Capítulo 4 - Pensamento Algébrico (1)

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<p>Capítulo 4 PENSAMENTO ALGÉBRICO Anna Paula de Avelar Brito Lima - UFRPE Barbara Lutaif Bianchini - PUC-SP Gabriel Loureiro de Lima - PUC-SP Introdução Neste capítulo, nosso olhar direciona-se ao campo algébrico, particularmente ao desenvolvimento do pensamento algébrico, bem como às relações entre esse desenvolvimento e o do pensamento matemático em um sentido mais amplo. Como explicitado no Prólogo, defendemos a ideia de que o aluno constrói cognitivamente estruturas que possibilitam a representação mental de um dado saber matemático e que, apenas a partir de tal construção é possível pensar matematicamente e, no caso do que tratamos neste capítulo, pensar algebricamente. Ao assumirmos essa ideia, para podermos defendê-la, algumas questões tornam-se imperativas. Se existe o que pode ser chamado de "pensamento isso significa dizer que, como todo pensamento, ele se constrói e é passível de desenvolvimento? No caso de resposta positiva a essa primeira questão, essa construção se dá de forma natural, espontânea, na medida em que o sujeito/aluno se depara com uma situação que remete ao saber algébrico? Ou para tal construção ser possível é necessário haver uma organização didática que permita a construção das estruturas de pensamento relacionadas à Álgebra?</p><p>o PENSAMENTO ainda mais nas reflexões argumentos, que acreditamos indagando: serem Existe essenciais Podemos para a construção de do nossos pensamento complexificando ou seja, ele se hierarquia na construção mais simples que vão se estabelece uma a partir de ideias mesma direção e de maneira uniforme; e, mais além, e sempre vindas, em estruturação uma e reestruturação? como Existem pré-requisito outras ou em idas necessárias que antecedem, funcionam afirmar construções do pensamento algebrico? Seria correto que é à construção desenvolvimento do pensamento aritmético, desenvolvimento objeto de preciso estar do capítulo o anterior, consolidado para haver o elo discussão do pensamento De maneira mais ampla, qual entre a Álgebra e a Aritmética? Somente após concluir o estudo da Aritmética, nos primeiros anos da Educação Básica, é que o indivíduo estará apto para iniciar o estudo da Álgebra? No âmbito das indagações de natureza didática, é possível identificar que a maneira como o currículo escolar é pensado pressupõe a existência de uma forma de pensar especial, oportunizada pelas ideias da o pensamento algébrico e a importância de seu desenvolvimento? Caso pressuponha, ele assume a ideia de hierarquia linear ou prevê que o processo, embora contínuo, não seja uniforme? Que situações de ensino podem ser promovidas para a construção do pensamento algébrico? Não temos a pretensão, neste capítulo, de responder a todas essas indagações; tampouco podemos afirmar haver uma resposta única e absoluta para elas. 0 que propomos aqui é um convite ao leitor para mergulhar conosco nesse universo de questões, em que talvez perceba algumas outras indagações delas não apontadas inicialmente, obtenha respostas questões que propusemos. e, perceba a necessidade de reformular para as conhecimento Acreditamos e de que um seja este o caminho para a do reflexões e buscar pensamento: partir de questões construção de defendemos neste várias décadas, para interlocuções que seja com possível as pesquisas realizadas que provoquem ao longo e pesquisamos há tanto tempo. argumentar Esse é o desafio e justificar que lançamos o que</p><p>Mas, enfim, de que Álgebra estamos falando? Muito provavelmente, ao se deparar com a questão que dá título para esta seção, você pode se questionar: Mas há mais de uma Álgebra? O que significa perguntar de que Álgebra estamos falando? Na realidade, essa questão está diretamente relacionada a outra igualmente pertinente: que é Álgebra? Dois dos autores do presente capítulo, Bianchini e Lima (2021), pontuam a dificuldade de responder, consensualmente, a essa indagação. Como destacam os educadores brasileiros Valdomiro Pinheiro Teixeira Junior e Marisa Rosâni Abreu da Silveira, [...] a resposta desta pergunta depende da experiência do usuário com esta palavra. Alguém que nunca viu essa palavra não terá noção alguma de qual seja a resposta, enquanto um estudante dos anos finais do Ensino Fundamental talvez diria que Álgebra é 'fazer contas com letras'; outro estudante, do Ensino Médio, talvez diria que Álgebra é 'resolver equação'; um professor de Matemática acrescentaria a esta resposta outros conteúdos, como função, polinômios, corpos, anéis etc. E assim a definição de Álgebra poderia se ampliar, segundo as visões de matemáticos, filósofos, educadores etc. (Teixeira Junior; Silveira, 2020, p. 30) Mas por quê, no papel de docentes, é importante termos clareza acerca de como responderíamos à questão O que é Álgebra? A relevância dessa compreensão reside no fato de que, como afirmam dois dos autores deste capítulo, Lima e Bianchini (2021), com subsídio das ideias da pesquisadora estadunidense Helen Doerr (2004) e dos investigadores Laurinda Brown e Jean-Philippe Drouhard (2004), respectivamente da Inglaterra e da França, a maneira como os professores ensinam Álgebra depende fortemente do que eles acreditam ser a Álgebra; as abordagens por eles propostas para as noções algébricas refletem suas concepções acerca desse domínio da Matemática, podendo, por exemplo, em vez de enfatizar aspectos conceituais, recorrendo a contextos significativos e a atividades visando o desenvolvimento de formas de pensar características da Álgebra, direcionar o foco para procedimentos, assumindo serem esses seus elementos centrais. Ao pensarmos sobre a Álgebra, podemos das perspectivas temporal e conceitual: Quando ela surge como um campo da Matemática? 