Matrizes e Determinantes

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<p>ITA 2023</p><p>MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Prof. Victor So</p><p>www.estrategiamilitares.com.br</p><p>AULA 12</p><p>2</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Sumário</p><p>APRESENTAÇÃO 4</p><p>1. MATRIZES 5</p><p>1.1. NOÇÃO BÁSICA 5</p><p>1.2. LEI DE FORMAÇÃO 6</p><p>1.3. TIPOS DE MATRIZES 6</p><p>1.3.1. MATRIZ LINHA 6</p><p>1.3.2. MATRIZ COLUNA 7</p><p>1.3.3. MATRIZ QUADRADA 7</p><p>1.3.4. MATRIZ RETANGULAR 8</p><p>1.3.5. MATRIZ NULA 8</p><p>1.3.6. MATRIZ DIAGONAL 8</p><p>1.3.7. MATRIZ IDENTIDADE (MATRIZ UNIDADE) 8</p><p>1.3.8. MATRIZ TRIANGULAR 9</p><p>1.3.9. MATRIZ OPOSTA 9</p><p>1.4. IGUALDADE ENTRE MATRIZES 9</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES 11</p><p>1.5.1. ADIÇÃO 11</p><p>1.5.2. SUBTRAÇÃO 12</p><p>1.5.3. MULTIPLICAÇÃO 12</p><p>1.6. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 22</p><p>1.6.1. ADIÇÃO 22</p><p>1.6.2. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES POR ESCALAR 22</p><p>1.6.3. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 23</p><p>1.6.4. DEMONSTRAÇÕES 23</p><p>1.7. MATRIZ TRANSPOSTA 26</p><p>1.7.1. DEFINIÇÃO 26</p><p>1.7.2. MATRIZ SIMÉTRICA 26</p><p>1.7.3. MATRIZ ANTISSIMÉTRICA 26</p><p>1.7.4. PROPRIEDADES DA MATRIZ TRANSPOSTA 26</p><p>1.8. TRAÇO DE UMA MATRIZ 28</p><p>1.8.1. DEFINIÇÃO 28</p><p>1.8.2. PROPRIEDADES 28</p><p>1.9. MATRIZES ESPECIAIS 29</p><p>1.9.1. MATRIZ INVERSA 29</p><p>1.9.2. MATRIZ ORTOGONAL 30</p><p>1.9.3. MATRIZ DE ROTAÇÃO 30</p><p>1.9.4. MATRIZ NILPOTENTE 32</p><p>1.9.5. MATRIZ IDEMPOTENTE 32</p><p>2. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 35</p><p>2.1. DEFINIÇÃO 35</p><p>2.1.1. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 𝟏 36</p><p>2.1.2. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 𝟐 36</p><p>2.1.3. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 𝟑 37</p><p>2.2. TEOREMA DE LAPLACE 40</p><p>3</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>2.2.1. CONCEITOS INICIAIS 40</p><p>2.2.2. MATRIZ DOS COFATORES 42</p><p>2.2.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAPLACE 42</p><p>2.3. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 43</p><p>2.3.1. FATOR COMUM EM UMA FILA DA MATRIZ 44</p><p>2.3.2. FATOR COMUM NA MATRIZ 45</p><p>2.3.3. TEOREMA DE BÉZOUT 45</p><p>2.3.4. FILAS PARALELAS IGUAIS OU PROPORCIONAIS 46</p><p>2.3.5. COMBINAÇÃO LINEAR DE FILAS 46</p><p>2.3.6. MATRIZ TRIANGULAR 47</p><p>2.3.7. MATRIZ TRANSPOSTA 48</p><p>2.3.8. DECOMPOSIÇÃO EM SOMA 49</p><p>2.3.9. TEOREMA DE CAUCHY 50</p><p>2.3.10. TEOREMA DE JACOBI 50</p><p>2.3.11. TEOREMA DE BINET 52</p><p>2.3.12. MATRIZ DE VANDERMONDE 54</p><p>2.3.13. MATRIZES SEMELHANTES 56</p><p>2.4. REGRA DE CHIÓ 58</p><p>2.5. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA PELO DETERMINANTE 60</p><p>2.5.1. MATRIZ ADJUNTA 60</p><p>2.5.2. LEMA DE CRAMER 60</p><p>2.5.3. INVERSA DE UMA MATRIZ 61</p><p>2.6. CÁLCULO DO DETERMINANTE DE MATRIZES INFINITAS 63</p><p>3. QUESTÕES NÍVEL 1 69</p><p>3.1. MATRIZES 69</p><p>3.1. GABARITO 75</p><p>3.1. RESOLUÇÃO 75</p><p>3.2. DETERMINANTES 91</p><p>3.2. GABARITO 97</p><p>3.2. RESOLUÇÃO 98</p><p>4. QUESTÕES NÍVEL 2 112</p><p>GABARITO 124</p><p>RESOLUÇÃO 124</p><p>5. QUESTÕES NÍVEL 3 153</p><p>GABARITO 175</p><p>RESOLUÇÃO 177</p><p>6. CONSIDERAÇÕES FINAIS DA AULA 252</p><p>7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 252</p><p>4</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>APRESENTAÇÃO</p><p>Olá,</p><p>Nesta aula, estudaremos matrizes e determinantes. Veremos os conceitos básicos de</p><p>matrizes e, principalmente, os teoremas e propriedades para calcularmos o valor dos seus</p><p>determinantes.</p><p>As matrizes são muito úteis na resolução de sistemas lineares e este será o conteúdo da</p><p>nossa próxima aula. Se você já tem familiaridade com matrizes, faça uma leitura rápida da teoria</p><p>e vá para a lista de exercícios. O importante é ganhar velocidade e estar com os conceitos bem</p><p>fixados.</p><p>Se você ainda não se sente confortável com esse assunto, leia a teoria com calma e tente</p><p>entender os conceitos básicos para saber resolver os exercícios do seu vestibular.</p><p>Qualquer dúvida, não hesite em nos procurar. Estamos aqui para auxiliá-lo.</p><p>Bons estudos.</p><p>5</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>1. MATRIZES</p><p>1.1. NOÇÃO BÁSICA</p><p>Uma matriz é um agrupamento de informação no formato de tabela com linhas e colunas.</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>𝐴 = (</p><p>10 8 18 𝜋</p><p>3 200 1,72 √2</p><p>)</p><p>𝐵 = (</p><p>3 2</p><p>1 1</p><p>)</p><p>𝐶 =</p><p>[</p><p>1 0 1</p><p>−1 −2 0</p><p>1</p><p>5</p><p>4 3 ]</p><p>𝐷 = [</p><p>5 5 0</p><p>1 3 3</p><p>1 3 4</p><p>0 5 −1</p><p>]</p><p>Repare que podemos representar uma matriz usando os parênteses “( )“ ou os colchetes</p><p>“[ ]“.</p><p>Como podemos ver, uma matriz é formada por elementos dispostos em linhas e colunas.</p><p>Cada elemento possui um “endereço” que é composto de duas informações: a qual linha e a qual</p><p>coluna ele pertence, nessa ordem.</p><p>As linhas são contadas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para a direita. Vamos</p><p>tomar a seguinte matriz 𝐴 como exemplo:</p><p>𝐴 = (</p><p>10 8 18 𝜋</p><p>3 200 1,72 √2</p><p>)</p><p>Nessa matriz, temos 2 linhas e 4 colunas:</p><p>No exemplo, o elemento da primeira linha e da terceira coluna é indicado por 𝑎13 e seu</p><p>valor é 18, ou ainda, 𝑎13 = 18.</p><p>Podemos dizer que a matriz 𝐴 tem dimensão 2𝑥4 e ela pode ser representada pelas</p><p>seguintes notações:</p><p>𝐴2𝑥4</p><p>6</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Ou</p><p>𝐴 = (𝑎𝑖𝑗), 𝑖 ∈ {1,2} 𝑒 𝑗 ∈ {1,2,3,4} ou simplesmente 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥4</p><p>𝑎𝑖𝑗 é o elemento da matriz da linha 𝑖 e coluna 𝑗. Usamos a letra minúscula para representar</p><p>os elementos da matriz.</p><p>1.2. LEI DE FORMAÇÃO</p><p>Aprendemos em aulas passadas que podemos calcular os termos de uma progressão com</p><p>base em uma fórmula chamada lei de formação. De modo análogo, podemos calcular cada termo</p><p>de uma matriz através de uma lei de formação. Vejamos como isso acontece:</p><p>𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2 tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗</p><p>Essa fórmula nos diz que a matriz 𝐴 é do tipo 2𝑥2, então, ela possui duas linhas e duas</p><p>colunas:</p><p>𝐴 = (</p><p>𝑎11 𝑎12</p><p>𝑎21 𝑎22</p><p>)</p><p>Com base na lei de formação, vamos calcular o valor de cada termo:</p><p>𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗</p><p>𝑎11 = 1 + 1 = 2</p><p>𝑎12 = 1 + 2 = 3</p><p>𝑎21 = 2 + 1 = 3</p><p>𝑎22 = 2 + 2 = 4</p><p>Assim, a matriz 𝐴 é dada por:</p><p>𝐴 = (</p><p>2 3</p><p>3 4</p><p>)</p><p>1.3. TIPOS DE MATRIZES</p><p>Quando dizemos que uma matriz é do tipo 𝐴𝑚𝑥𝑛 ou que 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 significa que a matriz</p><p>𝐴 tem 𝑚 linhas e 𝑛 colunas. Podemos dizer também que a matriz 𝐴 tem dimensão 𝑚 𝑥 𝑛.</p><p>Vejamos, agora, alguns tipos muito frequentes nas provas.</p><p>1.3.1. MATRIZ LINHA</p><p>Matriz com apenas uma linha, do tipo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)1𝑥𝑛, com 𝑖 = 1 e 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛}.</p><p>Exemplo:</p><p>𝐴 = [1 𝜋 𝛼 √5</p><p>1</p><p>3</p><p>−10]</p><p>7</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟏𝒙6</p><p>1.3.2. MATRIZ COLUNA</p><p>Matriz com apenas uma coluna, do tipo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥1, com 𝑖 ∈ {1,2, … ,𝑚} e 𝑗 = 1.</p><p>𝐴 =</p><p>[</p><p>2</p><p>1</p><p>−5</p><p>log(7)</p><p>𝑒</p><p>0</p><p>1 + 𝑥 ]</p><p>𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)7𝑥1</p><p>1.3.3. MATRIZ QUADRADA</p><p>Matriz com o mesmo número de linhas e de colunas, do tipo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑚, ou ainda, de</p><p>ordem 𝑚.</p><p>𝐴 = [</p><p>𝛼 𝛽 𝑐 ∆</p><p>𝜀 𝜑 𝛾 𝜂</p><p>𝜄 𝑗 𝜅 𝜆</p><p>𝜇 𝜈 𝛺 𝜋</p><p>]</p><p>= (𝑎𝑖𝑗)4𝑥4</p><p>Embora alguns autores usem como sinônimos as palavras tipo, dimensão e ordem de uma</p><p>matriz, é mais indicado a distinção tipo e dimensão para matrizes retangulares e ordem para</p><p>matrizes quadradas.</p><p>Diagonais da matriz quadrada</p><p>As matrizes quadradas têm duas diagonais: a principal e a secundária.</p><p>A diagonal principal é o conjunto de todos os elementos de uma matriz quadrada em que</p><p>𝑖 = 𝑗, ou seja, em que o número da linha do elemento é igual ao número da coluna.</p><p>A diagonal secundária é o conjunto de todos os elementos em que 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1, ou seja,</p><p>em que o número da linha do elemento somado ao da coluna seja igual à ordem da matriz mais</p><p>um.</p><p>8</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>1.3.4. MATRIZ RETANGULAR</p><p>Uma matriz é dita retangular quando o número de linhas é diferente do número de</p><p>colunas, ou seja, uma matriz do tipo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 em que 𝑚 ≠ 𝑛.</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>𝑒 𝑓</p><p>]</p><p>𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥2</p><p>1.3.5. MATRIZ NULA</p><p>A matriz nula possui todos seus elementos iguais a zero.</p><p>𝐴 = [</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 0 0</p><p>]</p><p>𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥4</p><p>1.3.6. MATRIZ DIAGONAL</p><p>Uma matriz é considerada diagonal se, além de ser quadrada, todos os elementos em que</p><p>𝑖 ≠ 𝑗 são iguais a zero, ou seja, somente os elementos da diagonal principal, 𝑖 = 𝑗 são não nulos.</p><p>𝐴 = [</p><p>1</p><p>2 − 4 ⋅ 2 15 − 4 ⋅ 3 11 − 4 ⋅ 4</p><p>| = |</p><p>−1 −1 −2</p><p>−5 −4 −3</p><p>−6 3 −5</p><p>|</p><p>Aplicando novamente a regra de Chió:</p><p>det𝑀 = |</p><p>4 − 5 ⋅ 1 3 − 5 ⋅ 2</p><p>3 − (−6) ⋅ 1 −5 − (−6) ⋅ 2</p><p>| = |−1 −7</p><p>9 7</p><p>| = −7− (−63) = 56</p><p>60</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>2.5. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA PELO DETERMINANTE</p><p>Veremos aqui um método para calcular a inversa de uma matriz usando o seu</p><p>determinante. Preliminarmente, precisamos ver a definição de matriz adjunta e o lema de</p><p>Cramer.</p><p>2.5.1. MATRIZ ADJUNTA</p><p>A matriz adjunta de 𝐴, representada por �̅� ou 𝑎𝑑𝑗(𝐴), é a transposta da matriz de</p><p>cofatores, ou seja,</p><p>�̅� = (𝐴′)</p><p>𝑡</p><p>Sendo a matriz</p><p>𝐴 = [</p><p>1 −1</p><p>3 0</p><p>],</p><p>temos</p><p>𝐴′ = [0 −3</p><p>1 1</p><p>].</p><p>Dessa forma,</p><p>�̅� = (𝐴′)</p><p>𝑡</p><p>�̅� = [0 −3</p><p>1 1</p><p>]</p><p>𝑡</p><p>�̅� = [ 0 1</p><p>−3 1</p><p>]</p><p>que é a matriz adjunta de 𝐴.</p><p>2.5.2. LEMA DE CRAMER</p><p>Se 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 𝑛 e 𝐼𝑛 é a matriz identidade de ordem 𝑛, então:</p><p>𝐴 ⋅ �̅� = �̅� ⋅ 𝐴 = det𝐴 ⋅ 𝐼𝑛</p><p>Demonstração:</p><p>Sejam 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 , 𝐴′ =</p><p>(𝐴𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 e �̅� = (𝐵𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 tal que 𝐵𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖.</p><p>Vamos calcular 𝐶 = 𝐴 ⋅ �̅�:</p><p>𝑐𝑖𝑗 =∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝐵𝑘𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>=∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝐴𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>Desse modo, temos:</p><p>61</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑐𝑖𝑗 =</p><p>{</p><p>∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝐴𝑖𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>= det 𝐴</p><p>⏟</p><p>𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒</p><p>; 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗</p><p>∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝐴𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>= 0</p><p>⏟</p><p>𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦</p><p>; 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗</p><p>Portanto, 𝐶 é a matriz diagonal:</p><p>𝐶 =</p><p>[</p><p>det 𝐴 0 0 ⋯ 0</p><p>0 det 𝐴 0 ⋯ 0</p><p>0 0 det 𝐴 ⋯ 0</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 0 0 ⋯ det 𝐴]</p><p>= det 𝐴 ⋅ 𝐼𝑛</p><p>Analogamente, seja 𝐷 = �̅� ⋅ 𝐴:</p><p>𝑑𝑖𝑗 =∑𝐵𝑖𝑘 ⋅ 𝑎𝑘𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>=∑𝐴𝑘𝑖 ⋅ 𝑎𝑘𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>=∑ 𝑎𝑘𝑗 ⋅ 𝐴𝑘𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>𝑑𝑖𝑗 =</p><p>{</p><p>∑ 𝑎𝑘𝑗 ⋅ 𝐴𝑘𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>= det 𝐴</p><p>⏟</p><p>𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒</p><p>; 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗</p><p>∑ 𝑎𝑘𝑗 ⋅ 𝐴𝑘𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>= 0</p><p>⏟</p><p>𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦</p><p>; 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗</p><p>Logo:</p><p>𝐷 =</p><p>[</p><p>det 𝐴 0 0 ⋯ 0</p><p>0 det 𝐴 0 ⋯ 0</p><p>0 0 det 𝐴 ⋯ 0</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 0 0 ⋯ det 𝐴]</p><p>= det 𝐴 ⋅ 𝐼𝑛</p><p>Assim, podemos concluir:</p><p>𝐴 ⋅ �̅� = �̅� ⋅ 𝐴 = det 𝐴 ⋅ 𝐼𝑛</p><p>2.5.3. INVERSA DE UMA MATRIZ</p><p>Se 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 𝑛 e det𝐴 ≠ 0, então, 𝐴 é inversível e sua fórmula é</p><p>dada por:</p><p>𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ �̅�</p><p>62</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Portanto, para que exista a matriz inversa, precisamos ter, obrigatoriamente, det 𝐴 ≠ 0,</p><p>caso contrário, não poderíamos fazer a divisão e, consequentemente, não existiria 𝐴−1.</p><p>Só é inversível a matriz em que det 𝐴 ≠ 0.</p><p>Demonstração:</p><p>Vamos usar o lema de Cramer:</p><p>𝐴 ⋅ �̅� = det 𝐴 ⋅ 𝐼𝑛</p><p>Sendo det𝐴 uma constante, podemos dividir ambos os lados por esse número e escrever:</p><p>⇒ 𝐴 ⋅ (</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ �̅�) = 𝐼𝑛</p><p>Usando a outra identidade do lema de Cramer:</p><p>�̅� ⋅ 𝐴 = det𝐴 ⋅ 𝐼𝑛</p><p>⇒ (</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ �̅�) ⋅ 𝐴 = 𝐼𝑛</p><p>Desse modo:</p><p>𝐴 ⋅ (</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ �̅�) = (</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ �̅�) ⋅ 𝐴 = 𝐼𝑛 (1)</p><p>Pela definição de matriz inversa, temos:</p><p>𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 𝐴−1 ⋅ 𝐴 = 𝐼𝑛 (2)</p><p>Portanto, analisando (1) e (2), podemos ver que:</p><p>𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ �̅�</p><p>Vejamos um exemplo:</p><p>Vamos calcular a inversa da matriz</p><p>𝐴 = [</p><p>1 −1</p><p>3 0</p><p>]</p><p>O seu determinante é dado por:</p><p>det(𝐴) = |1 −1</p><p>3 0</p><p>|</p><p>det(𝐴) = 1 ∙ 0 − (−1) ∙ 3</p><p>det(𝐴) = 0 + 3</p><p>63</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det(𝐴) = 3</p><p>Devemos encontrar a matriz adjunta de 𝐴, calculando a matriz dos cofatores,</p><p>encontramos:</p><p>𝐴′ = [0 −3</p><p>1 1</p><p>]</p><p>Dessa forma:</p><p>�̅� = (𝐴′)</p><p>𝑡</p><p>�̅� = [0 −3</p><p>1 1</p><p>]</p><p>𝑡</p><p>�̅� = [ 0 1</p><p>−3 1</p><p>]</p><p>Podemos calcular a inversa de 𝐴.</p><p>𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det(𝐴)</p><p>. �̅�</p><p>𝐴−1 =</p><p>1</p><p>3</p><p>. [ 0 1</p><p>−3 1</p><p>]</p><p>𝐴−1 =</p><p>[</p><p>1</p><p>3</p><p>. 0</p><p>1</p><p>3</p><p>. 1</p><p>1</p><p>3</p><p>. (−3)</p><p>1</p><p>3</p><p>. 1]</p><p>𝐴−1 =</p><p>[</p><p>0</p><p>1</p><p>3</p><p>−1</p><p>1</p><p>3]</p><p>2.6. CÁLCULO DO DETERMINANTE DE MATRIZES INFINITAS</p><p>Para resolver um determinante envolvendo matriz infinita, precisamos encontrar um</p><p>padrão. Vamos ver uma questão do IME e aprender com o passo-a-passo da sua resolução.</p><p>(IME/2005) Calcule o determinante da matriz 𝑛 𝑥 𝑛 em função de 𝑏, onde 𝑏 é um número</p><p>real tal que 𝑏2 ≠ 1.</p><p>|</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑏2 + 1 𝑏 0 0 ⋯ 0 0</p><p>𝑏 𝑏2 + 1 𝑏 0 ⋯ 0 0</p><p>0 𝑏 𝑏2 + 1 𝑏 ⋯ 0 0</p><p>0 0 𝑏 𝑏2 + 1 ⋯ 0 0</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮</p><p>0 0 0 0 ⋯ 𝑏2 + 1 𝑏</p><p>0 0 0 0 ⋯ 𝑏 𝑏2 + 1</p><p>|</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟ }</p><p>𝑛 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠</p><p>𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠</p><p>64</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Resolução:</p><p>Vamos definir como Δ𝑛 o determinante de ordem 𝑛 representado acima. Para resolver essa</p><p>questão, podemos usar o teorema de Laplace na primeira linha e obter:</p><p>Δ𝑛 = (𝑏</p><p>2 + 1) ⋅ 𝐷11 + 𝑏 ⋅ 𝐷12</p><p>𝐷11 e 𝐷12 são os menores complementares dos elementos 𝑎11 = 𝑏</p><p>2 + 1 e 𝑎12 = 𝑏,</p><p>respectivamente.</p><p>Pela definição de menor complementar, temos:</p><p>a) Encontrando o menor complementar para 𝑎11 = 𝑏</p><p>2 + 1:</p><p>𝐷11 = (−1)</p><p>1+1 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑏2 + 1 𝑏 0 ⋯ 0 0</p><p>𝑏 𝑏2 + 1 𝑏 ⋯ 0 0</p><p>0 𝑏 𝑏2 + 1 ⋯ 0 0</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮</p><p>0 0 0 ⋯ 𝑏2 + 1 𝑏</p><p>0 0 0 ⋯ 𝑏 𝑏2 + 1</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>Δ𝑛−1</p><p>Note que o determinante acima é igual ao determinante Δ𝑛 reduzido de uma ordem. Então:</p><p>⇒ 𝐷11 = Δ𝑛−1</p><p>b) Encontrando o menor complementar para 𝑎12 = 𝑏:</p><p>65</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Podemos aplicar o teorema de Laplace na primeira coluna do determinante acima:</p><p>𝐷12 = −𝑏 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑏2 + 1 𝑏 ⋯ 0 0</p><p>𝑏 𝑏2 + 1 ⋯ 0 0</p><p>⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮</p><p>0 0 ⋯ 𝑏2 + 1 𝑏</p><p>0 0 ⋯ 𝑏 𝑏2 + 1</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>Δ𝑛−2</p><p>⇒ 𝐷12 = −𝑏 ⋅ Δ𝑛−2</p><p>Substituindo 𝐷11 e 𝐷12 na equação de Δ𝑛, obtemos:</p><p>Δ𝑛 = (𝑏</p><p>2 + 1) ⋅ Δ𝑛−1 − 𝑏</p><p>2 ⋅ Δ𝑛−2</p><p>Assim, encontramos a seguinte relação de recorrência:</p><p>Δ𝑛 − (𝑏</p><p>2 + 1) ⋅ Δ𝑛−1 + 𝑏</p><p>2 ⋅ Δ𝑛−2 = 0</p><p>Agora, temos diversos modos de resolvê-la. Veja:</p><p>Método 1) Vamos encontrar um padrão no determinante do problema.</p><p>Para 𝑛 = 1, temos:</p><p>Δ1 = |𝑏</p><p>2 + 1|</p><p>Δ1 = 𝑏</p><p>2 + 1</p><p>Para 𝑛 = 2:</p><p>Δ2 = |</p><p>𝑏2 + 1 𝑏</p><p>𝑏 𝑏2 + 1</p><p>|</p><p>Δ2 = 𝑏</p><p>4 + 𝑏2 + 1</p><p>Para 𝑛 = 3:</p><p>Δ3 = |</p><p>𝑏2 + 1 𝑏 0</p><p>𝑏 𝑏2 + 1 𝑏</p><p>0 𝑏 𝑏2 + 1</p><p>|</p><p>Δ3 = 𝑏</p><p>6 + 𝑏4 + 𝑏2 + 1</p><p>Note que Δ1, Δ2 e Δ3 podem ser vistos como a soma de uma PG de razão 𝑏2 cujo primeiro</p><p>termo é 𝑎1 = 1. Aplicando-se a fórmula da soma da PG nesses determinantes, obtemos:</p><p>Δ1 = 𝑏</p><p>2 + 1 =</p><p>𝑏4 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>66</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Δ2 = 𝑏</p><p>4 + 𝑏2 + 1 =</p><p>𝑏6 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Δ3 = 𝑏</p><p>6 + 𝑏4 + 𝑏2 + 1 =</p><p>𝑏8 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Perceba o padrão do valor dos determinantes. Vamos fazer a seguinte suposição e provar</p><p>que ela é válida por PIF:</p><p>Δ𝑛 =</p><p>𝑏2𝑛+2 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>1º) Para 𝑘 = 1, sabemos que ela é válida.</p><p>2º) Supondo que seja válida para</p><p>Δ𝑘 =</p><p>𝑏2𝑘+2 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>e Δ𝑘−1 =</p><p>𝑏2𝑘 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Precisamos provar que</p><p>Δ𝑘+1 =</p><p>𝑏2𝑘+4 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Usando a equação de recorrência, temos:</p><p>Δ𝑘+1 = (𝑏</p><p>2 + 1) ⋅ Δ𝑘 − 𝑏</p><p>2 ⋅ Δ𝑘−1</p><p>Substituindo os valores de Δ𝑘 e Δ𝑘−1 na equação:</p><p>Δ𝑘+1 = (𝑏</p><p>2 + 1) ⋅ (</p><p>𝑏2𝑘+2 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>)− 𝑏2 ⋅ (</p><p>𝑏2𝑘 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>)</p><p>Δ𝑘+1 =</p><p>(𝑏2𝑘+4 − 𝑏2 + 𝑏2𝑘+2 − 1− 𝑏2𝑘+2 + 𝑏2)</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Δ𝑘+1 =</p><p>𝑏2𝑘+4 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Portanto, essa fórmula é válida. Logo, a solução do determinante é dada por:</p><p>Δ𝑛 =</p><p>𝑏2𝑛+2 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Método 2) Partindo da fórmula de recorrência:</p><p>Δ𝑛 = (𝑏</p><p>2 + 1) ⋅ Δ𝑛−1 − 𝑏</p><p>2 ⋅ Δ𝑛−2</p><p>Vamos fatorar os termos:</p><p>Δ𝑛 − Δ𝑛−1 = 𝑏</p><p>2 ⋅ (Δ𝑛−1 − Δ𝑛−2)</p><p>Podemos alterar o valor de 𝑛 da relação acima e encontrar:</p><p>Δ𝑛−1 − Δ𝑛−2 = 𝑏</p><p>2 ⋅ (Δ𝑛−2 − Δ𝑛−3)</p><p>67</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Δ𝑛−2 − Δ𝑛−3 = 𝑏</p><p>2 ⋅ (Δ𝑛−3 − Δ𝑛−4)</p><p>⋮</p><p>Δ4 − Δ3 = 𝑏</p><p>2 ⋅ (Δ3 − Δ2)</p><p>Δ3 − Δ2 = 𝑏</p><p>2 ⋅ (Δ2 − Δ1)</p><p>Sabemos que Δ1 = 𝑏</p><p>2 + 1 e Δ2 = 𝑏</p><p>4 + 𝑏2 + 1. Então:</p><p>Δ2 − Δ1 = 𝑏</p><p>4</p><p>Δ3 − Δ2 = 𝑏</p><p>2 ⋅ (Δ2 − Δ1) = 𝑏</p><p>6</p><p>Δ4 − Δ3 = 𝑏</p><p>2 ⋅ (Δ3 − Δ2) = 𝑏</p><p>8</p><p>⋮</p><p>Note que as diferenças entre os determinantes consecutivos formam uma PG de razão 𝑏2</p><p>cujo primeiro termo é 𝑏4:</p><p>(Δ2 − Δ1, Δ3 − Δ2, … , Δ𝑛 − Δ𝑛−1)⏟</p><p>𝑛−1 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠</p><p>𝑃𝐺 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑏2</p><p>Aplicando-se a soma da PG, obtemos:</p><p>Δ𝑛 − Δ𝑛−1 + Δ𝑛−1 − Δ𝑛−2 +⋯+ Δ2 − Δ1 =</p><p>𝑏4 ((𝑏2)</p><p>𝑛−1</p><p>− 1)</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Δ𝑛 − Δ1⏟</p><p>𝑏2+1</p><p>=</p><p>𝑏2𝑛+2 − 𝑏4</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Δ𝑛 =</p><p>𝑏2𝑛+2 − 𝑏4</p><p>𝑏2 − 1</p><p>+ 𝑏2 + 1 =</p><p>𝑏2𝑛+2 − 𝑏4 + 𝑏4 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>∴ Δ𝑛 =</p><p>𝑏2𝑛+2 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Método 3) Esse método envolve assuntos que você irá aprender quando iniciar seus</p><p>estudos na graduação e, por isso, pode ser que você não entenda. Mas, não se preocupe! Apenas</p><p>tente decorar as etapas envolvidas. Ele pode ser útil na sua prova e é sempre bom ter uma</p><p>ferramenta a mais para resolver as questões.</p><p>Vamos encontrar a solução da recorrência:</p><p>Δ𝑛 − (𝑏</p><p>2 + 1) ⋅ Δ𝑛−1 + 𝑏</p><p>2 ⋅ Δ𝑛−2 = 0</p><p>Devemos encontrar a sua equação característica, para isso, faça:</p><p>Δ𝑛⏟</p><p>𝑥2</p><p>− (𝑏2 + 1) ⋅ Δ𝑛−1⏟</p><p>𝑥1</p><p>+ 𝑏2 ⋅ Δ𝑛−2⏟</p><p>𝑥0</p><p>= 0</p><p>68</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Equação característica:</p><p>𝑥2 − (𝑏2 + 1)𝑥 + 𝑏2 = 0</p><p>Essa é uma equação do segundo grau. Vamos calcular o valor do discriminante:</p><p>Δ = (𝑏2 + 1)2 − 4𝑏2 = 𝑏4 − 2𝑏2 + 1 = (𝑏2 − 1)2</p><p>Como o enunciado afirma que 𝑏2 ≠ 1, temos Δ = (𝑏2 − 1)2 > 0. Logo, a equação</p><p>característica possui 2 raízes distintas. Então, a solução da recorrência é dada pela seguinte</p><p>equação:</p><p>Δ𝑛 = 𝑐1 ⋅ 𝑥1</p><p>𝑛 + 𝑐2 ⋅ 𝑥2</p><p>𝑛</p><p>Onde 𝑥1, 𝑥2 são as raízes da equação característica e 𝑐1, 𝑐2 são constantes.</p><p>Vamos calcular as raízes:</p><p>𝑥1,2 =</p><p>(𝑏2 + 1)± √(𝑏2 − 1)</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>𝑏2 + 1± (𝑏2 − 1)</p><p>2</p><p>𝑥1 = 𝑏</p><p>2 e 𝑥2 = 1</p><p>Substituindo na fórmula de Δ𝑛:</p><p>Δ𝑛 = 𝑐1 ⋅ 𝑏</p><p>2𝑛 + 𝑐2</p><p>Agora, precisamos encontrar o valor das constantes 𝑐1 e 𝑐2.</p><p>Para 𝑛 = 1, temos:</p><p>Δ1⏟</p><p>𝑏2+1</p><p>= 𝑐1 ⋅ 𝑏</p><p>2 + 𝑐2</p><p>𝑐1 ⋅ 𝑏</p><p>2 + 𝑐2 = 𝑏</p><p>2 + 1</p><p>Para 𝑛 = 2:</p><p>Δ2⏟</p><p>𝑏4+𝑏2+1</p><p>= 𝑐1 ⋅ 𝑏</p><p>4 + 𝑐2</p><p>𝑐1 ⋅ 𝑏</p><p>4 + 𝑐2 = 𝑏</p><p>4 + 𝑏2 + 1</p><p>Assim, temos o seguinte sistema:</p><p>{</p><p>𝑐1 ⋅ 𝑏</p><p>2 + 𝑐2 = 𝑏</p><p>2 + 1 (𝐼)</p><p>𝑐1 ⋅ 𝑏</p><p>4 + 𝑐2 = 𝑏</p><p>4 + 𝑏2 + 1 (𝐼𝐼)</p><p>Fazendo (𝐼𝐼)− (𝐼):</p><p>𝑐1 (𝑏</p><p>4 − 𝑏2) = 𝑏4 ⇒ 𝑐1 =</p><p>𝑏2</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Substituindo o valor de 𝑐1 em (𝐼):</p><p>𝑏2</p><p>𝑏2 − 1</p><p>⋅ 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑏</p><p>2 + 1 ⇒ 𝑐2 = 𝑏</p><p>2 + 1−</p><p>𝑏4</p><p>𝑏2 − 1</p><p>= −</p><p>1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>Desse modo, obtemos:</p><p>69</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Δ𝑛 = (</p><p>𝑏2</p><p>𝑏2 − 1</p><p>) ⋅ 𝑏2𝑛 + (−</p><p>1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>)</p><p>Δ𝑛 =</p><p>𝑏2𝑛+2 − 1</p><p>𝑏2 − 1</p><p>3. QUESTÕES NÍVEL 1</p><p>3.1. MATRIZES</p><p>1. (EEAR/2005)</p><p>Sendo 𝑨 uma matriz 𝟑 × 𝟒 e 𝑩 uma matriz 𝑵×𝑴, coloque 𝑽 (Verdadeira) ou 𝑭 (Falsa) nas</p><p>afirmações a seguir:</p><p>• ( ) Existe 𝑨 + 𝑩 se, e somente se, 𝑵 = 𝟒 e 𝑴 = 𝟑.</p><p>• ( ) Existe 𝑨 · 𝑩 se, e somente se, 𝑵 = 𝟒 e 𝑴 = 𝟑.</p><p>• ( ) Existem 𝑨 · 𝑩 e 𝑩 · 𝑨 se, e somente se, 𝑵 = 𝟒 e 𝑴 = 𝟑.</p><p>• ( ) 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨 se, e somente se, 𝑨 = 𝑩.</p><p>• ( ) 𝑨 · 𝑩 = 𝑩 · 𝑨 se, e somente se, 𝑨 = 𝑩.</p><p>Assinale a alternativa que contém a sequência correta:</p><p>a) 𝑽 − 𝑽 − 𝑽 − 𝑽 − 𝑽</p><p>b) 𝑭 − 𝑽 − 𝑭 − 𝑽 − 𝑭</p><p>c) 𝑭 − 𝑭 − 𝑽 − 𝑭 − 𝑭</p><p>d) 𝑽 − 𝑽 − 𝑽 − 𝑭 – 𝑽</p><p>2. (EEAR/2010)</p><p>Sejam as matrizes 𝑨𝒎×𝟑, 𝑩𝒑×𝒒 e 𝑪𝟓×𝟑. Se 𝑨 · 𝑩 = 𝑪, então 𝒎 + 𝒑 + 𝒒 é igual a</p><p>a) 10</p><p>b) 11</p><p>c) 12</p><p>d) 13</p><p>3. (EEAR/2019)</p><p>Dadas as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟑</p><p>𝟐 𝟎</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝟎 𝟏</p><p>𝟏 𝟐</p><p>], o produto 𝑨 ⋅ 𝑩 é a matriz:</p><p>a) [</p><p>𝟑 𝟕</p><p>𝟐 𝟐</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟒 𝟕</p><p>𝟐 𝟐</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟑 𝟕</p><p>𝟎 𝟐</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟒 𝟒</p><p>𝟎 𝟐</p><p>]</p><p>4. (EEAR/2014)</p><p>70</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Seja a matriz 𝑨 = [</p><p>𝟒 𝟐</p><p>−𝟔 𝟐</p><p>]. A matriz 𝑿 =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>⋅ 𝑨 tem como soma de seus elementos o valor</p><p>a) 7</p><p>b) 5</p><p>c) 4</p><p>d) 1</p><p>5. (EEAR/2011)</p><p>Seja 𝑷 = [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] e 𝑷𝒕 a matriz transposta de 𝑷. A matriz 𝑸 = 𝑷 ⋅ 𝑷𝒕 é</p><p>a) [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟏 𝟐</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟐 𝟏</p><p>𝟏 𝟏</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟎</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟐 𝟎</p><p>]</p><p>6. (EEAR/2007)</p><p>Sejam as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟐 𝟐</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>−𝟏 𝟏</p><p>𝟎 −𝟑</p><p>]. Se 𝑨𝒕 e 𝑩𝒕 são as matrizes transpostas de 𝑨 e de</p><p>𝑩, respectivamente, então 𝑨𝒕 + 𝑩𝒕 é igual a</p><p>a) [</p><p>𝟎 𝟐</p><p>𝟐 −𝟏</p><p>]</p><p>b)[</p><p>𝟐 𝟏</p><p>−𝟐 −𝟑</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟎 𝟐</p><p>−𝟐 −𝟐</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟎 −𝟏</p><p>𝟎 𝟓</p><p>]</p><p>7. (EEAR/2015)</p><p>Seja a matriz 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟐×𝟐</p><p>tal que 𝒂𝒊𝒋 = |𝒊</p><p>𝟐 − 𝒋𝟐|. A soma dos elementos de 𝑨 é igual a</p><p>a) 3</p><p>b) 6</p><p>c) 9</p><p>d) 12</p><p>8. (EEAR/2012)</p><p>Na matriz 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎 −𝟏</p><p>… 𝟐 𝟏</p><p>𝟓 … 𝟑</p><p>] faltam 2 elementos. Se nessa matriz 𝒂𝒊𝒋 = 𝟐𝒊 − 𝒋, a soma dos</p><p>elementos que faltam é</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 7</p><p>71</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>9. (EEAR/2016)</p><p>Se (</p><p>𝟏 𝒂</p><p>−𝟏 𝟐</p><p>) e (</p><p>𝒃 −𝟏</p><p>𝒙 𝟐𝒌</p><p>) são matrizes opostas, os valores de 𝒂, 𝒃, 𝒙 e 𝒌 são respectivamente.</p><p>a) 1, -1, 1, 1</p><p>b) 1, 1, -1, -1</p><p>c) 1, -1, 1, -1</p><p>d) -1, -1, -2, -2</p><p>10. (EEAR/2006)</p><p>Sendo 𝑨 = (</p><p>𝟐 −𝟏</p><p>𝟒 𝟓</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟒 𝟓 𝟑</p><p>−𝟏 𝟎 𝟑</p><p>), a soma dos elementos da 1ª linha de 𝑨 ⋅ 𝑩 é</p><p>a) 22</p><p>b) 30</p><p>c) 46</p><p>d) 58</p><p>11. (EEAR/2003)</p><p>Dadas as matrizes 𝑨 = (</p><p>𝟑 𝟎</p><p>𝟏 −𝟒</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟐 𝟏</p><p>−𝟏 𝟎</p><p>), então 𝑨 ⋅ 𝑩 − 𝑩 ⋅ 𝑨 é igual a:</p><p>a) [</p><p>𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟐 −𝟑</p><p>𝟓 𝟎</p><p>]</p><p>c) [</p><p>−𝟏 𝟕</p><p>𝟗 𝟏</p><p>]</p><p>d) [</p><p>−𝟑 𝟏</p><p>𝟐 𝟕</p><p>]</p><p>12. (EEAR/2006)</p><p>Se 𝑩 = [</p><p>𝟐 −𝟏</p><p>𝒙 𝒚</p><p>] é a matriz inversa de 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟏 𝟒</p><p>], então 𝒙 − 𝒚 é:</p><p>a) 2</p><p>b) 1</p><p>c) -1</p><p>d) 0</p><p>13. (EEAR/2005)</p><p>Sabendo-se que 𝑴 + 𝑵 = [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟑 𝟒</p><p>] e 𝑴− 𝑵 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟎</p><p>], a matriz 𝑵 é igual a</p><p>a) [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟐]</p><p>b) [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟐]</p><p>c) [</p><p>𝟎 𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟐]</p><p>d) [</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟎 𝟐</p><p>]</p><p>72</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>14. (EEAR/2009)</p><p>Se [</p><p>𝟐 𝟏</p><p>𝟏 −𝟏</p><p>] ⋅ [</p><p>𝒙</p><p>𝒚] = [</p><p>𝟔</p><p>𝟎</p><p>], então o valor de 𝒙 + 𝒚 é:</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 7</p><p>15. (EEAR/2017)</p><p>Considere as matrizes reais 𝑨 = (</p><p>𝒙𝟐 𝟏</p><p>𝟐 𝒚 + 𝒛</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟗 𝒛</p><p>𝒚 −𝒙</p><p>). Se 𝑨 = 𝑩𝒕, então 𝒚 + 𝒛 é igual a</p><p>a) 3</p><p>b) 2</p><p>c) 1</p><p>d) -1</p><p>16. (EEAR/2009)</p><p>Seja 𝑨−𝟏 = (</p><p>𝟐 −𝟏</p><p>−𝟏 𝒙</p><p>) a matriz inversa de 𝑨 = (</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟐</p><p>). Sabendo que 𝑨 ⋅ 𝑨−𝟏 = 𝑰𝟐, o valor de 𝒙 é:</p><p>a) 3</p><p>b)2</p><p>c) 1</p><p>d) 0</p><p>17. (EEAR/2008)</p><p>A soma dos elementos da diagonal principal da matriz 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟑×𝟑</p><p>, tal que 𝒂𝒊𝒋 = {</p><p>𝒊𝟐 𝒔𝒆 𝒊 ≠ 𝒋</p><p>𝒊 + 𝒋 𝒔𝒆 𝒊 = 𝒋</p><p>é um número</p><p>a) múltiplo de 3.</p><p>b) múltiplo de 5.</p><p>c) divisor de 16.</p><p>d) divisor de 121.</p><p>18. (EEAR/2002)</p><p>O elemento 𝑿𝟑,𝟐 da matriz solução da equação matricial 𝟑 ⋅ 𝑿 + [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟐 𝟒</p><p>𝟔 𝟖</p><p>] = [</p><p>𝟏𝟎 𝟒</p><p>𝟐 𝟏𝟔</p><p>𝟎 𝟖</p><p>] é</p><p>a) 0</p><p>b) -2</p><p>c) 3</p><p>d) 1</p><p>19. (EEAR/2005)</p><p>73</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝒙 𝒚</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] são duas matrizes que comutam se, e somente se,</p><p>a) 𝒙 = 𝟐 e 𝒚 = 𝟏.</p><p>b) 𝒙 = 𝟐 e 𝒚 = 𝟏.</p><p>c) 𝒙 = 𝟏.</p><p>d) 𝒙 = 𝟐.</p><p>20. (EEAR/2002)</p><p>O par (𝒙, 𝒚), solução da equação matricial (</p><p>𝒙 −𝟒</p><p>𝒙𝟐 𝒚</p><p>) ⋅ (</p><p>𝒙 𝟐</p><p>𝒚 𝟏</p><p>) = (</p><p>𝟏𝟑 𝟐𝒙 − 𝟒</p><p>𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 𝟖</p><p>) é</p><p>a) (𝟔,±√𝟑)</p><p>b) (±√𝟓,−𝟐)</p><p>c) (±√</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>, −𝟓)</p><p>d) (−</p><p>𝟕</p><p>𝟑</p><p>,</p><p>𝟒</p><p>𝟓</p><p>)</p><p>21. (EsPCEx/2002)</p><p>As matrizes 𝑨, 𝑩 e 𝑪 são do tipo 𝒓 × 𝒔, 𝒕 × 𝒖 e 𝟐 × 𝒘, respectivamente. Se a matriz (𝑨 − 𝑩) ·</p><p>𝑪 é do tipo 𝟑 × 𝟒, então 𝒓 + 𝒔 + 𝒕 + 𝒖 + 𝒘 é igual a</p><p>a) 10</p><p>b) 11</p><p>c) 12</p><p>d) 13</p><p>e) 14</p><p>22. (EsPCEx/2001)</p><p>Uma fábrica de doces produz bombons de nozes, coco e morango, que são vendidos acondicionados</p><p>em caixas grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo fornece a quantidade de bombons de cada tipo</p><p>que compõe as caixas grandes e pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo</p><p>produzidas em cada mês do 1º trimestre de um determinado ano.</p><p>74</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Se associarmos as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟐 𝟓</p><p>𝟒 𝟖</p><p>𝟑 𝟕</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟎 𝟏𝟑𝟎</p><p>𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟖𝟎</p><p>] às tabelas 1 e 2 respectivamente,</p><p>o produto 𝑨 · 𝑩 fornecerá</p><p>a) a produção média de bombons por caixa fabricada.</p><p>b) a produção total de bombons por caixa fabricada.</p><p>c) número de caixas fabricadas no trimestre.</p><p>d) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de bombom.</p><p>e) a produção mensal de cada tipo de bombom.</p><p>23. (EsPCEx/2010)</p><p>Os números das contas bancárias ou dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou</p><p>dois dígitos, denominados dígitos verificadores, que servem para conferir sua validade e prevenir</p><p>erros de digitação.</p><p>Em um grande banco, os números de todas as contas são formados por algarismos de 𝟎 a 𝟗, na</p><p>forma 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 − 𝒙𝒚, em que a sequência (𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇) representa, nessa ordem, os algarismos do</p><p>número da conta e 𝒙 e 𝒚, nessa ordem, representam os dígitos verificadores.</p><p>Para obter os dígitos 𝒙 e 𝒚, o sistema de processamento de dados do banco constrói as seguintes</p><p>matrizes:</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 −𝟐 𝟏</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 −𝟏</p><p>] 𝑩 = [</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>𝒛</p><p>] 𝑪 = [</p><p>(𝒂 − 𝒃)</p><p>(𝒄 − 𝒅)</p><p>(𝒆 − 𝒇)</p><p>]</p><p>Os valores de 𝒙 e 𝒚 são obtidos pelo resultado da operação matricial 𝑨 · 𝑩 = 𝑪, desprezando-se o</p><p>valor de 𝒛. Assim, os dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de número 𝟑𝟓𝟔𝟐𝟖𝟏</p><p>são</p><p>a) 34</p><p>b) 41</p><p>c) 49</p><p>d) 51</p><p>e) 54</p><p>24. (EsPCEx/2013)</p><p>O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz (</p><p>𝟏 𝟎 𝟏</p><p>𝟐 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 𝟏</p><p>) é:</p><p>a)</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>b)</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>c) 𝟎</p><p>d) −𝟐</p><p>e) −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>25. (EsPCEx/2012)</p><p>75</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Considere as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟑 𝟓</p><p>𝟏 𝒙</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝒙 𝒚 + 𝟒</p><p>𝒚 𝟑</p><p>]. Se 𝒙 e 𝒚 são valores para os quais 𝑩 é a</p><p>transposta da Inversa da matriz 𝑨, então o valor de 𝒙 + 𝒚 é</p><p>a) −𝟏</p><p>b) −𝟐</p><p>c) −𝟑</p><p>d) −𝟒</p><p>e) −𝟓</p><p>3.1. GABARITO</p><p>1. c</p><p>2. b</p><p>3. c</p><p>4. d</p><p>5. b</p><p>6. a</p><p>7. b</p><p>8. d</p><p>9. c</p><p>10. a</p><p>11. c</p><p>12. c</p><p>13. c</p><p>14. a</p><p>15. a</p><p>16. c</p><p>17. a</p><p>18. a</p><p>19. c</p><p>20. b</p><p>21. e</p><p>22. e</p><p>23. e</p><p>24. a</p><p>25. c</p><p>3.1. RESOLUÇÃO</p><p>1. (EEAR/2005)</p><p>Sendo 𝑨 uma matriz 𝟑 × 𝟒 e 𝑩 uma matriz 𝑵×𝑴, coloque 𝑽 (Verdadeira) ou 𝑭 (Falsa) nas</p><p>afirmações a seguir:</p><p>• ( ) Existe 𝑨 + 𝑩 se, e somente se, 𝑵 = 𝟒 e 𝑴 = 𝟑.</p><p>76</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>• ( ) Existe 𝑨 · 𝑩 se, e somente se, 𝑵 = 𝟒 e 𝑴 = 𝟑.</p><p>• ( ) Existem 𝑨 · 𝑩 e 𝑩 · 𝑨 se, e somente se, 𝑵 = 𝟒 e 𝑴 = 𝟑.</p><p>• ( ) 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨 se, e somente se, 𝑨 = 𝑩.</p><p>• ( ) 𝑨 · 𝑩 = 𝑩 · 𝑨 se, e somente se, 𝑨 = 𝑩.</p><p>Assinale a alternativa que contém a sequência correta:</p><p>a) 𝑽 − 𝑽 − 𝑽 − 𝑽 − 𝑽</p><p>b) 𝑭 − 𝑽 − 𝑭 − 𝑽 − 𝑭</p><p>c) 𝑭 − 𝑭 − 𝑽 − 𝑭 − 𝑭</p><p>d) 𝑽 − 𝑽 − 𝑽 − 𝑭 − 𝑽</p><p>Comentários</p><p>( F ) Existe 𝐴 + 𝐵 se, e somente se, 𝑁 = 4 e 𝑀 = 3</p><p>Na soma, as matrizes devem ser do mesmo tipo, então: 𝑁 = 3 e 𝑀 = 4</p><p>( F ) Existe 𝐴 · 𝐵 se, e somente se, 𝑁 = 4 e 𝑀 = 3.</p><p>No produto, a quantidade de colunas de 𝐴 deve ser igual a quantidade de linhas de</p><p>𝐵, logo, 𝑁 = 4, mas 𝑀 pode ser qualquer número inteiro maior que 0.</p><p>( V ) Existem 𝑨 · 𝑩 e 𝑩 · 𝑨 se, e somente se, 𝑵 = 𝟒 e 𝑴 = 𝟑.</p><p>Conforme explicado na assertiva anterior. Se existe 𝐴 ⋅ 𝐵 então 𝑁 = 4.</p><p>Analogamente, se existe 𝐵 ⋅ 𝐴 então 𝑀 = 3.</p><p>( F ) 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨 se, e somente se, 𝑨 = 𝑩.</p><p>Caso exista 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 sempre.</p><p>( F ) 𝐴 · 𝐵 = 𝐵 · 𝐴 se, e somente se, 𝐴 = 𝐵.</p><p>Esta propriedade se chama comutação, na comutação de matrizes as matrizes não</p><p>necessitam serem iguais entre si.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>2. (EEAR/2010)</p><p>Sejam as matrizes 𝑨𝒎×𝟑, 𝑩𝒑×𝒒 e 𝑪𝟓×𝟑. Se 𝑨 · 𝑩 = 𝑪, então 𝒎 + 𝒑 + 𝒒 é igual a</p><p>a) 10</p><p>b) 11</p><p>c) 12</p><p>d) 13</p><p>Comentários</p><p>Se existe 𝐴 ⋅ 𝐵 então a quantidade de colunas de 𝐴 deve ser igual a quantidade de linhas</p><p>de 𝐵</p><p>3 = 𝑝</p><p>E a matriz resultante 𝐶 terá o mesmo número de linhas de 𝐴 e o mesmo número de</p><p>colunas de 𝐵</p><p>𝐶𝑚×𝑞 = 𝐶5×3</p><p>77</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Logo,</p><p>{</p><p>𝑚 = 5</p><p>𝑞 = 3</p><p>Então,</p><p>𝑚 + 𝑝 + 𝑞 = 5 + 3 + 3 = 11</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>3. (EEAR/2019)</p><p>Dadas as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟑</p><p>𝟐 𝟎</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝟎 𝟏</p><p>𝟏 𝟐</p><p>], o produto 𝑨 ⋅ 𝑩 é a matriz:</p><p>a) [</p><p>𝟑 𝟕</p><p>𝟐 𝟐</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟒 𝟕</p><p>𝟐 𝟐</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟑 𝟕</p><p>𝟎 𝟐</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟒 𝟒</p><p>𝟎 𝟐</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>[</p><p>1 3</p><p>2 0</p><p>] ⋅ [0 1</p><p>1 2</p><p>] = [1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2</p><p>2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2</p><p>] = [3 7</p><p>0 2</p><p>]</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>4. (EEAR/2014)</p><p>Seja a matriz 𝑨 = [</p><p>𝟒 𝟐</p><p>−𝟔 𝟐</p><p>]. A matriz 𝑿 =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>⋅ 𝑨 tem como soma de seus elementos o valor</p><p>a) 7</p><p>b) 5</p><p>c) 4</p><p>d) 1</p><p>Comentários</p><p>A matriz 𝑋 é dada por:</p><p>𝑋 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝐴</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ [</p><p>4 2</p><p>−6 2</p><p>] =</p><p>= [</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 4</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 2</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ (−6)</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 2</p><p>] = [</p><p>2 1</p><p>−3 1</p><p>]</p><p>⇒ 𝑋 = [</p><p>2 1</p><p>−3 1</p><p>]</p><p>Logo, a soma de seus elementos é dada por:</p><p>2 + 1 + (−3) + 1 = 1</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>78</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>5. (EEAR/2011)</p><p>Seja 𝑷 = [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] e 𝑷𝒕 a matriz transposta de 𝑷. A matriz 𝑸 = 𝑷 ⋅ 𝑷𝒕 é</p><p>a) [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟏 𝟐</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟐 𝟏</p><p>𝟏 𝟏</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟎</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟐 𝟎</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente iremos calcular a transposta de 𝑃. Lembre-se que na transposição “as linhas</p><p>se tornam colunas”:</p><p>𝑃 = [</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>] ⇒ 𝑃𝑡 = [</p><p>1 0</p><p>1 1</p><p>]</p><p>Então 𝑄 é dada por:</p><p>𝑄 = 𝑃 ⋅ 𝑃𝑡</p><p>𝑄 = [</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>] ⋅ [</p><p>1 0</p><p>1 1</p><p>] = [</p><p>1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1</p><p>0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1</p><p>] = [</p><p>2 1</p><p>1 1</p><p>]</p><p>𝑄 = [</p><p>2 1</p><p>1 1</p><p>]</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>6. (EEAR/2007)</p><p>Sejam as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟐 𝟐</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>−𝟏 𝟏</p><p>𝟎 −𝟑</p><p>]. Se 𝑨𝒕 e 𝑩𝒕 são as matrizes transpostas de 𝑨 e de</p><p>𝑩, respectivamente, então 𝑨𝒕 + 𝑩𝒕 é igual a</p><p>a) [</p><p>𝟎 𝟐</p><p>𝟐 −𝟏</p><p>]</p><p>b)[</p><p>𝟐 𝟏</p><p>−𝟐 −𝟑</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟎 𝟐</p><p>−𝟐 −𝟐</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟎 −𝟏</p><p>𝟎 𝟓</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>Uma importante propriedade da matriz transposta é a transposta da soma:</p><p>(𝐴+ 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 +𝐵𝑡</p><p>Então, temos que 𝐴 + 𝐵 vale:</p><p>𝐴 + 𝐵 = [</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>] + [</p><p>−1 1</p><p>0 −3</p><p>] = [</p><p>1 − 1 1 + 1</p><p>2 + 0 2 − 3</p><p>] = [</p><p>0 2</p><p>2 −1</p><p>]</p><p>Transpondo a matriz 𝐴 + 𝐵:</p><p>(𝐴+ 𝐵)𝑡 = ([0 2</p><p>2 −1</p><p>])</p><p>𝑡</p><p>= [0 2</p><p>2 −1</p><p>]</p><p>Sendo assim:</p><p>79</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 = [0 2</p><p>2 −1</p><p>]</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>7. (EEAR/2015)</p><p>Seja a matriz 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟐×𝟐</p><p>tal que 𝒂𝒊𝒋 = |𝒊</p><p>𝟐 − 𝒋𝟐|. A soma dos elementos de 𝑨 é igual a</p><p>a) 3</p><p>b) 6</p><p>c) 9</p><p>d) 12</p><p>Comentários</p><p>Construindo a matriz 𝐴 obtemos:</p><p>𝐴 = (</p><p>|(1)2 − (1)2| |(1)2 − (2)2|</p><p>|(2)2 − (1)2| |(2)2 − (2)2|</p><p>) = (</p><p>|0| |−3|</p><p>|3| |0|</p><p>) = (</p><p>0 3</p><p>3 0</p><p>)</p><p>𝐴 = (</p><p>0 3</p><p>3 0</p><p>)</p><p>Sendo assim, a soma dos elementos de 𝐴 é dada por:</p><p>0 + 3 + 3 + 0 = 6</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>8. (EEAR/2012)</p><p>Na matriz 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎 −𝟏</p><p>… 𝟐 𝟏</p><p>𝟓 … 𝟑</p><p>] faltam 2 elementos. Se nessa matriz 𝒂𝒊𝒋 = 𝟐𝒊 − 𝒋, a soma dos</p><p>elementos que faltam é</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 7</p><p>Comentários</p><p>Queremos a soma 𝑎21 + 𝑎32 = (2 ⋅ 2 − 1)+ (2 ⋅ 3 − 2) = (3)+ (4) = 7</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>9. (EEAR/2016)</p><p>Se (</p><p>𝟏 𝒂</p><p>−𝟏 𝟐</p><p>) e (</p><p>𝒃 −𝟏</p><p>𝒙 𝟐𝒌</p><p>) são matrizes opostas, os valores de 𝒂, 𝒃, 𝒙 e 𝒌 são respectivamente.</p><p>a) 1, -1, 1, 1</p><p>b) 1, 1, -1, -1</p><p>c) 1, -1, 1, -1</p><p>d) -1, -1, -2, -2</p><p>Comentários</p><p>Matrizes opostas seguem a seguinte propriedade: A oposta da matriz 𝐴 é a matriz 𝐵 =</p><p>−1 ⋅ 𝐴. Logo:</p><p>80</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴 = (</p><p>1 𝑎</p><p>−1 2</p><p>) ⇒ 𝐵 = −1 ⋅ 𝐴 = (</p><p>−1 −𝑎</p><p>1 −2</p><p>)</p><p>Mas a oposta de 𝐴 é a matriz (𝑏 −1</p><p>𝑥 2𝑘</p><p>), então:</p><p>(</p><p>−1 −𝑎</p><p>1 −2</p><p>) = (𝑏 −1</p><p>𝑥 2𝑘</p><p>) ⇒ {</p><p>𝑏 = −1</p><p>𝑎 = 1</p><p>𝑥 = 1</p><p>𝑘 = −1</p><p>Então, 𝑎, 𝑏, 𝑥 e 𝑘 são 1, −1,1, −1</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>10. (EEAR/2006)</p><p>Sendo 𝑨 = (</p><p>𝟐 −𝟏</p><p>𝟒 𝟓</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟒 𝟓 𝟑</p><p>−𝟏 𝟎 𝟑</p><p>), a soma dos elementos da 1ª linha de 𝑨 ⋅ 𝑩 é</p><p>a) 22</p><p>b) 30</p><p>c) 46</p><p>d) 58</p><p>Comentários</p><p>Perceba que precisamos</p><p>apenas da primeira linha de 𝐴 ⋅ 𝐵</p><p>𝐴 ⋅ 𝐵 = (</p><p>2 −1</p><p>4 5</p><p>) ⋅ (</p><p>4 5 3</p><p>−1 0 3</p><p>) =</p><p>= (2 ⋅ 4 +</p><p>(−1) ⋅ (−1) 2 ⋅ 5 + (−1) ⋅ 0 2 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 3</p><p>… … …</p><p>) =</p><p>= (</p><p>9 10 3</p><p>… … …</p><p>)</p><p>Sendo assim a soma dos elementos da primeira linha é dada por:</p><p>9 + 10 + 3 = 22</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>11. (EEAR/2003)</p><p>Dadas as matrizes 𝑨 = (</p><p>𝟑 𝟎</p><p>𝟏 −𝟒</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟐 𝟏</p><p>−𝟏 𝟎</p><p>), então 𝑨 ⋅ 𝑩 − 𝑩 ⋅ 𝑨 é igual a:</p><p>a) [</p><p>𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟐 −𝟑</p><p>𝟓 𝟎</p><p>]</p><p>c) [</p><p>−𝟏 𝟕</p><p>𝟗 𝟏</p><p>]</p><p>d) [</p><p>−𝟑 𝟏</p><p>𝟐 𝟕</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>𝐴 ⋅ 𝐵 = (</p><p>3 0</p><p>1 −4</p><p>) ⋅ (</p><p>2 1</p><p>−1 0</p><p>) = (</p><p>6 3</p><p>6 1</p><p>)</p><p>Analogamente</p><p>𝐵 ⋅ 𝐴 = (</p><p>2 1</p><p>−1 0</p><p>) ⋅ (</p><p>3 0</p><p>1 −4</p><p>) = (</p><p>7 −4</p><p>−3 0</p><p>)</p><p>81</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Então:</p><p>𝐴 ⋅ 𝐵 − 𝐵 ⋅ 𝐴 = (</p><p>6 3</p><p>6 1</p><p>) − (</p><p>7 −4</p><p>−3 0</p><p>) = (</p><p>−1 7</p><p>9 1</p><p>)</p><p>𝐴 ⋅ 𝐵 − 𝐵 ⋅ 𝐴 = (</p><p>−1 7</p><p>9 1</p><p>)</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>12. (EEAR/2006)</p><p>Se 𝑩 = [</p><p>𝟐 −𝟏</p><p>𝒙 𝒚</p><p>] é a matriz inversa de 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟏 𝟒</p><p>], então 𝒙 − 𝒚 é:</p><p>a) 2</p><p>b) 1</p><p>c) -1</p><p>d) 0</p><p>Comentários</p><p>A principal propriedade da matriz inversa nos diz que 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 = 𝐼. Sendo assim:</p><p>𝐴 ⋅ 𝐵 = [</p><p>1 2</p><p>1 4</p><p>] ⋅ [</p><p>2 −1</p><p>𝑥 𝑦</p><p>] = [</p><p>2 + 2𝑥 2𝑦 − 1</p><p>2 + 4𝑥 4𝑦 − 1</p><p>] = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>⇒ {</p><p>2 + 2𝑥 = 1</p><p>2𝑦 − 1 = 0</p><p>2 + 4𝑥 = 0</p><p>4𝑦 − 1 = 1</p><p>⇒ {</p><p>𝑥 = −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑦 =</p><p>1</p><p>2</p><p>Logo,</p><p>𝑥 − 𝑦 = (−</p><p>1</p><p>2</p><p>) − (</p><p>1</p><p>2</p><p>) = −1</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>13. (EEAR/2005)</p><p>Sabendo-se que 𝑴 + 𝑵 = [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟑 𝟒</p><p>] e 𝑴− 𝑵 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟎</p><p>], a matriz 𝑵 é igual a</p><p>a) [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟐]</p><p>b) [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟎 𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟐]</p><p>d) [</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟎 𝟐</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>Seja 𝐴 = [</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>] e 𝐵 = [</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>], então:</p><p>{</p><p>𝑀 + 𝑁 = A</p><p>𝑀 − 𝑁 = B</p><p>⇒ {</p><p>𝑀 + 𝑁 = A</p><p>−𝑀 + 𝑁 = −B</p><p>⇒</p><p>⇒ (𝑀 + 𝑁 ) + (−𝑀 + 𝑁 ) = (𝐴) + (−𝐵) =</p><p>2𝑁 = 𝐴 − 𝐵</p><p>82</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>⇒ 𝑁 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ (𝐴 − 𝐵)</p><p>Mas,</p><p>𝐴 − 𝐵 = [</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>] − [</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>] = [</p><p>0 2</p><p>3 4</p><p>]</p><p>Então:</p><p>𝑁 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ [</p><p>0 2</p><p>3 4</p><p>] = [</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 0</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 2</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 3</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 4</p><p>] = [</p><p>0 1</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>]</p><p>𝑁 = [</p><p>0 1</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>]</p><p>Perceba como podemos resolver equações matriciais utilizando as mesmas ferramentas</p><p>da álgebra atentando-se apenas para algumas particularidades das equações matriciais.