Cálculo de Limites e Funções

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<p>Fundação Centro de Ciências e</p><p>Educação Superior a Distância do Estado</p><p>do Rio de Janeiro Centro de Educação</p><p>Superior a Distância do Estado do Rio de</p><p>Janeiro</p><p>GABARITO - AD1 – CÁ LCULO I – 2/2024</p><p>Código da Disciplina:</p><p>EAD01005/EAD01083</p><p>Questão 1 [3.0 pontos] Calcule os seguintes limites de funções:</p><p>𝑎) lim</p><p>𝑥→−3</p><p>𝑥2 − 9</p><p>𝑥3 + 27</p><p>𝑏) lim</p><p>𝑥→4</p><p>√𝑥−2</p><p>𝑥−4</p><p>Solução:</p><p>𝑎)O limite está indeterminado, uma vez que tanto o numerador quanto o</p><p>denominador que definem a função se anulam em x = - 3. Para resolver esta</p><p>indeterminação, fatoramos denominador e numerador:</p><p>lim</p><p>𝑥→−3</p><p>𝑥2 − 9</p><p>𝑥3 + 27</p><p>= lim</p><p>𝑥→−3</p><p>(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)</p><p>(𝑥 + 3)(𝑥2 − 3𝑥 + 9)</p><p>= lim</p><p>𝑥→−3</p><p>−3 − 4</p><p>9 + 9 + 9</p><p>=</p><p>−7</p><p>27</p><p>𝑏) O limite está indeterminado, uma vez que tanto o numerador quanto o</p><p>denominador que definem a função se anulam em x = 1. Para resolver esta</p><p>indeterminação, multiplicamos denominador e numerador pelo conjugado do</p><p>numerador:</p><p>lim</p><p>𝑥→4</p><p>√𝑥 − 2</p><p>𝑥 − 4</p><p>= lim</p><p>𝑥→4</p><p>(√𝑥 − 2). (√𝑥 + 2).</p><p>(𝑥 − 4). (√𝑥 + 2)</p><p>= lim</p><p>𝑥→4</p><p>𝑥 − 4.</p><p>(𝑥 − 4). (√𝑥 + 2)</p><p>= lim</p><p>𝑥→4</p><p>1</p><p>2 + 2</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>Questão 2 [3.0 pontos] Calcule os seguintes limites de funções:</p><p>a) lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>√𝑥2+1+3𝑥−2</p><p>5𝑥−7</p><p>b) lim</p><p>𝑥→0</p><p>1−cos(3𝑥)</p><p>𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>Solução:</p><p>a) lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>√𝑥2 + 1 + 3𝑥 − 2</p><p>5𝑥 − 7</p><p>= lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>√𝑥2(1 +</p><p>1</p><p>𝑥2) + 3𝑥 − 2</p><p>5𝑥 − 7</p><p>= lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>|𝑥|√(1 +</p><p>1</p><p>𝑥2) + 3𝑥 − 2</p><p>5𝑥 − 7</p><p>= lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>𝑥√(1 +</p><p>1</p><p>𝑥2) + 3𝑥 − 2</p><p>𝑥(5 −</p><p>7</p><p>𝑥)</p><p>= lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>𝑥(√(1 +</p><p>1</p><p>𝑥2) + 3 −</p><p>2</p><p>𝑥)</p><p>𝑥(5 −</p><p>7</p><p>𝑥)</p><p>= lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>√(1 +</p><p>1</p><p>𝑥2) + 3 −</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>5 −</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>1 + 3</p><p>5</p><p>=</p><p>4</p><p>5</p><p>b) lim</p><p>𝑥→0</p><p>1−cos (3𝑥)</p><p>𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥→0</p><p>1−cos(3𝑥). 1</p><p>𝑥2⁄</p><p>𝑥.𝑠𝑒𝑛𝑥. 1</p><p>𝑥2⁄</p><p>=</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>[1−cos(3𝑥)]. 1</p><p>𝑥2⁄ .[1+𝑐𝑜𝑠 (3𝑥)]</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥. 1 𝑥⁄ .[1+cos(3𝑥)]</p><p>=lim</p><p>𝑥→0</p><p>[1−𝑐𝑜𝑠2(3𝑥)]. 1</p><p>𝑥2⁄</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥 . 1</p><p>𝑥⁄ .[1+cos(3𝑥)]</p><p>=</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>𝑠𝑒𝑛2(3𝑥). 1</p><p>𝑥2⁄</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥. 1 𝑥⁄ .[1+cos(3𝑥)]</p><p>= lim</p><p>𝑥→0</p><p>(</p><p>𝑠𝑒𝑛 (3𝑥)</p><p>𝑥</p><p>)2</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥. 