77</p><p>Como se desenvolveu através dos como Quais saber as concepções Enveredar acerca da por Álgebra esse ao campo longo da significa sua constituição considerá-la em sua dimensão e epistemológica. Bianchini Lima (2021), a partir da análise Ensino de Superior produções (GT-04), do Grupo de Trabalho e Educação Brasileira Matemática de Educação no Matemática (SBEM), e do estabelecimento vinculado à Sociedade de um diálogo entre tais produções e outras aventadas de referência para Educação apresentam possibilidades por diferentes a autores para responder à questão que é o que sintetizamos no Quadro 1. Quadro 1 Diferentes entendimentos acerca do que é Álgebra parte 1. Fontes consultadas por Bianchini Entendimentos acerca do que é Álgebra e Lima (2021) [...] desde a Babilônia até meados da renascença, a Álgebra era um modo sofisticado de resolver problemas aritméticos, consistindo basicamente em resolver equações. [ .] A partir do século XVIII, passou a incorporar, além da resolução de equações, pela influência principalmente de matemáticos como Abel e Galois, as chamadas estruturas algébricas, como grupos, anéis, corpos, espaços vetoriais, e outros. (Retomando ideias dos pesquisadores brasileiros Dario Fiorentini, Maria Angela Miorin e Antonio Miguel [1993] acerca das diferentes leituras para a Álgebra e a respeito das diferentes concepções de Álgebra) Angela Marta Pereira das Dores Savioli Uma primeira leitura considera a Álgebra não só como Brasil (2009) várias divide culturas em tradicional e moderna; uma segunda como base entes a e se equações, mas como o de operações definidas sobre abstratos o estudo que de álgebra babilônica, à formação álgebra egípcia, dessa área entre de conhecimento e se contribuição refere a uma de nos estágios para o desenvolvimento da outras; uma terceira que se baseia aos notação símbolos algébrica; da linguagem uma quarta que se assegura na mais significação da períodos algébrica; uma de intra-operacional equações que é dada os métodos de abordagem da resolução quinta que tem como critério no desenvolvimento da o e que distingue três de método resolução particular para cada problema, o inter-operacional que buscava o de equações gerais de diversos graus e que buscava fórmulas um utilizava cálculo infinitesimal para resolução de equações o trans-operacional que 78</p><p>A concepção processológica, que concebe a Álgebra como um conjunto de procedimentos; a que aborda a Álgebra como uma linguagem específica; a que concebe a Álgebra como uma linguagem, contudo em sua dimensão e a que, [...] encara a Álgebra como a ciência das estruturas gerais comuns a todas as partes da incluindo a lógica. (Retomando ideias do pesquisador brasileiro Rômulo Lins e do espanhol Joaquim Gimenez [1997] a respeito das linhas de caracterização da atividade algébrica e da essência da Álgebra) Na primeira linha, a Álgebra é caracterizada pelo uso de notações e na segunda, pela presença de certos conteúdos, como, por exemplo, cálculo literal, equações, funções etc. A Álgebra é um caminho de pensamento, um caminho de interpretação e compreensão de situações do dia-a-dia. (Retomando ideias do pesquisador britânico David Pimm [1995]) A Álgebra é um pouco de forma e um pouco de transformação. (Retomando as ideias do pesquisador estadunidense Zalman Usiskin [1995] sobre diferentes concepções para a Álgebra) Pode-se conceber a Álgebra de quatro maneiras: como aritmética generalizada; como um estudo de procedimentos para solucionar determinados tipos de problemas; como o estudo de relações entre grandezas; como o estudo de estruturas, chamadas estruturas algébricas, como corpos, anéis grupos, espaços vetoriais, módulos e outros. (Visões dos professores entrevistados pelas autoras) As equações, e especialmente as equações algébricas, são a essência da Álgebra, uma vez que estiveram na gênese dessa área da Matemática. Fabiane Mondini e Ma- A Álgebra é o que está presente em praticamente todo o tipo de conhecimento ria Aparecida Viggiani Bicudo Brasil (2010) matemático. A Álgebra é a parte sintética da Matemática. Álgebra é Lógica, Aritmética, Teoria dos Conjuntos, estruturas algébricas e espaços Hans Freudenthal A Álgebra está atrelada à habilidade em descrever relações, aos Holanda (1977) procedimentos e às técnicas de resolver problemas a partir de tais relações. 