendo uma superfície fechada não orientável e orientada pelo</p><p>vetor normal exterior →n . Dessa forma, o que ele irá dizer é algo sobre o fluxo desse campo nessa</p><p>superfície.</p><p>d. Ele necessita de condições, como “S” sendo uma superfície aberta orientável e orientada pelo vetor</p><p>normal exterior →n . Dessa forma, o que ele irá dizer é algo sobre o fluxo desse campo nessa superfície.</p><p>e. Ele necessita de condições, como “S” sendo uma superfície fechada orientável e orientada pelo vetor</p><p>normal exterior →n . Dessa forma, o que ele irá dizer é algo sobre o fluxo desse campo nessa superfície.</p><p>PERGUNTA 5 1 pontos   Salva</p><p>Em qual dos casos abaixo pode ser usado o Teorema de Gauss?</p><p>a Cálc lo de fl os de campos circ lares atra és de membranas impermeá eis q e sejam fechadas É</p><p>PERGUNTA 6 1 pontos   Salva</p><p>Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar. Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as respostas.</p><p>a. Cálculo de fluxos de campos circulares através de membranas impermeáveis que sejam fechadas. É</p><p>importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>b. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas permeáveis que sejam abertas. É</p><p>importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na física espacial.</p><p>c. Cálculo de fluxos de campos circulares através de membranas permeáveis que sejam fechadas. É</p><p>importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>d. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas permeáveis que sejam fechadas. É</p><p>importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>e. Cálculo de fluxos de campos vetoriais através de membranas impermeáveis que sejam fechadas. É</p><p>importante destacar que esse teorema possui importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>Salvar todas as respostas Salvar e Enviar</p><p>17/03/24, 11:13 Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa – Cálculo I...</p><p>https://ava.univesp.br/webapps/assessment/take/launch.jsp?course_assessment_id=_183781_1&course_id=_12680_1&content_id=_1489054_1… 1/5</p><p>Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa</p><p>Informações do teste</p><p>Descrição</p><p>Instruções Olá, estudante!</p><p>1. Para responder a esta atividade, selecione a(s) alternativa(s) que você</p><p>considerar correta(s);</p><p>2. Após selecionar a resposta correta em todas as questões, vá até o fim da</p><p>página e pressione “Enviar teste”.</p><p>3. A cada tentativa, as perguntas e alternativas são embaralhadas</p><p>Pronto! Sua atividade já está registrada no AVA.</p><p>Várias</p><p>tentativas</p><p>Este teste permite 3 tentativas. Esta é a tentativa número 1.</p><p>Forçar</p><p>conclusão</p><p>Este teste pode ser salvo e retomado posteriormente.</p><p>Suas respostas foram salvas automaticamente.</p><p>O cálculo integral é crítico para muitos campos científicos.</p><p>Muitas ferramentas matemáticas poderosas dependem da</p><p>integração. As equações diferenciais, por exemplo, são o</p><p>resultado direto do desenvolvimento da integração. A</p><p>integração tem origem em dois problemas distintos. O</p><p>problema mais imediato é o de encontrar a transformação</p><p>inversa da derivada. Esse conceito é chamado</p><p>antiderivada. O outro problema lida com áreas e como</p><p>encontrá-las. A ponte entre esses dois problemas</p><p>diferentes é o Teorema Fundamental do Cálculo.</p><p>Calcule a área delimitada pelos gráficos de y =sen(x) e y =</p><p>cos(x) entre</p><p>π</p><p>4</p><p>e</p><p>5π</p><p>4</p><p>.</p><p>a. π</p><p>b. 2 2</p><p>PERGUNTA 1 1,66 pontos   Salva</p><p>Estado de Conclusão da Pergunta:</p><p>17/03/24, 11:13 Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa – Cálculo I...</p><p>https://ava.univesp.br/webapps/assessment/take/launch.jsp?course_assessment_id=_183781_1&course_id=_12680_1&content_id=_1489054_1… 2/5</p><p>2 2</p><p>c. 3π</p><p>4</p><p>d. 0</p><p>e. 1</p><p>Calcular a área limitada por um gráfico, dada uma função e um</p><p>intervalo [a,b], é uma aplicação do cálculo das integrais, em</p><p>especial, uma aplicação da integral definida. Essa aplicação</p><p>está, diretamente, associada a um teorema, pois resulta da</p><p>definição desse teorema.</p><p>Diga o nome do teorema que resulta no cálculo de área limitada</p><p>por uma função e assinale a alternativa correspondente.</p><p>a. Teorema de L’Hospital.</p><p>b. Teorema da integral indefinida.</p><p>c. Teorema do sanduíche.</p><p>d. Teorema fundamental do cálculo.</p><p>e. Teorema de Taylor.</p><p>PERGUNTA 2 1,66 pontos   Salva</p><p>Seja 𝐴 a área da elipse dada pela equação 2x 2+ y 2= 2. Então, é</p><p>correto afirmar que:</p><p>a.</p><p>A =</p><p>π</p><p>2</p><p>b.</p><p>A = 2 2π</p><p>c.</p><p>A =</p><p>π</p><p>2</p><p>d. A = 2π</p><p>e.</p><p>A = 2π</p><p>PERGUNTA 3 1,68 pontos   Salva</p><p>17/03/24, 11:13 Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa – Cálculo I...</p><p>https://ava.univesp.br/webapps/assessment/take/launch.jsp?course_assessment_id=_183781_1&course_id=_12680_1&content_id=_1489054_1… 3/5</p><p>π</p><p>Considere a curva y=xn. Quando n é um inteiro positivo, a</p><p>curva é uma função potência que começa na origem e</p><p>cresce rapidamente à medida que x aumenta. Essas</p><p>curvas podem ser usadas para modelar uma ampla gama</p><p>de fenômenos, desde o crescimento de populações até o</p><p>decaimento de materiais radioativos. Por exemplo, a</p><p>função y=xn pode ser usada para modelar o crescimento</p><p>de uma população de bactérias, em que n representa a</p><p>taxa de crescimento.</p><p>Seja n um número natural. Calcule a área entre as curvas</p><p>y=xn e y=xn+1.</p><p>a. n 3+ 3n + 2</p><p>b. 1</p><p>n 2− ( n + 1)</p><p>2</p><p>c. 1</p><p>d. 1</p><p>n 3+ 3n + 2</p><p>e. 1</p><p>n 2</p><p>PERGUNTA 4 1,68 pontos   Salva</p><p>Alguns problemas de integração, incluindo os problemas de</p><p>aplicação nos quais é calculada a área limitada pela função,</p><p>podem apresentar funções conhecidas como integrais</p><p>impróprias. Estas são integrais definidas em um intervalo, mas</p><p>com certa diferença.</p><p>Avalie as afirmações a seguir sobre a explicação a respeito das</p><p>integrais impróprias.</p><p>I. Em uma integral imprópria, pelo menos um dos extremos do</p><p>PERGUNTA 5 1,66 pontos   Salva</p><p>17/03/24, 11:13 Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa – Cálculo I...</p><p>https://ava.univesp.br/webapps/assessment/take/launch.jsp?course_assessment_id=_183781_1&course_id=_12680_1&content_id=_1489054_1… 4/5</p><p>Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar. Clique em Salvar todas as respostas para salvar</p><p>todas as respostas.</p><p>u a teg a p óp a, pe o e os u dos e t e os do</p><p>intervalo é ± ∞ .</p><p>II. Integrais impróprias são definidas em um intervalo [a ,b] ∈ R</p><p>(números reais).</p><p>III. Uma integral imprópria é chamada de convergente se o limite</p><p>existe.</p><p>IV. Quando o limite não existe, a integral é chamada de</p><p>convergente.</p><p>Está correto o que se afirma em:</p><p>a. I e II, apenas.</p><p>b. I e III, apenas.</p><p>c. II e III, apenas.</p><p>d. III e IV, apenas.</p><p>e. I e IV, apenas.</p><p>Considere a função f (x ) =xe −x . Com relação a integral imprópria</p><p>∫</p><p>0</p><p>∞</p><p>f (x ) dx , é correto afirmar que:</p><p>a.</p><p>∫</p><p>0</p><p>∞</p><p>f (x ) dx = 1</p><p>b.</p><p>∫</p><p>0</p><p>∞</p><p>f (x ) dx não é convergente.</p><p>c.</p><p>∫</p><p>0</p><p>∞</p><p>f (x ) dx = 0</p><p>d.</p><p>∫</p><p>0</p><p>∞</p><p>f (x ) dx =e</p><p>e.</p><p>∫</p><p>0</p><p>∞</p><p>f (x ) dx =e −1</p><p>PERGUNTA 6 1,66 pontos   Salva</p><p>17/03/24, 11:13 Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa – Cálculo I...</p><p>https://ava.univesp.br/webapps/assessment/take/launch.jsp?course_assessment_id=_183781_1&course_id=_12680_1&content_id=_1489054_1… 5/5</p><p>Salvar todas as respostas Salvar e Enviar</p><p>Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa</p><p>Informações do teste</p><p>Descrição</p><p>Instruções Olá, estudante!</p><p>1. Para responder a esta atividade, selecione a(s) alternativa(s) que você considerar correta(s);</p><p>2. Após selecionar a resposta correta em todas as questões, vá até o fim da página e pressione “Enviar teste”.</p><p>3. A cada tentativa, as perguntas e alternativas são embaralhadas</p><p>Pronto! Sua atividade já está registrada no AVA.</p><p>Várias tentativas Este teste permite 3 tentativas. Esta é a tentativa número 1.</p><p>Forçar conclusão Este teste pode ser salvo e retomado posteriormente.</p><p>Suas respostas foram salvas automaticamente.</p><p>Seja S a porção superior de uma esfera que intercepta o plano z = 0 na circunferência x 2 + y 2 = 1. Se F (x , y , z) = (y , − x , e xz ) , calcule ∫ ∫</p><p>s</p><p>[ ( VxF) ∙ →n].dS .</p><p>a. π .</p><p>b. − 2π.</p><p>c. − π.</p><p>d.</p><p>−</p><p>2</p><p>π</p><p>.</p><p>e. 2π.</p><p>PERGUNTA 1 1,5 pontos   Salva</p><p>Calcule a integral de superfície do campo vetorial</p><p>→</p><p>F (x , y , z) = xy 2.i + x 2 y .j + y .k através da superfície S de um bloco cilíndrico, onde este é limitado por x 2 + y 2 ≤ 1 e z = ± 1.</p><p>a. π</p><p>b. 1</p><p>4</p><p>c. π</p><p>2</p><p>d. 1</p><p>12</p><p>e. 7.π</p><p>PERGUNTA 2 1,5 pontos   Salva</p><p>O Teorema de Stokes é uma generalização do teorema fundamental do cálculo, que estabelece que a integral de uma função f sobre um intervalo [a, b] pode ser calculada através de uma antiderivada F de f. E o Teorema de Green relaciona</p><p>a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla, sobre a região limitada pela mesma curva.</p><p>Sendo assim, é correto afirmar sobre esses teoremas:</p><p>a. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de integração em várias variáveis e possuem importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>b. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de busca de domínios matriciais em várias variáveis e possuem importantes aplicações na geometria e na física.</p><p>c. Podemos dizer que os Teoremas de Green e Gauss são teoremas de pequena importância e consistem na integração de três variáveis e possuem poucas aplicações na geometria e na física.</p><p>d. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de integração em várias variáveis e possuem poucas aplicações em qualquer área da matemática.</p><p>e. Os Teoremas de Green e Gauss são os grandes teoremas de integração em várias variáveis e possuem importantes aplicações na geografia e na história.</p><p>PERGUNTA 3 2,5 pontos   Salva</p><p>Sobre os pontos máximos e mínimos de uma função, é correto afirmar:</p><p>a. Um ponto de domínio é um ponto de mínimo se o valor da função naquele ponto for maior ou igual ao valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>b. Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for o triplo ou igual ao valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>c. Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for menor ou o triplo do valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>d. Um ponto de domínio é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for maior ou igual ao valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>e. Um ponto vetorial é um ponto de máximo se o valor da função naquele ponto for maior ou igual ao valor da função em todos os outros pontos de domínio.</p><p>PERGUNTA 4 2,5 pontos   Salva</p><p>Sejam</p><p>→</p><p>F um campo vetorial, S uma superfície parametrizada regular, e →n um versor normal a S. Quando falamos sobre o fluxo de</p><p>→</p><p>F através de S na direção de →n , é correto dizer que temos a seguinte equação:</p><p>a.</p><p>∬</p><p>s</p><p>(</p><p>→</p><p>F ∙ →n ) dW</p><p>b.</p><p>∬</p><p>s</p><p>(</p><p>→</p><p>F ∙ →n ) dS</p><p>c.</p><p>∬</p><p>N</p><p>(</p><p>→</p><p>F ∙ →n ) dA</p><p>d.</p><p>∬</p><p>s</p><p>(</p><p>→</p><p>F ∙ →n ) dA · dB · dC</p><p>e.</p><p>∬</p><p>s</p><p>(</p><p>→</p><p>F ∙ →n ) dA · dS</p><p>PERGUNTA 5 1 pontos   Salva</p><p>Qual a principal característica do Teorema de Gauss, para que ele seja relevante em diversas aplicações?</p><p>a. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, é uma ferramenta para relacionar integrais de superfície e integrais triplas.</p><p>b. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da convergência, é uma ferramenta para relacionar integrais de superfície e integrais triplas.</p><p>c. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, é uma ferramenta para corrigir integrais de superfície e integrais triplas.</p><p>d. O Teorema de Gauss, também conhecido como teorema da convergência, é uma ferramenta para relacionar integrais de superfície e integrais quadráticas.</p><p>e. O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, é uma das ferramentas para relacionar as integrais de superfície e as integrais duplas de um sistema.</p><p>PERGUNTA 6 1 pontos   Salva</p><p>Estado de Conclusão da Pergunta:</p><p>Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar. Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as respostas. Salvar todas as respostas Salvar e Enviar</p><p>Revisar envio do teste: Semana 7 - Atividade AvaliativaCálculo II - MCA502 - Turma 002 Atividades</p><p>Revisar envio do teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa</p><p>Usuário</p><p>Curso</p><p>Teste</p><p>Iniciado</p><p>Enviado</p><p>Status</p><p>Resultado da</p><p>Cálculo II - Semana 7 -</p><p>Atividade Avaliativa</p><p>Completada</p><p>10 em 10 pontos</p><p>tentativa</p><p>Tempo decorrido</p><p>1. Para responder a esta atividade, selecione a(s) alternativa(s) que você</p><p>considerar correta(s);</p><p>2. Após selecionar a resposta correta em todas as questões, vá até o fim</p><p>da página e pressione “Enviar teste”.</p><p>3. A cada tentativa, as perguntas e alternativas são embaralhadas</p><p>Pronto! Sua atividade já está registrada no AVA.</p><p>Pergunta 1</p><p>Seja S a porção superior de uma esfera que intercepta o plano z = 0 na</p><p>circunferência x 2 + y 2 = 1. Se F (x , y , z) = (y , − x , e xz ) , calcule</p><p>∫ ∫</p><p>s</p><p>[ ( VxF) ∙ →n].dS .</p><p>Pergunta 2</p><p>Calcule a integral de superfície do campo vetorial</p><p>→</p><p>F (x , y , z) = xy 2.i + x 2 y .j + y .k através da superfície S de um bloco</p><p>cilíndrico, onde este é limitado por x 2 + y 2 ≤ 1 e z = ± 1.</p><p>Pergunta 3</p><p>1,5 em 1,5 pontos</p><p>1,5 em 1,5 pontos</p><p>2,5 em 2,5 pontos</p><p>https://ava.univesp.br/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_12691_1</p><p>https://ava.univesp.br/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_12691_1&content_id=_1487788_1&mode=reset</p><p>Terça-feira, 12 de Março de 2024 23h46min42s BRT</p><p>O Teorema de Stokes é uma generalização do teorema fundamental do</p><p>cálculo,</p><p>que estabelece que a integral de uma função f sobre um</p><p>intervalo [a, b] pode ser calculada através de uma antiderivada F de f. E</p><p>o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva</p><p>fechada no plano com a integral dupla, sobre a região limitada pela</p><p>mesma curva.</p><p>Sendo assim, é correto afirmar sobre esses teoremas:</p><p>Pergunta 4</p><p>Sobre os pontos máximos e mínimos de uma função, é correto afirmar:</p><p>Pergunta 5</p><p>Sejam</p><p>→</p><p>F um campo vetorial, S uma superfície parametrizada regular, e →n</p><p>um versor normal a S. Quando falamos sobre o fluxo de</p><p>→</p><p>F através de S</p><p>na direção de →n , é correto dizer que temos a seguinte equação:</p><p>Pergunta 6</p><p>Qual a principal característica do Teorema de Gauss, para que ele seja</p><p>relevante em diversas aplicações?</p><p>← OK</p><p>2,5 em 2,5 pontos</p><p>1 em 1 pontos</p><p>1 em 1 pontos</p><p>1B24_MCA502_Semana 07Avaliativas</p><p>1B24_MCA502_Semana 07Avaliativas</p><p>07_Atividade Avaliativa</p><p>Atividade Avaliativa Sem7</p><p>Calculo Todas as semanas(1)</p><p>Calculo Todas as semanas</p><p>Calculo Todas as semanas</p><p>Slide 1: Assinale a alternativa que contenha uma função de várias variáveis e seu respectivo domínio.</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p><p>Slide 27</p><p>Slide 28</p><p>Slide 29</p><p>Slide 30</p><p>Slide 31</p><p>Slide 32</p><p>Slide 33</p><p>Slide 34</p><p>Slide 35</p><p>Slide 36</p><p>Slide 37</p><p>Slide 38</p><p>Slide 39</p><p>Slide 40</p><p>Slide 41</p><p>Slide 42</p><p>Slide 43</p><p>Slide 44</p><p>Slide 45</p><p>Slide 46</p><p>Slide 47</p><p>Slide 48</p><p>Slide 49</p><p>Slide 50</p><p>Slide 51</p><p>Slide 52</p><p>Slide 53</p><p>Slide 54</p><p>Slide 55</p><p>Slide 56</p><p>Slide 57</p><p>Slide 58</p><p>Slide 59</p><p>Slide 60</p><p>Slide 61</p><p>Slide 62</p><p>Slide 63</p><p>Slide 64</p><p>Slide 65</p><p>Slide 66</p><p>Slide 67</p><p>Slide 68</p><p>Slide 69</p><p>Slide 70</p><p>Slide 71</p><p>Slide 72</p><p>Slide 73</p><p>Slide 74</p><p>Slide 75</p><p>Slide 76</p><p>Slide 77</p><p>Slide 78</p><p>Slide 79</p><p>Slide 80</p><p>Slide 81</p><p>Slide 82</p><p>Slide 83</p><p>Slide 84</p><p>Slide 85</p><p>Slide 86</p><p>Slide 87</p><p>Slide 88</p><p>Slide 89</p><p>Slide 90</p><p>Slide 91</p><p>Slide 92</p><p>Slide 93</p><p>Slide 94</p><p>Slide 95</p><p>Slide 96</p><p>Slide 97</p><p>Slide 98</p><p>Slide 99</p><p>Slide 100</p><p>Slide 101</p><p>Slide 102</p><p>Slide 103</p><p>Slide 104</p><p>Slide 105</p><p>Slide 106</p><p>Slide 107</p><p>Slide 108</p><p>Slide 109</p><p>Slide 110</p><p>Slide 111</p><p>Slide 112</p><p>Slide 113</p><p>Slide 114</p><p>Slide 115</p><p>Slide 116</p><p>Slide 117</p><p>Slide 118</p><p>Slide 119</p><p>Slide 120</p><p>Slide 121</p><p>Slide 122</p><p>Slide 123</p><p>Slide 124</p><p>Slide 125</p><p>Slide 126</p><p>Slide 127</p><p>Slide 128</p><p>Slide 129</p><p>Slide 130</p><p>Slide 131</p><p>Slide 132</p><p>Slide 133</p><p>Slide 134</p><p>Slide 135</p><p>Slide 136</p><p>Slide 137</p><p>Slide 138</p><p>Slide 139</p><p>Slide 140</p><p>Slide 141</p><p>Slide 142</p><p>Slide 143</p><p>Slide 144</p><p>Slide 145</p><p>Slide 146</p><p>Slide 147</p><p>Slide 148</p><p>Slide 149</p><p>Slide 150</p><p>Slide 151</p><p>Fazer teste_ Semana 7 - Atividade Avaliativa – Cálculo .._</p><p>Fazer teste_ Semana 7 - Atividade Avaliativa – Cálculo I.._</p><p>Fazer-teste-Semana-7-Atividade-Avaliativa-–-Cálculo-</p><p>Fazer-teste-Semana-7-Atividade-Avaliativa-–-Cálculo2-</p><p>Nota 10 - Calculo II - Semana 7 - Tentativa 1</p><p>Nota 10 - Calculo II - Semana 7 - Tentativa 1</p><p>Prova final</p><p>que intercepta o plano z = 0 na</p><p>circunferência x 2 + y 2 = 1. Se F (x , y , z) = (y , − x , e xz ) ,</p><p>calcule ∫ ∫</p><p>s</p><p>[ ( VxF ) ∙ →n].dS .</p><p>a. − 2π.</p><p>b.</p><p>−</p><p>2</p><p>π</p><p>.</p><p>c. − π.</p><p>d. 2π.</p><p>e. π .</p><p>PERGUNTA 6 1,5 pontos   Salva</p><p>Clique em Salvar e Enviar para salvar e enviar. Clique em Salvar todas as respostas para salvar todas as r</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Assinale a alternativa que contenha</p><p>uma função de várias variáveis e</p><p>seu respectivo domínio.</p><p>Comentário da resposta:</p><p>A condição de</p><p>existência para a</p><p>função</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Dada a função f(x, y) = 3x⁴y⁵, assinale a alternativa que</p><p>contenha uma de suas derivadas parciais</p><p>corretamente.</p><p>Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = 3x⁴y⁵ em relação a x é:</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Dada a função f(x, y) = x² + y³, onde x = s² - t e y = st,</p><p>assinale a alternativa que contenha suas derivadas parciais</p><p>corretamente.</p><p>Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = x² + y² em relação a s é:</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Questão referente ao Texto-base - Derivadas Parciais</p><p>De acordo com o Teorema de Clairaut, diga as condições para que as</p><p>derivadas parciais , sejam iguais.</p><p>Comentário da resposta: Se a função f deve estar definida em um</p><p>conjunto aberto D que contenha \(a,b) e as derivadas fxy e fyx forem</p><p>contínuas no conjunto D, então</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Quando falamos em funções de diversas variáveis na disciplina de Cálculo II,</p><p>ocorre algo interessante quando encontramos a imagem Z = f(x,y): por serem</p><p>diferentes variáveis, temos, muitas vezes, repetições de imagens para distintas</p><p>combinações de valores de x e y.</p><p>Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis acabam tendo</p><p>uma imagem Z, muitas vezes, com repetições de valores, mesmo</p><p>utilizando valores diferentes para as variáveis independentes. Podemos</p><p>dizer que as repetições de imagens para diferentes valores nos levam ao</p><p>conceito de curva de nível e superfície de nível.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Sabe-se que, para construir um gráfico, são necessários eixos coordenados.</p><p>Quando fazemos gráficos de apenas uma variável que possui os eixos x e y,</p><p>temos, então, uma curva nesse plano, representada em um sistema de</p><p>coordenadas cartesianas, apresentando o eixo das abcissas e o eixo das</p><p>ordenadas.</p><p>Comentário da resposta: Como estudado, o gráfico de funções de duas</p><p>variáveis independentes possui três eixos coordenados, que são os eixos</p><p>x, y e z</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Um dos conceitos estudados dentro dos cálculos e da matemática é o de derivadas</p><p>parciais. Estas são as derivadas das funções de duas variáveis e apresentam,</p><p>também, uma interpretação geométrica bastante aplicável.