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>14. (EEAR/2009)</p><p>Se [</p><p>𝟐 𝟏</p><p>𝟏 −𝟏</p><p>] ⋅ [</p><p>𝒙</p><p>𝒚] = [</p><p>𝟔</p><p>𝟎</p><p>], então o valor de 𝒙 + 𝒚 é:</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 7</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente veja que:</p><p>[</p><p>2 1</p><p>1 −1</p><p>] ⋅ [</p><p>𝑥</p><p>𝑦] = [</p><p>2𝑥 + 𝑦</p><p>𝑥 − 𝑦</p><p>] = [6</p><p>0</p><p>]</p><p>Ou seja, a forma matricial representa o seguinte sistema:</p><p>{</p><p>2𝑥 + 𝑦 = 6 (𝑒𝑞. 1)</p><p>𝑥 − 𝑦 = 0 (𝑒𝑞. 2)</p><p>Portanto, da 𝑒𝑞. 2:</p><p>𝑥 = 𝑦</p><p>Substituindo em 𝑒𝑞. 1:</p><p>2𝑥 + 𝑥 = 3𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 2</p><p>Logo,</p><p>𝑥 + 𝑦 = 2 + 2 = 4</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>15. (EEAR/2017)</p><p>Considere as matrizes reais 𝑨 = (</p><p>𝒙𝟐 𝟏</p><p>𝟐 𝒚 + 𝒛</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟗 𝒛</p><p>𝒚 −𝒙</p><p>). Se 𝑨 = 𝑩𝒕, então 𝒚 + 𝒛 é igual a</p><p>a) 3</p><p>b) 2</p><p>c) 1</p><p>83</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) -1</p><p>Comentários</p><p>Aplicando os conceitos de matriz transposta:</p><p>𝐵𝑡 = ((</p><p>9 𝑧</p><p>𝑦 −𝑥</p><p>))</p><p>𝑡</p><p>= (9 𝑦</p><p>𝑧 −𝑥</p><p>)</p><p>Segundo o enunciado 𝐴 = 𝐵𝑡, então:</p><p>(</p><p>𝑥2 1</p><p>2 𝑦 + 𝑧</p><p>) = (9 𝑦</p><p>𝑧 −𝑥</p><p>) ⇒</p><p>⇒ {</p><p>𝑥2 = 9</p><p>𝑦 = 1</p><p>𝑧 = 2</p><p>𝑦 + 𝑧 = −𝑥</p><p>⇒ {</p><p>𝑥 = −3</p><p>𝑦 = 1</p><p>𝑧 = 2</p><p>Logo,</p><p>𝑦 + 𝑧 = 1 + 2 = 3</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>16. (EEAR/2009)</p><p>Seja 𝑨−𝟏 = (</p><p>𝟐 −𝟏</p><p>−𝟏 𝒙</p><p>) a matriz inversa de 𝑨 = (</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟐</p><p>). Sabendo que 𝑨 ⋅ 𝑨−𝟏 = 𝑰𝟐, o valor de 𝒙 é:</p><p>a) 3</p><p>b)2</p><p>c) 1</p><p>d) 0</p><p>Comentários</p><p>(</p><p>2 −1</p><p>−1 𝑥</p><p>) ⋅ (1 1</p><p>1 2</p><p>) = ( 1 0</p><p>𝑥 − 1 2𝑥 − 1</p><p>) = (1 0</p><p>0 1</p><p>)</p><p>{ 𝑥 − 1 = 0</p><p>2𝑥 − 1 = 1</p><p>⇒ 𝑥 = 1</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>17. (EEAR/2008)</p><p>A soma dos elementos da diagonal principal da matriz 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟑×𝟑</p><p>, tal que 𝒂𝒊𝒋 = {</p><p>𝒊𝟐 𝒔𝒆 𝒊 ≠ 𝒋</p><p>𝒊 + 𝒋 𝒔𝒆 𝒊 = 𝒋</p><p>é um número</p><p>a) múltiplo de 3.</p><p>b) múltiplo de 5.</p><p>c) divisor de 16.</p><p>d) divisor de 121.</p><p>Comentários</p><p>Perceba que precisamos apenas dos elementos da diagonal principal de 𝐴, lembre-se que</p><p>na diagonal principal 𝑖 = 𝑗, então:</p><p>84</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴 = (</p><p>1 + 1 … …</p><p>… 2 + 2 …</p><p>… … 3 + 3</p><p>) = (</p><p>2 … …</p><p>… 4 …</p><p>… … 6</p><p>)</p><p>Logo, a soma dos elementos da diagonal principal é dada por:</p><p>2 + 4 + 6 = 12</p><p>Analisando as alternativas, percebemos que 12 não é múltiplo de 5, divisor de 16 também</p><p>não é divisor de 121. Mas é um múltiplo de 3, pois 4 ⋅ 3 = 12.</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>18. (EEAR/2002)</p><p>O elemento 𝑿𝟑,𝟐 da matriz solução da equação matricial 𝟑 ⋅ 𝑿 + [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝟐 𝟒</p><p>𝟔 𝟖</p><p>] = [</p><p>𝟏𝟎 𝟒</p><p>𝟐 𝟏𝟔</p><p>𝟎 𝟖</p><p>] é</p><p>a) 0</p><p>b) -2</p><p>c) 3</p><p>d) 1</p><p>Comentários</p><p>Para ganhar tempo de prova, atente-se apenas ao elemento que precisamos:</p><p>3 ⋅ 𝑋 + [</p><p>1 1</p><p>2 4</p><p>6 𝟖</p><p>] = [</p><p>10 4</p><p>2 16</p><p>0 𝟖</p><p>]</p><p>⇒ 3 ⋅ 𝑋 = [</p><p>10 4</p><p>2 16</p><p>0 𝟖</p><p>] − [</p><p>1 1</p><p>2 4</p><p>6 𝟖</p><p>] = [</p><p>… …</p><p>… …</p><p>… 𝟖 − 𝟖</p><p>]</p><p>⇒ 𝑋 =</p><p>1</p><p>3</p><p>⋅ [</p><p>… …</p><p>… …</p><p>… 𝟎</p><p>]</p><p>⇒ 𝑋 = [</p><p>… …</p><p>… …</p><p>…</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>⋅ 𝟎</p><p>]</p><p>⇒ 𝑋 = [</p><p>… …</p><p>… …</p><p>… 𝟎</p><p>]</p><p>Então, 𝑋32 = 0</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>19. (EEAR/2005)</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝒙 𝒚</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] são duas matrizes que comutam se, e somente se,</p><p>a) 𝒙 = 𝟐 e 𝒚 = 𝟏.</p><p>b) 𝒙 = 𝟐 e 𝒚 = 𝟏.</p><p>c) 𝒙 = 𝟏.</p><p>d) 𝒙 = 𝟐.</p><p>85</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Comentários</p><p>As matrizes 𝐴 e 𝐵 comutam se, e somente se, 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴.</p><p>𝐴 ⋅ 𝐵 = [</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>] ⋅ [</p><p>𝑥 𝑦</p><p>0 1</p><p>] = [</p><p>𝑥 𝑦 + 2</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Analogamente</p><p>𝐵 ⋅ 𝐴 = [</p><p>𝑥 𝑦</p><p>0 1</p><p>] ⋅ [</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>] = [</p><p>𝑥 2𝑥 + 𝑦</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Então:</p><p>𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 ⇒</p><p>⇒ [</p><p>𝑥 𝑦 + 2</p><p>0 1</p><p>] = [</p><p>𝑥 2𝑥 + 𝑦</p><p>0 1</p><p>] ⇒ 𝑦 + 2 = 2𝑥 + 𝑦 ⇒</p><p>⇒ 2𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 1</p><p>As matrizes comutam se, e somente se, 𝑥 = 1, independe do valor de 𝑦.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>20. (EEAR/2002)</p><p>O par (𝒙, 𝒚), solução da equação matricial (</p><p>𝒙 −𝟒</p><p>𝒙𝟐 𝒚</p><p>) ⋅ (</p><p>𝒙 𝟐</p><p>𝒚 𝟏</p><p>) = (</p><p>𝟏𝟑 𝟐𝒙 − 𝟒</p><p>𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 𝟖</p><p>) é</p><p>a) (𝟔,±√𝟑)</p><p>b) (±√𝟓,−𝟐)</p><p>c) (±√</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>, −𝟓)</p><p>d) (−</p><p>𝟕</p><p>𝟑</p><p>,</p><p>𝟒</p><p>𝟓</p><p>)</p><p>Comentários</p><p>Efetuando o produto entre as matrizes obtemos:</p><p>(</p><p>𝑥 −4</p><p>𝑥2 𝑦</p><p>) ⋅ (</p><p>𝑥 2</p><p>𝑦 1</p><p>) = (</p><p>𝑥2 − 4𝑦 2𝑥 − 4</p><p>𝑥3 + 𝑦2 2𝑥2 + 𝑦</p><p>)</p><p>Então, segundo o enunciado, sabemos que:</p><p>(</p><p>𝑥2 − 4𝑦 2𝑥 − 4</p><p>𝑥3 + 𝑦2 2𝑥2 + 𝑦</p><p>) = (</p><p>13 2𝑥 − 4</p><p>𝑥3 + 𝑦2 8</p><p>)</p><p>⇒ {</p><p>𝑥2 − 4𝑦 = 13 (𝑒𝑞. 1)</p><p>2𝑥2 + 𝑦 = 8 (𝑒𝑞. 2)</p><p>⇒</p><p>Da 𝑒𝑞. 2:</p><p>𝑒𝑞.2</p><p>⇒ 𝑥2 =</p><p>8− 𝑦</p><p>2</p><p>(𝑒𝑞. 3)</p><p>Substituindo 𝑒𝑞. 3 em 𝑒𝑞. 1 obtemos:</p><p>(</p><p>8 − 𝑦</p><p>2</p><p>)− 4𝑦 = 13 ⇒</p><p>86</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>⇒ 4 −</p><p>9</p><p>2</p><p>⋅ 𝑦 = 13</p><p>⇒ 𝑦 = −2 (𝑒𝑞. 4)</p><p>Substituindo 𝑒𝑞. 4 em 𝑒𝑞. 3 obtemos:</p><p>⇒ 𝑥2 =</p><p>8 − (−2)</p><p>2</p><p>= 5 ⇒</p><p>⇒ 𝑥 = ±√5</p><p>Logo, o par (𝑥, 𝑦) vale (±√5,−2)</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>21. (EsPCEx/2002)</p><p>As matrizes 𝑨, 𝑩 e 𝑪 são do tipo 𝒓 × 𝒔, 𝒕 × 𝒖 e 𝟐 × 𝒘, respectivamente. Se a matriz (𝑨 − 𝑩) ·</p><p>𝑪 é do tipo 𝟑 × 𝟒, então 𝒓 + 𝒔 + 𝒕 + 𝒖 + 𝒘 é igual a</p><p>a) 10</p><p>b) 11</p><p>c) 12</p><p>d) 13</p><p>e) 14</p><p>Comentários</p><p>Para existir a matriz 𝐴 − 𝐵 elas precisam ser do mesmo tipo:</p><p>{</p><p>𝑟 = 𝑡</p><p>𝑠 = 𝑢</p><p>Considere a matriz 𝐷, tal que que 𝐴 − 𝐵 = 𝐷 logo, 𝐷 é do tipo 𝑟 × 𝑠.</p><p>Para o produto (𝐴 − 𝐵) ⋅ 𝐶 = 𝐷 ⋅ 𝐶 existir, o número de colunas da matriz 𝐷 deve ser igual</p><p>ao número de linhas da matriz 𝐶 logo:</p><p>𝑠 = 2</p><p>Considere a matriz 𝐸, tal que que o produto 𝐷 ⋅ 𝐶 = 𝐸. Logo:</p><p>𝐷𝑟 × 2𝐶2 × 𝑤 = 𝐸𝑟 × 𝑤</p><p>Mas sabemos que a matriz resultante deve ter dimensões 3 × 4, logo:</p><p>{𝑟 = 3</p><p>𝑤 = 4</p><p>Posto isso, iremos agora resumir as conclusões tiradas:</p><p>{</p><p>𝑟 = 𝑡 𝑒 𝑟 = 3</p><p>𝑠 = 𝑢 𝑒 𝑠 = 2</p><p>𝑤 = 4</p><p>⇒</p><p>{</p><p>𝑟 = 3</p><p>𝑠 = 2</p><p>𝑡 = 3</p><p>𝑢 = 2</p><p>𝑤 = 4</p><p>Sendo assim,</p><p>𝑟 + 𝑠 + 𝑡 + 𝑢 + 𝑤 = 3 + 2 + 3 + 2 + 4 = 14</p><p>87</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>22. (EsPCEx/2001)</p><p>Uma fábrica de doces produz bombons de nozes, coco e morango, que são vendidos acondicionados</p><p>em caixas grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo fornece a quantidade de bombons de cada tipo</p><p>que compõe as caixas grandes</p><p>e pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo</p><p>produzidas em cada mês do 1º trimestre de um determinado ano.</p><p>Se associarmos as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟐 𝟓</p><p>𝟒 𝟖</p><p>𝟑 𝟕</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟎 𝟏𝟑𝟎</p><p>𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟖𝟎</p><p>] às tabelas 1 e 2</p><p>respectivamente, o produto 𝑨 · 𝑩 fornecerá</p><p>a) a produção média de bombons por caixa fabricada.</p><p>b) a produção total de bombons por caixa fabricada.</p><p>c) número de caixas fabricadas no trimestre.</p><p>d) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de bombom.</p><p>e) a produção mensal de cada tipo de bombom.</p><p>Comentários</p><p>Vamos primeiramente analisar a formação de um termo da matriz resultante, para</p><p>interpretar corretamente o problema:</p><p>𝐴 ⋅ 𝐵 = [</p><p>2 5</p><p>4 8</p><p>3 7</p><p>] ⋅ [</p><p>150 220 130</p><p>120 150 180</p><p>] =</p><p>[</p><p>2 ⋅ 150 + 5 ⋅ 120 … …</p><p>… … …</p><p>… … …</p><p>]</p><p>Perceba que a matriz formada será do tipo 3 × 3. E o elemento (𝑎𝑏11) = 2 ⋅ 150 + 5 ⋅</p><p>120</p><p>O número 2 representa a quantidade de bombons de sabor Nozes contidos na caixa</p><p>pequena. O número 150 representa a produção de caixas pequenas produzidas no mês de janeiro.</p><p>Logo, o produto 2 ⋅ 150 representa a quantidade de bombons sabor nozes que foram para as</p><p>caixas pequenas no mês de janeiro. Analogamente sabemos que o produto 5 ⋅ 120 representa a</p><p>88</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>quantidade de bombons sabor nozes que foram para as caixas grandes no mês de janeiro. E a</p><p>soma (𝑎𝑏11) representa a quantidade total de bombons sabor nozes produzida no mês de janeiro.</p><p>Analogamente, o termo (𝑎𝑏12) representa a quantidade total de bombons sabor nozes</p><p>produzida no mês de fevereiro. E o termo (𝑎𝑏21) representa a quantidade total de bombons sabor</p><p>coco produzida no mês de janeiro.</p><p>A partir daí podemos concluir que a matriz 𝐴 ⋅ 𝐵 fornece a quantidade de bombons de cada</p><p>sabor produzidos em cada mês do 1º trimestre de um determinado ano.</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>23. (EsPCEx/2010)</p><p>Os números das contas bancárias ou dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou</p><p>dois dígitos, denominados dígitos verificadores, que servem para conferir sua validade e prevenir</p><p>erros de digitação.</p><p>Em um grande banco, os números de todas as contas são formados por algarismos de 𝟎 a 𝟗, na</p><p>forma 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 − 𝒙𝒚, em que a sequência (𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇) representa, nessa ordem, os algarismos do</p><p>número da conta e 𝒙 e 𝒚, nessa ordem, representam os dígitos verificadores.</p><p>Para obter os dígitos 𝒙 e 𝒚, o sistema de processamento de dados do banco constrói as seguintes</p><p>matrizes:</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 −𝟐 𝟏</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 −𝟏</p><p>] 𝑩 = [</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>𝒛</p><p>] 𝑪 = [</p><p>(𝒂 − 𝒃)</p><p>(𝒄 − 𝒅)</p><p>(𝒆 − 𝒇)</p><p>]</p><p>Os valores de 𝒙 e 𝒚 são obtidos pelo resultado da operação matricial 𝑨 · 𝑩 = 𝑪, desprezando-se o</p><p>valor de 𝒛. Assim, os dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de número 𝟑𝟓𝟔𝟐𝟖𝟏</p><p>são</p><p>a) 34</p><p>b) 41</p><p>c) 49</p><p>d) 51</p><p>e) 54</p><p>Comentários</p><p>Tendo em mente que 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 = 356281</p><p>Segundo o enunciado, obteremos um sistema linear na forma matricial, conforme:</p><p>[</p><p>𝟏 −𝟐 𝟏</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 −𝟏</p><p>] ⋅ [</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>𝒛</p><p>] = [</p><p>(𝟑 − 𝟓)</p><p>(𝟔 − 𝟐)</p><p>(𝟖 − 𝟏)</p><p>] = [</p><p>−𝟐</p><p>𝟒</p><p>𝟕</p><p>]</p><p>[</p><p>𝟏 −𝟐 𝟏</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 −𝟏</p><p>] ⋅ [</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>𝒛</p><p>] = [</p><p>−𝟐</p><p>𝟒</p><p>𝟕</p><p>]</p><p>Utilizando o Regra de Cramer:</p><p>𝑫 = 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>𝟏 −𝟐 𝟏</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 −𝟏</p><p>] = −𝟏 ≠ 𝟎 ⇒ 𝑺𝑷𝑫</p><p>89</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑫𝒙 = 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>−𝟐 −𝟐 𝟏</p><p>𝟒 𝟏 𝟎</p><p>𝟕 𝟐 −𝟏</p><p>] = −𝟓</p><p>𝑫𝒚 = 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>𝟏 −𝟐 𝟏</p><p>𝟎 𝟒 𝟎</p><p>𝟎 𝟕 −𝟏</p><p>] = −𝟒</p><p>Então:</p><p>{</p><p>𝒙 =</p><p>𝑫𝒙</p><p>𝑫</p><p>𝒚 =</p><p>𝑫𝒚</p><p>𝑫</p><p>⇒ {</p><p>𝒙 =</p><p>−𝟓</p><p>−𝟏</p><p>𝒚 =</p><p>−𝟒</p><p>−𝟏</p><p>⇒ {</p><p>𝒙 = 𝟓</p><p>𝒚 = 𝟒</p><p>⇒ 𝒙𝒚 = 𝟓𝟒</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>24. (EsPCEx/2013)</p><p>O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz (</p><p>𝟏 𝟎 𝟏</p><p>𝟐 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 𝟏</p><p>) é:</p><p>b)</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>b)</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>c) 𝟎</p><p>d) −𝟐</p><p>e) −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>Comentários</p><p>Para trabalhar mais rapidamente na solução da questão, iremos calcular apenas o que o</p><p>enunciado pede, ou seja, não iremos obter a matriz inversa. Lembre-se que a inversa da matriz M</p><p>pode ser calculada conforme:</p><p>𝑀−1 =</p><p>1</p><p>det𝑀</p><p>⋅ �̅�</p><p>Sendo �̅� a matriz adjunta de 𝑀.</p><p>A matriz adjunta nada mais é do que a transposta da matriz dos cofatores de M. Com isso</p><p>em mente, calcularemos o elemento pedido (𝑎23</p><p>−1) :</p><p>(𝑎23</p><p>−1) =</p><p>1</p><p>det𝑀</p><p>⋅ (𝑎23̅̅ ̅̅̅) (𝑒𝑞. 1)</p><p>Mas, como a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de 𝑀. Então</p><p>(𝑎23̅̅ ̅̅̅) = 𝐴32 (𝑒𝑞. 2)</p><p>Sendo 𝐴32 o cofator do elemento da linha 3 coluna 2 da matriz 𝑀.</p><p>De (𝑒𝑞. 2) em (𝑒𝑞. 1), obtemos:</p><p>(𝑎23</p><p>−1) =</p><p>1</p><p>det𝑀</p><p>⋅ 𝐴32</p><p>Calculando 𝐴32, e det𝑀:</p><p>90</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑀 = (</p><p>1 0 1</p><p>2 1 0</p><p>0 𝟏 1</p><p>) ⇒ 𝐴32 = (−1)</p><p>3+2 ⋅ det (</p><p>1 1</p><p>2 0</p><p>) = −1 ⋅ −2 = 2</p><p>𝐴32 = 2</p><p>det𝑀 = det(</p><p>1 0 1</p><p>2 1 0</p><p>0 1 1</p><p>) = 3</p><p>Então:</p><p>(𝑎23</p><p>−1) =</p><p>1</p><p>3</p><p>⋅ 2 =</p><p>2</p><p>3</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>25. (EsPCEx/2012)</p><p>Considere as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟑 𝟓</p><p>𝟏 𝒙</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝒙 𝒚 + 𝟒</p><p>𝒚 𝟑</p><p>]. Se 𝒙 e 𝒚 são valores para os quais 𝑩 é a</p><p>transposta da Inversa da matriz 𝑨, então o valor de 𝒙 + 𝒚 é</p><p>a) −𝟏</p><p>b) −𝟐</p><p>c) −𝟑</p><p>d) −𝟒</p><p>e) −𝟓</p><p>Comentários</p><p>A inversa de 𝐴 é facilmente calculada conforme:</p><p>𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ �̅�</p><p>Sendo �̅� a matriz adjunta de 𝐴. A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de</p><p>𝐴.</p><p>A matriz dos cofatores de A é dada por:</p><p>(</p><p>(−1)1+1 ⋅ det(𝑥) (−1)1+2 ⋅ det(1)</p><p>(−1)2+1 ⋅ det(5) (−1)2+2 ⋅ det(3)</p><p>) = ( 𝑥 −1</p><p>−5 3</p><p>)</p><p>Então, podemos calcular a matriz adjunta de 𝐴</p><p>�̅� = 𝐴𝑡 = ( 𝑥 −5</p><p>−1 3</p><p>)</p><p>Podemos também obter det𝐴</p><p>det (3 5</p><p>1 𝑥</p><p>) = 3𝑥 − 5</p><p>Logo:</p><p>𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det𝐴</p><p>⋅ �̅� =</p><p>1</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>⋅ ( 𝑥 −5</p><p>−1 3</p><p>)</p><p>91</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>⇒ 𝐴−1 =</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>−</p><p>5</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>−</p><p>1</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>3</p><p>(3𝑥 − 5) )</p><p>Mas, do enunciado 𝐵 = (𝐴−1)𝑡</p><p>𝐵 =</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>−</p><p>5</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>−</p><p>1</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>3</p><p>(3𝑥 − 5) )</p><p>𝑡</p><p>=</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>−</p><p>1</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>−</p><p>5</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>3</p><p>(3𝑥 − 5) )</p><p>Portanto:</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>−</p><p>1</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>−</p><p>5</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>3</p><p>(3𝑥 − 5) )</p><p>= (</p><p>𝑥 𝑦 + 4</p><p>𝑦 3</p><p>)</p><p>⇒</p><p>{</p><p>𝑥</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>= 𝑥 (𝑒𝑞. 1)</p><p>−</p><p>1</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>= 𝑦 + 4 (𝑒𝑞. 2)</p><p>−</p><p>5</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>= 𝑦 (𝑒𝑞. 3)</p><p>3</p><p>(3𝑥 − 5)</p><p>= 3 (𝑒𝑞. 4)</p><p>De (𝑒𝑞. 4) obtemos:</p><p>3𝑥 − 5 = 1 ⇒ 𝑥 = 2 (𝑒𝑞. 5)</p><p>Fazendo (𝑒𝑞. 5) em (𝑒𝑞. 2):</p><p>−1 = 𝑦 + 4 ⇒ 𝑦 = −5 (𝑒𝑞. 6)</p><p>Perceba que os valores encontrados para 𝑥 e 𝑦 não contradizem as equações (𝑒𝑞. 1) e</p><p>(𝑒𝑞. 3).</p><p>Logo:</p><p>𝑥 + 𝑦 = 2 − 5 = −3</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>3.2. DETERMINANTES</p><p>26. (EEAR/2015)</p><p>O valor do determinante |</p><p>𝟏 𝟎 𝟐</p><p>−𝟏 𝟎 −𝟐</p><p>𝟐 𝟑 𝟒</p><p>| é</p><p>a) -2</p><p>92</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>b) 0</p><p>c) 1</p><p>d) 2</p><p>27. (EEAR/2018)</p><p>Se 𝑨 = (</p><p>𝟎 𝒙 𝒚</p><p>𝒙 𝟎 𝟐</p><p>𝒚 𝟐 𝟎</p><p>) e 𝐝𝐞𝐭𝑨 = 𝟒√𝟑, então 𝒙𝟐𝒚𝟐 é igual a:</p><p>a) 24</p><p>b) 12</p><p>c) 6</p><p>d) 3</p><p>28. (EEAR/2016)</p><p>Para que o determinante da matriz (</p><p>𝟏 −𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟎 𝒃</p><p>𝟏 𝟐 𝟏</p><p>) seja 𝟑, o valor de 𝒃 deve ser igual a</p><p>a) 2</p><p>b) 0</p><p>c) -1</p><p>d) -2</p><p>29. (EEAR/2009)</p><p>Seja a matriz 𝑴 = [</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟐 −𝟑 𝒙</p><p>𝟒 𝟗 𝒙𝟐</p><p>]. Se 𝐝𝐞𝐭𝑴 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, então o valor de 𝒂 é</p><p>a) 12</p><p>b) 10</p><p>c) -5</p><p>d) -7</p><p>30. (EEAR/2011)</p><p>Sejam as matrizes 𝑨 = (</p><p>𝟐 𝟏 𝟑</p><p>𝟎 𝟓 𝟏</p><p>𝟑 𝟐 𝟏</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟐 𝟑</p><p>𝟎 𝟗</p><p>). O valor de</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑨</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑩</p><p>é:</p><p>a) 4</p><p>b) 3</p><p>c)-1</p><p>d) -2</p><p>31. (EEAR/2015)</p><p>Se |</p><p>𝟐𝒙 𝒚 𝟎</p><p>𝒛 𝟎 𝟐𝒚</p><p>𝟎 𝟐𝒛 𝟎</p><p>| = 𝟏𝟔√𝟑 então (𝒙𝒚𝒛)𝟐 é igual a:</p><p>a) 8</p><p>93</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>b) 12</p><p>c) 24</p><p>d) 36</p><p>32. (EEAR/2003)</p><p>Seja |</p><p>𝟐 𝟑 𝟔</p><p>𝟒 𝒙 𝟎</p><p>−𝟐 𝟎 −𝟐</p><p>| = 𝟔𝟒. O valor de x que torna verdadeira a igualdade é</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) -4</p><p>d) -5</p><p>33. (EEAR/2017)</p><p>Se os pontos 𝑨(𝒂, 𝟐), 𝑩(𝒃, 𝟑) e 𝑪(−𝟑, 𝟎)</p><p>estão alinhados, o valor de 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 é</p><p>a) 3</p><p>b) 5</p><p>c) -3</p><p>d) -5</p><p>34. (EEAR/2002)</p><p>Os valores de x que tornam verdadeira a igualdade |</p><p>𝒙 𝟎 𝟐</p><p>−𝟏 −𝟏 𝟏</p><p>𝟑 𝟏 𝒙</p><p>| = −𝟐 são tais que seu produto 𝒑</p><p>é elemento do conjunto</p><p>a) {𝒑 ∈ ℝ | 𝒑 > −𝟑}</p><p>b) {𝒑 ∈ ℝ | − 𝟑 𝒋</p><p>, então o</p><p>determinante da matriz 𝑨 é</p><p>a) -10</p><p>b) 10</p><p>c) -6</p><p>d) 6</p><p>38. (EEAR/2004)</p><p>Seja uma matriz 𝑴 do tipo 𝟐 × 𝟐. Se 𝐝𝐞𝐭𝑴 = 𝟐, então 𝐝𝐞𝐭(𝟏𝟎𝑴) é</p><p>a) 20</p><p>b) 80</p><p>c) 100</p><p>d) 200</p><p>39. (EEAR/2005)</p><p>Seja 𝑨 uma matriz de ordem 𝟐, cujo determinante é −𝟔. Se 𝐝𝐞𝐭(𝟐𝑨) = 𝒙 − 𝟖𝟕, então o valor de</p><p>𝒙 é múltiplo de</p><p>a) 13</p><p>b) 11</p><p>c) 7</p><p>d) 5</p><p>40. (EEAR/2001)</p><p>Dada a equação |</p><p>𝒙 𝒎 −𝟏</p><p>−𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟎 𝟏 𝒙</p><p>| = 𝟎, quais os valores de 𝒎 para os quais as raízes são reais?</p><p>a) 𝒎 ≤ 𝟑</p><p>b) 𝒎 ≥ −𝟏</p><p>c) −𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝟎</p><p>d) 𝒎 ≤ −𝟏 ou 𝒎 ≥ 𝟑</p><p>41. (EEAR/2000)</p><p>95</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Seja 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋) uma matriz real quadrada de ordem 2 e 𝑰𝟐 a matriz identidade também de ordem 2.</p><p>Se 𝒓𝟏 e 𝒓𝟐 são as raízes da equação 𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝒓 · 𝑰𝟐) = 𝒏𝒓, onde n é um número inteiro positivo,</p><p>podemos afirmar que:</p><p>a) 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 = 𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐</p><p>b) 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 = 𝒏(𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐)</p><p>c) 𝒓𝟏 ⋅ 𝒓𝟐 = 𝐝𝐞𝐭𝑨</p><p>d) 𝒓𝟏 ⋅ 𝒓𝟐 = −𝒏𝐝𝐞𝐭𝑨</p><p>42. (EEAR/2007)</p><p>Se as matrizes [</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>] e [</p><p>−𝟐𝒂 𝟐𝒄</p><p>−𝟑𝒃 𝟑𝒅</p><p>] têm determinantes respectivamente iguais a 𝒙 e 𝒚, e 𝒂𝒅 ≠ 𝒃𝒄,</p><p>então o valor de</p><p>𝒚</p><p>𝒙</p><p>é</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) -6</p><p>d) -4</p><p>43. (EEAR/2003)</p><p>Calculando o valor do determinante |</p><p>−𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟐 𝟑 𝟎 −𝟏</p><p>−𝟐 −𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏</p><p>|, obtém-se</p><p>a) -3</p><p>b) -1</p><p>c) 1</p><p>d) 3</p><p>44. (EEAR/2006)</p><p>O determinante da matriz |</p><p>𝟏 𝟎 𝟎 𝟑</p><p>𝟐 𝟑 𝟓 𝟏</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 −𝟏</p><p>𝟑 𝟎 𝟏 𝟒</p><p>| é</p><p>a) 9</p><p>b) 8</p><p>c) 7</p><p>d) 6</p><p>45. (ESSA/2014)</p><p>Sabendo-se que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é não-nulo e</p><p>que, se 𝑨 e 𝑩 são duas matrizes quadradas de mesma ordem, então 𝐝𝐞𝐭(𝑨 · 𝑩) = (𝐝𝐞𝐭𝑨) · (𝐝𝐞𝐭𝑩),</p><p>pode-se concluir que, sob essas condições</p><p>a) se 𝑨 é invertível, então 𝑨 · 𝑩 é invertível.</p><p>b) se 𝑩 não é invertível, então 𝑨 é invertível.</p><p>96</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c) se 𝑨 · 𝑩 é invertível, então 𝑨 é invertível e 𝑩 não é invertível.</p><p>d) se 𝑨 · 𝑩 não é invertível, então 𝑨 ou 𝑩 não é invertível.</p><p>e) se 𝑨 · 𝑩 é invertível, então 𝑩 é invertível e 𝑨 não é invertível.</p><p>46. (ESSA/2009)</p><p>Uma matriz 𝑩 de ordem 𝟑, é tal que, em cada linha, os elementos são termos consecutivos de uma</p><p>progressão aritmética de razão 𝟐. Se as somas dos elementos da primeira, segunda e terceira linhas</p><p>valem 𝟔, 𝟑 e 𝟎, respectivamente, o determinante de 𝑩 é igual a:</p><p>a) 1</p><p>b) 0</p><p>c) -1</p><p>d) 3</p><p>e) 2</p><p>47. (EsPCEx/2016)</p><p>Considere a matriz 𝑴 = [</p><p>𝒂 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 𝒃</p><p>𝒂 𝒂𝟑 𝟎</p><p>𝟐 𝟓 𝟑</p><p>]. Se 𝒂 e 𝒃 são números reais não nulos e 𝐝𝐞𝐭(𝑴) = 𝟎,</p><p>então o valor de 𝟏𝟒𝒂𝟐 − 𝟐𝟏𝒃𝟐 é igual a</p><p>a) 15</p><p>b) 28</p><p>c) 35</p><p>d) 49</p><p>e) 70</p><p>48. (EsPCEx/2004)</p><p>Seja a matriz 𝑨𝟐 = (𝒂𝒊𝒋) = {</p><p>𝟎, 𝒔𝒆 𝒊 ≠ 𝒋</p><p>𝒊 + 𝒋 −</p><p>𝟒</p><p>𝒋</p><p>, 𝒔𝒆 𝒊 = 𝒋</p><p>. O determinante da inversa de 𝑨 é:</p><p>a) −</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>b)</p><p>𝟑</p><p>𝟒</p><p>c)</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>d) −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>e)</p><p>𝟒</p><p>𝟑</p><p>49. (EsPCEx/2017)</p><p>Uma matriz quadrada 𝑨, de ordem 𝟑, é definida por 𝒂𝒊𝒋 = {</p><p>𝒊 − 𝒋, 𝒔𝒆 𝒊 > 𝒋</p><p>(−𝟏)𝒊+𝒋, 𝒔𝒆 𝒊 ≤ 𝒋</p><p>. Então 𝐝𝐞𝐭(𝑨−𝟏)</p><p>é igual a:</p><p>a) 4</p><p>b) 1</p><p>c) 0</p><p>97</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d)</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>e)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>50. (EsPCEx/2014)</p><p>Seja 𝒙 um número real, 𝑰 a matriz identidade de ordem 𝟐 e 𝑨 a matriz quadrada de ordem 𝟐, cujos</p><p>elementos são definidos por 𝒂𝒊𝒋 = 𝒊 − 𝒋. Sobre a equação em 𝒙 definida por 𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝒙𝑰) = 𝒙 +</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑨 é correto afirmar que</p><p>a) as raízes são 𝟎 e</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>b) todo 𝒙 real satisfaz a equação.</p><p>c) apresenta apenas raízes inteiras.</p><p>d) uma raiz é nula e a outra negativa.</p><p>e) apresenta apenas raízes negativas.</p><p>3.2. GABARITO</p><p>26. b</p><p>27. d</p><p>28. b</p><p>29. c</p><p>30. d</p><p>31. b</p><p>32. b</p><p>33. c</p><p>34. d</p><p>35. c</p><p>36. c</p><p>37. d</p><p>38. d</p><p>39. c</p><p>40. d</p><p>41. c</p><p>42. c</p><p>43. b</p><p>44. c</p><p>45. d</p><p>46. b</p><p>47. c</p><p>48. a</p><p>49. d</p><p>50. c</p><p>98</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>3.2. RESOLUÇÃO</p><p>26. (EEAR/2015)</p><p>O valor do determinante |</p><p>𝟏 𝟎 𝟐</p><p>−𝟏 𝟎 −𝟐</p><p>𝟐 𝟑 𝟒</p><p>| é</p><p>a) -2</p><p>b) 0</p><p>c) 1</p><p>d) 2</p><p>Comentários</p><p>Utilizando a Regra de Sarrus, obtemos:</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>27. (EEAR/2018)</p><p>Se 𝑨 = (</p><p>𝟎 𝒙 𝒚</p><p>𝒙 𝟎 𝟐</p><p>𝒚 𝟐 𝟎</p><p>) e 𝐝𝐞𝐭𝑨 = 𝟒√𝟑, então 𝒙𝟐𝒚𝟐 é igual a:</p><p>a) 24</p><p>b) 12</p><p>c) 6</p><p>d) 3</p><p>Comentários</p><p>Utilizando a Regra de Sarrus, obtemos:</p><p>det 𝐴 = det(</p><p>0 𝑥 𝑦</p><p>𝑥 0 2</p><p>𝑦 2 0</p><p>) =</p><p>= (0 ⋅ 0 ⋅ 0 + 𝑥 ⋅ 2 ⋅ 𝑦 + 𝑦 ⋅ 𝑥 ⋅ 2) − (𝑦 ⋅ 0 ⋅ 𝑦 + 0 ⋅ 2 ⋅ 2 + 𝑥 ⋅ 𝑥 ⋅ 0) =</p><p>= (4 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦) − (0) = 4 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦</p><p>Mas,</p><p>det𝐴 = 4√3 ⇒ 4𝑥𝑦 = 4√3</p><p>⇒ 𝑥𝑦 = √3</p><p>⇒ 𝑥2𝑦2 = (𝑥𝑦)2 = (√3)</p><p>2</p><p>= 3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>99</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>28. (EEAR/2016)</p><p>Para que o determinante da matriz (</p><p>𝟏 −𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟎 𝒃</p><p>𝟏 𝟐 𝟏</p><p>) seja 𝟑, o valor de 𝒃 deve ser igual a</p><p>a) 2</p><p>b) 0</p><p>c) -1</p><p>d) -2</p><p>Comentários</p><p>Utilizando a Regra de Sarrus, obtemos:</p><p>det (</p><p>1 −1 1</p><p>1 0 𝑏</p><p>1 2 1</p><p>) = 3(1 − 𝑏)</p><p>Queremos que 3(1 − 𝑏) = 3</p><p>⇒ 1 − 𝑏 = 1</p><p>⇒ 𝑏 = 0</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>29. (EEAR/2009)</p><p>Seja a matriz 𝑴 = [</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟐 −𝟑 𝒙</p><p>𝟒 𝟗 𝒙𝟐</p><p>]. Se 𝐝𝐞𝐭𝑴 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, então o valor de 𝒂 é</p><p>a) 12</p><p>b) 10</p><p>c) -5</p><p>d) -7</p><p>Comentários</p><p>Utilizando a Regra de Sarrus, obtemos:</p><p>det𝑀 = det [</p><p>1 1 1</p><p>2 −3 𝑥</p><p>4 9 𝑥2</p><p>] = −5𝑥2 − 5𝑥 + 30</p><p>Mas, det𝑀 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Então:</p><p>−5𝑥2 − 5𝑥 + 30 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐</p><p>Pela igualdade de polinômios, 𝑎 = −5</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>30. (EEAR/2011)</p><p>Sejam as matrizes 𝑨 = (</p><p>𝟐 𝟏 𝟑</p><p>𝟎 𝟓 𝟏</p><p>𝟑 𝟐 𝟏</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟐 𝟑</p><p>𝟎 𝟗</p><p>). O valor de</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑨</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑩</p><p>é:</p><p>a) 4</p><p>b) 3</p><p>c)-1</p><p>100</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) -2</p><p>Comentários</p><p>det𝐴 = det(</p><p>2 1 3</p><p>0 5 1</p><p>3 2 1</p><p>) =− 36</p><p>det𝐵 = det (2 3</p><p>0 9</p><p>) = 18</p><p>Logo,</p><p>det 𝐴</p><p>det𝐵</p><p>=</p><p>−36</p><p>18</p><p>= −2</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>31. (EEAR/2015)</p><p>Se |</p><p>𝟐𝒙 𝒚 𝟎</p><p>𝒛 𝟎 𝟐𝒚</p><p>𝟎 𝟐𝒛 𝟎</p><p>| = 𝟏𝟔√𝟑 então (𝒙𝒚𝒛)𝟐 é igual a:</p><p>a) 8</p><p>b) 12</p><p>c) 24</p><p>d) 36</p><p>Comentários</p><p>Utilizando a Regra de Sarrus, obtemos:</p><p>|</p><p>2𝑥 𝑦 0</p><p>𝑧 0 2𝑦</p><p>0 2𝑧 0</p><p>| = −8 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧</p><p>Mas, do enunciado,</p><p>|</p><p>2𝑥 𝑦 0</p><p>𝑧 0 2𝑦</p><p>0 2𝑧 0</p><p>| = 16√3</p><p>⇒ −8𝑥𝑦𝑧 = 16√3</p><p>⇒ 𝑥𝑦𝑧 = −2√3</p><p>Portanto,</p><p>(𝑥𝑦𝑧)2 = (−2√3)</p><p>2</p><p>= 12</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>32. (EEAR/2003)</p><p>Seja |</p><p>𝟐 𝟑 𝟔</p><p>𝟒 𝒙 𝟎</p><p>−𝟐 𝟎 −𝟐</p><p>| = 𝟔𝟒. O valor de x que torna verdadeira a igualdade é</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) -4</p><p>101</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) -5</p><p>Comentários</p><p>Utilizando a Regra de Sarrus, obtemos:</p><p>|</p><p>2 3 6</p><p>4 𝑥 0</p><p>−2 0 −2</p><p>| = 8𝑥 + 24</p><p>Mas, do enunciado,</p><p>|</p><p>2 3 6</p><p>4 𝑥 0</p><p>−2 0 −2</p><p>| = 64</p><p>⇒ 8𝑥 + 24 = 64</p><p>⇒ 𝑥 = 5</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>33. (EEAR/2017)</p><p>Se os pontos 𝑨(𝒂, 𝟐), 𝑩(𝒃, 𝟑) e 𝑪(−𝟑, 𝟎) estão alinhados, o valor de 𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 é</p><p>a) 3</p><p>b) 5</p><p>c) -3</p><p>d) -5</p><p>Comentários</p><p>Na geometria analítica, sabemos que quando 3 pontos estão alinhados o determinante da</p><p>matriz completa de seus afixos é nulo, conforme:</p><p>𝒙 𝒚 𝟏</p><p>↓ ↓ ↓</p><p>𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐴 →</p><p>𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐵 →</p><p>𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐶 →</p><p>|</p><p>𝑎 2 1</p><p>𝑏 3 1</p><p>−3 0 1</p><p>| = 0</p><p>⇒ 3𝑎 − 2𝑏 + 3 = 0</p><p>⇒ 3𝑎 − 2𝑏 = −3</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>34. (EEAR/2002)</p><p>Os valores de x que tornam verdadeira a igualdade |</p><p>𝒙 𝟎 𝟐</p><p>−𝟏 −𝟏 𝟏</p><p>𝟑 𝟏 𝒙</p><p>| = −𝟐 são tais que seu produto 𝒑</p><p>é elemento do conjunto</p><p>a) {𝒑 ∈ ℝ | 𝒑 > −𝟑}</p><p>b) {𝒑 ∈ ℝ | − 𝟑 𝒋</p><p>, então o</p><p>determinante da matriz 𝑨 é</p><p>a) -10</p><p>b) 10</p><p>c) -6</p><p>d) 6</p><p>Comentários</p><p>Montando a matriz dada, temos que</p><p>𝐴 = (</p><p>1 + 1 2</p><p>2 − 1 2 + 2</p><p>) = (</p><p>2 2</p><p>1 4</p><p>)</p><p>Sendo assim,</p><p>det𝐴 = det (2 2</p><p>1 4</p><p>) = 6</p><p>det𝐴 = 6</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>38. (EEAR/2004)</p><p>Seja uma matriz 𝑴 do tipo 𝟐 × 𝟐. Se 𝐝𝐞𝐭𝑴 = 𝟐, então 𝐝𝐞𝐭(𝟏𝟎𝑴) é</p><p>a) 20</p><p>b) 80</p><p>c) 100</p><p>d) 200</p><p>Comentários</p><p>Seja 𝑀 = (</p><p>𝑎11 𝑎12</p><p>𝑎21 𝑎22</p><p>) então det𝑀 = det (</p><p>𝑎11 𝑎12</p><p>𝑎21 𝑎22</p><p>) = 𝑎11 ⋅ 𝑎22 − 𝑎12 ⋅ 𝑎21</p><p>104</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Sendo assim,</p><p>𝛼 ⋅ 𝑀 = (</p><p>𝛼 ⋅ 𝑎11 𝛼 ⋅ 𝑎12</p><p>𝛼 ⋅ 𝑎21 𝛼 ⋅ 𝑎22</p><p>)</p><p>⇒ det(𝛼 ⋅ 𝑀) = det (</p><p>𝛼 ⋅ 𝑎11 𝛼 ⋅ 𝑎12</p><p>𝛼 ⋅ 𝑎21 𝛼 ⋅ 𝑎22</p><p>) =</p><p>= (𝛼 ⋅ 𝑎11) ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑎22) − (𝛼 ⋅ 𝑎12) ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑎21) =</p><p>= 𝛼2 ⋅ (𝑎11 ⋅ 𝑎22) − 𝛼</p><p>2 ⋅ (𝑎12 ⋅ 𝑎21) =</p><p>= 𝛼2(𝑎11 ⋅ 𝑎22 − 𝑎12 ⋅ 𝑎21) = 𝛼</p><p>2 ⋅ det𝑀</p><p>Obs.: o expoente de 𝛼 corresponde à ordem a matriz que será multiplicada.</p><p>Generalizando, para uma matriz 𝑀𝑛 temos que:</p><p>det(𝛼 ⋅ 𝑀) = 𝛼𝑛 ⋅ det𝑀</p><p>Do enunciado temos:</p><p>{</p><p>𝑛 = 2</p><p>𝛼 = 10</p><p>det𝑀 = 2</p><p>⇒ det(10𝑀) = 102 ⋅ 2 = 200</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>39. (EEAR/2005)</p><p>Seja 𝑨 uma matriz de ordem 𝟐, cujo determinante é −𝟔. Se 𝐝𝐞𝐭(𝟐𝑨) = 𝒙 − 𝟖𝟕, então o valor de</p><p>𝒙 é múltiplo de</p><p>a) 13</p><p>b) 11</p><p>c) 7</p><p>d) 5</p><p>Comentários</p><p>Sabemos que, para uma matriz 𝐴𝑛 temos que:</p><p>det(𝛼 ⋅ 𝐴) = 𝛼𝑛 ⋅ det 𝐴</p><p>Do enunciado temos:</p><p>{</p><p>𝑛 = 2</p><p>𝛼 = 2</p><p>det𝐴 = −6</p><p>⇒ det(2𝐴) = 22 ⋅ (−6) = −24</p><p>Mas det(2𝐴) = 𝑥 − 87, então:</p><p>𝑥 − 87 = −24</p><p>𝑥 = 87 − 24 = 63</p><p>Podemos decompor 63 conforme:</p><p>63 = 3 ⋅ 21 = 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 9 ⋅ 7</p><p>Ou seja, 63 é múltiplo de 3, 7, 9 e 21. Analisando as alternativas, chega-se ao item c.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>40. (EEAR/2001)</p><p>105</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Dada a equação |</p><p>𝒙 𝒎 −𝟏</p><p>−𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟎 𝟏 𝒙</p><p>| = 𝟎, quais os valores de 𝒎 para os quais as raízes são reais?</p><p>a) 𝒎 ≤ 𝟑</p><p>b) 𝒎 ≥ −𝟏</p><p>c) −𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝟎</p><p>d) 𝒎 ≤ −𝟏 ou 𝒎 ≥ 𝟑</p><p>Comentários</p><p>|</p><p>𝑥 𝑚 −1</p><p>−1 1 1</p><p>0 1 𝑥</p><p>| = 𝑥2 + (𝑚− 1)𝑥 + 1 = 0</p><p>Para as raízes serem reais, queremos ∆ ≥ 0</p><p>(𝑚− 1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (1) ≥ 0</p><p>𝑚2 − 2𝑚− 3 ≥ 0</p><p>(𝑚+ 1) ⋅ (𝑚− 3) ≥ 0</p><p>Desenhando o gráfico, obtemos:</p><p>Sendo assim, 𝑚 ≤ −1 ou 𝑚 ≥ 3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>41. (EEAR/2000)</p><p>Seja 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋) uma matriz real quadrada de ordem 2 e 𝑰𝟐 a matriz identidade também de ordem 2.</p><p>Se 𝒓𝟏 e 𝒓𝟐 são as raízes da equação 𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝒓 · 𝑰𝟐) = 𝒏𝒓, onde n é um número inteiro positivo,</p><p>podemos afirmar que:</p><p>a) 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 = 𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐</p><p>b) 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 = 𝒏(𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐)</p><p>c) 𝒓𝟏 ⋅ 𝒓𝟐 = 𝐝𝐞𝐭𝑨</p><p>d) 𝒓𝟏 ⋅ 𝒓𝟐 = −𝒏𝐝𝐞𝐭𝑨</p><p>Comentários</p><p>106</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det(𝐴 − 𝑟 · 𝐼2) = det((</p><p>𝑎11 𝑎12</p><p>𝑎21 𝑎22</p><p>)− 𝑟 (1 0</p><p>0 1</p><p>)) =</p><p>= det ((</p><p>𝑎11 𝑎12</p><p>𝑎21 𝑎22</p><p>) − (</p><p>𝑟 0</p><p>0 𝑟</p><p>)) =</p><p>= det (</p><p>𝑎11 − 𝑟 𝑎12</p><p>𝑎21 𝑎22 − 𝑟</p><p>) =</p><p>= (𝑎11 − 𝑟) ⋅ (𝑎22 − 𝑟) − 𝑎12 ⋅ 𝑎21 =</p><p>= (𝑎11 ⋅ 𝑎22 − 𝑟 ⋅ 𝑎11 − 𝑟 ⋅ 𝑎22 + 𝑟</p><p>2) − 𝑎12 ⋅ 𝑎21 =</p><p>= 𝑟2 − 𝑟(𝑎11 + 𝑎22) + (𝑎11 ⋅ 𝑎22 − 𝑎12 ⋅ 𝑎21) ⇒</p><p>⇒ det(𝐴 − 𝑟 · 𝐼2) = 𝑟</p><p>2 − 𝑟(𝑎11 + 𝑎22) + det 𝐴</p><p>Queremos estudar quando det(𝐴 − 𝑟 · 𝐼2) = 𝑛𝑟, então</p><p>𝑟2 − 𝑟(𝑎11 + 𝑎22)+ det 𝐴 = 𝑛𝑟</p><p>𝑟2 − 𝑟(𝑎11 + 𝑎22 + 𝑛)+ det𝐴 = 0</p><p>Aplicando as Relações de Girard:</p><p>𝑟1 + 𝑟2 = −</p><p>(𝑎11 + 𝑎22 + 𝑛)</p><p>(1)</p><p>= −(𝑎11 + 𝑎22 + 𝑛)</p><p>𝑟1 ⋅ 𝑟2 =</p><p>(det𝐴)</p><p>(1)</p><p>= det𝐴</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>42. (EEAR/2007)</p><p>Se as matrizes [</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>] e [</p><p>−𝟐𝒂 𝟐𝒄</p><p>−𝟑𝒃 𝟑𝒅</p><p>] têm determinantes respectivamente iguais a 𝒙 e 𝒚, e 𝒂𝒅 ≠ 𝒃𝒄,</p><p>então o valor de</p><p>𝒚</p><p>𝒙</p><p>é</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) -6</p><p>d) -4</p><p>Comentários</p><p>Devemos manipular o determinante extraindo múltiplos das filas da segunda matriz,</p><p>conforme:</p><p>det [−2𝑎 2𝑐</p><p>−3𝑏 3𝑑</p><p>] = 2 ⋅ det [</p><p>−𝑎 𝑐</p><p>−3𝑏 3𝑑</p><p>] = 2 ⋅ 3 ⋅ det [</p><p>−𝑎 𝑐</p><p>−𝑏 𝑑</p><p>] = 2 ⋅ 3 ⋅ (−1) ⋅ det [</p><p>𝑎 𝑐</p><p>𝑏 𝑑</p><p>]</p><p>⇒ det [</p><p>−2𝑎 2𝑐</p><p>−3𝑏 3𝑑</p><p>] = −6 ⋅ det [</p><p>𝑎 𝑐</p><p>𝑏 𝑑</p><p>]</p><p>Mas, do enunciado, det [−2𝑎 2𝑐</p><p>−3𝑏 3𝑑</p><p>] = 𝑦 e det [</p><p>𝑎 𝑐</p><p>𝑏 𝑑</p><p>] = 𝑥, então</p><p>𝑦 = −6 ⋅ 𝑥</p><p>Como 𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐 então 𝑥 ≠ 0, sendo assim, podemos fazer:</p><p>107</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>⇒</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>= −6</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>43. (EEAR/2003)</p><p>Calculando o valor do determinante |</p><p>−𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟐 𝟑 𝟎 −𝟏</p><p>−𝟐 −𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏</p><p>|, obtém-se</p><p>a) -3</p><p>b) -1</p><p>c) 1</p><p>d) 3</p><p>Comentários</p><p>Utilizaremos a Regra De Chió, mas primeiramente, iremos extrair o −1 multiplicado na</p><p>primeira e terceira linhas, conforme:</p><p>det(</p><p>−1 −1 0 0</p><p>2 3 0 −1</p><p>−2 −1 0 0</p><p>0 0 −1 1</p><p>) = −1 ⋅ −1 ⋅ det(</p><p>1 1 0 0</p><p>2 3 0 −1</p><p>2 1 0 0</p><p>0 0 −1 1</p><p>) = det(</p><p>1 1 0 0</p><p>2 3 0 −1</p><p>2 1 0 0</p><p>0 0 −1 1</p><p>)</p><p>Agora temos o número 1 na posição 𝑎11, vamos agora aplicar a Regra De Chió:</p><p>|</p><p>1 1 0 0</p><p>2 3 0 −1</p><p>2 1 0 0</p><p>0 0 −1 1</p><p>| = |</p><p>3 − 2 ⋅ 1 0 − 2 ⋅ 0 −1 − 2 ⋅ 0</p><p>1 − 2 ⋅ 1 0 − 2 ⋅ 0 0 − 2 ⋅ 0</p><p>0 − 0 ⋅ 1 −1 − 0 ⋅ 0 1 − 0 ⋅ 0</p><p>| =</p><p>= |</p><p>1 0 −1</p><p>−1 0 0</p><p>0 −1 1</p><p>|</p><p>Aplicando novamente a Regra De Chió</p><p>|</p><p>1 0 −1</p><p>−1 0 0</p><p>0 −1 1</p><p>| = |</p><p>0 − (−1) ⋅ 0 0 − (−1) ⋅ (−1)</p><p>−1− 0 ⋅ 0 1 − 0 ⋅ (−1)</p><p>| =</p><p>= |</p><p>0 −1</p><p>−1 1</p><p>| = [0 ⋅ 1] − [(−1) ⋅ (−1)] = −1</p><p>Portanto,</p><p>det(</p><p>−1 −1 0 0</p><p>2 3 0 −1</p><p>−2 −1 0 0</p><p>0 0 −1 1</p><p>) = −1</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>44. (EEAR/2006)</p><p>O determinante da matriz |</p><p>𝟏 𝟎 𝟎 𝟑</p><p>𝟐 𝟑 𝟓 𝟏</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 −𝟏</p><p>𝟑 𝟎 𝟏 𝟒</p><p>| é</p><p>108</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) 9</p><p>b) 8</p><p>c) 7</p><p>d) 6</p><p>Comentários</p><p>Utilizaremos a Regra De Chió.</p><p>Temos o número 1 na posição 𝑎11, vamos agora aplicar a Regra De Chió:</p><p>|</p><p>1 0 0 3</p><p>2 3 5 1</p><p>1 2 3 −1</p><p>3 0 1 4</p><p>| = |</p><p>3 − 2 ⋅ 0 5 − 2 ⋅ 0 1 − 2 ⋅ 3</p><p>2 − 1 ⋅ 0 3 − 1 ⋅ 0 −1</p><p>− 1 ⋅ 3</p><p>0 − 3 ⋅ 0 1 − 3 ⋅ 0 4 − 3 ⋅ 3</p><p>| =</p><p>= |</p><p>3 5 −5</p><p>2 3 −4</p><p>0 1 −5</p><p>|</p><p>Resolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:</p><p>det(</p><p>3 5 −5</p><p>2 3 −4</p><p>0 1 −5</p><p>) = 7</p><p>Portanto,</p><p>det(</p><p>1 0 0 3</p><p>2 3 5 1</p><p>1 2 3 −1</p><p>3 0 1 4</p><p>) = 7</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>45. (ESSA/2014)</p><p>Sabendo-se que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é não-nulo e</p><p>que, se 𝑨 e 𝑩 são duas matrizes quadradas de mesma ordem, então 𝐝𝐞𝐭(𝑨 · 𝑩) = (𝐝𝐞𝐭𝑨) · (𝐝𝐞𝐭𝑩),</p><p>pode-se concluir que, sob essas condições</p><p>a) se 𝑨 é invertível, então 𝑨 · 𝑩 é invertível.</p><p>b) se 𝑩 não é invertível, então 𝑨 é invertível.</p><p>c) se 𝑨 · 𝑩 é invertível, então 𝑨 é invertível e 𝑩 não é invertível.</p><p>d) se 𝑨 · 𝑩 não é invertível, então 𝑨 ou 𝑩 não é invertível.</p><p>e) se 𝑨 · 𝑩 é invertível, então 𝑩 é invertível e 𝑨 não é invertível.</p><p>Comentários</p><p>a) Falso.</p><p>Sendo 𝐴 invertível, considere 𝐵 não invertível. ⇒ det 𝐵 = 0 ∴ det(𝐴 · 𝐵) =</p><p>(det 𝐴) · (0) = 0 ⇒ 𝐴 ⋅ 𝐵 não é invertível.</p><p>b) Falso.</p><p>Nada se pode concluir, a assertiva é desconexa.</p><p>c) Falso.</p><p>109</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Se 𝐴 ⋅ 𝐵 é invertível det(𝐴 ⋅ 𝐵) ≠ 0. Logo, (det𝐴) · (det𝐵) ≠ 0 ⇒ {det𝐴 ≠ 0</p><p>det𝐵 ≠ 0</p><p>. Ou</p><p>seja, 𝐴 𝑒 𝐵 são invertíveis.</p><p>d) Verdadeiro.</p><p>Se 𝐴 ⋅ 𝐵 não é invertível det(𝐴 ⋅ 𝐵) = 0. Logo, (det𝐴) · (det𝐵) = 0 ⇒ det𝐴 =</p><p>0 ou det 𝐵 = 0. Ou seja, 𝐴 ou 𝐵 não é invertível.</p><p>e) Falso.</p><p>Conforme já feito no item c.</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>46. (ESSA/2009)</p><p>Uma matriz 𝑩 de ordem 𝟑, é tal que, em cada linha, os elementos são termos consecutivos de uma</p><p>progressão aritmética de razão 𝟐. Se as somas dos elementos da primeira, segunda e terceira linhas</p><p>valem 𝟔, 𝟑 e 𝟎, respectivamente, o determinante de 𝑩 é igual a:</p><p>a) 1</p><p>b) 0</p><p>c) -1</p><p>d) 3</p><p>e) 2</p><p>Comentários</p><p>A matriz 𝐵 é da forma:</p><p>𝐵 = (</p><p>𝑎 − 2 𝑎 𝑎 + 2</p><p>𝑏 − 2 𝑏 𝑏 + 2</p><p>𝑐 − 2 𝑐 𝑐 + 2</p><p>)</p><p>Mas, segundo o enunciado,</p><p>⇒ {</p><p>(𝑎 − 2) + (𝑎) + (𝑎 + 2) = 6</p><p>(𝑏 − 2) + (𝑏) + (𝑏 + 2) = 3</p><p>(𝑐 − 2) + (𝑐) + (𝑐 + 2) = 0</p><p>⇒ {</p><p>3𝑎 = 6</p><p>3𝑏 = 3</p><p>3𝑐 = 0</p><p>⇒ {</p><p>𝑎 = 2</p><p>𝑏 = 1</p><p>𝑐 = 0</p><p>Sendo assim, a matriz 𝐵 é dada por:</p><p>⇒ 𝐵 = (</p><p>2 − 2 2 2 + 2</p><p>1 − 2 1 1 + 2</p><p>0 − 2 0 0 + 2</p><p>) = (</p><p>0 2 4</p><p>−1 1 3</p><p>−2 0 2</p><p>)</p><p>det𝐵 = det(</p><p>0 2 4</p><p>−1 1 3</p><p>−2 0 2</p><p>) = 0</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>47. (EsPCEx/2016)</p><p>Considere a matriz 𝑴 = [</p><p>𝒂 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 𝒃</p><p>𝒂 𝒂𝟑 𝟎</p><p>𝟐 𝟓 𝟑</p><p>]. Se 𝒂 e 𝒃 são números reais não nulos e 𝐝𝐞𝐭(𝑴) = 𝟎,</p><p>então o valor de 𝟏𝟒𝒂𝟐 − 𝟐𝟏𝒃𝟐 é igual a</p><p>a) 15</p><p>b) 28</p><p>110</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c) 35</p><p>d) 49</p><p>e) 70</p><p>Comentários</p><p>Aplicando a Regra De Sarrus, obtemos:</p><p>det𝑀 = det [</p><p>𝑎 𝑎3 − 𝑏3 𝑏</p><p>𝑎 𝑎3 0</p><p>2 5 3</p><p>] =</p><p>= [a ⋅ a3 ⋅ 3 + (a3 − b3) ⋅ 0 ⋅ 2 + a ⋅ 5 ⋅ b] − [b ⋅ a3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 ⋅ a + (a3 − b3) ⋅ a ⋅ 3] ⇒</p><p>⇒ det𝑀 = 𝑎𝑏(3𝑏2 − 2𝑎2 + 5)</p><p>Mas</p><p>det𝑀 = 0 ⇒ 𝑎𝑏 (3𝑏2 − 2𝑎2 + 5) = 0</p><p>Porém, sabemos que 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0 então:</p><p>(3𝑏2 − 2𝑎2 + 5) = 0</p><p>(3𝑏2 − 2𝑎2) = −5</p><p>−7 ⋅ (3𝑏2 − 2𝑎2) = −7 ⋅ (−5)</p><p>14𝑎2 − 21𝑏2 = 35</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>48. (EsPCEx/2004)</p><p>Seja a matriz 𝑨𝟐 = (𝒂𝒊𝒋) = {</p><p>𝟎, 𝒔𝒆 𝒊 ≠ 𝒋</p><p>𝒊 + 𝒋 −</p><p>𝟒</p><p>𝒋</p><p>, 𝒔𝒆 𝒊 = 𝒋</p><p>. O determinante da inversa de 𝑨 é:</p><p>a) −</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>b)</p><p>𝟑</p><p>𝟒</p><p>c)</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>d) −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>e)</p><p>𝟒</p><p>𝟑</p><p>Comentários</p><p>A matriz 𝐴2 é da forma:</p><p>𝐴 = [</p><p>1 + 1 −</p><p>4</p><p>1</p><p>0</p><p>0 2 + 2 −</p><p>4</p><p>2</p><p>] =</p><p>= [</p><p>−2 0</p><p>0 2</p><p>]</p><p>Sendo assim,</p><p>111</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det𝐴 = det [−2 0</p><p>0 2</p><p>] = −4</p><p>Sabemos que</p><p>det𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det𝐴</p><p>=</p><p>1</p><p>−4</p><p>= −</p><p>1</p><p>4</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>49. (EsPCEx/2017)</p><p>Uma matriz quadrada 𝑨, de ordem 𝟑, é definida por 𝒂𝒊𝒋 = {</p><p>𝒊 − 𝒋, 𝒔𝒆 𝒊 > 𝒋</p><p>(−𝟏)𝒊+𝒋, 𝒔𝒆 𝒊 ≤ 𝒋</p><p>. Então 𝐝𝐞𝐭(𝑨−𝟏)</p><p>é igual a:</p><p>a) 4</p><p>b) 1</p><p>c) 0</p><p>d)</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>e)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>Comentários</p><p>A matriz 𝐴3 é da forma:</p><p>𝐴 = [</p><p>(−1)1+1 (−1)1+2 (−1)1+3</p><p>2 − 1 (−1)2+2 (−1)2+3</p><p>3 − 1 3 − 2 (−1)3+3</p><p>] =</p><p>= [</p><p>1 −1 1</p><p>1 1 −1</p><p>2 1 1</p><p>]</p><p>Sendo assim,</p><p>det 𝐴 = det [</p><p>1 −1 1</p><p>1 1 −1</p><p>2 1 1</p><p>] = 4</p><p>Sabemos que</p><p>det𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det𝐴</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>50. (EsPCEx/2014)</p><p>Seja 𝒙 um número real, 𝑰 a matriz identidade de ordem 𝟐 e 𝑨 a matriz quadrada de ordem 𝟐, cujos</p><p>elementos são definidos por 𝒂𝒊𝒋 = 𝒊 − 𝒋. Sobre a equação em 𝒙 definida por 𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝒙𝑰) = 𝒙 +</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑨 é correto afirmar que</p><p>a) as raízes são 𝟎 e</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>b) todo 𝒙 real satisfaz a equação.</p><p>c) apresenta apenas raízes inteiras.</p><p>d) uma raiz é nula e a outra negativa.</p><p>e) apresenta apenas raízes negativas.</p><p>112</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Comentários</p><p>A matriz 𝐴2 é da forma:</p><p>𝐴 = [</p><p>1 − 1 1 − 2</p><p>2 − 1 2 − 2</p><p>] = [</p><p>0 −1</p><p>1 0</p><p>]</p><p>det 𝐴 = det [0 −1</p><p>1 0</p><p>] = 1</p><p>Sendo assim,</p><p>det(𝐴 − 𝑥𝐼) = det ([0 −1</p><p>1 0</p><p>]− 𝑥 [1 0</p><p>0 1</p><p>]) = det [−𝑥 −1</p><p>1 −𝑥</p><p>] = 𝑥2 + 1</p><p>det(𝐴 − 𝑥𝐼) = 𝑥2 + 1</p><p>Sabemos que</p><p>det(𝐴− 𝑥𝐼) = 𝑥 + det 𝐴</p><p>(𝑥2 + 1) = 𝑥 + (1)</p><p>𝑥2 − 𝑥 = 0</p><p>𝑥(𝑥 − 1) = 0</p><p>{𝑥 = 0</p><p>𝑥 = 1</p><p>Analisando as alternativas, obtemos que o item c é verdadeiro.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>4. QUESTÕES NÍVEL 2</p><p>51. (EFOMM/2021)</p><p>Considere uma equação definida por:</p><p>𝐝𝐞𝐭 |</p><p>𝒍𝒐𝒈𝒙 𝒍𝒐𝒈𝒙𝟒 𝒍𝒐𝒈𝒙𝟏𝟔</p><p>𝟒𝒙 𝟏𝟔𝒙 𝟔𝟒𝒙</p><p>𝟎 𝟎 𝟐</p><p>| = 𝟎 , ∀𝒙 > 𝟎</p><p>Sabendo-se que a solução da equação acima é o número de elementos de um conjunto A, é correto</p><p>afirmar que o número de subconjuntos que se pode formar com esse conjunto é igual a</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>e) 4</p><p>52. (EFOMM/2021)</p><p>113</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Dadas as matrizes reais 2x2 do tipo 𝑨(𝒙) = (</p><p>𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙</p><p>𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙</p><p>),pode-se afirmar que:</p><p>I. 𝑨(𝒙) é inversível</p><p>II. ∃ 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] tal que𝑨(𝒙). 𝑨(𝒙) = 𝑨(𝒙)</p><p>III. 𝑨(𝒙) nunca será antissimétrica.</p><p>Assinale a opção correta.</p><p>a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.</p><p>b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.</p><p>c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.</p><p>d) Apenas a afirmativa I é verdadeira.</p><p>e) Apenas a afirmativa II é verdadeira.</p><p>53. (EFOMM/2020)</p><p>Seja a matriz 𝑨</p><p>|</p><p>|</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓</p><p>𝟏 𝟒 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓</p><p>𝟏 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟐𝟓</p><p>𝟏 𝟏𝟔 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟔𝟐𝟓</p><p>|</p><p>|</p><p>Qual �� o valor do determinante da matriz 𝑨?</p><p>a) 96</p><p>b) 98</p><p>c) 100</p><p>d) 144</p><p>e) 288</p><p>54. (EFOMM/2017)</p><p>Determine uma matriz invertível 𝑷 que satisfaça a equação 𝑷−𝟏. 𝑨 = [</p><p>𝟓 𝟎</p><p>𝟎 −𝟐</p><p>], sendo 𝑨 =</p><p>[</p><p>𝟏 −𝟐</p><p>𝟑 𝟑</p><p>].</p><p>a) 𝑷 = [</p><p>𝟓</p><p>𝟑</p><p>𝟏𝟎</p><p>𝟗</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>−</p><p>𝟐</p><p>𝟗</p><p>]</p><p>b) 𝑷 = [</p><p>𝟐 𝟏𝟎</p><p>𝟔 −𝟏𝟓</p><p>]</p><p>114</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c) 𝑷 =</p><p>𝟏</p><p>𝟏𝟎</p><p>[</p><p>𝟐 𝟏𝟎</p><p>𝟑 −𝟑</p><p>]</p><p>d) 𝑷 = [</p><p>−</p><p>𝟐</p><p>𝟗</p><p>−</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>−</p><p>𝟏𝟎</p><p>𝟗</p><p>𝟓</p><p>𝟑</p><p>]</p><p>e) 𝑷 = [</p><p>𝟏</p><p>𝟓</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝟓</p><p>−</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>55. (EFOMM/2017)</p><p>Calcule o determinante da matriz 𝑨 de ordem 𝒏:</p><p>𝑨 =</p><p>(</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝑲 𝟏</p><p>𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝑲 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟓 𝟏 𝟏 𝑲 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟕 𝟏 𝑲 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟗 𝑲 𝟏</p><p>𝑴 𝑴 𝑴 𝑴 𝑴 𝑶 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝑲 𝟐𝒏 − 𝟏)</p><p>a) 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = ∏ 𝟐𝒏 𝒏−𝟏</p><p>𝒏=𝟏</p><p>b) 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = ∏ 𝟐𝒏 − 𝟏 𝒏</p><p>𝒏=𝟏</p><p>c) 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = ∏ 𝟐𝒏𝒏−𝟏</p><p>𝒏=𝟏</p><p>d) 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = ∏ 𝟐𝒏−𝟏𝒏</p><p>𝒏=𝟏</p><p>e) 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝟏</p><p>56. (EFOMM/2015)</p><p>Seja 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟑𝒙𝟑</p><p>uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo é dado pela lei</p><p>𝒂𝒊𝒋 = {</p><p>−𝒊 + 𝒋, 𝒔𝒆 𝒊 + 𝒋 é 𝒑𝒂𝒓</p><p>𝒊 − 𝒋, 𝒔𝒆 𝒊 + 𝒋 é í𝒎𝒑𝒂𝒓</p><p>Pode-se afirmar que o valor de 𝐝𝐞𝐭 𝑨 é</p><p>a) 0.</p><p>b) -12.</p><p>c) 12.</p><p>d) 4.</p><p>e) -4</p><p>57. (EFOMM/2015)</p><p>115</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Sabendo-se que</p><p>𝒅𝒆𝒕</p><p>(</p><p>𝒆 𝝅 √𝟐 𝟑</p><p>𝟏</p><p>𝟑 𝟏</p><p>𝟐 −𝟑 𝟒 −𝟓 𝟔</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓</p><p>𝟎 −𝟏 𝟑 𝟓 𝟏𝟐</p><p>𝟑 𝟏 𝟐 𝟎 𝟒 )</p><p>= 𝒂,</p><p>calcule, em função de 𝒂,</p><p>𝒅𝒆𝒕</p><p>(</p><p>𝟐𝒆 𝟐𝝅 √𝟖 𝟐𝟒</p><p>𝟏</p><p>𝟑 𝟐</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓</p><p>𝟏 −𝟑 𝟒 −𝟓 𝟔</p><p>𝟎 −𝟏 𝟑 𝟓 𝟏𝟐</p><p>𝟑 𝟎 𝟓 𝟓 𝟏𝟔)</p><p>.</p><p>a) 𝟐𝒂.</p><p>b) −𝟐𝒂.</p><p>c) 𝒂.</p><p>d) −𝒂.</p><p>e) 𝟑𝒂.