79</p><p>pode ser caracterizada Cognitivas em termos (pensar, de alguns abstrair, invariantes imaginar), A nas Algebra seguintes Objetos categorias: Matemáticos Formas (quanto ideais, à natureza matrizes, determinantes, números, razão, vetor, dos estrutura, grupos, qualidade, função, modo de ser ao do magnitude polinômios quanto modo da construção relação quanto ao discreto e resgate), Formas de Expressão análise, e (conceitos, abstração, Verilda Kluth continuidade, de Organização Brasil (2004) de sincopada, conceitos, generalização, e Formas estruturas, estabelecimento de método e postulação). explicita o modo com que abordamos e lidamos com A Álgebra matemáticos, porém mais do que isto, ao explicitar ela pode recuperar e objetos estender conceitos de objetos matemáticos constituídos ou em As ideias relativas à Álgebra se desenvolveram sempre a partir de tentativas de tratar de uma maneira geral os processos de cálculo. Anna Sfard Israel A Álgebra é uma ciência dos cálculos generalizados. (1995) termo Álgebra diz respeito a qualquer tipo de empreendimento matemático relacionado a processos computacionais generalizados, quaisquer que sejam as ferramentas usadas para transmitir essa generalidade. A generalização é o coração da Álgebra e há outros dois elementos essenciais à Álgebra: a busca por padrões, passo essencial rumo ao estabelecimento de generalizações, e a introdução de alguma forma de simbolização para indicar uma quantidade desconhecida. (Retomando definição de Álgebra apresentada no dicionário Chambers) Lesley Jones Reino A Álgebra é um método de cálculo por símbolos por meio de letras Unido (1993) empregadas para representar quantidades e sinais para representar suas relações formando assim um tipo de aritmética generalizada. (Retomando a definição de Álgebra apresentada na enciclopédia Children's Brittanica) A Álgebra é o mais básico ramo da Matemática porque está relacionado com aquilo que é verdadeiro em todos os outros ramos desta ciência. Fonte: elaborado com base em Bianchini e Lima (2021). reflexões Em Lima e Bianchini (2021), há a continuidade de algumas das presentes em Bianchini e Lima (2021), com ideias acerca de 80</p><p>como caracterizar a Álgebra postuladas por pesquisadores aos quais não haviam feito menção, ao menos de maneira aprofundada, no trabalho anterior. Sintetizamos tais ideias no Quadro 2. Quadro 2 Diferentes entendimentos acerca do que é Álgebra parte 2. Fontes consultadas por Bianchini Entendimentos acerca do que é Álgebra e Lima (2021) Pensar a Álgebra, a partir de Diofanto, significa [...] pensar os conceitos algébricos conectados ao objeto número, enquanto Ao mesmo tempo, pensar a Álgebra a partir de Euclides significa pensá-la a partir de Anna Regina Lanner aspectos geométricos, como, por exemplo, a imagem e a figura. Pensar sobre de Moura e Maria do a Álgebra a partir do número e dos aspectos geométricos remete-nos a pensar Carmo e Sousa Brasil sobre os entes, as coisas. Pensar a Álgebra, a partir de significa pensá-la (2005) a partir da propriedade do número [...]. Permite-nos pensar em espécies e não mais em entes, em coisas. As espécies contêm número, a geometria e as propriedades do A natureza do pensamento de é bem diferente da natureza do pensamento de Diofanto. A lógica de Diofanto é numérica, enquanto que a lógica de Viète é de espécies; é o que permite que as diversas áreas do conhecimento façam da Álgebra uma ferramenta. (Retomando ideias do pesquisador irlandês William Rowan Hamilton [1835]) Michael Otte A Álgebra é considerada um Instrumento, ou uma Linguagem ou uma Alemanha (2009) Reflexão, assim como a facilidade de operação, ou expressão de simetria ou clareza de pensamento (o agir, o fazer ou o saber) é eminentemente apreciada e buscada por ela. A Álgebra é uma poderosa "ferramenta cognitiva" básica que contribui para a compreensão de abstrações em geral Mark Saul Estados Unidos (2001) A Álgebra pode ser vista como uma representação de generalizações na Aritmética e depois como um estudo de operações. (Retomando ideias do pesquisador australiano Eric Love [1986]) Carolyn Kieran (2004) A Álgebra diz respeito exatamente aos modos de pensamento que são essencialmente algébricos por exemplo, lidar com as quantidades ainda desconhecidas, inverter e reverter as operações, ver o geral no particular. Alain (pseudônimo de A Álgebra é uma espécie de máquina de raciocínio; você gira a manivela e Chartier) França obtém sem fadiga um resultado no qual o pensamento só chegaria com infinita (1932) dificuldade. 