</p><p>Comentário da resposta: As derivadas parciais são derivadas para funções de</p><p>duas ou mais variáveis. Para isso, é necessário derivar uma variável por vez,</p><p>porém utilizando as mesmas condições básicas de derivação para uma variável.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Quando falamos sobre limite de uma função, a definição de limite é utilizada</p><p>no intuito de expor o comportamento de tal função nos momentos de</p><p>aproximação. Sabe-se que existem teoremas de limites, como o teorema do limite</p><p>da soma de duas ou mais funções de mesma variável, que deve ser igual à soma</p><p>dos seus limites.</p><p>Comentário da resposta: O Teorema de Limite do Produto nos diz que o limite</p><p>do produto de duas ou mais funções de mesma variável (e não variáveis</p><p>diferentes) deve ser igual à multiplicação (e não à soma) de seus limites.</p><p>Semana 1</p><p>A definição de limite é utilizada no intuito de</p><p>expor o comportamento de uma função nos</p><p>momentos de aproximação de determinados</p><p>valores. O limite de uma função possui grande</p><p>importância quando estudamos Cálculo e em</p><p>outros ramos da análise matemática,</p><p>definindo derivadas e continuidade de funções.</p><p>Comentário da resposta: Quando uma função</p><p>f(x,y) possui um limite A, este tem como</p><p>imagem o subconjunto .</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Sabemos que, quando estudamos Cálculo II, as funções de diversas</p><p>variáveis são aquelas que possuem uma variável dependente e mais de uma</p><p>variável independente. Podemos citar como exemplos a temperatura de um</p><p>ambiente e a densidade de um ambiente.</p><p>Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis são aquelas que possuem</p><p>uma variável dependente e mais de uma variável independente. Sendo assim, na</p><p>função, temos a variável dependente de imagem Z que depende de duas variáveis x e</p><p>y. Podemos interpretar, então, que Z é a variável dependente, enquanto x e y são as</p><p>variáveis independentes.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Sabe-se que o polinômio de Taylor é uma</p><p>aproximação para a função f(x,y) no ponto (a,b).</p><p>Assinale a alternativa que contenha tal aproximação.</p><p>Comentário da resposta: A fórmula de Taylor da função f(x,y) é dada</p><p>pela aproximação:</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Diga qual a condição necessária para a</p><p>existência da integral dupla definida</p><p>Comentário da resposta: Uma condição suficiente para a existência da integral</p><p>definida em D é a continuidade da função f(x,y) na região D, pois se f(x,y) é</p><p>contínua em D então f é integrável em D.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Assinale a alternativa que contenha o</p><p>cálculo da integral tripla pelo</p><p>Teorema de Fubini quando é um</p><p>paralelepípedo.</p><p>Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado</p><p>contínua e D um paralelepípedo, então:</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla</p><p>pelo Teorema de Fubini quando</p><p>Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado</p><p>então</p><p>Semana 2</p><p>,</p><p>Questão referente ao Texto-base - Integrais múltiplas</p><p>Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as propriedades das</p><p>integrais duplas. Assinale a alternativa com a classificação correta. 1. , se</p><p>tais regiões não se sobrepõe exceto talvez suas fronteiras 2. , onde A(D) é a área de D.</p><p>3.</p><p>Comentário da resposta: As propriedades (I) e (II) são de integrais duplas, porém a propriedade (III):</p><p>não é propriedade da integral dupla, nem mesmo da integral simples.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Sabemos que existe um conceito básico e intrínseco às integrais</p><p>de volumes que, usualmente, denominamos de Teorema Fundamental</p><p>do Cálculo, uma vez que é o início dos conceitos aplicados ao volume</p><p>de integrais duplas e triplas.</p><p>Comentário da resposta</p><p>O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das operações centrais do</p><p>cálculo, diferenciação e integração, que são consideradas a inversão</p><p>uma da outra. Isso representa que uma função contínua é,</p><p>primeiramente, integrada e, posteriormente, diferenciada, voltando à</p><p>função original.</p><p>Semana 2</p><p>Quando desenhamos determinado sólido</p><p>dentro de um sistema de coordenadas,</p><p>como um gráfico, podemos determinar seu</p><p>volume por meio de integrais duplas. Para</p><p>uma região no espaço cartesiano xyz,</p><p>delimitada entre uma função z=f(x, y)>0 e</p><p>uma região retangular R no plano xy, como</p><p>se define o volume do sólido</p><p>compreendido entre eles?</p><p>Comentário da resposta: Uma aplicação das integrais duplas consiste na</p><p>determinação de volume de sólidos, que podem se encontrar em um espaço</p><p>compreendidos entre uma função z = f(x, y) e uma região R definido em um</p><p>plano.</p><p>Semana 2</p><p>Quando falamos em polinômio de Taylor,</p><p>sabemos da sua utilidade para estimar</p><p>valores de determinada função a partir da</p><p>utilização de suas derivadas. Essa é uma</p><p>ferramenta muito utilizada dentro do</p><p>cálculo diferencial e integral, a fim de</p><p>determinar valores de uma função</p><p>complexa de maneira mais simples.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta do</p><p>polinômio de Taylor de grau 3, em volta do</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Considere uma função tripla qualquer, como ,</p><p>sendo esta contínua, em determinada região T fechada e</p><p>limitada no tempo e no espaço. Ao final, a região T será subdividida</p><p>em planos paralelos aos três planos coordenados.</p><p>Comentário da resposta: Quando pensamos em integrais triplas, temos</p><p>que levar em consideração</p><p>que, dentro de uma região T de 1 a "n",</p><p>encontramos diversos paralelepípedos agrupados. Cada paralelepípedo que está</p><p>alocado em um ponto arbitrário e no k – ésimo paralelepípedo, é onde a soma</p><p>deve ser</p><p>calculada para determinar o volume desse objeto.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>O Teorema de Fubini possibilita o cálculo de uma integral dupla,</p><p>por meio do processo de integrações iteradas, permitindo a inversão</p><p>da ordem de integração.</p><p>Comentário da resposta: O teorema de Fubini tem como base o cálculo</p><p>de integrais duplas, onde duas integrações de uma variável são</p><p>realizadas, e uma terceira variável permanece fixa, de forma que a</p><p>função f(x, y) seja contínua em uma região D = [a,b] x [c,d].</p><p>Semana</p><p>2</p><p>A partir das integrais triplas, podemos encontrar interpretações físicas</p><p>com a massa de um sólido e sua respectiva densidade, uma vez que,</p><p>quando trabalhamos com integrais triplas, estamos relacionando os três</p><p>eixos (x, y, z) e derivando em função do volume.</p><p>Comentário da resposta: dV é o elemento diferencial do volume de um dado corpo de</p><p>interesse. Caso venha a ser efetuada a integral no espaço ocupado pelo mesmo -</p><p>usando um sistema de coordenadas adequado -, o resultado da conta é o seu volume</p><p>total, dado pela expressão</p><p>Semana 2</p><p>Quando falamos em polinômio de</p><p>Taylor, sabemos da sua utilidade</p><p>para estimar valores de determinada</p><p>função a partir da utilização de suas</p><p>derivadas. Essa é uma ferramenta</p><p>muito utilizada dentro do cálculo</p><p>diferencial e integral, a fim de</p><p>determinar valores de uma função</p><p>complexa de maneira mais simples.</p><p>Comentário da resposta: O conceito de polinômio</p><p>de Taylor de ordem 1 consiste, basicamente, na</p><p>definição de uma reta tangente. A partir desse</p><p>método, é possível estimar a função em diversos</p><p>pontos por meio de pontos próximos e, como dito</p><p>anteriormente, a partir da determinação da reta</p><p>tangente da função que estamos analisando.</p><p>Semana 2</p><p>Quando falamos em volume de</p><p>integral dupla, existe uma condição</p><p>suficiente para que a existência da</p><p>integral seja a continuidade da</p><p>função f (x, y) em uma região D</p><p>definida.</p><p>Comentário da resposta: A condição de</p><p>suficiência para a existência da integral</p><p>definida em D é a continuidade da função f(x,</p><p>y) na região D, porém, para que f(x, y) seja</p><p>contínua em D, a função f deve ser integrável</p><p>em um sólido denominado “D”.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a</p><p>partir da somatória da função f (x, y), multiplicada pela variação do deslocamento</p><p>do gráfico. Uma aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às</p><p>aproximações da área de funções e/ou linhas de um gráfico.</p><p>Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a partir</p><p>da somatória da função , multiplicada pela variação do deslocamento do gráfico. Uma</p><p>aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às aproximações da área de</p><p>funções e/ou linhas de um gráfico.</p><p>Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.</p><p>A. A soma de Riemann ƒ (x,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, zⱼ ]})</p><p>B. A soma de Riemann ƒ (y,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (yⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[yⱼ, zⱼ ]})</p><p>C. A soma de Riemann independe da função e é relativa à partição P e também a escolha dos pontos, podendo</p><p>ser descrita da seguinte maneira: S = (ƒ, P)</p><p>D.A soma de Riemann ƒ (x,y) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, yⱼ ]})</p><p>E. A soma de Riemann ƒ (x,y) não é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser</p><p>descrita da seguinte maneira: S = ƒ(xⱼ, yⱼ )</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Sabemos que um campo vetorial em R3 é determinado por uma função F:D R3, em</p><p>que D pertence a R3. Nesse caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas</p><p>componentes P, Q e R, da seguinte maneira:</p><p>Observe que P, Q e R são campos escalares, ou seja, funções com três variáveis.</p><p>Sobre as propriedades do gradiente de campos vetoriais em R3, é correto afirmar que:</p><p>A. São paralelas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f. B.</p><p>São diagonais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f. C. São</p><p>opostas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f. D. São</p><p>perpendiculares às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f. E. São</p><p>transversais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f</p><p>Comentário da resposta: A partir do Teorema dos Campos Vetoriais em R3, seja f</p><p>= f(x, y, z) um campo escalar de classe C2, então, o rotacional do gradiente da</p><p>função f é nulo frente aos cálculos vetoriais matemáticos.