</p><p>58. (EFOMM/2013)</p><p>Se 𝐝𝐞𝐭 |</p><p>𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒔𝒆𝒏</p><p>𝒙</p><p>𝒔𝒆𝒏 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒚| = −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>, então o valor de 𝟑𝒔𝒆𝒏 (𝒙 + 𝒚) + 𝒕𝒈(𝒙 + 𝒚) − 𝐬𝐞𝐜 (𝒙 + 𝒚), para</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>≤</p><p>𝒙 + 𝒚 ≤ 𝝅, é igual a:</p><p>a) 𝟎</p><p>b) 𝟏/𝟑</p><p>c) 𝟐</p><p>d) 𝟑</p><p>e) 𝟏/𝟐</p><p>59. (EFOMM/2010)</p><p>Sejam as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 −𝟐 𝟒</p><p>𝟎 𝟎 𝟏 𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟑</p><p>], 𝑩 = [</p><p>𝟏 −𝟐 −𝟑 𝟕</p><p>𝟎 𝟏 𝟏 −𝟑</p><p>𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟏</p><p>] e 𝑿 = 𝑨𝑩. O determinante da</p><p>matriz 𝟐 ⋅ 𝑿−𝟏 é igual a</p><p>a)</p><p>𝟏</p><p>𝟔</p><p>b)</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>116</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c) 𝟏</p><p>d)</p><p>𝟖</p><p>𝟑</p><p>e) 𝟔</p><p>60. (EFOMM/2006)</p><p>Se 𝑴 = [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] e 𝑵 = [</p><p>𝟐 𝟎</p><p>𝟏 𝟏</p><p>] então 𝑴𝑵−𝑵𝑴 é</p><p>a) [</p><p>𝟐 −𝟐</p><p>𝟎 −𝟐</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟒 𝟐</p><p>𝟏 𝟏</p><p>]</p><p>61. (EFOMM/2006)</p><p>Se as matrizes (</p><p>𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 (𝒔𝒆𝒏 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶)𝟐</p><p>𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 |𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶|</p><p>) e (</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒃</p><p>𝒂 𝒄</p><p>) são iguais, então os números 𝒂, 𝒃 e 𝒄</p><p>valem, respectivamente:</p><p>a)</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>e 𝟏</p><p>b)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>e 𝟎</p><p>c) 𝟏,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>e</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>d)</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>e 𝟏</p><p>e)</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒆</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>62. (EFOMM/2005)</p><p>Dadas as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>−𝟏 −𝟏</p><p>𝟏 𝟏</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝟎 𝟏 𝟐</p><p>𝟑 𝟒 𝟓</p><p>] e considerando 𝒏 = 𝐝𝐞𝐭(𝑨𝑩), determine 𝟕𝒏.</p><p>a) 𝟎</p><p>b) 𝟏</p><p>c) 𝟐</p><p>d) 𝟑</p><p>117</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>e) 𝟒</p><p>63. (Escola Naval/2019)</p><p>Seja a matriz 𝑴 = [</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>] onde 𝑴𝒏 = 𝑴 𝒙 𝑴 𝒙 𝑴…𝒙 𝑴, com 𝒏 fatores, 𝒙 a soma dos</p><p>elementos da 1ª coluna de 𝑴𝟏𝟐 e 𝒚 a soma dos elementos da 𝟑ª coluna de 𝑴𝟏𝟐. Nesse caso, o valor</p><p>de 𝒙 − 𝒚 é:</p><p>a) 𝟓𝟎𝟒</p><p>b) 𝟗𝟐𝟕</p><p>c) 𝟕𝟕𝟖</p><p>d) 𝟏𝟒𝟑𝟏</p><p>e) 𝟏𝟕𝟎𝟓</p><p>64. (Escola Naval/2018)</p><p>Dadas as matrizes:</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐 −𝟏</p><p>𝟏 𝟎 𝟏</p><p>𝟏 −𝟏 𝟏</p><p>], 𝒙 = [𝟐 𝟏𝟑 𝟔𝟓] e 𝑩 = 𝒙𝑻 ⋅ 𝒙. Qual é o valor do determinante de 𝟐 ⋅ 𝑨−𝟏 ⋅ 𝑩𝟐?</p><p>a) 0</p><p>b) 4</p><p>c) 8</p><p>d) 3380</p><p>e)13520</p><p>65. (Escola Naval/2015)</p><p>Uma função 𝒚 = 𝒇(𝒙) é definida pelo determinante da matriz 𝑨 = [</p><p>𝒙𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒙 −𝟐</p><p>𝒙𝟑 𝒙 𝒙 𝟏 − 𝒙</p><p>𝟏 𝟎 𝟎 𝟎</p><p>𝒙 𝟏 𝟎 −𝟏</p><p>] em</p><p>cada 𝒙 ∈ ℝ tal que 𝑨 é invertível. É correto afirmar que o conjunto imagem de 𝒇 é igual a</p><p>a) (−∞, 𝟒]</p><p>b) ℝ − {𝟎, 𝟒}</p><p>c) (−∞, 𝟒] − {𝟎}</p><p>d) (−∞, 𝟒)</p><p>118</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>e) [𝟒, +∞)</p><p>66. (Escola Naval/2014)</p><p>Considere as matrizes 𝑹 = [</p><p>𝟒 (𝟏𝟔)𝒚 −𝟏</p><p>𝟗𝒙 𝒂 𝟎</p><p>]; 𝑺 = [ 𝟏 (𝟒)(𝟐𝒚−𝟏) 𝟐−𝟏</p><p>𝟑𝒙 𝒃 𝟏</p><p>] e 𝑻 =</p><p>[ 𝒃 (𝟐)(𝟐𝒚−𝟏) − 𝟏𝟎 𝒄</p><p>𝟐𝟕 𝟏𝟑 −𝟔</p><p>].</p><p>A soma dos quadrados das constantes reais 𝒙, 𝒚, 𝒂, 𝒃, 𝒄 que satisfazem à equação matricial 𝑹 − 𝟔𝑺 =</p><p>𝑻 é</p><p>a) 𝟐𝟑</p><p>b) 𝟐𝟔</p><p>c) 𝟐𝟗</p><p>d) 𝟑𝟐</p><p>e) 𝟒𝟎</p><p>67. (Escola Naval/2014)</p><p>Sejam 𝑨 a matriz quadrada de ordem 𝟐 definida por 𝑨 = [𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒙 −</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>) 𝐜𝐨𝐬 (𝒙 + 𝝅)</p><p>𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏</p><p>] e 𝒇 a</p><p>função real da variável real tal que 𝒇(𝒙) = |𝐝𝐞𝐭 (𝑨 + 𝑨𝑻)|, onde 𝑨𝑻 representa a matriz transposta</p><p>de 𝑨. O gráfico que melhor representa a função 𝒚 = 𝒇(𝒙) no intervalo −𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅 é</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>119</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d)</p><p>e)</p><p>68. (Escola Naval/2013)</p><p>Sejam 𝑨 = (</p><p>𝟏 𝟏 𝟐</p><p>𝟒 −𝟑 𝟎</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟓 𝟎 −𝟑</p><p>𝟏 −𝟐 𝟔</p><p>) e 𝑩𝒕 a transposta de 𝑩. O produto da matriz 𝑨 pela</p><p>matriz 𝑩𝒕 é</p><p>a) (</p><p>𝟗 𝟐 𝟏𝟎</p><p>−𝟖 𝟔 𝟎</p><p>𝟐𝟏 −𝟐𝟏 −𝟔</p><p>)</p><p>b) (</p><p>𝟓 𝟎 −𝟔</p><p>𝟒 𝟔 𝟎</p><p>)</p><p>c) (</p><p>𝟓 𝟒</p><p>𝟎 𝟔</p><p>−𝟔 𝟎</p><p>)</p><p>d) (</p><p>−𝟏 𝟏𝟏</p><p>𝟐𝟎 𝟏𝟎</p><p>)</p><p>e) (</p><p>−𝟏 𝟏𝟎</p><p>−𝟐 𝟏</p><p>)</p><p>69. (AFA/2019)</p><p>Considere as matrizes</p><p>𝑨 = [</p><p>𝒔𝒆𝒏 𝒙 −𝟏</p><p>−𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒙</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙</p><p>𝟏 −𝟑</p><p>]</p><p>120</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Se o determinante do produto matricial 𝑨𝑩 é um número real positivo ou nulo, então os valores de</p><p>x, no ciclo trigonométrico, que satisfazem essa condição estão representados em:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>70. (AFA/2018)</p><p>Sejam 𝒂 e 𝒃 números positivos tais que o determinante da matriz [</p><p>𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏</p><p>𝟐 𝒂 𝟎 𝟏</p><p>𝟏 −𝟏 𝒃 𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟏</p><p>] vale 24.</p><p>Dessa forma o determinante da matriz [</p><p>√𝒃 √𝟐</p><p>√𝟑 √𝒂</p><p>] é igual a</p><p>121</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) 𝟎</p><p>b) 𝟔</p><p>c) −𝟔</p><p>d) √𝟔</p><p>71. (AFA/2017)</p><p>Seja a matriz 𝑨 = (</p><p>𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙</p><p>𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝟎</p><p>𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟐 𝟏</p><p>).</p><p>Considere a função 𝒇:ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝐝𝐞𝐭𝑨.</p><p>Sobre a função 𝒈:ℝ → ℝ definida por 𝒈(𝒙) = 𝟏 −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>⋅ |𝒇(𝒙)|, em que |𝒇(𝒙)| é o módulo de 𝒇(𝒙), é</p><p>correto afirmar que</p><p>a) possui período 𝝅.</p><p>b) seu conjunto imagem é [−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>, 𝟎].</p><p>c) é par.</p><p>d) é crescente no intervalo [−</p><p>𝝅</p><p>𝟒</p><p>,</p><p>𝝅</p><p>𝟒</p><p>].</p><p>72. (AFA/2017)</p><p>Considere 𝑨, 𝑩, 𝑪 e 𝑿 matrizes quadradas de ordem 𝒏 e inversíveis. Assinale a alternativa FALSA.</p><p>a) (𝑨−𝟏)−𝟏 = 𝑨</p><p>b) (𝑨𝑩𝑪)−𝟏 = 𝑪−𝟏𝑩−𝟏𝑨−𝟏</p><p>c) 𝑨 𝑿 𝑪 = 𝑩 𝑿 = 𝑨−𝟏𝑪−𝟏𝑩</p><p>d) 𝐝𝐞𝐭(𝟐 𝑨 𝑩−𝟏) = 𝟐𝒏</p><p>𝒅𝒆𝒕𝑨</p><p>𝒅𝒆𝒕𝑩</p><p>73. (AFA/2016)</p><p>Seja 𝑨 a matriz [</p><p>𝟎</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟐 𝟎</p><p>]</p><p>Sabe-se que 𝑨𝒏 = 𝑨 ⋅ 𝑨 ⋅ 𝑨 ⋅ … ⋅ 𝑨⏟</p><p>𝒏 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔</p><p>Então, o determinante da matriz 𝑺 = 𝑨 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑 +⋯+𝑨𝟏𝟏 é igual a</p><p>a) 𝟏</p><p>b) −𝟑𝟏</p><p>122</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c) −𝟖𝟕𝟓</p><p>d) −𝟏𝟏</p><p>74. (AFA/2015)</p><p>Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M:</p><p>𝑴𝒕 é a matriz transposta de 𝑴</p><p>𝑴−𝟏 é a matriz inversa de 𝑴</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑴 é o determinante da matriz 𝑴</p><p>Da equação (𝑿𝒕)−𝟏 = 𝑨 ⋅ (𝑩 + 𝑪), em que 𝑨 e (𝑩 + 𝑪) são matrizes quadradas de ordem 𝒏 e</p><p>inversíveis, afirma-se que</p><p>I. 𝑿 = (𝑨−𝟏)𝒕 ⋅ [(𝑩 + 𝑪)−𝟏]</p><p>II. 𝐝𝐞𝐭𝑿 =</p><p>𝟏</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑨⋅𝐝𝐞𝐭(𝑩+𝑪)</p><p>III. 𝑿−𝟏 = (𝑩𝒕 + 𝑪𝒕) ⋅ 𝑨𝒕</p><p>São corretas</p><p>a) apenas I e II</p><p>b) apenas II e III</p><p>c) apenas I e III</p><p>d) I, II, III</p><p>75. (AFA/2015)</p><p>Considere as funções reais 𝒇 e 𝒈 definidas por 𝒇(𝒙) =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>⋅ 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)</p><p>𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>] , 𝒈(𝒙) =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝒇(𝒙) e marque a alternativa INCORRETA.</p><p>a) o conjunto imagem da função 𝒇 é o intervalo [𝟎, 𝟏]</p><p>b) A função 𝒈 é ímpar.</p><p>c) A função real 𝒉 definida por 𝒉(𝒙) = −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>+ 𝒈(𝒙) possui duas raízes no intervalo [𝟎,</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>d) O período da função real 𝒋 definida por 𝒋(𝒙) = |−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>+ 𝒈(𝒙)| é</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>76. (AFA/2013)</p><p>Considere as matrizes 𝑨 e 𝑩, inversíveis e de ordem 𝒏, bem como a matriz identidade 𝑰.</p><p>Sabendo que 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝟓 e 𝐝𝐞𝐭(𝑰 ⋅ 𝑩−𝟏 ⋅ 𝑨) =</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>, então o 𝐝𝐞𝐭[𝟑 ⋅ (𝑩−𝟏 ⋅ 𝑨−𝟏)𝒕]</p><p>123</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) 𝟓 ⋅ 𝟑𝒏</p><p>b)</p><p>𝟑𝒏−𝟏</p><p>𝟓𝟐</p><p>c)</p><p>𝟑𝒏</p><p>𝟏𝟓</p><p>d) 𝟑𝒏−𝟏</p><p>77. (AFA/2012)</p><p>Uma montadora de automóveis prepara três modelos de carros, a saber:</p><p>Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada termo 𝒂𝒊𝒋 representa a distância percorrida,</p><p>em 𝒌𝒎, pelo modelo 𝒊, com um litro de combustível, à velocidade 𝟏𝟎𝒋 𝒌𝒎/𝒉.</p><p>[</p><p>𝟔 𝟕, 𝟔 𝟕, 𝟐 𝟖, 𝟗 𝟖, 𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟏, 𝟖</p><p>𝟓 𝟕, 𝟓 𝟕 𝟖, 𝟓 𝟖 𝟏𝟎, 𝟓 𝟗, 𝟓 𝟏𝟏, 𝟓 𝟏𝟏</p><p>𝟑 𝟐, 𝟕 𝟓, 𝟗 𝟓, 𝟓 𝟖, 𝟏 𝟕, 𝟒 𝟗, 𝟖 𝟗, 𝟒 𝟏𝟑, 𝟏</p><p>]</p><p>Com base nisso, é correto dizer que</p><p>a) para motoristas que somente trafegam a 𝟑𝟎 𝒌𝒎/𝒉, o carro 1.4 é o mais econômico.</p><p>b) se durante um mesmo período de tempo um carro 1.4 e um 1.8 trafegam a 𝟓𝟎 𝒌𝒎/𝒉, o 1.4 será</p><p>o mais econômico.</p><p>c) para motoristas que somente trafegam à velocidade de 𝟕𝟎 𝒌𝒎/𝒉, o carro 1.8 é o de maior</p><p>consumo.</p><p>d) para motoristas que somente trafegam a 𝟖𝟎 𝒌𝒎/𝒉, o carro 1.0 é o mais econômico.</p><p>78. (AFA/2011)</p><p>Sendo [</p><p>𝟐 𝟑 𝟒 𝒂</p><p>𝟎 𝟎 𝟐 𝟎</p><p>𝟑 −𝟏 𝟏 𝒃</p><p>−𝟏 𝟎 𝟐 𝒄</p><p>] = 𝟕𝟎, o valor de [</p><p>𝟒 𝟑 𝟐 𝒂</p><p>𝟐 𝟎 𝟎 𝟎</p><p>𝟏 −𝟏 𝟑 𝒃</p><p>𝟕 −𝟏 𝟎 𝒃 + 𝟑𝒄</p><p>] é:</p><p>a) 280</p><p>b) 0</p><p>c) −𝟕𝟎</p><p>d) −𝟐𝟏𝟎</p><p>124</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>GABARITO</p><p>51. c</p><p>52. c</p><p>53. e</p><p>54. e</p><p>55. a</p><p>56. a</p><p>57. b</p><p>58. d</p><p>59. d</p><p>60. a</p><p>61. d</p><p>62. b</p><p>63. c</p><p>64. a</p><p>65. c</p><p>66. b</p><p>67. d</p><p>68. d</p><p>69. b</p><p>70. d</p><p>71. c</p><p>72. c</p><p>73. d</p><p>74. b</p><p>75. c</p><p>76. b</p><p>77. d</p><p>78. d</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>51. (EFOMM/2021)</p><p>Considere uma equação definida por:</p><p>𝐝𝐞𝐭 |</p><p>𝒍𝒐𝒈𝒙 𝒍𝒐𝒈𝒙𝟒 𝒍𝒐𝒈𝒙𝟏𝟔</p><p>𝟒𝒙 𝟏𝟔𝒙 𝟔𝟒𝒙</p><p>𝟎 𝟎 𝟐</p><p>| = 𝟎 , ∀𝒙 > 𝟎</p><p>Sabendo-se que a solução da equação acima é o número de elementos de um conjunto A, é correto</p><p>afirmar que o número de subconjuntos que se pode formar com esse conjunto é igual a</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>125</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) 3</p><p>e) 4</p><p>Comentários</p><p>Calculando o valor do determinante, encontramos:</p><p>2 ⋅ 16𝑥 ⋅ log 𝑥 − 2 ⋅ 4𝑥 ⋅ log 𝑥4 = 0</p><p>16𝑥 ⋅ log 𝑥 − 4𝑥 ⋅ (4 log 𝑥) = 0</p><p>log 𝑥 (42𝑥 − 4𝑥+1) = 0</p><p>Podemos ter:</p><p>log 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 100 = 1</p><p>42𝑥 = 4𝑥+1 ⇒ 2𝑥 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 = 1</p><p>O conjunto A tem apenas 1 elemento, logo o número de subconjuntos é 21 = 2.</p><p>Gabarito: C</p><p>52. (EFOMM/2021)</p><p>Dadas as matrizes reais 2x2 do tipo 𝑨(𝒙) = (</p><p>𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙</p><p>𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙</p><p>),pode-se afirmar que:</p><p>I. 𝑨(𝒙) é inversível</p><p>II. ∃ 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] tal que𝑨(𝒙). 𝑨(𝒙) = 𝑨(𝒙)</p><p>III. 𝑨(𝒙) nunca será antissimétrica.</p><p>Assinale a opção correta.</p><p>a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.</p><p>b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.</p><p>c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.</p><p>d) Apenas a afirmativa I é verdadeira.</p><p>e) Apenas a afirmativa II é verdadeira.</p><p>Comentários</p><p>I. Falsa.</p><p>Vamos calcular o determinante da matriz A:</p><p>det 𝐴(𝑥) = |</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥</p><p>| = cos2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = cos(2𝑥)</p><p>Se 𝑥 = 𝜋/4, temos que cos(2𝑥) = cos (</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) = 0. Logo, para esse valor 𝐴(𝑥) não é</p><p>inversível.</p><p>II. Verdadeira.</p><p>Vamos calcular o produto:</p><p>126</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>(</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥</p><p>) (</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥</p><p>) = (cos</p><p>2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥</p><p>2𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 cos2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥</p><p>) = (</p><p>1 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)</p><p>𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 1</p><p>)</p><p>Queremos saber se ∃𝑥 tal que:</p><p>(</p><p>1 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)</p><p>𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 1</p><p>) = (</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥</p><p>)</p><p>{</p><p>cos 𝑥 = 1</p><p>𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>Se 𝑥 = 0, temos cos 0 = 1 e 𝑠𝑒𝑛(2 ⋅ 0) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0.</p><p>III. Verdadeira.</p><p>Para termos uma matriz antissimétrica, devemos ter 𝐴𝑡 = −𝐴. Uma consequência disso é</p><p>que a diagonal principal deve ser nula:</p><p>𝐴(𝑥) = (</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥</p><p>)</p><p>Para anular essa diagonal, cos 𝑥 = 0 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±1.</p><p>𝐴(𝑥) = (</p><p>0 ±1</p><p>±1 0</p><p>)</p><p>Porém, note que 𝐴𝑡 ≠ −𝐴.</p><p>Gabarito: C</p><p>53. (EFOMM/2020)</p><p>Seja a matriz 𝑨</p><p>|</p><p>|</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓</p><p>𝟏 𝟒 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓</p><p>𝟏 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟐𝟓</p><p>𝟏 𝟏𝟔 𝟖𝟏 𝟐𝟓𝟔 𝟔𝟐𝟓</p><p>|</p><p>|</p><p>Qual é o valor do determinante da matriz 𝑨?</p><p>a) 96</p><p>b) 98</p><p>c) 100</p><p>d) 144</p><p>e) 288</p><p>Comentários</p><p>A matriz do enunciado é um caso de matriz de Vandermonde, portanto, o determinante é</p><p>calculado a partir da relação:</p><p>𝐷𝑒𝑡 = ∏ (𝑎𝑗 − 𝑎𝑖)</p><p>1≤𝑖</p><p>0 0 0</p><p>0 2 0 0</p><p>0 0 7 0</p><p>0 0 0 5</p><p>]</p><p>𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)4𝑥4</p><p>1.3.7. MATRIZ IDENTIDADE (MATRIZ UNIDADE)</p><p>Essa matriz é importantíssima em nosso estudo e o motivo disso nós veremos ainda nesta</p><p>aula.</p><p>A matriz identidade tem as seguintes características, obrigatoriamente:</p><p>✓ é quadrada;</p><p>✓ é diagonal;</p><p>✓ tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.</p><p>9</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐼3 = [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>Note que o símbolo da matriz identidade, ou matriz unidade, é 𝐼 e o índice que o</p><p>acompanha é a ordem da matriz. No caso do exemplo, 𝐼3 significa matriz identidade de ordem 3.</p><p>1.3.8. MATRIZ TRIANGULAR</p><p>Uma matriz 𝐴 é considerada triangular se todos os elementos acima ou abaixo de sua</p><p>diagonal principal são nulos.</p><p>Se os elementos não nulos estiverem acima da diagonal principal, a matriz 𝐴 é dita matriz</p><p>triangular superior.</p><p>Se os elementos não nulos estiverem abaixo da diagonal principal, a matriz 𝐴 é dita matriz</p><p>triangular inferior.</p><p>𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 → [</p><p>1 5 2 4</p><p>0 2 2 1</p><p>0 0 4 9</p><p>0 0 0 −4</p><p>]</p><p>𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 → [</p><p>1 0 0 0</p><p>7 2 0 0</p><p>5 8 4 0</p><p>1 9 8 −4</p><p>]</p><p>1.3.9. MATRIZ OPOSTA</p><p>A oposta da matriz 𝐴 é a matriz −𝐴.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 −1</p><p>3 0</p><p>]</p><p>𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝐴 = −𝐴 = − [</p><p>1 −1</p><p>3 0</p><p>]</p><p>−𝐴 = [</p><p>−1 −(−1)</p><p>−3 −0</p><p>]</p><p>−𝐴 = [</p><p>−1 1</p><p>−3 0</p><p>]</p><p>1.4. IGUALDADE ENTRE MATRIZES</p><p>Duas matrizes são consideradas iguais se têm o mesmo tipo; além disso, seus elementos</p><p>são idênticos e estão nas mesmas posições.</p><p>[</p><p>1 2 5</p><p>7 5 1</p><p>4 9 −8</p><p>] = [</p><p>1 2 5</p><p>7 5 1</p><p>4 9 −8</p><p>]</p><p>10</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Mesma ordem, mesmos elementos e mesmas posições de elementos. Matrizes iguais.</p><p>[</p><p>𝑎 𝑥</p><p>2 5</p><p>] ≠ [</p><p>𝑎 𝑥</p><p>5 2</p><p>]</p><p>Mesma ordem, mesmos elementos, mas em posições diferentes. Matrizes diferentes.</p><p>[</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>] ≠ [1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Ordens diferentes. Mesmo duas matrizes identidade, são matrizes diferentes. 𝐼3 ≠ 𝐼2.</p><p>[</p><p>1 𝑥</p><p>4 3</p><p>] ? [1 9</p><p>4 3</p><p>]</p><p>Mesma ordem, mesmas posições. Caso 𝑥 = 9, as matrizes serão iguais. Caso 𝑥 ≠ 9, as</p><p>matrizes serão diferentes.</p><p>1. Escreva a tabela definida por:</p><p>a) 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3 = 𝑖 + 3𝑗</p><p>b) 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥2 = {</p><p>𝑖 + 𝑗; 𝑖 = 𝑗</p><p>0; 𝑖 ≠ 𝑗</p><p>Resolução:</p><p>a) 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3 = 𝑖 + 3𝑗</p><p>Analisando a matriz, podemos ver que ela possui 2 linhas e 3 colunas (da informação</p><p>2𝑥3). Assim, 𝑖 ∈ {1,2} e 𝑗 ∈ {1,2,3}. Vamos encontrar cada elemento da matriz:</p><p>𝑖 = 1, 𝑗 = 1 ⇒ 𝑎11 = 1 + 3 ⋅ 1 = 4</p><p>𝑖 = 2, 𝑗 = 1 ⇒ 𝑎21 = 2 + 3 ⋅ 1 = 5</p><p>𝑖 = 1, 𝑗 = 2 ⇒ 𝑎12 = 1 + 3 ⋅ 2 = 7</p><p>𝑖 = 2, 𝑗 = 2 ⇒ 𝑎22 = 2 + 3 ⋅ 2 = 8</p><p>𝑖 = 1, 𝑗 = 3 ⇒ 𝑎13 = 1 + 3 ⋅ 3 = 10</p><p>𝑖 = 2, 𝑗 = 3 ⇒ 𝑎23 = 2 + 3 ⋅ 3 = 11</p><p>Portanto, a matriz 𝐴 é dada por:</p><p>𝐴 = [</p><p>4 7 10</p><p>5 8 11</p><p>]</p><p>b) 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥2 =</p><p>{</p><p>𝑖 + 𝑗; 𝑖 = 𝑗</p><p>0; 𝑖 ≠ 𝑗</p><p>A matriz 𝐴 possui a seguinte forma:</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎11 𝑎12</p><p>𝑎21 𝑎22</p><p>𝑎31 𝑎32</p><p>]</p><p>Se o índice 𝑖 ≠ 𝑗, o elemento da matriz é zero e se 𝑖 = 𝑗, ele será a soma desses índices,</p><p>logo:</p><p>11</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴 = [</p><p>2 0</p><p>0 4</p><p>0 0</p><p>]</p><p>Gabarito: a) 𝑨 = [</p><p>𝟒 𝟕 𝟏𝟎</p><p>𝟓 𝟖 𝟏𝟏</p><p>] b) 𝑨 = [</p><p>𝟐 𝟎</p><p>𝟎 𝟒</p><p>𝟎 𝟎</p><p>]</p><p>2. Determine 𝑥 e 𝑦 para as igualdades abaixo:</p><p>a) (</p><p>2𝑥 2</p><p>3 5𝑦</p><p>) = (4 2</p><p>3 15</p><p>)</p><p>b) [</p><p>𝑥2 1</p><p>2𝑦 2</p><p>𝑥 3</p><p>] = [</p><p>𝑥 1</p><p>10 2</p><p>2𝑥 3</p><p>]</p><p>Resolução:</p><p>a) (</p><p>2𝑥 2</p><p>3 5𝑦</p><p>) = (4 2</p><p>3 15</p><p>)</p><p>Na igualdade de matrizes, devemos igualar cada elemento cujos índices são iguais.</p><p>Então:</p><p>{</p><p>2𝑥 = 4</p><p>5𝑦 = 15</p><p>⇒ 𝑥 = 2 e 𝑦 = 3</p><p>b) [</p><p>𝑥2 1</p><p>2𝑦 2</p><p>𝑥 3</p><p>] = [</p><p>𝑥 1</p><p>10 2</p><p>2𝑥 3</p><p>]</p><p>Igualando os elementos, obtemos:</p><p>{</p><p>𝑥2 = 𝑥 ⇒ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 1</p><p>2𝑦 = 10 ⇒ 𝑦 = 5</p><p>𝑥 = 3𝑥 ⇒ 𝑥 = 0</p><p>⇒ 𝑥 = 0 ou 𝑦 = 5</p><p>Gabarito: a) 𝒙 = 𝟐 𝐞 𝒚 = 𝟑 b) 𝒙 = 𝟎 𝐨𝐮 𝒚 = 𝟓</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>É comum, ao iniciarmos o estudo de um conjunto diferente, entendermos como funcionam</p><p>as operações fundamentais dentro desse universo.</p><p>Veremos, nos próximos passos, como aplicar as operações básicas das matrizes.</p><p>1.5.1. ADIÇÃO</p><p>Antes de sabermos como, precisamos saber quando.</p><p>Só podemos somar duas matrizes se elas tiverem a mesma dimensão. Atenção, não é</p><p>necessário que elas sejam quadradas, só de mesma dimensão.</p><p>Assim, seria impossível somarmos uma matriz 𝐴2𝑥3 com uma matriz 𝐵3𝑥5.</p><p>Quando duas matrizes 𝐴 e 𝐵 são de mesma dimensão, podemos efetuar a soma, que é</p><p>definida somando os elementos de 𝐴 e de 𝐵 de mesma posição. Acompanhe.</p><p>12</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴 = [</p><p>−1 4</p><p>8 6</p><p>7 5</p><p>]</p><p>𝐵 = [</p><p>1 2</p><p>−3 6</p><p>5 −9</p><p>]</p><p>Como as matrizes 𝐴 e 𝐵 são de mesma dimensão, 3𝑥2, podemos efetuar a soma.</p><p>𝐴 + 𝐵 = [</p><p>−1 4</p><p>8 6</p><p>7 5</p><p>] + [</p><p>1 2</p><p>−3 6</p><p>5 −9</p><p>] = [</p><p>−1 + 1 4 + 2</p><p>8 + (−3) 6 + 6</p><p>7 + 5 5 + (−9)</p><p>] = [</p><p>0 6</p><p>5 12</p><p>12 −4</p><p>]</p><p>1.5.2. SUBTRAÇÃO</p><p>A subtração é feita de maneira similar à soma. As matrizes devem ser de mesma dimensão</p><p>e a subtração é feita elemento a elemento das matrizes. Veja.</p><p>Dadas as mesmas matrizes que utilizamos no exemplo da soma.</p><p>𝐴 = [</p><p>−1 4</p><p>8 6</p><p>7 5</p><p>]</p><p>𝐵 = [</p><p>1 2</p><p>−3 6</p><p>5 −9</p><p>]</p><p>Façamos a matriz 𝐴 − 𝐵.</p><p>𝐴 − 𝐵 = [</p><p>−1 4</p><p>8 6</p><p>7 5</p><p>] − [</p><p>1 2</p><p>−3 6</p><p>5 −9</p><p>] = [</p><p>−1 − 1 4 − 2</p><p>8 − (−3) 6 − 6</p><p>7 − 5 5 − (−9)</p><p>] = [</p><p>−1 − 1 4 − 2</p><p>8 + 3 6 − 6</p><p>7 − 5 5 + 9</p><p>] = [</p><p>−2 2</p><p>11 0</p><p>2 14</p><p>]</p><p>1.5.3. MULTIPLICAÇÃO</p><p>A multiplicação entre matrizes é um ponto chave nesta aula. Muito do que veremos</p><p>adiante depende do produto matricial.</p><p>Podemos multiplicar uma matriz por um escalar (um número real) ou por outra matriz.</p><p>Multiplicação de um escalar por uma matriz ou vice-versa</p><p>A multiplicação de uma matriz por um escalar é relativamente simples, basta</p><p>multiplicarmos todos os elementos da matriz pelo escalar.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 5 8 3</p><p>−4 6 23 4</p><p>−1 0 9 8</p><p>]</p><p>13</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Desse modo, fazemos a distributiva do número escalar 3 para todos os elementos da matriz</p><p>𝐴.</p><p>3 ∙ 𝐴 = [</p><p>3 ∙ 1 3 ∙ 5 3 ∙ 8 3 ∙ 3</p><p>3 ∙ (−4) 3 ∙ 6 3 ∙ 23 3 ∙ 4</p><p>3 ∙ (−1) 3 ∙ 0 3 ∙ 9 3 ∙ 8</p><p>]</p><p>3 ∙ 𝐴 = [</p><p>3 15 24 9</p><p>−12 18 69 12</p><p>−3 0 27 24</p><p>]</p><p>Multiplicação entre duas matrizes</p><p>Para entender como se dá o produto entre duas matrizes, vamos partir de um exemplo</p><p>contextualizado e, a partir do entendimento deste, vamos generalizar o caso para as matrizes em</p><p>geral.</p><p>Suponha que, em uma confecção, sejam produzidos três tipos de peças: calças, camisas e</p><p>vestidos.</p><p>Essas peças utilizam, além de outros materiais, botões e zíperes.</p><p>As quantidades utilizadas em cada peça são listadas na tabela a seguir.</p><p>Item Calça Camisa Vestido</p><p>Botões 𝟏 𝟔 𝟑</p><p>Zíperes 𝟏 𝟎 𝟏</p><p>Nos meses de janeiro a abril do ano passado, a empresa confeccionou as seguintes</p><p>quantidades de peças.</p><p>Peça Janeiro Fevereiro Março Abril</p><p>Calça 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟓𝟎</p><p>Camisa 𝟑𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎</p><p>Vestido 𝟓𝟎 𝟕𝟎 𝟖𝟎 𝟔𝟎</p><p>O gerente de almoxarifado quer saber quantos botões foram gastos no mês de janeiro.</p><p>Como ele pode, com os dados das tabelas, chegar a esse valor corretamente?</p><p>Vamos destacá-los.</p><p>14</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Item Calça Camisa Vestido</p><p>Botões 𝟏 𝟔 𝟑</p><p>Zíperes 𝟏 𝟎 𝟏</p><p>Peça Janeiro Fevereiro Março Abril</p><p>Calça 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟓𝟎</p><p>Camisa 𝟑𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎</p><p>Vestido 𝟓𝟎 𝟕𝟎 𝟖𝟎 𝟔𝟎</p><p>Com os valores referentes à questão do gerente, para saber a quantidade total de botões</p><p>gastos no mês de janeiro daquele ano, fazemos:</p><p>𝐵𝑜𝑡õ𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑗𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 = 1 ∙ 100 + 6 ∙ 300 + 3 ∙ 50 = 100 + 1800 + 150 = 2.050</p><p>Vamos escrever esses dados na forma de matriz e explicitar os valores usados na operação.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 6 3</p><p>1 0 1</p><p>]</p><p>𝐵 = [</p><p>100 150 180 250</p><p>300 350 500 500</p><p>50 70 80 60</p><p>]</p><p>Caso quiséssemos descobrir o mesmo dado sobre o mês de março, poderíamos fazer.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 6 3</p><p>1 0 1</p><p>]</p><p>𝐵 = [</p><p>100 150 180 250</p><p>300 350 500 500</p><p>50 70 80 60</p><p>]</p><p>𝐵𝑜𝑡õ𝑒𝑠</p><p>a terceira, temos:</p><p>131</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det</p><p>(</p><p>𝑒 𝜋 √2 3</p><p>1</p><p>3 1</p><p>1 2 3 4 5</p><p>1 −3 4 −5 6</p><p>0 −1 3 5 12</p><p>3 1 2 0 4 )</p><p>= −1 ⋅ det</p><p>(</p><p>𝑒 𝜋 √2 3</p><p>1</p><p>3 1</p><p>1 −3 4 −5 6</p><p>1 2 3 4 5</p><p>0 −1 3 5 12</p><p>3 1 2 0 4 )</p><p>Portanto,</p><p>𝑥 = 2 ⋅ (−1) ⋅ det</p><p>(</p><p>𝑒 𝜋 √2 3</p><p>1</p><p>3 1</p><p>1 −3 4 −5 6</p><p>1 2 3 4 5</p><p>0 −1 3 5 12</p><p>3 1 2 0 4 )</p><p>= 2 ⋅ (−1) ⋅ 𝑎 = −2𝑎</p><p>𝑥 = −2𝑎</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>58. (EFOMM/2013)</p><p>Se 𝐝𝐞𝐭 |</p><p>𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙</p><p>𝒔𝒆𝒏 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒚| = −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>, então o valor de 𝟑𝒔𝒆𝒏 (𝒙 + 𝒚) + 𝒕𝒈(𝒙 + 𝒚) − 𝐬𝐞𝐜 (𝒙 + 𝒚), para</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>≤</p><p>𝒙 + 𝒚 ≤ 𝝅, é igual a:</p><p>a) 𝟎</p><p>b) 𝟏/𝟑</p><p>c) 𝟐</p><p>d) 𝟑</p><p>e) 𝟏/𝟐</p><p>Comentários</p><p>Vamos calcular a equação 𝑑𝑒𝑡 |</p><p>cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦| = −</p><p>1</p><p>3</p><p>:</p><p>𝑑𝑒𝑡 |</p><p>cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦| = cos 𝑥 cos 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦</p><p>Temos da trigonometria:</p><p>cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦</p><p>Logo:</p><p>𝑑𝑒𝑡 |</p><p>cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦| = cos(𝑥 + ����) = −</p><p>1</p><p>3</p><p>A partir da restrição</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝜋, temos que:</p><p>132</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>{</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) = √1 −</p><p>1</p><p>9</p><p>=</p><p>2√2</p><p>3</p><p>sec(𝑥 + 𝑦) = − 3</p><p>𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) =</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)</p><p>cos (𝑥 + 𝑦)</p><p>=</p><p>(</p><p>2√2</p><p>3</p><p>)</p><p>−</p><p>1</p><p>3</p><p>= −2√2</p><p>Assim, temos:</p><p>3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) + 𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) − sec(𝑥 + 𝑦) = 3(</p><p>2√2</p><p>3</p><p>) − 2√2 − (−3)</p><p>3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) + 𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) − sec(𝑥 + 𝑦) = 3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>59. (EFOMM/2010)</p><p>Sejam as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 −𝟐 𝟒</p><p>𝟎 𝟎 𝟏 𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟑</p><p>], 𝑩 = [</p><p>𝟏 −𝟐 −𝟑 𝟕</p><p>𝟎 𝟏 𝟏 −𝟑</p><p>𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟏</p><p>] e 𝑿 = 𝑨𝑩. O determinante da</p><p>matriz 𝟐 ⋅ 𝑿−𝟏 é igual a</p><p>a)</p><p>𝟏</p><p>𝟔</p><p>b)</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>c) 𝟏</p><p>d)</p><p>𝟖</p><p>𝟑</p><p>e) 𝟔</p><p>Comentários</p><p>De acordo com o enunciado, é necessário resolver o determinante de 2 ⋅ 𝑋−1, logo, temos:</p><p>det(2 ⋅ 𝑋−1) = 24 ⋅ det(𝑋−1) = 24 ⋅</p><p>1</p><p>det 𝑋</p><p>=</p><p>24</p><p>det 𝑋</p><p>⇒</p><p>24</p><p>det 𝑋</p><p>=</p><p>24</p><p>det 𝐴𝐵</p><p>=</p><p>24</p><p>det 𝐴 det 𝐵</p><p>Assim, obtemos a seguinte relação:</p><p>det(2 ⋅ 𝑋−1) =</p><p>24</p><p>det 𝐴 det 𝐵</p><p>Calculando os determinantes separadamente de A e B, que são matrizes triangulares,</p><p>temos:</p><p>{</p><p>det 𝐴 = 2 ⋅ 3 = 6</p><p>det 𝐵 = 1</p><p>133</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Portanto:</p><p>𝐷𝑒𝑡(2 ⋅ 𝑋−1) =</p><p>24</p><p>6 ⋅ 1</p><p>=</p><p>23</p><p>3</p><p>=</p><p>8</p><p>3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>60. (EFOMM/2006)</p><p>Se 𝑴 = [</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] e 𝑵 = [</p><p>𝟐 𝟎</p><p>𝟏 𝟏</p><p>] então 𝑴𝑵−𝑵𝑴 é</p><p>a) [</p><p>𝟐 −𝟐</p><p>𝟎 −𝟐</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟒 𝟐</p><p>𝟏 𝟏</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>Calculando 𝑀𝑁:</p><p>[</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>] ⋅ [</p><p>2 0</p><p>1 1</p><p>] = [</p><p>2 + 2 0 + 2</p><p>0 + 1 0 + 1</p><p>] = [</p><p>4 2</p><p>1 1</p><p>]</p><p>Calculando 𝑀𝑁:</p><p>[</p><p>2 0</p><p>1 1</p><p>] ⋅ [</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>] = [</p><p>2 + 0 4 + 0</p><p>1 + 0 1 + 2</p><p>] = [</p><p>2 4</p><p>1 3</p><p>]</p><p>Portanto:</p><p>𝑀𝑁 − 𝑁𝑀 = [</p><p>4 2</p><p>1 1</p><p>] − [</p><p>2 4</p><p>1 3</p><p>] = [</p><p>2 −2</p><p>0 −2</p><p>]</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>61. (EFOMM/2006)</p><p>Se as matrizes (</p><p>𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 (𝒔𝒆𝒏 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶)𝟐</p><p>𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 |𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶|</p><p>) e (</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒃</p><p>𝒂 𝒄</p><p>) são iguais, então os números 𝒂, 𝒃 e 𝒄</p><p>valem, respectivamente:</p><p>a)</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>e 𝟏</p><p>b)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>e 𝟎</p><p>c) 𝟏,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>e</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>d)</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>e 𝟏</p><p>e)</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒆</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>Comentários</p><p>De acordo com o enunciado, temos o seguinte sistema:</p><p>134</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>{</p><p>𝑠𝑒𝑛2𝛼 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑎</p><p>(𝑠𝑒𝑛 𝛼 + cos 𝛼)2 = 𝑏</p><p>|𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + cos2 𝛼| = 𝑐</p><p>Da relação fundamental, temos:</p><p>𝑠𝑒𝑛2 2𝛼 + cos2 2𝛼 = 1</p><p>Logo:</p><p>1</p><p>4</p><p>+ 𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎2 =</p><p>3</p><p>4</p><p>⟹ 𝑎 = ±</p><p>√3</p><p>2</p><p>Temos também da seguinte relação:</p><p>|𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + cos2 𝛼| = 𝑐</p><p>|1| = 𝑐</p><p>𝑐 = 1</p><p>Outra incógnita que pode ser obtida pela terceira equação do sistema:</p><p>(𝑠𝑒𝑛 𝛼 + cos 𝛼)2 = 𝑏</p><p>𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛼 + cos2 𝛼 = 𝑏</p><p>𝑠𝑒𝑛2𝛼 + cos2 𝛼 + 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛼 = 𝑏</p><p>⇒ 1 + 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛼 = 𝑏</p><p>Sabemos que 2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥, logo:</p><p>1 + 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛼 = 𝑏</p><p>⇒ 1 + 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 𝑏</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>= 𝑏</p><p>⇒ 𝑏 =</p><p>3</p><p>2</p><p>Portanto:</p><p>{</p><p>𝑎 = ±</p><p>√3</p><p>2</p><p>𝑏 =</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑐 = 1</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>62. (EFOMM/2005)</p><p>Dadas as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>−𝟏 −𝟏</p><p>𝟏 𝟏</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝟎 𝟏 𝟐</p><p>𝟑 𝟒 𝟓</p><p>] e considerando 𝒏 = 𝐝𝐞𝐭(𝑨𝑩), determine 𝟕𝒏.</p><p>a) 𝟎</p><p>b) 𝟏</p><p>135</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c) 𝟐</p><p>d) 𝟑</p><p>e) 𝟒</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, calculemos a matriz 𝐴𝐵:</p><p>𝐴𝐵 = [</p><p>1 0</p><p>−1 −1</p><p>1 1</p><p>] ⋅ [</p><p>0 1 2</p><p>3 4 5</p><p>] = [</p><p>0 + 0 1 + 0 2 + 0</p><p>0 − 3 −1 − 4 −2 − 5</p><p>0 + 3 1 + 4 2 + 5</p><p>] = [</p><p>0 1 2</p><p>−3 −5 −7</p><p>3 5 7</p><p>]</p><p>𝐴𝐵 = [</p><p>0 1 2</p><p>−3 −5 −7</p><p>3 5 7</p><p>]</p><p>Pelo enunciado, temos que 𝑛 = 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝐵).</p><p>Calculando o determinante de AB, obtemos 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 0, por outro lado, observe que na</p><p>matriz AB temos −𝐿2 = 𝐿3, ou seja, a segunda linha é múltipla da terceira. Assim:</p><p>𝑛 = 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 0</p><p>O enunciado pede como resposta:</p><p>7𝑛 = 70 = 1</p><p>Notas: Ao analisar as alternativas da questão e também que os números envolvidos são</p><p>somente do conjunto dos inteiros, a única alternativa que é cabível como resposta é 1, pois</p><p>nenhuma das outras alternativas é composta de potencias de 7.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>63. (Escola Naval/2019)</p><p>Seja a matriz 𝑴 = [</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>] onde 𝑴𝒏 = 𝑴 𝒙 𝑴 𝒙 𝑴…𝒙 𝑴, com 𝒏 fatores, 𝒙 a soma dos</p><p>elementos da 1ª coluna de 𝑴𝟏𝟐 e 𝒚 a soma dos elementos da 𝟑ª coluna de 𝑴𝟏𝟐. Nesse caso, o valor</p><p>de 𝒙 − 𝒚 é:</p><p>a) 𝟓𝟎𝟒</p><p>b) 𝟗𝟐𝟕</p><p>c) 𝟕𝟕𝟖</p><p>d) 𝟏𝟒𝟑𝟏</p><p>e) 𝟏𝟕𝟎𝟓</p><p>Comentários</p><p>De acordo com o enunciado, temos uma matriz 𝑀𝑛. Vamos supor que 𝑀12 seja da forma</p><p>a seguir:</p><p>136</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑀12 = [</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑎13</p><p>𝑎21 𝑎22 𝑎23</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑎33</p><p>]</p><p>Multiplicando a matriz por 𝑋 = [</p><p>1</p><p>0</p><p>−1</p><p>], obtemos:</p><p>𝑀12 × 𝑋 = [</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑎13</p><p>𝑎21 𝑎22 𝑎23</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑎33</p><p>] × [</p><p>1</p><p>0</p><p>−1</p><p>] = [</p><p>𝑎11 − 𝑎13</p><p>𝑎21 − 𝑎23</p><p>𝑎31 − 𝑎33</p><p>]</p><p>Assim, resolvendo a matriz 𝑀12 × 𝑋:</p><p>[</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>]</p><p>12</p><p>× [</p><p>1</p><p>0</p><p>−1</p><p>] = ([</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>]</p><p>2</p><p>)</p><p>6</p><p>× [</p><p>1</p><p>0</p><p>−1</p><p>] = [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>6</p><p>× [</p><p>1</p><p>0</p><p>−1</p><p>]</p><p>Resolvendo sequencialmente a partir da matriz 𝑋3𝑥1:</p><p>[</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>5</p><p>× [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>] × [</p><p>1</p><p>0</p><p>−1</p><p>] = [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>5</p><p>× [</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>]</p><p>[</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>4</p><p>× [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>] × [</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>] = [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>4</p><p>× [</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>]</p><p>[</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>3</p><p>× [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>] × [</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>] = [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>3</p><p>× [</p><p>11</p><p>6</p><p>3</p><p>]</p><p>[</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>2</p><p>× [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>] × [</p><p>11</p><p>6</p><p>3</p><p>] = [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>2</p><p>× [</p><p>37</p><p>20</p><p>11</p><p>]</p><p>[</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>]</p><p>1</p><p>× [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>] × [</p><p>37</p><p>20</p><p>11</p><p>] = [</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>] × [</p><p>125</p><p>68</p><p>37</p><p>]</p><p>[</p><p>2 2 1</p><p>1 1 1</p><p>1 0 0</p><p>] × [</p><p>125</p><p>68</p><p>37</p><p>] = [</p><p>423</p><p>230</p><p>125</p><p>]</p><p>Portanto, temos que a matriz resultante da multiplicação 𝑀12 × 𝑋 é [</p><p>423</p><p>230</p><p>125</p><p>], somando</p><p>todos os termos da matriz coluna, obtemos 𝑥 − 𝑦 = 778.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>64. (Escola Naval/2018)</p><p>Dadas as matrizes:</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐 −𝟏</p><p>𝟏 𝟎 𝟏</p><p>𝟏 −𝟏 𝟏</p><p>], 𝒙 = [𝟐 𝟏𝟑 𝟔𝟓] e 𝑩 = 𝒙𝑻 ⋅ 𝒙. Qual é o valor do determinante de 𝟐 ⋅ 𝑨−𝟏 ⋅ 𝑩𝟐?</p><p>a) 0</p><p>137</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>b) 4</p><p>c) 8</p><p>d) 3380</p><p>e)13520</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, vamos calcular a matriz 𝐵 = 𝑥𝑇 ⋅ 𝑥:</p><p>𝐵 = 𝑥𝑇 ⋅ 𝑥 = [</p><p>2</p><p>13</p><p>65</p><p>] [2 13 65] = [</p><p>22 2 ⋅ 13 2 ⋅ 65</p><p>13 ⋅ 2 132 13 ⋅ 65</p><p>65 ⋅ 2 65 ⋅ 13 652</p><p>]</p><p>Assim, temos:</p><p>det 𝐵 = |</p><p>22 2 ⋅ 13 2 ⋅ 65</p><p>13 ⋅ 2 132 13 ⋅ 65</p><p>65 ⋅ 2 65 ⋅ 13 652</p><p>| = 2 ⋅ 13 ⋅ 65 ⋅ |</p><p>2 13 65</p><p>2 13 65</p><p>2 13 65</p><p>|</p><p>Como as colunas são iguais, temos:</p><p>|</p><p>2 13 65</p><p>2 13 65</p><p>2 13 65</p><p>| = 0</p><p>Portanto:</p><p>det 𝐵 = 0</p><p>Calculando o valor de 𝐷𝑒𝑡(2 ⋅ 𝐴−1 ⋅ 𝐵2):</p><p>det(2 ⋅ 𝐴−1 ⋅ 𝐵2) = 𝐷𝑒𝑡(2 ⋅ 𝐴−1) ⋅ 𝐷𝑒𝑡(𝐵)2 = 𝐷𝑒𝑡(2 ⋅ 𝐴−1) ⋅ (0) = 0</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>65. (Escola Naval/2015)</p><p>Uma função 𝒚 = 𝒇(𝒙) é definida pelo determinante da matriz 𝑨 = [</p><p>𝒙𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒙 −𝟐</p><p>𝒙𝟑 𝒙 𝒙 𝟏 − 𝒙</p><p>𝟏 𝟎 𝟎 𝟎</p><p>𝒙 𝟏 𝟎 −𝟏</p><p>] em</p><p>cada 𝒙 ∈ ℝ</p><p>tal que 𝑨 é invertível. É correto afirmar que o conjunto imagem de 𝒇 é igual a</p><p>a) (−∞, 𝟒]</p><p>b) ℝ − {𝟎, 𝟒}</p><p>c) (−∞, 𝟒] − {𝟎}</p><p>d) (−∞, 𝟒)</p><p>e) [𝟒, +∞)</p><p>Comentários</p><p>O enunciado pede para determinarmos todos os valores para os quais a matriz 𝐴 é</p><p>invertível.</p><p>138</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Para isso, devemos calcular o determinante de 𝐴.</p><p>Aplicando o Teorema de Laplace na linha 3, obtemos:</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐴) = |</p><p>𝑥2 𝑥 − 1 𝑥 −2</p><p>𝑥3 𝑥 𝑥 1 − 𝑥</p><p>1 0 0 0</p><p>𝑥 1 0 −1</p><p>| = (−1)3+1 |</p><p>𝑥 − 1 𝑥 −2</p><p>𝑥 𝑥 1 − 𝑥</p><p>1 0 −1</p><p>|</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐴) = |</p><p>𝑥 − 1 𝑥 −2</p><p>𝑥 𝑥 1 − 𝑥</p><p>1 0 −1</p><p>| = −𝑥2 + 4𝑥</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐴) = −𝑥2 + 4𝑥</p><p>Veja que 𝐴 é invertível para todo valor de 𝑥 tal que 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0. Portanto, para os valores</p><p>de 𝑥 = 4 𝑒 𝑥 = 0, não há inversa de A.</p><p>O conjunto imagem de 𝑓 será:</p><p>𝑦𝑣 = −</p><p>Δ</p><p>4𝑎</p><p>= −</p><p>42</p><p>4(−1)</p><p>= 4</p><p>Basta eliminar o zero da imagem:</p><p>𝐼𝑚(𝑓) = (−∞, 4] − {0}</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>66. (Escola Naval/2014)</p><p>Considere as matrizes 𝑹 = [</p><p>𝟒 (𝟏𝟔)𝒚 −𝟏</p><p>𝟗𝒙 𝒂 𝟎</p><p>]; 𝑺 = [ 𝟏 (𝟒)(𝟐𝒚−𝟏) 𝟐−𝟏</p><p>𝟑𝒙 𝒃 𝟏</p><p>] e 𝑻 =</p><p>[ 𝒃 (𝟐)(𝟐𝒚−𝟏) − 𝟏𝟎 𝒄</p><p>𝟐𝟕 𝟏𝟑 −𝟔</p><p>].</p><p>A soma dos quadrados das constantes reais 𝒙, 𝒚, 𝒂, 𝒃, 𝒄 que satisfazem à equação matricial 𝑹 − 𝟔𝑺 =</p><p>𝑻 é</p><p>a) 𝟐𝟑</p><p>b) 𝟐𝟔</p><p>c) 𝟐𝟗</p><p>d) 𝟑𝟐</p><p>e) 𝟒𝟎</p><p>Comentários</p><p>De acordo com o enunciado, temos:</p><p>𝑅 − 6𝑆 = [</p><p>4 (16)𝑦 −1</p><p>9𝑥 𝑎 0</p><p>] − 6 [ 1</p><p>(4)(2𝑦−1) 2−1</p><p>3𝑥 𝑏 1</p><p>]</p><p>𝑅 − 6𝑆 = [ 4 − 6 ⋅ 1 24𝑦 − 6 ⋅ 24𝑦−2 −1 − 6 ⋅ 2−1</p><p>32𝑥 − 6 ⋅ 3𝑥 𝑎 − 6𝑏 −6</p><p>]</p><p>139</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑅 − 6𝑆 = [ −2 −</p><p>24𝑦</p><p>2</p><p>−4</p><p>32𝑥 − 6 ⋅ 3𝑥 𝑎 − 6𝑏 −6</p><p>]</p><p>Do enunciado, 𝑅 − 6𝑆 = 𝑇:</p><p>[ −2 −</p><p>24𝑦</p><p>2</p><p>−4</p><p>32𝑥 − 6 ⋅ 3𝑥 𝑎 − 6𝑏 −6</p><p>] = [ 𝑏 (2)(2𝑦−1) − 10 𝑐</p><p>27 13 −6</p><p>]</p><p>Com essa relação, obtemos:</p><p>{</p><p>𝑏 = −2</p><p>−</p><p>24𝑦</p><p>2</p><p>= (2)(2𝑦−1) − 10</p><p>𝑐 = −4</p><p>32𝑥 − 6 ⋅ 3𝑥 = 33</p><p>𝑎 − 6𝑏 = 13</p><p>Da segunda equação:</p><p>−</p><p>24𝑦</p><p>2</p><p>= (2)(2𝑦−1) − 10 ⇒ (22𝑦)2 + 22𝑦 − 20 = 0</p><p>Fazendo a mudança de variável:</p><p>22𝑦 = 𝑡 ⇒ 𝑡2 + 𝑡 − 20 = 0 ⇒ 𝑡 =</p><p>−1 ± √81</p><p>2</p><p>=</p><p>−1 ± 9</p><p>2</p><p>𝑡1 = −5 ⇒ 2</p><p>2𝑦 = −5 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)</p><p>𝑡2 = 4 ⇒ 2</p><p>2𝑦 = 4 = 22 ⇒ 2𝑦 = 2 ⇒ 𝑦 = 1</p><p>Da terceira equação, fazendo 3𝑥 = 𝑢:</p><p>32𝑥 − 6 ⋅ 3𝑥 = 33 ⇒ 𝑢2 − 6𝑢 − 27 = 0 ⇒ 𝑢 = 3 ± √36 = 3 ± 6</p><p>𝑢1 = 9 ⇒ 3</p><p>𝑥 = 9 = 32 ⇒ 𝑥 = 2</p><p>𝑢2 = −3 ⇒ 3</p><p>𝑥 = −3 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)</p><p>Da última equação:</p><p>𝑎 − 6𝑏 = 13 ⇔ 𝑎 + 12 = 13 ⇔ 𝑎 = 1</p><p>Logo, temos as soluções:</p><p>{</p><p>𝑏 = −2</p><p>𝑦 = 1</p><p>𝑐 = −4</p><p>𝑥 = 2</p><p>𝑎 = 1</p><p>Portanto, temos que a soma dos quadrados é:</p><p>𝑏2 + 𝑦2 + 𝑐2 + 𝑥2 + 𝑎2 = (−2)2 + 1 + (−4)2 + (2)2 + 1 = 26</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>67. (Escola Naval/2014)</p><p>140</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Sejam 𝑨 a matriz quadrada de ordem 𝟐 definida por 𝑨 = [𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒙 −</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>) 𝐜𝐨𝐬 (𝒙 + 𝝅)</p><p>𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏</p><p>] e 𝒇 a</p><p>função real da variável real tal que 𝒇(𝒙) = |𝐝𝐞𝐭 (𝑨 + 𝑨𝑻)|, onde 𝑨𝑻 representa a matriz transposta</p><p>de 𝑨. O gráfico que melhor representa a função 𝒚 = 𝒇(𝒙) no intervalo −𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅 é</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, simplificaremos a matriz A através do uso das seguintes identidades</p><p>trigonométricas:</p><p>141</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>{</p><p>𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 −</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)</p><p>cos(𝑥 + 𝜋) = − cos(𝑥)</p><p>Assim, temos que:</p><p>𝐴 = [</p><p>2 cos (2𝑥 −</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) cos (𝑥 + 𝜋)</p><p>cos 𝑥 1</p><p>] = [</p><p>2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − cos(𝑥)</p><p>cos 𝑥 1</p><p>]</p><p>Calculando 𝐷𝑒𝑡(𝐴 + 𝐴𝑡):</p><p>𝐴 + 𝐴𝑡 = [</p><p>2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − cos(𝑥)</p><p>cos 𝑥 1</p><p>] + [</p><p>2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(𝑥)</p><p>− cos 𝑥 1</p><p>]</p><p>𝐴 + 𝐴𝑡 = [</p><p>4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 0</p><p>0 2</p><p>]</p><p>⟹ 𝐷𝑒𝑡(𝐴 + 𝐴𝑡) = 8𝑠𝑒𝑛(2𝑥)</p><p>Portanto, 𝑓(𝑥) = |8𝑠𝑒𝑛(2𝑥)|, que tem período de</p><p>𝑇 =</p><p>2𝜋 2⁄</p><p>2</p><p>=</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>Outros pontos a serem observados são:</p><p>{</p><p>𝑓 é 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑙ℎ𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎</p><p>𝑓(0) = |8𝑠𝑒𝑛(0)| = |0| = 0</p><p>𝑓(𝜋) = |8𝑠𝑒𝑛(2𝜋)| = |8 ⋅ 0| = 0</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>68. (Escola Naval/2013)</p><p>Sejam 𝑨 = (</p><p>𝟏 𝟏 𝟐</p><p>𝟒 −𝟑 𝟎</p><p>) e 𝑩 = (</p><p>𝟓 𝟎 −𝟑</p><p>𝟏 −𝟐 𝟔</p><p>) e 𝑩𝒕 a transposta de 𝑩. O produto da matriz 𝑨 pela</p><p>matriz 𝑩𝒕 é</p><p>a) (</p><p>𝟗 𝟐 𝟏𝟎</p><p>−𝟖 𝟔 𝟎</p><p>𝟐𝟏 −𝟐𝟏 −𝟔</p><p>)</p><p>b) (</p><p>𝟓 𝟎 −𝟔</p><p>𝟒 𝟔 𝟎</p><p>)</p><p>c) (</p><p>𝟓 𝟒</p><p>𝟎 𝟔</p><p>−𝟔 𝟎</p><p>)</p><p>d) (</p><p>−𝟏 𝟏𝟏</p><p>𝟐𝟎 𝟏𝟎</p><p>)</p><p>e) (</p><p>−𝟏 𝟏𝟎</p><p>−𝟐 𝟏</p><p>)</p><p>Comentários</p><p>Transpondo a matriz 𝐵, obtemos:</p><p>𝐵𝑡 = [</p><p>5 0 −3</p><p>1 −2 6</p><p>]</p><p>𝑡</p><p>= [</p><p>5 1</p><p>0 −2</p><p>−3 6</p><p>]</p><p>142</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>De acordo com o enunciado, realiza-se a multiplicação matricial a seguir:</p><p>𝐴 × 𝐵 = [</p><p>1 1 2</p><p>4 −3 0</p><p>] [</p><p>5 1</p><p>0 −2</p><p>−3 6</p><p>] =</p><p>⟹ 𝐴× 𝐵 = [</p><p>1 ⋅ 5 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ (−3) 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−2) + 2 ⋅ 6</p><p>4 ⋅ 5 + (−3) ⋅ 0 + 0 ⋅ (−3) 4 ⋅ 1 + (−3) ⋅ (−2) + 0 ⋅ 6</p><p>]</p><p>⟹ 𝐴× 𝐵 = [</p><p>−1 11</p><p>20 10</p><p>]</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>69. (AFA/2019)</p><p>Considere as matrizes</p><p>𝑨 = [</p><p>𝒔𝒆𝒏 𝒙 −𝟏</p><p>−𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒙</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙</p><p>𝟏 −𝟑</p><p>]</p><p>Se o determinante do produto matricial 𝑨𝑩 é um número real positivo ou nulo, então os valores de</p><p>x, no ciclo trigonométrico, que satisfazem essa condição estão representados em:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>143</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Comentários</p><p>De acordo com o enunciado devemos resolver a equação 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝐵) ≥ 0, para isso,</p><p>sabemos que no determinante da multiplicação de matrizes vale a seguinte relação:</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐴 ⋅ 𝐵) = 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ⋅ 𝐷𝑒𝑡(𝐵)</p><p>Realizando os determinantes individuais, obtemos:</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1 e 𝐷𝑒𝑡(𝐵) = −4𝑠𝑒𝑛 𝑥</p><p>Portanto:</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐴 ⋅ 𝐵) = (𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1) ⋅ (−4𝑠𝑒𝑛 𝑥) ≥ 0</p><p>Substituindo 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑡, temos:</p><p>(−4𝑡)(𝑡2 − 1) ≥ 0</p><p>(4𝑡)(𝑡2 − 1) ≤ 0</p><p>{</p><p>𝑖: 4𝑡 → 𝑡 = 0</p><p>𝑖𝑖: (𝑡2 − 1) → 𝑡 = ±1</p><p>Pelo estudo do sinal, obtemos</p><p>Procurando os resultados menores que zero, temos que:</p><p>{</p><p>𝑡 ≤ −1</p><p>0 ≤ 𝑡 ≤ 1</p><p>⟹ {</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ −1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1</p><p>0 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1</p><p>Assim, obtemos o intervalo na representação pelo ciclo trigonométrico:</p><p>144</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>70. (AFA/2018)</p><p>Sejam 𝒂 e 𝒃 números positivos tais que o determinante da matriz [</p><p>𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏</p><p>𝟐 𝒂 𝟎 𝟏</p><p>𝟏 −𝟏 𝒃 𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟏</p><p>] vale 24.</p><p>Dessa forma o determinante da matriz [</p><p>√𝒃 √𝟐</p><p>√𝟑 √𝒂</p><p>] é igual a</p><p>a) 𝟎</p><p>b) 𝟔</p><p>c) −𝟔</p><p>d) √𝟔</p><p>Comentários</p><p>Seja A, a matriz do enunciado, aplicando o teorema de Laplace na linha 𝐿4, obtemos:</p><p>𝐷𝑒𝑡 (𝐴) = (−1)4+4 ⋅ 1 ⋅ |</p><p>1 0 0</p><p>2 𝑎 0</p><p>1 −1 𝑏</p><p>|</p><p>Observe que a matriz obtida é triangular, logo</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐴) = |</p><p>1 0 0</p><p>2 𝑎 0</p><p>1 −1 𝑏</p><p>| = 1 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 24</p><p>⟹ 𝑎𝑏 = 24</p><p>Por outro lado, temos:</p><p>|</p><p>√𝑏 √2</p><p>√3 √𝑎</p><p>| = √𝑎𝑏 − √6 = √24 − √6 = 2√6 − √6 = √6</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>71. (AFA/2017)</p><p>Seja a matriz 𝑨 = (</p><p>𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙</p><p>𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝟎</p><p>𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟐 𝟏</p><p>).</p><p>145</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Considere a função 𝒇:ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝐝𝐞𝐭𝑨.</p><p>Sobre a função 𝒈:ℝ → ℝ definida por 𝒈(𝒙) = 𝟏 −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>⋅ |𝒇(𝒙)|, em que |𝒇(𝒙)| é o módulo de 𝒇(𝒙), é</p><p>correto afirmar que</p><p>a) possui período 𝝅.</p><p>b) seu conjunto imagem é [−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>, 𝟎].</p><p>c) é par.</p><p>d) é crescente no intervalo [−</p><p>𝝅</p><p>𝟒</p><p>,</p><p>𝝅</p><p>𝟒</p><p>].