81</p><p>deve ser considerada como uma linguagem estudo sobre própria suas com regras, vendo A Algebra que demandam um Valdomiro Pinheiro Tei- similitudes e com outros jogos de linguagem si. como possibilidades de xeira Junior e Marisa suas e não como sua compreensão em Rosani Abreu da Sil- veira Brasil (2019) A é a expressão de abstração, generalização e até de da Matematica. universalização simbolos são objetos centrais na Álgebra e, conforme faz esta de perspectiva, este João Pedro da Ponte, Os da Matematica seria então definido pelo uso que sentido encarar uma linguagem Neusa Branco e Ana campo linguagem algébrica. Deste modo, faz trabalho Matos Portugal (2009) própria Álgebra - a como a manipulação dos simbolos e das expressões em (Retomando ideias do pesquisador francês Olry Terquem [1827]) Yves Chevallard Álgebra é a arte de executar em quaisquer quantidades, por meio de França (1984) signos gerais, todas as operações da Aritmética, e de representar, usando os mesmos signos, todas as relações entre essas quantidades. A Álgebra é síntese entre uma Matemática utilitária e de domínio mais concreto e a Matemática da abstração pura. É a síntese entre números e letras, que são os humanos mais poderosos, construídos ao longo da sua evolução histórica. A Álgebra é a síntese entre a possibilidade de gerar modelos gerais e de resolver problemas de um contexto específico. Ela é síntese, enfim, entre vários domínios matemáticos: aritmética, geometria, funções etc. (Retomando ideias do pesquisador canadense Louis Charbonneau Anna Paula de Avelar A Álgebra é justamente um caminho para manipular relações [...] existem Brito Menezes Brasil relações entre números, ou entre magnitudes, ou ainda entre números e letras, de (2006) forma que a Álgebra poderia ser compreendida como uma 'ciência das (Retomando ideias do pesquisador canadense Claude Janvier A Álgebra é uma ferramenta para poder estabelecer relações, gerar modelos, (Retomando ideias do pesquisador brasileiro Jorge da Rocha Falcão A como Álgebra tem natureza dual: como ferramenta de resolução de problemas objeto e que atualmente assina Anna Paula de Avelar Brito Lima. 82</p><p>No centro da Álgebra estão relações matemáticas abstratas, que tanto podem João Pedro da Ponte ser equações, inequações ou funções como podem ser outras estruturas Portugal (2006) definidas por operações ou relações entre conjuntos. (Retomando a definição de Álgebra apresentada pelo francês Jean le Rond d'Alembert na Encyclopédie) Kleyton Vinicyus Go- Álgebra é o método de realização do cálculo de toda sorte de quantidades doy e Douglas Gonçal- em geral, representadas por signos de abrangência universal. [...] A Álgebra ves Leite Brasil (2018) é, propriamente dizendo, o método de calcular quantidades indeterminadas, uma espécie de Aritmética por meio da qual calculam-se quantidades desconhecidas como se fossem conhecidas. A Álgebra é a ciência denominada Geometria Metafísica, em que as letras do alfabeto que são utilizadas podem significar linhas ou números, ou seja, podem abordar problemas geométricos ou aritméticos. (Retomando ideias do suíço Leonhard Euler [1840]) Circe Mary Silva da Silva Brasil (2009) A Álgebra pode ser entendida como a ciência que ensina como determinar quantidades desconhecidas por meio daquelas que são conhecidas. Jean-Paul Guichard A Álgebra é uma linguagem que nos permite resolver problemas por meio de França (2000) cálculos. James Kaput, Maria Blanton e Luis Moreno os dois primeiros A Álgebra é a aplicação de um agrupamento de linguagens de modelação dos Estados Unidos e dentro e fora da Matemática. o terceiro do México (2008) José Dilson Beserra Cavalcanti e Marcelo A Álgebra é um instrumento potencial para o estudo e desenvolvimento de Câmara dos Santos outras ciências e das tecnologias. Brasil (2010) Fonte: elaborado com base em Lima e Bianchini (2021). Em nossa concepção, analisando os diferentes entendimentos acerca do que é Álgebra, explicitados nos quadros 1 e 2, é possível perceber que eles não se mas se articulam e se complementam. Percebemos, assim, que as ideias podem ser agrupadas em torno das sete seguintes dimensões, não hierárquicas e profundamente articuladas, que, em nossa concepção, ao serem amalgamadas, caracterizam a Álgebra. Dimensão Cognitiva: engloba caminhos claros de pensamento (incluindo o pensar de maneira reversa), interpretação e compre- 83</p><p>ensão de situações do dia a dia, isto é, modos de pensamento essencialmente algébricos, visando agir, fazer ou Constitui-se como uma poderosa ferramenta cognitiva que contribui para a recuperação de ideias e conceitos, para estabelecimento e a compreensão de relações, generalizações, comprovações, análises, sínteses e abstrações em geral. Dimensão Linguística: engloba uma linguagem específica que nos permite resolver problemas por meio de cálculos. É composta pela síntese entre números e letras - tendo evoluído historicamente com as contribuições de diferentes culturas - com sintaxe, semântica e pragmática. Demanda estudo sobre suas regras, analisando suas similitudes com outros jogos de linguagem como possibilidades de comparação, e não como sua compreensão em si mesma. Dimensão Procedimental: engloba e procedimentos para resolver determinados tipos de equações e de problemas, incluindo os aritméticos. Tais procedimentos estão diretamente relacionados às operações com entes abstratos representados por signos de abrangência universal, à manipulação de tais signos e de expressões algébricas