1 𝑥⁄ .[1+cos(3𝑥)]</p><p>Utilizando o limite trigonométrico fundamental teremos:</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>(</p><p>𝑠𝑒𝑛 (3𝑥)</p><p>𝑥</p><p>)2.</p><p>1</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥. 1</p><p>𝑥⁄ . [1 + cos(3𝑥)]</p><p>= (3)3.</p><p>1</p><p>1. (1 + 1)</p><p>=</p><p>9</p><p>2</p><p>Questão 3 [ANULADA] Calcule as derivadas das funções a seguir:</p><p>Questão 4 [3.0 pontos] Seja a função f(x) = x +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>definida no corpo dos reais,</p><p>analise o comportamento de f:</p><p>a) Nas vizinhanças de x = 0</p><p>b) Quando x tende aos infinitos positivo e negativo (±∞)</p><p>c) Verifique se f(x) tem assíntota obliqua</p><p>Solução:</p><p>a) Importante destacar que x = 0 não pertence ao domínio de f(x). Logo temos</p><p>que observar o comportamento na vizinhança de 0, a saber:</p><p>𝒍𝒊𝒎</p><p>𝒙→𝟎+</p><p>𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟎+</p><p>𝒙 +</p><p>𝟏</p><p>𝒙</p><p>= 0+∞ = ∞ e 𝒍𝒊𝒎</p><p>𝒙→𝟎−</p><p>𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟎−</p><p>𝒙 +</p><p>𝟏</p><p>𝒙</p><p>= 0 - ∞ = − ∞,</p><p>Portanto, x = 0 é uma assíntota vertical da função.</p><p>b) Comportamento de f em ±∞:</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→+∞</p><p>𝑓(𝑥) = lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>= ∞ + 0 = +∞ , 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→−∞</p><p>𝑓(𝑥) = lim</p><p>𝑥= −∞</p><p>𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>= −∞ + 0 = −∞</p><p>Portanto f(x) não tem assíntota horizontal.</p><p>c) Contudo, observe que, quando 𝑥 → ∞, f tem um comportamento parecido</p><p>com a reta y = x pois o termo</p><p>𝟏</p><p>𝐱</p><p>é próximo de zero (tende a zero). Isto é, tem</p><p>assíntota oblíqua.</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→±∞</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑥</p><p>= 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→±∞</p><p>𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>𝑥</p><p>= 1</p><p>Também temos:</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→±∞</p><p>(𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>− 1. 𝑥) = 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→±∞</p><p>(𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>− 1. 𝑥) = 0</p><p>Portanto y = ax + b conduz a função y = x, que é uma assíntota oblíqua de</p><p>f(x).</p><p>Questão 5 [1.0 pontos] Seja f: ℝ → ℝ a função definida por {</p><p>1−cos 𝑥</p><p>𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0</p><p>𝑎, 𝑠𝑒 𝑥 = 0</p><p>Determine o valor de a ∈ ℝ, para qual f é uma função contínua.</p><p>Solução: Calculando o limite dá função em x = 0 teremos, a partir da</p><p>multiplicação do numerador e denominador pelo conjugado do numerador e sua</p><p>simplificação teremos:</p><p>2</p><p>1</p><p>)cos1(cos1</p><p>cos1</p><p>.</p><p>.</p><p>cos1</p><p>limlim</p><p>00</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+−</p><p>→→ xx</p><p>senx</p><p>x</p><p>x</p><p>senxx</p><p>x</p><p>xx</p><p>Assim, para que f seja contínua em x = 0 é que a =</p><p>1</p><p>2</p><p>Nesses termos temos que:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0,</p><p>.</p><p>cos1</p><p>)(</p><p>xse</p><p>xse</p><p>senxx</p><p>x</p><p>xf</p>