</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, vamos calcular det 𝐴;</p><p>|</p><p>1 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥</p><p>cos 𝑥 1 0</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 1</p><p>| = 2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)</p><p>𝑓(𝑥) = det 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)</p><p>𝑔(𝑥) = 1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>|𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)|</p><p>Analisando as alternativas:</p><p>a) (F) O período da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 é 2𝜋 2⁄ = 𝜋, porém, na análise da função</p><p>|𝑠𝑒𝑛 2𝑥|, pela presença do módulo, obtemos a metade do período devido, portanto, o</p><p>período da função 𝑔 é</p><p>𝑇𝑔 =</p><p>2𝜋 2⁄</p><p>2</p><p>=</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>b) (F)</p><p>0 ≤ |𝑠𝑒𝑛 2𝑥| ≤ 1</p><p>0 ≤</p><p>1</p><p>2</p><p>|𝑠𝑒𝑛 2𝑥| ≤</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>≤ −</p><p>1</p><p>2</p><p>|𝑠𝑒𝑛 2𝑥| ≤ 0</p><p>1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>≤ 1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>|𝑠𝑒𝑛 2𝑥| ≤ 1</p><p>1</p><p>2</p><p>≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1</p><p>Logo, 𝐼𝑚(𝑔) = [</p><p>1</p><p>2</p><p>; 1].</p><p>c) (V) Verifica-se que a função 𝑔(𝑥) = 1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>|𝑠𝑒𝑛 2𝑥| é par, pois 𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥).</p><p>d) (F) {</p><p>𝑆𝑒 𝑥 = −</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>, 𝑔(𝑥) = 1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑆𝑒 𝑥 = 0, 𝑔(𝑥) = 1</p><p>𝑆𝑒 𝑥 =</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>, 𝑔(𝑥) = 1 −</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>Logo, é crescente e decrescente no intervalo dado.</p><p>146</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>72. (AFA/2017)</p><p>Considere 𝑨, 𝑩, 𝑪 e 𝑿 matrizes quadradas de ordem 𝒏 e inversíveis. Assinale a alternativa FALSA.</p><p>a) (𝑨−𝟏)−𝟏 = 𝑨</p><p>b) (𝑨𝑩𝑪)−𝟏 = 𝑪−𝟏𝑩−𝟏𝑨−𝟏</p><p>c) 𝑨 𝑿 𝑪 = 𝑩 𝑿 = 𝑨−𝟏𝑪−𝟏𝑩</p><p>d) 𝐝𝐞𝐭(𝟐 𝑨 𝑩−𝟏) = 𝟐𝒏</p><p>𝒅𝒆𝒕𝑨</p><p>𝒅𝒆𝒕𝑩</p><p>Comentários</p><p>a) Da definição de matriz inversível: 𝑫−𝟏 ⋅ 𝑫 = 𝑰𝒏. Seja 𝑫 = 𝑨−𝟏, assim, temos:</p><p>(𝑨−𝟏)−𝟏 ⋅ (𝑨−𝟏) = 𝑰𝒏</p><p>Multiplicando à direita por 𝑨:</p><p>(𝑨−𝟏)−𝟏 ⋅ (𝑨−𝟏) ⋅ 𝑨⏟</p><p>𝑰𝒏</p><p>= 𝑨</p><p>∴ (𝑨−𝟏)−𝟏 = 𝑨</p><p>Portanto, VERDADEIRA.</p><p>b) Da propriedade (𝑨𝑩)−𝟏 = 𝑩−𝟏𝑨−𝟏:</p><p>(𝑨𝑩𝑪)−𝟏 = ((𝑨𝑩)𝑪)</p><p>−𝟏</p><p>= 𝑪−𝟏(𝑨𝑩)−𝟏</p><p>⟹ 𝑪−𝟏(𝑨𝑩)−𝟏 = 𝑪−𝟏(𝑩−𝟏𝑨−𝟏)</p><p>∴ (𝑨𝑩𝑪)−𝟏 = 𝑪−𝟏𝑩−𝟏𝑨−𝟏</p><p>Portanto, VERDADEIRA.</p><p>c) De 𝑨 𝑿 𝑪 = 𝑩, temos:</p><p>𝑨 𝑿 𝑪 = 𝑩</p><p>(𝑨−𝟏) ⋅ 𝑨 𝑿 𝑪 ⋅ (𝑪−𝟏) = (𝑨−𝟏) ⋅ 𝑩 ⋅ (𝑪−𝟏)</p><p>((𝑨−𝟏) ⋅ 𝑨 )𝑿 (𝑪 ⋅ (𝑪−𝟏)) = 𝑨−𝟏𝑩𝑪−𝟏</p><p>(𝑰𝒏)𝑿 (𝑰𝒏) = 𝑨</p><p>−𝟏𝑩𝑪−𝟏</p><p>𝑿 = 𝑨−𝟏𝑩𝑪−𝟏</p><p>Portanto, FALSA.</p><p>d) Da propriedade 𝑫𝒆𝒕(𝑨 ⋅ 𝑩) = 𝑫𝒆𝒕(𝑨) ⋅ 𝑫𝒆𝒕(𝑩) e 𝑫𝒆𝒕(𝒎 ⋅ 𝑨) = 𝒎𝒏 ⋅ 𝑫𝒆𝒕(𝑨):</p><p>𝑫𝒆𝒕(𝟐 𝑨 𝑩−𝟏) = 𝑫𝒆𝒕( 𝟐 𝑨) ⋅ 𝑫𝒆𝒕(𝑩−𝟏)</p><p>⟹𝑫𝒆𝒕( 𝟐 𝑨) ⋅ 𝑫𝒆𝒕(𝑩−𝟏) = 𝑫𝒆𝒕( 𝟐 𝑨) ⋅</p><p>𝟏</p><p>𝑫𝒆𝒕(𝑩)</p><p>147</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>⟹𝑫𝒆𝒕( 𝟐 𝑨) ⋅</p><p>𝟏</p><p>𝑫𝒆𝒕(𝑩)</p><p>= 𝟐𝒏 ⋅</p><p>𝑫𝒆𝒕(𝑨)</p><p>𝑫𝒆𝒕(𝑩)</p><p>Portanto, VERDADEIRA.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>73. (AFA/2016)</p><p>Seja 𝑨 a matriz [</p><p>𝟎</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟐 𝟎</p><p>]</p><p>Sabe-se que 𝑨𝒏 = 𝑨 ⋅ 𝑨 ⋅ 𝑨 ⋅ … ⋅ 𝑨⏟</p><p>𝒏 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔</p><p>Então, o determinante da matriz 𝑺 = 𝑨 + 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑 +⋯+𝑨𝟏𝟏 é igual a</p><p>a) 𝟏</p><p>b) −𝟑𝟏</p><p>c) −𝟖𝟕𝟓</p><p>d) −𝟏𝟏</p><p>Comentários</p><p>Calculando a matriz A2, obtemos:</p><p>𝐴2 = [0</p><p>1</p><p>2</p><p>2 0</p><p>] ⋅ [0</p><p>1</p><p>2</p><p>2 0</p><p>] = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>] = 𝐼2</p><p>Logo, a cada A2 que multiplicamos, ou seja, a cada expoente par, temos a matriz</p><p>identidade. Portanto:</p><p>𝑆 = 𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋯+ 𝐴11 = 𝐴 + 𝐼2 + 𝐴 + …+ 𝐴 = 6𝐴 + 5𝐼2</p><p>𝑆 = 6 [0</p><p>1</p><p>2</p><p>2 0</p><p>] + 5 [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>] = [</p><p>5 3</p><p>12 5</p><p>]</p><p>det 𝑆 = |</p><p>5 3</p><p>12 5</p><p>| = 25 − 36 = −11</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>74. (AFA/2015)</p><p>Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M:</p><p>𝑴𝒕 é a matriz transposta de 𝑴</p><p>𝑴−𝟏 é a matriz inversa de 𝑴</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑴 é o determinante da matriz 𝑴</p><p>Da equação (𝑿𝒕)−𝟏 = 𝑨 ⋅ (𝑩 + 𝑪), em que 𝑨 e (𝑩 + 𝑪) são matrizes quadradas de ordem 𝒏 e</p><p>inversíveis, afirma-se que</p><p>I. 𝑿 = (𝑨−𝟏)𝒕 ⋅ [(𝑩 + 𝑪)−𝟏]</p><p>148</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>II. 𝐝𝐞𝐭𝑿 =</p><p>𝟏</p><p>𝐝𝐞𝐭𝑨⋅𝐝𝐞𝐭(𝑩+𝑪)</p><p>III. 𝑿−𝟏 = (𝑩𝒕 + 𝑪𝒕) ⋅ 𝑨𝒕</p><p>São corretas</p><p>a) apenas I e II</p><p>b) apenas II e III</p><p>c) apenas I e III</p><p>d) I, II, III</p><p>Comentários</p><p>Para 𝑃, 𝑄 matrizes quadradas invertíveis de mesma ordem, valem:</p><p>(𝑃𝑄)𝑡 = 𝑄𝑡𝑃𝑡</p><p>(𝑃 + 𝑄)𝑡 = 𝑃𝑡 + 𝑄𝑡</p><p>(𝑃𝑡)−1 = (𝑃−1)𝑡</p><p>Portanto:</p><p>𝑋−1 = ((𝑋𝑡)−1)𝑡 = (𝐴 ⋅ (𝐵 + 𝐶))</p><p>𝑡</p><p>= (𝐵 + 𝐶)𝑡 ⋅ 𝐴𝑡 = (𝐵𝑡 + 𝐶𝑡) ⋅ 𝐴𝑡</p><p>Logo o item III está correto.</p><p>O item II também está correto:</p><p>det 𝑋 = det 𝑋𝑡 =</p><p>1</p><p>det[(𝑋𝑡)−1]</p><p>=</p><p>1</p><p>det[𝐴 ⋅ (𝐵 + 𝐶)]</p><p>=</p><p>1</p><p>det 𝐴 ⋅ det(𝐵 + 𝐶)</p><p>O item I não está correto. O correto seria:</p><p>𝑋𝑡 = [𝐴 ⋅ (𝐵 + 𝐶)]−1 = (𝐵 + 𝐶)−1 ⋅ 𝐴−1 ⇒ 𝑋 = [(𝐵 + 𝐶)−1 ⋅ 𝐴−1]𝑡 = (𝐴−1)𝑡 ⋅ [(𝐵 + 𝐶)−1]𝑡</p><p>⇒ 𝑋 = (𝐴−1)𝑡 ⋅ [(𝐵 + 𝐶)𝑡]−1 = (𝐴−1)𝑡 ⋅ (𝐵𝑡 + 𝐶𝑡)−1.</p><p>Logo o item I está correto se e somente se:</p><p>(𝐴−1)𝑡 ⋅ (𝐵𝑡 + 𝐶𝑡)−1 = (𝐴−1)𝑡 ⋅ (𝐵 + 𝐶)−1⟺ (𝐵𝑡 + 𝐶𝑡)−1 = (𝐵 + 𝐶)−1⟺ 𝐵𝑡 + 𝐶𝑡 =</p><p>𝐵 + 𝐶, o que não necessariamente é verdade. Basta tomar uma das matrizes 𝐵 ou 𝐶 sendo</p><p>simétrica e a outra não, por exemplo.</p><p>Portanto, apenas II e III são corretas.</p><p>Gabarito: “b”</p><p>75. (AFA/2015)</p><p>Considere as funções reais 𝒇 e 𝒈 definidas por 𝒇(𝒙) =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>⋅ 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)</p><p>𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>] , 𝒈(𝒙) =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝒇(𝒙) e marque a alternativa INCORRETA.</p><p>a) o conjunto imagem da função 𝒇 é o intervalo [𝟎, 𝟏]</p><p>149</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>b) A função 𝒈 é ímpar.</p><p>c) A função real 𝒉 definida por 𝒉(𝒙) = −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>+ 𝒈(𝒙) possui duas raízes no intervalo [𝟎,</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>d) O período da função real 𝒋 definida por 𝒋(𝒙) = |−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>+ 𝒈(𝒙)| é</p><p>𝝅</p><p>𝟐</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, tornaremos explícito 𝑓(𝑥):</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ det [</p><p>2 cos(2𝑥)</p><p>2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ (2 ⋅</p><p>1</p><p>2</p><p>− 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) )</p><p>Temos a relação 2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥, logo:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ (1 − 𝑠𝑒𝑛(4𝑥))</p><p>Desse modo:</p><p>𝑔(𝑥) =</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ (1 − 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)) =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)</p><p>a) (V)</p><p>−1 ≤ −𝑠𝑒𝑛(4𝑥) ≤ 1</p><p>0 ≤ 1 − 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) ≤ 2</p><p>0 ≤</p><p>1</p><p>2</p><p>(1 − 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)) ≤ 1</p><p>0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1</p><p>∴ 𝐼𝑚(𝑓) = [0, 1]</p><p>b) (V) Sabemos que 𝑔(𝑥) =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) e que a função seno é ímpar:</p><p>𝑔(−𝑥) =</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(−4𝑥) = −</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) = −𝑔(𝑥)</p><p>c) (F) Temos:</p><p>ℎ(𝑥) = −</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 𝑔(𝑥) = −</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)</p><p>Para ℎ(𝑥) = 0:</p><p>0 = −</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)</p><p>𝑠𝑒𝑛(4𝑥) = 1</p><p>4𝑥 =</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ</p><p>𝑥 =</p><p>𝜋</p><p>8</p><p>+</p><p>𝑘𝜋</p><p>2</p><p>, 𝑘 ∈ ℤ</p><p>Concluímos que há apenas uma raiz possível em [0,</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>], que ocorre para 𝑘 = 0.</p><p>150</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) (V)Temos:</p><p>𝑗(𝑥) = |−</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 𝑔(𝑥)| = |−</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)|</p><p>−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) ≤ 1 ⇒ −</p><p>1</p><p>2</p><p>≤</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑠𝑒𝑛(4𝑥) ≤</p><p>1</p><p>2</p><p>⇒ −1 ≤ −</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑠𝑒𝑛(4𝑥) ≤ 0</p><p>Aplicando o módulo, obtemos:</p><p>0 ≤ |−</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)| ≤ 1</p><p>Veja que o módulo espelha a função 𝑗(𝑥) em relação ao eixo 𝑥, portanto, o período</p><p>continua a ser determinado pela função 𝑠𝑒𝑛(4𝑥), cujo período é</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>76. (AFA/2013)</p><p>Considere as matrizes 𝑨 e 𝑩, inversíveis e de ordem 𝒏, bem como a matriz identidade 𝑰.</p><p>Sabendo que 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝟓 e 𝐝𝐞𝐭(𝑰 ⋅ 𝑩−𝟏 ⋅ 𝑨) =</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>, então o 𝐝𝐞𝐭[𝟑 ⋅ (𝑩−𝟏 ⋅ 𝑨−𝟏)𝒕]</p><p>a) 𝟓 ⋅ 𝟑𝒏</p><p>b)</p><p>𝟑𝒏−𝟏</p><p>𝟓𝟐</p><p>c)</p><p>𝟑𝒏</p><p>𝟏𝟓</p><p>d) 𝟑𝒏−𝟏</p><p>Comentários</p><p>Sabemos que 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝑡), 𝐷𝑒𝑡(𝜆 ⋅ 𝐴) = 𝜆𝑛 ⋅ 𝐷𝑒𝑡(𝐴) e 𝐷𝑒𝑡(𝐴−1) = 1 𝐷𝑒𝑡(𝐴)⁄ ,</p><p>logo:</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐼 ⋅ 𝐵−1 ⋅ 𝐴) =</p><p>1</p><p>3</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐵−1 ⋅ 𝐴) =</p><p>1</p><p>3</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐵−1 ⋅ 𝐴) ⋅ [𝐷𝑒𝑡(𝐴−1)]2 =</p><p>1</p><p>3</p><p>⋅ [𝐷𝑒𝑡(𝐴−1)]2</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐵−1 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴−2 ) =</p><p>1</p><p>3</p><p>⋅ (</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>)</p><p>2</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐵−1 ⋅ 𝐴−1 ) =</p><p>1</p><p>3</p><p>⋅ (</p><p>1</p><p>5</p><p>)</p><p>2</p><p>Por outro lado, temos:</p><p>𝐷𝑒𝑡[3 ⋅ (𝐵−1 ⋅ 𝐴−1)𝑡] = 𝐷𝑒𝑡[3 ⋅ (𝐵−1 ⋅ 𝐴−1)]</p><p>⟹ 𝐷𝑒𝑡[3 ⋅ (𝐵−1 ⋅ 𝐴−1)] = 3𝑛𝐷𝑒𝑡(𝐵−1 ⋅ 𝐴−1) = 3𝑛 ⋅</p><p>1</p><p>3</p><p>⋅ (</p><p>1</p><p>5</p><p>)</p><p>2</p><p>=</p><p>3𝑛−1</p><p>52</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>151</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>77. (AFA/2012)</p><p>Uma montadora de automóveis prepara três modelos de carros, a saber:</p><p>Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada termo 𝒂𝒊𝒋 representa a distância percorrida,</p><p>em 𝒌𝒎, pelo modelo 𝒊, com um litro de combustível, à velocidade 𝟏𝟎𝒋 𝒌𝒎/𝒉.</p><p>[</p><p>𝟔 𝟕, 𝟔 𝟕, 𝟐 𝟖, 𝟗 𝟖, 𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟏, 𝟖</p><p>𝟓 𝟕, 𝟓 𝟕 𝟖, 𝟓 𝟖 𝟏𝟎, 𝟓 𝟗, 𝟓 𝟏𝟏, 𝟓 𝟏𝟏</p><p>𝟑 𝟐, 𝟕 𝟓, 𝟗 𝟓, 𝟓 𝟖, 𝟏 𝟕, 𝟒 𝟗, 𝟖 𝟗, 𝟒 𝟏𝟑, 𝟏</p><p>]</p><p>Com base nisso, é correto dizer que</p><p>a) para motoristas que somente trafegam a 𝟑𝟎 𝒌𝒎/𝒉, o carro 1.4 é o mais econômico.</p><p>b) se durante um mesmo período de tempo um carro 1.4 e um 1.8 trafegam a 𝟓𝟎 𝒌𝒎/𝒉, o 1.4 será</p><p>o mais econômico.</p><p>c) para motoristas que somente trafegam à velocidade de 𝟕𝟎 𝒌𝒎/𝒉, o carro 1.8 é o de maior</p><p>consumo.</p><p>d) para motoristas que somente trafegam a 𝟖𝟎 𝒌𝒎/𝒉, o carro 1.0 é o mais econômico.</p><p>Comentários</p><p>Do enunciado, temos que cada elemento da matriz representa a distância percorrida em</p><p>𝑘𝑚 pelo modelo 𝑖 (𝑖 – linha) à velocidade de 10 ⋅ 𝑗 𝑘𝑚/ℎ (𝑗 – coluna). Veja</p><p>que cada coluna</p><p>representa uma velocidade diferente, por exemplo, na coluna 1, os carros andam à velocidade de</p><p>10 𝑘𝑚/ℎ e na coluna 7, os carros andam à 70 𝑘𝑚/ℎ. Assim, temos:</p><p>𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂 𝒋</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗</p><p>𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>[</p><p>𝟔 𝟕, 𝟔 𝟕, 𝟐 𝟖, 𝟗 𝟖, 𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟏, 𝟖</p><p>𝟓 𝟕, 𝟓 𝟕 𝟖, 𝟓 𝟖 𝟏𝟎, 𝟓 𝟗, 𝟓 𝟏𝟏, 𝟓 𝟏𝟏</p><p>𝟑 𝟐, 𝟕 𝟓, 𝟗 𝟓, 𝟓 𝟖, 𝟏 𝟕, 𝟒 𝟗, 𝟖 𝟗, 𝟒 𝟏𝟑, 𝟏</p><p>]</p><p>a) (F) Temos que na coluna 𝑗 = 3 o carro mais econômico é o modelo 1.</p><p>b) (F) Temos que na coluna 𝑗 = 5 o carro mais econômico é o modelo 1.</p><p>c) (F) Temos que na coluna 𝑗 = 7 o carro de maior consumo é o modelo 2.</p><p>d) (V) Temos que na coluna 𝑗 = 8 o carro mais econômico é o modelo 1.</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>78. (AFA/2011)</p><p>Sendo [</p><p>𝟐 𝟑 𝟒 𝒂</p><p>𝟎 𝟎 𝟐 𝟎</p><p>𝟑 −𝟏 𝟏 𝒃</p><p>−𝟏 𝟎 𝟐 𝒄</p><p>] = 𝟕𝟎, o valor de [</p><p>𝟒 𝟑 𝟐 𝒂</p><p>𝟐 𝟎 𝟎 𝟎</p><p>𝟏 −𝟏 𝟑 𝒃</p><p>𝟕 −𝟏 𝟎 𝒃 + 𝟑𝒄</p><p>] é:</p><p>a) 280</p><p>b) 0</p><p>152</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c) −𝟕𝟎</p><p>d) −𝟐𝟏𝟎</p><p>Comentários</p><p>Observando a matriz do enunciado, temos:</p><p>𝐴 = (</p><p>2 3 4 𝑎</p><p>0 0 2 0</p><p>3 −1 1 𝑏</p><p>−1 0 2 𝑐</p><p>)</p><p>Aplicando o teorema de Laplace na linha 2, obtemos:</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (−1)2+32 |</p><p>2 3 𝑎</p><p>3 −1 𝑏</p><p>−1 0 𝑐</p><p>| = 70</p><p>Então, temos:</p><p>𝑋 = |</p><p>2 3 𝑎</p><p>3 −1 𝑏</p><p>−1 0 𝑐</p><p>| = −35</p><p>Por outro lado:</p><p>𝐵 = (</p><p>4 3 2 𝑎</p><p>2 0 0 0</p><p>1 −1 3 𝑏</p><p>7 −1 0 𝑏 + 3𝑐</p><p>)</p><p>Aplicando também o teorema de Laplace na segunda linha:</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐵) = (−1)2+12 |</p><p>3 2 𝑎</p><p>−1 3 𝑏</p><p>−1 0 𝑏 + 3𝑐</p><p>|</p><p>Sabemos que ao realizar operações simples entre fileiras de uma matriz, o valor do</p><p>determinante não se altera, portanto, vamos subtrair a linha 2 da linha 3:</p><p>|</p><p>3 2 𝑎</p><p>−1 3 𝑏</p><p>−1 0 𝑏 + 3𝑐</p><p>|</p><p>𝐿3=𝐿3−𝐿2</p><p>→ |</p><p>3 2 𝑎</p><p>−1 3 𝑏</p><p>−1 − (−1) 0 − (3) 𝑏 + 3𝑐 − (𝑏)</p><p>|</p><p>⟹ 𝐷𝑒𝑡(𝐵) = −2 |</p><p>3 2 𝑎</p><p>−1 3 𝑏</p><p>0 −3 3𝑐</p><p>| = −2 ⋅ 3 |</p><p>3 2 𝑎</p><p>−1 3 𝑏</p><p>0 −1 1𝑐</p><p>|</p><p>Sabemos, também, que a troca de duas fileiras em qualquer matriz inverte o sinal do</p><p>determinante, logo, trocando a primeira coluna com a segunda:</p><p>|</p><p>3 2 𝑎</p><p>−1 3 𝑏</p><p>0 −1 𝑐</p><p>| = −1 ⋅ |</p><p>2 3 𝑎</p><p>3 −1 𝑏</p><p>−1 0 𝑐</p><p>|</p><p>Obtemos:</p><p>153</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐵) = −2 ⋅ 3 ⋅ −1 ⋅ |</p><p>2 3 𝑎</p><p>3 −1 𝑏</p><p>−1 0 𝑐</p><p>| = 6 |</p><p>2 3 𝑎</p><p>3 −1 𝑏</p><p>−1 0 𝑐</p><p>|</p><p>Perceba que o determinante acima é 𝑋, cujo valor é conhecido, logo:</p><p>𝐷𝑒𝑡(𝐵) = 6 ⋅ 𝑋 = 6 ⋅ (−35) = −210</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>5. QUESTÕES NÍVEL 3</p><p>79. (ITA/2021)</p><p>Determine todos os valores do número real 𝒂 para os quais a matriz</p><p>(</p><p>𝟏 𝒂𝟑 −𝒂 𝟑 𝟐</p><p>𝟐 𝒂𝟐 𝟏 𝒂𝟑 𝒂</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 −𝒂𝟐</p><p>−𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝟑</p><p>𝒂𝟐 𝟎 𝟎 −𝟑 𝟎 )</p><p>é não singular.</p><p>80. (ITA/2020)</p><p>Considere o conjunto 𝑴(𝒏, 𝒌) de todas as matrizes quadradas de ordem 𝒏 × 𝒏, com exatamente 𝒌</p><p>elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes 𝑳 ∈ 𝑴(𝟑, 𝟏)</p><p>e 𝑹 ∈ 𝑴(𝟒, 𝟐), a probabilidade de que 𝑳𝟐 = 𝟎 e 𝑹𝟐 = 𝟎 é igual a</p><p>a)</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>.</p><p>b)</p><p>𝟏</p><p>𝟓</p><p>.</p><p>c)</p><p>𝟒</p><p>𝟏𝟓</p><p>.</p><p>d)</p><p>𝟏𝟑</p><p>𝟑𝟎</p><p>.</p><p>e)</p><p>𝟐𝟗</p><p>𝟑𝟎</p><p>.</p><p>81. (ITA/2019)</p><p>Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes 𝑨 de ordem 𝒏 𝒙 𝒏 inversiveis, tais que os</p><p>seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:</p><p>I. |𝒅𝒆𝒕(𝑨)| = 𝟏.</p><p>II. 𝑨𝑻 = 𝑨−𝟏.</p><p>III. 𝑨 + 𝑨−𝟏 é uma matriz diagonal.</p><p>154</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>É(são) sempre VERDADEIRA(S)</p><p>a) apenas I.</p><p>b) apenas III.</p><p>c) apenas I e II.</p><p>d) apenas I e III.</p><p>e) todas.</p><p>82. (ITA/2018)</p><p>Uma progressão aritmética (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏) satisfaz a propriedade: para cada 𝒏 ∈ ℕ, a soma da</p><p>progressão é igual a 𝟐𝒏𝟐 + 𝟓𝒏. Nessas condições, o determinante da matriz [</p><p>𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑</p><p>𝒂𝟒 𝒂𝟓 𝒂𝟔</p><p>𝒂𝟕 + 𝟐 𝒂𝟖 𝒂𝟗</p><p>] é</p><p>a) −𝟗𝟔.</p><p>b) −𝟖𝟓.</p><p>c) 𝟔𝟑.</p><p>d) 𝟗𝟗.</p><p>e) 𝟏𝟏𝟓.</p><p>83. (ITA/2018)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes quadradas 𝒏 𝒙 𝒏 tais que 𝑨 + 𝑩 = 𝑨 ⋅ 𝑩 e 𝑰𝒏 a matriz identidade 𝒏 𝒙 𝒏. Das</p><p>afirmações:</p><p>I. 𝑰𝒏 − 𝑩 é inversível;</p><p>II. 𝑰𝒏 − 𝑨 é inversível;</p><p>III. 𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝑩 ⋅ 𝑨.</p><p>é (são) verdadeira(s)</p><p>a) Somente I.</p><p>b) Somente II.</p><p>c) Somente III.</p><p>d) Somente I e II.</p><p>e) Todas.</p><p>84. (ITA/2017)</p><p>155</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Sejam 𝑫 = [</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟑</p><p>] e 𝑷 = [</p><p>𝟕 𝟎 𝟐</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟐 𝟎 𝟓</p><p>].</p><p>Considere 𝑨 = 𝑷−𝟏𝑫𝑷. O valor de 𝒅𝒆𝒕(𝑨𝟐 + 𝑨) é</p><p>a) 144.</p><p>b) 180.</p><p>c) 240.</p><p>d) 324.</p><p>e) 360.</p><p>85. (ITA/2016)</p><p>Se 𝑴 = [</p><p>𝟏 −𝟏</p><p>𝟐 𝟎</p><p>] e 𝑵 = [</p><p>𝟐 𝟏</p><p>−𝟏 𝟑</p><p>], então 𝑴𝑵𝑻 −𝑴−𝟏𝑵 é igual a</p><p>a) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟕</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>𝟏𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>e) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>86. (ITA/2016)</p><p>Seja 𝑨 a matriz de ordem 𝟑𝒙𝟐, dada por 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>𝟏 𝟏</p><p>].</p><p>a) Determine todas as matrizes 𝑩 tais que 𝑩𝑨 = 𝑰𝟐.</p><p>b) Existe uma matriz 𝑩 com 𝑩𝑨 = 𝑰𝟐 que satisfaça 𝑩𝑩𝑻 = 𝑰𝟐? Se sim, dê um exemplo de uma dessas</p><p>matrizes.</p><p>87. (ITA/2015)</p><p>156</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Seja 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟓𝒙𝟓</p><p>a matriz tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟐</p><p>𝒊−𝟏(𝟐𝒋 − 𝟏), 𝟏 ≤ 𝒊, 𝒋 ≤ 𝟓. Considere as afirmações a</p><p>seguir:</p><p>I. Os elementos de cada linha 𝒊 formam uma progressão aritmética de razão 𝟐𝒊.</p><p>II. Os elementos de cada coluna 𝒋 formam uma progressão geométrica de razão 2.</p><p>III. 𝒕𝒓𝑨 é um número primo.</p><p>É (são) verdadeira(s)</p><p>a) apenas I.</p><p>b) apenas I e II.</p><p>c) apenas II e III.</p><p>d) apenas I e III.</p><p>e) I, ll e III.</p><p>88. (ITA/2014)</p><p>Seja 𝑴 uma matriz quadrada de ordem 𝟑, inversivel, que satisfaz a igualdade</p><p>𝐝𝐞𝐭(𝟐𝑴𝟐) − 𝐝𝐞𝐭(√𝟐</p><p>𝟑</p><p>𝑴𝟑) =</p><p>𝟐</p><p>𝟗</p><p>𝐝𝐞𝐭 (𝟑𝑴).</p><p>Então, um valor possível para o determinante da inversa de 𝑴 é</p><p>a) 𝟏/𝟑</p><p>b) 𝟏/𝟐</p><p>c) 𝟐/𝟑</p><p>d) 𝟒/𝟓</p><p>e) 𝟓/𝟒</p><p>89. (ITA/2014)</p><p>Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas 𝑨 e 𝑩 de ordem 𝒏, com 𝑨 inversível</p><p>e 𝑩 antissimétrica:</p><p>I. Se o produto 𝑨𝑩 for inversível, então 𝒏 é par;</p><p>II. Se o produto 𝑨𝑩 não for inversível, então 𝒏 é ímpar;</p><p>III. Se 𝑩 for inversível, então 𝒏 é par.</p><p>Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)</p><p>a) Apenas I.</p><p>157</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>b) Apenas I e II.</p><p>c) Apenas I e III.</p><p>d) Apenas II e III.</p><p>e) Todas.</p><p>90. (ITA/2014)</p><p>Considere a equação 𝑨(𝒕) ⋅ 𝑿 = 𝑩(𝒕), 𝒕 ∈ ℝ, em que 𝑨(𝒕) = [</p><p>𝟐𝒆−𝟐𝒕 −𝒆𝟐𝒕 −𝟏</p><p>−𝟏 𝟏 𝟏</p><p>−𝟑 𝟏 𝟐</p><p>] , 𝑿 =</p><p>[</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>𝒛</p><p>] 𝐞 𝑩(𝒕) = [</p><p>𝒆𝒕</p><p>−√𝟐</p><p>𝟎</p><p>]. Sabendo que 𝐝𝐞𝐭𝑨(𝒕) = 𝟏 e 𝒕 ≠ 𝟎, os valores de 𝒙, 𝒚 e 𝒛 são,</p><p>respectivamente,</p><p>a) 𝟐√𝟐, 𝟎,−𝟑√𝟐.</p><p>b) −𝟐√𝟐, 𝟎,−𝟑√𝟐.</p><p>c) 𝟎, 𝟑√𝟐, 𝟐√𝟐.</p><p>d) 𝟎, 𝟐√𝟑, √𝟑.</p><p>e) 𝟐√𝟑,−√𝟑, 𝟎.</p><p>91. (ITA/2013)</p><p>Considere 𝑨 ∈ 𝑴𝟓𝒙𝟓(ℝ) com 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = √𝟔 e 𝜶 ∈ ℝ\{𝟎}. Se 𝐝𝐞𝐭(𝜶𝑨𝒕𝑨𝑨𝒕) = √𝟔𝜶𝟐, o valor de 𝜶 é</p><p>a) 𝟏/𝟔</p><p>b) √𝟔/𝟔</p><p>c) √𝟑𝟔</p><p>𝟑</p><p>/𝟔</p><p>d) 𝟏</p><p>e) √𝟐𝟏𝟔</p><p>92. (ITA/2012)</p><p>Considere a matriz quadrada 𝑨 em que os termos da diagonal principal são 𝟏, 𝟏 + 𝒙𝟏, 𝟏 + 𝒙𝟐, … , 𝟏 +</p><p>𝒙𝒏 e todos os outros termos são iguais a 1. Sabe-se que (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏) é uma progressão geométrica</p><p>cujo primeiro termo é 𝟏/𝟐 e a razão é 4. Determine a ordem da matriz 𝑨 para que o seu</p><p>determinante seja igual a 𝟐𝟓𝟔.</p><p>93. (ITA/2011)</p><p>Determine todas as matrizes 𝑴 ∈ 𝕄𝟐𝒙𝟐(ℝ) tais que 𝑴𝑵 = 𝑵𝑴, ∀𝑵 ∈ 𝕄𝟐𝒙𝟐(ℝ).</p><p>158</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>94. (ITA/2010)</p><p>Sobre os elementos da matriz</p><p>𝑨 = [</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒</p><p>𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝒚𝟒</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟏</p><p>𝟏 𝟎 𝟎 𝟎</p><p>] ∈ 𝑴𝟒𝒙𝟒(ℝ)</p><p>sabe-se que (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒) e (𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑, 𝒚𝟒) são duas progressões geométricas de razão 3 e 4 e de</p><p>soma 80 e 255, respectivamente, então, 𝐝𝐞𝐭(𝑨−𝟏) e o elemento (𝑨−𝟏)𝟐𝟑 valem, respectivamente,</p><p>a)</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e 𝟏𝟐</p><p>b) −</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e −𝟏𝟐</p><p>c) −</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e 𝟏𝟐</p><p>d) −</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e</p><p>𝟏</p><p>𝟏𝟐</p><p>e)</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e</p><p>𝟏</p><p>𝟏𝟐</p><p>95. (ITA/2008)</p><p>Uma matriz real quadrada 𝑨 é ortogonal se 𝑨 é inversível e 𝑨−𝟏 = 𝑨𝒕. Determine todas as matrizes</p><p>𝟐𝒙𝟐 que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus</p><p>elementos que estão fora da diagonal principal.</p><p>96. (ITA/2008)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑪 matrizes 𝒏 𝒙 𝒏 inversíveis tais que 𝐝𝐞𝐭(𝑰 + 𝑪−𝟏𝑨) = 𝟏/𝟑 e 𝐝𝐞𝐭𝑨 = 𝟓. Sabendo-se que</p><p>𝑩 = 𝟑(𝑨−𝟏 + 𝑪−𝟏)𝒕, então o determinante de 𝑩 é igual a</p><p>a) 𝟑𝒏</p><p>b) 𝟐 ⋅ (</p><p>𝟑𝒏</p><p>𝟓𝟐</p><p>)</p><p>c) 𝟏/𝟓</p><p>d)</p><p>𝟑𝒏−𝟏</p><p>𝟓</p><p>e) 𝟓 ⋅ 𝟑𝒏−𝟏</p><p>97. (ITA/2006)</p><p>Sejam as matrizes</p><p>159</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎 𝟏/𝟐 −𝟏</p><p>−𝟐 𝟓 𝟐 −𝟑</p><p>𝟏 −𝟏 𝟐 𝟏</p><p>−𝟓 𝟏 𝟑/𝟐 𝟎</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝟏 𝟑 −𝟏/𝟐 𝟏</p><p>𝟏 −𝟐 −𝟐 𝟑</p><p>−𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟓 −𝟏 𝟏/𝟐 𝟓</p><p>]</p><p>Determine o elemento 𝒄𝟑𝟒 da matriz 𝑪 = (𝑨 + 𝑩)−𝟏.</p><p>98. (ITA/2006)</p><p>Se 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>𝒂 𝒃 𝒄</p><p>𝒑 𝒒 𝒓</p><p>𝒙 𝒚 𝒛</p><p>] = −𝟏, então o valor do 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>−𝟐𝒂 −𝟐𝒃 −𝟐𝒄</p><p>𝟐𝒑 + 𝒙 𝟐𝒒 + 𝒚 𝟐𝒓 + 𝒛</p><p>𝟑𝒙 𝟑𝒚 𝟑𝒛</p><p>] é igual a</p><p>a) 0</p><p>b) 4</p><p>c) 8</p><p>d) 12</p><p>e) 16</p><p>99. (ITA/2005)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes 𝟐𝒙𝟐 tais que 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 e que satisfazem à equação matricial 𝑨𝟐 + 𝟐𝑨𝑩 − 𝑩 =</p><p>𝟎. Se 𝑩 é inversível, mostre que (a) 𝑨𝑩−𝟏 = 𝑩−𝟏𝑨 e que (b) 𝑨 é inversível.</p><p>100. (ITA/2004)</p><p>Considere as afirmações dadas a seguir, em que 𝑨 é uma matriz quadrada 𝒏𝒙𝒏,𝒏 ≥ 𝟐:</p><p>I. O determinante de 𝑨 é nulo se, e somente se, 𝑨 possui uma linha ou uma coluna nula.</p><p>II. Se 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋) é tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎 para 𝒊 > 𝒋, com 𝒊, 𝒋 = 𝟏, 𝟐,… , 𝒏, então 𝐝𝐞𝐭𝑨 = 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟐…𝒂𝒏𝒏.</p><p>III. Se 𝑩 for obtida de 𝑨, multiplicando-se a primeira coluna por √𝟐 + 𝟏 e a segunda por √𝟐 − 𝟏,</p><p>mantendo-se inalteradas as demais colunas, então 𝐝𝐞𝐭𝑩 = 𝐝𝐞𝐭𝑨.</p><p>Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)</p><p>a) apenas II.</p><p>b) apenas III.</p><p>c) apenas I e II.</p><p>d) apenas II e III.</p><p>e) todas.</p><p>101. (ITA/2004)</p><p>160</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Seja 𝒙 ∈ ℝ e a matriz</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)−𝟏</p><p>𝟐𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓</p><p>]</p><p>Assinale a opção correta.</p><p>a) ∀𝒙 ∈ ℝ, 𝑨 possui inversa.</p><p>b) Apenas para 𝒙 > 𝟎, 𝑨 possui inversa.</p><p>c) São apenas dois os valores de 𝒙 para os quais 𝑨 possui inversa.</p><p>d) Não existe valor de 𝒙 para o qual 𝑨 possui inversa.</p><p>e) Para 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 , 𝑨 não possui inversa.</p><p>102. (ITA/2004)</p><p>Se 𝑨 é uma matriz real, considere as definições:</p><p>I. Uma matriz quadrada 𝑨 é ortogonal se e só se 𝑨 for inversível e 𝑨−𝟏 = 𝑨𝒕.</p><p>II. Uma matriz quadrada 𝑨 é diagonal se e só se 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎, para todo 𝒊, 𝒋 = 𝟏,… , 𝒏, com 𝒊 ≠ 𝒋.</p><p>Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais.</p><p>103. (ITA/2003)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑷 matrizes 𝒏 𝒙 𝒏 inversíveis e 𝑩 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷.</p><p>Das afirmações:</p><p>I. 𝑩𝒕 é inversível e (𝑩𝒕)−𝟏 = (𝑩−𝟏)𝒕.</p><p>II. Se 𝑨 é simétrica, então 𝑩 também o é.</p><p>III. 𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝝀𝑰) = 𝐝𝐞𝐭(𝑩 − 𝝀𝑰) , ∀𝝀 ∈ ℝ.</p><p>é(são) verdadeira(s):</p><p>a) todas.</p><p>b) apenas I.</p><p>c) apenas I e II.</p><p>d) apenas I e III.</p><p>e) apenas II e III.</p><p>104. (ITA/2003)</p><p>Sejam 𝒂, 𝒃, 𝒄 e 𝒅 números reais não-nulos. Exprima o valor do determinante da matriz</p><p>161</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>[</p><p>𝒃𝒄𝒅 𝟏 𝒂 𝒂𝟐</p><p>𝒂𝒄𝒅 𝟏 𝒃 𝒃𝟐</p><p>𝒂𝒃𝒅 𝟏 𝒄 𝒄𝟐</p><p>𝒂𝒃𝒄 𝟏 𝒅 𝒅𝟐</p><p>]</p><p>na forma de um produto de números reais.</p><p>105. (ITA/2002)</p><p>Seja 𝑨 uma matriz real 𝟐𝒙𝟐. Suponha que 𝜶 e 𝜷 sejam dois números distintos, e 𝑽 e 𝑾 duas matrizes</p><p>reais 𝟐𝒙𝟏 não-nulas, tais que 𝑨𝑽 = 𝜶𝑽 e 𝑨𝑾 = 𝜷𝑾.</p><p>Se 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ são tais que 𝒂𝑽 + 𝒃𝑾 é igual à matriz nula 𝟐𝒙𝟏, então 𝒂 + 𝒃 vale</p><p>a) 𝟎.</p><p>b) 𝟏.</p><p>c) −𝟏.</p><p>d) 𝟏/𝟐.</p><p>e) −𝟏/𝟐.</p><p>106. (ITA/2002)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes quadradas de ordem 𝒏 tais que 𝑨𝑩 = 𝑨 e 𝑩𝑨 = 𝑩.</p><p>Então, [(𝑨 + 𝑩)𝒕]𝟐 é igual a</p><p>a) (𝑨 + 𝑩)𝟐.</p><p>b) 𝟐(𝑨𝒕 ⋅ 𝑩𝒕).</p><p>c) 𝟐(𝑨𝒕 + 𝑩𝒕).</p><p>d) 𝑨𝒕 + 𝑩𝒕.</p><p>e) 𝑨𝒕𝑩𝒕.</p><p>107. (ITA/2002)</p><p>Seja a matriz</p><p>[</p><p>𝒄𝒐𝒔𝟐𝟓° 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟓°</p><p>𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝟎° 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟗𝟎°</p><p>]</p><p>O valor de seu determinante é</p><p>a)</p><p>𝟐√𝟐</p><p>𝟑</p><p>b)</p><p>𝟑√𝟑</p><p>𝟐</p><p>162</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c)</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>d) 𝟏</p><p>e) 𝟎</p><p>108. (ITA/2001)</p><p>Considere a matriz</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 𝟒</p><p>𝟏 𝟒 𝟗 𝟏𝟔</p><p>𝟏 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒</p><p>]</p><p>A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de 𝑨 é:</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>e) 5</p><p>109. (ITA/2001)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes 𝒏 𝒙 𝒏, e 𝑩 uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:</p><p>(I) 𝑨𝑩 + 𝑩𝑨𝒕 é simétrica.</p><p>(II) (𝑨 + 𝑨𝒕 + 𝑩) é simétrica.</p><p>(III) 𝑨𝑩𝑨𝒕 é simétrica.</p><p>temos que:</p><p>a) apenas (I) é verdadeira.</p><p>b) apenas (II) é verdadeira.</p><p>c) apenas (III) é verdadeira.</p><p>d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.</p><p>e) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>110. (ITA/2000)</p><p>Considere as matrizes mostradas na figura adiante</p><p>163</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑴 = (</p><p>𝟏 −𝟏 𝟑</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟐 𝟑 𝟏</p><p>) ,𝑵 = (</p><p>𝟏 𝟎 𝟐</p><p>𝟑 𝟐 𝟎</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>) , 𝑷 = (</p><p>𝟎</p><p>𝟏</p><p>𝟎</p><p>) 𝐞 𝑿 = (</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>𝒛</p><p>)</p><p>Se 𝑿 é solução de 𝑴−𝟏𝑵𝑿 = 𝑷, então 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 é igual a</p><p>a) 35.</p><p>b) 17.</p><p>c) 38.</p><p>d) 14.</p><p>e) 29.</p><p>111. (ITA/2000)</p><p>Sendo 𝒙 um número real positivo, considere as matrizes mostradas na figura a seguir</p><p>𝑨 = (</p><p>𝐥𝐨𝐠𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝒙𝟐 𝟏</p><p>𝟎 − 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 𝟏</p><p>)</p><p>𝑩 =</p><p>(</p><p>𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟏 𝟎</p><p>−𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝒙 −𝟒</p><p>)</p><p>A soma de todos os valores de 𝒙 para os quais (𝑨𝑩) = (𝑨𝑩)𝒕 é igual a</p><p>a)</p><p>𝟐𝟓</p><p>𝟑</p><p>b)</p><p>𝟐𝟖</p><p>𝟑</p><p>c)</p><p>𝟑𝟐</p><p>𝟑</p><p>d)</p><p>𝟐𝟕</p><p>𝟐</p><p>e)</p><p>𝟐𝟓</p><p>𝟐</p><p>112. (ITA/2000)</p><p>Considere as matrizes reais mostradas na figura adiante</p><p>𝑴 = (</p><p>𝒂 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝒃 𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝒄</p><p>) 𝐞 𝑰 = (</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟏</p><p>)</p><p>em que 𝒂 ≠ 𝟎 e 𝒂, 𝒃 e 𝒄 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 𝒒 > 𝟎. Sejam</p><p>𝝀𝟏, 𝝀𝟐 e 𝝀𝟑 as raízes da equação 𝐝𝐞𝐭(𝑴 − 𝝀𝑰) = 𝟎. Se 𝝀𝟏𝝀𝟐𝝀𝟑 = 𝒂 e 𝝀𝟏 + 𝝀𝟐 + 𝝀𝟑 = 𝟕𝒂,</p><p>então 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 é igual a</p><p>a) 𝟐𝟏/𝟖</p><p>164</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>b) 𝟗𝟏/𝟗</p><p>c) 𝟑𝟔/𝟗</p><p>d) 𝟐𝟏/𝟏𝟔</p><p>e) 𝟗𝟏/𝟑𝟔</p><p>113. (ITA/1999)</p><p>Sejam 𝒙, 𝒚 e 𝒛 números reais com 𝒚 ≠ 𝟎. Considere a matriz inversível</p><p>𝑨 = [</p><p>𝒙 𝟏 𝟏</p><p>𝒚 𝟎 𝟎</p><p>𝒛 −𝟏 𝟏</p><p>]</p><p>Então:</p><p>a) A soma dos termos da primeira linha de 𝑨−𝟏 é igual a 𝒙 + 𝟏.</p><p>b) A soma dos termos da primeira linha de 𝑨−𝟏 é igual a 0.</p><p>c) A soma dos termos da primeira coluna de 𝑨−𝟏 é igual a 1.</p><p>d) O produto dos termos da segunda linha de 𝑨−𝟏 é igual a 𝒚.</p><p>e) O produto dos termos da terceira coluna de 𝑨−𝟏 é igual a 1.</p><p>114. (ITA/1999)</p><p>Considere as matrizes</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎 −𝟏</p><p>𝟎 −𝟏 𝟐</p><p>] , 𝑰 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] , 𝑿 = [</p><p>𝒙</p><p>𝒚] , 𝑩 = [</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>].</p><p>Se 𝒙 e 𝒚 são soluções do sistema (𝑨𝑨𝒕 − 𝟑𝑰)𝑿 = 𝑩, então 𝒙 + 𝒚 é igual a:</p><p>a) 𝟐</p><p>b) 𝟏</p><p>c) 𝟎</p><p>d) −𝟏</p><p>e) −𝟐</p><p>115. (ITA/1998)</p><p>Sejam as matrizes reais de ordem 2,</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟐 + 𝒂 𝒂</p><p>𝟏 𝟏</p><p>] 𝐞 𝑩 = [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝒂 𝟐 + 𝒂</p><p>]</p><p>Então, a soma dos elementos da diagonal principal de (𝑨𝑩)−𝟏 é igual a:</p><p>165</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) 𝒂 + 𝟏</p><p>b) 𝟒(𝒂 + 𝟏)</p><p>c)</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>(𝟓 + 𝟐𝒂 + 𝒂𝟐)</p><p>d)</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>(𝟏 + 𝟐𝒂 + 𝒂𝟐)</p><p>e)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>(𝟓 + 𝟐𝒂 + 𝒂𝟐)</p><p>116. (ITA/1998)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe</p><p>uma matriz 𝑴 inversível tal que: 𝑨 = 𝑴−𝟏𝑩𝑴.</p><p>Então:</p><p>a) 𝐝𝐞𝐭(−𝑨𝒕) = 𝐝𝐞𝐭𝑩</p><p>b) 𝐝𝐞𝐭𝑨 = −𝐝𝐞𝐭𝑩</p><p>c) 𝐝𝐞𝐭(𝟐𝑨) = 𝟐𝐝𝐞𝐭𝑩</p><p>d) Se 𝐝𝐞𝐭𝑩 ≠ 𝟎 então 𝐝𝐞𝐭(−𝑨𝑩)</p><p>)</p><p>Sejam 𝝀𝟎, 𝝀𝟏 e 𝝀𝟐 as raízes da equação 𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝝀𝑰𝟑) = 𝟎 com 𝝀𝟎 ≤ 𝝀𝟏 ≤ 𝝀𝟐.</p><p>Considere as afirmações</p><p>(I) 𝑩 = 𝑨 − 𝝀𝟎𝑰𝟑</p><p>(II) 𝑩 = (𝑨 − 𝝀𝟏𝑰𝟑)𝑨</p><p>(III) 𝑩 = 𝑨(𝑨 − 𝝀𝟐𝑰𝟑)</p><p>Então</p><p>a) todas as afirmações são falsas.</p><p>b) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>c) apenas (I) é falsa.</p><p>d) apenas (II) é falsa.</p><p>166</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>e) apenas (III) é verdadeira.</p><p>118. (ITA/1996)</p><p>Seja 𝒂 ∈ ℝ e considere as matrizes reais 𝟐𝒙𝟐,</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟑𝒂 −𝟏</p><p>−𝟏 𝟑𝒂</p><p>] 𝐞 𝑩 = [𝟕</p><p>𝒂−𝟏 𝟖𝒂−𝟑</p><p>𝟕 𝟐−𝟑</p><p>]</p><p>O produto 𝑨𝑩 será inversível se e somente se:</p><p>a) 𝒂𝟐 − 𝟓𝒂 + 𝟔 ≠ 𝟎</p><p>b) 𝒂𝟐 − 𝟓𝒂 ≠ 𝟎</p><p>c) 𝒂𝟐 − 𝟑𝒂 ≠ 𝟎</p><p>d) 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂 + 𝟏 ≠ 𝟎</p><p>e) 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂 ≠ 𝟎</p><p>119. (ITA/1996)</p><p>Considere 𝑨 e 𝑩 matrizes reais 𝟐𝒙𝟐, arbitrárias. Das afirmações a seguir assinale a verdadeira.</p><p>Justifique a afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma das demais é falsa.</p><p>a) Se 𝑨 é não nula então 𝑨 possui inversa.</p><p>b) (𝑨𝑩)𝒕 = 𝑨𝒕𝑩𝒕</p><p>c) 𝐝𝐞𝐭(𝑨𝑩) = 𝐝𝐞𝐭(𝑩𝑨)</p><p>d) 𝐝𝐞𝐭𝑨𝟐 = 𝟐𝐝𝐞𝐭𝑨</p><p>e) (𝑨 + 𝑩)(𝑨 − 𝑩) = 𝑨𝟐 −𝑩𝟐</p><p>120. (ITA/1995)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes reais 𝟑𝒙𝟑. Se 𝒕𝒓(𝑨) denota a soma dos elementos da diagonal principal de 𝑨,</p><p>considere as afirmações:</p><p>[(I)] 𝒕𝒓(𝑨𝒕) = 𝒕𝒓(𝑨)</p><p>[(II)] Se 𝑨 é inversível, então 𝒕𝒓(𝑨) ≠ 𝟎.</p><p>[(III)] 𝒕𝒓(𝑨 + 𝝀𝑩) = 𝒕𝒓(𝑨) + 𝝀𝒕𝒓(𝑩), para todo 𝝀 ∈ ℝ.</p><p>Temos que:</p><p>a) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>b) todas as afirmações são falsas.</p><p>c) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>167</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) apenas a afirmação (II) é falsa.</p><p>e) apenas a afirmação (III) é falsa.</p><p>121. (ITA/1995)</p><p>Dizemos que duas matrizes 𝒏 𝒙 𝒏 𝑨 e 𝑩 são semelhantes se existe uma matriz 𝒏 𝒙 𝒏 inversível 𝑷 tal</p><p>que 𝑩 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷. Se 𝑨 e 𝑩 são matrizes semelhantes quaisquer, então:</p><p>a) 𝑩 é sempre inversível.</p><p>b) se 𝑨 é simétrica, então 𝑩 também é simétrica.</p><p>c) 𝑩𝟐 é semelhante a 𝑨.</p><p>d) se 𝑪 é semelhante a 𝑨, então 𝑩𝑪 é semelhante a 𝑨𝟐.</p><p>e) 𝐝𝐞𝐭(𝝀𝑰 − 𝑩) = 𝐝𝐞𝐭(𝝀𝑰 − 𝑨), onde 𝝀 é um real qualquer.</p><p>122. (IME/2021)</p><p>Calcule o(s) valor(es) de 𝒌 real(is) para que o determinante da matriz abaixo seja igual a 24.</p><p>[</p><p>1 3 1 2</p><p>1 𝑘 0 2</p><p>2 1 0 3</p><p>4 1 −1 3</p><p>]</p><p>123. (IME/2020)</p><p>Uma matriz A é semelhante a uma matriz B se e somente se existe uma matriz invertível P tal que</p><p>𝑨 = 𝑷 𝑩 𝑷−𝟏.</p><p>a) Se A e B forem semelhantes, mostre que 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝐝𝐞𝐭(𝑩).</p><p>b) Dadas 𝑪 = [</p><p>𝟒 𝟐</p><p>𝟑 𝟓</p><p>] 𝒆 𝑫 = [</p><p>𝟖 −𝟐</p><p>𝟑 𝟏</p><p>] , verifique se essas matrizes são semelhantes.</p><p>124. (IME/2019)</p><p>Calcule o valor do determinante:</p><p>|</p><p>𝟒 𝟐 𝟏</p><p>𝐥𝐨𝐠 𝟖𝟏 𝐥𝐨𝐠 𝟗𝟎𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝟎𝟎</p><p>(𝐥𝐨𝐠 𝟗)𝟐 𝟐 + 𝟒 𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝟐(𝐥𝐨𝐠 𝟑)𝟐 (𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝟐)𝟐</p><p>|</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 4</p><p>168</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) 8</p><p>e) 16</p><p>125. (IME/2018)</p><p>Sejam 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 𝐞 𝒙𝟒 os quatro primeiros termos de uma P.A. com 𝒙𝟏 = 𝒙 e razão 𝒓, com 𝒙, 𝒓 ∈ ℝ.</p><p>O determinante de</p><p>|</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟏</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟑</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒</p><p>|</p><p>é</p><p>a) 𝟎</p><p>b) 𝒙𝟒 ⋅ 𝒓</p><p>c) 𝒙𝟒 ⋅ 𝒓𝟑</p><p>d) 𝒙 ⋅ 𝒓𝟒</p><p>e) 𝒙 ⋅ 𝒓𝟑</p><p>126. (IME/2017)</p><p>Seja 𝑴 uma matriz real 𝟐𝒙𝟐. Defina uma função 𝒇 na qual cada elemento da matriz se desloca para</p><p>a posição seguinte no sentido horário, ou seja, se 𝑴 = (</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>), implica que 𝒇(𝑴) = (</p><p>𝒄 𝒂</p><p>𝒅 𝒃</p><p>).</p><p>Encontre todas as matrizes simétricas 𝟐𝒙𝟐 reais na qual 𝑴𝟐 = 𝒇(𝑴).</p><p>127. (IME/2017)</p><p>Seja 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝒂 −𝟐</p><p>𝒂 − 𝟐 𝟏 𝟏</p><p>𝟐 −𝟑 𝟏</p><p>] com 𝒂 ∈ ℝ. Sabe-se que 𝐝𝐞𝐭(𝑨𝟐 − 𝟐𝑨 + 𝑰) = 𝟏𝟔. A soma dos valores</p><p>de 𝒂 que satisfazem essa condição é:</p><p>Obs.: 𝐝𝐞𝐭(𝑿) denota o determinante da matriz 𝑿</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>e) 4</p><p>169</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>128. (IME/2016)</p><p>Seja 𝑨 = [</p><p>𝒂 𝒃</p><p>−𝒃 𝒂</p><p>]. O maior valor de 𝒂, com 𝒂 ≠ 𝟏, que satisfaz 𝑨𝟐𝟒 = 𝑰 é:</p><p>Observação: 𝑰 é a matriz identidade 𝟐𝒙𝟐.</p><p>a)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>b)</p><p>√𝟐</p><p>𝟐</p><p>c)</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>d)</p><p>√𝟐</p><p>𝟒</p><p>(√𝟑 − 𝟏)</p><p>e)</p><p>√𝟐</p><p>𝟒</p><p>(√𝟑 + 𝟏)</p><p>129. (IME/2015)</p><p>Sejam 𝑺 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 e 𝑷 = 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄. Calcule o determinante abaixo unicamente em função de 𝑺 e</p><p>𝑷.</p><p>|</p><p>𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄)𝟐 𝟐𝒃𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐 + 𝒄𝟐</p><p>𝟐𝒂𝟐 (𝒂 + 𝒄)𝟐 + 𝒃𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐 + 𝒄𝟐</p><p>𝒂𝟐 𝒃𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐</p><p>|</p><p>130. (IME/2015)</p><p>Dada a matriz 𝑨, a soma do módulo dos valores de 𝒙 que tornam o determinante da matriz 𝑨 nulo</p><p>é:</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐𝒙 𝟎 𝟎</p><p>𝒙𝟐 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟐</p><p>𝟏 𝒙 + 𝟒 𝟎 𝟎</p><p>𝒙 −𝟏 𝟏 𝒙 − 𝟐</p><p>]</p><p>a) 7</p><p>b) 8</p><p>c) 9</p><p>d) 10</p><p>e) 11</p><p>131. (IME/2014)</p><p>170</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Seja a matriz 𝑨 = [</p><p>𝒂 𝒃 𝒄</p><p>𝒃 𝒄 𝒂</p><p>𝒄 𝒂 𝒃</p><p>], em que 𝒂, 𝒃 𝐞 𝒄 são números reais positivos satisfazendo 𝒂𝒃𝒄 = 𝟏.</p><p>Sabe-se que 𝑨𝑻𝑨 = 𝑰, em que 𝑨𝑻 é a matriz transposta de 𝑨 e 𝑰 é a matriz identidade de 𝟑ª ordem.</p><p>O produto dos possiveis valores de 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 é</p><p>a) 2</p><p>b) 4</p><p>c) 6</p><p>d) 8</p><p>e) 10</p><p>132. (IME/2013)</p><p>Seja 𝚫 o determinante da matriz [</p><p>𝟏 𝟐 𝟑</p><p>𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑</p><p>𝒙 𝒙 𝟏</p><p>]. O número de possíveis valores de 𝒙 reais que anulam</p><p>𝚫 é</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>e) 4</p><p>133. (IME/2012)</p><p>São dadas as matrizes quadradas inversiveis 𝑨,𝑩 e 𝑪, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de</p><p>𝑪 vale (𝟒 − 𝒙), onde 𝒙 é um número real, o determinante da matriz inversa de 𝑩 vale −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>e que</p><p>(𝑪𝑨𝒕)𝒕 = 𝑷−𝟏𝑩𝑷, onde 𝑷 é uma matriz inversível.</p><p>Sabendo que 𝑨 = (</p><p>𝟎 𝟎 𝟏</p><p>𝟑 𝒙 𝟎</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>), determine os possíveis valores de 𝒙.</p><p>Obs.: (𝑴)𝒕 é a matriz transposta de 𝑴.</p><p>a) −𝟏 e 3</p><p>b) 1 e −𝟑</p><p>c) 2 e 3</p><p>d) 1 e 3</p><p>e) −𝟐 e −𝟑</p><p>171</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>134. (IME/2012)</p><p>Calcule as raízes de 𝒇(𝒙) em função de 𝒂, 𝒃 e 𝒄, sendo 𝒂, 𝒃, 𝒄 e 𝒙 ∈ ℝ (real) e</p><p>𝒇(𝒙) = |</p><p>𝒙 𝒂 𝒃 𝒄</p><p>𝒂 𝒙 𝒄 𝒃</p><p>𝒃 𝒄 𝒙 𝒂</p><p>𝒄 𝒃 𝒂 𝒙</p><p>|.</p><p>135. (IME/2010)</p><p>Demonstre que a matriz (</p><p>𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 𝒙𝒚 𝒙𝒛</p><p>𝒙𝒚 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 𝒚𝒛</p><p>𝒙𝒛 𝒚𝒛 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>), onde 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℕ, pode ser escrita como o</p><p>quadrado de uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto</p><p>dos números naturais.</p><p>Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal.</p><p>136. (IME/2010)</p><p>Considere o determinante de uma matriz de ordem 𝒏, definido por:</p><p>𝚫𝒏 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 … 𝟏 𝟏</p><p>−𝟏 𝟑 𝟎 𝟎 … 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 −𝟏 𝟑 𝟎 … 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 −𝟏 𝟑 … 𝟎 𝟎</p><p>… … … … … … …</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 … 𝟑 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 … −𝟏 𝟑</p><p>|</p><p>|</p><p>Sabendo que 𝚫𝟏 = 𝟏, o valor de 𝚫𝟏𝟎 é</p><p>a) 59049</p><p>b) 48725</p><p>c) 29524</p><p>d) 9841</p><p>e) 364</p><p>137. (IME/2009)</p><p>Seja 𝑨 uma matriz quadrada inversível de ordem 4 tal que o resultado da soma (𝑨𝟒 + 𝟑𝑨𝟑) é uma</p><p>matriz de elementos nulos. O valor do determinante de 𝑨 é</p><p>a) −𝟖𝟏</p><p>b) −𝟐𝟕</p><p>172</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c) −𝟑</p><p>d) 𝟐𝟕</p><p>e) 𝟖𝟏</p><p>138. (IME/2008)</p><p>Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes reais da equação:</p><p>|</p><p>𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒙</p><p>𝐥𝐨𝐠 𝟔𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙</p><p>𝟏 𝟏 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙</p><p>| = 𝟎</p><p>a) 𝟏, 𝟎</p><p>b) 𝝅</p><p>c) 𝟏𝟎, 𝟎</p><p>d) 𝟏𝟏, 𝟎</p><p>e) 𝟏𝟏, 𝟏</p><p>139. (IME/2007)</p><p>Seja a matriz 𝑫 dada por:</p><p>𝑫 = [</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝒑 𝒒 𝒓</p><p>𝒔𝒆𝒏(�̂�) 𝒔𝒆𝒏(�̂�) 𝒔𝒆𝒏(�̂�)</p><p>]</p><p>na qual 𝒑, 𝒒 𝐞 𝒓 são lados de um triângulo cujos ângulos opostos são, respectivamente, �̂�, �̂� 𝐞 �̂�. O</p><p>valor do determinante de 𝑫 é</p><p>a) −𝟏</p><p>b) 𝟎</p><p>c) 𝟏</p><p>d) 𝝅</p><p>e) 𝒑 + 𝒒 + 𝒓</p><p>140. (IME/2007)</p><p>Considere as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟑</p><p>𝟒</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>𝟑</p><p>𝟒</p><p>] 𝐞 𝑩 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>], e seja 𝑷 uma matriz inversível tal que 𝑩 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷.</p><p>Sendo 𝒏 um número natural, calcule o determinante da matriz 𝑨𝒏.</p><p>173</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>141. (IME/2006)</p><p>Seja 𝑫𝒏 = 𝐝𝐞𝐭(𝑨𝒏), onde</p><p>𝑨𝒏 =</p><p>[</p><p>𝟐 −𝟏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 𝟎</p><p>−𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎 ⋯ 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 −𝟏 𝟐 −𝟏 ⋯ 𝟎 𝟎</p><p>⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟐 −𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ⋯ −𝟏 𝟐 ]</p><p>𝒏𝒙𝒏</p><p>Determine 𝑫𝒏 em função de 𝒏 (𝒏 ∈ ℕ, 𝒏 ≥ 𝟏).</p><p>142. (IME/2004)</p><p>Calcule o número natural 𝒏 que torna o determinante abaixo igual a 5.</p><p>|</p><p>𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 −𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏</p><p>𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒏 − 𝟏) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒏 + 𝟏) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒏 − 𝟏) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒏 − 𝟏)</p><p>|</p><p>143. (IME/2002)</p><p>Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa.</p><p>Considerando esta definição, determine se a matriz [𝑹], abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-</p><p>se que 𝒏 é um número inteiro e 𝜶 é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.</p><p>[𝑹] = [</p><p>𝐜𝐨𝐬(𝒏𝜶) −𝐬𝐞𝐧(𝒏𝜶) 𝟎</p><p>𝐬𝐞𝐧(𝒏𝜶) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝜶) 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟏</p><p>]</p><p>144. (IME/2000)</p><p>Calcule o determinante:</p><p>𝑫 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟕 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟗 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟑</p><p>|</p><p>|</p><p>145. (IME/1999)</p><p>Determine uma matriz não singular 𝑷 que satisfaça a equação matricial 𝑷−𝟏𝑨 = [</p><p>𝟔 𝟎</p><p>𝟎 −𝟏</p><p>], onde 𝑨 =</p><p>[</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟓 𝟒</p><p>].</p><p>174</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>146. (IME/1994)</p><p>Um aluno, ao inverter a matriz</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝒂 𝒃</p><p>𝟎 𝒄 𝒅</p><p>𝟒 𝒆 𝒇</p><p>] = [𝒂𝒊𝒋], 𝟏 ≤ 𝒋, 𝒋 ≤ 𝟑</p><p>cometeu um engano, e considerou o elemento 𝒂𝟏𝟑 igual a 3, de forma que acabou invertendo a</p><p>matriz</p><p>𝑩 = [</p><p>𝟏 𝒂 𝒃</p><p>𝟎 𝒄 𝒅</p><p>𝟑 𝒆 𝒇</p><p>] = [𝒃𝒊𝒋]</p><p>Com esse engano o aluno encontrou</p><p>𝑩−𝟏 = [</p><p>𝟓/𝟐 𝟎 −𝟏/𝟐</p><p>𝟑 𝟏 −𝟏</p><p>−𝟓/𝟐 𝟎 𝟏/𝟐</p><p>]</p><p>Determinar 𝑨−𝟏.</p><p>Obs.: O elemento (𝟑, 𝟏) de 𝑩−𝟏 deve ser −𝟑/𝟐.</p><p>147. (IME/1993)</p><p>Determine os valores de 𝒙 para que:</p><p>|</p><p>𝒙 𝟐 𝟒 𝟔</p><p>𝒙 𝒙 + 𝟐 𝟎 𝟏𝟎</p><p>𝒙𝟐 𝟎 𝟒𝒙 𝟒</p><p>𝒙 𝟒 𝟏𝟎 𝒙 − 𝟐</p><p>| = 𝟎</p><p>148. (IME/1992)</p><p>Calcule o valor do determinante abaixo:</p><p>𝑫𝒏 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝒎 + 𝒙 𝒎 𝒎 𝒎 ⋯ 𝒎</p><p>𝒎 𝒎+ 𝒙 𝒎 𝒎 ⋯ 𝒎</p><p>𝒎 𝒎 𝒎+ 𝒙 𝒎 ⋯ 𝒎</p><p>𝒎 𝒎 𝒎 𝒎+ 𝒙 ⋯ 𝒎</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝒎 𝒎 𝒎 𝒎 ⋯ 𝒎+ 𝒙</p><p>|</p><p>|</p><p>149. (IME/1991)</p><p>Determine todas as matrizes 𝑿 reais, de dimensões 𝟐𝒙𝟐, tais que 𝑨𝑿 = 𝑿𝑨, para toda matriz 𝑨 real</p><p>𝟐𝒙𝟐.</p><p>175</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>150. (IME/1990)</p><p>Calcule o determinante da matriz 𝒏𝒙𝒏 que possui zeros na diagonal principal e todos os outros</p><p>elementos iguais a 𝟏.</p><p>151. (IME/1989)</p><p>Calcule o determinante da matriz</p><p>[</p><p>𝒂𝟐 (𝒂 + 𝟏)𝟐 (𝒂 + 𝟐)𝟐 (𝒂 + 𝟑)𝟐</p><p>𝒃𝟐 (𝒃 + 𝟏)𝟐 (𝒃 + 𝟐)𝟐 (𝒃 + 𝟑)𝟐</p><p>𝒄𝟐 (𝒄 + 𝟏)𝟐 (𝒄 + 𝟐)𝟐 (𝒄 + 𝟑)𝟐</p><p>𝒅𝟐 (𝒅 + 𝟏)𝟐 (𝒅 + 𝟐)𝟐 (𝒅 + 𝟑)𝟐]</p><p>152. (IME/1988)</p><p>Sejam 𝑨,𝑩 𝐞 𝑪 matrizes 𝟓𝒙𝟓, com elementos reais. Denotando-se por 𝑨′ a matriz transposta de 𝑨:</p><p>a) Mostre que se 𝑨 ⋅ 𝑨′ = 𝟎, então 𝑨 = 𝟎.</p><p>b) Mostre que se 𝑩 ⋅ 𝑨 ⋅ 𝑨′ = 𝑪 ⋅ 𝑨 ⋅ 𝑨′, então 𝑩 ⋅ 𝑨 = 𝑪 ⋅ 𝑨.</p><p>153. (IME/1987)</p><p>Sejam</p><p>𝑨 = (</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>𝒆 𝒇</p><p>𝒈 𝒉</p><p>) 𝐞 𝑩 = (</p><p>𝒊 𝒋 𝒍 𝒎</p><p>𝒏 𝒐 𝒑 𝒒</p><p>)</p><p>duas matrizes de elementos inteiros. Verifique se a matriz 𝑨𝑩 é inversível.</p><p>GABARITO</p><p>79.</p><p>80. b</p><p>81. a</p><p>82. a</p><p>83. e</p><p>84. a</p><p>85. c</p><p>86. 𝐚) 𝑩 = [</p><p>𝒂 𝒂 − 𝟏 𝟏 − 𝒂</p><p>𝒅 𝟏 + 𝒅 −𝒅</p><p>] 𝐛) 𝐒𝐢𝐦. 𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: [</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>]</p><p>87. e</p><p>88. a</p><p>89. c</p><p>90. b</p><p>176</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>91. c</p><p>92. Ordem 5</p><p>93. 𝑴 = (</p><p>𝒙 𝟎</p><p>𝟎 𝒙</p><p>) , 𝐜𝐨𝐦 𝒙 ∈ ℝ</p><p>94. c</p><p>95. (</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>) , (</p><p>−𝟏 𝟎</p><p>𝟎 −𝟏</p><p>) , (√𝟏 − 𝒃</p><p>𝟐 𝒃</p><p>𝒃 −√𝟏 − 𝒃𝟐</p><p>) , (−√𝟏 − 𝒃</p><p>𝟐 𝒃</p><p>𝒃 √𝟏 − 𝒃𝟐</p><p>) , 𝒃 ∈ [−𝟏; 𝟏]</p><p>96. d</p><p>97. 𝒄𝟑𝟒 = −</p><p>𝟐</p><p>𝟏𝟏</p><p>98. d</p><p>99. Demonstração</p><p>100. d</p><p>101. a</p><p>102.</p><p>(</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>) ; (</p><p>−1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>) ; (</p><p>1 0 0</p><p>0 −1 0</p><p>0 0 1</p><p>) ; (</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 −1</p><p>)</p><p>(</p><p>−1 0 0</p><p>0 −1 0</p><p>0 0 1</p><p>) ; (</p><p>−1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 −1</p><p>) ; (</p><p>1 0 0</p><p>0 −1 0</p><p>0 0 −1</p><p>) ; (</p><p>−1 0 0</p><p>0 −1 0</p><p>0 0 −1</p><p>)</p><p>103. d</p><p>104. (𝒅 − 𝒄)(𝒅 − 𝒃)(𝒅 − 𝒂)(𝒄 − 𝒃)(𝒄 − 𝒂)(𝒃 − 𝒂)</p><p>105. a</p><p>106. c</p><p>107. e</p><p>108. a</p><p>109. e</p><p>110. a</p><p>111. b</p><p>112. a</p><p>113. c</p><p>114. d</p><p>115. c</p><p>116. a</p><p>117. e</p><p>118. e</p><p>119. c</p><p>120. d</p><p>121. e</p><p>122. 𝒌 = 𝟓</p><p>123. a) Demonstração b) 𝑪 e 𝑫 são semelhantes</p><p>124. e</p><p>125. e</p><p>126. 𝑴 = (</p><p>𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎</p><p>) ,𝑴 = (</p><p>𝟎 𝟏</p><p>𝟏 𝟎</p><p>) ,𝑴 = (</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>) 𝐨𝐮 𝑴 = (</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>127. d</p><p>128. e</p><p>177</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>129. 