e ao cálculo de quantidades indeterminadas por meio daquelas que são conhecidas. Dimensão Relacional: engloba o estudo de relações entre grandezas, os procedimentos e as técnicas de resolver problemas, gerar modelos e operar a partir da percepção, descrição, representação e manipulação de tais relações, que podem ser entre números, magnitudes ou números e Dimensão Generalizadora: engloba qualquer tipo de empre- endimento matemático relacionado a processos computacionais generalizados, independentemente das ferramentas usadas para representar essa generalidade. Constitui-se como um método de cálculo por símbolos - conhecido como Aritmética Generalizada que emprega letras para representar quantidades e sinais para representar as relações entre elas, permitindo realizar, em quaisquer 84</p><p>quantidades, por meio de signos gerais, todas as operações da Aritmética. Dimensão Instrumental: engloba a essência instrumental da Álgebra como uma ferramenta para diversas áreas do conhecimento, evidenciando seu potencial para estudo e desenvolvimento de outras ciências e das tecnologias. Agrupa linguagens de modelação em contextos intra e extramatemáticos É síntese entre a Matemática utilitária de domínio mais concreto e a Matemática da abstração pura, articulando a possibilidade de elaborar modelos gerais e de resolver problemas de um contexto específico. Dimensão Integradora: engloba as estruturas gerais comuns a todas as partes da Matemática, que está presente em praticamente todo tipo de conhecimento matemático. Está relacionada com que é verdadeiro em todos os outros ramos dessa ciência. Pode ser entendida como a expressão máxima de abstração, generalização e até de universalização da Matemática, uma vez que possibilita recuperar e estender conceitos de objetos matemáticos constituídos ou em construção. É a síntese, enfim, entre vários domínios matemáticos: Aritmética, Geometria, Cálculo etc. Além de considerar a Álgebra sob a dimensão histórica e epistemológica, é possível considerá-la no âmbito curricular e voltar nossa discussão para a Álgebra escolar: Quando se deve introduzir a Álgebra na sala de aula? O que deve ser ensinado? Quais as orientações curriculares, no sentido de definir uma hierarquia de conteúdos distribuídos ao longo dos anos escolares? Em relação a este aspecto, a pesquisadora brasileira Auriluci de Carvalho Figueiredo, em sua tese, defendida em 2007, assume como premissa, subsidiada pelas considerações da pesquisadora estadunidense Alba Thompson (1997) e de Ponte (1992), a ideia de que as concepções dos professores acerca da Matemática e suas diferentes áreas como a Álgebra desempenham um papel importante em suas decisões e comportamentos durante suas práticas e no quão eficientes são como mediadores primários entre o conteúdo e os estudantes. O termo concepção é empregado neste estudo na acepção da educadora matemática brasileira Helena Noronha Cury para fazer referência à 85</p><p>filosofia o mundo, sendo tais concepções, portanto, como destaca Ponte particular de um docente ao conceber ideias e, a partir (1992), citado por essencialmente cognitiva e que condicionam interpretar Figueiredo (2007), "marcos organizadores de conceitos com natureza a forma como enfrentam as tarefas" (p. 40). No intuito de compreender as concepções de educadores acerca da Álgebra, Figueiredo (2007) menciona, entre outros, os estudos da pesquisadora canadense Leslie Lee (1997; 2001) que, durante quatro meio de entrevistas com matemáticos, professores, estudantes anos, educadores por matemáticos, convidados a responder à questão que é e buscou explicitar as concepções desses sujeitos com foco na Álgebra Escolar. Conforme destaca Figueiredo (2007), Lee identificou as visões acerca da Álgebra Escolar como: linguagem, caminho de pensamento, atividade, ferramenta, generalização da Aritmética e cultura. Cada uma dessas visões vincula-se a uma abordagem com foco diferente para a Álgebra na Educação Básica, como indica Quadro 3, elaborado com base no que apresenta Figueiredo (2007), especialmente acerca da ideia de Álgebra como atividade, a partir do que pontua 0 pesquisador estadunidense Jason Deal (2015). Quadro 3 Diferentes concepções de Álgebra Escolar e suas implicações no ensino. Concepção de Álgebra dadas no ensino Escolar Linguagem Desenvolvimento por meio de exercícios, oportunizando a evolução da linguagem da Álgebra elementar, da comunicação em uma linguagem Caminho de Desenvolvimento por meio de exercícios envolvendo questões de raciocínio sobre Pensamento padrões e exigindo o controle mental do desconhecido a partir da mobilização do pensamento reverso, de formas de pensar sobre relações em vez de objetos matemáticos. Realização de atividades algébricas, tais como: (i) a criação de expressões e de equações para representar uma situação, generalizar um padrão ou expressar uma regra numérica; (ii) a manipulação de expressões e equações previamente obtidas, incluindo os passos de simplificação de expressões -como agrupar termos semelhantes ou fatorar e