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Analise as funções de várias variáveis e o ponto indicado onde essa</p><p>função é contínua, classificando em verdadeiro (V) ou falso (F). Assinale a</p><p>alternativa que contenha a classificação correta.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento</p><p>que permite a localização de um ponto qualquer em determinado espaço de</p><p>formato esférico, por meio de um conjunto de três valores, chamados de</p><p>“coordenadas esféricas”.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta que apresenta o resultado de Dxyz em coordenadas esféricas.</p><p>A. Dp,x,y.</p><p>B. Dxi,yi,zi.</p><p>C. Dpθφ.</p><p>D. Du,w,n.</p><p>E. Dabc.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Existe uma relação direta entre as coordenadas cartesianas, aquelas</p><p>que comumente estudamos; e as coordenadas cilíndricas, conteúdo que</p><p>estamos analisando no momento.</p><p>Portanto, encontre a equação cilíndrica para a superfície cuja a equação em</p><p>equações cartesianas é dada por: x² + y² + 4z² = 16</p><p>A – 4r² + z² = 4</p><p>B - 4r² + z² = 16</p><p>C - r² + z² = 4</p><p>D - r² + z² = 16</p><p>E - r² + 4z² = 16</p><p>Semana</p><p>3</p><p>As relações matemáticas entre as coordenadas cartesiana e cilíndrica</p><p>existem e é possível relacionar o eixo z em função das relações cartesianas</p><p>existentes (x, y, z).</p><p>Encontre a equação cilíndrica da seguinte equação cartesiana: x² - y² = 3z².</p><p>A - r²cos(2θ) = z²</p><p>B - r²cos(2θ) = 3z²</p><p>C - r²cos(3θ) = 2z²</p><p>D - r²cos(θ) = 3z²</p><p>E - r²cos(θ) = z²</p><p>Semana 3</p><p>Ao pensarmos nas relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas, sabemos que</p><p>podemos relacionar o eixo y entre as diversas coordenadas (x, y, z). Além disso, existe</p><p>uma correlação matemática entre esses dois tipos de coordenadas.</p><p>Encontre a equação em coordenadas polares para a curva onde a equação em coordenadas</p><p>cartesiana é apresentada por: x³ + y³ - 6xy = 0.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O centro de massa, também conhecido como “baricentro” de um objeto, é</p><p>um ponto geométrico que age de maneira dinâmica, tal como se a força</p><p>resultante desse fenômeno de propriedades externas se aplicasse sobre ele.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta com as condições de um baricentro.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha três expressões de integrais triplas que determinam as</p><p>coordenadas do baricentro de um sólido D, com densidade</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Utilizando a regra da cadeia, assinale a alternativa que contenha a</p><p>derivada</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O Resultado da integral tripla é:</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o resultado de</p><p>onde �� é o retângulo . Aplique o Teorema de</p><p>Fubini.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Analise as funções e seus respectivos domínios, classificando em verdadeiro (V) ou</p><p>falso (F). Assinale a alternativa que contenha a classificação correta.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Determine o polinômio de Taylor</p><p>de ordem 1 da função</p><p>no ponto P(1,1)</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de f(x,y,z) em</p><p>coordenadas cilíndricas</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de</p><p>f(x,y,z) em coordenadas esféricas.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha os cálculos dos momentos de</p><p>inércia em relação aos planos , respectivamente:</p><p>Assinale a alternativa que contenha as propriedades do Gradiente.</p><p>Comentário da resposta: A propriedades do Gradiente são: perpendicular às curvas de</p><p>nível de ��=��(��,��) e aponta para a direção e sentido de maior variação de</p><p>��.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla de f(x,y) em</p><p>coordenadas polares se f é contínua em uma região polar da forma</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Sistemas de coordenadas cilíndricas são de extrema importância, uma vez</p><p>que podem ser utilizados para simplificar estudos relacionados a interações</p><p>múltiplas. esse sistema foi concebido a partir das definições sobre as</p><p>coordenadas polares e, em segunda instância, podemos pensá-lo como uma</p><p>evolução do modelo polar adequado ao espaço tridimensional.</p><p>Sobre esse assunto, assinale a alternativa com as variáveis que estão vinculadas aos</p><p>sistemas polares.</p><p>A. r, x, z.</p><p>B. x, y, z.</p><p>C. r, θ, z.</p><p>D. dr, dy, dz.</p><p>E. dx, dy, dz.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contém o resultado</p><p>da integral, onde D é a casca esférica</p><p>delimitada por x² + y² + z² = 9 e x² + y² + z² = 16.</p><p>A) - 175π</p><p>2</p><p>B) π</p><p>4</p><p>C) 175π</p><p>2</p><p>D) 0</p><p>E) 175π</p><p>Semana 3</p><p>Considerando a relação entre as coordenadas cartesianas e polares, vamos pensar no eixo y de um plano de</p><p>coordenadas cartesianas e correlacionar com as coordenadas polares. Dito isso, encontre uma equação de</p><p>coordenadas polares para uma determinada curva onde a equação em coordenadas cartesianas é (x² + y²)² -</p><p>4 (x² - y²) = 0</p><p>Semana 3</p><p>Semana 3</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação da reta tangente a y no ponto y(tₒ)</p><p>Comentário da resposta</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a</p><p>integral que calcula a massa de γ, onde</p><p>y:[a,b] → R³ é uma curva dada por y(t) = (x(t)</p><p>, y(t), z(t))</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a integral que calcula o trabalho realizado</p><p>pelo campo ao longo da trajetória γ.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha as condições equivalentes que o</p><p>campo deve satisfazer para ser chamado se conservativo.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Questão referente ao Texto-base - Curvas, integrais e campos conservativos: roteiro de</p><p>estudos Assinale a alternativa que contenha a condição para que um campo vetorial seja</p><p>Gradiente.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Questão referente ao Texto-base - Cálculo, Volume 2</p><p>Assinale a alternativa que contenha as fórmulas das integrais de linha com relação a x e y,</p><p>respectivamente, dado C a curva.</p><p>Semana 4</p><p>Uma outra condição para que o trabalho</p><p>realizado por uma força seja nulo é:</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a propriedade</p><p>para que um campo de força exerça trabalho</p><p>nulo.</p><p>Uma curva fechada é uma função da forma de</p><p>de forma que A partir disto, assinale a alternativa</p><p>que indica a razão pelo qual um ponto P pode ser denominado de múltiplo.</p><p>Qual alternativa melhor se encaixa na definição conceitual sobre uma curva</p><p>parametrizada?</p><p>Semana</p><p>4</p><p>A integral de linha de campo vetorial é a soma de todos os valores do campo em diversos</p><p>pontos da curva, ponderado pelo campo vetorial, com um determinado comprimento de arco ou</p><p>vetor, onde o produto do campo de vetores realiza um diferencial de uma determinada curva.</p><p>Dessa forma, qual das alternativas abaixo melhor resume o conceito de integral de linha e</p><p>campo vetorial?</p><p>A - É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da tangente y. B</p><p>- É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cossecante y. C</p><p>- É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cotangente y.</p><p>D - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da bissetriz y. E</p><p>- É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da secante y</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a massa da curva e densidade</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Seja γ C R² um arco circular orientado no sentido anti-horário, partindo de (5,0) e chegando em (-4,3).</p><p>Usando o conceito de integral de linha, qual o resultado da seguinte equação:</p><p>Semana 4</p><p>Determine a função potencial associada ao campo vetorial</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha o comprimento da curva</p><p>Semana 4</p><p>O Teorema</p><p>sobre campos conservativos nos diz que, se um</p><p>campo de forças ᵩ</p><p>for um campo gradiente, e se o vetor gradiente</p><p>da função potencial for igual ao campo de forças,</p><p>então o trabalho ao longo de uma curva γ pode</p><p>ser calculado por:</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a definição</p><p>de uma curva fechada simples.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>O Teorema do Valor Médio (ou Teorema de Lagrange) afirma que, para uma função f</p><p>que seja contínua, definida e diferenciável em um intervalo fechado [a,b], existe um ponto c</p><p>tal que: f (c) = f (b) – f (a) lb – a. Geometricamente, a tangente ao gráfico de f no ponto c é</p><p>paralela à secante que passa pelos pontos a e b.</p><p>Comentário da resposta: Quando um objeto está em velocidade (movimento) e sua velocidade média é igual</p><p>a v, então, durante o percurso entre o intervalo fechado [a, b], haverá um instante (denominado como ponto</p><p>"c") em que a velocidade instantânea também será igual a v.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha uma curva parametrizada e seu respectivo</p><p>vetor tangente.</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que indica a variável</p><p>matemática responsável por relacionar um</p><p>campo vetorial com um campo escalar.</p><p>Semana</p><p>͢ ͢</p><p>ᵩ</p><p>4</p><p>Sendo F (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), um campo vetorial, a função potencial de F é</p><p>definida por:</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que mostra a equação que seja a aproximação linear de</p><p>primeira ordem de uma função f(x), diferenciável e com valores da variável x próximos</p><p>do ponto xₒ = a.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela que mostre uma variável física que</p><p>pode ser determinada por meio da aplicação do conceito de integral de linha de função</p><p>escalar, ao longo de uma trajetória definida por uma curva gamma.</p><p>a. Densidade.</p><p>b. Velocidade.</p><p>c. Cinética.</p><p>d. Massa.</p><p>e. Volume.</p><p>Semana 4</p><p>̶ ̶ ̶</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação da</p><p>reta tangente a curva y(t) = (e ²̄ם , √t+1, tcost)</p><p>no ponto tₒ = 0.