𝟐𝑺𝟑𝑷</p><p>130. a</p><p>131. Questão anulada</p><p>132. c</p><p>133. d</p><p>134. 𝒙 = −(𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝒐𝒖 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 𝒐𝒖 𝒙 = 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 𝒐𝒖 𝒙 = −𝒂 + 𝒃 + 𝒄</p><p>135. Demonstração</p><p>136. c</p><p>137. e</p><p>138. e</p><p>139. b</p><p>140. 𝐝𝐞𝐭𝑨𝒏 = (</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>𝒏</p><p>141. 𝑫𝒏 = 𝒏 + 𝟏</p><p>142. 𝒏 = 𝟑</p><p>143. Prova</p><p>144. 𝑫 = 𝟒𝟔𝟎𝟖𝟎</p><p>145. 𝑷 = [</p><p>𝟏</p><p>𝟔</p><p>−𝟐</p><p>𝟓</p><p>𝟔</p><p>−𝟒</p><p>]</p><p>146. 𝑨−𝟏 = [</p><p>𝟓 𝟎 −𝟏</p><p>𝟖 𝟏 −𝟐</p><p>−𝟒 𝟎 𝟏</p><p>]</p><p>147. 𝒙 = {−𝟐, 𝟎,</p><p>𝟒</p><p>𝟕</p><p>}</p><p>148. 𝑫𝒏 = 𝒙</p><p>𝒏 +𝒎𝒏𝒙𝒏−𝟏</p><p>149. 𝑿 = [</p><p>𝒎 𝟎</p><p>𝟎 𝒎</p><p>]</p><p>150. 𝑫𝒏 = (𝒏 − 𝟏)(−𝟏)</p><p>𝒏−𝟏</p><p>151. 𝑫 = 𝟎</p><p>152. Prova</p><p>153. 𝑨𝑩 é não inversível</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>79. (ITA/2021)</p><p>Determine todos os valores do número real 𝒂 para os quais a matriz</p><p>(</p><p>𝟏 𝒂𝟑 −𝒂 𝟑 𝟐</p><p>𝟐 𝒂𝟐 𝟏 𝒂𝟑 𝒂</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 −𝒂𝟐</p><p>−𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝟑</p><p>𝒂𝟐 𝟎 𝟎 −𝟑 𝟎 )</p><p>é não singular.</p><p>Comentários</p><p>Vamos calcular o determinante da matriz:</p><p>178</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐷 = |</p><p>|</p><p>1 𝑎3 −𝑎 3 2</p><p>2 𝑎2 1 𝑎3 𝑎</p><p>0 0 0 𝑎 −𝑎2</p><p>−𝑎 0 0 0 3</p><p>𝑎2 0 0 −3 0</p><p>|</p><p>|</p><p>Da segunda coluna e da terceira linha, podemos colocar os fatores comuns 𝒂𝟐 e 𝒂 em</p><p>evidência, respectivamente. Logo:</p><p>𝐷 = 𝑎2 ⋅ 𝑎 ⋅ |</p><p>|</p><p>1 𝑎 −𝑎 3 2</p><p>2 1 1 𝑎3 𝑎</p><p>0 0 0 1 −𝑎</p><p>−𝑎 0 0 0 3</p><p>𝑎2 0 0 −3 0</p><p>|</p><p>| = 𝑎3 ⋅ |</p><p>|</p><p>1 𝑎 −𝑎 3 2</p><p>2 1 1 𝑎3 𝑎</p><p>0 0 0 1 −𝑎</p><p>−𝑎 0 0 0 3</p><p>𝑎2 0 0 −3 0</p><p>|</p><p>|</p><p>Aplicando a regra de Chió:</p><p>𝐷 = 𝑎3 ⋅ |</p><p>1 − 2𝑎 1 + 2𝑎 𝑎3 − 6 𝑎 − 4</p><p>0 0 1 −𝑎</p><p>𝑎2 −𝑎2 3𝑎 3 + 2𝑎</p><p>−𝑎3 𝑎3 −3 − 3𝑎2 −2𝑎2</p><p>|</p><p>Fazendo 𝐶1 → 𝐶1 + 𝐶2:</p><p>𝐷 = 𝑎3 ⋅ |</p><p>2 1 + 2𝑎 𝑎3 − 6 𝑎 − 4</p><p>0 0 1 −𝑎</p><p>0 −𝑎2 3𝑎 3 + 2𝑎</p><p>0 𝑎3 −3 − 3𝑎2 −2𝑎2</p><p>|</p><p>Aplicando o teorema de Laplace na primeira coluna:</p><p>𝐷 = 𝑎3(2) ⋅ (−1)1+1 ⋅ |</p><p>0 1 −𝑎</p><p>−𝑎2 3𝑎 3 + 2𝑎</p><p>𝑎3 −3 − 3𝑎2 −2𝑎2</p><p>|</p><p>𝐷 = 2𝑎3[𝑎3(3 + 2𝑎) − 𝑎3(3 + 3𝑎2) + 3𝑎5 − 2𝑎4</p><p>𝐷 = 2𝑎6(3 + 2𝑎 − 3 − 3𝑎2 + 3𝑎2 − 2𝑎) = 2𝑎6(0) = 0</p><p>Portanto, a matriz é singular para qualquer 𝑎 real. Logo, não existe valor de 𝑎 real que</p><p>torna a matriz não singular.</p><p>Gabarito:</p><p>80. (ITA/2020)</p><p>Considere o conjunto 𝑴(𝒏, 𝒌) de todas as matrizes quadradas de ordem 𝒏 × 𝒏, com exatamente 𝒌</p><p>elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes 𝑳 ∈ 𝑴(𝟑, 𝟏)</p><p>e 𝑹 ∈ 𝑴(𝟒, 𝟐), a probabilidade de que 𝑳𝟐 = 𝟎 e 𝑹𝟐 = 𝟎 é igual a</p><p>a)</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>.</p><p>b)</p><p>𝟏</p><p>𝟓</p><p>.</p><p>c)</p><p>𝟒</p><p>𝟏𝟓</p><p>.</p><p>179</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d)</p><p>𝟏𝟑</p><p>𝟑𝟎</p><p>.</p><p>e)</p><p>𝟐𝟗</p><p>𝟑𝟎</p><p>.</p><p>Comentários</p><p>I) Analisemos as matrizes 𝐿 ∈ 𝑀(3, 1). Como 𝑛 = 3 e 𝑘 = 1, temos uma matriz de ordem</p><p>3𝑥3 e um único elemento igual a 1. Temos, por exemplo:</p><p>𝐿 = (</p><p>0 0 0</p><p>1 0 0</p><p>0 0 0</p><p>) ⇒ 𝐿2 = (</p><p>0 0 0</p><p>1 0 0</p><p>0 0 0</p><p>)(</p><p>0 0 0</p><p>1 0 0</p><p>0 0 0</p><p>) = (</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>)</p><p>𝐿 = (</p><p>1 0 0</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>) ⇒ 𝐿2 = (</p><p>1 0 0</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>)(</p><p>1 0 0</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>) = (</p><p>1 0 0</p><p>0 0 0</p><p>0 0 0</p><p>)</p><p>Note que nesse caso, se o elemento 1 estiver na diagonal principal, 𝐿2 ≠ 0. Portanto, das</p><p>9 posições possíveis, podemos escolher apenas 6 (excluindo-se a diagonal principal) para inserir</p><p>o elemento 1. Assim, temos:</p><p>𝑃(𝐿2 = 0) =</p><p>6</p><p>9</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>II) 𝑅 ∈ 𝑀(4, 2), temos matrizes de ordem 4𝑥4 e 2 elementos 1. Como analisamos no item</p><p>I, se tivermos um elemento na diagonal principal, a matriz 𝑅2 ≠ 0. Então, para o primeiro</p><p>elemento 1, temos que ele pode escolher 12 das 16 posições possíveis (excluindo-se a diagonal</p><p>principal), logo, essa probabilidade é</p><p>12</p><p>16</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>Para o segundo elemento 1, devemos analisar do seguinte modo.</p><p>Seja 𝑅 definido por (𝑟𝑖𝑗),</p><p>assim, temos que os elementos de 𝑅2 serão:</p><p>(𝑅2)𝑖𝑗 =∑ 𝑟𝑖𝑘⏟</p><p>𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎</p><p>⋅ 𝑟𝑘𝑗⏟</p><p>𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎</p><p>4</p><p>𝑘=1</p><p>Então, para obtermos uma matriz nula desse produto, temos que o segundo 1 não pode</p><p>ocupar a diagonal principal (4 casos) e também não pode ocupar as posições que fazem com que</p><p>𝑟𝑖𝑘 ⋅ 𝑟𝑘𝑗 = 1, isso ocorre quando a linha do segundo elemento 1 é a coluna do primeiro (3 casos</p><p>excluindo-se a diagonal principal) e quando a coluna do segundo elemento 1 é a linha do primeiro</p><p>elemento (2 casos), logo, das 15 posições possíveis para o segundo elemento, temos:</p><p>𝑃(𝑅2 = 0) =</p><p>3</p><p>4</p><p>⋅</p><p>15 − 4 − 3 − 2</p><p>15</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>⋅</p><p>6</p><p>15</p><p>=</p><p>3</p><p>10</p><p>Portanto, a probabilidade pedida é:</p><p>𝑃(𝐿2 = 0) ⋅ 𝑃(𝑅2 = 0) =</p><p>2</p><p>3</p><p>⋅</p><p>3</p><p>10</p><p>=</p><p>1</p><p>5</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>81. (ITA/2019)</p><p>180</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes 𝑨 de ordem 𝒏 𝒙 𝒏 inversiveis, tais que os</p><p>seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:</p><p>I. |𝒅𝒆𝒕(𝑨)| = 𝟏.</p><p>II. 𝑨𝑻 = 𝑨−𝟏.</p><p>III. 𝑨 + 𝑨−𝟏 é uma matriz diagonal.</p><p>É(são) sempre VERDADEIRA(S)</p><p>a) apenas I.</p><p>b) apenas III.</p><p>c) apenas I e II.</p><p>d) apenas I e III.</p><p>e) todas.</p><p>Comentários</p><p>I. Verdadeira.</p><p>Como os elementos da matriz 𝐴 e os de sua inversão são todos inteiros, temos que det 𝐴</p><p>e det 𝐴−1 são ambos inteiros. Sabendo que:</p><p>det 𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>Temos, necessariamente, det 𝐴 = ±1 e isso implica |det 𝐴| = 1.</p><p>II. Falsa.</p><p>Temos uma afirmação muito genérica. Normalmente, afirmações desse tipo são falsas,</p><p>vamos encontrar um contra-exemplo:</p><p>Se 𝐴 = (</p><p>2 1</p><p>7 4</p><p>), temos 𝐴−1 = (</p><p>4 −1</p><p>−7 2</p><p>) e 𝐴𝑇 = (</p><p>2 7</p><p>1 4</p><p>).</p><p>Note que |det 𝐴| = 1.</p><p>III. Falsa.</p><p>Novamente, vamos encontrar um contra-exemplo:</p><p>Se 𝐴 = (</p><p>1 2 3</p><p>0 1 4</p><p>0 0 1</p><p>), temos 𝐴−1 = (</p><p>1 −2 5</p><p>0 1 −4</p><p>0 0 1</p><p>). Logo, 𝐴 + 𝐴−1 = (</p><p>2 0 8</p><p>0 2 0</p><p>0 0 2</p><p>) e essa</p><p>não é uma matriz diagonal.</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>82. (ITA/2018)</p><p>Uma progressão aritmética (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏) satisfaz a propriedade: para cada 𝒏 ∈ ℕ, a soma da</p><p>progressão é igual a 𝟐𝒏𝟐 + 𝟓𝒏. Nessas condições, o determinante da matriz [</p><p>𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑</p><p>𝒂𝟒 𝒂𝟓 𝒂𝟔</p><p>𝒂𝟕 + 𝟐 𝒂𝟖 𝒂𝟗</p><p>] é</p><p>181</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) −𝟗𝟔.</p><p>b) −𝟖𝟓.</p><p>c) 𝟔𝟑.</p><p>d) 𝟗𝟗.</p><p>e) 𝟏𝟏𝟓.</p><p>Comentários</p><p>O enunciado nos dá a soma dos 𝑛 termos da progressão, podemos encontrar os termos da</p><p>PA e sua razão:</p><p>𝑆𝑛 = 2𝑛</p><p>2 + 5𝑛</p><p>𝑛 = 1 ⇒ 𝑆1 = 𝑎1 = 2 ⋅ (1)</p><p>2 + 5 ⋅ 1 = 7</p><p>𝑛 = 2 ⇒ 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 = 2 ⋅ (2)</p><p>2 + 5 ⋅ 2 = 18 ⇒ 𝑎2 = 18 − 7 = 11</p><p>𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = 11 − 7 = 4</p><p>Vamos substituir os termos da PA e calcular o determinante da matriz:</p><p>|</p><p>𝑎1 𝑎2 𝑎3</p><p>𝑎4 𝑎5 𝑎6</p><p>𝑎7 + 2 𝑎8 𝑎9</p><p>| = |</p><p>7 11 15</p><p>19 23 27</p><p>33 35 39</p><p>|</p><p>Para facilitar os cálculos, vamos simplificar o determinante. Lembrando que aplicando-se</p><p>o Teorema de Jacobi, o determinante não se altera, então, temos:</p><p>Multiplicando a segunda coluna por (−1) e somando à terceira:</p><p>|</p><p>7 11 15</p><p>19 23 27</p><p>33 35 39</p><p>| = |</p><p>7 11 4</p><p>19 23 4</p><p>33 35 4</p><p>| = 4 ⋅ |</p><p>7 11 1</p><p>19 23 1</p><p>33 35 1</p><p>|</p><p>Multiplicando a primeira coluna por (−1) e somando à segunda:</p><p>4 ⋅ |</p><p>7 11 1</p><p>19 23 1</p><p>33 35 1</p><p>| = 4 ⋅ |</p><p>7 4 1</p><p>19 4 1</p><p>33 2 1</p><p>| = 8 ⋅ |</p><p>7 2 1</p><p>19 2 1</p><p>33 1 1</p><p>|</p><p>Multiplicando a primeira linha por (−1) e somando à segunda e à terceira, encontramos:</p><p>8 ⋅ |</p><p>7 2 1</p><p>19 2 1</p><p>33 1 1</p><p>| = 8 ⋅ |</p><p>7 2 1</p><p>12 0 0</p><p>26 −1 0</p><p>| = 8 ⋅ (−12) = −96</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>83. (ITA/2018)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes quadradas 𝒏 𝒙 𝒏 tais que 𝑨 + 𝑩 = 𝑨 ⋅ 𝑩 e 𝑰𝒏 a matriz identidade 𝒏 𝒙 𝒏. Das</p><p>afirmações:</p><p>182</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>I. 𝑰𝒏 − 𝑩 é inversível;</p><p>II. 𝑰𝒏 − 𝑨 é inversível;</p><p>III. 𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝑩 ⋅ 𝑨.</p><p>é (são) verdadeira(s)</p><p>a) Somente I.</p><p>b) Somente II.</p><p>c) Somente III.</p><p>d) Somente I e II.</p><p>e) Todas.</p><p>Comentários</p><p>Sabemos que uma matriz é inversível se, e somente se, o seu determinante é diferente de</p><p>zero. Então, analisando a afirmação I e II, se det(𝐼𝑛 − 𝐵) ≠ 0 e det(𝐼𝑛 − 𝐴) ≠ 0, temos que 𝐼𝑛 −</p><p>𝐵 e 𝐼𝑛 − 𝐴 são inversíveis.</p><p>O enunciado diz que:</p><p>𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝐵</p><p>Vamos manipular a equação de modo a encontrar 𝐼 − 𝐴 e 𝐼 − 𝐵:</p><p>𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝐵 ⇒ 𝐴 − 𝐴𝐵 + 𝐵 = 0</p><p>Subtraindo 𝐼, a matriz identidade 𝑛 𝑥 𝑛, nos dois lados da equação:</p><p>𝐴 − 𝐴𝐵 + 𝐵 − 𝐼 = −𝐼 ⇒ 𝐴(𝐼 − 𝐵) − (𝐼 − 𝐵) = −𝐼 ⇒ (𝐴 − 𝐼)(𝐼 − 𝐵) = −𝐼</p><p>⇒ (𝐼 − 𝐴)(𝐼 − 𝐵) = 𝐼</p><p>Aplicando o determinante, encontramos:</p><p>det[(𝐼 − 𝐴)(𝐼 − 𝐵)] = 1 ⇒ det(𝐼 − 𝐴) det(𝐼 − 𝐵) = 1</p><p>Logo, analisando a equação acima, temos det(𝐼 − 𝐴) ≠ 0 e det(𝐼 − 𝐵) ≠ 0. Portanto,</p><p>ambas as matrizes são inversíveis e uma é a inversa da outra (devido ao produto (𝐼 − 𝐴)(𝐼 − 𝐵) =</p><p>𝐼).</p><p>A afirmação III afirma que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Sabemos que as matrizes (𝐼 − 𝐴) e (𝐼 − 𝐵) são</p><p>inversas uma da outra, então:</p><p>𝐼 = (𝐼 − 𝐵)(𝐼 − 𝐴) = 𝐼 − 𝐴 − 𝐵 + 𝐵𝐴 = 𝐼 − (𝐴 + 𝐵)⏟</p><p>𝐴𝐵</p><p>+ 𝐵𝐴 = 𝐼 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴</p><p>⇒ 𝐼 = 𝐼 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴</p><p>Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>84. (ITA/2017)</p><p>183</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Sejam 𝑫 = [</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟐 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟑</p><p>] e 𝑷 = [</p><p>𝟕 𝟎 𝟐</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟐 𝟎 𝟓</p><p>].</p><p>Considere 𝑨 = 𝑷−𝟏𝑫𝑷. O valor de 𝒅𝒆𝒕(𝑨𝟐 + 𝑨) é</p><p>a) 144.</p><p>b) 180.</p><p>c) 240.</p><p>d) 324.</p><p>e) 360.</p><p>Comentários</p><p>Usando o Teorema de Binet, temos:</p><p>det(𝐴2 + 𝐴) = det[𝐴(𝐴 + 𝐼)] = det 𝐴 ⋅ det(𝐴 + 𝐼)</p><p>O enunciado da questão afirma que:</p><p>𝐴 = 𝑃−1𝐷𝑃</p><p>Aplicando o determinante:</p><p>det 𝐴 = det(𝑃−1𝐷𝑃) = det 𝑃−1 ⋅ det 𝐷 ⋅ det 𝑃 = det 𝐷</p><p>Para calcular o determinante de 𝐴 + 𝐼, vamos somar 𝐼 na identidade dada:</p><p>𝐴 + 𝐼 = 𝑃−1𝐷𝑃 + 𝐼⏟</p><p>𝑃−1𝑃</p><p>⇒ 𝐴 + 𝐼 = 𝑃−1𝐷𝑃 + 𝑃−1𝑃</p><p>𝐴 + 𝐼 = 𝑃−1(𝐷𝑃 + 𝑃) = 𝑃−1(𝐷 + 𝐼)𝑃 ⇒ det(𝐴 + 𝐼) = det(𝐷 + 𝐼)</p><p>Dessa forma, precisamos calcular o valor da seguinte expressão:</p><p>det(𝐴2 + 𝐴) = det 𝐴 ⋅ det(𝐴 + 𝐼) = det𝐷 ⋅ det(𝐷 + 𝐼)</p><p>Vamos calcular det 𝐷:</p><p>det 𝐷 = |</p><p>1 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 3</p><p>| = 6</p><p>det(𝐷 + 𝐼) = |</p><p>2 0 0</p><p>0 3 0</p><p>0 0 4</p><p>| = 24</p><p>Substituindo esses resultados na equação, obtemos:</p><p>det(𝐴2 + 𝐴) = det 𝐷 ⋅ det(𝐷 + 𝐼) = 6 ⋅ 24 = 144</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>85. (ITA/2016)</p><p>Se 𝑴 = [</p><p>𝟏 −𝟏</p><p>𝟐 𝟎</p><p>] e 𝑵 = [</p><p>𝟐 𝟏</p><p>−𝟏 𝟑</p><p>], então 𝑴𝑵𝑻 −𝑴−𝟏𝑵 é igual a</p><p>184</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>b) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟕</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>c) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>d) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟓</p><p>𝟐</p><p>𝟏𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>e) [</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟏𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏𝟑</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>Vamos calcular a inversa de 𝑀, seja 𝑀−1 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]:</p><p>𝑀𝑀−1 = 𝐼 ⇒ [</p><p>1 −1</p><p>2 0</p><p>] [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>{</p><p>𝑎 − 𝑐 = 1</p><p>𝑏 − 𝑑 = 0</p><p>2𝑎 = 0</p><p>2𝑏 = 1</p><p>⇒ {</p><p>𝑎 = 0 ⇒ 𝑐 = −1</p><p>𝑏 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⇒ 𝑑 =</p><p>1</p><p>2</p><p>⇒ 𝑀−1 = [</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>−1</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>Calculando o valor da expressão:</p><p>𝑀𝑁𝑇 −𝑀−1𝑁 = [</p><p>1 −1</p><p>2 0</p><p>] [</p><p>2 −1</p><p>1 3</p><p>] − [</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>−1</p><p>1</p><p>2</p><p>] [</p><p>2 1</p><p>−1 3</p><p>] = [</p><p>1 −4</p><p>4 −2</p><p>] − [</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>−</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>= [</p><p>3</p><p>2</p><p>−</p><p>11</p><p>2</p><p>13</p><p>2</p><p>−</p><p>5</p><p>2</p><p>]</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>86. (ITA/2016)</p><p>Seja 𝑨 a matriz de ordem 𝟑𝒙𝟐, dada por 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>𝟏 𝟏</p><p>].</p><p>a) Determine todas as matrizes 𝑩 tais que 𝑩𝑨 = 𝑰𝟐.</p><p>b) Existe uma matriz 𝑩 com 𝑩𝑨 = 𝑰𝟐 que satisfaça 𝑩𝑩𝑻 = 𝑰𝟐? Se sim, dê um exemplo de uma dessas</p><p>matrizes.</p><p>185</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Comentários</p><p>a) Seja 𝐵 = [</p><p>𝑎 𝑏 𝑐</p><p>𝑑 𝑒 𝑓</p><p>], então, temos:</p><p>𝐵𝐴 = 𝐼2 ⇒ [</p><p>𝑎 𝑏 𝑐</p><p>𝑑 𝑒 𝑓</p><p>] [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>1 1</p><p>] = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>] ⇒ {</p><p>𝑎 + 𝑐 = 1</p><p>𝑏 + 𝑐 = 0</p><p>𝑑 + 𝑓 = 0</p><p>𝑒 + 𝑓 = 1</p><p>Vamos colocar todas as variáveis em função de 𝑎 e 𝑑:</p><p>{</p><p>𝑎 + 𝑐 = 1</p><p>𝑏 + 𝑐 = 0</p><p>𝑑 + 𝑓 = 0</p><p>𝑒 + 𝑓 = 1</p><p>⇒ {</p><p>𝑐 = 1 − 𝑎</p><p>𝑏 = −𝑐 = 𝑎 − 1</p><p>𝑓 = −𝑑</p><p>𝑒 = 1 − 𝑓 = 1 + 𝑑</p><p>∴ 𝐵 = [</p><p>𝑎 𝑎 − 1 1 − 𝑎</p><p>𝑑 1 + 𝑑 −𝑑</p><p>]</p><p>b) Vamos verificar se existe a matriz:</p><p>𝐵𝐵𝑇 = 𝐼2 ⇒ [</p><p>𝑎 𝑎 −</p><p>1 1 − 𝑎</p><p>𝑑 1 + 𝑑 −𝑑</p><p>] [</p><p>𝑎 𝑑</p><p>𝑎 − 1 1 + 𝑑</p><p>1 − 𝑎 −𝑑</p><p>] = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>{</p><p>𝑎2 + (𝑎 − 1)2 + (1 − 𝑎)2 = 1</p><p>𝑎𝑑 + (𝑎 − 1)(1 + 𝑑) − (1 − 𝑎)𝑑 = 0</p><p>𝑑2 + (1 + 𝑑)2 + 𝑑2 = 1</p><p>⇒</p><p>{</p><p>3𝑎2 − 4𝑎 + 1 = 0 ⇒ 𝑎 = 1 𝑜𝑢 𝑎 =</p><p>1</p><p>3</p><p>3𝑎𝑑 + 𝑎 − 1 − 2𝑑 = 0 ⇒ 𝑎 =</p><p>2𝑑 + 1</p><p>3𝑑 + 1</p><p>𝑑(3𝑑 + 2) = 0 ⇒ 𝑑 = 0 𝑜𝑢 𝑑 = −</p><p>2</p><p>3</p><p>Analisando o sistema acima, podemos verificar que as soluções são dadas por:</p><p>(𝑎; 𝑑) ∈ {(1; 0); (</p><p>1</p><p>3</p><p>;−</p><p>2</p><p>3</p><p>)}</p><p>Para 𝑎 = 1 e 𝑑 = 0, temos a seguinte matriz:</p><p>𝐵 = [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>]</p><p>Gabarito: a) 𝑩 = [</p><p>𝒂 𝒂 − 𝟏 𝟏 − 𝒂</p><p>𝒅 𝟏 + 𝒅 −𝒅</p><p>] b) Sim. Exemplo: [</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>]</p><p>87. (ITA/2015)</p><p>Seja 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝟓𝒙𝟓</p><p>a matriz tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟐</p><p>𝒊−𝟏(𝟐𝒋 − 𝟏), 𝟏 ≤ 𝒊, 𝒋 ≤ 𝟓. Considere as afirmações a</p><p>seguir:</p><p>I. Os elementos de cada linha 𝒊 formam uma progressão aritmética de razão 𝟐𝒊.</p><p>II. Os elementos de cada coluna 𝒋 formam uma progressão geométrica de razão 2.</p><p>III. 𝒕𝒓𝑨 é um número primo.</p><p>É (são) verdadeira(s)</p><p>186</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) apenas I.</p><p>b) apenas I e II.</p><p>c) apenas II e III.</p><p>d) apenas I e III.</p><p>e) I, ll e III.</p><p>Comentários</p><p>I. Vamos analisar os elementos da linha 𝑖.</p><p>Se 𝑎𝑖𝑗 = 2</p><p>𝑖−1(2𝑗 − 1), então:</p><p>𝑎𝑖,𝑗+1 = 2</p><p>𝑖−1(2(𝑗 + 1) − 1) = 2𝑖−1((2𝑗 − 1) + 2) = 2𝑖−1(2𝑗 − 1)⏟</p><p>𝑎𝑖𝑗</p><p>+ 2𝑖</p><p>⇒ 𝑎𝑖,𝑗+1 − 𝑎𝑖𝑗 = 2</p><p>𝑖</p><p>Os elementos de cada linha dessa matriz formam uma PA de razão 2𝑖.</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>II. Vamos analisar os elementos de cada coluna:</p><p>𝑎𝑖𝑗 = 2</p><p>𝑖−1(2𝑗 − 1)</p><p>𝑎𝑖+1,𝑗 = 2</p><p>𝑖(2𝑗 − 1) = 2 ⋅ 2𝑖−1(2𝑗 − 1)⏟</p><p>𝑎𝑖𝑗</p><p>= 2 ⋅ 𝑎𝑖𝑗</p><p>⇒ 𝑎𝑖+1,𝑗 = 2 ⋅ 𝑎𝑖𝑗</p><p>Pela equação acima, podemos ver que ela é uma PG de razão 𝑞 = 2.</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>III. Sendo 𝐴 uma matriz 5𝑥5, então, pela definição de 𝑡𝑟𝐴, temos:</p><p>𝑡𝑟𝐴 =∑𝑎𝑘,𝑘</p><p>5</p><p>𝑘=1</p><p>Usando os dados do enunciado:</p><p>𝑎𝑖𝑗 = 2</p><p>𝑖−1(2𝑗 − 1)</p><p>𝑎1,1 = 2</p><p>1−1(2 ⋅ 1 − 1) = 1</p><p>𝑎2,2 = 2</p><p>2−1(2 ⋅ 2 − 1) = 6</p><p>𝑎3,3 = 2</p><p>3−1(2 ⋅ 3 − 1) = 20</p><p>𝑎4,4 = 2</p><p>4−1(2 ⋅ 4 − 1) = 56</p><p>𝑎5,5 = 2</p><p>5−1(2 ⋅ 5 − 1) = 144</p><p>⇒ 𝑡𝑟𝐴 = 1 + 6 + 20 + 56 + 144 = 227</p><p>227 é um número primo, logo, afirmação verdadeira.</p><p>187</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>∴ 𝑇𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>88. (ITA/2014)</p><p>Seja 𝑴 uma matriz quadrada de ordem 𝟑, inversivel, que satisfaz a igualdade</p><p>𝐝𝐞𝐭(𝟐𝑴𝟐) − 𝐝𝐞𝐭(√𝟐</p><p>𝟑</p><p>𝑴𝟑) =</p><p>𝟐</p><p>𝟗</p><p>𝐝𝐞𝐭 (𝟑𝑴).</p><p>Então, um valor possível para o determinante da inversa de 𝑴 é</p><p>a) 𝟏/𝟑</p><p>b) 𝟏/𝟐</p><p>c) 𝟐/𝟑</p><p>d) 𝟒/𝟓</p><p>e) 𝟓/𝟒</p><p>Comentários</p><p>Usando as propriedades dos determinantes e sabendo que a matriz é de ordem 3, temos:</p><p>det(2𝑀2) − det(√2</p><p>3</p><p>𝑀3) =</p><p>2</p><p>9</p><p>det (3𝑀)</p><p>23(det𝑀)2 − √2</p><p>3 3</p><p>(det𝑀)3 =</p><p>2</p><p>9</p><p>⋅ 33 det𝑀</p><p>8(det𝑀)2 − 2(det𝑀)3 = 6det𝑀</p><p>Fazendo det𝑀 = 𝑥:</p><p>2𝑥3 − 8𝑥2 + 6𝑥 = 0</p><p>𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 3) = 0</p><p>𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0</p><p>Assim, encontramos os possíveis valores para o determinante de 𝑀:</p><p>det𝑀 = 0 𝑜𝑢 det𝑀 = 1 𝑜𝑢 det𝑀 = 3</p><p>Lembrando que det𝑀−1 =</p><p>1</p><p>det𝑀</p><p>e que para 𝑀 ter inversa, devemos ter det𝑀 ≠ 0, temos:</p><p>det𝑀−1 = 1 𝑜𝑢 det𝑀−1 =</p><p>1</p><p>3</p><p>Portanto, encontramos o gabarito na letra a.</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>89. (ITA/2014)</p><p>Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas 𝑨 e 𝑩 de ordem 𝒏, com 𝑨 inversível</p><p>e 𝑩 antissimétrica:</p><p>I. Se o produto 𝑨𝑩 for inversível, então 𝒏 é par;</p><p>188</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>II. Se o produto 𝑨𝑩 não for inversível, então 𝒏 é ímpar;</p><p>III. Se 𝑩 for inversível, então 𝒏 é par.</p><p>Destas afirmações, é (são) verdadeira(s)</p><p>a) Apenas I.</p><p>b) Apenas I e II.</p><p>c) Apenas I e III.</p><p>d) Apenas II e III.</p><p>e) Todas.</p><p>Comentários</p><p>I. Vamos verificar se 𝑨𝑩 é inversível:</p><p>Se 𝐴 é uma matriz inversível, temos det 𝐴 ≠ 0.</p><p>Como 𝐵 é antissimétrica, temos:</p><p>𝐵𝑡 = −𝐵 ⇒ det 𝐵𝑡 = det(−𝐵) ⇒ det 𝐵 = (−1)𝑛 det 𝐵 ⇒ det𝐵 (1 − (−1)𝑛) = 0</p><p>Se 𝑛 for par:</p><p>det 𝐵 (1 − (−1)𝑛) = 0 ⇒ det 𝐵 (1 − 1) = 0</p><p>Nesse caso, det 𝐵 não é necessariamente igual a zero.</p><p>Se 𝑛 for ímpar:</p><p>det 𝐵 (1 − (−1)𝑛) = 0 ⇒ det 𝐵 (2) = 0 ⇒ det𝐵 = 0</p><p>Então, se 𝐴𝐵 é inversível, temos det(𝐴𝐵) ≠ 0 e, assim, det 𝐴⏟</p><p>≠0</p><p>⋅ det 𝐵⏟</p><p>≠0</p><p>≠ 0. Desse modo,</p><p>devemos ter 𝑛 par para det 𝐵 ≠ 0.</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>II. Se 𝐴𝐵 não for inversível, devemos ter det 𝐵 = 0. Sabemos que 𝑛 ímpar implica det 𝐵 =</p><p>0, mas, 𝑛 par também pode ocasionar det 𝐵 = 0. Logo, afirmação falsa.</p><p>∴ 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑎</p><p>III. Como analisamos na afirmação I, devemos ter 𝑛 par para 𝐵 ser inversível.</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>90. (ITA/2014)</p><p>Considere a equação 𝑨(𝒕) ⋅ 𝑿 = 𝑩(𝒕), 𝒕 ∈ ℝ, em que 𝑨(𝒕) = [</p><p>𝟐𝒆−𝟐𝒕 −𝒆𝟐𝒕 −𝟏</p><p>−𝟏 𝟏 𝟏</p><p>−𝟑 𝟏 𝟐</p><p>] , 𝑿 =</p><p>[</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>𝒛</p><p>] 𝐞 𝑩(𝒕) = [</p><p>𝒆𝒕</p><p>−√𝟐</p><p>𝟎</p><p>]. Sabendo que 𝐝𝐞𝐭𝑨(𝒕) = 𝟏 e 𝒕 ≠ 𝟎, os valores de 𝒙, 𝒚 e 𝒛 são,</p><p>respectivamente,</p><p>189</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) 𝟐√𝟐, 𝟎,−𝟑√𝟐.</p><p>b) −𝟐√𝟐, 𝟎,−𝟑√𝟐.</p><p>c) 𝟎, 𝟑√𝟐, 𝟐√𝟐.</p><p>d) 𝟎, 𝟐√𝟑, √𝟑.</p><p>e) 𝟐√𝟑,−√𝟑, 𝟎.</p><p>Comentários</p><p>Inicialmente, devemos calcular o valor de 𝑡. Se det 𝐴(𝑡) = 1, temos:</p><p>det 𝐴(𝑡) = |</p><p>2𝑒−2𝑡 −𝑒2𝑡 −1</p><p>−1 1 1</p><p>−3 1 2</p><p>| = 1</p><p>4𝑒−2𝑡 + 3𝑒2𝑡 + 1 − 3 − 2𝑒−2𝑡 − 2𝑒2𝑡 = 1</p><p>2𝑒−2𝑡 + 𝑒2𝑡 − 3 = 0</p><p>𝑒4𝑡 − 3𝑒2𝑡 + 2 = 0 ⇒ (𝑒2𝑡 − 2)(𝑒2𝑡 − 1) = 0</p><p>Raízes:</p><p>𝑒2𝑡 = 1 ⇒ 𝑡 = 0, não convém, pois 𝑡 ≠ 0</p><p>𝑒2𝑡 = 2 ⇒ 𝑒𝑡 = √2</p><p>⇒ 𝑒2𝑡 = 2</p><p>⇒ 𝑒−2𝑡 =</p><p>1</p><p>2</p><p>Vamos usar a equação para calcular os valores pedidos:</p><p>𝐴(𝑡) ⋅ 𝑋 = 𝐵(𝑡) ⇒ [</p><p>2𝑒−2𝑡 −𝑒2𝑡 −1</p><p>−1 1 1</p><p>−3 1 2</p><p>] [</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑧</p><p>] = [</p><p>𝑒𝑡</p><p>−√2</p><p>0</p><p>]</p><p>⇒ [</p><p>1 −2 −1</p><p>−1 1 1</p><p>−3 1 2</p><p>] [</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑧</p><p>] = [</p><p>√2</p><p>−√2</p><p>0</p><p>]</p><p>{</p><p>𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = √2 (𝐼)</p><p>−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −√2 (𝐼𝐼)</p><p>−3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>Fazendo (𝐼) + (𝐼𝐼), encontramos 𝑦 = 0.</p><p>De (𝐼𝐼𝐼), para 𝑦 = 0 temos 𝑧 = 3𝑥/2. Substituindo em (𝐼):</p><p>𝑥 −</p><p>3𝑥</p><p>2</p><p>= √2 ⇒ −</p><p>𝑥</p><p>2</p><p>= √2 ⇒ 𝑥 = −2√2</p><p>⇒ 𝑧 = −3√2</p><p>Portanto:</p><p>190</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−2√2, 0, −3√2)</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>91. (ITA/2013)</p><p>Considere 𝑨 ∈ 𝑴𝟓𝒙𝟓(ℝ) com 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = √𝟔 e 𝜶 ∈ ℝ\{𝟎}. Se 𝐝𝐞𝐭(𝜶𝑨𝒕𝑨𝑨𝒕) = √𝟔𝜶𝟐, o valor de 𝜶 é</p><p>a) 𝟏/𝟔</p><p>b) √𝟔/𝟔</p><p>c) √𝟑𝟔</p><p>𝟑</p><p>/𝟔</p><p>d) 𝟏</p><p>e) √𝟐𝟏𝟔</p><p>Comentários</p><p>Usando as propriedades dos determinantes e o Teorema de Binet, temos:</p><p>det(𝛼𝐴𝑡𝐴𝐴𝑡) = √6𝛼2 ⇒ 𝛼5 det 𝐴𝑡 det 𝐴 det 𝐴𝑡 = √6𝛼2</p><p>𝛼2(𝛼3(det 𝐴)3 − √6) = 0</p><p>Como 𝛼 ≠ 0 e det 𝐴 = √6, temos:</p><p>𝛼3 (det 𝐴⏟</p><p>√6</p><p>)</p><p>3</p><p>− √6 = 0</p><p>𝛼 = √</p><p>√6</p><p>√63</p><p>3</p><p>= √</p><p>1</p><p>6</p><p>3</p><p>=</p><p>√36</p><p>3</p><p>6</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>92. (ITA/2012)</p><p>Considere a matriz quadrada 𝑨 em que os termos da diagonal principal são 𝟏, 𝟏 + 𝒙𝟏, 𝟏 + 𝒙𝟐, … , 𝟏 +</p><p>𝒙𝒏 e todos os outros termos são iguais a 1. Sabe-se que (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏) é uma progressão geométrica</p><p>cujo primeiro termo é 𝟏/𝟐 e a razão é 4. Determine a ordem da matriz 𝑨 para que o seu</p><p>determinante seja igual a 𝟐𝟓𝟔.</p><p>Comentários</p><p>De acordo com o enunciado:</p><p>𝐴 =</p><p>[</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 + 𝑥1 1 ⋯ 1</p><p>1 1 1 + 𝑥2 1</p><p>⋮ ⋱ 1</p><p>1 1 1 ⋯ 1 + 𝑥𝑛]</p><p>⇒ det 𝐴 = |</p><p>|</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 + 𝑥1 1 ⋯ 1</p><p>1 1 1 + 𝑥2 1</p><p>⋮ ⋱ 1</p><p>1 1 1 ⋯ 1 + 𝑥𝑛</p><p>|</p><p>|</p><p>Já que 𝑎11 = 1, podemos aplicar a regra de Chió:</p><p>191</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det 𝐴 = |</p><p>|</p><p>𝑥1 0 0 0</p><p>0 𝑥2 0 ⋯ 0</p><p>0 0 𝑥3 0</p><p>⋮ ⋱ 0</p><p>0 0 0 ⋯ 𝑥𝑛</p><p>|</p><p>| = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑛</p><p>Como (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) é uma PG, podemos usar a propriedade dos termos equidistantes da</p><p>PG:</p><p>det 𝐴 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑛 = (𝑥1 ⋅ 𝑥𝑛⏟</p><p>𝑥1⋅𝑞</p><p>𝑛−1</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>2</p><p>= (𝑥1</p><p>2 ⋅ 𝑞𝑛−1)</p><p>𝑛</p><p>2</p><p>Substituindo os valores:</p><p>det 𝐴 = ((</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>4𝑛−1)</p><p>𝑛</p><p>2</p><p>= (22𝑛−4)</p><p>𝑛</p><p>2 = 2(𝑛−2)𝑛</p><p>det 𝐴 = 256 ⇒ 2(𝑛−2)𝑛 = 28 ⇒ 𝑛2 − 2𝑛 − 8 = 0</p><p>(𝑛 − 4)(𝑛 + 2) = 0 ⇒ 𝑛 = 4 𝑜𝑢 𝑛 = −2</p><p>𝑛 é a ordem da matriz, então, deve ser um número positivo. Logo, 𝑛 = 4. Como aplicamos</p><p>a regra</p><p>de Chió uma vez, a ordem da matriz 𝐴 é igual a 𝑛 + 1 = 5.</p><p>Gabarito: ordem 5</p><p>93. (ITA/2011)</p><p>Determine todas as matrizes 𝑴 ∈ 𝕄𝟐𝒙𝟐(ℝ) tais que 𝑴𝑵 = 𝑵𝑴, ∀𝑵 ∈ 𝕄𝟐𝒙𝟐(ℝ).</p><p>Comentários</p><p>Sejam 𝑴 = (</p><p>𝒙 𝒚</p><p>𝒛 𝒘</p><p>) e 𝑵 = (</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>). De acordo com o enunciado, temos:</p><p>𝑴𝑵 = 𝑵𝑴,∀𝑵 ∈ 𝕄𝟐𝒙𝟐</p><p>⇒ (</p><p>𝒙 𝒚</p><p>𝒛 𝒘</p><p>) (</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>) = (</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>) (</p><p>𝒙 𝒚</p><p>𝒛 𝒘</p><p>)</p><p>⇒ (</p><p>𝒂𝒙 + 𝒄𝒚 𝒃𝒙 + 𝒅𝒚</p><p>𝒂𝒛 + 𝒄𝒘 𝒃𝒛 + 𝒅𝒘</p><p>) = (</p><p>𝒂𝒙 + 𝒃𝒛 𝒂𝒚 + 𝒃𝒘</p><p>𝒄𝒙 + 𝒅𝒛 𝒄𝒚 + 𝒅𝒘</p><p>)</p><p>Assim, encontramos o seguinte sistema:</p><p>{</p><p>𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑧</p><p>𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑤</p><p>𝑎𝑧 + 𝑐𝑤 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑧</p><p>𝑏𝑧 + 𝑑𝑤 = 𝑐𝑦 + 𝑑𝑤</p><p>⇒</p><p>{</p><p>𝑐𝑦 = 𝑏𝑧 (𝐼)</p><p>𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑤 (𝐼𝐼)</p><p>𝑎𝑧 + 𝑐𝑤 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑧 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>𝑏𝑧 = 𝑐𝑦 (𝐼𝑉)</p><p>Queremos todas as matrizes 𝑀 quadradas de ordem 2 que satisfaçam a equação 𝑀𝑁 =</p><p>𝑁𝑀 para qualquer matriz 𝑁 quadrada e real. Como 𝑏 e 𝑐 são elementos da matriz 𝑁, para</p><p>qualquer valor dessas variáveis serem válidas, devemos ter pelas equações (𝐼) e (𝐼𝑉): 𝑦 = 𝑧 = 0.</p><p>Substituindo esses valores nas equações (𝐼𝐼) e (𝐼𝐼𝐼), obtemos:</p><p>𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑤 (𝐼𝐼) ⇒ 𝑏𝑥 = 𝑏𝑤</p><p>192</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑎𝑧 + 𝑐𝑤 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑧 (𝐼𝐼𝐼) ⇒ 𝑐𝑤 = 𝑐𝑥</p><p>Analisando as equações acima, vemos que elas são verdadeiras para qualquer 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ se</p><p>𝑤 = 𝑥. Desse modo, as matrizes 𝑀 que satisfazem as condições do problema são do tipo:</p><p>𝑀 = (</p><p>𝑥 0</p><p>0 𝑥</p><p>) = 𝑥 ⋅ 𝐼2, com 𝑥 ∈ ℝ</p><p>Gabarito: 𝑴 = (</p><p>𝒙 𝟎</p><p>𝟎 𝒙</p><p>) , 𝐜𝐨𝐦 𝒙 ∈ ℝ</p><p>94. (ITA/2010)</p><p>Sobre os elementos da matriz</p><p>𝑨 = [</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒</p><p>𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝒚𝟒</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟏</p><p>𝟏 𝟎 𝟎 𝟎</p><p>] ∈ 𝑴𝟒𝒙𝟒(ℝ)</p><p>sabe-se que (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒) e (𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑, 𝒚𝟒) são duas progressões geométricas de razão 3 e 4 e de</p><p>soma 80 e 255, respectivamente, então, 𝐝𝐞𝐭(𝑨−𝟏) e o elemento (𝑨−𝟏)𝟐𝟑 valem, respectivamente,</p><p>a)</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e 𝟏𝟐</p><p>b) −</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e −𝟏𝟐</p><p>c) −</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e 𝟏𝟐</p><p>d) −</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e</p><p>𝟏</p><p>𝟏𝟐</p><p>e)</p><p>𝟏</p><p>𝟕𝟐</p><p>e</p><p>𝟏</p><p>𝟏𝟐</p><p>Comentários</p><p>Podemos calcular o valor dos termos usando os dados do enunciado.</p><p>Para (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4):</p><p>𝑥1 + 3𝑥1 + 3</p><p>2𝑥1 + 3</p><p>3𝑥1 = 80 ⇒ 𝑥1 =</p><p>80</p><p>1 + 3 + 9 + 27</p><p>= 2</p><p>Para (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝑦4):</p><p>𝑦1 + 4𝑦1 + 4</p><p>2𝑦1 + 4</p><p>3𝑦1 = 255 ⇒ 𝑦1 =</p><p>255</p><p>1 + 4 + 16 + 64</p><p>= 3</p><p>Então, a matriz 𝐴 é dada por:</p><p>𝐴 = [</p><p>2 6 18 54</p><p>3 12 48 192</p><p>0 0 0 1</p><p>1 0 0 0</p><p>]</p><p>Vamos calcular o valor do seu determinante:</p><p>det 𝐴 = |</p><p>2 6 18 54</p><p>3 12 48 192</p><p>0 0 0 1</p><p>1 0 0 0</p><p>| = 2 ⋅ 3 ⋅ |</p><p>1 3 9 27</p><p>1 4 16 64</p><p>0 0 0 1</p><p>1 0 0 0</p><p>|</p><p>193</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Aplicando a regra de Chió:</p><p>det 𝐴 = 6 ⋅ |</p><p>4 − 3 16 − 9 64 − 27</p><p>0 0 1</p><p>0 − 3 0 − 9 0 − 27</p><p>| = 6 ⋅ |</p><p>1 7 37</p><p>0 0 1</p><p>−3 −9 −27</p><p>| = 6 ⋅ (−21 + 9) = −72</p><p>det 𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>= −</p><p>1</p><p>72</p><p>Para encontrar o elemento (𝐴−1)23, não precisamos calcular toda a matriz 𝐴−1, basta usar</p><p>o método do determinante:</p><p>(𝐴−1)23 =</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ 𝑐𝑜𝑓23𝐴</p><p>𝑡 =</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ 𝑐𝑜𝑓32𝐴</p><p>(𝐴−1)23 = −</p><p>1</p><p>72</p><p>⋅ (−1)3+2 ⋅ |</p><p>2 18 54</p><p>3 48 192</p><p>1 0 0</p><p>| =</p><p>1</p><p>72</p><p>⋅ 6 ⋅ |</p><p>1 9 27</p><p>1 16 64</p><p>1 0 0</p><p>| =</p><p>1</p><p>12</p><p>⋅ (9 ⋅ 64 − 16 ⋅ 27)</p><p>(𝐴−1)23 = 12</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>95. (ITA/2008)</p><p>Uma matriz real quadrada 𝑨 é ortogonal se 𝑨 é inversível e 𝑨−𝟏 = 𝑨𝒕. Determine todas as matrizes</p><p>𝟐𝒙𝟐 que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus</p><p>elementos que estão fora da diagonal principal.</p><p>Comentários</p><p>A questão pede todas as matrizes 2𝑥2 simétricas e ortogonais. Se 𝐴 é simétrica, podemos</p><p>escrever:</p><p>𝐴 = 𝐴𝑡 ⇒ 𝐴 = (</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑏 𝑐</p><p>)</p><p>𝐴 é ortogonal se 𝐴 é inversível e vale a igualdade 𝐴−1 = 𝐴𝑡, então:</p><p>𝐴−1 = 𝐴𝑡 ⇒ 𝐴𝐴−1⏟</p><p>𝐼</p><p>= 𝐴𝐴𝑡 ⇒ (</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>) = (</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑏 𝑐</p><p>) (</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑏 𝑐</p><p>)</p><p>{</p><p>𝑎2 + 𝑏2 = 1</p><p>𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 0 ⇒ 𝑏(𝑎 + 𝑐) = 0</p><p>𝑏2 + 𝑐2 = 1</p><p>I) Se 𝑏 = 0, temos:</p><p>𝑏(𝑎 + 𝑐) = 0 ⇒ 𝑎 = ±1 e 𝑐 = ±1</p><p>Possíveis matrizes:</p><p>(</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>) , (</p><p>−1 0</p><p>0 −1</p><p>) , (</p><p>1 0</p><p>0 −1</p><p>) , (</p><p>−1 0</p><p>0 1</p><p>)</p><p>II) Se 𝑏 ≠ 0, temos</p><p>𝑏(𝑎 + 𝑐) = 0 ⇒ 𝑐 = −𝑎</p><p>𝑎2 + 𝑏2 = 1 ⇒ 𝑎 = ±√1 − 𝑏2 ⇒ 𝑐 = ∓√1 − 𝑏2</p><p>194</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Para esse caso, como a matriz deve ser real devemos ter 1 − 𝑏2 ≥ 0:</p><p>−1 ≤ 𝑏 ≤ 1</p><p>Possíveis matrizes:</p><p>(</p><p>±√1 − 𝑏2 𝑏</p><p>𝑏 ∓√1 − 𝑏2</p><p>) , 𝑏 ∈ [−1; 1]</p><p>Portanto, as possíveis matrizes são dadas por:</p><p>(</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>) , (</p><p>−1 0</p><p>0 −1</p><p>) , (</p><p>√1 − 𝑏2 𝑏</p><p>𝑏 −√1 − 𝑏2</p><p>) , (</p><p>−√1 − 𝑏2 𝑏</p><p>𝑏 √1 − 𝑏2</p><p>) , 𝑏 ∈ [−1; 1]</p><p>As matrizes (</p><p>1 0</p><p>0 −1</p><p>) e (</p><p>−1 0</p><p>0 1</p><p>) já estão inclusas nas matrizes do caso II, com 𝑏 = 0.</p><p>Gabarito: (</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>) , (</p><p>−𝟏 𝟎</p><p>𝟎 −𝟏</p><p>) , (√𝟏 − 𝒃</p><p>𝟐 𝒃</p><p>𝒃 −√𝟏 − 𝒃𝟐</p><p>) , (−√𝟏 − 𝒃</p><p>𝟐 𝒃</p><p>𝒃 √𝟏 − 𝒃𝟐</p><p>) , 𝒃 ∈ [−𝟏; 𝟏]</p><p>96. (ITA/2008)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑪 matrizes 𝒏 𝒙 𝒏 inversíveis tais que 𝐝𝐞𝐭(𝑰 + 𝑪−𝟏𝑨) = 𝟏/𝟑 e 𝐝𝐞𝐭𝑨 = 𝟓. Sabendo-se que</p><p>𝑩 = 𝟑(𝑨−𝟏 + 𝑪−𝟏)𝒕, então o determinante de 𝑩 é igual a</p><p>a) 𝟑𝒏</p><p>b) 𝟐 ⋅ (</p><p>𝟑𝒏</p><p>𝟓𝟐</p><p>)</p><p>c) 𝟏/𝟓</p><p>d)</p><p>𝟑𝒏−𝟏</p><p>𝟓</p><p>e) 𝟓 ⋅ 𝟑𝒏−𝟏</p><p>Comentários</p><p>Vamos aplicar o determinante em 𝐵:</p><p>𝐵 = 3(𝐴−1 + 𝐶−1)𝑡 ⇒ det𝐵 = det[3(𝐴−1 + 𝐶−1)𝑡]</p><p>Agora, devemos manipular a equação de forma a obter as variáveis fornecidas na questão:</p><p>det 𝐵 = 3𝑛 ⋅ det (𝐴−1 + 𝐶−1⏟</p><p>𝐴−1+𝐶−1𝐼</p><p>) = 3𝑛 ⋅ det(𝐴−1 + 𝐶−1𝐴𝐴−1) = 3𝑛 ⋅ det((𝐼 + 𝐶−1𝐴)𝐴−1)</p><p>⇒ det𝐵 = 3𝑛 ⋅ det(𝐼 + 𝐶−1𝐴) ⋅ det 𝐴−1 = 3𝑛 ⋅</p><p>det(𝐼 + 𝐶−1𝐴)</p><p>det 𝐴</p><p>Substituindo o valor das variáveis, encontramos:</p><p>det 𝐵 = 3𝑛 ⋅</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>5</p><p>=</p><p>3𝑛−1</p><p>5</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>97. (ITA/2006)</p><p>195</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Sejam as matrizes</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎 𝟏/𝟐 −𝟏</p><p>−𝟐 𝟓 𝟐 −𝟑</p><p>𝟏 −𝟏 𝟐 𝟏</p><p>−𝟓 𝟏 𝟑/𝟐 𝟎</p><p>] e 𝑩 = [</p><p>𝟏 𝟑 −𝟏/𝟐 𝟏</p><p>𝟏 −𝟐 −𝟐 𝟑</p><p>−𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟓 −𝟏 𝟏/𝟐 𝟓</p><p>]</p><p>Determine o elemento 𝒄𝟑𝟒 da matriz 𝑪 = (𝑨 + 𝑩)−𝟏.</p><p>Comentários</p><p>Questão que pede o elemento de uma matriz inversa 4𝑥4. Para encontrá-lo, basta usar o</p><p>método do determinante:</p><p>𝐴 + 𝐵 = [</p><p>1 0 1/2 −1</p><p>−2 5 2 −3</p><p>1 −1 2 1</p><p>−5 1 3/2 0</p><p>] + [</p><p>1 3 −1/2 1</p><p>1 −2 −2 3</p><p>−1 1 1 1</p><p>5 −1 1/2 5</p><p>] = [</p><p>2 3 0 0</p><p>−1 3 0 0</p><p>0 0 3 2</p><p>0 0 2 5</p><p>]</p><p>𝐶 = (𝐴 + 𝐵)−1 =</p><p>1</p><p>det(𝐴 + 𝐵)</p><p>⋅ (𝐴 + 𝐵)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ =</p><p>1</p><p>det(𝐴 + 𝐵)</p><p>⋅ [(𝐴 + 𝐵)′]𝑡</p><p>𝑐34 =</p><p>1</p><p>det(𝐴 + 𝐵)</p><p>⋅ 𝑐𝑜𝑓43(𝐴 + 𝐵)</p><p>Calculando o determinante:</p><p>det(𝐴 + 𝐵) = |</p><p>2 3 0 0</p><p>−1 3 0 0</p><p>0 0 3 2</p><p>0 0 2 5</p><p>|</p><p>Somando a segunda linha com a primeira, temos:</p><p>det(𝐴 + 𝐵) = |</p><p>1 6 0 0</p><p>−1 3 0 0</p><p>0 0 3 2</p><p>0 0 2 5</p><p>|</p><p>Aplicando a regra de Chió:</p><p>det(𝐴 + 𝐵) = |</p><p>9 0 0</p><p>0 3 2</p><p>0 2 5</p><p>| = 135 − 36 = 99</p><p>𝑐𝑜𝑓43(𝐴 + 𝐵) = (−1)</p><p>4+3 |</p><p>1 6 0</p><p>−1 3 0</p><p>0 0 2</p><p>| = (−1)(6 + 12) = −18</p><p>Portanto, o elemento 𝑐34 é dado por:</p><p>𝑐34 = −</p><p>18</p><p>99</p><p>= −</p><p>2</p><p>11</p><p>Gabarito: 𝒄𝟑𝟒 = −</p><p>𝟐</p><p>𝟏𝟏</p><p>98. (ITA/2006)</p><p>196</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Se 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>𝒂 𝒃 𝒄</p><p>𝒑 𝒒 𝒓</p><p>𝒙 𝒚 𝒛</p><p>] = −𝟏, então o valor do 𝐝𝐞𝐭 [</p><p>−𝟐𝒂 −𝟐𝒃 −𝟐𝒄</p><p>𝟐𝒑 + 𝒙 𝟐𝒒 + 𝒚 𝟐𝒓 + 𝒛</p><p>𝟑𝒙 𝟑𝒚 𝟑𝒛</p><p>] é igual a</p><p>a) 0</p><p>b) 4</p><p>c) 8</p><p>d) 12</p><p>e) 16</p><p>Comentários</p><p>Usando as propriedades dos determinantes, temos:</p><p>det [</p><p>−2𝑎 −2𝑏 −2𝑐</p><p>2𝑝 + 𝑥 2𝑞 + 𝑦 2𝑟 + 𝑧</p><p>3𝑥 3𝑦 3𝑧</p><p>] = −2 ⋅ 3 ⋅ |</p><p>𝑎 𝑏 𝑐</p><p>2𝑝 + 𝑥 2𝑞 + 𝑦 2𝑟 + 𝑧</p><p>𝑥 𝑦 𝑧</p><p>|</p><p>Multiplicando a terceira linha por (−1) e somando à segunda linha:</p><p>⇒ −6 ⋅ |</p><p>𝑎 𝑏 𝑐</p><p>2𝑝 2𝑞 2𝑟</p><p>𝑥 𝑦 𝑧</p><p>| = −12 ⋅ |</p><p>𝑎 𝑏 𝑐</p><p>𝑝 𝑞 𝑟</p><p>𝑥 𝑦 𝑧</p><p>| = −12 ⋅ (−1) = 12</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>99. (ITA/2005)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes 𝟐𝒙𝟐 tais que 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 e que satisfazem à equação matricial 𝑨𝟐 + 𝟐𝑨𝑩 − 𝑩 =</p><p>𝟎. Se 𝑩 é inversível, mostre que (a) 𝑨𝑩−𝟏 = 𝑩−𝟏𝑨 e que (b) 𝑨 é inversível.</p><p>Comentários</p><p>a) Para mostrar essa igualdade, devemos usar 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. Multiplicando-se essa equação à</p><p>direita por 𝐵−1:</p><p>𝐴𝐵𝐵−1 = 𝐵𝐴𝐵−1 ⇒ 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵−1</p><p>Agora, multiplicando-se à esquerda por 𝐵−1:</p><p>𝐵−1𝐴 = 𝐵−1𝐵𝐴𝐵−1</p><p>∴ 𝐵−1𝐴 = 𝐴𝐵−1</p><p>b) Devemos mostrar que det 𝐴 ≠ 0, usando a equação dada, temos:</p><p>𝐴2 + 2𝐴𝐵 − 𝐵 = 0 ⇒ 𝐴𝐴 + 2𝐴𝐵 = 𝐵</p><p>Multiplicando-se a equação</p><p>𝑒𝑚 𝑚𝑎𝑟ç𝑜 = 1 ∙ 180 + 6 ∙ 500 + 3 ∙ 80 = 180 + 3.000 + 240 = 3.420</p><p>Mais uma.</p><p>Como seria o cálculo para saber o número de zíperes gastos no mês de abril?</p><p>Vejamos nas matrizes quais seriam os dados relacionados.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 6 3</p><p>1 0 1</p><p>]</p><p>15</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐵 = [</p><p>100 150 180 250</p><p>300 350 500 500</p><p>50 70 80 60</p><p>]</p><p>𝑍í𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙 = 1 ∙ 250 + 0 ∙ 500 + 1 ∙ 60 = 250 + 0 + 60 = 310</p><p>Perceba que essa operação envolve a multiplicação de valores, mas uma multiplicação</p><p>múltipla e, a posteriori, a soma desses valores.</p><p>Além disso, utilizamos sempre uma linha da primeira matriz com uma coluna da segunda</p><p>matriz.</p><p>Estamos caminhando para entender como se dá o produto de matrizes. Vamos mais um</p><p>passo.</p><p>Caso o gerente da empresa precisasse saber quantos botões e zíperes foram gastos a cada</p><p>mês, entre janeiro e abril daquele ano, ele poderia fazer o produto das matrizes inteiras, 𝐴 ∙ 𝐵.</p><p>O princípio da multiplicação nós já conseguimos entender: associar uma linha da primeira</p><p>matriz a uma coluna da segunda matriz, multiplicar elemento a elemento e somar os produtos.</p><p>Vamos, então, fazer o produto total dessas matrizes.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 6 3</p><p>1 0 1</p><p>]</p><p>𝐵 = [</p><p>100 150 180 250</p><p>300 350 500 500</p><p>50 70 80 60</p><p>]</p><p>Lembre-se, linha da primeira matriz com coluna da segunda.</p><p>Daremos início ao produto 𝐴 ∙ 𝐵 com a primeira linha da matriz 𝐴 e a primeira coluna da</p><p>matriz 𝐵. Esse resultado será colocado na primeira linha e primeira coluna da matriz 𝐴 ∙ 𝐵</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>1 ∙ 100 + 6 ∙ 300 + 3 ∙ 50</p><p>] = [</p><p>2.050</p><p>]</p><p>Prosseguindo, faremos a primeira linha de 𝐴 com a segunda coluna de 𝐵. O resultado vai</p><p>para a primeira linha e segunda coluna de 𝐴 ∙ 𝐵.</p><p>16</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>2.050 1 ∙ 150 + 6 ∙ 350 + 3 ∙ 70</p><p>] = [</p><p>2.050 2.460</p><p>]</p><p>Primeira linha de 𝐴 com terceira coluna de 𝐵. O resultado vai para a primeira linha e</p><p>terceira coluna de 𝐴 ∙ 𝐵.</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>2.050 2.460 1 ∙ 180 + 6 ∙ 500 + 3 ∙ 80</p><p>] = [</p><p>2.050 2.460 3.420</p><p>]</p><p>Primeira linha de 𝐴 com quarta coluna de 𝐵. O resultado vai para a primeira linha e quarta</p><p>coluna de 𝐴 ∙ 𝐵.</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>2.050 2.460 3.420 1 ∙ 250 + 6 ∙ 500 + 3 ∙ 60</p><p>]</p><p>= [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>]</p><p>Terminamos aqui a primeira linha da matriz 𝐴. Passemos, então para a segunda.</p><p>Segunda linha de 𝐴 com primeira coluna de 𝐵. O resultado vai para a segunda linha e</p><p>primeira coluna de 𝐴 ∙ 𝐵.</p><p>17</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>1 ∙ 100 + 0 ∙ 300 + 1 ∙ 50</p><p>]</p><p>= [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150</p><p>]</p><p>Segunda linha de 𝐴 com segunda coluna de 𝐵. O resultado vai para a segunda linha e</p><p>segunda coluna de 𝐴 ∙ 𝐵.</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150 1 ∙ 150 + 0 ∙ 350 + 1 ∙ 70</p><p>]</p><p>= [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150 220</p><p>]</p><p>Segunda linha de 𝐴 com terceira coluna de 𝐵. O resultado vai para a segunda linha e</p><p>terceira coluna de 𝐴 ∙ 𝐵.</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150 220 1 ∙ 180 + 0 ∙ 500 + 1 ∙ 80</p><p>]</p><p>= [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150 220 260</p><p>]</p><p>Quase acabando, chegamos ao nosso último passo.</p><p>18</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Segunda linha de 𝐴 com quarta coluna de 𝐵. O resultado vai para a segunda linha e quarta</p><p>coluna de 𝐴 ∙ 𝐵.</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150 220 260 1 ∙ 250 + 0 ∙ 500 + 1 ∙ 60</p><p>]</p><p>= [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150 220 260 310</p><p>]</p><p>Dessa forma, o produto das matrizes é</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150 220 260 310</p><p>]</p><p>Mas o que, afinal, significa esse produto?</p><p>Vamos, então, restaurar os títulos das linhas e colunas para entender melhor.</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 =</p><p>𝐵𝑜𝑡õ𝑒𝑠</p><p>𝑍í𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠</p><p>𝐽𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 𝐹𝑒𝑣𝑒𝑟𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑀𝑎𝑟ç𝑜 𝐴𝑏𝑟𝑖𝑙</p><p>[</p><p>2.050 2.460 3.420 3.430</p><p>150 220 260 310</p><p>]</p><p>O produto entre as matrizes explicitou outro tipo de dado, que estava implícito nas</p><p>matrizes iniciais.</p><p>O preço a se pagar por explicitar essa informação foi perder outra, quantas calças, camisas</p><p>e vestidos foram feitos em cada mês.</p><p>Sempre que conversarmos, daqui para frente, em multiplicação de matrizes, estaremos</p><p>considerando este processo que acabamos de fazer: linhas da primeira matriz e colunas da</p><p>segunda.</p><p>Consequências da multiplicação entre duas matrizes</p><p>Ao multiplicarmos duas matrizes, utilizamos cada linha da primeira matriz com cada coluna</p><p>da segunda.</p><p>Isso só pode ser feito se o número de elementos de cada linha da primeira matriz for igual</p><p>ao número de elementos de cada coluna da segunda matriz.</p><p>Muito bem.</p><p>19</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>E quantos elementos tem cada linha da primeira matriz? Exatamente o número de colunas</p><p>da mesma matriz. O número de colunas de uma matriz indica, também, quantos elementos cada</p><p>linha contém.</p><p>Quantos elementos cada coluna da segunda matriz possui? Exatamente o número de linhas</p><p>que a mesma matriz possui. O número de linhas de uma matriz indica, também, quantos</p><p>elementos cada coluna contém.</p><p>Desse modo, só podemos efetuar o produto entre matrizes se houver essa</p><p>compatibilidade, caso contrário o produto é impossível.</p><p>Uma regra prática que pode ajudar bastante nessa análise é a seguinte.</p><p>Se queremos multiplicar a matriz 𝐴 pela matriz 𝐵, devemos analisar as dimensões de</p><p>ambas.</p><p>Se 𝑛 e 𝑝 forem iguais, o produto é possível; se forem diferentes, não existe o produto 𝐴 ∙</p><p>𝐵.</p><p>Outra coisa interessante é que o tamanho da matriz resultante é determinado pelas</p><p>dimensões de 𝐴 e 𝐵.</p><p>Lembra-se de que, ao relacionarmos a segunda linha da primeira matriz com a quarta</p><p>coluna da segunda matriz o resultado deveria ser colocado na segunda linha com a quarta coluna</p><p>da matriz resultante do produto?</p><p>Pois bem, essa relação é o que determina o tamanho da matriz resultante e a regra prática</p><p>também explicita essa informação.</p><p>Uma vez sendo possível o produto 𝐴 ∙ 𝐵 com 𝑛 = 𝑝, as dimensões da matriz-produto são</p><p>dadas por</p><p>Podemos dizer então que</p><p>𝐴𝑚𝑥𝑛 ∙ 𝐵𝑛𝑥𝑞 = 𝐴 ∙ 𝐵𝑚𝑥𝑞</p><p>Vejamos alguns exemplos.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 2 3</p><p>4 5 1</p><p>2 7 9</p><p>]</p><p>20</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐵 = [</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>]</p><p>Como 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)2𝑥1, o produto 𝐴 ∙ 𝐵 não é possível.</p><p>Essa característica gera outra consequência, acompanhe.</p><p>Existe o produto matricial entre a matriz 𝐴2𝑥3 e a matriz 𝐵2𝑥2?</p><p>Provavelmente você respondeu que não, pois o número de colunas de 𝐴 não é compatível</p><p>com o número de linhas de 𝐵.</p><p>Outra pergunta. Existiria o produto 𝐵 ∙ 𝐴?</p><p>Vejamos.</p><p>Temos uma conclusão importante para tirar daqui: os produtos 𝐴 ∙ 𝐵 e 𝐵 ∙ 𝐴 são diferentes!</p><p>Não existe a propriedade comutativa para o produto entre matrizes, tome muito cuidado com isso.</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 𝐵 ∙ 𝐴</p><p>Multiplicação da matriz 𝑨 pela matriz identidade e vice-versa</p><p>Com o que aprendemos sobre multiplicação de matrizes, vamos fazer o produto de uma</p><p>matriz genérica 𝐴 pela matriz identidade de mesma dimensão de 𝐴.</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>𝐼 = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Dessa forma, temos o produto 𝐴 ∙ 𝐼 dado por</p><p>𝐴 ∙ 𝐼 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] ∙ [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Fazendo o produto associando cada linha de 𝐴 a cada coluna de 𝐼.</p><p>𝐴 ∙ 𝐼 = [</p><p>𝑎 ∙ 1 + 𝑏 ∙ 0 𝑎 ∙ 0 + 𝑏 ∙ 1</p><p>𝑐 ∙ 1 + 𝑑 ∙ 0 𝑐 ∙ 0 + 𝑑 ∙ 1</p><p>]</p><p>21</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴 ∙ 𝐼 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] = 𝐴</p><p>Ou seja</p><p>𝐴 ∙ 𝐼 = 𝐴</p><p>Tentemos o contrário, 𝐼 ∙ 𝐴.</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>𝐼 = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>𝐼 ∙ 𝐴 = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>] ∙ [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>Fazendo o produto associando cada linha de 𝐼 a cada coluna de 𝐴</p><p>𝐼 ∙ 𝐴 = [</p><p>1 ∙ 𝑎 + 0 ∙ 𝑐 1 ∙ 𝑏 + 0 ∙ 𝑑</p><p>0 ∙ 𝑎 + 1 ∙ 𝑐 0 ∙ 𝑏 + 1 ∙ 𝑑</p><p>]</p><p>𝐼 ∙ 𝐴 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] = 𝐴</p><p>Ou seja,</p><p>acima à direita por 𝐵−1:</p><p>𝐴𝐴𝐵−1 + 2𝐴𝐵𝐵−1 = 𝐵𝐵−1 ⇒ 𝐴𝐴𝐵−1 + 2𝐴 = 𝐼 ⇒ 𝐴(𝐴𝐵−1 + 2𝐼) = 𝐼</p><p>Aplicando-se o determinante:</p><p>det[𝐴(𝐴𝐵−1 + 2𝐼)] = det 𝐼</p><p>det 𝐴 ⋅ det(𝐴𝐵−1 + 2𝐼) = 1</p><p>197</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Como o produto desses determinantes resulta no número 1, devemos ter det 𝐴 ≠ 0 e</p><p>det(𝐴𝐵−1 + 2𝐼) ≠ 0. Portanto, 𝐴 é inversível.</p><p>Gabarito: Demonstração</p><p>100. (ITA/2004)</p><p>Considere as afirmações dadas a seguir, em que 𝑨 é uma matriz quadrada 𝒏 𝒙 𝒏, 𝒏 ≥ 𝟐:</p><p>I. O determinante de 𝑨 é nulo se, e somente se, 𝑨 possui uma linha ou uma coluna nula.</p><p>II. Se 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋) é tal que 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎 para 𝒊 > 𝒋, com 𝒊, 𝒋 = 𝟏, 𝟐,… , 𝒏, então 𝐝𝐞𝐭𝑨 = 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟐…𝒂𝒏𝒏.</p><p>III. Se 𝑩 for obtida de 𝑨, multiplicando-se a primeira coluna por √𝟐 + 𝟏 e a segunda por √𝟐 − 𝟏,</p><p>mantendo-se inalteradas as demais colunas, então 𝐝𝐞𝐭𝑩 = 𝐝𝐞𝐭𝑨.</p><p>Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)</p><p>a) apenas II.</p><p>b) apenas III.</p><p>c) apenas I e II.</p><p>d) apenas II e III.</p><p>e) todas.</p><p>Comentários</p><p>I. Veja que essa afirmação é falsa, pois, temos matrizes que não satisfazem essa condição</p><p>e resultam em um determinante diferente de zero. Contraexemplo:</p><p>𝐴 = (</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>) ⇒ det 𝐴 = 0</p><p>∴ 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑎</p><p>II. Temos a seguinte matriz triangular:</p><p>𝐴 =</p><p>(</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑛</p><p>0 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>0 0 𝑎33 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 0 0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛)</p><p>Vimos na aula teórica que o determinante de matrizes triangulares é igual ao produto da</p><p>sua diagonal principal, então, temos:</p><p>det 𝐴 = 𝑎11 ⋅ 𝑎22 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑛𝑛</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>III. Nesse caso, os elementos da primeira e segunda colunas terão os fatores comuns √2 +</p><p>1 e √2 − 1, respectivamente. Desse modo, o determinante de 𝐵 é dado por:</p><p>det 𝐵 = (√2 + 1)(√2 − 1)det 𝐴 = det 𝐴</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>198</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>101. (ITA/2004)</p><p>Seja 𝒙 ∈ ℝ e a matriz</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)−𝟏</p><p>𝟐𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓</p><p>]</p><p>Assinale a opção correta.