de Atividade resolução de equações, como realizar operações em ambos os membros de uma equação e substituir expressões ou números por uma variável; (iii) a resolução de problemas, a modelagem, o trabalho com generalização de justificativas, provas, previsões e conjecturas, o estudo das mudanças em situações funcionais e a busca por relações ou estruturas. em exercícios que envolvam modelagem matemática e pensamentos sobre relações matemáticas em vez de objetos 86</p><p>Resolução de problemas objetivando transmitir e transformar mensagens, por meio da modelagem de situações, seja no âmbito da própria Matemática ou a serviço de outras Ferramenta ciências. Desenvolvimento de três diferentes visões para a Álgebra: generalização dos números; Generalização estudo das estruturas da Aritmética e estudo de expressões simbólicas com letras, sem da enfatizar significado desses símbolos. Uma vez que a ideia de cultura incorpora valores, crenças, práticas, tradições históricas e os processos de suas transmissões, a ênfase está em atividades nas quais, a partir da mobilização das ferramentas da Álgebra e utilizando a linguagem algébrica como Cultura forma de comunicação, uma maneira de pensar específica é desenvolvida (o chamado pensamento algébrico), geralmente em uma visão histórica que entrelaça a Álgebra com a Fonte: elaborado com base em Figueiredo (2007) e Deal (2015). Como pontuam Lima e Bianchini (2021), apoiados na ideia de Álgebra como cultura explicitada por Lee (1997; 2021), Kaput, Blanton e Moreno (2008) sinalizam a possibilidade de a Álgebra ser entendida como um artefato cultural, ou seja, "algo recebido como parte de nossa herança cultural e que está inserido nos sistemas educacionais de diferentes países de forma consonante às culturas específicas de cada um desses locais" (Lima; Bianchini, 2021, p. 15). Dessa forma, conforme enfatizam as pesquisadoras australianas Margaret Kendal e Kaye Stacey (2004), também referenciadas por Lima e Bianchini (2021, p. 15-16), é de "se esperar que os currículos de Álgebra de diferentes países interpretem esse campo de conhecimento de maneira articulada às suas culturas escolares". Mais ainda, a nosso ver, embora possivelmente com menor impacto do que o desejado, os resultados das pesquisas acadêmicas também se refletem, de alguma forma, nas propostas curriculares de determinada época. No caso brasileiro, atualmente, a orientação curricular em vigor é a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), homologada em 2017 e publicada em 2018. Nesse documento, percebe-se, de maneira explícita, ainda que este termo não seja citado, a influência do movimento denominado Early Algebra, por meio do qual se postula que, diferentemente do proposto no ensino tradicional da Álgebra, com início normalmente por volta dos 12 anos de idade, certos tipos de atividades algébricas devem ser exploradas desde os primeiros anos da criança na escola, com foco no desenvolvimento de um modo de pensar 87</p><p>de pensamento específico, que se discutido convencionou neste capítulo. chamar Além de recomendar termo início cuidadosamente do trabalho com as ideias da Álgebra, movimento da Early precoce Algebra impulsionou uma mudança sutil na de uma caracterização tradicional centrada [...] no conteúdo de Álgebra para os processos de raciocínio matemático e representações, que pareceriam mais apropriados para crianças pequenas, bem como para a natureza das primeiras atividades algébricas que poderiam promover o desenvolvimento desses processos e representações. Alguns dos focos principais (de atenção da Early Algebra) são: (i) generalização relacionada à atividade com padrões, (ii) generalização relacionada às propriedades das operações e às estruturas numéricas, (iii) representação de relações entre quantidades e (iv) iniciação à notação alfanumérica (Kieran et al., 2016, p. 4-5). Neste capítulo, defendemos que redirecionamento da abordagem da Álgebra tendo em vista o que preconiza o movimento da Early Algebra e, consequentemente, a no desenvolvimento do pensamento algébrico, requerem uma maior atenção, em especial, nos primeiros anos de escolaridade, ao que denominamos anteriormente de dimensão cognitiva da Cabe destacar, ainda no que tange à organização curricular e à dimensão cognitiva da Álgebra, que a proposição do pesquisador suíço Jean Piaget (1982) acerca das fases do desenvolvimento cognitivo inspirou, em certa medida, a hierarquização do currículo de Matemática. Uma vez que Piaget propõe que o pensamento operatório concreto se estende dos 6-7 anos até os 11-12 anos e que o pensamento operatório formal se estrutura a partir dos 11-12 anos em diante, alguns pesquisadores e educadores entenderam que a Aritmética estaria relacionada ao ao pensamento concreto: a Matemática dos números e operações; e a Álgebra pensamento formal: a Matemática dos símbolos e relações. Tal associação, entre a proposição teórica de Piaget organização algum, do currículo de parece não considerar que, e a em momento até Piaget sugeriu que houvesse priorização