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Seja um</p><p>campo vetorial o bordo da região fechada limitada por D, então a</p><p>integral do tipo trabalho é calculada segundo o Teorema de Green da seguinte</p><p>forma:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação do plano tangente de uma superfície com</p><p>gráfico z = f(x, y)</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Dado o campo vetorial em R³, sabendo que as derivadas parciais de P,Q e R</p><p>existem, então o rotacional de F é dado por:</p><p>Semana 5</p><p>Determine a equação do plano tangente à superfície</p><p>do elipsoide S de equação</p><p>no ponto de coordenadas</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Assinale a alternativa que contenha</p><p>uma função de várias variáveis e</p><p>seu respectivo domínio.</p><p>Comentário da resposta:</p><p>A condição de</p><p>existência para a</p><p>função</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Dada a função f(x, y) = 3x⁴y⁵, assinale a alternativa que</p><p>contenha uma de suas derivadas parciais</p><p>corretamente.</p><p>Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = 3x⁴y⁵ em relação a x é:</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Dada a função f(x, y) = x² + y³, onde x = s² - t e y = st,</p><p>assinale a alternativa que contenha suas derivadas parciais</p><p>corretamente.</p><p>Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = x² + y² em relação a s é:</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Questão referente ao Texto-base - Derivadas Parciais</p><p>De acordo com o Teorema de Clairaut, diga as condições para que as</p><p>derivadas parciais , sejam iguais.</p><p>Comentário da resposta: Se a função f deve estar definida em um</p><p>conjunto aberto D que contenha \(a,b) e as derivadas fxy e fyx forem</p><p>contínuas no conjunto D, então</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Quando falamos em funções de diversas variáveis na disciplina de Cálculo II,</p><p>ocorre algo interessante quando encontramos a imagem Z = f(x,y): por serem</p><p>diferentes variáveis, temos, muitas vezes, repetições de imagens para distintas</p><p>combinações de valores de x e y.</p><p>Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis acabam tendo</p><p>uma imagem Z, muitas vezes, com repetições de valores, mesmo</p><p>utilizando valores diferentes para as variáveis independentes. Podemos</p><p>dizer que as repetições de imagens para diferentes valores nos levam ao</p><p>conceito de curva de nível e superfície de nível.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Sabe-se que, para construir um gráfico, são necessários eixos coordenados.</p><p>Quando fazemos gráficos de apenas uma variável que possui os eixos x e y,</p><p>temos, então, uma curva nesse plano, representada em um sistema de</p><p>coordenadas cartesianas, apresentando o eixo das abcissas e o eixo das</p><p>ordenadas.</p><p>Comentário da resposta: Como estudado, o gráfico de funções de duas</p><p>variáveis independentes possui três eixos coordenados, que são os eixos</p><p>x, y e z</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Um dos conceitos estudados dentro dos cálculos e da matemática é o de derivadas</p><p>parciais. Estas são as derivadas das funções de duas variáveis e apresentam,</p><p>também, uma interpretação geométrica bastante aplicável.</p><p>Comentário da resposta: As derivadas parciais são derivadas para funções de</p><p>duas ou mais variáveis. Para isso, é necessário derivar uma variável por vez,</p><p>porém utilizando as mesmas condições básicas de derivação para uma variável.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Quando falamos sobre limite de uma função, a definição de limite é utilizada</p><p>no intuito de expor o comportamento de tal função nos momentos de</p><p>aproximação. Sabe-se que existem teoremas de limites, como o teorema do limite</p><p>da soma de duas ou mais funções de mesma variável, que deve ser igual à soma</p><p>dos seus limites.</p><p>Comentário da resposta: O Teorema de Limite do Produto nos diz que o limite</p><p>do produto de duas ou mais funções de mesma variável (e não variáveis</p><p>diferentes) deve ser igual à multiplicação (e não à soma) de seus limites.</p><p>Semana 1</p><p>A definição de limite é utilizada no intuito de</p><p>expor o comportamento de uma função nos</p><p>momentos de aproximação de determinados</p><p>valores. O limite de uma função possui grande</p><p>importância quando estudamos Cálculo e em</p><p>outros ramos da análise matemática,</p><p>definindo derivadas e continuidade de funções.</p><p>Comentário da resposta: Quando uma função</p><p>f(x,y) possui um limite A, este tem como</p><p>imagem o subconjunto .</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Sabemos que, quando estudamos Cálculo II, as funções de diversas</p><p>variáveis são aquelas que possuem uma variável dependente e mais de uma</p><p>variável independente. Podemos citar como exemplos a temperatura de um</p><p>ambiente e a densidade de um ambiente.</p><p>Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis são aquelas que possuem</p><p>uma variável dependente e mais de uma variável independente. Sendo assim, na</p><p>função, temos a variável dependente de imagem Z que depende de duas variáveis x e</p><p>y. Podemos interpretar, então, que Z é a variável dependente, enquanto x e y são as</p><p>variáveis independentes.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Sabe-se que o polinômio de Taylor é uma</p><p>aproximação para a função f(x,y) no ponto (a,b).</p><p>Assinale a alternativa que contenha tal aproximação.</p><p>Comentário da resposta: A fórmula de Taylor da função f(x,y) é dada</p><p>pela aproximação:</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Diga qual a condição necessária para a</p><p>existência da integral dupla definida</p><p>Comentário da resposta: Uma condição suficiente para a existência da integral</p><p>definida em D é a continuidade da função f(x,y) na região D, pois se f(x,y) é</p><p>contínua em D então f é integrável em D.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Assinale a alternativa que contenha o</p><p>cálculo da integral tripla pelo</p><p>Teorema de Fubini quando é um</p><p>paralelepípedo.</p><p>Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado</p><p>contínua e D um paralelepípedo, então:</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla</p><p>pelo Teorema de Fubini quando</p><p>Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado</p><p>então</p><p>Semana 2</p><p>,</p><p>Questão referente ao Texto-base - Integrais múltiplas</p><p>Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as propriedades das</p><p>integrais duplas. Assinale a alternativa com a classificação correta. 1. , se</p><p>tais regiões não se sobrepõe exceto talvez suas fronteiras 2. , onde A(D) é a área de D.</p><p>3.</p><p>Comentário da resposta: As propriedades (I) e (II) são de integrais duplas, porém a propriedade (III):</p><p>não é propriedade da integral dupla, nem mesmo da integral simples.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Sabemos que existe um conceito básico e intrínseco às integrais</p><p>de volumes que, usualmente, denominamos de Teorema Fundamental</p><p>do Cálculo, uma vez que é o início dos conceitos aplicados ao volume</p><p>de integrais duplas e triplas.</p><p>Comentário da resposta</p><p>O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das operações centrais do</p><p>cálculo, diferenciação e integração, que são consideradas a inversão</p><p>uma da outra. Isso representa que uma função contínua é,</p><p>primeiramente, integrada e, posteriormente, diferenciada, voltando à</p><p>função original.</p><p>Semana 2</p><p>Quando desenhamos determinado sólido</p><p>dentro de um sistema de coordenadas,</p><p>como um gráfico, podemos determinar seu</p><p>volume por meio de integrais duplas. Para</p><p>uma região no espaço cartesiano xyz,</p><p>delimitada entre uma função z=f(x, y)>0 e</p><p>uma região retangular R no plano xy, como</p><p>se define o volume do sólido</p><p>compreendido entre eles?</p><p>Comentário da resposta: Uma aplicação das integrais duplas consiste na</p><p>determinação de volume de sólidos, que podem se encontrar em um espaço</p><p>compreendidos entre uma função z = f(x, y) e uma região R definido em um</p><p>plano.</p><p>Semana 2</p><p>Quando falamos em polinômio de Taylor,</p><p>sabemos da sua utilidade para estimar</p><p>valores de determinada função a partir da</p><p>utilização de suas derivadas. Essa é uma</p><p>ferramenta muito utilizada dentro do</p><p>cálculo diferencial e integral, a fim de</p><p>determinar valores de uma função</p><p>complexa de maneira mais simples.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta do</p><p>polinômio de Taylor de grau 3, em volta do</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Considere uma função tripla qualquer, como ,</p><p>sendo esta contínua, em determinada região T fechada e</p><p>limitada no tempo e no espaço. Ao final, a região T será subdividida</p><p>em planos paralelos aos três planos coordenados.</p><p>Comentário da resposta: Quando pensamos em integrais triplas, temos</p><p>que levar em consideração que, dentro de uma região T de 1 a "n",</p><p>encontramos diversos paralelepípedos agrupados. Cada paralelepípedo que está</p><p>alocado em um ponto arbitrário e no k – ésimo paralelepípedo, é onde a soma</p><p>deve ser</p><p>calculada para determinar o volume desse objeto.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>O Teorema de Fubini possibilita o cálculo de uma integral dupla,</p><p>por meio do processo de integrações iteradas, permitindo a inversão</p><p>da ordem de integração.</p><p>Comentário da resposta: O teorema de Fubini tem como base o cálculo</p><p>de integrais duplas, onde duas integrações de uma variável são</p><p>realizadas, e uma terceira variável permanece fixa, de forma que a</p><p>função f(x, y) seja contínua em uma região D = [a,b] x [c,d].</p><p>Semana</p><p>2</p><p>A partir</p><p>das integrais triplas, podemos encontrar interpretações físicas</p><p>com a massa de um sólido e sua respectiva densidade, uma vez que,</p><p>quando trabalhamos com integrais triplas, estamos relacionando os três</p><p>eixos (x, y, z) e derivando em função do volume.</p><p>Comentário da resposta: dV é o elemento diferencial do volume de um dado corpo de</p><p>interesse. Caso venha a ser efetuada a integral no espaço ocupado pelo mesmo -</p><p>usando um sistema de coordenadas adequado -, o resultado da conta é o seu volume</p><p>total, dado pela expressão</p><p>Semana 2</p><p>Quando falamos em polinômio de</p><p>Taylor, sabemos da sua utilidade</p><p>para estimar valores de determinada</p><p>função a partir da utilização de suas</p><p>derivadas. Essa é uma ferramenta</p><p>muito utilizada dentro do cálculo</p><p>diferencial e integral, a fim de</p><p>determinar valores de uma função</p><p>complexa de maneira mais simples.