</p><p>a) ∀𝒙 ∈ ℝ, 𝑨 possui inversa.</p><p>b) Apenas para 𝒙 > 𝟎, 𝑨 possui inversa.</p><p>c) São apenas dois os valores de 𝒙 para os quais 𝑨 possui inversa.</p><p>d) Não existe valor de 𝒙 para o qual 𝑨 possui inversa.</p><p>e) Para 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 , 𝑨 não possui inversa.</p><p>Comentários</p><p>Nessa questão, devemos analisar a inversa de 𝐴. Para isso, vamos calcular o seu</p><p>determinante:</p><p>det 𝐴 = |</p><p>2𝑥 (𝑥2 + 1)−1</p><p>2𝑥 log2 5</p><p>| = 2𝑥 (log2 5 −</p><p>1</p><p>𝑥2 + 1</p><p>)</p><p>Se det 𝐴 = 0, temos que 𝐴 não possui inversa. Então:</p><p>2𝑥 (log2 5 −</p><p>1</p><p>𝑥2 + 1</p><p>) = 0</p><p>Temos duas possibilidades:</p><p>2𝑥 = 0 ⇒ ∄𝑥 ∈ ℝ que satisfaz essa condição</p><p>log2 5 −</p><p>1</p><p>𝑥2 + 1</p><p>= 0 ⇒ log2 5 =</p><p>1</p><p>𝑥2 + 1</p><p>⇒ 𝑥2 + 1 =</p><p>1</p><p>log2 5</p><p>𝑥2 = log5 2 − 1 ⇒ 𝑥 = ±√log5 2 − 1</p><p>Note que log5 2</p><p>quadradas de ordem 𝒏 tais que 𝑨𝑩 = 𝑨 e 𝑩𝑨 = 𝑩.</p><p>202</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Então, [(𝑨 + 𝑩)𝒕]𝟐 é igual a</p><p>a) (𝑨 + 𝑩)𝟐.</p><p>b) 𝟐(𝑨𝒕 ⋅ 𝑩𝒕).</p><p>c) 𝟐(𝑨𝒕 + 𝑩𝒕).</p><p>d) 𝑨𝒕 + 𝑩𝒕.</p><p>e) 𝑨𝒕𝑩𝒕.</p><p>Comentários</p><p>Vamos analisar a expressão [(𝐴 + 𝐵)𝑡]2:</p><p>[(𝐴 + 𝐵)𝑡]2 = (𝐴𝑡 + 𝐵𝑡)2 = (𝐴𝑡)2 + 𝐴𝑡𝐵𝑡 + 𝐵𝑡𝐴𝑡 + (𝐵𝑡)2</p><p>⇒ [(𝐴 + 𝐵)𝑡]2 = (𝐴2)𝑡 + (𝐵𝐴)𝑡 + (𝐴𝐵)𝑡 + (𝐵2)𝑡</p><p>Usando as equações 𝐴𝐵 = 𝐴 e 𝐵𝐴 = 𝐵, temos:</p><p>Multiplicando 𝐴𝐵 = 𝐴 à direita por 𝐴:</p><p>𝐴𝐵𝐴 = 𝐴2 ⇒ 𝐴 (𝐵𝐴)⏟</p><p>𝐵</p><p>= 𝐴2 ⇒ 𝐴𝐵⏟</p><p>𝐴</p><p>= 𝐴2 ⇒ 𝐴 = 𝐴2</p><p>Multiplicando 𝐵𝐴 = 𝐵 à direita por 𝐵:</p><p>𝐵𝐴𝐵 = 𝐵2 ⇒ 𝐵 (𝐴𝐵)⏟</p><p>𝐴</p><p>= 𝐵2 ⇒ 𝐵𝐴⏟</p><p>𝐵</p><p>= 𝐵2 ⇒ 𝐵 = 𝐵2</p><p>Substituindo essas igualdades na equação, obtemos:</p><p>[(𝐴 + 𝐵)𝑡]2 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 + 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 = 2(𝐴𝑡 + 𝐵𝑡)</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>107. (ITA/2002)</p><p>Seja a matriz</p><p>[</p><p>𝒄𝒐𝒔𝟐𝟓° 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟓°</p><p>𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝟎° 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟗𝟎°</p><p>]</p><p>O valor de seu determinante é</p><p>a)</p><p>𝟐√𝟐</p><p>𝟑</p><p>b)</p><p>𝟑√𝟑</p><p>𝟐</p><p>c)</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>d) 𝟏</p><p>e) 𝟎</p><p>Comentários</p><p>Sabendo que 𝑠𝑒𝑛65° = 𝑐𝑜𝑠25° e cos 390° = cos 30°, temos:</p><p>203</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>|</p><p>𝑐𝑜𝑠25° 𝑠𝑒𝑛65°</p><p>𝑠𝑒𝑛120° 𝑐𝑜𝑠390°</p><p>| = |</p><p>𝑐𝑜𝑠25° 𝑐𝑜𝑠25°</p><p>𝑠𝑒𝑛120° 𝑐𝑜𝑠30°</p><p>| = cos 25° cos 30° − cos 25° sen 120°</p><p>⇒ cos 25° (</p><p>√3</p><p>2</p><p>−</p><p>√3</p><p>2</p><p>) = 0</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>108. (ITA/2001)</p><p>Considere a matriz</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟐 𝟑 𝟒</p><p>𝟏 𝟒 𝟗 𝟏𝟔</p><p>𝟏 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒</p><p>]</p><p>A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de 𝑨 é:</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>e) 5</p><p>Comentários</p><p>O bizu nessa questão é notar os elementos 1 na primeira linha de 𝐴.</p><p>Fazendo 𝐴−1 = [</p><p>𝑎 𝑏 𝑐 𝑑</p><p>𝑒 𝑓 𝑔 ℎ</p><p>𝑖 𝑗 𝑘 𝑙</p><p>𝑚 𝑛 𝑜 𝑝</p><p>] e usando a definição de inversa:</p><p>𝐴𝐴−1 = 𝐼</p><p>[</p><p>1 1 1 1</p><p>1 2 3 4</p><p>1 4 9 16</p><p>1 8 27 64</p><p>] [</p><p>𝑎 𝑏 𝑐 𝑑</p><p>𝑒 𝑓 𝑔 ℎ</p><p>𝑖 𝑗 𝑘 𝑙</p><p>𝑚 𝑛 𝑜 𝑝</p><p>] = [</p><p>1 0 0 0</p><p>0 1 0 0</p><p>0 0 1 0</p><p>0 0 0 1</p><p>]</p><p>Queremos calcular o valor de 𝑎 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑚. Pelo produto das matrizes acima, temos:</p><p>𝑎 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑚 = 1</p><p>Portanto, a soma dos elementos da primeira coluna da inversa de 𝐴 é 1.</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>109. (ITA/2001)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes 𝒏 𝒙 𝒏, e 𝑩 uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:</p><p>(I) 𝑨𝑩 + 𝑩𝑨𝒕 é simétrica.</p><p>204</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>(II) (𝑨 + 𝑨𝒕 + 𝑩) é simétrica.</p><p>(III) 𝑨𝑩𝑨𝒕 é simétrica.</p><p>temos que:</p><p>a) apenas (I) é verdadeira.</p><p>b) apenas (II) é verdadeira.</p><p>c) apenas (III) é verdadeira.</p><p>d) apenas (I) e (III) são verdadeiras.</p><p>e) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>Comentários</p><p>I. Se 𝐵 é simétrica, temos 𝐵 = 𝐵𝑡. Então:</p><p>(𝐴𝐵 + 𝐵𝐴𝑡)𝑡 = (𝐴𝐵)𝑡 + (𝐵𝐴𝑡)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡 + (𝐴𝑡)𝑡𝐵𝑡 = 𝐵𝐴𝑡 + 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴𝑡</p><p>Assim, 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴𝑡 é simétrica.</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>II. (𝐴 + 𝐴𝑡 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + (𝐴𝑡)𝑡 + 𝐵𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐴𝑡 + 𝐵</p><p>Logo, (𝐴 + 𝐴𝑡 + 𝐵) é simétrica.</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>III. (𝐴𝐵𝐴𝑡)𝑡 = (𝐴𝑡)𝑡𝐵𝑡𝐴𝑡 = 𝐴𝐵𝐴𝑡</p><p>Logo, 𝐴𝐵𝐴𝑡 é simétrica.</p><p>∴ 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>110. (ITA/2000)</p><p>Considere as matrizes mostradas na figura adiante</p><p>𝑴 = (</p><p>𝟏 −𝟏 𝟑</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟐 𝟑 𝟏</p><p>) ,𝑵 = (</p><p>𝟏 𝟎 𝟐</p><p>𝟑 𝟐 𝟎</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>) , 𝑷 = (</p><p>𝟎</p><p>𝟏</p><p>𝟎</p><p>) 𝐞 𝑿 = (</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>𝒛</p><p>)</p><p>Se 𝑿 é solução de 𝑴−𝟏𝑵𝑿 = 𝑷, então 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 é igual a</p><p>a) 35.</p><p>b) 17.</p><p>c) 38.</p><p>d) 14.</p><p>e) 29.</p><p>Comentários</p><p>Multiplicando a equação 𝑀−1𝑁𝑋 = 𝑃 por 𝑀 à esquerda, temos:</p><p>205</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑀𝑀−1𝑁𝑋 = 𝑀𝑃 ⇒ 𝑁𝑋 = 𝑀𝑃</p><p>(</p><p>1 0 2</p><p>3 2 0</p><p>1 1 1</p><p>)(</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑧</p><p>) = (</p><p>1 −1 3</p><p>0 1 0</p><p>2 3 1</p><p>)(</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>)</p><p>{</p><p>𝑥 + 2𝑧 = −1 (𝐼)</p><p>3𝑥 + 2𝑦 = 1 (𝐼𝐼)</p><p>𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>De (𝐼), temos:</p><p>𝑧 =</p><p>−1 − 𝑥</p><p>2</p><p>De (𝐼𝐼):</p><p>𝑦 =</p><p>1 − 3𝑥</p><p>2</p><p>Substituindo essas variáveis em (𝐼𝐼𝐼):</p><p>𝑥 +</p><p>1 − 3𝑥</p><p>2</p><p>+ (</p><p>−1 − 𝑥</p><p>2</p><p>) = 3 ⇒ 2𝑥 + 1 − 3𝑥 − 1 − 𝑥 = 6 ⇒ −2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 = −3</p><p>⇒ 𝑧 =</p><p>−1 − (−3)</p><p>2</p><p>= 1</p><p>⇒ 𝑦 =</p><p>1 − 3(−3)</p><p>2</p><p>= 5</p><p>Portanto, o valor da expressão pedida é dado por:</p><p>𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = (−3)2 + 52 + 11 = 35</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>111. (ITA/2000)</p><p>Sendo 𝒙 um número real positivo, considere as matrizes mostradas na figura a seguir</p><p>𝑨 = (</p><p>𝐥𝐨𝐠𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝒙 𝐥𝐨𝐠𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝒙𝟐 𝟏</p><p>𝟎 − 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 𝟏</p><p>)</p><p>𝑩 =</p><p>(</p><p>𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟏 𝟎</p><p>−𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟏</p><p>𝟑</p><p>𝒙 −𝟒</p><p>)</p><p>A soma de todos os valores de 𝒙 para os quais (𝑨𝑩) = (𝑨𝑩)𝒕 é igual a</p><p>a)</p><p>𝟐𝟓</p><p>𝟑</p><p>b)</p><p>𝟐𝟖</p><p>𝟑</p><p>c)</p><p>𝟑𝟐</p><p>𝟑</p><p>d)</p><p>𝟐𝟕</p><p>𝟐</p><p>206</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>e)</p><p>𝟐𝟓</p><p>𝟐</p><p>Comentários</p><p>Vamos calcular 𝐴𝐵:</p><p>𝐴𝐵 = (</p><p>log1</p><p>3</p><p>𝑥 log1</p><p>3</p><p>𝑥2 1</p><p>0 − log3 𝑥 1</p><p>)(</p><p>0 log1</p><p>3</p><p>𝑥2</p><p>1 0</p><p>−3 log1</p><p>3</p><p>𝑥 −4</p><p>)</p><p>𝐴𝐵 = (</p><p>log1</p><p>3</p><p>𝑥2 − 3 log1</p><p>3</p><p>𝑥 log1</p><p>3</p><p>𝑥 ⋅ log1</p><p>3</p><p>𝑥2 − 4</p><p>− log3 𝑥 − 3 log1</p><p>3</p><p>𝑥 −4</p><p>)</p><p>⇒ (𝐴𝐵)𝑡 = (</p><p>log1</p><p>3</p><p>𝑥2 − 3 log1</p><p>3</p><p>𝑥 − log3 𝑥 − 3 log1</p><p>3</p><p>𝑥</p><p>log1</p><p>3</p><p>𝑥 ⋅ log1</p><p>3</p><p>𝑥2 − 4 −4</p><p>)</p><p>Para 𝐴𝐵 = (𝐴𝐵)𝑡, devemos ter:</p><p>log1</p><p>3</p><p>𝑥</p><p>⏟</p><p>− log3 𝑥</p><p>⋅ log1</p><p>3</p><p>𝑥2</p><p>⏟</p><p>−2 log3 𝑥</p><p>− 4 = − log3 𝑥 − 3 log1</p><p>3</p><p>𝑥</p><p>⏟</p><p>− log3 𝑥</p><p>2(log3 𝑥)</p><p>2 − 4 = − log3 𝑥 + 3 log3 𝑥 ⇒ 2(log3 𝑥)</p><p>2 − 2 log3 𝑥 − 4 = 0</p><p>⇒ (log3 𝑥)</p><p>2 − log3 𝑥 − 2 = 0</p><p>Encontrando as raízes:</p><p>log3 𝑥 =</p><p>1 ± √9</p><p>2</p><p>=</p><p>1 ± 3</p><p>2</p><p>log3 𝑥 = 2 𝑜𝑢 log3 𝑥 = −1</p><p>⇒ 𝑥1 = 9 𝑜𝑢 𝑥2 =</p><p>1</p><p>3</p><p>Portanto, a soma de todos os valores de 𝑥 é:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 = 9 +</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>28</p><p>3</p><p>Gabarito: “b”</p><p>112. (ITA/2000)</p><p>Considere as matrizes reais mostradas na figura adiante</p><p>𝑴 = (</p><p>𝒂 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝒃 𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝒄</p><p>) 𝐞 𝑰 = (</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟏</p><p>)</p><p>em que 𝒂 ≠ 𝟎 e 𝒂, 𝒃 e 𝒄 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 𝒒 > 𝟎. Sejam</p><p>𝝀𝟏, 𝝀𝟐 e 𝝀𝟑 as raízes da equação 𝐝𝐞𝐭(𝑴 − 𝝀𝑰) = 𝟎. Se 𝝀𝟏𝝀𝟐𝝀𝟑 = 𝒂 e 𝝀𝟏 + 𝝀𝟐 + 𝝀𝟑 = 𝟕𝒂,</p><p>então 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 é igual a</p><p>207</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) 𝟐𝟏/𝟖</p><p>b) 𝟗𝟏/𝟗</p><p>c) 𝟑𝟔/𝟗</p><p>d) 𝟐𝟏/𝟏𝟔</p><p>e) 𝟗𝟏/𝟑𝟔</p><p>Comentários</p><p>Vamos calcular as raízes da equação:</p><p>det(𝑀 − 𝜆𝐼) = |</p><p>𝑎 − 𝜆 0 0</p><p>0 𝑏 − 𝜆 1</p><p>0 0 𝑐 − 𝜆</p><p>| = (𝑎 − 𝜆)(𝑏 − 𝜆)(𝑐 − 𝜆) = 0</p><p>As raízes são:</p><p>𝜆1 = 𝑎; 𝜆2 = 𝑏 e 𝜆3 = 𝑐</p><p>Como (𝑎, 𝑏, 𝑐) é uma PG de razão 𝑞, temos:</p><p>(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞2)</p><p>Usando os dados do enunciado:</p><p>𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2 = 7𝑎 ⇒ 𝑎(𝑞2 + 𝑞 − 6) = 0</p><p>Como 𝑎 ≠ 0:</p><p>𝑞2 + 𝑞 − 6 = 0 ⇒ 𝑞 = −3 𝑜𝑢 𝑞 = 2</p><p>Sabendo que 𝑞 > 0, devemos ter 𝑞 = 2.</p><p>Usando a outra informação:</p><p>𝑎 ⋅ 𝑎𝑞 ⋅ 𝑎𝑞2 = 𝑎 ⇒ 𝑎3𝑞3 = 𝑎</p><p>Como 𝑎 ≠ 0 e 𝑞 = 2:</p><p>𝑎223 = 1 ⇒ 𝑎2 =</p><p>1</p><p>8</p><p>𝑏 = 𝑎𝑞 ⇒ 𝑏2 = 𝑎2𝑞2 =</p><p>1</p><p>8</p><p>⋅ 4 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑐 = 𝑎𝑞2 ⇒ 𝑐2 = 𝑎2𝑞4 =</p><p>1</p><p>8</p><p>⋅ 16 = 2</p><p>Portanto:</p><p>𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 =</p><p>1</p><p>8</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 2 =</p><p>21</p><p>8</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>113. (ITA/1999)</p><p>Sejam 𝒙, 𝒚 e 𝒛 números reais com 𝒚 ≠ 𝟎. Considere a matriz inversível</p><p>208</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑨 = [</p><p>𝒙 𝟏 𝟏</p><p>𝒚 𝟎 𝟎</p><p>𝒛 −𝟏 𝟏</p><p>]</p><p>Então:</p><p>a) A soma dos termos da primeira linha de 𝑨−𝟏 é igual a 𝒙 + 𝟏.</p><p>b) A soma dos termos da primeira linha de 𝑨−𝟏 é igual a 0.</p><p>c) A soma dos termos da primeira coluna de 𝑨−𝟏 é igual a 1.</p><p>d) O produto dos termos da segunda linha de 𝑨−𝟏 é igual a 𝒚.</p><p>e) O produto dos termos da terceira coluna de 𝑨−𝟏 é igual a 1.</p><p>Comentários</p><p>Vamos calcular a matriz inversa de 𝐴:</p><p>𝐴−1 =</p><p>1</p><p>det 𝐴</p><p>⋅ �̅�</p><p>det 𝐴 = |</p><p>𝑥 1 1</p><p>𝑦 0 0</p><p>𝑧 −1 1</p><p>| = − |</p><p>𝑦 0 0</p><p>𝑥 1 1</p><p>𝑧 −1 1</p><p>| = −𝑦 ⋅ |</p><p>1 0 0</p><p>𝑥 1 1</p><p>𝑧 −1 1</p><p>|</p><p>Aplicando a regra de Chió:</p><p>det 𝐴 = −𝑦 ⋅ |</p><p>1 1</p><p>−1 1</p><p>| = −2𝑦</p><p>Calculando a matriz adjunta de 𝐴:</p><p>�̅� = (𝐴′)𝑡</p><p>Lembrando que 𝐴′ = [</p><p>𝐴11 𝐴12 𝐴13</p><p>𝐴21 𝐴22 𝐴23</p><p>𝐴31 𝐴23 𝐴33</p><p>] e que 𝐴𝑖𝑗 = (−1)</p><p>𝑖+𝑗𝐷𝑖𝑗, temos:</p><p>𝐴′ = [</p><p>0 −𝑦 −𝑦</p><p>−2 𝑥 − 𝑧 𝑥 + 𝑧</p><p>0 𝑦 −𝑦</p><p>] ⇒ �̅� = [</p><p>0 −2 0</p><p>−𝑦 𝑥 − 𝑧 𝑦</p><p>−𝑦 𝑥 + 𝑧 −𝑦</p><p>]</p><p>⇒ 𝐴−1 = −</p><p>1</p><p>2𝑦</p><p>⋅ [</p><p>0 −2 0</p><p>−𝑦 𝑥 − 𝑧 𝑦</p><p>−𝑦 𝑥 + 𝑧 −𝑦</p><p>] =</p><p>[</p><p>0</p><p>1</p><p>𝑦</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>−𝑥 + 𝑧</p><p>2𝑦</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>−𝑥 − 𝑧</p><p>2𝑦</p><p>1</p><p>2 ]</p><p>Analisando as alternativas:</p><p>a) Falsa. A soma dos elementos da primeira coluna é</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>= 1.</p><p>b) Falsa. A soma dos termos da primeira linha é 1/𝑦.</p><p>c) Verdadeira. Conforme visto no item a.</p><p>209</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) Falsa. O produto dos termos da segunda linha é</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅ (</p><p>−𝑥+𝑧</p><p>2𝑦</p><p>) (−</p><p>1</p><p>2</p><p>) ≠ 𝑦.</p><p>e) Falsa. O produto dos termos da terceira coluna é (−</p><p>1</p><p>2</p><p>) (</p><p>1</p><p>2</p><p>) = −</p><p>1</p><p>4</p><p>.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>114. (ITA/1999)</p><p>Considere as matrizes</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟎 −𝟏</p><p>𝟎 −𝟏 𝟐</p><p>] , 𝑰 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>] , 𝑿 = [</p><p>𝒙</p><p>𝒚] , 𝑩 = [</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>].</p><p>Se 𝒙 e 𝒚 são soluções do sistema (𝑨𝑨𝒕 − 𝟑𝑰)𝑿 = 𝑩, então 𝒙 + 𝒚 é igual a:</p><p>a) 𝟐</p><p>b) 𝟏</p><p>c) 𝟎</p><p>d) −𝟏</p><p>e) −𝟐</p><p>Comentários</p><p>Vamos encontrar as soluções do sistema:</p><p>(𝐴𝐴𝑡 − 3𝐼)𝑋 = 𝐵 ⇒ ([</p><p>1 0 −1</p><p>0 −1 2</p><p>] [</p><p>1 0</p><p>0 −1</p><p>−1 2</p><p>] − 3 [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]) [</p><p>𝑥</p><p>𝑦] = [</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>([</p><p>2 −2</p><p>−2 5</p><p>] − [</p><p>3 0</p><p>0 3</p><p>]) [</p><p>𝑥</p><p>𝑦] = [</p><p>1</p><p>2</p><p>] ⇒ [</p><p>−1 −2</p><p>−2 2</p><p>] [</p><p>𝑥</p><p>𝑦] = [</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>{</p><p>−𝑥 − 2𝑦 = 1 (𝐼)</p><p>−2𝑥 + 2𝑦 = 2 (𝐼𝐼)</p><p>Fazendo (𝐼) + (𝐼𝐼):</p><p>−3𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = −1</p><p>−𝑥 − 2𝑦 = 1 ⇒ 2𝑦 = −(−1) − 1 ⇒ 𝑦 = 0</p><p>Portanto, 𝑥 + 𝑦 = −1.</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>115. (ITA/1998)</p><p>Sejam as matrizes reais de ordem 2,</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟐 + 𝒂 𝒂</p><p>𝟏 𝟏</p><p>] 𝐞 𝑩 = [</p><p>𝟏 𝟏</p><p>𝒂 𝟐 + 𝒂</p><p>]</p><p>Então, a soma dos elementos da diagonal principal de (𝑨𝑩)−𝟏 é igual a:</p><p>a) 𝒂 + 𝟏</p><p>b) 𝟒(𝒂 + 𝟏)</p><p>210</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>c)</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>(𝟓 + 𝟐𝒂 + 𝒂𝟐)</p><p>d)</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>(𝟏 + 𝟐𝒂 + 𝒂𝟐)</p><p>e)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>(𝟓 + 𝟐𝒂 + 𝒂𝟐)</p><p>Comentários</p><p>Vamos calcular a matriz 𝐴𝐵, usando os dados do enunciado:</p><p>𝐴𝐵 = [</p><p>2 + 𝑎 𝑎</p><p>1 1</p><p>] [</p><p>1 1</p><p>𝑎 2 + 𝑎</p><p>] = [𝑎</p><p>2 + 𝑎 + 2 𝑎2 + 3𝑎 + 2</p><p>𝑎 + 1 𝑎 + 3</p><p>]</p><p>Se 𝐶 = (𝐴𝐵)−1, queremos calcular 𝑐11 + 𝑐22. Usando o método do determinante:</p><p>𝐶 =</p><p>1</p><p>det(𝐴𝐵)</p><p>⋅ [(𝐴𝐵)′]𝑡</p><p>𝑐11 =</p><p>1</p><p>det(𝐴𝐵)</p><p>⋅ 𝑐𝑜𝑓11𝐴𝐵</p><p>𝑐22 =</p><p>1</p><p>det(𝐴𝐵)</p><p>⋅ 𝑐𝑜𝑓22𝐴𝐵</p><p>Calculando o valor do determinante:</p><p>det 𝐴𝐵 = |𝑎</p><p>2 + 𝑎 + 2 𝑎2 + 3𝑎 + 2</p><p>𝑎 + 1 𝑎 + 3</p><p>|</p><p>Multiplicando a primeira coluna por (−1) e somando à segunda coluna:</p><p>det 𝐴𝐵 = |𝑎</p><p>2 + 𝑎 + 2 2𝑎</p><p>𝑎 + 1 2</p><p>| = 2 ⋅ |𝑎</p><p>2 + 𝑎 + 2 𝑎</p><p>𝑎 + 1 1</p><p>| = 2(𝑎2 + 𝑎 + 2 − 𝑎2 − 𝑎)</p><p>det 𝐴𝐵 = 4</p><p>Encontrando os elementos da diagonal principal:</p><p>𝑐11 =</p><p>1</p><p>4</p><p>⋅ (−1)1+1 ⋅ (𝑎 + 3) =</p><p>𝑎 + 3</p><p>4</p><p>𝑐22 =</p><p>1</p><p>4</p><p>⋅ (−1)2+2 ⋅ (𝑎2 + 𝑎 + 2) =</p><p>𝑎2 + 𝑎 + 2</p><p>4</p><p>Portanto, a soma da diagonal principal é dada por:</p><p>𝑐11 + 𝑐22 =</p><p>𝑎 + 3</p><p>4</p><p>+</p><p>𝑎2 + 𝑎 + 2</p><p>4</p><p>=</p><p>𝑎2 + 2𝑎 + 5</p><p>4</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>116. (ITA/1998)</p><p>Sejam 𝑨 e 𝑩 matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe</p><p>uma matriz 𝑴 inversível tal que: 𝑨 = 𝑴−𝟏𝑩𝑴.</p><p>Então:</p><p>a) 𝐝𝐞𝐭(−𝑨𝒕) = 𝐝𝐞𝐭𝑩</p><p>211</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>b) 𝐝𝐞𝐭𝑨 = −𝐝𝐞𝐭𝑩</p><p>c) 𝐝𝐞𝐭(𝟐𝑨) = 𝟐𝐝𝐞𝐭𝑩</p><p>d) Se 𝐝𝐞𝐭𝑩 ≠ 𝟎 então 𝐝𝐞𝐭(−𝑨𝑩)</p><p>= 𝒕𝒓(𝑨) + 𝝀𝒕𝒓(𝑩), para todo 𝝀 ∈ ℝ.</p><p>Temos que:</p><p>a) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>b) todas as afirmações são falsas.</p><p>c) apenas a afirmação (I) é verdadeira.</p><p>d) apenas a afirmação (II) é falsa.</p><p>e) apenas a afirmação (III) é falsa.</p><p>Comentários</p><p>(I) Verdadeira.</p><p>A diagonal principal da transposta de uma matriz não se altera. Então, temos:</p><p>𝑡𝑟(𝐴𝑡) =∑𝑎𝑖𝑖</p><p>3</p><p>𝑖=1</p><p>= 𝑡𝑟(𝐴)</p><p>(II) Falsa.</p><p>Basta tomar um contraexemplo de uma matriz cujos elementos da diagonal principal são</p><p>zeros:</p><p>𝐴 = (</p><p>0 1 2</p><p>1 0 3</p><p>1 1 0</p><p>) ⇒ det 𝐴 = 5 ≠ 0 ⇒ 𝐴 é 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠í𝑣𝑒𝑙</p><p>𝑡𝑟𝐴 = 0</p><p>(III) Verdadeira.</p><p>Vamos usar a definição do traço de uma matriz, para 𝐴3𝑥3 e 𝐵3𝑥3:</p><p>𝑡𝑟(𝐴 + 𝜆𝐵) =∑(𝑎𝑖𝑖 + 𝜆𝑏𝑖𝑖)</p><p>3</p><p>𝑖=1</p><p>=∑𝑎𝑖𝑖</p><p>3</p><p>𝑖=1</p><p>+∑𝜆𝑏𝑖𝑖</p><p>3</p><p>𝑖=1</p><p>=∑𝑎𝑖𝑖</p><p>3</p><p>𝑖=1</p><p>+ 𝜆∑𝑏𝑖𝑖</p><p>3</p><p>𝑖=1</p><p>= 𝑡𝑟(𝐴) + 𝜆𝑡𝑟(𝐵)</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>216</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>121. (ITA/1995)</p><p>Dizemos que duas matrizes 𝒏 𝒙 𝒏 𝑨 e 𝑩 são semelhantes se existe uma matriz 𝒏 𝒙 𝒏 inversível 𝑷 tal</p><p>que 𝑩 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷. Se 𝑨 e 𝑩 são matrizes semelhantes quaisquer, então:</p><p>a) 𝑩 é sempre inversível.</p><p>b) se 𝑨 é simétrica, então 𝑩 também é simétrica.</p><p>c) 𝑩𝟐 é semelhante a 𝑨.</p><p>d) se 𝑪 é semelhante a 𝑨, então 𝑩𝑪 é semelhante a 𝑨𝟐.</p><p>e) 𝐝𝐞𝐭(𝝀𝑰 − 𝑩) = 𝐝𝐞𝐭(𝝀𝑰 − 𝑨), onde 𝝀 é um real qualquer.</p><p>Comentários</p><p>Perceba que o ITA cobra questões de semelhança de matrizes desde 1995 e até em</p><p>questões recentes, vimos esse tema cair. Nesse tipo de questão, o importante é saber que quando</p><p>duas matrizes são semelhantes, temos a identidade conforme visto nas resoluções das questões</p><p>acima:</p><p>det(𝜆𝐼 − 𝐵) = det(𝜆𝐼 − 𝐴)</p><p>Essa identidade vem da seguinte manipulação:</p><p>𝐵 = 𝑃−1𝐴𝑃</p><p>𝑥(−1)</p><p>⇒ −𝐵 = −𝑃−1𝐴𝑃</p><p>+𝜆𝐼</p><p>⇒ 𝜆𝐼 − 𝐵 = 𝜆 𝐼⏟</p><p>𝑃−1𝑃</p><p>− 𝑃−1𝐴𝑃</p><p>𝜆𝐼 − 𝐵 = 𝑃−1𝜆𝑃 − 𝑃−1𝐴𝑃 ⇒ 𝜆𝐼 − 𝐵 = 𝑃−1(𝜆𝐼 − 𝐴)𝑃</p><p>Aplicando o determinante e o Teorema de Binet:</p><p>det(𝜆𝐼 − 𝐵) = det[𝑃−1(𝜆𝐼 − 𝐴)𝑃]</p><p>det(𝜆𝐼 − 𝐵) = det(𝑃−1) ⋅ det(𝜆𝐼 − 𝐴) ⋅ det 𝑃</p><p>∴ det(𝜆𝐼 − 𝐵) = det(𝜆𝐼 − 𝐴)</p><p>As outras afirmações são muito genéricas e, por isso, podemos encontrar para cada uma</p><p>delas um contraexemplo.</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>122. (IME/2021)</p><p>Calcule o(s) valor(es) de 𝒌 real(is) para que o determinante da matriz abaixo seja igual a 24.</p><p>[</p><p>1 3 1 2</p><p>1 𝑘 0 2</p><p>2 1 0 3</p><p>4 1 −1 3</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>Vamos simplificar a matriz do determinante. Fazendo 𝐿2 → 𝐿2 − 𝐿1 e 𝐿4 → 𝐿4 − 𝐿3,</p><p>temos:</p><p>217</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>|</p><p>1 3 1 2</p><p>1 𝑘 0 2</p><p>2 1 0 3</p><p>4 1 −1 3</p><p>| = |</p><p>1 3 1 2</p><p>0 𝑘 − 3 −1 0</p><p>2 1 0 3</p><p>2 0 −1 0</p><p>|</p><p>Aplicando a regra de Chió:</p><p>|</p><p>𝑘 − 3 −1 0</p><p>1 − 6 0 − 2 3 − 4</p><p>0 − 6 −1 − 2 0 − 4</p><p>| = |</p><p>𝑘 − 3 −1 0</p><p>−5 −2 −1</p><p>−6 −3 −4</p><p>|</p><p>Calculando o determinante e igualando a 24:</p><p>8(𝑘 − 3) − 6 − 3(𝑘 − 3) + 20 = 24</p><p>8𝑘 − 24 − 6 − 3𝑘 + 9 + 20 = 24</p><p>5𝑘 = 25</p><p>∴ 𝑘 = 5</p><p>Gabarito: 𝒌 = 𝟓</p><p>123. (IME/2020)</p><p>Uma matriz A é semelhante a uma matriz B se e somente se existe uma matriz invertível P tal que</p><p>𝑨 = 𝑷 𝑩 𝑷−𝟏.</p><p>a) Se A e B forem semelhantes, mostre que 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝐝𝐞𝐭(𝑩).</p><p>b) Dadas 𝑪 = [</p><p>𝟒 𝟐</p><p>𝟑 𝟓</p><p>] 𝒆 𝑫 = [</p><p>𝟖 −𝟐</p><p>𝟑 𝟏</p><p>] , verifique se essas matrizes são semelhantes.</p><p>Comentários</p><p>a) Pelo Teorema de Binet, temos que:</p><p>det(𝐴) = det(𝑃) . det(𝐵) . det(𝑃−1)</p><p>Como a matriz P é inversível, podemos usar que o determinante da matriz inversa é o</p><p>inverso do determinante.</p><p>det(𝐴) = det(𝑃) . det(𝐵) .</p><p>1</p><p>det(𝑃)</p><p>∴ det(𝐴) = det(𝐵)</p><p>b) Podemos utilizar o teorema de que A e B são semelhantes se, e somente se:</p><p>• det(𝐴) = det (𝐵)</p><p>• A e B possuem o mesmo polinômio característico;</p><p>• A e B possuem o mesmo traço;</p><p>Vamos à primeira condição:</p><p>det 𝐶 = [</p><p>4 2</p><p>3 5</p><p>] = 4.5 − 3.2 = 20 − 6 = 14</p><p>det 𝐷 = [</p><p>8 −2</p><p>3 1</p><p>] = 8.1 − 3. (−20) = 8 + 6 = 14</p><p>Logo, a primeira condição está atendida. Vamos checar os polinômios característicos;</p><p>218</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det(𝐶 − 𝜆𝐼) = |</p><p>4 − 𝜆 2</p><p>3 5 − 𝜆</p><p>| = (4 − λ)(5 − λ) − 3.2 = 20 − 4λ − 5λ + λ2 − 6</p><p>det(𝐶 − 𝜆𝐼) = λ2 − 9λ + 14</p><p>det(𝐷 − 𝜆𝐼) = |</p><p>8 − 𝜆 −2</p><p>3 1 − 𝜆</p><p>| = (8 − λ)(1 − λ) − 3. (−2) = 8 − 8λ − λ + λ2 + 6</p><p>det(𝐷 − 𝜆𝐼) = λ2 − 9λ + 14</p><p>Logo, a segunda condição está atendida.</p><p>Se os polinômios característicos são iguais, então os autovetores são iguais e possuem a</p><p>mesma multiplicidade.</p><p>Os traços de C e D são:</p><p>𝐶 = [</p><p>4 2</p><p>3 5</p><p>] ∴ tr (C) = 4 + 5 = 9</p><p>𝐷 = [</p><p>8 −2</p><p>3 1</p><p>] ∴ tr (D) = 8 + 1 = 9</p><p>Portanto, as matrizes C e D são semelhantes.</p><p>Outra forma de resolver é utilizar a definição do enunciado:</p><p>𝐶 = 𝑃𝐷𝑃−1</p><p>Multiplicando por P à direita:</p><p>∴ 𝐶𝑃 = 𝑃𝐵</p><p>Consideremos uma matriz P genérica:</p><p>[</p><p>4 2</p><p>3 5</p><p>] [</p><p>a b</p><p>c d</p><p>] = [</p><p>a b</p><p>c d</p><p>] [</p><p>8 −2</p><p>3 1</p><p>]</p><p>Fazendo as multiplicações:</p><p>[</p><p>4a + 2c 4b + 2d</p><p>3a + 5c 3b + 5d</p><p>] = [</p><p>8a + 3b −2a + b</p><p>8c + 3d −2c + d</p><p>]</p><p>Agora, devemos aplicar a identidade matricial:</p><p>4𝑎 + 2𝑐 = 8𝑎 + 3𝑏 ∴ 4𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 = 0 (𝐼)</p><p>4𝑏 + 2𝑑 = −2𝑎 + 𝑏 ∴ −2𝑎 − 3𝑏 − 2𝑑 = 0 (𝐼𝐼)</p><p>3𝑎 + 5𝑐 = 8𝑐 + 3𝑑 ∴ 𝑎 = 𝑐 + 𝑑 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>3𝑏 + 5𝑑 = −2𝑐 + 𝑑 ∴ 3𝑏 + 2𝑐 + 4𝑑 = 0 (𝐼𝑉)</p><p>Precisamos encontrar uma solução para o sistema, de modo que a matriz P seja invertível.</p><p>Da equação IV:</p><p>𝑏 =</p><p>−2𝑐 − 4𝑑</p><p>3</p><p>Logo:</p><p>219</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑃 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] = [𝑐 + 𝑑</p><p>−2𝑐 − 4𝑑</p><p>3</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>Para 𝑐 = 𝑑 = 1:</p><p>𝑃 = [</p><p>2 −2</p><p>1 1</p><p>]</p><p>det 𝑃 = |</p><p>2 −2</p><p>1 1</p><p>| = 2 − (−2) = 4 ≠ 0</p><p>Logo, encontramos uma matriz P tal que 𝐶 = 𝑃𝐷𝑃⁻¹, portanto, C e D são semelhantes.</p><p>Gabarito: a) Demonstração b) 𝑪 e 𝑫 são semelhantes</p><p>124. (IME/2019)</p><p>Calcule o valor do determinante:</p><p>|</p><p>𝟒 𝟐 𝟏</p><p>𝐥𝐨𝐠 𝟖𝟏 𝐥𝐨𝐠 𝟗𝟎𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝟎𝟎</p><p>(𝐥𝐨𝐠 𝟗)𝟐 𝟐 + 𝟒 𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝟐(𝐥𝐨𝐠 𝟑)𝟐 (𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝟐)𝟐</p><p>|</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 4</p><p>d) 8</p><p>e) 16</p><p>Comentários</p><p>Nessa questão, devemos notar que todos os logaritmandos são múltiplos de 3. Vamos</p><p>simplificar o determinante:</p><p>|</p><p>4 2 1</p><p>log 81 log 900 log 300</p><p>(log 9)2 2 + 4 log 3 + 2(log 3)2 (log 3 + 2)2</p><p>|</p><p>= |</p><p>4 2 1</p><p>log 34 log(32 ⋅ 102) log(3 ⋅ 102)</p><p>(log 32)2 2 + 4 log 3 + 2(log 3)2 (log 3 + 2)2</p><p>|</p><p>= |</p><p>4 2 1</p><p>4 log 3 2 log 3 + 2 log 3 + 2</p><p>4(log 3)2 2(log 3 + 1)2 (log 3 + 2)2</p><p>|</p><p>= 4 ⋅ 2 ⋅ |</p><p>1 1 1</p><p>log 3 log 3 + 1 log 3 + 2</p><p>(log 3)2 (log 3 + 1)2 (log 3 + 2)2</p><p>|</p><p>Agora, perceba que o determinante resultante é de uma matriz de Vandermonde. Então,</p><p>temos:</p><p>220</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>= 4 ⋅ 2 ⋅ (log 3 + 2 − (log 3 + 1))(log 3 + 2 − log 3)(log 3 + 1 − log 3)</p><p>= 8 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 16</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>125. (IME/2018)</p><p>Sejam 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 𝐞 𝒙𝟒 os quatro primeiros termos de uma P.A. com 𝒙𝟏 = 𝒙 e razão 𝒓, com 𝒙, 𝒓 ∈ ℝ.</p><p>O determinante de</p><p>|</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟏</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟑</p><p>𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒</p><p>|</p><p>é</p><p>a) 𝟎</p><p>b) 𝒙𝟒 ⋅ 𝒓</p><p>c) 𝒙𝟒 ⋅ 𝒓𝟑</p><p>d) 𝒙 ⋅ 𝒓𝟒</p><p>e) 𝒙 ⋅ 𝒓𝟑</p><p>Comentários</p><p>Vamos reescrever o determinante. Sabendo que (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) são os termos de uma PA</p><p>com 𝑥1 = 𝑥 e razão 𝑟, temos:</p><p>|</p><p>𝑥1 𝑥1 𝑥1 𝑥1</p><p>𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥2</p><p>𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥3</p><p>𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4</p><p>| = |</p><p>𝑥 𝑥 𝑥 𝑥</p><p>𝑥 𝑥 + 𝑟 𝑥 + 𝑟 𝑥 + 𝑟</p><p>𝑥 𝑥 + 𝑟 𝑥 + 2𝑟 𝑥 + 2𝑟</p><p>𝑥 𝑥 + 𝑟 𝑥 + 2𝑟 𝑥 + 3𝑟</p><p>|</p><p>Multiplicando a primeira linha por (−1) e somando às outras linhas:</p><p>|</p><p>𝑥 𝑥 𝑥 𝑥</p><p>0 𝑟 𝑟 𝑟</p><p>0 𝑟 2𝑟 2𝑟</p><p>0 𝑟 2𝑟 3𝑟</p><p>| = 𝑥 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑟 ⋅ |</p><p>1 1 1 1</p><p>0 1 1 1</p><p>0 1 2 2</p><p>0 1 2 3</p><p>|</p><p>Podemos aplicar a regra de Chió:</p><p>= 𝑥 ⋅ 𝑟3 ⋅ |</p><p>1 1 1</p><p>1 2 2</p><p>1 2 3</p><p>| = 𝑥 ⋅ 𝑟3 ⋅ (6 + 2 + 2 − 2 − 4 − 3) = 𝑥 ⋅ 𝑟3</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>126. (IME/2017)</p><p>Seja 𝑴 uma matriz real 𝟐𝒙𝟐. Defina uma função 𝒇 na qual cada elemento da matriz se desloca para</p><p>a posição seguinte no sentido horário, ou seja, se 𝑴 = (</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>), implica que 𝒇(𝑴) = (</p><p>𝒄 𝒂</p><p>𝒅 𝒃</p><p>).</p><p>Encontre todas as matrizes simétricas 𝟐𝒙𝟐 reais na qual 𝑴𝟐 = 𝒇(𝑴).</p><p>221</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Comentários</p><p>Vamos encontrar todas as matrizes simétricas 𝑀2𝑥2 tal que 𝑀2 = 𝑓(𝑀).</p><p>Se 𝑀 é simétrica, então, ele é da forma:</p><p>𝑀 = (</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑏 𝑐</p><p>)</p><p>𝑀2 = 𝑓(𝑀) ⇒ (</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑏 𝑐</p><p>) (</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑏 𝑐</p><p>) = (</p><p>𝑏 𝑎</p><p>𝑐 𝑏</p><p>)</p><p>{</p><p>𝑎2 + 𝑏2 = 𝑏 (𝐼)</p><p>𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 𝑎 (𝐼𝐼)</p><p>𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 𝑐 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>𝑏2 + 𝑐2 = 𝑏 (𝐼𝑉)</p><p>Das igualdades (𝐼𝐼) e (𝐼𝐼𝐼), temos:</p><p>𝑎 = 𝑐</p><p>Substituindo essa identidade no sistema, encontramos:</p><p>{</p><p>𝑎2 + 𝑏2 = 𝑏 (𝐼)</p><p>2𝑎𝑏 = 𝑎 (𝐼𝐼)</p><p>2𝑎𝑏 = 𝑎 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>𝑏2 + 𝑎2 = 𝑏 (𝐼𝑉)</p><p>⇒ {</p><p>𝑎2 + 𝑏2 = 𝑏 (𝐼)</p><p>2𝑎𝑏 = 𝑎 (𝐼𝐼)</p><p>De (𝐼𝐼), temos:</p><p>𝑎(2𝑏 − 1) = 0</p><p>𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 =</p><p>1</p><p>2</p><p>Se 𝑎 = 0, temos de (𝐼):</p><p>𝑏2 = 𝑏 ⇒ 𝑏(𝑏 − 1) = 0 ⇒ 𝑏 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 1</p><p>Se 𝑏 = 1/2, temos de (𝐼):</p><p>𝑎2 + (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>⇒ 𝑎2 =</p><p>1</p><p>4</p><p>⇒ 𝑎 = ±</p><p>1</p><p>2</p><p>Portanto, as matrizes que satisfazem ao problema são:</p><p>𝑀 = (</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>) ,𝑀 = (</p><p>0 1</p><p>1 0</p><p>) ,𝑀 = (</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>) ou 𝑀 = (</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>Gabarito: 𝑴 = (</p><p>𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎</p><p>) ,𝑴 = (</p><p>𝟎 𝟏</p><p>𝟏 𝟎</p><p>) ,𝑴 = (</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>) 𝐨𝐮 𝑴 = (</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>127. (IME/2017)</p><p>222</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Seja 𝑨 = [</p><p>𝟏 𝒂 −𝟐</p><p>𝒂 − 𝟐 𝟏 𝟏</p><p>𝟐 −𝟑 𝟏</p><p>] com 𝒂 ∈ ℝ. Sabe-se que 𝐝𝐞𝐭(𝑨𝟐 − 𝟐𝑨 + 𝑰) = 𝟏𝟔. A soma dos valores</p><p>de 𝒂 que satisfazem essa condição é:</p><p>Obs.: 𝐝𝐞𝐭(𝑿) denota o determinante da matriz 𝑿</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>e) 4</p><p>Comentários</p><p>Note que 𝐴2 − 2𝐴 + 𝐼 = (𝐴 − 𝐼)2. Então, temos:</p><p>det(𝐴2 − 2𝐴 + 𝐼) = det(𝐴 − 𝐼)2 = det(𝐴 − 𝐼) ⋅ det(𝐴 − 𝐼) = [det(𝐴 − 𝐼)]2</p><p>Aplicando o Teorema de Binet:</p><p>⇒ [det(𝐴 − 𝐼)]2 = 16 ⇒ det(𝐴 − 𝐼) = ±4</p><p>det(𝐴 − 𝐼) = |</p><p>0 𝑎 −2</p><p>𝑎 − 2 0 1</p><p>2 −3 0</p><p>| = 2𝑎 + 6(𝑎 − 2) = 8𝑎 − 12</p><p>Assim, temos as seguintes possibilidades:</p><p>8𝑎 − 12 = 4 ⇒ 𝑎 = 2</p><p>Ou</p><p>8𝑎 − 12 = −4 ⇒ 𝑎 = 1</p><p>Portanto, a soma dos valores de 𝑎 que satisfazem essa condição é 𝑎1 + 𝑎2 = 3.</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>128. (IME/2016)</p><p>Seja 𝑨 = [</p><p>𝒂 𝒃</p><p>−𝒃 𝒂</p><p>]. O maior valor de 𝒂, com 𝒂 ≠ 𝟏, que satisfaz 𝑨𝟐𝟒 = 𝑰 é:</p><p>Observação: 𝑰 é a matriz identidade 𝟐𝒙𝟐.</p><p>a)</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>b)</p><p>√𝟐</p><p>𝟐</p><p>c)</p><p>√𝟑</p><p>𝟐</p><p>d)</p><p>√𝟐</p><p>𝟒</p><p>(√𝟑 − 𝟏)</p><p>e)</p><p>√𝟐</p><p>𝟒</p><p>(√𝟑 + 𝟏)</p><p>Comentários</p><p>223</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Se 𝐴24 = 𝐼, aplicando o determinante, encontramos:</p><p>det 𝐴24 = det 𝐼</p><p>𝐵𝑖𝑛𝑒𝑡</p><p>⇒ [det 𝐴]24 = 1 ⇒ (𝑎2 + 𝑏2)24 = 1 ⇒ 𝑎2 + 𝑏2 = 1</p><p>Para 𝜃 ∈ [0, 2𝜋], temos que 𝑎 = cos 𝜃 e 𝑏 = − sen 𝜃 satisfazem a equação. Logo, 𝐴 é a</p><p>matriz de rotação:</p><p>𝐴 = [</p><p>cos 𝜃 − sen 𝜃</p><p>sen 𝜃 cos 𝜃</p><p>]</p><p>Para a matriz de rotação, temos:</p><p>𝐴𝑛 = [</p><p>cos 𝑛𝜃 −sen 𝑛𝜃</p><p>sen 𝑛𝜃 cos 𝑛𝜃</p><p>]</p><p>Desse modo:</p><p>𝑨𝟐𝟒 = [</p><p>cos(24𝜃) − sen(24𝜃)</p><p>sen(24𝜃) cos(24𝜃)</p><p>] = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟏</p><p>]</p><p>⇒ cos(24𝜃) = 1 e sen(24𝜃) = 0</p><p>24𝜃 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ</p><p>⇒ 𝜃 =</p><p>𝑘𝜋</p><p>12</p><p>⇒ 𝑎 = cos (</p><p>𝑘𝜋</p><p>12</p><p>)</p><p>Queremos o maior valor de 𝑎, como 𝑎 ≠ 1, encontramos o maior valor quando 𝑘 = 1.</p><p>Então:</p><p>𝑎 = cos (</p><p>𝜋</p><p>12</p><p>)</p><p>Esse é o cosseno de 15°:</p><p>cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sen 45° sen 30° =</p><p>√2</p><p>2</p><p>(</p><p>√3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>) =</p><p>√2</p><p>4</p><p>(√3 + 1)</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>129. (IME/2015)</p><p>Sejam 𝑺 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 e 𝑷 = 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄. Calcule o determinante abaixo unicamente em função de 𝑺 e</p><p>𝑷.</p><p>|</p><p>𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄)𝟐 𝟐𝒃𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐 + 𝒄𝟐</p><p>𝟐𝒂𝟐 (𝒂 + 𝒄)𝟐 + 𝒃𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐 + 𝒄𝟐</p><p>𝒂𝟐 𝒃𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐</p><p>|</p><p>Comentários</p><p>Questão de manipulação algébrica.</p><p>Vamos aplicar o teorema de Jacobi no determinante da matriz:</p><p>𝑥(−1)</p><p>224</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑥(−1)</p><p>𝐷 = |</p><p>𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)2 2𝑏2 (𝑎 + 𝑏)2 + 𝑐2</p><p>2𝑎2 (𝑎 + 𝑐)2 + 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)2 + 𝑐2</p><p>𝑎2 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)2</p><p>|</p><p>𝐷 = |</p><p>(𝑏 + 𝑐)2 𝑏2 c2</p><p>𝑎2 (𝑎 + 𝑐)2 𝑐2</p><p>𝑎2 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)2</p><p>|</p><p>𝐷 = |</p><p>(𝑏 + 𝑐)2 𝑏2 c2</p><p>𝑎2 − (𝑏 + 𝑐)2 (𝑎 + 𝑐)2 − 𝑏2 0</p><p>𝑎2 − (𝑏 + 𝑐)2 0 (𝑎 + 𝑏)2 − 𝑐2</p><p>|</p><p>𝐷 = |</p><p>(𝑏 + 𝑐)2 𝑏2 c2</p><p>(𝑎 − 𝑏 − 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (a − b + c)(a + b + c) 0</p><p>(𝑎 − 𝑏 − 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 0 (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)</p><p>|</p><p>𝐷 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 ⋅ |</p><p>(𝑏 + 𝑐)2 𝑏2 c2</p><p>(𝑎 − 𝑏 − 𝑐) (a − b + c) 0</p><p>(𝑎 − 𝑏 − 𝑐) 0 (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)</p><p>|</p><p>𝐷 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 ⋅ |</p><p>2bc b2 c2</p><p>−2𝑐 (a − b + c) 0</p><p>−2𝑏 0 (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)</p><p>|</p><p>Calculando o determinante:</p><p>𝐷 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)⏟</p><p>𝑆2</p><p>2</p><p>⋅ [2𝑏𝑐 (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)⏟</p><p>𝑆−2𝑏</p><p>(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)⏟</p><p>𝑆−2𝑐</p><p>+ 2𝑏𝑐2 (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)⏟</p><p>𝑆−2𝑏</p><p>+ 2𝑏2𝑐 (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)⏟</p><p>𝑆−2𝑐</p><p>]</p><p>𝐷 = 𝑆2 ⋅ 2𝑏𝑐 ⋅ [(𝑆 − 2𝑏)(𝑆 − 2𝑐) + 𝑐(𝑆 − 2𝑏) + 𝑏(𝑆 − 2𝑐)]</p><p>𝐷 = 𝑆2 ⋅ 2𝑏𝑐 ⋅ [𝑆2 − 2𝑏𝑆 − 2𝑐𝑆 + 4𝑏𝑐 + 𝑐𝑆 − 2𝑏𝑐 + 𝑏𝑆 − 2𝑏𝑐]</p><p>𝐷 = 𝑆2 ⋅ 2𝑏𝑐 ⋅ 𝑆 ⋅ [𝑆 − (𝑏 + 𝑐)⏟</p><p>𝑆−𝑎</p><p>]</p><p>𝐷 = 2𝑆3𝑎𝑏𝑐 = 2𝑆3𝑃</p><p>Gabarito: 𝟐𝑺𝟑𝑷</p><p>130. (IME/2015)</p><p>Dada a matriz 𝑨, a soma do módulo dos valores de 𝒙 que tornam o determinante da matriz 𝑨 nulo</p><p>é:</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝟐𝒙 𝟎 𝟎</p><p>𝒙𝟐 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟐</p><p>𝟏 𝒙 + 𝟒 𝟎 𝟎</p><p>𝒙 −𝟏 𝟏 𝒙 − 𝟐</p><p>]</p><p>225</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>a) 7</p><p>b) 8</p><p>c) 9</p><p>d) 10</p><p>e) 11</p><p>Comentários</p><p>Queremos det 𝐴 = 0, precisamos encontrar a equação do determinante. Vamos aplicar a</p><p>regra de Chió:</p><p>det 𝐴 = |</p><p>1 2𝑥 0 0</p><p>𝑥2 1 𝑥 − 1 2</p><p>1 𝑥 + 4 0 0</p><p>𝑥 −1 1 𝑥 − 2</p><p>| = |</p><p>1 − 2𝑥3 𝑥 − 1 2</p><p>−𝑥 + 4 0 0</p><p>−1 − 2𝑥2 1 𝑥 − 2</p><p>|</p><p>det 𝐴 = 2(−𝑥 + 4) − (−𝑥 + 4)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = (−𝑥 + 4)(2 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2)</p><p>= (−𝑥 + 4)(−𝑥2 + 3𝑥) = 𝑥(𝑥 − 4)(𝑥 − 3)</p><p>Se det 𝐴 = 0, então:</p><p>𝑥(𝑥 − 4)(𝑥 − 3) = 0 ⇒ 𝑥1 = 0 𝑜𝑢 𝑥2 = 3 𝑜𝑢 𝑥3 = 4</p><p>A soma do módulo desses valores é:</p><p>|𝑥1| + |𝑥2| + |𝑥3| = 0 + 3 + 4 = 7</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>131. (IME/2014)</p><p>Seja a matriz 𝑨 = [</p><p>𝒂 𝒃 𝒄</p><p>𝒃 𝒄 𝒂</p><p>𝒄 𝒂 𝒃</p><p>], em que 𝒂, 𝒃 𝐞 𝒄 são números reais positivos satisfazendo 𝒂𝒃𝒄 = 𝟏.</p><p>Sabe-se que 𝑨𝑻𝑨 = ����, em que 𝑨𝑻 é a matriz transposta de 𝑨 e 𝑰 é a matriz identidade de 𝟑ª ordem.</p><p>O produto dos possiveis valores de 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 é</p><p>a) 2</p><p>b) 4</p><p>c) 6</p><p>d) 8</p><p>e) 10</p><p>Comentários</p><p>Essa questão foi anulada, veja o motivo:</p><p>Note que 𝐴𝑇 = 𝐴, então:</p><p>𝐴2 = 𝐼 ⇒ [</p><p>𝑎 𝑏 𝑐</p><p>𝑏 𝑐 𝑎</p><p>𝑐 𝑎 𝑏</p><p>] [</p><p>𝑎 𝑏 𝑐</p><p>𝑏 𝑐 𝑎</p><p>𝑐 𝑎 𝑏</p><p>] = [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>226</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Dessa identidade, encontramos as seguintes equações:</p><p>{𝑎</p><p>2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 1</p><p>𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 = 0</p><p>Podemos usar essas equações para encontrar o valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐:</p><p>(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2⏟</p><p>1</p><p>+ 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐⏟</p><p>0</p><p>)</p><p>(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 1 ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = ±1</p><p>O problema afirma que 𝑎, 𝑏, 𝑐 são números reais positivos, então, devemos ter:</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1</p><p>Sabendo que 𝑎𝑏𝑐 = 1, podemos usar a desigualdade das médias:</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>3</p><p>≥ √𝑎𝑏𝑐</p><p>3</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 3</p><p>Nesse caso, encontramos um sistema sem solução, pois 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 e pela</p><p>desigualdade, vemos que o menor valor que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 assume é 3.</p><p>Por esse motivo, a questão foi anulada.</p><p>Se não houvesse a restrição de 𝑎, 𝑏, 𝑐 ser positiva, poderíamos resolver o problema</p><p>aplicando o determinante na identidade 𝐴2 = 𝐼:</p><p>det(𝐴2) = det 𝐼</p><p>𝐵𝑖𝑛𝑒𝑡</p><p>⇒ (det 𝐴)2 = 1 ⇒ det 𝐴 = ±1</p><p>det 𝐴 = 3𝑎𝑏𝑐⏟</p><p>1</p><p>− (𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3) = ±1</p><p>𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3 ∓ 1</p><p>𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 2 𝑜𝑢 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 4</p><p>Portanto, o produto dos possíveis valores dessa expressão é 2 ⋅ 4 = 8.</p><p>Gabarito: Questão anulada</p><p>132. (IME/2013)</p><p>Seja 𝚫 o determinante da matriz [</p><p>𝟏 𝟐 𝟑</p><p>𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑</p><p>𝒙 𝒙 𝟏</p><p>]. O número de possíveis valores de 𝒙 reais que anulam</p><p>𝚫 é</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>e) 4</p><p>Comentários</p><p>227</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Vamos calcular o valor de 𝑥 que torna o determinante nulo:</p><p>Δ = |</p><p>1 2 3</p><p>𝑥 𝑥2 𝑥3</p><p>𝑥 𝑥 1</p><p>| = 0 ⇒ 𝑥 ⋅ |</p><p>1 2 3</p><p>1 𝑥 𝑥2</p><p>𝑥 𝑥 1</p><p>| = 0</p><p>Pelo teorema de Jacobi, vamos multiplicar a terceira linha por (−1) e somar à segunda</p><p>linha:</p><p>𝑥 ⋅ |</p><p>1 2 3</p><p>1 − 𝑥 0 𝑥2 − 1</p><p>𝑥 𝑥 1</p><p>| = 0 ⇒ 𝑥 ⋅ |</p><p>1 2 3</p><p>−(𝑥 − 1) 0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)</p><p>𝑥 𝑥 1</p><p>| = 0</p><p>𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) ⋅ |</p><p>1 2 3</p><p>−1 0 𝑥 + 1</p><p>𝑥 𝑥 1</p><p>| = 0</p><p>Aplicando a regra de Chió:</p><p>𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) ⋅ |</p><p>2 𝑥 + 4</p><p>−𝑥 1 − 3𝑥</p><p>| = 0 ⇒ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) ⋅ (2(1 − 3𝑥) + 𝑥(𝑥 + 4)) = 0</p><p>𝑥(𝑥 − 1)(2 − 6𝑥 + 𝑥2 + 4𝑥) = 0</p><p>𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2) = 0</p><p>Note que o discriminante da equação quadrática acima é menor que zero, logo, as raízes</p><p>dessa equação não são reais:</p><p>𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥 ∉ ℝ</p><p>Portanto, as únicas raízes são:</p><p>𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1</p><p>Temos 2 raízes reais.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>133. (IME/2012)</p><p>São dadas as matrizes quadradas inversiveis 𝑨,𝑩 e 𝑪, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de</p><p>𝑪 vale (𝟒 − 𝒙), onde 𝒙 é um número real, o determinante da matriz inversa de 𝑩 vale −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>e que</p><p>(𝑪𝑨𝒕)𝒕 = 𝑷−𝟏𝑩𝑷, onde 𝑷 é uma matriz inversível.</p><p>Sabendo que 𝑨 = (</p><p>𝟎 𝟎 𝟏</p><p>𝟑 𝒙 𝟎</p><p>𝟏 𝟎 𝟎</p><p>), determine os possíveis valores de 𝒙.</p><p>Obs.: (𝑴)𝒕 é a matriz transposta de 𝑴.</p><p>a) −𝟏 e 3</p><p>b) 1 e −𝟑</p><p>c) 2 e 3</p><p>d) 1 e 3</p><p>e) −𝟐 e −𝟑</p><p>228</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Comentários</p><p>Pela igualdade fornecida no enunciado:</p><p>(𝐶𝐴𝑡)𝑡 = 𝑃−1𝐵𝑃 ⇒ 𝐴𝐶𝑡 = 𝑃−1𝐵𝑃</p><p>Aplicando o determinante na equação acima:</p><p>det(𝐴𝐶𝑡) = det(𝑃−1𝐵𝑃)</p><p>𝐵𝑖𝑛𝑒𝑡</p><p>⇒ det 𝐴 ⋅ det 𝐶𝑡 = det 𝑃−1 ⋅ det 𝐵 ⋅ det 𝑃 ⇒ det 𝐴 ⋅ det 𝐶𝑡 = det𝐵</p><p>Sabendo que det 𝐶𝑡 = det 𝐶, do enunciado, temos:</p><p>det 𝐶𝑡 = det 𝐶 = 4 − 𝑥</p><p>det 𝐵−1 =</p><p>1</p><p>det 𝐵</p><p>= −</p><p>1</p><p>3</p><p>⇒ det 𝐵 = −3</p><p>det 𝐴 = −𝑥</p><p>Substituindo os valores na equação dos determinantes:</p><p>−𝑥(4 − 𝑥) = −3</p><p>𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⇒ (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0 ⇒ 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = 1</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>134. (IME/2012)</p><p>Calcule as raízes de 𝒇(𝒙) em função de 𝒂, 𝒃 e 𝒄, sendo 𝒂, 𝒃, 𝒄 e 𝒙 ∈ ℝ (real) e</p><p>𝒇(𝒙) = |</p><p>𝒙 𝒂 𝒃 𝒄</p><p>𝒂 𝒙 𝒄 𝒃</p><p>𝒃 𝒄 𝒙 𝒂</p><p>𝒄 𝒃 𝒂 𝒙</p><p>|.</p><p>Comentários</p><p>Vamos usar o teorema de Jacobi e somar a segunda, terceira e quarta linha na primeira:</p><p>𝑓(𝑥) = |</p><p>𝑥 𝑎 𝑏 𝑐</p><p>𝑎 𝑥 𝑐 𝑏</p><p>𝑏 𝑐 𝑥 𝑎</p><p>𝑐 𝑏 𝑎 𝑥</p><p>| = |</p><p>𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>𝑎 𝑥 𝑐 𝑏</p><p>𝑏 𝑐 𝑥 𝑎</p><p>𝑐 𝑏 𝑎 𝑥</p><p>|</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐) |</p><p>1 1 1 1</p><p>𝑎 𝑥 𝑐 𝑏</p><p>𝑏 𝑐 𝑥 𝑎</p><p>𝑐 𝑏 𝑎 𝑥</p><p>|</p><p>Agora, podemos usar a regra de Chió:</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐) |</p><p>𝑥 − 𝑎 𝑐 − 𝑎 𝑏 − 𝑎</p><p>𝑐 − 𝑏 𝑥 − 𝑏 𝑎 − 𝑏</p><p>𝑏 − 𝑐 𝑎 − 𝑐 𝑥 − 𝑐</p><p>|</p><p>Pelo teorema de Jacobi, vamos somar a segunda linha na primeira:</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐) |</p><p>𝑥 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 𝑥 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 0</p><p>𝑐 − 𝑏 𝑥 − 𝑏 𝑎 − 𝑏</p><p>𝑏 − 𝑐 𝑎 − 𝑐 𝑥 − 𝑐</p><p>|</p><p>229</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑥 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑐) |</p><p>1 1 0</p><p>𝑐 − 𝑏 𝑥 − 𝑏 𝑎 − 𝑏</p><p>𝑏 − 𝑐 𝑎 − 𝑐 𝑥 − 𝑐</p><p>|</p><p>Aplicando Chió:</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑥 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑐) |</p><p>𝑥 − 𝑐 𝑎 − 𝑏</p><p>𝑎 − 𝑏 𝑥 − 𝑐</p><p>|</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑥 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑐)((𝑥 − 𝑐)2 − (𝑎 − 𝑏)2)</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑥 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑐)(𝑥 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑥 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐)</p><p>Portanto, as raízes de 𝑓 são dadas por:</p><p>𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = −(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>Gabarito: 𝒙 = −(𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝒐𝒖 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 𝒐𝒖 𝒙 = 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 𝒐𝒖 𝒙 = −𝒂 + 𝒃 + 𝒄</p><p>135. (IME/2010)</p><p>Demonstre que a matriz (</p><p>𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 𝒙𝒚 𝒙𝒛</p><p>𝒙𝒚 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 𝒚𝒛</p><p>𝒙𝒛 𝒚𝒛 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐</p><p>), onde 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℕ, pode ser escrita como o</p><p>quadrado de uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto</p><p>dos números naturais.</p><p>Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal.</p><p>Comentários</p><p>Seja 𝑀 uma matriz simétrica 3𝑥3 da forma:</p><p>𝑀 = (</p><p>𝑎 𝑑 𝑒</p><p>𝑑 𝑏 𝑓</p><p>𝑒 𝑓 𝑐</p><p>)</p><p>O enunciado afirma que o traço de 𝑀 deve ser igual a zero e todos os seus elementos</p><p>perntecem ao conjunto dos números naturais, então, temos:</p><p>𝑡𝑟𝑀 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0</p><p>Como 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ, devemos ter 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0:</p><p>𝑀 = (</p><p>0 𝑑 𝑒</p><p>𝑑 0 𝑓</p><p>𝑒 𝑓 0</p><p>)</p><p>Queremos uma matriz 𝑀 que satisfaça a seguinte relação:</p><p>𝑀2 = (</p><p>𝑦2 + 𝑧2 𝑥𝑦 𝑥𝑧</p><p>𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑧2 𝑦𝑧</p><p>𝑥𝑧 𝑦𝑧 𝑥2 + 𝑦2</p><p>)</p><p>(</p><p>0 𝑑 𝑒</p><p>𝑑 0 𝑓</p><p>𝑒 𝑓 0</p><p>)(</p><p>0 𝑑 𝑒</p><p>𝑑 0 𝑓</p><p>𝑒 𝑓 0</p><p>) = (</p><p>𝑦2 + 𝑧2 𝑥𝑦 𝑥𝑧</p><p>𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑧2 𝑦𝑧</p><p>𝑥𝑧 𝑦𝑧 𝑥2 + 𝑦2</p><p>)</p><p>230</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>(</p><p>𝑑2 + 𝑒2 𝑒𝑓 𝑑𝑓</p><p>𝑒𝑓 𝑑2 + 𝑓2 𝑑𝑒</p><p>𝑑𝑓 𝑑𝑒 𝑒2 + 𝑓2</p><p>) = (</p><p>𝑦2 + 𝑧2 𝑥𝑦 𝑥𝑧</p><p>𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑧2 𝑦𝑧</p><p>𝑥𝑧 𝑦𝑧 𝑥2 + 𝑦2</p><p>)</p><p>Se tomarmos 𝑑 = 𝑧, 𝑒 = 𝑦 e 𝑓 = 𝑥, temos que a igualdade é satisfeita.</p><p>Assim, 𝑀 = (</p><p>0 𝑧 𝑦</p><p>𝑧 0 𝑥</p><p>𝑦 𝑥 0</p><p>) é a matriz simétrica de traço igual a zero e cujos elementos são</p><p>naturais que satisfaz a relação:</p><p>𝑀2 = (</p><p>𝑦2 + 𝑧2 𝑥𝑦 𝑥𝑧</p><p>𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑧2 𝑦𝑧</p><p>𝑥𝑧 𝑦𝑧 𝑥2 + 𝑦2</p><p>)</p><p>Gabarito: Demonstração</p><p>136. (IME/2010)</p><p>Considere o determinante de uma matriz de ordem 𝒏, definido por:</p><p>𝚫𝒏 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 … 𝟏 𝟏</p><p>−𝟏 𝟑 𝟎 𝟎 … 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 −𝟏 𝟑 𝟎 … 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 −𝟏 𝟑 … 𝟎 𝟎</p><p>… … … … … … …</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 … 𝟑 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 … −𝟏 𝟑</p><p>|</p><p>|</p><p>Sabendo que 𝚫𝟏 = 𝟏, o valor de 𝚫𝟏𝟎 é</p><p>a) 59049</p><p>b) 48725</p><p>c) 29524</p><p>d) 9841</p><p>e) 364</p><p>Comentários</p><p>Vamos aplicar o teorema de Laplace na primeira coluna, então, para 𝑛 ≥ 2:</p><p>Δ𝑛 = 1 ⋅ A11 + (−1) ⋅ 𝐴21</p><p>𝐴11 =</p><p>|</p><p>|</p><p>1 1 1 1 … 1 1</p><p>−1 3 0 0 … 0 0</p><p>0 −1 3 0 … 0 0</p><p>0 0 −1 3 … 0 0</p><p>… … … … … … …</p><p>0 0 0 0 … 3 0</p><p>0 0 0 0 … −1 3</p><p>|</p><p>|</p><p>= (−1)1+1 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>3 0 0 … 0 0</p><p>−1 3 0 … 0 0</p><p>0 −1 3 … 0 0</p><p>… … … … … …</p><p>0 0 0 … 3 0</p><p>0 0 0 … −1 3</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑛−1</p><p>O determinante acima é de uma matriz triangular de ordem 𝑛 − 1, então, o seu valor é</p><p>igual ao produto da diagonal principal:</p><p>231</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴11 = 3</p><p>𝑛−1</p><p>𝐴21 =</p><p>|</p><p>|</p><p>1 1 1 1 … 1 1</p><p>−1 3 0 0 … 0 0</p><p>0 −1 3 0 … 0 0</p><p>0 0 −1 3 … 0 0</p><p>… … … … … … …</p><p>0 0 0 0 … 3 0</p><p>0 0 0 0 … −1 3</p><p>|</p><p>|</p><p>= (−1)2+1 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>1 1 1 … 1 1</p><p>−1 3 0 … 0 0</p><p>0 −1 3 … 0 0</p><p>… … … … … …</p><p>0 0 0 … 3 0</p><p>0 0 0 … −1 3</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>Δ𝑛−1</p><p>Nesse caso, o determinante possui a mesma forma de Δ𝑛 com a diferença de uma ordem</p><p>a menos:</p><p>𝐴21 = −Δ𝑛−1</p><p>Então, Δ𝑛 é dado por:</p><p>Δ𝑛 = 3</p><p>𝑛−1 − (−Δ𝑛−1)</p><p>Δ𝑛 − Δ𝑛−1 = 3</p><p>𝑛−1</p><p>Assim, encontramos uma fórmula de recorrência para o determinante. Para calcular Δ10,</p><p>podemos proceder da seguinte forma:</p><p>Δ2 − Δ1 = 3</p><p>1</p><p>Δ3 − Δ2 = 3</p><p>2</p><p>Δ4 − Δ3 = 3</p><p>3</p><p>⋮</p><p>Δ10 − Δ9 = 3</p><p>9</p><p>Δ10 − Δ1⏟</p><p>1</p><p>= 31 + 32 +⋯+ 39</p><p>⇒ Δ10 = 1 + 3 + 3</p><p>2 +⋯+ 39⏟</p><p>10 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠</p><p>Essa expressão é a soma de uma PG de razão 𝑞 = 3 cujo primeiro termo é 1, desse modo:</p><p>Δ10 = 1 ⋅</p><p>(310 − 1)</p><p>3 − 1</p><p>=</p><p>310 − 1</p><p>2</p><p>= 29524</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>137. (IME/2009)</p><p>Seja 𝑨 uma matriz quadrada inversível de ordem 4 tal que o resultado da soma (𝑨𝟒 + 𝟑𝑨𝟑) é uma</p><p>matriz de elementos nulos. O valor do determinante de 𝑨 é</p><p>a) −𝟖𝟏</p><p>b) −𝟐𝟕</p><p>c) −𝟑</p><p>d) 𝟐𝟕</p><p>232</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>e) 𝟖𝟏</p><p>Comentários</p><p>Do enunciado:</p><p>𝐴4 + 3𝐴3 = 𝑂</p><p>𝐴4 = −3𝐴3</p><p>Aplicando 𝑑𝑒𝑡 dos dois lados:</p><p>det 𝐴4 = det (−3𝐴3)</p><p>Mas, a matriz 𝐴 é 4𝑥4, logo:</p><p>(det 𝐴)4 = (−3)4 ⋅ det 𝐴3</p><p>(det 𝐴)4 = (−3)4 ⋅ (det 𝐴)3</p><p>(det 𝐴)4 − [34 ⋅ (det 𝐴)3] = 0</p><p>(det 𝐴)3(det 𝐴 − 34) = 0</p><p>Então, det 𝐴 = 0 ou det 𝐴 = 34 = 81. Contudo, o enunciado diz que 𝐴 é inversível, então,</p><p>det 𝐴 ≠ 0. Portanto:</p><p>det 𝐴 = 81</p><p>Gabarito: “e”</p><p>138. (IME/2008)</p><p>Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes reais da equação:</p><p>|</p><p>𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒙</p><p>𝐥𝐨𝐠 𝟔𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙</p><p>𝟏 𝟏 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙</p><p>| = 𝟎</p><p>a) 𝟏, 𝟎</p><p>b) 𝝅</p><p>c) 𝟏𝟎, 𝟎</p><p>d) 𝟏𝟏, 𝟎</p><p>e) 𝟏𝟏, 𝟏</p><p>Comentários</p><p>|</p><p>log x log x log x</p><p>log 6x log 3x cos x</p><p>1 1 log2 x</p><p>| = 0</p><p>Colocando log 𝑥 em evidência:</p><p>log 𝑥 |</p><p>1 1 1</p><p>log 6x log 3x cos x</p><p>1 1 log2 x</p><p>| = 0</p><p>233</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Pelo teorema de Jacobi, subtraindo a primeira linha da terceira linha, temos:</p><p>log 𝑥 |</p><p>0 0</p><p>1 − log2 𝑥</p><p>log 6x log 3x cos x</p><p>1 1 log2 x</p><p>| = 0</p><p>Aplicando teorema de Laplace na primeira linha:</p><p>log 𝑥 ⋅ [(−1)1+3 ⋅ (1 − log2 𝑥) ⋅ |</p><p>log 6𝑥 log 3𝑥</p><p>1 1</p><p>|] = 0</p><p>log 𝑥 ⋅ (1 − log2 𝑥) ⋅ (log 6𝑥 − log 3𝑥) = 0</p><p>Portanto, devemos analisar três possibilidades:</p><p>1) se log 𝑥 = 0, então:</p><p>𝑥 = 1</p><p>2) se (1 − log2 𝑥) = 0, então:</p><p>log2 𝑥 = 1</p><p>log 𝑥 = ±1</p><p>𝑥 = 10 ou 𝑥 = 10−1</p><p>3) se (log 6𝑥 − log 3𝑥) = 0, então:</p><p>log 6𝑥 − log 3𝑥 = 0</p><p>log 6𝑥 = log 3𝑥</p><p>6𝑥 = 3𝑥</p><p>𝑥 = 0</p><p>Mas isso não é uma raiz, pois log 0 não está definido, ou seja, 𝑥 = 0 não pertence ao</p><p>domínio da função logarítmica.