do concreto ao formal, mundo. porque isso seria impossível em relação às experiências do indivíduo no mundo que o circunda é, fundamentalmente, permeado 88</p><p>por objetos formais, por figuras tridimensionais, por situações que implicam a necessidade de abstrair, de levantar hipóteses, claramente atividades relacionadas ao pensamento formal. Ao contrário, é justamente a exposição do sujeito a um mundo que lhe impõe desafios cada vez mais sofisticados que possibilita O surgimento de conflitos cognitivos. Esses conflitos, por sua vez, desequilibram a estrutura cognitiva e exigem do indivíduo superação para construir novos conhecimentos e atingir um equilíbrio superior e mais sofisticado do que o existente antes da situação de conflito. Nesse sentido, preconizar o desenvolvimento do pensamento algébrico desde os primeiros anos de escolaridade não se contrapõe às ideias de Piaget, se estas não forem interpretadas de maneira enviesada, no sentido de associar a Aritmética estritamente ao pensamento concreto e a Álgebra exclusivamente ao pensamento formal. Evidentemente, ao ratificar a importância do desenvolvimento dos modos de pensar característicos da Álgebra desde as mais tenras idades, de forma alguma está se propondo apresentar a uma criança da Educação Infantil ou dos anos iniciais do Ensino Fundamental o formalismo inerente à Álgebra, mas sim às ideias que possibilitarão desenvolvimento gradual, progressivo e natural rumo à elaboração de estruturas cognitivas que permitirão, nos momentos adequados para isso, a compreensão e o emprego com significado da linguagem algébrica e de todos os aspectos a ela vinculados. Como detalhadamente discutido no Capítulo 13, já na Educação Infantil, ao oportunizar, conforme preconiza a BNCC (Brasil, 2018), que as crianças descubram propriedades de objetos e comparem semelhanças e diferenças existentes entre eles e os classifiquem; que vivenciem diversos ritmos, velocidades e fluxos em diferentes situações, tais como brincadeiras, danças, balanços etc.; que identifiquem e criem diferentes sons e reconheçam rimas e aliterações em cantigas de roda e textos poéticos; entre outras habilidades a serem desenvolvidas, aspectos essenciais do pensamento algébrico, como a observação de padrões e regularidades, poderão começar a ser construídos pelas crianças, mesmo Piaget nomeou indivíduo que "conhece o mundo" ao explorá-lo, ao interagir com ele. Sujeito cognoscente significa sujeito do conhecimento. 89</p><p>que sem o formalismo que caracteriza a abordagem da Álgebra em níveis educacionais mais avançados. Ainda no que tange à Álgebra escolar, no nosso entendimento estudantes, ao trabalho com procedimentos (dimensão tradicionalmente, ela tem sido muito associada, por professores simbologia e regras de operações com símbolos (dimensão linguistica e com o seu caráter utilitário na própria Matemática e em outras ciências (dimensão instrumental). Não há como negar a importância de se trabalhar com tais dimensões: no entanto, em nossa concepção, se, nos primeiros anos da Educação Básica, o foco estiver especialmente na dimensão cognitiva da isto é, no desenvolvimento pela criança de uma forma de pensar característica desse campo de conhecimento, mas com reflexos nas demais áreas da Matemática e em outros domínios, as três outras dimensões citadas no parágrafo anterior poderão ter maior significado para os e outras, tão importantes quanto essas, poderão ser abordadas de maneira mais natural, a saber: as dimensões relacional, generalizadora e integradora. Para um redirecionamento da abordagem tradicional da Álgebra, de modo a conceder maior à sua dimensão cognitiva e, consequentemente, ao desenvolvimento do pensamento algébrico, é necessário, como ratificam Lima e Bianchini (2022, p. 11), repensar na relação entre Aritmética e Álgebra, "dois campos da Matemática que, muitas vezes, no ensino são trabalhados de maneira desconectada, mas que são interligados". Como afirmam os autores, a partir de diferentes fontes, uma separação não natural entre esses campos de conhecimento "dificulta aos estudantes tanto a construção de diferentes formas de pensamento a respeito da Matemática trabalhada na escolaridade inicial, quanto a aprendizagem de em níveis subsequentes" (Lima; Bianchini, 2022, p. 11). Diferentes formas de conceber os vínculos entre Aritmética e Álgebra são apresentadas na próxima seção, como subsídio para o posterior detalhamento do que se entende por pensamento algébrico.