</p><p>Comentário da resposta: O conceito de polinômio</p><p>de Taylor de ordem 1 consiste, basicamente, na</p><p>definição de uma reta tangente. A partir desse</p><p>método, é possível estimar a função em diversos</p><p>pontos por meio de pontos próximos e, como dito</p><p>anteriormente, a partir da determinação da reta</p><p>tangente da função que estamos analisando.</p><p>Semana 2</p><p>Quando falamos em volume de</p><p>integral dupla, existe uma condição</p><p>suficiente para que a existência da</p><p>integral seja a continuidade da</p><p>função f (x, y) em uma região D</p><p>definida.</p><p>Comentário da resposta: A condição de</p><p>suficiência para a existência da integral</p><p>definida em D é a continuidade da função f(x,</p><p>y) na região D, porém, para que f(x, y) seja</p><p>contínua em D, a função f deve ser integrável</p><p>em um sólido denominado “D”.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a</p><p>partir da somatória da função f (x, y), multiplicada pela variação do deslocamento</p><p>do gráfico. Uma aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às</p><p>aproximações da área de funções e/ou linhas de um gráfico.</p><p>Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a partir</p><p>da somatória da função , multiplicada pela variação do deslocamento do gráfico. Uma</p><p>aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às aproximações da área de</p><p>funções e/ou linhas de um gráfico.</p><p>Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.</p><p>A. A soma de Riemann ƒ (x,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, zⱼ ]})</p><p>B. A soma de Riemann ƒ (y,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (yⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[yⱼ, zⱼ ]})</p><p>C. A soma de Riemann independe da função e é relativa à partição P e também a escolha dos pontos, podendo</p><p>ser descrita da seguinte maneira: S = (ƒ, P)</p><p>D.A soma de Riemann ƒ (x,y) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, yⱼ ]})</p><p>E. A soma de Riemann ƒ (x,y) não é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser</p><p>descrita da seguinte maneira: S = ƒ(xⱼ, yⱼ )</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Sabemos que um campo vetorial em R3 é determinado por uma função F:D R3, em</p><p>que D pertence a R3. Nesse caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas</p><p>componentes P, Q e R, da seguinte maneira:</p><p>Observe que P, Q e R são campos escalares, ou seja, funções com três variáveis.</p><p>Sobre as propriedades do gradiente de campos vetoriais em R3, é correto afirmar que:</p><p>A. São paralelas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f. B.</p><p>São diagonais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f. C. São</p><p>opostas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f. D. São</p><p>perpendiculares às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f. E. São</p><p>transversais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f</p><p>Comentário da resposta: A partir do Teorema dos Campos Vetoriais em R3, seja f</p><p>= f(x, y, z) um campo escalar de classe C2, então, o rotacional do gradiente da</p><p>função f é nulo frente aos cálculos vetoriais matemáticos.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Analise as funções de várias variáveis e o ponto indicado onde essa</p><p>função é contínua, classificando em verdadeiro (V) ou falso (F). Assinale a</p><p>alternativa que contenha a classificação correta.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento</p><p>que permite a localização de um ponto qualquer em determinado espaço de</p><p>formato esférico, por meio de um conjunto de três valores, chamados de</p><p>“coordenadas esféricas”.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta que apresenta o resultado de Dxyz em coordenadas esféricas.</p><p>A. Dp,x,y.</p><p>B. Dxi,yi,zi.</p><p>C. Dpθφ.</p><p>D. Du,w,n.</p><p>E. Dabc.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Existe uma relação direta entre as coordenadas cartesianas, aquelas</p><p>que comumente estudamos; e as coordenadas cilíndricas, conteúdo que</p><p>estamos analisando no momento.</p><p>Portanto, encontre a equação cilíndrica para a superfície cuja a equação em</p><p>equações cartesianas é dada por: x² + y² + 4z² = 16</p><p>A – 4r² + z² = 4</p><p>B - 4r² + z² = 16</p><p>C - r² + z² = 4</p><p>D - r² + z² = 16</p><p>E - r² + 4z² = 16</p><p>Semana</p><p>3</p><p>As relações matemáticas entre as coordenadas cartesiana e cilíndrica</p><p>existem e é possível relacionar o eixo z em função das relações cartesianas</p><p>existentes (x, y, z).</p><p>Encontre a equação cilíndrica da seguinte equação cartesiana: x² - y² = 3z².</p><p>A - r²cos(2θ) = z²</p><p>B - r²cos(2θ) = 3z²</p><p>C - r²cos(3θ) = 2z²</p><p>D - r²cos(θ) = 3z²</p><p>E - r²cos(θ) = z²</p><p>Semana 3</p><p>Ao pensarmos nas relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas, sabemos que</p><p>podemos relacionar o eixo y entre as diversas coordenadas (x, y, z). Além disso, existe</p><p>uma correlação matemática entre esses dois tipos de coordenadas.</p><p>Encontre a equação em coordenadas polares para a curva onde a equação em coordenadas</p><p>cartesiana é apresentada por: x³ + y³ - 6xy = 0.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O centro de massa, também conhecido como “baricentro” de um objeto, é</p><p>um ponto geométrico que age de maneira dinâmica, tal como se a força</p><p>resultante desse fenômeno de propriedades externas se aplicasse sobre ele.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta com as condições de um baricentro.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha três expressões de integrais triplas que determinam as</p><p>coordenadas do baricentro de um sólido D, com densidade</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Utilizando a regra da cadeia, assinale a alternativa que contenha a</p><p>derivada</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O Resultado da integral tripla é:</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o resultado de</p><p>onde �� é o retângulo . Aplique o Teorema de</p><p>Fubini.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Analise as funções e seus respectivos domínios, classificando em verdadeiro (V) ou</p><p>falso (F). Assinale a alternativa que contenha a classificação correta.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função</p><p>no ponto P(1,1)</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de f(x,y,z) em</p><p>coordenadas cilíndricas</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de</p><p>f(x,y,z) em coordenadas esféricas.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha os cálculos dos momentos de</p><p>inércia em relação aos planos , respectivamente:</p><p>Assinale a alternativa que contenha as propriedades do Gradiente.</p><p>Comentário da resposta: A propriedades do Gradiente são: perpendicular às curvas de</p><p>nível de ��=��(��,��) e aponta para a direção e sentido de maior variação de</p><p>��.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral</p><p>dupla de f(x,y) em</p><p>coordenadas polares se f é contínua em uma região polar da forma</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Sistemas de coordenadas cilíndricas são de extrema importância, uma vez</p><p>que podem ser utilizados para simplificar estudos relacionados a interações</p><p>múltiplas. esse sistema foi concebido a partir das definições sobre as</p><p>coordenadas polares e, em segunda instância, podemos pensá-lo como uma</p><p>evolução do modelo polar adequado ao espaço tridimensional.</p><p>Sobre esse assunto, assinale a alternativa com as variáveis que estão vinculadas aos</p><p>sistemas polares.</p><p>A. r, x, z.</p><p>B. x, y, z.</p><p>C. r, θ, z.</p><p>D. dr, dy, dz.</p><p>E. dx, dy, dz.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contém o resultado</p><p>da integral, onde D é a casca esférica</p><p>delimitada por x² + y² + z² = 9 e x² + y² + z² = 16.</p><p>A) - 175π</p><p>2</p><p>B) π</p><p>4</p><p>C) 175π</p><p>2</p><p>D) 0</p><p>E) 175π</p><p>Semana 3</p><p>Considerando a relação entre as coordenadas cartesianas e polares, vamos pensar no eixo y de um plano de</p><p>coordenadas cartesianas e correlacionar com as coordenadas polares. Dito isso, encontre uma equação de</p><p>coordenadas polares para uma determinada curva onde a equação em coordenadas cartesianas é (x² + y²)² -</p><p>4 (x² - y²) = 0</p><p>Semana 3</p><p>Semana 3</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação da reta tangente a y no ponto y(tₒ)</p><p>Comentário da resposta</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a</p><p>integral que calcula a massa de γ, onde</p><p>y:[a,b] → R³ é uma curva dada por y(t) = (x(t)</p><p>, y(t), z(t))</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a integral que calcula o trabalho realizado</p><p>pelo campo ao longo da trajetória γ.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha as condições equivalentes que o</p><p>campo deve satisfazer para ser chamado se conservativo.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Questão referente ao Texto-base - Curvas, integrais e campos conservativos: roteiro de</p><p>estudos Assinale a alternativa que contenha a condição para que um campo vetorial seja</p><p>Gradiente.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Questão referente ao Texto-base - Cálculo, Volume 2</p><p>Assinale a alternativa que contenha as fórmulas das integrais de linha com relação a x e y,</p><p>respectivamente, dado C a curva.</p><p>Semana 4</p><p>Uma outra condição para que o trabalho</p><p>realizado por uma força seja nulo é:</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a propriedade</p><p>para que um campo de força exerça trabalho</p><p>nulo.</p><p>Uma curva fechada é uma função da forma de</p><p>de forma que A partir disto, assinale a alternativa</p><p>que indica a razão pelo qual um ponto P pode ser denominado de múltiplo.</p><p>Qual alternativa melhor se encaixa na definição conceitual sobre uma curva</p><p>parametrizada?</p><p>Semana</p><p>4</p><p>A integral de linha de campo vetorial é a soma de todos os valores do campo em diversos</p><p>pontos da curva, ponderado pelo campo vetorial, com um determinado comprimento de arco ou</p><p>vetor, onde o produto do campo de vetores realiza um diferencial de uma determinada curva.</p><p>Dessa forma, qual das alternativas abaixo melhor resume o conceito de integral de linha e</p><p>campo vetorial?</p><p>A - É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da tangente y. B</p><p>- É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cossecante y. C</p><p>- É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cotangente y.