</p><p>Desse modo, as raízes são 𝑥 = 1, 𝑥 = 10 e 𝑥 = 10−1 = 0,1. Assim:</p><p>𝑆 = 1 + 10 + 0,1 = 11,1</p><p>Gabarito: “e”</p><p>139. (IME/2007)</p><p>Seja a matriz 𝑫 dada por:</p><p>𝑫 = [</p><p>𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝒑 𝒒 𝒓</p><p>𝒔𝒆𝒏(�̂�) 𝒔𝒆𝒏(�̂�) 𝒔𝒆𝒏(�̂�)</p><p>]</p><p>na qual 𝒑, 𝒒 𝐞 𝒓 são lados de um triângulo cujos ângulos opostos são, respectivamente, �̂�, �̂� 𝐞 �̂�. O</p><p>valor do determinante de 𝑫 é</p><p>a) −𝟏</p><p>b) 𝟎</p><p>c) 𝟏</p><p>234</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>d) 𝝅</p><p>e) 𝒑 + 𝒒 + 𝒓</p><p>Comentários</p><p>Aplicando a lei dos senos no triângulo citado, temos:</p><p>𝑝</p><p>𝑠𝑒𝑛(�̂�)</p><p>=</p><p>𝑞</p><p>𝑠𝑒𝑛(�̂�)</p><p>=</p><p>𝑟</p><p>𝑠𝑒𝑛(�̂�)</p><p>(𝐼)</p><p>Além disso, calculando o determinante 𝐷, temos:</p><p>𝐷 = 𝑞 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) + 𝑝 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) + 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) − 𝑞 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) − 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) − 𝑝 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�)</p><p>Reorganizando:</p><p>𝐷 = (𝑞 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) − 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�)) + (𝑝 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) − 𝑞 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�)) + (𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) − 𝑝 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�))</p><p>De (𝐼), temos que:</p><p>𝑞 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) = 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�)</p><p>𝑝 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) = 𝑞 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�)</p><p>𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�) = 𝑝 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(�̂�)</p><p>Logo,</p><p>𝐷 = 0 + 0 + 0 = 0</p><p>Gabarito: “b”</p><p>140. (IME/2007)</p><p>Considere as matrizes 𝑨 = [</p><p>𝟑</p><p>𝟒</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>𝟑</p><p>𝟒</p><p>] 𝐞 𝑩 = [</p><p>𝟏 𝟎</p><p>𝟎</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>], e seja 𝑷 uma matriz inversível tal que 𝑩 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷.</p><p>Sendo 𝒏 um número natural, calcule o determinante da matriz 𝑨𝒏.</p><p>Comentários</p><p>Temos que:</p><p>det 𝐵 = det(𝑃−1𝐴𝑃)</p><p>det 𝐵 = det 𝑃−1 ⋅ det 𝐴 ⋅ det 𝑃</p><p>Mas 𝑃 é inversível, logo:</p><p>det 𝑃−1 =</p><p>1</p><p>det 𝑃</p><p>⇒ det 𝑃−1 ⋅ det 𝑃 = 1</p><p>Portanto:</p><p>det 𝐵 = (det 𝑃−1 ⋅ det 𝑃) ⋅ det 𝐴 ⇒ det𝐵 = det 𝐴</p><p>Do enunciado, temos:</p><p>235</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det 𝐵 = |</p><p>1 0</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>| =</p><p>1</p><p>2</p><p>Ou seja:</p><p>det 𝐴 =</p><p>1</p><p>2</p><p>Para calcular o valor do determinante de 𝐴, basta usar o teorema de Binet:</p><p>det 𝐴𝑛 = (det 𝐴)𝑛</p><p>∴ det 𝐴𝑛 = (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>Gabarito: 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝒏 = (</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>𝒏</p><p>141. (IME/2006)</p><p>Seja 𝑫𝒏 = 𝐝𝐞𝐭(𝑨𝒏), onde</p><p>𝑨𝒏 =</p><p>[</p><p>𝟐 −𝟏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 𝟎</p><p>−𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎 ⋯ 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 −𝟏 𝟐 −𝟏 ⋯ 𝟎 𝟎</p><p>⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟐 −𝟏</p><p>𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ⋯ −𝟏 𝟐 ]</p><p>𝒏𝒙𝒏</p><p>Determine 𝑫𝒏 em função de 𝒏 (𝒏 ∈ ℕ, 𝒏 ≥ 𝟏).</p><p>Comentários</p><p>Aplicando o teorema de Laplace em 𝐷𝑛 na primeira linha:</p><p>𝐷𝑛 = 2 ⋅ (−1)</p><p>1+1 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>2 −1 0 0 ⋯ 0 0</p><p>−1 2 −1 0 ⋯ 0 0</p><p>0 −1 2 −1 ⋯ 0 0</p><p>⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯</p><p>0 0 0 0 ⋯ 2 −1</p><p>0 0 0 0 ⋯ −1 2</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>𝐷𝑛−1 (𝑛−1)𝑥(𝑛−1)</p><p>+</p><p>(−1) ⋅ (−1)1+2 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>−1 −1 0 0 ⋯ 0 0</p><p>0 2 −1 0 ⋯ 0 0</p><p>0 −1 2 −1 ⋯ 0 0</p><p>⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯</p><p>0 0 0 0 ⋯ 2 −1</p><p>0 0 0 0 ⋯ −1 2</p><p>|</p><p>|</p><p>(𝑛−1)𝑥(𝑛−1)</p><p>O segundo determinante pode ser calculado utilizando Laplace novamente:</p><p>236</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>|</p><p>|</p><p>−1 −1 0 0 ⋯ 0 0</p><p>0 2 −1 0 ⋯ 0 0</p><p>0 −1 2 −1 ⋯ 0 0</p><p>⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯</p><p>0 0 0 0 ⋯ 2 −1</p><p>0 0 0 0 ⋯ −1 2</p><p>|</p><p>|</p><p>(𝑛−1)𝑥(𝑛−1)</p><p>=</p><p>(−1) ⋅ (−1)1+1 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>2 −1 0 0 ⋯ 0 0</p><p>−1 2 −1 0 ⋯ 0 0</p><p>0 −1 2 −1 ⋯ 0 0</p><p>⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯</p><p>0 0 0 0 ⋯ 2 −1</p><p>0 0 0 0 ⋯ −1 2</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>𝐷𝑛−2 (𝑛−2)𝑥(𝑛−2)</p><p>+</p><p>+ (−1) ⋅ (−1)1+2 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>0 −1 0 0 ⋯ 0 0</p><p>0 2 −1 0 ⋯ 0 0</p><p>0 −1 2 −1 ⋯ 0 0</p><p>⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯</p><p>0 0 0 0 ⋯ 2 −1</p><p>0 0 0 0 ⋯ −1 2</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>0 (𝑛−2)𝑥(𝑛−2)</p><p>Note que a primeira coluna do segundo determinante da soma acima é nula, logo, esse</p><p>determinante é nulo.</p><p>Portanto, para o segundo determinante, temos:</p><p>|</p><p>|</p><p>−1 −1 0 0 ⋯ 0 0</p><p>0 2 −1 0 ⋯ 0 0</p><p>0 −1 2 −1 ⋯ 0 0</p><p>⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯</p><p>0 0 0 0 ⋯ 2 −1</p><p>0 0 0 0 ⋯ −1 2</p><p>|</p><p>|</p><p>(𝑛−1)𝑥(𝑛−1)</p><p>= −𝐷𝑛−2</p><p>Assim, o determinante 𝐷𝑛 é dado pela seguinte fórmula de recorrência:</p><p>𝐷𝑛 = 2 ⋅ 𝐷(𝑛−1) − 𝐷(𝑛−2)</p><p>Usando essa fórmula, podemos escrever:</p><p>𝐷𝑛 = 2 ⋅ 𝐷(𝑛−1) − 𝐷𝑛−2</p><p>𝐷𝑛−1 = 2 ⋅ 𝐷𝑛−2 − 𝐷𝑛−3</p><p>𝐷𝑛−2 = 2 ⋅ 𝐷𝑛−3 − 𝐷𝑛−4</p><p>⋮</p><p>𝐷4 = 2 ⋅ 𝐷3 − 𝐷2</p><p>𝐷3 = 2 ⋅ 𝐷2 − 𝐷1</p><p>𝐷𝑛 = 𝐷𝑛−1 + 𝐷2 − 𝐷1</p><p>(+)</p><p>Desse modo:</p><p>237</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐷𝑛 = 𝐷𝑛−1 + 𝐷2 − 𝐷1</p><p>𝐷𝑛−1 = 𝐷𝑛−2 + 𝐷2 − 𝐷1</p><p>⋮</p><p>𝐷2 = 𝐷1 + 𝐷2 − 𝐷1</p><p>𝐷𝑛 = 𝐷1 + (𝑛 − 1)(𝐷2 − 𝐷1)</p><p>(+)</p><p>∴ 𝐷𝑛 = (𝑛 − 1)(𝐷2 − 𝐷1) + 𝐷1 (𝐼)</p><p>Podemos calcular 𝐷2 e 𝐷1:</p><p>𝐷1 = |2| = 2</p><p>𝐷2 = |</p><p>2 −1</p><p>−1 2</p><p>| = 3</p><p>Substituindo esses valores em (𝐼):</p><p>𝐷𝑛 = (𝑛 − 1) ⋅ (3 − 2) + 2</p><p>𝐷𝑛 = 𝑛 − 1 + 2</p><p>∴ 𝐷𝑛 = 𝑛 + 1</p><p>Gabarito: 𝑫𝒏 = 𝒏 + 𝟏</p><p>142. (IME/2004)</p><p>Calcule o número natural 𝒏 que torna o determinante abaixo igual a 5.</p><p>|</p><p>𝟏 −𝟏 𝟎 𝟎</p><p>𝟎 𝟏 −𝟏 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏</p><p>𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒏 − 𝟏) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒏 + 𝟏) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒏 − 𝟏) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒏 − 𝟏)</p><p>|</p><p>Comentários</p><p>Seja Δ o determinante apresentado no enunciado. Pelo teorema de Jacobi, somando a</p><p>primeira coluna com a segunda, temos:</p><p>Δ = |</p><p>1 0 0 0</p><p>0 1 −1 0</p><p>0 0 1 −1</p><p>log2(𝑛 − 1) log2(𝑛 + 1) + log2(𝑛 − 1) log2(𝑛 − 1) log2(𝑛 − 1)</p><p>|</p><p>Δ = |</p><p>1 0 0 0</p><p>0 1 −1 0</p><p>0 0 1 −1</p><p>log2(𝑛 − 1) log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)) log2(𝑛 − 1) log2(𝑛 − 1)</p><p>|</p><p>Aplicando o teorema de Laplace na primeira linha:</p><p>Δ = 1 ⋅ (−1)1+1 ⋅ |</p><p>1 −1 0</p><p>0 1 −1</p><p>log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)) log2(𝑛 − 1) log2(𝑛 − 1)</p><p>|</p><p>Δ = |</p><p>1 −1 0</p><p>0 1 −1</p><p>log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)) log2(𝑛 − 1) log2(𝑛 − 1)</p><p>|</p><p>238</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Para o novo determinante Δ3𝑥3, devemos somar a primeira coluna com a segunda coluna</p><p>novamente:</p><p>Δ = |</p><p>1 0 0</p><p>0 1 −1</p><p>log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)) log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)</p><p>2) log2(𝑛 − 1)</p><p>|</p><p>Aplicando Laplace na primeira linha:</p><p>Δ = |</p><p>1 −1</p><p>log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)</p><p>2) log2(𝑛 − 1)</p><p>| = log2(𝑛 − 1) + log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)</p><p>2)</p><p>Δ = log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)</p><p>3)</p><p>Como queremos Δ = 5, temos:</p><p>log2((𝑛 + 1)(𝑛 − 1)</p><p>3) = 5</p><p>(𝑛 + 1)(𝑛 − 1)3 = 25 = 4 ⋅ 23</p><p>Portanto 𝑛 + 1 = 4 e 𝑛 − 1 = 2, ou seja, 𝑛 = 3 é solução.</p><p>Gabarito: 𝒏 = 𝟑</p><p>143. (IME/2002)</p><p>Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa.</p><p>Considerando esta definição, determine se a matriz [𝑹], abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-</p><p>se que 𝒏 é um número inteiro e 𝜶 é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.</p><p>[𝑹] = [</p><p>𝐜𝐨𝐬(𝒏𝜶) −𝐬𝐞𝐧(𝒏𝜶) 𝟎</p><p>𝐬𝐞𝐧(𝒏𝜶) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝜶) 𝟎</p><p>𝟎 𝟎 𝟏</p><p>]</p><p>Comentários</p><p>Vamos calcular a inversa de [𝑅]:</p><p>[𝑅]−1 =</p><p>1</p><p>det[𝑅]</p><p>⋅ [𝑅]̅̅ ̅̅</p><p>1) det[𝑅]:</p><p>det[𝑅] = cos2(𝑛𝛼) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑛𝛼) = 1</p><p>2) [𝑅]̅̅ ̅̅ :</p><p>[𝑅]̅̅ ̅̅ = ([𝑅]𝑐𝑜𝑓)</p><p>𝑇</p><p>[𝑅]̅̅ ̅̅ =</p><p>[</p><p>|</p><p>cos(𝑛𝛼) 0</p><p>0 1</p><p>| − |</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) 0</p><p>0 1</p><p>| 0</p><p>− |</p><p>−𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) 0</p><p>0 1</p><p>| |</p><p>cos (𝑛𝛼) 0</p><p>0 1</p><p>| 0</p><p>0 0 |</p><p>cos (𝑛𝛼) −𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼)</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) cos (𝑛𝛼)</p><p>|</p><p>]</p><p>𝑇</p><p>239</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>[𝑅]̅̅ ̅̅ = [</p><p>cos(𝑛𝛼) −𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) 0</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) cos(𝑛𝛼) 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>𝑇</p><p>[𝑅]̅̅ ̅̅ = [</p><p>cos(𝑛𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) 0</p><p>−𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) cos(𝑛𝛼) 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>3) [𝑅]−1:</p><p>[𝑅]−1 =</p><p>1</p><p>det[𝑅]</p><p>[𝑅]̅̅ ̅̅ = 1 ⋅ [</p><p>cos(𝑛𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) 0</p><p>−𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) cos(𝑛𝛼) 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>[𝑅]−1 = [</p><p>cos(𝑛𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) 0</p><p>−𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) cos(𝑛𝛼) 0</p><p>0 0 1</p><p>] = [𝑅]𝑇</p><p>Logo:</p><p>[𝑅]𝑇 = [𝑅]−1</p><p>Portanto, [𝑅] é ortogonal.</p><p>Gabarito: Prova</p><p>144. (IME/2000)</p><p>Calcule o determinante:</p><p>𝑫 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟕 𝟏 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟗 𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟏</p><p>𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟑</p><p>|</p><p>|</p><p>Comentários</p><p>Pelo teorema de Jacobi, vamos multiplicar a primeira coluna por (−1) e somar às outras.</p><p>𝐷 =</p><p>|</p><p>|</p><p>1 0 0 0 0 0 0</p><p>1 2 0 0 0 0 0</p><p>1 0 4 0 0 0 0</p><p>1 0 0 6 0 0 0</p><p>1 0 0 0 8</p><p>0 0</p><p>1 0 0 0 0 10 0</p><p>1 0 0 0 0 0 12</p><p>|</p><p>|</p><p>Aplicando o teorema de Laplace na primeira linha:</p><p>D = 1 ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>2 0 0 0 0 0</p><p>0 4 0 0 0 0</p><p>0 0 6 0 0 0</p><p>0 0 0 8 0 0</p><p>0 0 0 0 10 0</p><p>0 0 0 0 0 12</p><p>|</p><p>|</p><p>240</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Aplicando teorema de Laplace na primeira linha, novamente:</p><p>D = 1 ⋅ 2 ⋅ |</p><p>|</p><p>4 0 0 0 0</p><p>0 6 0 0 0</p><p>0 0 8 0 0</p><p>0 0 0 10 0</p><p>0 0 0 0 12</p><p>|</p><p>|</p><p>Desse modo, podemos observar que realizando esse processo sucessivas vezes, obtemos:</p><p>𝐷 = 1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ 12</p><p>𝐷 = 46080</p><p>Gabarito: 𝑫 = 𝟒𝟔𝟎𝟖𝟎</p><p>145. (IME/1999)</p><p>Determine uma matriz não singular 𝑷 que satisfaça a equação matricial 𝑷−𝟏𝑨 = [</p><p>𝟔 𝟎</p><p>𝟎 −𝟏</p><p>], onde 𝑨 =</p><p>[</p><p>𝟏 𝟐</p><p>𝟓 𝟒</p><p>].</p><p>Comentários</p><p>Temos inicialmente que:</p><p>𝑃−1𝐴 = [</p><p>6 0</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>Multiplicando por 𝑃 à esquerda nos dois lados:</p><p>𝑃𝑃−1𝐴 = 𝑃 [</p><p>6 0</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>Então:</p><p>𝐴 = 𝑃 [</p><p>6 0</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>Substituindo 𝐴 e fazendo 𝑃 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]:</p><p>[</p><p>1 2</p><p>5 4</p><p>] = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] [</p><p>6 0</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>[</p><p>1 2</p><p>5 4</p><p>] = [</p><p>6𝑎 −𝑏</p><p>6𝑐 −𝑑</p><p>]</p><p>Igualando os termos das matrizes, encontramos:</p><p>6𝑎 = 1 → 𝑎 =</p><p>1</p><p>6</p><p>−𝑏 = 2 → 𝑏 = −2</p><p>6𝑐 = 5 → 𝑐 =</p><p>5</p><p>6</p><p>−𝑑 = 4 → 𝑑 = −4</p><p>Portanto:</p><p>241</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑃 = [</p><p>1</p><p>6</p><p>−2</p><p>5</p><p>6</p><p>−4</p><p>]</p><p>Gabarito: 𝑷 = [</p><p>𝟏</p><p>𝟔</p><p>−𝟐</p><p>𝟓</p><p>𝟔</p><p>−𝟒</p><p>]</p><p>146. (IME/1994)</p><p>Um aluno, ao inverter a matriz</p><p>𝑨 = [</p><p>𝟏 𝒂 𝒃</p><p>𝟎 𝒄 𝒅</p><p>𝟒 𝒆 𝒇</p><p>] = [𝒂𝒊𝒋], 𝟏 ≤ 𝒋, 𝒋 ≤ 𝟑</p><p>cometeu um engano, e considerou o elemento 𝒂𝟏𝟑 igual a 3, de forma que acabou invertendo a</p><p>matriz</p><p>𝑩 = [</p><p>𝟏 𝒂 𝒃</p><p>𝟎 𝒄 𝒅</p><p>𝟑 𝒆 𝒇</p><p>] = [𝒃𝒊𝒋]</p><p>Com esse engano o aluno encontrou</p><p>𝑩−𝟏 = [</p><p>𝟓/𝟐 𝟎 −𝟏/𝟐</p><p>𝟑 𝟏 −𝟏</p><p>−𝟓/𝟐 𝟎 𝟏/𝟐</p><p>]</p><p>Determinar 𝑨−𝟏.</p><p>Obs.: O elemento (𝟑, 𝟏) de 𝑩−𝟏 deve ser −𝟑/𝟐.</p><p>Comentários</p><p>Inicialmente, temos:</p><p>𝐵𝐵−1 = [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>Aplicando a observação referente ao elemento (3,1):</p><p>[</p><p>1 𝑎 𝑏</p><p>0 𝑐 𝑑</p><p>3 𝑒 𝑓</p><p>]</p><p>[</p><p>5</p><p>2</p><p>0 −</p><p>1</p><p>2</p><p>3 1 −1</p><p>−</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2 ]</p><p>= [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>[</p><p>5</p><p>2</p><p>+ 3𝑎 −</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑏 𝑎 −</p><p>1</p><p>2</p><p>− 𝑎 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑏</p><p>3𝑐 −</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑑 𝑐 −</p><p>1</p><p>2</p><p>− 𝑐 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑑</p><p>15</p><p>2</p><p>+ 3𝑒 −</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑓 𝑒 −</p><p>3</p><p>2</p><p>− 𝑒 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑓]</p><p>= [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>242</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Então, dos elementos que estão na segunda coluna:</p><p>𝑎 = 0</p><p>𝑐 = 1</p><p>𝑒 = 0</p><p>Substituindo, temos:</p><p>[</p><p>5</p><p>2</p><p>−</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑏 0 −</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑏</p><p>3 −</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑑 1 −</p><p>3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑑</p><p>15</p><p>2</p><p>−</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑓 0 −</p><p>3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑓]</p><p>= [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>Então, da segunda linha e primeira coluna:</p><p>3 −</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑑 = 0</p><p>𝑑 = 2</p><p>Da primeira linha e primeira coluna:</p><p>5</p><p>2</p><p>−</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑏 = 1</p><p>𝑏 = 1</p><p>Da terceira linha e primeira coluna:</p><p>15</p><p>2</p><p>−</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑓 = 0</p><p>𝑓 = 5</p><p>Então a matriz 𝐴 é da forma:</p><p>𝐴 = [</p><p>1 𝑎 𝑏</p><p>0 𝑐 𝑑</p><p>4 𝑒 𝑓</p><p>] = [</p><p>1 0 1</p><p>0 1 2</p><p>4 0 5</p><p>]</p><p>Agora, é necessário inverter 𝐴. Seja 𝐴−1 dado por:</p><p>𝐴−1 = [</p><p>𝑚 𝑛 𝑝</p><p>𝑞 𝑟 𝑠</p><p>𝑥 𝑦 𝑧</p><p>]</p><p>[</p><p>𝑚 𝑛 𝑝</p><p>𝑞 𝑟 𝑠</p><p>𝑥 𝑦 𝑧</p><p>] [</p><p>1 0 1</p><p>0 1 2</p><p>4 0 5</p><p>] = [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>[</p><p>𝑚 + 4𝑝 𝑛 𝑚 + 2𝑛 + 5𝑝</p><p>𝑞 + 4𝑠 𝑟 𝑞 + 2𝑟 + 5𝑠</p><p>𝑥 + 4𝑧 𝑦 𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧</p><p>] = [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>Podemos observar, na segunda coluna que:</p><p>𝑛 = 0 ; 𝑟 = 1 ; 𝑦 = 0</p><p>243</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Substituindo, temos:</p><p>[</p><p>𝑚 + 4𝑝 0 𝑚 + 5𝑝</p><p>𝑞 + 4𝑠 1 𝑞 + 2 + 5𝑠</p><p>𝑥 + 4𝑧 0 𝑥 + 5𝑧</p><p>] = [</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>Da primeira e terceira coluna da primeira linha:</p><p>{</p><p>𝑚 + 4𝑝 = 1</p><p>𝑚 + 5𝑝 = 0</p><p>Subtraindo as duas equações:</p><p>𝑝 = −1</p><p>Substituindo em 𝑚+ 5𝑝 = 0:</p><p>𝑚 = 5</p><p>Da primeira e terceira coluna da segunda linha:</p><p>{</p><p>𝑞 + 4𝑠 = 0</p><p>𝑞 + 2 + 5𝑠 = 0</p><p>Subtraindo as duas equações:</p><p>𝑠 = −2</p><p>Substituindo em 𝑞 + 4𝑠 = 0:</p><p>𝑞 = 8</p><p>Da primeira e terceira coluna da terceira linha:</p><p>{</p><p>𝑥 + 4𝑧 = 0</p><p>𝑥 + 5𝑧 = 1</p><p>Subtraindo as duas equações:</p><p>𝑧 = 1</p><p>Substituindo em 𝑥 + 4𝑧 = 0:</p><p>𝑥 = −4</p><p>Desse modo, temos:</p><p>𝐴−1 = [</p><p>𝑚 𝑛 𝑝</p><p>𝑞 𝑟 𝑠</p><p>𝑥 𝑦 𝑧</p><p>]</p><p>𝐴−1 = [</p><p>5 0 −1</p><p>8 1 −2</p><p>−4 0 1</p><p>]</p><p>Gabarito: 𝑨−𝟏 = [</p><p>𝟓 𝟎 −𝟏</p><p>𝟖 𝟏 −𝟐</p><p>−𝟒 𝟎 𝟏</p><p>]</p><p>147. (IME/1993)</p><p>Determine os valores de 𝒙 para que:</p><p>244</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>|</p><p>𝒙 𝟐 𝟒 𝟔</p><p>𝒙 𝒙 + 𝟐 𝟎 𝟏𝟎</p><p>𝒙𝟐 𝟎 𝟒𝒙 𝟒</p><p>𝒙 𝟒 𝟏𝟎 𝒙 − 𝟐</p><p>| = 𝟎</p><p>Comentários</p><p>Seja:</p><p>𝐼 = |</p><p>𝑥 2 4 6</p><p>𝑥 𝑥 + 2 0 10</p><p>𝑥2 0 4𝑥 4</p><p>𝑥 4 10 𝑥 − 2</p><p>|</p><p>Por Laplace na terceira linha:</p><p>𝐼 = 𝑥2 ⋅ |</p><p>2 4 6</p><p>𝑥 + 2 0 10</p><p>4 10 𝑥 − 2</p><p>| + 4𝑥 ⋅ |</p><p>𝑥 2 6</p><p>𝑥 𝑥 + 2 10</p><p>𝑥 4 𝑥 − 2</p><p>| − 4 ⋅ |</p><p>𝑥 2 4</p><p>𝑥 𝑥 + 2 0</p><p>𝑥 4 10</p><p>|</p><p>𝐼 = 𝑥2 ⋅ (−4𝑥2 + 60𝑥 + 96) + 4𝑥 ⋅ (𝑥3 − 8𝑥2 − 8𝑥) − 4 ⋅ (6𝑥2 + 8𝑥)</p><p>𝐼 = 28𝑥3 + 40𝑥2 − 32𝑥</p><p>𝐼 = 4𝑥 ⋅ (7𝑥2 + 10𝑥 − 8) = 0</p><p>Então, 𝑥1 = 0 é solução. Além disso, devemos achar as soluções de 7𝑥2 + 10𝑥 − 8 = 0:</p><p>𝑥 =</p><p>−10 ± √102 − 4 ⋅ 7 ⋅ (−8)</p><p>2 ⋅ 7</p><p>𝑥 =</p><p>−10 ± 18</p><p>14</p><p>𝑥2 =</p><p>4</p><p>7</p><p>𝑒 𝑥3 = −2</p><p>Portanto, os valores de 𝑥 para 𝐼 = 0 são:</p><p>𝑥 = {−2, 0,</p><p>4</p><p>7</p><p>}</p><p>Gabarito: 𝒙 = {−𝟐, 𝟎,</p><p>𝟒</p><p>𝟕</p><p>}</p><p>148. (IME/1992)</p><p>Calcule o valor do determinante abaixo:</p><p>𝑫𝒏 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝒎 + 𝒙 𝒎 𝒎 𝒎 ⋯ 𝒎</p><p>𝒎 𝒎+ 𝒙 𝒎 𝒎 ⋯ 𝒎</p><p>𝒎 𝒎 𝒎+ 𝒙 𝒎 ⋯ 𝒎</p><p>𝒎 𝒎 𝒎 𝒎+ 𝒙 ⋯ 𝒎</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝒎 𝒎 𝒎 𝒎 ⋯ 𝒎+ 𝒙</p><p>|</p><p>|</p><p>Comentários</p><p>Podemos escrever 𝐷𝑛 da seguinte forma:</p><p>245</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐷𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑚 + 𝑥 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 + 𝑥 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 𝑚+ 𝑥 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚+ 𝑥 ⋯ 𝑚</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚+ 𝑥</p><p>|</p><p>|</p><p>Observe que 𝐷1 = 𝑚 + 𝑥. Além disso:</p><p>𝐷𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 + 𝑥 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 + 𝑥 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 + 𝑥 ⋯ 𝑚</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚 + 𝑥</p><p>|</p><p>|</p><p>+</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑥 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>0 𝑚 + 𝑥 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>0 𝑚 𝑚 + 𝑥 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>0 𝑚 𝑚 𝑚 + 𝑥 ⋯ 𝑚</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚 + 𝑥</p><p>|</p><p>|</p><p>Seja 𝐴𝑛 a primeira parcela da equação acima e 𝐵𝑛 a segunda parcela, então, podemos</p><p>escrever:</p><p>𝐴𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 + 𝑥 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 + 𝑥 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚+ 𝑥 ⋯ 𝑚</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚 + 𝑥</p><p>|</p><p>|</p><p>Pelo teorema de Jacobi, podemos multiplicar a primeira coluna por −1 e somar às outras:</p><p>𝐴𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚+ 𝑥 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 𝑚+ 𝑥 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚+ 𝑥 ⋯ 𝑚</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚+ 𝑥</p><p>|</p><p>|</p><p>⇒ 𝐴𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑚 0 0 0 ⋯ 0</p><p>𝑚 𝑥 0 0 ⋯ 0</p><p>𝑚 0 𝑥 0 ⋯ 0</p><p>𝑚 0 0 𝑥 ⋯ 0</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑚 0 0 0 ⋯ 𝑥</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑛 𝑥 𝑛</p><p>Assim, usando o teorema de Laplace na primeira linha:</p><p>𝐴𝑛 = 𝑚 ⋅ |</p><p>|</p><p>𝑥 0 0 ⋯ 0</p><p>0 𝑥 0 ⋯ 0</p><p>0 0 𝑥 ⋯ 0</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 0 0 ⋯ 𝑥</p><p>|</p><p>|</p><p>(𝑛−1)𝑥(𝑛−1)</p><p>Encontramos um determinante de matriz diagonal, portanto:</p><p>𝐴𝑛 = 𝑚 ⋅ 𝑥</p><p>𝑛−1</p><p>Além disso, aplicando Laplace na primeira coluna da segunda parcela de 𝐷𝑛:</p><p>𝐵𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑥 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>0 𝑚 + 𝑥 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>0 𝑚 𝑚 + 𝑥 𝑚 ⋯ 𝑚</p><p>0 𝑚 𝑚 𝑚 + 𝑥 ⋯ 𝑚</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚 + 𝑥</p><p>|</p><p>|</p><p>= 𝑥 ⋅ 𝐷𝑛−1</p><p>Desse modo:</p><p>246</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐷𝑛 = 𝐴𝑛 + 𝐵𝑛</p><p>𝐷𝑛 = 𝑥</p><p>𝑛−1𝑚+ 𝑥 ⋅ 𝐷𝑛−1</p><p>Note que</p><p>𝐷𝑛−1 = 𝑥</p><p>𝑛−2 + 𝑥 ⋅ 𝐷𝑛−2</p><p>⋅𝑥</p><p>⇒ 𝑥 ⋅ 𝐷𝑛−1 = 𝑥</p><p>𝑛−1𝑚+ 𝑥2 ⋅ 𝐷𝑛−2</p><p>𝐷𝑛−2 = 𝑥</p><p>𝑛−3 + 𝑥 ⋅ 𝐷𝑛−3</p><p>⋅𝑥2</p><p>⇒ 𝑥2 ⋅ 𝐷𝑛−2 = 𝑥</p><p>𝑛−1𝑚+ 𝑥3 ⋅ 𝐷𝑛−2</p><p>⋮</p><p>Assim, podemos escrever o seguinte produto:</p><p>{</p><p>𝐷𝑛 = 𝑥</p><p>𝑛−1𝑚 + 𝑥 ⋅ 𝐷𝑛−1</p><p>𝑥 ⋅ 𝐷𝑛−1 = 𝑥</p><p>𝑛−1𝑚+ 𝑥2 ⋅ 𝐷𝑛−2</p><p>𝑥2 ⋅ 𝐷𝑛−2 = 𝑥</p><p>𝑛−1𝑚+ 𝑥3 ⋅ 𝐷𝑛−3</p><p>⋮</p><p>𝑥𝑛−2 ⋅ 𝐷2 = 𝑥</p><p>𝑛−1𝑚 + 𝑥𝑛−1 ⋅ 𝐷1</p><p>𝐷𝑛 = 𝑚(𝑛 − 1)𝑥</p><p>𝑛−1 + 𝑥𝑛−1 ⋅ 𝐷1</p><p>(+)</p><p>Substituindo 𝐷1 = 𝑚 + 𝑥 na equação acima:</p><p>𝐷𝑛 = 𝑚(𝑛 − 1)𝑥</p><p>𝑛−1 + 𝑥𝑛−1(𝑚 + 𝑥)</p><p>Portanto:</p><p>𝐷𝑛 = 𝑥</p><p>𝑛 +𝑚𝑛𝑥𝑛−1</p><p>Gabarito: 𝑫𝒏 = 𝒙</p><p>𝒏 +𝒎𝒏𝒙𝒏−𝟏</p><p>149. (IME/1991)</p><p>Determine todas as matrizes 𝑿 reais, de dimensões 𝟐𝒙𝟐, tais que 𝑨𝑿 = 𝑿𝑨, para toda matriz 𝑨 real</p><p>𝟐𝒙𝟐.</p><p>Comentários</p><p>Podemos escrever 𝐴 e 𝑋 das seguintes formas:</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎11 𝑎12</p><p>𝑎21 𝑎22</p><p>] e 𝑋 = [</p><p>𝑥11 𝑥12</p><p>𝑥21 𝑥22</p><p>]</p><p>Então, fazendo 𝐴𝑋 = 𝑋𝐴, temos:</p><p>𝐴𝑋 = [</p><p>𝑎11𝑥11 + 𝑎12𝑥21 𝑎11𝑥12 + 𝑎12𝑥22</p><p>𝑎21𝑥11 + 𝑎22𝑥21 𝑎21𝑥12 + 𝑎22𝑥22</p><p>]</p><p>𝑋𝐴 = [</p><p>𝑥11𝑎11 + 𝑥12𝑎21 𝑥11𝑎12</p><p>+ 𝑥12𝑎22</p><p>𝑥21𝑎11 + 𝑥22𝑎21 𝑥21𝑎12 + 𝑥22𝑎22</p><p>]</p><p>Igualando os termos das matrizes:</p><p>[</p><p>𝑎11𝑥11 + 𝑎12𝑥21 𝑎11𝑥12 + 𝑎12𝑥22</p><p>𝑎21𝑥11 + 𝑎22𝑥21 𝑎21𝑥12 + 𝑎22𝑥22</p><p>] = [</p><p>𝑥11𝑎11 + 𝑥12𝑎21 𝑥11𝑎12 + 𝑥12𝑎22</p><p>𝑥21𝑎11 + 𝑥22𝑎21 𝑥21𝑎12 + 𝑥22𝑎22</p><p>]</p><p>{</p><p>𝑎11𝑥11 + 𝑎12𝑥21 = 𝑥11𝑎11 + 𝑥12𝑎21</p><p>𝑎21𝑥11 + 𝑎22𝑥21 = 𝑥21𝑎11 + 𝑥22𝑎21</p><p>𝑎11𝑥12 + 𝑎12𝑥22 = 𝑥11𝑎12 + 𝑥12𝑎22</p><p>𝑎21𝑥12 + 𝑎22𝑥22 = 𝑥21𝑎12 + 𝑥22𝑎22</p><p>247</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Da primeira equação:</p><p>𝑎11𝑥11 + 𝑎12𝑥21 = 𝑥11𝑎11 + 𝑥12𝑎21</p><p>𝑎12𝑥21 = 𝑥12𝑎21</p><p>Para que a equação acima seja satisfeita para todo 𝑎12 e 𝑎21:</p><p>𝑥21 = 𝑥12 = 0</p><p>Substituindo no sistema:</p><p>{</p><p>𝑎11𝑥11 = 𝑥11𝑎11</p><p>𝑎21𝑥11 = 𝑥22𝑎21</p><p>𝑎12𝑥22 = 𝑥11𝑎12</p><p>𝑎22𝑥22 = 𝑥22𝑎22</p><p>Retirando as equações redundantes:</p><p>{</p><p>𝑎21𝑥11 = 𝑥22𝑎21</p><p>𝑎12𝑥22 = 𝑥11𝑎12</p><p>Logo, para que as equações acima sejam satisfeitas para todo 𝑎12 e 𝑎21, devemos ter:</p><p>𝑥11 = 𝑥22</p><p>Portanto, sendo 𝑥11 = 𝑥22 = 𝑚 e 𝑥21 = 𝑥12 = 0, temos:</p><p>𝑋 = [</p><p>𝑚 0</p><p>0 𝑚</p><p>]</p><p>Gabarito: 𝑿 = [</p><p>𝒎 𝟎</p><p>𝟎 𝒎</p><p>]</p><p>150. (IME/1990)</p><p>Calcule o determinante da matriz 𝒏𝒙𝒏 que possui zeros na diagonal principal e todos os outros</p><p>elementos iguais a 𝟏.</p><p>Comentários</p><p>O determinante citado é:</p><p>𝐷𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>0 1 1 1 ⋯ 1</p><p>1 0 1 1 ⋯ 1</p><p>1 1 0 1 ⋯ 1</p><p>1 1 1 0 ⋯ 1</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>1 1 1 1 ⋯ 0</p><p>|</p><p>|</p><p>Observe que 𝐷1 = 0. Além disso, podemos escrever 𝐷𝑛 da seguinte forma:</p><p>𝐷𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>1 1 1 1 ⋯ 1</p><p>1 0 1 1 ⋯ 1</p><p>1 1 0 1 ⋯ 1</p><p>1 1 1 0 ⋯ 1</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>1 1 1 1 ⋯ 0</p><p>|</p><p>|</p><p>+</p><p>|</p><p>|</p><p>−1 1 1 1 ⋯ 1</p><p>0 0 1 1 ⋯ 1</p><p>0 1 0 1 ⋯ 1</p><p>0 1 1 0 ⋯ 1</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 1 1 1 ⋯ 0</p><p>|</p><p>|</p><p>Seja 𝐴𝑛 a primeira parcela de 𝐷𝑛 e 𝐵𝑛 a segunda parcela de 𝐷𝑛.</p><p>248</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Usando o teorema de Jacobi, podemos multiplicar a primeira coluna de 𝐴𝑛 por (−1) e</p><p>somar às outras colunas:</p><p>𝐴𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>1 1 1 1 ⋯ 1</p><p>1 0 1 1 ⋯ 1</p><p>1 1 0 1 ⋯ 1</p><p>1 1 1 0 ⋯ 1</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>1 1 1 1 ⋯ 0</p><p>|</p><p>|</p><p>=</p><p>|</p><p>|</p><p>1 0 0 0 ⋯ 0</p><p>1 −1 0 0 ⋯ 0</p><p>1 0 −1 0 ⋯ 0</p><p>1 0 0 −1 ⋯ 0</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>1 0 0 0 ⋯ −1</p><p>|</p><p>|</p><p>Assim, podemos aplicar Laplace na primeira linha e obter:</p><p>𝐴𝑛 = |</p><p>|</p><p>−1 0 0 ⋯ 0</p><p>0 −1 0 ⋯ 0</p><p>0 0 −1 ⋯ 0</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 0 0 ⋯ −1</p><p>|</p><p>|</p><p>(𝑛−1)𝑥(𝑛−1)</p><p>𝐴𝑛 é o determinante de uma matriz diagonal, logo:</p><p>𝐴𝑛 = (−1)</p><p>𝑛−1</p><p>Além disso, de 𝐵𝑛, temos:</p><p>𝐵𝑛 =</p><p>|</p><p>|</p><p>−1 1 1 1 ⋯ 1</p><p>0 0 1 1 ⋯ 1</p><p>0 1 0 1 ⋯ 1</p><p>0 1 1 0 ⋯ 1</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 1 1 1 ⋯ 0</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑛𝑥𝑛</p><p>𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 1</p><p>⇒ 𝐵𝑛</p><p>= (−1) ⋅</p><p>|</p><p>|</p><p>0 1 1 1 ⋯ 1</p><p>1 0 1 1 ⋯ 1</p><p>1 1 0 1 ⋯ 1</p><p>1 1 1 0 ⋯ 1</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>1 1 1 1 ⋯ 0</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>𝐷𝑛−1 (𝑛−1)𝑥(𝑛−1)</p><p>Então, 𝐵𝑛 = (−1) ⋅ 𝐷𝑛−1.</p><p>Desse modo, o determinante 𝐷𝑛 pode ser escrito como:</p><p>𝐷𝑛 = 𝐴𝑛 + 𝐵𝑛</p><p>𝐷𝑛 = (−1)</p><p>𝑛−1 − 𝐷𝑛−1</p><p>Com essa fórmula de recorrência, podemos escrever a seguinte soma telescópica:</p><p>{</p><p>𝐷𝑛 = (−1)</p><p>𝑛−1 − 𝐷𝑛−1</p><p>(−1)1𝐷𝑛−1 = (−1)</p><p>𝑛−1 − (−1)1𝐷𝑛−2</p><p>⋮</p><p>(−1)𝑛−2𝐷2 = (−1)</p><p>𝑛−1 − (−1)𝑛−2𝐷1</p><p>𝐷𝑛 = (𝑛 − 1)(−1)</p><p>𝑛−1 − (−1)𝑛−2𝐷1</p><p>(+)</p><p>Lembrando que 𝐷1 = 0, temos:</p><p>249</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐷𝑛 = (𝑛 − 1)(−1)</p><p>𝑛−1</p><p>Gabarito: 𝑫𝒏 = (𝒏 − 𝟏)(−𝟏)</p><p>𝒏−𝟏</p><p>151. (IME/1989)</p><p>Calcule o determinante da matriz</p><p>[</p><p>𝒂𝟐 (𝒂 + 𝟏)𝟐 (𝒂 + 𝟐)𝟐 (𝒂 + 𝟑)𝟐</p><p>𝒃𝟐 (𝒃 + 𝟏)𝟐 (𝒃 + 𝟐)𝟐 (𝒃 + 𝟑)𝟐</p><p>𝒄𝟐 (𝒄 + 𝟏)𝟐 (𝒄 + 𝟐)𝟐 (𝒄 + 𝟑)𝟐</p><p>𝒅𝟐 (𝒅 + 𝟏)𝟐 (𝒅 + 𝟐)𝟐 (𝒅 + 𝟑)𝟐]</p><p>Comentários</p><p>Chamemos a matriz dada do enunciado de 𝐷.</p><p>Vamos aplicar Jacobi e subtrair todas as colunas da primeira:</p><p>𝐷 = ||</p><p>𝑎2 (𝑎 + 1)2 − 𝑎2 (𝑎 + 2)2 − 𝑎2 (𝑎 + 3)2 − 𝑎2</p><p>𝑏2 (𝑏 + 1)2 − 𝑏2 (𝑏 + 2)2 − 𝑏2 (𝑏 + 3)2 − 𝑏2</p><p>𝑐2 (𝑐 + 1)2 − 𝑐2 (𝑐 + 2)2 − 𝑐2 (𝑐 + 3)2 − 𝑐2</p><p>𝑑2 (𝑑 + 1)2 − 𝑑2 (𝑑 + 2)2 − 𝑑2 (𝑑 + 3)2 − 𝑑2</p><p>||</p><p>𝐷 = |</p><p>𝑎2 2𝑎 + 1 4𝑎 + 4 6𝑎 + 9</p><p>𝑏2 2𝑏 + 1 4𝑏 + 4 6𝑏 + 9</p><p>𝑐2 2𝑐 + 1 4𝑐 + 4 6𝑐 + 9</p><p>𝑑2 2𝑑 + 1 4𝑑 + 4 6𝑑 + 9</p><p>|</p><p>Além disso, fazendo a terceira coluna menos duas vezes a segunda:</p><p>𝐷 = |</p><p>𝑎2 2𝑎 + 1 2 6𝑎 + 9</p><p>𝑏2 2𝑏 + 1 2 6𝑏 + 9</p><p>𝑐2 2𝑐 + 1 2 6𝑐 + 9</p><p>𝑑2 2𝑑 + 1 2 6𝑑 + 9</p><p>|</p><p>Fazendo a quarta coluna menos três vezes a segunda:</p><p>𝐷 = |</p><p>𝑎2 2𝑎 + 1 2 6</p><p>𝑏2 2𝑏 + 1 2 6</p><p>𝑐2 2𝑐 + 1 2 6</p><p>𝑑2 2𝑑 + 1 2 6</p><p>|</p><p>Então, podemos observar que a terceira e a quarta coluna são múltiplas uma da outra. Pela</p><p>propriedade dos determinantes, se uma linha é múltipla da outra o determinante é nulo.</p><p>Portanto:</p><p>𝐷 = 0</p><p>Gabarito: 𝑫 = 𝟎</p><p>152. (IME/1988)</p><p>Sejam 𝑨,𝑩 𝐞 𝑪 matrizes 𝟓𝒙𝟓, com elementos reais. Denotando-se por 𝑨′ a matriz transposta de 𝑨:</p><p>a) Mostre que se 𝑨 ⋅ 𝑨′ = 𝟎, então 𝑨 = 𝟎.</p><p>250</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>b) Mostre que se 𝑩 ⋅ 𝑨 ⋅ 𝑨′ = 𝑪 ⋅ 𝑨 ⋅ 𝑨′, então 𝑩 ⋅ 𝑨 = 𝑪 ⋅ 𝑨.</p><p>Comentários</p><p>a) Como 𝐴′ é a transposta de 𝐴 e considerando 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗], temos que a diagonal principal</p><p>de 𝐴 ⋅ 𝐴′ = [𝑥𝑖𝑗] é:</p><p>𝑥𝑖𝑖 =∑𝑎𝑖𝑗</p><p>2</p><p>5</p><p>𝑗=1</p><p>Se 𝐴 ⋅ 𝐴′ = 0, temos 𝑥𝑖𝑖 = 0. Para isso, já que a matriz é composta somente por elementos</p><p>reais, devemos ter:</p><p>𝑥𝑖𝑖 =∑𝑎𝑖𝑗</p><p>2</p><p>5</p><p>𝑗=1</p><p>= 0</p><p>𝑎𝑖𝑗 = 0</p><p>Portanto:</p><p>𝐴 = [0𝑖𝑗] = 0</p><p>b) Inicialmente, temos que:</p><p>𝐵 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴′ = 𝐶 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴′ ⇒ (𝐵 − 𝐶) ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴′ = 0</p><p>Então, multiplicando por (𝐵 − 𝐶)′ dos dois lados, obtemos:</p><p>(𝐵 − 𝐶) ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴′ ⋅ (𝐵 − 𝐶)′ = 0 (𝐼)</p><p>Conhecendo a propriedade da transposta do produto matricial, podemos escrever:</p><p>((𝐵 − 𝐶) ⋅ 𝐴)</p><p>′</p><p>= 𝐴′ ⋅ (𝐵 − 𝐶)′</p><p>Substituindo essa relação na equação (𝐼):</p><p>((𝐵 − 𝐶) ⋅ 𝐴) ⋅ ((𝐵 − 𝐶) ⋅ 𝐴)</p><p>′</p><p>= 0</p><p>Pelo item anterior, temos que:</p><p>𝐴 ⋅ 𝐴′ = 0 ⇒ 𝐴 = 0</p><p>Logo:</p><p>((𝐵 − 𝐶) ⋅ 𝐴) ⋅ ((𝐵 − 𝐶) ⋅ 𝐴)</p><p>′</p><p>= 0 ⇒ (𝐵 − 𝐶) ⋅ 𝐴 = 0 ⇒ 𝐵 ⋅ 𝐴 = 𝐶 ⋅ 𝐴</p><p>Como queríamos demonstrar.</p><p>Gabarito: Prova</p><p>153. (IME/1987)</p><p>Sejam</p><p>𝑨 = (</p><p>𝒂 𝒃</p><p>𝒄 𝒅</p><p>𝒆 𝒇</p><p>𝒈 𝒉</p><p>) 𝐞 𝑩 = (</p><p>𝒊 𝒋 𝒍 𝒎</p><p>𝒏 𝒐 𝒑 𝒒</p><p>)</p><p>251</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>duas matrizes de elementos inteiros. Verifique se a matriz 𝑨𝑩 é inversível.</p><p>Comentários</p><p>Multiplicando 𝐴𝐵 e calculando seu determinante, temos:</p><p>det 𝐴𝐵 = |</p><p>𝑎𝑖 + 𝑏𝑛 𝑎𝑗 + 𝑏𝑜 𝑎𝑙 + 𝑏𝑝 𝑎𝑚 + 𝑏𝑞</p><p>𝑐𝑖 + 𝑑𝑛 𝑐𝑗 + 𝑑𝑜 𝑐𝑙 + 𝑑𝑝 𝑐𝑚 + 𝑑𝑞</p><p>𝑒𝑖 + 𝑓𝑛 𝑒𝑗 + 𝑓𝑜 𝑒𝑙 + 𝑓𝑝 𝑒𝑚 + 𝑓𝑞</p><p>𝑔𝑖 + ℎ𝑛 𝑔𝑗 + ℎ𝑜 𝑔𝑙 + ℎ𝑝 𝑔𝑚 + ℎ𝑞</p><p>|</p><p>Vamos trocar a primeira coluna pela primeira coluna multiplicado por 𝑗 e subtraindo a</p><p>segunda coluna multiplicada por 𝑖.</p><p>𝑎𝑖 + 𝑏𝑛 → (𝑎𝑖 + 𝑏𝑛) ⋅ 𝑗 − (𝑎𝑗 + 𝑏𝑜) ⋅ 𝑖 = 𝑏(𝑛𝑗 − 𝑜𝑖)</p><p>𝑐𝑖 + 𝑑𝑛 → (𝑐𝑖 + 𝑑𝑛) ⋅ 𝑗 − (𝑐𝑗 + 𝑑𝑜) ⋅ 𝑖 = 𝑑(𝑛𝑗 − 𝑜𝑖)</p><p>𝑒𝑖 + 𝑓𝑛 → (𝑒𝑖 + 𝑓𝑛) ⋅ 𝑗 − (𝑒𝑗 + 𝑓𝑜) ⋅ 𝑖 = 𝑓(𝑛𝑗 − 𝑜𝑖)</p><p>𝑔𝑖 + ℎ𝑛 → (𝑔𝑖 + ℎ𝑛) ⋅ 𝑗 − (𝑔𝑗 + ℎ𝑜) ⋅ 𝑖 = ℎ(𝑛𝑗 − 𝑜𝑖)</p><p>Fazendo a substituição acima na matriz do determinante, encontramos:</p><p>det 𝐴𝐵 = ||</p><p>𝑏(𝑛𝑗 − 𝑜𝑖) 𝑎𝑗 + 𝑏𝑜 𝑎𝑙 + 𝑏𝑝 𝑎𝑚 + 𝑏𝑞</p><p>𝑑(𝑛𝑗 − 𝑜𝑖) 𝑐𝑗 + 𝑑𝑜 𝑐𝑙 + 𝑑𝑝 𝑐𝑚 + 𝑑𝑞</p><p>𝑓(𝑛𝑗 − 𝑜𝑖) 𝑒𝑗 + 𝑓𝑜 𝑒𝑙 + 𝑓𝑝 𝑒𝑚 + 𝑓𝑞</p><p>ℎ(𝑛𝑗 − 𝑜𝑖) 𝑔𝑗 + ℎ𝑜 𝑔𝑙 + ℎ𝑝 𝑔𝑚 + ℎ𝑞</p><p>||</p><p>det 𝐴𝐵 = (𝑛𝑗 − 𝑜𝑖) |</p><p>𝑏 𝑎𝑗 + 𝑏𝑜 𝑎𝑙 + 𝑏𝑝 𝑎𝑚 + 𝑏𝑞</p><p>𝑑 𝑐𝑗 + 𝑑𝑜 𝑐𝑙 + 𝑑𝑝 𝑐𝑚 + 𝑑𝑞</p><p>𝑓 𝑒𝑗 + 𝑓𝑜 𝑒𝑙 + 𝑓𝑝 𝑒𝑚 + 𝑓𝑞</p><p>ℎ 𝑔𝑗 + ℎ𝑜 𝑔𝑙 + ℎ𝑝 𝑔𝑚 + ℎ𝑞</p><p>|</p><p>Vamos trocar agora a segunda coluna pela segunda coluna multiplicado por 𝑙 e subtraindo</p><p>a terceira coluna multiplicada por 𝑗.</p><p>𝑎𝑗 + 𝑏𝑜 → (𝑎𝑗 + 𝑏𝑜) ⋅ 𝑙 − (𝑎𝑙 + 𝑏𝑝) ⋅ 𝑗 = 𝑏(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗)</p><p>𝑐𝑗 + 𝑑𝑜 → (𝑐𝑗 + 𝑑𝑜) ⋅ 𝑙 − (𝑐𝑙 + 𝑑𝑝) ⋅ 𝑗 = 𝑑(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗)</p><p>𝑒𝑗 + 𝑓𝑜 → (𝑒𝑗 + 𝑓𝑜) ⋅ 𝑙 − (𝑒𝑙 + 𝑓𝑝) ⋅ 𝑗 = 𝑓(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗)</p><p>𝑔𝑗 + ℎ𝑜 → (𝑔𝑗 + ℎ𝑜) ⋅ 𝑙 − (𝑔𝑙 + ℎ𝑝) ⋅ 𝑗 = ℎ(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗)</p><p>Repetindo o processo:</p><p>det 𝐴𝐵 = (𝑛𝑗 − 𝑜𝑖) |</p><p>𝑏 𝑏(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗) 𝑎𝑙 + 𝑏𝑝 𝑎𝑚 + 𝑏𝑞</p><p>𝑑 𝑑(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗) 𝑐𝑙 + 𝑑𝑝 𝑐𝑚 + 𝑑𝑞</p><p>𝑓 𝑓(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗) 𝑒𝑙 + 𝑓𝑝 𝑒𝑚 + 𝑓𝑞</p><p>ℎ ℎ(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗) 𝑔𝑙 + ℎ𝑝 𝑔𝑚 + ℎ𝑞</p><p>|</p><p>det 𝐴𝐵 = (𝑛𝑗 − 𝑜𝑖)(𝑜𝑙 − 𝑝𝑗) |</p><p>𝑏 𝑏 𝑎𝑙 + 𝑏𝑝 𝑎𝑚 + 𝑏𝑞</p><p>𝑑 𝑑 𝑐𝑙 + 𝑑𝑝 𝑐𝑚 + 𝑑𝑞</p><p>𝑓 𝑓 𝑒𝑙 + 𝑓𝑝 𝑒𝑚 + 𝑓𝑞</p><p>ℎ ℎ 𝑔𝑙 + ℎ𝑝 𝑔𝑚 + ℎ𝑞</p><p>|</p><p>252</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Perceba que det 𝐴𝐵 possui duas colunas iguais, o que implica em det 𝐴𝐵 = 0. E como</p><p>det 𝐴𝐵 é 0, a matriz 𝐴𝐵 não pode ser inversível.</p><p>Gabarito: 𝑨𝑩 é não inversível</p><p>6. CONSIDERAÇÕES FINAIS DA AULA</p><p>O segredo para conseguir resolver qualquer questão de matrizes é entender bem os</p><p>fundamentos e saber quando aplicar as propriedades matriciais.</p><p>Tente entender as definições dos diferentes tipos de matrizes e decorar as propriedades</p><p>dos determinantes. Elas serão muito úteis para resolver as questões dessas bancas.</p><p>Resolva a lista de exercícios com calma e sempre tire suas dúvidas!</p><p>Qualquer problema estamos à disposição.</p><p>Bons estudos e até a próxima aula.</p><p>7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>[1] Steinbruch, Alfredo. Winterle, Paulo. Álgebra linear. 2. ed. Pearson Makron Books, 1987. 583p.</p><p>[2] Iezzi, Gelson. Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, 4: sequências,</p><p>matrizes, determinantes e sistemas. 8. Ed. Atual, 2013. 282p.</p><p>𝐼 ∙ 𝐴 = 𝐴</p><p>Podemos concluir, então, que</p><p>𝐴 ∙ 𝐼 = 𝐼 ∙ 𝐴 = 𝐴</p><p>Essa propriedade também vale para matrizes maiores. No entanto, só existem matrizes</p><p>identidade quadradas, portanto, para valer a propriedade, a matriz 𝐴 também deve ser quadrada.</p><p>Por essa característica de não mudar a matriz 𝐴 nos produtos, a matriz 𝐼, além de matriz</p><p>identidade e matriz unidade, é chamada de elemento neutro da multiplicação do conjunto das</p><p>matrizes.</p><p>Vejamos uma aplicação em contexto de prova.</p><p>3. (Unicamp/2017) Sendo 𝑎 um número real, considere a matriz (1 𝑎</p><p>0 −1</p><p>).</p><p>Então, 𝐴2017 é igual a</p><p>𝑎) (</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>).</p><p>𝑏) (</p><p>1 𝑎</p><p>0 −1</p><p>).</p><p>𝑐) (</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>).</p><p>𝑑) (1 𝑎2017</p><p>0 −1</p><p>).</p><p>Comentários</p><p>Seria improvável uma questão exigir que você calcule uma potência tão alta.</p><p>É mais provável que haja uma sequência lógica que nos permite inferir qual seria</p><p>𝐴2017.</p><p>22</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Comecemos, então, a calcular as potências de 𝐴 para ver se percebemos o padrão.</p><p>𝐴0 = 𝐼 = (1 0</p><p>0 1</p><p>)</p><p>𝐴1 = 𝐴 = (1 𝑎</p><p>0 −1</p><p>)</p><p>𝐴2 = (1 𝑎</p><p>0 −1</p><p>) ∙ (1 𝑎</p><p>0 −1</p><p>) = (</p><p>1 ∙ 1 + 𝑎 ∙ 0 1 ∙ 𝑎 + 𝑎 ∙ (−1)</p><p>0 ∙ 1 + (−1) ∙ 0 0 ∙ 𝑎 + (−1) ∙ (−1)</p><p>) = (1 0</p><p>0 1</p><p>) = 𝐼</p><p>𝐴3 = 𝐴2 ∙ 𝐴 = 𝐼 ∙ 𝐴 = 𝐴</p><p>𝐴4 = 𝐴3 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴2 = 𝐼</p><p>𝐴5 = 𝐴4 ∙ 𝐴 = 𝐼 ∙ 𝐴 = 𝐴</p><p>𝐴6 = 𝐴5 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴2 = 𝐼</p><p>𝐴7 = 𝐴6 ∙ 𝐴 = 𝐼 ∙ 𝐴 = 𝐴</p><p>⋮</p><p>Podemos perceber, pela sequência, que 𝐴𝑝𝑎𝑟 = 𝐼 e 𝐴í𝑚𝑝𝑎𝑟 = 𝐴.</p><p>Desse modo, concluímos que 𝐴2017 = 𝐴í𝑚𝑝𝑎𝑟 = 𝐴 = (1 𝑎</p><p>0 −1</p><p>).</p><p>Gabarito: b)</p><p>1.6. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS</p><p>1.6.1. ADIÇÃO</p><p>Para 𝐴, 𝐵 e 𝐶 matrizes 𝑚 𝑥 𝑛, temos as seguintes propriedades:</p><p>P1) 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨</p><p>P2) (𝑨+𝑩)+ 𝑪 = 𝑨+ (𝑩+ 𝑪)</p><p>P3) 𝑨 + 𝟎 = 𝑨</p><p>P4) 𝑨 + (−𝑨) = 𝟎</p><p>1.6.2. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES POR ESCALAR</p><p>As seguintes propriedades são válidas para a multiplicação de matrizes por um número real</p><p>escalar. Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes quaisquer do tipo 𝑚 𝑥 𝑛 e 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ:</p><p>P5) (𝜶 ∙ 𝜷) ∙ 𝑨 = 𝜶 ∙ (𝜷 ∙ 𝑨)</p><p>P6) 𝜶(𝑨 + 𝑩) = 𝜶 ∙ 𝑨 + 𝜶 ∙ 𝑩</p><p>P7) (𝜶+𝜷) ∙ 𝑨 = 𝜶 ∙ 𝑨 + 𝜷 ∙ 𝑨</p><p>23</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>1.6.3. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES</p><p>Para a multiplicação de matrizes, temos as seguintes propriedades:</p><p>P8) (𝑨𝑩)𝑪 = 𝑨(𝑩𝑪), para 𝑨𝒎𝒙𝒏, 𝑩𝒏𝒙𝒑 e 𝑪𝒑𝒙𝒒</p><p>P9) 𝑨(𝑩 + 𝑪) = 𝑨𝑩 + 𝑨𝑪, para 𝑨𝒎𝒙𝒏, 𝑩𝒏𝒙𝒑 e 𝑪𝒏𝒙𝒑</p><p>P10) (𝑨+𝑩)𝑪 = 𝑨𝑪+ 𝑩𝑪, para 𝑨𝒎𝒙𝒏, 𝑩𝒎𝒙𝒏 e 𝑪𝒏𝒙𝒑</p><p>P11) 𝜶(𝑨𝑩) = (𝜶𝑨)𝑩 = 𝑨(𝜶𝑩), para 𝑨𝒎𝒙𝒏,𝑩𝒏𝒙𝒑 e 𝜶 ∈ ℝ</p><p>1.6.4. DEMONSTRAÇÕES</p><p>Vamos ver algumas demonstrações para as propriedades acima:</p><p>P1) 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨, com 𝑨𝒎𝒙𝒏 𝐞 𝑩𝒎𝒙𝒏</p><p>Sejam 𝑋 = 𝐴 + 𝐵 e 𝑌 = 𝐵 + 𝐴, então, os elementos de cada uma dessas matrizes são</p><p>dados por:</p><p>𝑋 = 𝐴 + 𝐵 ⇒ 𝑥𝑖𝑗⏟</p><p>𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑋</p><p>= 𝑎𝑖𝑗⏟</p><p>𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴</p><p>+ 𝑏𝑖𝑗⏟</p><p>𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐵</p><p>𝑌 = 𝐵 + 𝐴 ⇒ 𝑦𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗</p><p>⇒ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗</p><p>∴ 𝑋 = 𝑌</p><p>P8) (𝑨𝑩)𝑪 = 𝑨(𝑩𝑪), para 𝑨𝒎𝒙𝒏, 𝑩𝒏𝒙𝒑 e 𝑪𝒑𝒙𝒒</p><p>Sejam as matrizes 𝐴𝑚𝑥𝑛, 𝐵𝑛𝑥𝑝, 𝐶𝑝𝑥𝑞, 𝐷𝑚𝑥𝑝, 𝐸𝑛𝑥𝑞, 𝑋𝑚𝑥𝑞 e 𝑌𝑚𝑥𝑞. Fazendo 𝐴𝐵 = 𝐷,𝐵𝐶 =</p><p>𝐸,𝐷𝐶 = 𝑋 e 𝐴𝐸 = 𝑌, temos:</p><p>𝐷 = 𝐴𝐵 ⇒ 𝑑𝑖𝑗 =∑𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>𝑋 = 𝐷𝐶 ⇒ 𝑥𝑖𝑙 =∑𝑑𝑖𝑗 ⋅ 𝑐𝑗𝑙</p><p>𝑝</p><p>𝑗=1</p><p>Substituindo 𝑑𝑖𝑗 na equação de 𝑥𝑖𝑙:</p><p>𝑥𝑖𝑙 =∑(∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>) ⋅ 𝑐𝑗𝑙</p><p>𝑝</p><p>𝑗=1</p><p>Como o somatório é apenas de produtos, podemos incluir o termo 𝑐𝑗𝑙 dentro dos</p><p>somatórios:</p><p>24</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑥𝑖𝑙 =∑∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>⋅ 𝑐𝑗𝑙</p><p>𝑝</p><p>𝑗=1</p><p>Para as matrizes 𝐸 e 𝑌:</p><p>𝐸 = 𝐵𝐶 ⇒ 𝑒𝑘𝑙 =∑𝑏𝑘𝑗 ⋅ 𝑐𝑗𝑙</p><p>𝑝</p><p>𝑗=1</p><p>𝑌 = 𝐴𝐸 ⇒ 𝑦𝑖𝑙 =∑𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑒𝑘𝑙</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>Substituindo 𝑒𝑘𝑙 na equação de 𝑦</p><p>𝑖𝑙</p><p>:</p><p>𝑦</p><p>𝑖𝑙</p><p>=∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ (∑𝑏𝑘𝑗 ⋅ 𝑐𝑗𝑙</p><p>𝑝</p><p>𝑗=1</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>=∑∑𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑗 ⋅ 𝑐𝑗𝑙</p><p>𝑝</p><p>𝑗=1</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>Se alterarmos a ordem dos somatórios, o resultado se mantém, logo:</p><p>𝑦</p><p>𝑖𝑙</p><p>=∑∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑗 ⋅ 𝑐𝑗𝑙</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>𝑝</p><p>𝑗=1</p><p>⇒ 𝑥𝑖𝑙 = 𝑦𝑖𝑙</p><p>∴ 𝑋 = 𝑌</p><p>Portanto, a igualdade é válida:</p><p>(𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶)</p><p>P9) 𝑨(𝑩 + 𝑪) = 𝑨𝑩 + 𝑨𝑪, para 𝑨𝒎𝒙𝒏, 𝑩𝒏𝒙𝒑 e 𝑪𝒏𝒙𝒑</p><p>Seja a matriz 𝑋 de ordem 𝑚 𝑥 𝑝 tal que 𝑋 = 𝐴(𝐵 + 𝐶), então, temos:</p><p>𝑥𝑖𝑘 =∑𝑎𝑖𝑗(𝑏𝑗𝑘 + 𝑐𝑗𝑘)</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎</p><p>⇒ 𝑥𝑖𝑘 =∑(𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑘 + 𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑐𝑗𝑘)</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>⇒ 𝑥𝑖𝑘⏟</p><p>𝑋</p><p>=∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1⏟</p><p>𝐴𝐵</p><p>+∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑐𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1⏟</p><p>𝐴𝐶</p><p>∴ 𝑋 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶</p><p>P10) (𝑨+𝑩)𝑪 = 𝑨𝑪+ 𝑩𝑪, para 𝑨𝒎𝒙𝒏, 𝑩𝒎𝒙𝒏 e 𝑪𝒏𝒙𝒑</p><p>Demonstração análoga à P9.</p><p>P11) 𝜶(𝑨𝑩) = (𝜶𝑨)𝑩 = 𝑨(𝜶𝑩), para 𝑨𝒎𝒙𝒏,𝑩𝒏𝒙𝒑 e 𝜶 ∈ ℝ</p><p>25</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Fazendo 𝐶 = 𝛼𝐴 e 𝐷 = 𝛼𝐵, temos:</p><p>(𝛼𝐴)𝐵 = 𝐶𝐵 =∑ 𝑐𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>=∑(𝛼 ⋅ 𝑎𝑖𝑗) ⋅ 𝑏𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>= 𝛼 ⋅∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>= 𝛼(𝐴𝐵)</p><p>𝐴(𝛼𝐵) = 𝐴𝐷 =∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑑𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>=∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑏𝑗𝑘)</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>= 𝛼 ⋅∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>= 𝛼(𝐴𝐵)</p><p>∴ 𝛼(𝐴𝐵) = (𝛼𝐴)𝐵 = 𝐴(𝛼𝐵)</p><p>As seguintes propriedades algébricas não são válidas para as matrizes:</p><p>1) 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨</p><p>Vimos que o produto 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴, normalmente, geram resultados diferentes. Essa propriedade é</p><p>válida apenas se 𝐴 e 𝐵 são comutativas, isto é, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.</p><p>2) Produtos notáveis:</p><p>(𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵2</p><p>(𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2</p><p>A ordem das matrizes altera o produto. Essas identidades são válidas apenas se 𝐴 e 𝐵 são matrizes</p><p>comutativas. Caso contrário, temos:</p><p>(𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 − 𝐵2</p><p>(𝐴 + 𝐵)2 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵) = 𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐵2</p><p>Uma observação interessante é que se 𝐵 = 𝐼 (matriz identidade), os produtos notáveis são válidos.</p><p>Veja:</p><p>(𝐴 + 𝐼)(𝐴 − 𝐼) = 𝐴2 − 𝐴𝐼⏟</p><p>=𝐴</p><p>+ 𝐼𝐴⏟</p><p>=𝐴</p><p>− 𝐼2 = 𝐴2 − 𝐼</p><p>(𝐴 + 𝐼)2 = (𝐴 + 𝐼)(𝐴 + 𝐼) = 𝐴2 + 𝐴𝐼 + 𝐼𝐴 + 𝐼2 = 𝐴2 + 2𝐴 + 𝐼</p><p>3) 𝑨 ⋅ 𝑩 = 𝟎 ⇒ 𝑨 = 𝟎 ou 𝑩 = 𝟎</p><p>No produto de matrizes, podemos ter 𝐴 e 𝐵 não nulas tais que 𝐴 ⋅ 𝐵 = 0. Exemplo:</p><p>𝐴 = (</p><p>1 2</p><p>2 4</p><p>) e 𝐵 = (</p><p>2 2</p><p>−1 −1</p><p>) ⇒ 𝐴 ⋅ 𝐵 = (</p><p>1 2</p><p>2 4</p><p>) (</p><p>2 2</p><p>−1 −1</p><p>) = (</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>)</p><p>4) 𝑨𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝑨 = 𝟎</p><p>Caso análogo à situação 2, com 𝐵 = 𝐴.</p><p>5) 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 ⇒ 𝑨 = 𝟎 ou 𝑩 = 𝑪</p><p>Nesse caso, podemos subtrair 𝐴𝐶 nos dois lados da equação matricial:</p><p>𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 − 𝐴𝐶</p><p>𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = 0 ⇒ 𝐴(𝐵 − 𝐶) = 0</p><p>Assim como no caso 2, essa igualdade não implica 𝐴 = 0 ou 𝐵 − 𝐶 = 0.</p><p>26</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>1.7. MATRIZ TRANSPOSTA</p><p>1.7.1. DEFINIÇÃO</p><p>A transposta de uma matriz 𝐴, simbolizada por 𝐴𝑡 ou 𝐴𝑇, é a matriz cujas linhas de 𝐴 foram</p><p>transformadas em colunas de 𝐴𝑡.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 −1</p><p>3 0</p><p>] ⇒ 𝐴𝑡 = [</p><p>1 3</p><p>−1 0</p><p>]</p><p>𝐴 = [</p><p>1 2 3</p><p>4 5 6</p><p>] ⇒ 𝐴𝑡 = [</p><p>1 4</p><p>2 5</p><p>3 6</p><p>]</p><p>Formalmente:</p><p>Dada uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛, a sua transposta é dada por 𝐴𝑡 = (𝑎𝑗𝑖</p><p>′ )</p><p>𝑛𝑥𝑚</p><p>tal que 𝑎𝑗𝑖</p><p>′ = 𝑎𝑖𝑗</p><p>para todo 𝑖 e 𝑗.</p><p>1.7.2. MATRIZ SIMÉTRICA</p><p>A matriz 𝐴 é considerada simétrica se</p><p>𝐴𝑡 = 𝐴</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎 3 4</p><p>3 𝑏 5</p><p>4 5 𝑐</p><p>] = 𝐴𝑡</p><p>1.7.3. MATRIZ ANTISSIMÉTRICA</p><p>A matriz 𝐴 é considerada antissimétrica se</p><p>𝐴𝑡 = −𝐴</p><p>𝐴 = [</p><p>0 3 4</p><p>−3 0 −5</p><p>−4 5 0</p><p>] ⇒ 𝐴𝑡 = [</p><p>0 −3 −4</p><p>3 0 5</p><p>4 −5 0</p><p>] = −𝐴</p><p>Note que a matriz antissimétrica deve possuir a diagonal principal nula.</p><p>1.7.4. PROPRIEDADES DA MATRIZ TRANSPOSTA</p><p>P12) (𝑨𝒕)</p><p>𝒕</p><p>= 𝑨</p><p>P13) (𝑨+𝑩)𝒕 = 𝑨𝒕 +𝑩𝒕</p><p>P14) (𝜶𝑨)𝒕 = 𝜶𝑨𝒕</p><p>P15) (𝑨𝑩)𝒕 = 𝑩𝒕𝑨𝒕</p><p>27</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Demonstração:</p><p>P12) (𝑨𝒕)</p><p>𝒕</p><p>= 𝑨</p><p>Fazendo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 e 𝐴𝑡 = (𝑎𝑗𝑖</p><p>′ )</p><p>𝑚𝑥𝑛</p><p>, temos:</p><p>𝑎𝑖𝑗</p><p>′′ = 𝑎𝑗𝑖</p><p>′ = 𝑎𝑖𝑗, ∀𝑖, 𝑗</p><p>∴ (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴</p><p>P13) (𝑨+𝑩)𝒕 = 𝑨𝒕 +𝑩𝒕</p><p>Sejam as matrizes 𝐴 + 𝐵 = 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛</p><p>e 𝐴𝑡 +𝐵𝑡 = 𝑋𝑡 = (𝑥𝑗𝑖</p><p>′ )</p><p>𝑛𝑥𝑚</p><p>, então:</p><p>𝑥𝑗𝑖</p><p>′ = 𝑥𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖</p><p>′ + 𝑏𝑗𝑖</p><p>′ , ∀𝑖, 𝑗</p><p>∴ (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡</p><p>P14) (𝜶𝑨)𝒕 = 𝜶𝑨𝒕</p><p>Fazendo (𝛼𝐴)𝑡 = (𝑎𝑗𝑖</p><p>′′ )</p><p>𝑛𝑥𝑚</p><p>, temos:</p><p>𝑎𝑗𝑖</p><p>′′ = 𝑘 ⋅ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑘 ⋅ 𝑎𝑗𝑖</p><p>′ , ∀𝑖, 𝑗</p><p>P15) (𝑨𝑩)𝒕 = 𝑩𝒕𝑨𝒕</p><p>Fazendo 𝐴𝐵 = 𝑋 = (𝑥𝑖𝑘)𝑚𝑥𝑝 e (𝐴𝐵)𝑡 = 𝑋𝑡 = (𝑥𝑘𝑖</p><p>′ )</p><p>𝑝𝑥𝑚</p><p>, temos:</p><p>(𝑥𝑘𝑖</p><p>′ ) = 𝑥𝑖𝑘 =∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>Como o somatório é de elementos da matriz, podemos alterar a ordem:</p><p>(𝑥𝑘𝑖</p><p>′ ) =∑𝑏𝑗𝑘 ⋅ 𝑎𝑖𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>Substituindo 𝑏𝑗𝑘 = 𝑏𝑘𝑗</p><p>′ e 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖</p><p>′ :</p><p>(𝑥𝑘𝑖</p><p>′ ) =∑𝑏𝑘𝑗</p><p>′ ⋅ 𝑎𝑗𝑖</p><p>′</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1⏟</p><p>𝐵𝑡𝐴𝑡</p><p>Aplicação:</p><p>28</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Vamos ver com um exemplo a veracidade das propriedades acima:</p><p>Seja 𝐴 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] e 𝐵 = [</p><p>𝑥 𝑦</p><p>𝑧 𝑤</p><p>], então:</p><p>P12) 𝐴𝑡 = [</p><p>𝑎 𝑐</p><p>𝑏 𝑑</p><p>]⇒ (𝐴𝑡)</p><p>𝑡</p><p>= [𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>P13) 𝐴 + 𝐵 = [</p><p>𝑎 + 𝑥 𝑏 + 𝑦</p><p>𝑐 + 𝑧 𝑑 + 𝑤</p><p>]</p><p>⇒ (𝐴 + 𝐵)𝑡 = [</p><p>𝑎 + 𝑥 𝑐 + 𝑧</p><p>𝑏 + 𝑦 𝑑 + 𝑤</p><p>] = [</p><p>𝑎 𝑐</p><p>𝑏 𝑑</p><p>] + [</p><p>𝑥 𝑧</p><p>𝑦 𝑤] = 𝐴</p><p>𝑡 + 𝐵𝑡</p><p>P14) Para 𝑘 ∈ ℝ:</p><p>𝑘 ⋅ 𝐴 = [</p><p>𝑘𝑎 𝑘𝑏</p><p>𝑘𝑐 𝑘𝑑</p><p>] ⇒ (𝑘 ⋅ 𝐴)𝑡 = [</p><p>𝑘𝑎 𝑘𝑐</p><p>𝑘𝑏 𝑘𝑑</p><p>] = 𝑘 ⋅ [</p><p>𝑎 𝑐</p><p>𝑏 𝑑</p><p>] = 𝑘 ⋅ 𝐴𝑡</p><p>P15) 𝐴𝐵 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] [</p><p>𝑥 𝑦</p><p>𝑧 𝑤</p><p>] = [</p><p>𝑎𝑥 + 𝑏𝑧 𝑎𝑦 + 𝑏𝑤</p><p>𝑐𝑥 + 𝑑𝑧 𝑐𝑦 + 𝑑𝑤</p><p>]</p><p>⇒ (𝐴𝐵)𝑡 = [</p><p>𝑎𝑥 + 𝑏𝑧 𝑐𝑥 + 𝑑𝑧</p><p>𝑎𝑦 + 𝑏𝑤 𝑐𝑦 + 𝑑𝑤</p><p>] = [</p><p>𝑥 𝑧</p><p>𝑦 𝑤] [</p><p>𝑎 𝑐</p><p>𝑏 𝑑</p><p>] = 𝐵𝑡𝐴𝑡</p><p>1.8. TRAÇO DE UMA MATRIZ</p><p>1.8.1. DEFINIÇÃO</p><p>O traço de uma matriz é a soma dos elementos da sua diagonal principal.