</p><p>D - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da bissetriz y. E</p><p>- É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da secante y</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a massa da curva e densidade</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Seja γ C R² um arco circular orientado no sentido anti-horário, partindo de (5,0) e chegando em (-4,3).</p><p>Usando o conceito de integral de linha, qual o resultado da seguinte equação:</p><p>Semana 4</p><p>Determine a função potencial associada ao campo vetorial</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha o comprimento da curva</p><p>Semana 4</p><p>O Teorema</p><p>sobre campos conservativos nos diz que, se um</p><p>campo de forças ᵩ</p><p>for um campo gradiente, e se o vetor gradiente</p><p>da função potencial for igual ao campo de forças,</p><p>então o trabalho ao longo de uma curva γ pode</p><p>ser calculado por:</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que contenha a definição</p><p>de uma curva fechada simples.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>O Teorema do Valor Médio (ou Teorema de Lagrange) afirma que, para uma função f</p><p>que seja contínua, definida e diferenciável em um intervalo fechado [a,b], existe um ponto c</p><p>tal que: f (c) = f (b) – f (a) lb – a. Geometricamente, a tangente ao gráfico de f no ponto c é</p><p>paralela à secante que passa pelos pontos a e b.</p><p>Comentário da resposta: Quando um objeto está em velocidade (movimento) e sua velocidade média é igual</p><p>a v, então, durante o percurso entre o intervalo fechado [a, b], haverá um instante (denominado como ponto</p><p>"c") em que a velocidade instantânea também será igual a v.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que contenha uma curva parametrizada e seu respectivo</p><p>vetor tangente.</p><p>Semana 4</p><p>Assinale a alternativa que indica a variável</p><p>matemática responsável por relacionar um</p><p>campo vetorial com um campo escalar.</p><p>Semana</p><p>͢ ͢</p><p>ᵩ</p><p>4</p><p>Sendo F (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), um campo vetorial, a função potencial de F é</p><p>definida por:</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Assinale a alternativa que mostra a equação que seja a aproximação linear de</p><p>primeira ordem de uma função f(x), diferenciável e com valores da variável x próximos</p><p>do ponto xₒ = a.</p><p>Semana</p><p>4</p><p>Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela que mostre uma variável física que</p><p>pode ser determinada por meio da aplicação do conceito de integral de linha de função</p><p>escalar, ao longo de uma trajetória definida por uma curva gamma.</p><p>a. Densidade.</p><p>b. Velocidade.</p><p>c. Cinética.</p><p>d. Massa.</p><p>e. Volume.</p><p>Semana 4</p><p>̶ ̶ ̶</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação da</p><p>reta tangente a curva y(t) = (e ²̄ם , √t+1, tcost)</p><p>no ponto tₒ = 0.</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Seja um</p><p>campo vetorial o bordo da região fechada limitada por D, então a</p><p>integral do tipo trabalho é calculada segundo o Teorema de Green da seguinte</p><p>forma:</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Assinale a alternativa que contenha a equação do plano tangente de uma superfície com</p><p>gráfico z = f(x, y)</p><p>Semana</p><p>5</p><p>Dado o campo vetorial em R³, sabendo que as derivadas parciais de P,Q e R</p><p>existem, então o rotacional de F é dado por:</p><p>Semana 5</p><p>Determine a equação do plano tangente à superfície</p><p>do elipsoide S de equação</p><p>no ponto de coordenadas</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Assinale a alternativa que contenha</p><p>uma função de várias variáveis e</p><p>seu respectivo domínio.</p><p>Comentário da resposta:</p><p>A condição de existência para a função</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Dada a função f(x, y) = 3x⁴y⁵, assinale a alternativa que</p><p>contenha uma de suas derivadas parciais corretamente.</p><p>Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = 3x⁴y⁵ em relação a x é:</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Dada a função f(x, y) = x² + y³, onde x = s² - t e y = st,</p><p>assinale a alternativa que contenha suas derivadas parciais corretamente.</p><p>Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = x² + y² em relação a s é:</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Comentário da resposta: Se a função f deve estar definida em um</p><p>conjunto aberto D que contenha \(a,b) e as derivadas fxy e fyx forem</p><p>contínuas no conjunto D, então</p><p>Questão referente ao Texto-base - Derivadas Parciais</p><p>De acordo com o Teorema de Clairaut, diga as condições para que as</p><p>derivadas parciais , sejam iguais.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis acabam tendo</p><p>uma imagem Z, muitas vezes, com repetições de valores, mesmo</p><p>utilizando valores diferentes para as variáveis</p><p>independentes. Podemos</p><p>dizer que as repetições de imagens para diferentes valores nos levam ao</p><p>conceito de curva de nível e superfície de nível.</p><p>Quando falamos em funções de diversas variáveis na disciplina de Cálculo II,</p><p>ocorre algo interessante quando encontramos a imagem Z = f(x,y): por serem</p><p>diferentes variáveis, temos, muitas vezes, repetições de imagens para distintas</p><p>combinações de valores de x e y.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Comentário da resposta: Como estudado, o gráfico de funções de duas</p><p>variáveis independentes possui três eixos coordenados, que são os eixos</p><p>x, y e z</p><p>Sabe-se que, para construir um gráfico, são necessários eixos coordenados.</p><p>Quando fazemos gráficos de apenas uma variável que possui os eixos x e y,</p><p>temos, então, uma curva nesse plano, representada em um sistema de</p><p>coordenadas cartesianas, apresentando o eixo das abcissas e o eixo das</p><p>ordenadas.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Comentário da resposta: As derivadas parciais são derivadas para</p><p>funções de duas ou mais variáveis. Para isso, é necessário derivar uma</p><p>variável por vez, porém utilizando as mesmas condições básicas de</p><p>derivação para uma variável.</p><p>Um dos conceitos estudados dentro dos cálculos e da matemática é o de</p><p>derivadas parciais. Estas são as derivadas das funções de duas variáveis e</p><p>apresentam, também, uma interpretação geométrica bastante aplicável.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Comentário da resposta: O Teorema de Limite do Produto nos diz que o</p><p>limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável (e não</p><p>variáveis diferentes) deve ser igual à multiplicação (e não à soma) de</p><p>seus limites.</p><p>Quando falamos sobre limite de uma função, a definição de limite é utilizada</p><p>no intuito de expor o comportamento de tal função nos momentos de</p><p>aproximação. Sabe-se que existem teoremas de limites, como o teorema do limite</p><p>da soma de duas ou mais funções de mesma variável, que deve ser igual à soma</p><p>dos seus limites.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Comentário da resposta: Quando uma função f(x,y) possui um limite A,</p><p>este tem como imagem o subconjunto .</p><p>A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma</p><p>função nos momentos de aproximação de determinados valores. O limite de uma</p><p>função possui grande importância quando estudamos Cálculo e em outros ramos</p><p>da análise matemática, definindo derivadas e continuidade de funções.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis são aquelas que possuem</p><p>uma variável dependente e mais de uma variável independente. Sendo assim, na</p><p>função, temos a variável dependente de imagem Z que depende de duas variáveis x e</p><p>y. Podemos interpretar, então, que Z é a variável dependente, enquanto x e y são as</p><p>variáveis independentes.</p><p>Sabemos que, quando estudamos Cálculo II, as funções de diversas</p><p>variáveis são aquelas que possuem uma variável dependente e mais de uma</p><p>variável independente. Podemos citar como exemplos a temperatura de um</p><p>ambiente e a densidade de um ambiente.</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Semana</p><p>1</p><p>Comentário da resposta: A fórmula de Taylor da função f(x,y) é dada</p><p>pela aproximação:</p><p>Sabe-se que o polinômio de Taylor é uma</p><p>aproximação para a função f(x,y) no ponto (a,b).</p><p>Assinale a alternativa que contenha tal aproximação.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta: Uma condição suficiente para a existência da integral</p><p>definida em D é a continuidade da função f(x,y) na região D, pois se f(x,y) é</p><p>contínua em D então f é integrável em D.</p><p>Diga qual a condição necessária para a</p><p>existência da integral dupla definida</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da</p><p>integral tripla pelo Teorema de Fubini quando</p><p>é um paralelepípedo.</p><p>Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado</p><p>contínua e D um paralelepípedo, então:</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado</p><p>então</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla</p><p>pelo Teorema de Fubini quando</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta: As propriedades (I) e (II) são de integrais duplas, porém a propriedade (III):</p><p>não é propriedade da integral dupla, nem mesmo da integral simples.</p><p>Questão referente ao Texto-base - Integrais múltiplas</p><p>Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as propriedades das</p><p>integrais duplas. Assinale a alternativa com a classificação correta.</p><p>1. , se tais regiões não se sobrepõe exceto talvez suas fronteiras</p><p>2. , onde A(D) é a área de D.</p><p>,</p><p>3.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta</p><p>O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das operações centrais do</p><p>cálculo, diferenciação e integração, que são consideradas a inversão</p><p>uma da outra. Isso representa que uma função contínua é,</p><p>primeiramente, integrada e, posteriormente, diferenciada, voltando à</p><p>função original.</p><p>Sabemos que existe um conceito básico e intrínseco às integrais</p><p>de volumes que, usualmente, denominamos de Teorema Fundamental</p><p>do Cálculo, uma vez que é o início dos conceitos aplicados ao volume</p><p>de integrais duplas e triplas.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta: Uma aplicação das integrais duplas consiste na</p><p>determinação de volume de sólidos, que podem se encontrar em um espaço</p><p>compreendidos entre uma função z = f(x, y) e uma região R definido em um plano.</p><p>Quando desenhamos determinado sólido dentro de um sistema de</p><p>coordenadas, como um gráfico, podemos determinar seu volume por meio de</p><p>integrais duplas. Para uma região no espaço cartesiano xyz, delimitada entre</p><p>uma função z=f(x, y)>0 e uma região retangular R no plano xy, como se define o</p><p>volume do sólido compreendido entre eles?</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta:</p><p>Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para</p><p>estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas</p><p>derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo diferencial</p><p>e integral, a fim de determinar valores de uma função complexa de maneira</p><p>mais simples.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta do polinômio de Taylor de grau 3,</p><p>em volta do</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta: Quando pensamos em integrais triplas, temos que levar</p><p>em consideração que, dentro de uma região T de 1 a "n", encontramos diversos</p><p>paralelepípedos agrupados. Cada paralelepípedo que está alocado em um ponto</p><p>arbitrário e no k – ésimo paralelepípedo, é onde a soma deve ser</p><p>calculada para determinar o volume desse objeto.</p><p>Considere uma função tripla qualquer, como ,</p><p>sendo esta contínua, em determinada região T fechada e limitada no</p><p>tempo e no espaço. Ao final, a região T será subdividida em planos</p><p>paralelos aos três planos coordenados.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta: O teorema de Fubini tem como base o cálculo</p><p>de integrais duplas, onde duas integrações de uma variável são</p><p>realizadas, e uma terceira variável permanece fixa, de forma que a</p><p>função f(x, y) seja contínua em uma região D = [a,b] x [c,d].</p><p>O Teorema de Fubini possibilita o cálculo de uma integral dupla,</p><p>por meio do processo de integrações iteradas, permitindo a inversão</p><p>da ordem de integração.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Comentário da resposta: dV é o elemento diferencial do volume de um dado corpo de</p><p>interesse. Caso venha a ser efetuada a integral no espaço ocupado pelo mesmo -</p><p>usando um sistema de coordenadas adequado -, o resultado da conta é o seu volume</p><p>total, dado pela expressão</p><p>A partir das integrais triplas, podemos encontrar interpretações físicas</p><p>com a massa de um sólido e sua respectiva densidade, uma vez que,</p><p>quando trabalhamos com integrais triplas, estamos relacionando os três</p><p>eixos (x, y, z) e derivando em função do volume.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade</p><p>para estimar valores de determinada função a partir da utilização de</p><p>suas derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do</p><p>cálculo diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma</p><p>função complexa de maneira mais simples.</p><p>Comentário da resposta: O conceito de polinômio de Taylor de ordem 1</p><p>consiste, basicamente, na definição de uma reta tangente. A partir desse</p><p>método, é possível estimar a função em diversos pontos por meio de pontos</p><p>próximos e, como dito anteriormente, a partir da determinação da reta</p><p>tangente da função que estamos analisando.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Quando falamos em volume de integral dupla, existe uma</p><p>condição suficiente para que a existência da integral seja a</p><p>continuidade da função f (x, y) em uma região D definida.</p><p>Comentário da resposta: A condição de suficiência para a existência da integral</p><p>definida em D é a continuidade da função f(x, y) na região D, porém, para que f(x, y)</p><p>seja contínua em D, a função f deve ser integrável em um sólido denominado “D”.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a</p><p>partir da somatória da função f (x, y), multiplicada pela variação do deslocamento</p><p>do gráfico. Uma aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às</p><p>aproximações da área de funções e/ou linhas de um gráfico.</p><p>Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a partir da</p><p>somatória da função , multiplicada pela variação do deslocamento do gráfico. Uma</p><p>aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às aproximações da área de</p><p>funções e/ou linhas de um gráfico.</p><p>Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.</p><p>A. A soma de Riemann ƒ (x,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, zⱼ ]})</p><p>B. A soma de Riemann ƒ (y,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (yⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[yⱼ, zⱼ ]})</p><p>C. A soma de Riemann independe da função e é relativa à partição P e também a escolha dos pontos, podendo</p><p>ser descrita da seguinte maneira: S = (ƒ, P)</p><p>D.A soma de Riemann ƒ (x,y) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser descrita</p><p>da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, yⱼ ]})</p><p>E. A soma de Riemann ƒ (x,y) não é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser</p><p>descrita da seguinte maneira: S = ƒ(xⱼ, yⱼ )</p><p>Semana</p><p>2</p><p>Sabemos que um campo vetorial em R3 é determinado por uma função F:D R3, em</p><p>que D pertence a R3. Nesse caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas</p><p>componentes P, Q e R, da seguinte maneira:</p><p>Observe que P, Q e R são campos escalares, ou seja, funções com três variáveis.</p><p>Sobre as propriedades do gradiente de campos vetoriais em R3, é correto afirmar que:</p><p>A. São paralelas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f.</p><p>B. São diagonais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f.</p><p>C. São opostas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f.</p><p>D. São perpendiculares às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f.</p><p>E. São transversais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f</p><p>Comentário da resposta: A partir do Teorema dos Campos Vetoriais em R3, seja f =</p><p>f(x, y, z) um campo escalar de classe C2, então, o rotacional do gradiente da</p><p>função f é nulo frente aos cálculos vetoriais matemáticos.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Analise as funções de várias variáveis e o ponto indicado onde essa</p><p>função é contínua, classificando em verdadeiro (V) ou falso (F). Assinale a</p><p>alternativa que contenha a classificação correta.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento</p><p>que permite a localização de um ponto qualquer em determinado espaço de</p><p>formato esférico, por meio de um conjunto de três valores, chamados de</p><p>“coordenadas esféricas”.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta que apresenta o resultado de Dxyz em coordenadas esféricas.</p><p>A. Dp,x,y.</p><p>B. Dxi,yi,zi.</p><p>C. Dpθφ.</p><p>D. Du,w,n.</p><p>E. Dabc.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Existe uma relação direta entre as coordenadas cartesianas, aquelas</p><p>que comumente estudamos; e as coordenadas cilíndricas, conteúdo que</p><p>estamos analisando no momento.</p><p>Portanto, encontre a equação cilíndrica para a superfície cuja a equação em</p><p>equações cartesianas é dada por: x² + y² + 4z² = 16</p><p>A – 4r² + z² = 4</p><p>B - 4r² + z² = 16</p><p>C - r² + z² = 4</p><p>D - r² + z² = 16</p><p>E - r² + 4z² = 16</p><p>Semana</p><p>3</p><p>As relações matemáticas entre as coordenadas cartesiana e cilíndrica</p><p>existem e é possível relacionar o eixo z em função das relações cartesianas</p><p>existentes (x, y, z).</p><p>Encontre a equação cilíndrica da seguinte equação cartesiana: x² - y² = 3z².</p><p>A - r²cos(2θ) = z²</p><p>B - r²cos(2θ) = 3z²</p><p>C - r²cos(3θ) = 2z²</p><p>D - r²cos(θ) = 3z²</p><p>E - r²cos(θ) = z²</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Ao pensarmos nas relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas,</p><p>sabemos que podemos relacionar o eixo y entre as diversas coordenadas (x, y,</p><p>z). Além disso, existe uma correlação matemática entre esses dois tipos de</p><p>coordenadas.</p><p>Encontre a equação em coordenadas polares para a curva onde a equação em</p><p>coordenadas cartesiana é apresentada por: x³ + y³ - 6xy = 0.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O centro de massa, também conhecido como “baricentro” de um objeto, é</p><p>um ponto geométrico que age de maneira dinâmica, tal como se a força</p><p>resultante desse fenômeno de propriedades externas se aplicasse sobre ele.</p><p>Dito isso, assinale a alternativa correta com as condições de um baricentro.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha três expressões de integrais triplas que</p><p>determinam as coordenadas do baricentro de um sólido D, com densidade</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Utilizando a regra da cadeia, assinale a alternativa que contenha a derivada</p><p>Semana</p><p>3</p><p>O Resultado da integral tripla é:</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o resultado de</p><p>onde 𝐷 é o retângulo . Aplique o Teorema de Fubini.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Analise as funções e seus respectivos domínios, classificando em</p><p>verdadeiro (V) ou falso (F). Assinale a alternativa que contenha a</p><p>classificação correta.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função</p><p>no ponto P(1,1)</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de f(x,y,z)</p><p>em coordenadas cilíndricas</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de</p><p>f(x,y,z) em coordenadas esféricas.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contenha os cálculos dos momentos de</p><p>inércia em relação aos planos , respectivamente:</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Comentário da resposta: A propriedades do Gradiente são: perpendicular às curvas de</p><p>nível de 𝑓=𝑓(𝑥,𝑦) e aponta para a direção e sentido de maior variação de 𝑓.</p><p>Assinale a alternativa que contenha as propriedades do Gradiente.</p><p>Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla de f(x,y)</p><p>em coordenadas polares se f é contínua em uma região polar da forma</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Sistemas de coordenadas cilíndricas são de extrema importância, uma vez</p><p>que podem ser utilizados para simplificar estudos relacionados a interações</p><p>múltiplas. esse sistema foi concebido a partir das definições sobre as</p><p>coordenadas polares e, em segunda instância, podemos pensá-lo como uma</p><p>evolução do modelo polar adequado ao espaço tridimensional.</p><p>Sobre esse assunto, assinale a alternativa com as variáveis que estão vinculadas aos</p><p>sistemas polares.</p><p>A. r, x, z.</p><p>B. x, y, z.</p><p>C. r, θ, z.</p><p>D. dr, dy, dz.</p><p>E. dx, dy, dz.</p><p>Semana</p><p>3</p><p>Assinale a alternativa que contém o resultado da integral,</p><p>onde D é a casca esférica delimitada por x²</p>