</p><p>Dada a matriz</p><p>𝐴 = [</p><p>1 2 5</p><p>3 1 4</p><p>7 4 13</p><p>]</p><p>o traço da matriz 𝐴, 𝑡𝑟 𝐴, é dado por:</p><p>𝐴 = [</p><p>1 2 5</p><p>3 1 4</p><p>7 4 13</p><p>]</p><p>𝑡𝑟 𝐴 = 1 + 1 + 13</p><p>𝑡𝑟 𝐴 = 15</p><p>Usando termos genéricos, para uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛:</p><p>𝑡𝑟𝐴 =∑𝑎𝑖𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>1.8.2. PROPRIEDADES</p><p>P16) 𝒕𝒓𝑨𝒕 = 𝒕𝒓𝑨</p><p>29</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>P17) 𝒕𝒓(𝜶𝑨) = 𝜶 ⋅ 𝒕𝒓𝑨</p><p>P18) 𝒕𝒓(𝑨 + 𝑩) = 𝒕𝒓𝑨 + 𝒕𝒓𝑩</p><p>P19) 𝒕𝒓(𝑨𝑩) = 𝒕𝒓(𝑩𝑨)</p><p>Demonstração:</p><p>Vamos demonstrar a propriedade P19:</p><p>Seja 𝐴𝐵 = 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 e 𝐵𝐴 = 𝐷 = (𝑑𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛, então, temos:</p><p>{</p><p>𝑐𝑖𝑗 =∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>𝑡𝑟𝐶 =∑ 𝑐𝑖𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>⇒ 𝑡𝑟𝐶 =∑∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>{</p><p>𝑑𝑘𝑙 =∑𝑏𝑘𝑖 ⋅ 𝑎𝑖𝑙</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>𝑡𝑟𝐷 =∑ 𝑑𝑘𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>⇒ 𝑡𝑟𝐷 =∑∑𝑏𝑘𝑖 ⋅ 𝑎𝑖𝑘</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>=∑∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑘=1</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>∴ 𝑡𝑟𝐶 = 𝑡𝑟𝐷</p><p>1.9. MATRIZES ESPECIAIS</p><p>Neste tópico, veremos algumas definições importantes para a resolução das questões das</p><p>provas. Preste atenção nas definições de matriz inversa, matriz ortogonal e matriz de rotação,</p><p>elas já foram cobradas em provas anteriores!</p><p>Considere 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛.</p><p>1.9.1. MATRIZ INVERSA</p><p>A inversa da matriz 𝐴 é denotada por 𝐴−1. A matriz 𝐴 é inversível se, e somente se, ela</p><p>satisfazer a seguinte relação:</p><p>𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼𝑛</p><p>Se ela não for inversível, ela é classificada como matriz singular.</p><p>30</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>*Atenção! Alguns exercícios usam o termo invertível no lugar de inversível.</p><p>1.9.2. MATRIZ ORTOGONAL</p><p>Uma matriz quadrada 𝐴 de ordem 𝑛 é ortogonal se, e somente se:</p><p>i. 𝐴 é inversível.</p><p>ii. A inversa de 𝐴 coincide com sua transposta.</p><p>𝐴−1 = 𝐴𝑡</p><p>Também é válida a seguinte relação:</p><p>𝐴𝐴𝑇 = 𝐴𝑇𝐴 = 𝐼𝑛</p><p>1.9.3. MATRIZ DE ROTAÇÃO</p><p>Dado um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) no plano ℝ2, podemos rotacionar este ponto em torno da origem</p><p>(0, 0) sob um ângulo 𝜃 > 0 no sentido anti-horário usando uma matriz de rotação. Vamos</p><p>encontrar essa matriz.</p><p>Vamos escrever o ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) na forma matricial:</p><p>𝑃 = [</p><p>𝑥</p><p>𝑦]</p><p>Seja 𝑃′(𝑥′, 𝑦′) o ponto obtido pela rotação de 𝑃(𝑥, 𝑦):</p><p>𝑃′ = [</p><p>𝑥′</p><p>𝑦′</p><p>]</p><p>Observando o triângulo 𝑃′𝑂𝑄′ da figura e usando as relações trigonométricas, podemos</p><p>escrever:</p><p>𝑥′ = 𝑑 ⋅ cos(𝛼 + 𝜃) (𝐼)</p><p>31</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝑦′ = 𝑑 ⋅ sen(𝛼+ 𝜃) (𝐼𝐼)</p><p>Do Δ𝑃𝑂𝑄:</p><p>𝑥 = 𝑑 ⋅ cos 𝛼 ⇒ cos 𝛼 =</p><p>𝑥</p><p>𝑑</p><p>(𝐼𝐼𝐼)</p><p>𝑦 = 𝑑 ⋅ sen 𝛼 ⇒ sen 𝛼 =</p><p>𝑦</p><p>𝑑</p><p>(𝐼𝑉)</p><p>Aplicando a fórmula de adição de arcos nas equações (𝐼) e (𝐼𝐼):</p><p>𝑥′ = 𝑑 ⋅ (cos𝛼 cos𝜃 − sen𝛼 sen𝜃)</p><p>𝑦′ = 𝑑 ⋅ (sen𝛼 cos 𝜃 + sen 𝜃 cos 𝛼)</p><p>Substituindo as identidades (𝐼𝐼𝐼) e (𝐼𝑉) nas equações acima:</p><p>𝑥′ = 𝑑 ⋅ (</p><p>𝑥</p><p>𝑑</p><p>cos𝜃 −</p><p>𝑦</p><p>𝑑</p><p>sen 𝜃)</p><p>⇒ 𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sen 𝜃</p><p>𝑦′ = 𝑑 ⋅ (</p><p>𝑦</p><p>𝑑</p><p>cos 𝜃 + sen 𝜃</p><p>𝑥</p><p>𝑑</p><p>)</p><p>⇒ 𝑦′ = 𝑥 sen 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃</p><p>Desse modo, podemos escrever as relações acima na forma matricial:</p><p>[</p><p>𝑥′</p><p>𝑦′</p><p>] = [cos 𝜃 −sen 𝜃</p><p>sen 𝜃 cos𝜃</p><p>] [</p><p>𝑥</p><p>𝑦]</p><p>A matriz de rotação no sentido anti-horário é dada por 𝑀:</p><p>𝑀𝑎𝑛𝑡𝑖−ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 = [</p><p>cos 𝜃 −sen 𝜃</p><p>sen 𝜃 cos 𝜃</p><p>]</p><p>Se quisermos rotacionar no sentido horário basta inserir −𝜃 no lugar de 𝜃:</p><p>𝑀ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 = [</p><p>cos−𝜃 −sen−𝜃</p><p>sen−𝜃 cos−𝜃</p><p>] = [ cos 𝜃 sen 𝜃</p><p>−sen𝜃 cos 𝜃</p><p>]</p><p>No plano ℝ3, temos 3 eixos coordenados. Dado um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) no plano ℝ3, podemos</p><p>rotacionar esse ponto em torno do eixo 𝑧 através da seguinte matriz de rotação:</p><p>𝑀𝑧 = [</p><p>cos 𝜃 − sen𝜃 0</p><p>sen 𝜃 cos 𝜃 0</p><p>0 0 1</p><p>]</p><p>32</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Para rotacionar 𝑃 em torno do eixo 𝑥, devemos usar a seguinte matriz:</p><p>𝑀𝑥 = [</p><p>1 0 0</p><p>0 cos 𝜃 − sen 𝜃</p><p>0 sen 𝜃 cos 𝜃</p><p>]</p><p>Em torno do eixo 𝑦:</p><p>𝑀𝑦 = [</p><p>cos 𝜃 0 sen 𝜃</p><p>0 1 0</p><p>− sen 𝜃 0 cos 𝜃</p><p>]</p><p>1.9.4. MATRIZ NILPOTENTE</p><p>𝐴 é uma matriz nilpotente se existir um número 𝑝 ∈ ℤ+ tal que:</p><p>𝐴𝑝 = 0</p><p>Se 𝑝</p><p>0</p><p>é o menor inteiro positivo que satisfaz essa relação, dizemos que 𝐴 é uma matriz</p><p>nilpotente de índice 𝑝</p><p>0</p><p>.</p><p>1.9.5. MATRIZ IDEMPOTENTE</p><p>𝐴 é uma matriz idempotente se satisfazer a seguinte relação:</p><p>𝐴2 = 𝐴</p><p>Consequentemente:</p><p>𝐴3 = 𝐴4 = ⋯ = 𝐴𝑛 = 𝐴</p><p>33</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>4. Dados 𝐴 = [</p><p>1 2</p><p>−5 3</p><p>] e 𝐵 = [</p><p>6 1</p><p>4 −7</p><p>], calcule:</p><p>a) 𝐴 + 𝐵</p><p>b) 𝐴 − 𝐵</p><p>c) 𝐴𝐵</p><p>Resolução:</p><p>a) 𝐴 + 𝐵 = [</p><p>1 2</p><p>−5 3</p><p>] + [</p><p>6 1</p><p>4 −7</p><p>] = [</p><p>1 + 6 2 + 1</p><p>−5 + 4 3 − 7</p><p>] = [</p><p>7 3</p><p>−1 −4</p><p>]</p><p>b) 𝐴 − 𝐵 = [</p><p>1 2</p><p>−5 3</p><p>] − [</p><p>6 1</p><p>4 −7</p><p>] = [</p><p>1 − 6 2 − 1</p><p>−5 − 4 3 + 7</p><p>] = [</p><p>−5 1</p><p>−9 10</p><p>]</p><p>c) 𝐴𝐵 = [</p><p>1 2</p><p>−5 3</p><p>] [</p><p>6 1</p><p>4 −7</p><p>] = [</p><p>1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 4 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−7)</p><p>−5 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4 −5 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−7)</p><p>] = [</p><p>14 −13</p><p>−18 −26</p><p>]</p><p>Gabarito: a) [ 𝟕 𝟑</p><p>−𝟏 −𝟒</p><p>] b) [−𝟓 𝟏</p><p>−𝟗 𝟏𝟎</p><p>] c) [ 𝟏𝟒 −𝟏𝟑</p><p>−𝟏𝟖 −𝟐𝟔</p><p>]</p><p>5. Suponha 𝐴 e 𝐵 matrizes reais inversíveis e de ordem 𝑛, tais que 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝐵. Prove que</p><p>𝐴−1 +𝐵−1 = 𝐼.</p><p>Resolução:</p><p>Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes inversíveis, então, podemos escrever:</p><p>𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼</p><p>𝐵𝐵−1 = 𝐵−1𝐵 = 𝐼</p><p>Vamos analisar a equação dada:</p><p>𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝐵</p><p>Usando as propriedades matriciais, vamos multiplicar à esquerda ambos os lados por</p><p>𝐴−1:</p><p>𝐴−1(𝐴+ 𝐵) = 𝐴−1(𝐴𝐵)⇒ 𝐴−1𝐴⏟</p><p>𝐼</p><p>+ 𝐴−1𝐵 = (𝐴−1𝐴)⏟</p><p>𝐼</p><p>𝐵 ⇒ 𝐼 + 𝐴−1𝐵 = 𝐼 ⋅ 𝐵</p><p>Agora, vamos multiplicar à direita ambos os lados por 𝐵−1:</p><p>(𝐼 + 𝐴−1𝐵)𝐵−1 = 𝐵𝐵−1 ⇒ 𝐵−1 +𝐴−1(𝐵𝐵−1) = 𝐼 ⇒ 𝐵−1 +𝐴−1 = 𝐼</p><p>∴ 𝐴−1 + 𝐵−1 = 𝐼</p><p>Gabarito: Demonstração</p><p>6. 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são matrizes quadradas de ordem 𝑛. Se a matriz 𝐶 é antissimétrica, demonstre</p><p>que:</p><p>(𝐴𝑡𝐵𝑡 + 3𝐶)</p><p>𝑡</p><p>= 𝐵𝐴− 3𝐶</p><p>Resolução:</p><p>Se 𝐶 é antissimétrica, então:</p><p>𝐶𝑡 = −𝐶</p><p>34</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Aplicando as propriedades da transposta, temos:</p><p>(𝐴𝑡𝐵𝑡 + 3𝐶)</p><p>𝑡</p><p>= (𝐴𝑡𝐵𝑡)</p><p>𝑡</p><p>+ (3𝐶)𝑡 = (𝐵𝑡)</p><p>𝑡</p><p>(𝐴𝑡)</p><p>𝑡</p><p>+ 3𝐶𝑡 = 𝐵𝐴+ 3𝐶𝑡</p><p>Usando a definição de antissimétrica:</p><p>𝐵𝐴 + 3𝐶𝑡 = 𝐵𝐴 − 3𝐶</p><p>∴ (𝐴𝑡𝐵𝑡 + 3𝐶)𝑡 = 𝐵𝐴 − 3𝐶</p><p>Gabarito: Demonstração</p><p>7. Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes reais e de ordem 𝑛, tais que 𝐴 é inversível. Dado que 𝐴−1𝐵𝐴−1 =</p><p>𝐼. Mostre que 𝐵 = 𝐴2.</p><p>Resolução:</p><p>De acordo</p><p>com o enunciado, temos:</p><p>𝐴−1𝐵𝐴−1 = 𝐼</p><p>Multiplicando à esquerda da equação por 𝐴:</p><p>𝐴(𝐴−1𝐵𝐴−1) = 𝐴 ⋅ 𝐼</p><p>(𝐴𝐴−1)⏟</p><p>𝐼</p><p>𝐵𝐴−1 = 𝐴</p><p>𝐵𝐴−1 = 𝐴</p><p>Multiplicando à direita da equação por 𝐴:</p><p>(𝐵𝐴−1)𝐴 = 𝐴 ⋅ 𝐴 ⇒ 𝐵(𝐴−1𝐴) = 𝐴2</p><p>∴ 𝐵 = 𝐴2</p><p>Gabarito: Demonstração</p><p>8. Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes quadradas de ordem 𝑛. Definimos 𝑡𝑟(𝐴) como a soma dos</p><p>elementos da diagonal principal da matriz 𝐴. Demonstre que 𝑡𝑟(𝐴𝐵) = 𝑡𝑟(𝐵𝐴).</p><p>Resolução:</p><p>Demonstração visto na teoria, propriedade 𝑃19.</p><p>Gabarito: Demonstração</p><p>9. Uma matriz possui inversa se ela é não singular. Determine uma matriz não singular 𝐵</p><p>que satisfaça a seguinte equação matricial:</p><p>𝐵−1𝐴 = [3 0</p><p>0 −2</p><p>]</p><p>Dado que 𝐴 = [</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>].</p><p>Resolução:</p><p>Como 𝐵 é não singular, temos que ela é inversível. Assim, vamos multiplicar à esquerda</p><p>da equação por 𝐵:</p><p>𝐵−1𝐴 = [3 0</p><p>0 −2</p><p>]⇒ 𝐵𝐵−1𝐴 = 𝐵 ⋅ [3 0</p><p>0 −2</p><p>]⇒ 𝐴 = 𝐵 ⋅ [3 0</p><p>0 −2</p><p>]</p><p>O enunciado nos dá a matriz 𝐴, vamos substituí-la na equação:</p><p>[</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>] = 𝐵 ⋅ [3 0</p><p>0 −2</p><p>]</p><p>Como 𝐵 é inversível e multiplica uma matriz quadrada de ordem 2, podemos afirmar</p><p>que ele também é quadrada de ordem 2. Vamos escrever 𝐵 desse modo:</p><p>𝐵 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>35</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>[</p><p>1 2</p><p>3 4</p><p>] = [𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>] ⋅ [3 0</p><p>0 −2</p><p>]⇒ [1 2</p><p>3 4</p><p>] = [3𝑎 −2𝑏</p><p>3𝑐 −2𝑑</p><p>]</p><p>Assim, encontramos o seguinte sistema:</p><p>{</p><p>1 = 3𝑎</p><p>2 = −2𝑏</p><p>3 = 3𝑐</p><p>4 = −2𝑑</p><p>⇒</p><p>{</p><p>𝑎 =</p><p>1</p><p>3</p><p>𝑏 = −1</p><p>𝑐 = 1</p><p>𝑑 = −2</p><p>∴ 𝐵 = [</p><p>1/3 −1</p><p>1 −2</p><p>]</p><p>Gabarito: 𝑩 = [</p><p>𝟏/𝟑 −𝟏</p><p>𝟏 −𝟐</p><p>]</p><p>10. A matriz 𝑅(𝜃) = [</p><p>cos(𝜃) −𝑠𝑒𝑛(𝜃)</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)</p><p>] é chamada de matriz de rotação. Dizemos que</p><p>uma matriz 𝐴 é ortogonal, quando 𝐴𝑡 = 𝐴−1. Verifique se a matriz 𝑅(𝜃) é ortogonal.</p><p>Justifique sua resposta.</p><p>Resolução:</p><p>Partindo de 𝐴𝑡 = 𝐴−1, podemos manipular essa equação e encontrar:</p><p>𝐴𝐴𝑡 = 𝐴𝐴−1</p><p>𝐴𝐴𝑡 = 𝐼</p><p>Então, se 𝐴𝐴𝑡 = 𝐼, podemos afirmar que 𝐴 é ortogonal.</p><p>Vamos encontrar a transposta de 𝑅(𝜃) e calcular 𝑅(𝜃)𝑅𝑡(𝜃):</p><p>𝑅𝑡(𝜃) = [</p><p>cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)</p><p>−𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)</p><p>]</p><p>𝑅(𝜃)𝑅𝑡(𝜃) = [</p><p>cos(𝜃) −𝑠𝑒𝑛(𝜃)</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)</p><p>] ⋅ [</p><p>cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)</p><p>−𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)</p><p>] =</p><p>= [</p><p>cos2(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) − cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + cos2(𝜃)</p><p>] = [</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>] = 𝐼</p><p>∴ 𝑅(𝜃)𝑅𝑡(𝜃) = 𝐼</p><p>Essa é a definição de matriz ortogonal. Portanto, 𝑅(𝜃) é ortogonal.</p><p>Gabarito: Demonstração</p><p>2. DETERMINANTE DE UMA MATRIZ</p><p>2.1. DEFINIÇÃO</p><p>A primeira coisa que temos que distinguir é que o determinante de uma matriz 𝐴,</p><p>simbolizado por det(𝐴), é um número, não uma matriz. Além disso, só podemos calcular o</p><p>determinante de matrizes quadradas.</p><p>Mas que número é esse?</p><p>Aqui nós inverteremos um pouco a didática.</p><p>Primeiro, vamos aprender a calcular o determinante de matrizes de várias ordens. Só na</p><p>próxima aula, quando estivermos estudando os sistemas, teremos condições de entender de onde</p><p>esses números saíram. Por isso, tenha paciência que chegaremos lá, ok?</p><p>36</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>2.1.1. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 𝟏</p><p>Existe matriz de ordem 1?</p><p>Pois é, existe sim. É uma matriz que só tem uma linha e uma coluna.</p><p>E o determinante desse tipo de matriz é imediato, veja.</p><p>𝐴1𝑥1 = [𝑎] → det(𝐴) = 𝑎</p><p>Ou seja, o determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento da matriz. Veja</p><p>o exemplo.</p><p>𝐴1𝑥1 = [3] → det(𝐴) = 3</p><p>Essa foi fácil, não? Vamos à próxima.</p><p>2.1.2. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 𝟐</p><p>Para o determinante de uma matriz de ordem 2 já temos que fazer alguns cálculos.</p><p>Dada a matriz 𝐴 tal que</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>O determinante de 𝐴, det(𝐴), é dado por uma subtração entre o produto dos elementos</p><p>da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.</p><p>Como é que é?</p><p>Calma, vamos esquematizar essa definição no corpo da matriz 𝐴.</p><p>Desse modo, o determinante da matriz 𝐴, det(𝐴), que também pode ser representado pela</p><p>matriz encerrada por duas barras paralelas, é dado por</p><p>det(𝐴) = |𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>| = 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐</p><p>Vejamos um exemplo.</p><p>Dada a matriz 𝐴, calcule seu determinante.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 3</p><p>−2 1</p><p>]</p><p>Explicitando os elementos das diagonais, temos.</p><p>Assim,</p><p>det(𝐴) = | 1 3</p><p>−2 1</p><p>| = 1 ∙ 1 − 3 ∙ (−2)</p><p>37</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det(𝐴) = 1 + 6</p><p>det(𝐴) = 7</p><p>Uma matriz é escrita entre colchetes:</p><p>𝐴 = [</p><p>1 3</p><p>−2 1</p><p>]</p><p>Um determinante pode ser escrito pela sua expressão ou pela matriz encerrada por duas barras paralelas:</p><p>det(𝐴) = |</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>| = 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐</p><p>Matrizes e determinantes não são sinônimos.</p><p>Faça a distinção na hora da escrita, principalmente em questões abertas.</p><p>2.1.3. DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 𝟑</p><p>Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3, utilizaremos a regra de Sarrus,</p><p>como detalhada a seguir.</p><p>Peguemos, por exemplo, a matriz 𝐴 dada por</p><p>𝐴 =</p><p>[</p><p>1 0 1</p><p>−1 −2 0</p><p>1</p><p>5</p><p>4 3]</p><p>O primeiro passo para calcularmos o determinante dessa matriz é duplicarmos a primeira</p><p>e a segunda colunas de 𝐴.</p><p>det(𝐴) =</p><p>[</p><p>1 0 1</p><p>−1 −2 0</p><p>1</p><p>5</p><p>4 3]</p><p>1 0</p><p>−1 −2</p><p>1</p><p>5</p><p>4</p><p>O próximo passo é fazer os produtos dos elementos nas direções tanto da diagonal</p><p>principal quanto da diagonal secundária.</p><p>Embora possamos fazer ambos os produtos simultaneamente, separaremos em duas</p><p>partes para maior clareza.</p><p>Façamos primeiro a parte positiva na direção da diagonal principal.</p><p>Multiplicaremos os elementos de cada diagonal e somaremos esses produtos. Todo esse</p><p>resultado será a parte positiva de nosso determinante.</p><p>38</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>E, agora, a parte negativa, na direção da diagonal secundária.</p><p>O determinante, então, será a soma desses resultados parciais.</p><p>det(𝐴) = −10 +</p><p>2</p><p>5</p><p>det(𝐴) =</p><p>−50 + 2</p><p>5</p><p>det(𝐴) = −</p><p>48</p><p>5</p><p>Uma outra forma de memorizar a regra de Sarrus é através da seguinte figura:</p><p>39</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Ao invés de duplicar a primeira e a segunda coluna de 𝐴, podemos multiplicar os elementos</p><p>de acordo com a trajetória das linhas indicadas:</p><p>det𝐴 = 𝑎11 ⋅ 𝑎22 ⋅ 𝑎33 + 𝑎12 ⋅ 𝑎23 ⋅ 𝑎31 + 𝑎32 ⋅ 𝑎21 ⋅ 𝑎13</p><p>−𝑎13 ⋅ 𝑎22 ⋅ 𝑎31 − 𝑎23 ⋅ 𝑎32 ⋅ 𝑎11 − 𝑎21 ⋅ 𝑎12 ⋅ 𝑎33</p><p>Usamos as setas apenas para nos guiarmos. Quando resolvermos os exercícios de</p><p>determinantes, faremos o cálculo com apenas uma tabela do seguinte modo:</p><p>Um pouco confuso, não? Com o tempo, nos acostumaremos a resolver desse modo.</p><p>11. Calcule:</p><p>a) |5|</p><p>b) |5 1</p><p>2 −2</p><p>|</p><p>c) |</p><p>5 2 −1</p><p>3 0 −3</p><p>1 1 2</p><p>|</p><p>Resolução:</p><p>a) |5| = 5</p><p>b) |5 1</p><p>2 −2</p><p>| = 5 ⋅ (−2)− 2 ⋅ 1 = −10 − 2 = −12</p><p>c) |</p><p>5 2 −1</p><p>3 0 −3</p><p>1 1 2</p><p>|</p><p>= 5 ⋅ 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ (−3) ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 ⋅ (−1) − ((−1) ⋅ 0 ⋅ 1 + (−3) ⋅ 1 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 ⋅ 2)</p><p>= −6 − 3 − (−15 + 12) = −9 − (−3) = −6</p><p>*Obs.: Separei em duas tabelas para poder visualizar melhor.</p><p>Gabarito: a) 𝟓 b) −𝟏𝟐 c) −𝟔</p><p>12. Resolva:</p><p>40</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>|</p><p>𝑥 1 𝑥</p><p>1 𝑥 −1</p><p>1 3 2</p><p>| = 0</p><p>Resolução:</p><p>Vamos calcular o determinante:</p><p>2𝑥2 + (−1) + 3𝑥 − 𝑥2 − (−3𝑥) − 2 = 0</p><p>𝑥2 + 6𝑥 − 3 = 0</p><p>Encontrando as raízes:</p><p>𝑥 = −3 ± √12 = −3 ± 2√3</p><p>Portanto:</p><p>𝑆 = {−3 + 2√3;−3 − 2√3}</p><p>Gabarito: 𝑺 = {−𝟑 + 𝟐√𝟑;−𝟑 − 𝟐√𝟑}</p><p>2.2. TEOREMA DE LAPLACE</p><p>Este teorema é muito útil para resolver as questões de determinantes das provas e ela</p><p>costuma ser cobrada com bastante frequência. Vejamos os conceitos iniciais.</p><p>2.2.1. CONCEITOS INICIAIS</p><p>Até aqui vimos como calcular o determinante de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Existem</p><p>diversos métodos para se calcular o determinante de uma matriz, mas, antes de aprendê-los,</p><p>veremos a definição de menor complementar e cofator de um elemento matricial.</p><p>Menor complementar de um elemento</p><p>O menor complementar de um elemento matricial 𝑎𝑖𝑗, representado por 𝐷𝑖𝑗, é o</p><p>determinante de uma submatriz que conseguimos eliminando a linha e a coluna do elemento 𝑎𝑖𝑗.</p><p>Vejamos como obter o menor complementar de um elemento na matriz 𝐴.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 2 5</p><p>3 1 4</p><p>7 4 13</p><p>]</p><p>Digamos que precisemos do menor complementar do elemento 𝑎21, ou seja, precisamos</p><p>calcular 𝐷21</p><p>Precisamos eliminar, então, a linha e a coluna de 𝑎21 e calcular o determinante da matriz</p><p>que sobra.</p><p>Podemos ver que o elemento 𝑎21 = 3 está, como indicado, na segunda linha e na terceira</p><p>coluna.</p><p>41</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Dessa forma,</p><p>𝐷21 = |</p><p>2 5</p><p>4 13</p><p>|</p><p>𝐷21 = |</p><p>2 5</p><p>4 13</p><p>|</p><p>𝐷21 = 2 ∙ 13 − 5 ∙ 4</p><p>𝐷21 = 26 − 20</p><p>𝐷21 = 6</p><p>Todo elemento de uma matriz quadrada tem menor complementar.</p><p>Cofator (ou complemento algébrico) de um elemento</p><p>O cofator de um elemento 𝑎𝑖𝑗, representado por 𝐴𝑖𝑗, é dado pela seguinte fórmula.</p><p>𝐴𝑖𝑗 = (−1)</p><p>𝑖+𝑗 ∙ 𝐷𝑖𝑗</p><p>Considerando a matriz</p><p>𝐴 = [</p><p>1 2 5</p><p>3 1 4</p><p>7 4 13</p><p>]</p><p>do item anterior e já tendo calculado o menor complementar 𝐷21, vamos aproveitá-lo e</p><p>calcular o cofator 𝐴21.</p><p>𝐷21 = 6</p><p>𝐴𝑖𝑗 = (−1)</p><p>𝑖+𝑗 ∙ 𝐷𝑖𝑗</p><p>𝐴21 = (−1)</p><p>2+1 ∙ 𝐷21</p><p>𝐴21 = (−1)</p><p>3 ∙ 6</p><p>𝐴21 = (−1) ∙ 6</p><p>𝐴21 = −6</p><p>Assim, o menor complementar de 𝑎21 é 𝐴21 = −6.</p><p>42</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>2.2.2. MATRIZ DOS COFATORES</p><p>Na seção anterior vimos como calcular o cofator de um número, dado pela fórmula</p><p>𝐴𝑖𝑗 = (−1)</p><p>𝑖+𝑗 ∙ 𝐷𝑖𝑗.</p><p>Pois bem, a matriz dos cofatores, simbolizada por 𝐴′, é uma matriz formada pelos cofatores</p><p>de todos os elementos de 𝐴.</p><p>Vejamos, então, como é a matriz de cofatores 𝐴′. Seja 𝐴 dada por:</p><p>𝐴 = [</p><p>1 −1</p><p>3 0</p><p>]</p><p>𝐴𝑖𝑗 = (−1)</p><p>𝑖+𝑗 ∙ 𝐷𝑖𝑗</p><p>Dessa forma, a matriz de cofatores de 𝐴, ou 𝐴′, é</p><p>𝐴′ = [</p><p>𝐴11 𝐴12</p><p>𝐴21 𝐴22</p><p>]</p><p>𝐴′ = [0 −3</p><p>1 1</p><p>]</p><p>Também podemos representar a matriz dos cofatores de 𝐴 por 𝑐𝑜𝑓(𝐴).</p><p>2.2.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAPLACE</p><p>Este teorema nos permite calcular o determinante de uma matriz 𝐴 de ordem maior ou</p><p>igual a 2. Ela afirma que o valor do determinante de uma matriz 𝐴 é igual a soma dos produtos</p><p>dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.</p><p>Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛, pelo teorema de Laplace:</p><p>I) Escolhendo-se a linha 𝑖 (fixamos 𝑖 e variamos 𝑗):</p><p>43</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det𝐴 =∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝐴𝑖𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑗=1</p><p>II) Escolhendo-se a coluna 𝑗 (fixamos 𝑗 e variamos 𝑖):</p><p>det𝐴 =∑𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝐴𝑖𝑗</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>Exemplo de aplicação:</p><p>Dada a matriz 𝐴 = [</p><p>10 15 17 39</p><p>5 0 3 2</p><p>−9 0 2 5</p><p>−4 0 1 3</p><p>]</p><p>a) Escolhendo a linha 1 da matriz 𝐴, o seu determinante é dado por:</p><p>det𝐴 = 𝑎11 ⋅ 𝐴11 + 𝑎12 ⋅ 𝐴12 + 𝑎13 ⋅ 𝐴13 + 𝑎14 ⋅ 𝐴14</p><p>det𝐴 = 10 ⋅ 𝐴11 + 15 ⋅ 𝐴12 + 17 ⋅ 𝐴13 + 39 ⋅ 𝐴14</p><p>b) Escolhendo a coluna 2 da matriz 𝐴:</p><p>det𝐴 = 𝑎12 ⋅ 𝐴12 + 𝑎22 ⋅ 𝐴22 + 𝑎32 ⋅ 𝐴32 + 𝑎42 ⋅ 𝐴42</p><p>det𝐴 = 15 ⋅ 𝐴12 + 0 ⋅ 𝐴22 + 0 ⋅ 𝐴32 + 0 ⋅ 𝐴42</p><p>⇒ det 𝐴 = 15 ⋅ 𝐴12</p><p>Podemos escolher qualquer fila para calcular o determinante, pois o resultado é o mesmo.</p><p>Note que no caso (b), precisamos calcular apenas o cofator 𝐴12. Desse modo, para facilitar os</p><p>cálculos, devemos escolher a fila com a maior quantidade de zeros possível.</p><p>2.3. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES</p><p>Estudamos, até agora, o que são as matrizes, as principais operações com matrizes e o</p><p>determinante de uma matriz.</p><p>Estudaremos, agora, algumas propriedades que podem ser úteis na resolução dos</p><p>exercícios.</p><p>44</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Essas propriedades até podem ser deduzidas na hora, mas há um ganho considerável de</p><p>tempo de resolução quando se tem contato com elas previamente.</p><p>2.3.1. FATOR COMUM EM UMA FILA DA MATRIZ</p><p>Entenderemos aqui por fila uma linha ou uma coluna de uma matriz.</p><p>Ao multiplicarmos uma fila de uma matriz por uma constante 𝑘, o determinante dessa</p><p>matriz também fica multiplicado pela mesma constante 𝑘.</p><p>Façamos a demonstração para uma matriz genérica 2𝑥2, embora a propriedade seja válida</p><p>para todas as matrizes quadradas (só têm determinantes as matrizes quadradas, lembra?).</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>Vimos, há algumas páginas, que</p><p>det(𝐴) = |𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>| = 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐.</p><p>Multiplicando uma de suas filas, digamos a segunda coluna, por uma constante 𝑘, teremos,</p><p>como resultado, a matriz 𝐴′.</p><p>𝐴′ = [</p><p>𝑎 𝑘 ∙ 𝑏</p><p>𝑐 𝑘 ∙ 𝑑</p><p>]</p><p>Note que multiplicamos apenas uma fila, não a matriz inteira.</p><p>Vejamos o que acontece com o determinante de 𝐴′.</p><p>det(𝐴′) = |𝑎 𝑘 ∙ 𝑏</p><p>𝑐 𝑘 ∙ 𝑑</p><p>| = 𝑎 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑘 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐</p><p>Podemos colocar a constante 𝐶 em evidência.</p><p>det(𝐴′) = 𝑎 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 − 𝑘 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑘 ∙ (𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐)</p><p>det(𝐴′) = 𝑘 ∙ (𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐)</p><p>det(𝐴′) = 𝑘 ∙ det(𝐴)</p><p>Exemplo:</p><p>Vamos calcular o valor do determinante abaixo:</p><p>|</p><p>9 27 27</p><p>3 5 2</p><p>2 3 1</p><p>|</p><p>Note que a primeira linha da matriz desse determinante possui o fator comum 9, podemos</p><p>colocá-lo em evidência e, assim, facilitamos o seu cálculo:</p><p>45</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>|</p><p>9 27 27</p><p>3 5 2</p><p>2 3 1</p><p>| = 9 ⋅ |</p><p>1 3 3</p><p>3 5 2</p><p>2 3 1</p><p>| = 9 ⋅ (5 + 12 + 27 − 30 − 6 − 9) = 9 ⋅ (−1) = −9</p><p>2.3.2. FATOR COMUM NA MATRIZ</p><p>Ao multiplicarmos uma matriz de ordem 𝑛 por uma constante 𝑘 ∈ ℝ, o seu determinante</p><p>fica multiplicado por 𝑘𝑛. Essa situação é parecida com a propriedade anterior, porém, todas as</p><p>filas ficam multiplicadas pela constante 𝑘 e, por isso, uma matriz multiplicada por 𝑘 resulta em</p><p>um determinante multiplicado por 𝑘 ⋅ 𝑘 ⋅ … ⋅ 𝑘⏟</p><p>𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠</p><p>:</p><p>det(𝑘 ⋅ 𝐴) = 𝑘𝑛 det 𝐴</p><p>Exemplo:</p><p>|</p><p>2 4 4</p><p>8 2 10</p><p>8 2 4</p><p>| = 23 ⋅ |</p><p>1 2 2</p><p>4 1 5</p><p>4 1 2</p><p>| = 8 ⋅ (2 + 40 + 8 − 8 − 5 − 16) = 8 ⋅ 21 = 168</p><p>2.3.3. TEOREMA DE BÉZOUT</p><p>Quando trocamos duas filas de lugar, o determinante é afetado de tal modo que o</p><p>determinante da nova matriz 𝐴′ é o oposto do determinante de 𝐴, veja.</p><p>Dada a mesma matriz 𝐴, genérica, que nos tem acompanhado.</p><p>𝐴 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>]</p><p>det(𝐴) = |𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>| = 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐</p><p>Vamos trocar de lugar a primeira e a segunda linhas e ver como det(𝐴) é afetado.</p><p>𝐴′ = [</p><p>𝑐 𝑑</p><p>𝑎 𝑏</p><p>]</p><p>det(𝐴′) = |𝑐 𝑑</p><p>𝑎 𝑏</p><p>| = 𝑐 ∙ 𝑏 − 𝑑 ∙ 𝑎</p><p>det(𝐴′) = 𝑐 ∙ 𝑏 − 𝑑 ∙ 𝑎</p><p>Colocando o sinal de negativo em evidência.</p><p>det(𝐴′) = −(−𝑐 ∙ 𝑏 + 𝑑 ∙ 𝑎)</p><p>Alternando a ordem do argumento dos parênteses.</p><p>det(𝐴′) = −(𝑑 ∙ 𝑎 − 𝑐 ∙ 𝑏)</p><p>det(𝐴′) = −det(𝐴)</p><p>Essa propriedade é conhecida como teorema de Bézout.</p><p>46</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Ao trocar duas filas de uma matriz de lugar, o determinante muda de sinal.</p><p>Trocou de novo? Muda de sinal de novo.</p><p>2.3.4. FILAS PARALELAS IGUAIS OU PROPORCIONAIS</p><p>Quando duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) são iguais ou proporcionais, o</p><p>determinante da matriz é zero.</p><p>Dada a matriz 𝐴 com uma linha sendo a multiplicação de outra linha por uma constante.</p><p>𝐴 = [</p><p>2 4</p><p>6 12</p><p>]</p><p>Perceba que a segunda linha é o triplo da primeira.</p><p>Calculemos, então, det(𝐴).</p><p>det(𝐴) = |2 4</p><p>6 12</p><p>| = 2 ∙ 12 − 4 ∙ 6</p><p>det(𝐴) = 24 − 24</p><p>det(𝐴) = 0</p><p>Apesar de termos visto em uma matriz singular de ordem 2, essa característica está</p><p>presente em todas as matrizes quadradas.</p><p>2.3.5. COMBINAÇÃO LINEAR DE FILAS</p><p>Dizemos que uma fila 𝐹1 é uma combinação linear de outras (𝐹2, 𝐹3, 𝐹4… ) quando</p><p>𝐹1 = 𝑎 ∙ 𝐹2 + 𝑏 ∙ 𝐹3 + 𝑐 ∙ 𝐹4 + ⋯</p><p>Vejamos um exemplo numérico.</p><p>Seja 𝐴 a matriz quadrada abaixo:</p><p>𝐴 = [</p><p>1 2 5</p><p>3 1 4</p><p>7 4 13</p><p>]</p><p>Não é óbvio e precisamos fazer alguns cálculos para perceber. No entanto, note que a</p><p>terceira linha 𝐿3 é a soma da primeira com o dobro da</p><p>segunda.</p><p>Assim, podemos dizer que</p><p>𝐿3 = 1 ∙ 𝐿1 + 2 ∙ 𝐿2</p><p>(7, 4, 16) = 1 ∙ (1, 2, 5)+ 2 ∙ (3, 1, 4)</p><p>(7, 4, 16) = (1, 2, 5)+ (6, 2, 8)</p><p>(7, 4, 16) = (7, 4, 16)</p><p>47</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Assim,</p><p>𝐿3 = 1 ∙ 𝐿1 + 2 ∙ 𝐿2</p><p>E o que acontece quando uma matriz tem uma linha como combinação linear de outras?</p><p>Simples, seu determinante é nulo.</p><p>Calculemos, como exercício, o determinante dessa matriz 𝐴 por meio da regra de Sarrus.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 2 5</p><p>3 1 4</p><p>7 4 13</p><p>]</p><p>Dupliquemos a primeira e a segunda coluna.</p><p>det(𝐴) = |</p><p>1 2 5</p><p>3 1 4</p><p>7 4 13</p><p>|</p><p>1</p><p>3</p><p>7</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>Façamos, então, parte positiva do determinante na direção da diagonal principal.</p><p>E, agora, a parte negativa, na direção da diagonal secundária.</p><p>O determinante, então, será a soma desses resultados parciais.</p><p>det(𝐴) = 129 − 129</p><p>det(𝐴) = 0</p><p>2.3.6. MATRIZ TRIANGULAR</p><p>O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto de todos os elementos da sua</p><p>diagonal principal. Seja 𝐴 uma matriz triangular de ordem 𝑛:</p><p>det𝐴 =∏𝑎𝑖𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>48</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>Demonstração:</p><p>Supondo que 𝑀 seja uma matriz triangular inferior:</p><p>𝑀 =</p><p>[</p><p>𝑎11 0 0 0</p><p>𝑎21 𝑎22 0 ⋯ 0</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑎33 0</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛]</p><p>Aplicando-se o teorema de Laplace na primeira linha, encontramos:</p><p>det𝑀 = 𝑎11 ⋅ 𝐴11</p><p>Sabemos que o cofator é dado por:</p><p>𝐴11 = (−1)</p><p>1+1 ⋅ 𝐷11 = 𝐷11</p><p>det𝑀 = 𝑎11 ⋅ 𝐷11</p><p>𝐷11 é o determinante de uma matriz parecida com a matriz inicial, porém, sem a primeira</p><p>linha e coluna. Podemos aplicar o teorema de Laplace na primeira linha das matrizes resultantes</p><p>e, assim, sucessivamente:</p><p>det𝑀 = 𝑎11 ⋅ 𝑎22 ⋅ 𝑎33 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑛𝑛</p><p>2.3.7. MATRIZ TRANSPOSTA</p><p>O determinante de uma matriz quadrada de ordem 𝑛 é igual ao determinante da sua</p><p>transposta:</p><p>det 𝐴 = det𝐴𝑡</p><p>Exemplo:</p><p>Seja 𝑀 = [</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>], temos 𝑀𝑡 = [</p><p>𝑎 𝑐</p><p>𝑏 𝑑</p><p>]. O determinante dessas matrizes é dado por:</p><p>det𝑀 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐</p><p>det𝑀𝑡 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = det𝑀</p><p>49</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>2.3.8. DECOMPOSIÇÃO EM SOMA</p><p>Se uma matriz for da seguinte forma:</p><p>𝐴 =</p><p>[</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑗 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑏3𝑗 + 𝑐3𝑗 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑏𝑛𝑗 + 𝑐𝑛𝑗 ⋯ 𝑎𝑛𝑛]</p><p>Podemos decompor o cálculo do seu determinante em duas outras:</p><p>det𝐴 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑗 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑏3𝑗 + 𝑐3𝑗 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑏𝑛𝑗 + 𝑐𝑛𝑗 ⋯ 𝑎𝑛𝑛</p><p>|</p><p>|</p><p>det𝐴 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑏1𝑗 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑏2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑏3𝑗 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑏𝑛𝑗 ⋯ 𝑎𝑛𝑛</p><p>|</p><p>|</p><p>+</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑐1𝑗 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑐2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑐3𝑗 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑐𝑛𝑗 ⋯ 𝑎𝑛𝑛</p><p>|</p><p>|</p><p>*Essa propriedade também é válida se tivermos uma linha que possa ser decomposta em</p><p>soma.</p><p>Demonstração:</p><p>det𝐴 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑗 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑏3𝑗 + 𝑐3𝑗 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑏𝑛𝑗 + 𝑐𝑛𝑗 ⋯ 𝑎𝑛𝑛</p><p>|</p><p>|</p><p>Vamos aplicar o teorema de Laplace na coluna 𝑗 da matriz 𝐴:</p><p>det 𝐴 = (𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑗) ⋅ 𝐴1𝑗 +⋯+ (𝑏𝑛𝑗 + 𝑐𝑛𝑗) ⋅ 𝐴𝑛𝑗</p><p>det𝐴 =</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑏1𝑗 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑏2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑏3𝑗 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑏𝑛𝑗 ⋯ 𝑎𝑛𝑛</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>det𝐴′</p><p>+</p><p>|</p><p>|</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑐1𝑗 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑐2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑐3𝑗 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑐𝑛𝑗 ⋯ 𝑎𝑛𝑛</p><p>|</p><p>|</p><p>⏟</p><p>det𝐴′′</p><p>Se aplicarmos o teorema de Laplace na coluna 𝑗 das matrizes 𝐴′ e 𝐴′′, encontramos:</p><p>det𝐴′ = (𝑏1𝑗) ⋅ 𝐴1𝑗 +⋯+ (𝑏𝑛𝑗) ⋅ 𝐴𝑛𝑗</p><p>det𝐴′′ = (𝑐1𝑗) ⋅ 𝐴1𝑗 +⋯+ (𝑐𝑛𝑗) ⋅ 𝐴𝑛𝑗</p><p>Assim, podemos ver que:</p><p>50</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det𝐴 = det 𝐴′ + det𝐴′′</p><p>Exemplos:</p><p>|</p><p>1 4 6</p><p>2 5 7</p><p>3 6 8</p><p>| = |</p><p>1 2 6</p><p>2 4 7</p><p>3 6 8</p><p>|+ |</p><p>1 2 6</p><p>2 1 7</p><p>3 0 8</p><p>|</p><p>|</p><p>1 4 6</p><p>2 5 7</p><p>3 6 8</p><p>| = |</p><p>1 4 6</p><p>1 2 6</p><p>3 6 8</p><p>|+ |</p><p>1 4 6</p><p>1 3 1</p><p>3 6 8</p><p>|</p><p>2.3.9. TEOREMA DE CAUCHY</p><p>O teorema de Cauchy afirma que a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer</p><p>de uma matriz 𝐴 pelos respectivos cofatores de uma fila paralela é igual a 0.</p><p>Vejamos sua aplicação. Seja a matriz 𝐴 de ordem 𝑛 representado abaixo:</p><p>Escolhendo-se os elementos da primeira linha e multiplicando-os pelos cofatores dos</p><p>elementos da última linha, ordenadamente, temos:</p><p>𝑎11 ⋅ 𝐴𝑛1 + 𝑎12 ⋅ 𝐴𝑛2 +⋯+ 𝑎1𝑛 ⋅ 𝐴𝑛𝑛 = 0</p><p>A soma algébrica acima é equivalente a calcular o determinante da seguinte matriz:</p><p>𝐴′ =</p><p>[</p><p>𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑗 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑎3𝑗 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑗 ⋯ 𝑎1𝑛]</p><p>Aplicando-se o teorema de Laplace na última linha, encontramos:</p><p>det𝐴′ = 𝑎11 ⋅ 𝐴𝑛1 + 𝑎12 ⋅ 𝐴𝑛2 +⋯+ 𝑎1𝑛 ⋅ 𝐴𝑛𝑛</p><p>Como temos duas filas paralelas iguais, o determinante de 𝐴′ é igual a zero:</p><p>det𝐴′ = 𝑎11 ⋅ 𝐴𝑛1 + 𝑎12 ⋅ 𝐴𝑛2 +⋯+ 𝑎1𝑛 ⋅ 𝐴𝑛𝑛 = 0</p><p>E, assim, verificamos o teorema de Cauchy.</p><p>2.3.10. TEOREMA DE JACOBI</p><p>Atenção neste teorema! Ele é muito usado para resolver as questões envolvendo</p><p>determinantes!</p><p>51</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>O teorema de Jacobi afirma que multiplicando-se uma fila de uma matriz por um número</p><p>qualquer e adicionando o resultado obtido a uma fila paralela qualquer, o valor do seu</p><p>determinante não se altera.</p><p>Exemplo:</p><p>Vamos calcular o valor do seguinte determinante:</p><p>det𝑀 = |</p><p>1 2 3 4</p><p>2 4 6 10</p><p>3 6 8 12</p><p>10 12 13 14</p><p>|</p><p>Pelo teorema de Jacobi, podemos multiplicar a primeira linha por (−2) e somá-la à</p><p>segunda linha:</p><p>|</p><p>1 2 3 4</p><p>2 − 1 ⋅ 2 4 − 2 ⋅ 2 6 − 3 ⋅ 2 10 − 4 ⋅ 2</p><p>3 6 8 12</p><p>10 12 13 14</p><p>| = |</p><p>1 2 3 4</p><p>0 0 0 2</p><p>3 6 8 12</p><p>10 12 13 14</p><p>|</p><p>Agora, vamos multiplicar a primeira linha por (−3) e somá-la à terceira linha:</p><p>|</p><p>1 2 3 4</p><p>0 0 0 2</p><p>0 0 −1 0</p><p>10 12 13 14</p><p>|</p><p>Usando o teorema de Laplace na terceira linha, encontramos:</p><p>det𝑀 = (−1) ⋅ 𝐴33</p><p>𝐴33 = (−1)</p><p>3+3 ⋅ |</p><p>1 2 4</p><p>0 0 2</p><p>10 12 14</p><p>| = 40 − 24 = 16</p><p>⇒ det𝑀 = −16</p><p>O teorema de Jacobi é muito útil para manipular as matrizes dos determinantes. Ele nos</p><p>permite simplificar o cálculo dos determinantes e também ajustar as matrizes de um modo que</p><p>possibilite aplicar outras propriedades dos determinantes.</p><p>52</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>2.3.11. TEOREMA DE BINET</p><p>O teorema de Binet diz que, para duas matrizes 𝐴 e 𝐵, quadradas e de mesma ordem, vale</p><p>det(𝐴 ∙ 𝐵) = det(𝐴) ∙ det(𝐵).</p><p>Exemplo:</p><p>Vamos testar o teorema de Binet com as matrizes 𝐴 e 𝐵.</p><p>𝐴 = [</p><p>1 3</p><p>−4 2</p><p>]</p><p>𝐵 = [</p><p>9 1</p><p>4 5</p><p>]</p><p>Temos que</p><p>det(𝐴) = | 1 3</p><p>−4 2</p><p>|</p><p>det(𝐴) = 1 ∙ 2 − 3 ∙ (−4)</p><p>det(𝐴) = 2 + 12</p><p>det(𝐴) = 14</p><p>det(𝐵) = |9 1</p><p>4 5</p><p>|</p><p>det(𝐵) = 9 ∙ 5 − 1 ∙ 4</p><p>det(𝐵) = 45 − 4</p><p>det(𝐵) = 41</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>1 3</p><p>−4 2</p><p>] ∙ [</p><p>9 1</p><p>4 5</p><p>]</p><p>Preparando as matrizes para o produto matricial.</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>1 3</p><p>−4 2</p><p>] ∙ [</p><p>9 1</p><p>4 5</p><p>]</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>1 ∙ 9 + 3 ∙ 4 1 ∙ 1 + 3 ∙ 5</p><p>(−4) ∙ 9 + 2 ∙ 4 (−4) ∙ 1 + 2 ∙ 5</p><p>]</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>9 + 12 1 + 15</p><p>−36 + 8 −4 + 10</p><p>]</p><p>𝐴 ∙ 𝐵 = [</p><p>21 16</p><p>−28 6</p><p>]</p><p>Então,</p><p>det(𝐴 ∙ 𝐵) = | 21 16</p><p>−28 6</p><p>|</p><p>det(𝐴 ∙ 𝐵) = 21 ∙ 6 − 16 ∙ (−28)</p><p>53</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det(𝐴 ∙ 𝐵) = 126 + 448</p><p>det(𝐴 ∙ 𝐵) = 574</p><p>Segundo o teorema de Binet, temos</p><p>det(𝐴 ∙ 𝐵) = det(𝐴) ∙ det(𝐵)</p><p>574 = 14 ∙ 41</p><p>574 = 574 → 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜</p><p>Confirmando a validade do teorema.</p><p>Consequência do teorema de Binet</p><p>Nós já vimos que</p><p>𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐼</p><p>Então,</p><p>det(𝐴 ∙ 𝐴−1) = det(𝐼) = 1</p><p>Pelo teorema de Binet, podemos dizer, também, que</p><p>det(𝐴 ∙ 𝐴−1) = det(𝐴) ∙ det(𝐴−1) = det(𝐼) = 1</p><p>Considerando apenas a parte destacada da equação.</p><p>det(𝐴) ∙ det(𝐴−1) = 1</p><p>Dividindo ambos os termos da equação por det(𝐴), temos.</p><p>det(𝐴) ∙ det(𝐴−1)</p><p>det(𝐴)</p><p>=</p><p>1</p><p>det(𝐴)</p><p>det(𝐴) ∙ det(𝐴−1)</p><p>det(𝐴)</p><p>=</p><p>1</p><p>det(𝐴)</p><p>det(𝐴−1) =</p><p>1</p><p>det(𝐴)</p><p>Que é uma relação importante no desenvolvimento de alguns exercícios.</p><p>det(𝐴−1) =</p><p>1</p><p>det(𝐴)</p><p>54</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>2.3.12. MATRIZ DE VANDERMONDE</p><p>A matriz de Vandermonde é toda matriz de ordem 𝑛 ≥ 2 do tipo:</p><p>[</p><p>1 1 1 ⋯ 1</p><p>𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>𝑎1</p><p>2 𝑎2</p><p>2 𝑎3</p><p>2 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>2</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎1</p><p>𝑛−1 𝑎2</p><p>𝑛−1 𝑎3</p><p>𝑛−1 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>𝑛−1]</p><p>Note que os elementos de cada coluna dessa matriz formam uma PG cujo primeiro termo</p><p>é 1.</p><p>Indicamos pela letra 𝑉 o determinante da matriz de Vandermonde. Esse valor é dado por:</p><p>𝑉(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) =∏(𝑎𝑖 − 𝑎𝑗)</p><p>𝑖>𝑗</p><p>O determinante 𝑉 é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos</p><p>característicos com a condição de que o índice 𝑖 seja maior que o índice 𝑗.</p><p>Demonstração:</p><p>Vamos provar pelo princípio da indução finita.</p><p>1º) Verificando a validade da propriedade para 𝑛 = 2:</p><p>𝐴 = [</p><p>1 1</p><p>𝑎1 𝑎2</p><p>] ⇒ det 𝐴 = 𝑎2 − 𝑎1</p><p>Logo, a propriedade é válida para 𝑛 = 2.</p><p>2º) Supondo que a propriedade seja verdadeira para matrizes de ordem 𝑛 − 1. Então,</p><p>devemos demonstrar que ela é verdadeira para matrizes de ordem 𝑛.</p><p>𝑉 =</p><p>|</p><p>|</p><p>1 1 1 ⋯ 1</p><p>𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>𝑎1</p><p>2 𝑎2</p><p>2 𝑎3</p><p>2 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>2</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎1</p><p>𝑛−1 𝑎2</p><p>𝑛−1 𝑎3</p><p>𝑛−1 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>𝑛−1</p><p>|</p><p>|</p><p>Vamos aplicar o teorema de Jacobi sucessivas vezes nas linhas do determinante da matriz:</p><p>55</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>|</p><p>|</p><p>1 1 1 ⋯ 1</p><p>0 𝑎2 − 𝑎1 𝑎3 − 𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 − 𝑎1</p><p>0 𝑎2</p><p>2 − 𝑎2𝑎1 𝑎3</p><p>2 − 𝑎3𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>2 − 𝑎𝑛𝑎1</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>0 𝑎2</p><p>𝑛−1 − 𝑎2</p><p>𝑛−2𝑎1 𝑎3</p><p>𝑛−1 − 𝑎3</p><p>𝑛−2𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>𝑛−1 − 𝑎𝑛</p><p>𝑛−2𝑎1</p><p>|</p><p>|</p><p>Aplicando o teorema de Laplace na primeira coluna, encontramos o seguinte</p><p>determinante:</p><p>|</p><p>𝑎2 − 𝑎1 𝑎3 − 𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 − 𝑎1</p><p>𝑎2(𝑎2 − 𝑎1) 𝑎3(𝑎3 − 𝑎1) ⋯ 𝑎𝑛(𝑎𝑛 − 𝑎1)</p><p>⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎2</p><p>𝑛−2(𝑎2 − 𝑎1) 𝑎3</p><p>𝑛−2(𝑎3 − 𝑎1) ⋯ 𝑎𝑛</p><p>𝑛−2(𝑎𝑛 − 𝑎1)</p><p>|</p><p>Note que cada coluna possui um fator comum, podemos colocá-los em evidência:</p><p>𝑉 = (𝑎2 − 𝑎1) ⋅ (𝑎3 − 𝑎1) ⋅ … ⋅ (𝑎𝑛 − 𝑎1) ⋅ |</p><p>1 1 ⋯ 1</p><p>𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎2</p><p>𝑛−2 𝑎3</p><p>𝑛−2 ⋯ 𝑎𝑛</p><p>𝑛−2</p><p>|</p><p>⏟</p><p>𝑉′</p><p>𝑉′ é o determinante da matriz de Vandermonde de ordem 𝑛 − 1, pela hipótese de indução,</p><p>temos:</p><p>𝑉′ =∏(𝑎𝑖 − 𝑎𝑗)</p><p>𝑖>𝑗</p><p>, para 𝑖, 𝑗 ∈ {2, 3,… , 𝑛}</p><p>Portanto:</p><p>𝑉 =∏(𝑎𝑖 − 𝑎𝑗)</p><p>𝑖>𝑗</p><p>, para 𝑖, 𝑗 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛}</p><p>A propriedade é válida para matrizes de ordem 𝑛 ≥ 2.</p><p>Vejamos um exemplo de questão em prova:</p><p>13. (ITA/2003) Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 números reais não-nulos. Exprima o valor do determinante</p><p>da matriz</p><p>56</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>[</p><p>𝑏𝑐𝑑 1 𝑎 𝑎2</p><p>𝑎𝑐𝑑 1 𝑏 𝑏2</p><p>𝑎𝑏𝑑 1 𝑐 𝑐2</p><p>𝑎𝑏𝑐 1 𝑑 𝑑2]</p><p>na forma de um produto de números reais.</p><p>Comentários</p><p>Note que se multiplicarmos a primeira, segunda, terceira e quarta linha por 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑,</p><p>respectivamente, obtemos o fator comum 𝑎𝑏𝑐𝑑 na primeira coluna:</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑</p><p>⋅</p><p>[</p><p>𝑏𝑐𝑑 1 𝑎 𝑎2</p><p>𝑎𝑐𝑑 1 𝑏 𝑏2</p><p>𝑎𝑏𝑑 1 𝑐 𝑐2</p><p>𝑎𝑏𝑐 1 𝑑 𝑑2]</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑</p><p>⋅ ||</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑎 𝑎2 𝑎3</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑏 𝑏2 𝑏3</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑐 𝑐2 𝑐3</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑑 𝑑2 𝑑3</p><p>|| =</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑</p><p>𝑎𝑏𝑐𝑑</p><p>||</p><p>1 𝑎 𝑎2 𝑎3</p><p>1 𝑏 𝑏2 𝑏3</p><p>1 𝑐 𝑐2 𝑐3</p><p>1 𝑑 𝑑2 𝑑3</p><p>||</p><p>⇒ |</p><p>1 𝑎 𝑎2 𝑎3</p><p>1 𝑏 𝑏2 𝑏3</p><p>1 𝑐 𝑐2 𝑐3</p><p>1 𝑑 𝑑2 𝑑3</p><p>|</p><p>Lembrando que o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua</p><p>transposta, podemos escrever:</p><p>||</p><p>1 𝑎 𝑎2 𝑎3</p><p>1 𝑏 𝑏2 𝑏3</p><p>1 𝑐 𝑐2 𝑐3</p><p>1 𝑑 𝑑2 𝑑3</p><p>|| = |</p><p>1 1 1 1</p><p>𝑎 𝑏 𝑐 𝑑</p><p>𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2</p><p>𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3</p><p>|</p><p>Assim, obtemos o determinante de uma matriz de Vandermonde, esse valor é dado por:</p><p>||</p><p>1 𝑎 𝑎2 𝑎3</p><p>1 𝑏 𝑏2 𝑏3</p><p>1 𝑐 𝑐2 𝑐3</p><p>1 𝑑 𝑑2 𝑑3</p><p>|| = (𝑑− 𝑐)(𝑑 − 𝑏)(𝑑 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏)(𝑐 − 𝑎)(𝑏 − 𝑎)</p><p>2.3.13. MATRIZES SEMELHANTES</p><p>Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes quadradas de ordem 𝑛. Dizemos que a matriz 𝐴 é semelhante à</p><p>matriz 𝐵 se, e somente se, existe uma matriz inversível 𝑃 tal que satisfaça a seguinte relação:</p><p>𝐴 = 𝑃−1𝐵𝑃</p><p>Se essa relação estiver escrita na prova, podemos afirmar que 𝐴 e 𝐵 são matrizes</p><p>semelhantes.</p><p>Vejamos o que acontece quando aplicamos o determinante nessa igualdade:</p><p>det 𝐴 = det(𝑃−1𝐵𝑃)</p><p>𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐵𝑖𝑛𝑒𝑡</p><p>⇒ det𝐴 = det𝑃−1 ⋅ det 𝐵 ⋅ det𝑃</p><p>Sabemos que det 𝑃−1 =</p><p>1</p><p>det𝑃</p><p>, substituindo essa identidade na igualdade acima, obtemos:</p><p>det 𝐴 =</p><p>1</p><p>det𝑃</p><p>⋅ det 𝐵 ⋅ det𝑃</p><p>57</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det𝐴 = det𝐵</p><p>Portanto, se 𝐴 e 𝐵 são matrizes semelhantes, os determinantes delas são iguais.</p><p>Outra informação interessante que podemos extrair é a seguinte:</p><p>Seja 𝜆 um número real e 𝐼 a matriz identidade de ordem 𝑛, usando as propriedades</p><p>matriciais e a definição de matriz inversa, podemos escrever:</p><p>𝜆𝐼 = 𝜆 (𝑃−1𝑃)⏟</p><p>𝐼</p><p>= 𝑃−1𝜆𝑃 (𝐼)</p><p>Vamos somar (𝐼) nos dois lados da seguinte igualdade:</p><p>𝐴 = 𝑃−1𝐵𝑃</p><p>+𝑃−1𝜆𝑃</p><p>⇒ 𝐴 + 𝑃−1𝜆𝑃⏟</p><p>𝜆𝐼</p><p>= 𝑃−1𝐵𝑃 + 𝑃−1𝜆𝑃 ⇒ 𝐴 + 𝜆𝐼 = 𝑃−1(𝐵𝑃 + 𝜆𝑃)</p><p>Lembrando que 𝜆 é um número real, para fatorar a expressão à direita, devemos escrever</p><p>𝜆𝐼:</p><p>⇒ 𝐴 + 𝜆𝐼 = 𝑃−1(𝐵 + 𝜆𝐼)𝑃</p><p>Agora, aplicando o determinante:</p><p>det(𝐴+ 𝜆𝐼) = det[𝑃−1(𝐵+ 𝜆𝐼)𝑃]</p><p>det(𝐴+ 𝜆𝐼) = det(𝐵+ 𝜆𝐼)</p><p>Veja um exemplo de questão em prova:</p><p>(ITA/2017)</p><p>Sejam 𝐷 = [</p><p>1 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 3</p><p>] e 𝑃 = [</p><p>7 0 2</p><p>0 1 0</p><p>2 0 5</p><p>].</p><p>Considere 𝐴 = 𝑃−1𝐷𝑃. O valor de 𝑑𝑒𝑡(𝐴2 + 𝐴) é</p><p>a) 144.</p><p>b) 180.</p><p>c) 240.</p><p>d) 324.</p><p>e) 360.</p><p>Comentários</p><p>Usando o Teorema de Binet, temos:</p><p>det(𝐴2 +𝐴) = det[𝐴(𝐴 + 𝐼)] = det𝐴 ⋅ det(𝐴 + 𝐼)</p><p>O enunciado da questão afirma que:</p><p>𝐴 = 𝑃−1𝐷𝑃</p><p>Aplicando o determinante:</p><p>det 𝐴 = det(𝑃−1𝐷𝑃) = det𝑃−1 ⋅ det𝐷 ⋅ det𝑃 = det𝐷</p><p>Para calcular o determinante de 𝐴 + 𝐼, vamos somar 𝐼 na identidade dada:</p><p>58</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>𝐴 + 𝐼 = 𝑃−1𝐷𝑃 + 𝐼⏟</p><p>𝑃−1𝑃</p><p>⇒ 𝐴 + 𝐼 = 𝑃−1𝐷𝑃 + 𝑃−1𝑃</p><p>𝐴 + 𝐼 = 𝑃−1(𝐷𝑃 + 𝑃) = 𝑃−1(𝐷 + 𝐼)𝑃 ⇒ det(𝐴 + 𝐼) = det(𝐷 + 𝐼)</p><p>Dessa forma, precisamos calcular o valor da seguinte expressão:</p><p>det(𝐴2 +𝐴) = det𝐴 ⋅ det(𝐴+ 𝐼) = det𝐷 ⋅ det(𝐷+ 𝐼)</p><p>Vamos calcular det𝐷:</p><p>det𝐷 = |</p><p>1 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 3</p><p>| = 6</p><p>det(𝐷+ 𝐼) = |</p><p>2 0 0</p><p>0 3 0</p><p>0 0 4</p><p>| = 24</p><p>Substituindo esses resultados na equação, obtemos:</p><p>det(𝐴2 +𝐴) = det𝐷 ⋅ det(𝐷+ 𝐼) = 6 ⋅ 24 = 144</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>2.4. REGRA DE CHIÓ</p><p>A regra de Chió é uma consequência do teorema de Jacobi. Ela permite reduzir a ordem de</p><p>um determinante de ordem 𝑛 ≥ 2 em uma unidade. Para usar a regra de Chió, a matriz deve</p><p>possuir 𝑎11 = 1. Vejamos sua definição.</p><p>Seja uma matriz 𝑀 de ordem 𝑛 ≥ 2 representada abaixo:</p><p>𝑀 =</p><p>[</p><p>1 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛</p><p>𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛]</p><p>Vamos calcular o determinante de 𝑀. Aplicando o teorema de Jacobi, temos:</p><p>59</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 12 – MATRIZES E DETERMINANTES</p><p>det𝑀 = |</p><p>|</p><p>1 0 0 ⋯ 0</p><p>𝑎21 𝑎22 − 𝑎21𝑎12 𝑎23 − 𝑎21𝑎13 ⋯ 𝑎2𝑛 − 𝑎21𝑎1𝑛</p><p>𝑎31 𝑎32 − 𝑎31𝑎12 𝑎33 − 𝑎31𝑎13 ⋯ 𝑎3𝑛 − 𝑎31𝑎1𝑛</p><p>⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 − 𝑎𝑛1𝑎12 𝑎𝑛3 − 𝑎𝑛1𝑎13 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 − 𝑎𝑛1𝑎1𝑛</p><p>|</p><p>|</p><p>Pelo teorema de Laplace na primeira linha, temos:</p><p>det𝑀′ = |</p><p>𝑎22 − 𝑎21𝑎12 𝑎23 − 𝑎21𝑎13 ⋯ 𝑎2𝑛 − 𝑎21𝑎1𝑛</p><p>𝑎32 − 𝑎31𝑎12 𝑎33 − 𝑎31𝑎13 ⋯ 𝑎3𝑛 − 𝑎31𝑎1𝑛</p><p>⋮ ⋮ ⋱ ⋮</p><p>𝑎𝑛2 − 𝑎𝑛1𝑎12 𝑎𝑛3 − 𝑎𝑛1𝑎13 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 − 𝑎𝑛1𝑎1𝑛</p><p>|</p><p>det𝑀′ é um determinante de ordem 𝑛 − 1. Essa é a regra de Chió.</p><p>Vamos ver na prática como aplicamos a regra de Chió. Seja 𝑀 a matriz abaixo:</p><p>𝑀 = [</p><p>1 2 3 4</p><p>3 5 8 10</p><p>2 −1 2 5</p><p>4 2 15 11</p><p>]</p><p>Como 𝑎11 = 1, podemos aplicar a regra de Chió para calcular det𝑀.</p><p>det𝑀 = |</p><p>5 − 3 ⋅ 2 8 − 3 ⋅ 3 10 − 3 ⋅ 4</p><p>−1 − 2 ⋅ 2 2 − 2 ⋅ 3 5 − 2 ⋅ 4</p>