</p><p>Aritmética e Álgebra: uma articulação necessária A articulação entre Aritmética e Álgebra é um debate que permeia cenário da Educação Matemática desde a década de 1980. O pesquisador francês Gérard Vergnaud foi um dos pesquisadores que inaugurou essa discussão, especialmente por meio de trabalhos em parceria com os também pesquisadores franceses Anibal Cortés (Vergnaud; Cortés, 1986) e Nelly Kavafian (Cortés; Vergnaud; Kavafian, 1990). Embora os estudos mais conhecidos de Vergnaud sejam os de proposição das estruturas aditivas e multiplicativas, esse pesquisador se interessou também pelo ensino e pela aprendizagem da Álgebra. Vergnaud inicia suas reflexões com debate acerca do que, na esfera da Educação Matemática, tornou-se conhecido como "passagem da Aritmética para a Álgebra", debate fecundo na década de 1980 e ainda bastante atual. Naquele momento (e ainda hoje), não existia um consenso acerca do que caracterizava tal "passagem": ruptura ou continuidade. Mais adiante, em meados da década de 1980 e década de 1990, começaram a surgir estudos que, para além da ideia de ruptura versus continuidade, discutiam se a Álgebra poderia ser trabalhada concomitantemente com a Aritmética ou se havia, necessariamente, uma hierarquização: primeiro, deve-se aprender Aritmética e apenas após a consolidação dos conceitos dessa área, a Álgebra deve ser introduzida (o que parecia ser a posição adotada nos currículos no Brasil e em outros países à época). Inúmeros pesquisadores fomentaram esse debate, defendendo uma ou outra posição, marcando uma das discussões mais duradouras e profícuas sobre ensino e a aprendizagem da Álgebra. Kieran (1992, 2016); Usiskin (1995); Eugenio Filloy (pesquisador da República Dominicana), Teresa Rojano (do México) e Armando Solares (também mexicano) (2004); Lesley Booth (da Inglaterra) (1995); Joanne Mulligan (da e Vergnaud (2006); Lins e Gimenez (1997); Analúcia Schliemann (do Brasil), David Carraher (da Inglaterra) e Barbara Brizuela (dos Estados Unidos) (2006); Carraher, Schliemann e Judah L. Schwartz (dos Estados Unidos) (2008), debruçaram-se sobre tais questões que continuam atuais e há décadas promovem importantes debates em encontros internacionais que reúnem grandes pesquisadores em Educação Matemática e, particularmente, em 91</p><p>Educação Algébrica, como PME (Psychology of Mathematics Education) e ICME (International Congress of Mathematics Education). O que Vergnaud e Cortés (1986) propunham era a ideia de que, do ponto de vista epistemológico, haveria uma ruptura entre e Álgebra. Eles apontaram alguns elementos que a caracterizavam e que, em suas visões, precisavam ser considerados no ensino. Todavia, a ruptura por eles apontada não implicava a defesa de que deveria haver prioridade da Aritmética em relação à Álgebra no currículo, mas que no campo epistêmico havia uma potente distinção. primeiro elemento destacado pelos autores citados é a ideia de que em Aritmética pensa-se na Matemática como O campo dos números e suas operações. A introdução das letras para representar as quantidades desconhecidas (e que se deseja conhecer, descobrir) marcaria a primeira ruptura. A partir da proposição da letra representando valor que deverá ser descoberto (no sentido exato da palavra, pois a letra "encobriria" número), deriva a ideia de que sinal de igualdade muda de papel em relação a como ele era comumente trabalhado em Em uma operação aritmética, considerando como as operações e problemas eram (e continuam sendo, em certa medida) trabalhados na sala de aula, sinal de igualdade era percebido como "operador", devendo ser indicado, após sinal, resultado da operação que havia acontecido no primeiro membro. Por exemplo, na expressão 2 + 3 = 5, o sinal de igualdade representa comando "opere", e que, imediatamente após esse sinal, deve ser apresentado resultado da operação, isto é, que ao adicionar 2 e 3, a soma é 5. No campo algébrico, sinal de igualdade, por sua vez, precisa assumir papel de indicador de equivalência, ou seja, o que está no primeiro membro da equação equivale numericamente ao que está no segundo membro. Tal entendimento é imprescindível para, por exemplo, a compreensão da manipulação de quantidades (inclusive de incógnitas), cujo enunciado seria: "se eu tenho a mesma quantidade em ambos os membros da igualdade, é possível retirar quantidades iguais de ambos os membros sem alterar a igualdade". princípio da manipulação de quantidades/incógnitas é, então, que justifica a técnica de transposição 92</p><p>de um membro da igualdade para O outro, utilizando-se a operação inversa. Ainda de forma vinculada à concepção do sinal de igualdade como operador, esperava-se, em Aritmética, que após O sinal (=) aparecesse apenas um numeral (2 + 3 = 5). Entretanto, alguns estudos, conforme discutido pela primeira autora deste capítulo em Brito Lima (1996), revelavam que caso O professor optasse por apresentar a sentença invertendo a ordem dos membros, ou seja, 5 = 2 + 3, os estudantes afirmavam que a sentença estava errada, porque após sinal de igualdade deveria aparecer apenas um numeral. Embora não deixemos de refletir sobre a ideia de ruptura epistemológica entre Aritmética e Álgebra, proposta por Vergnaud, acreditamos haver, em função de como O currículo é organizado, uma ruptura didática, uma vez que muitas das noções trabalhadas em sala de aula, precisam ser reestruturadas quando O aluno passa a trabalhar com o domínio algébrico. Cabe antecipar brevemente algo que discutiremos mais adiante: se defendemos ensino de Álgebra de forma concomitante com o de Aritmética, ou seja, ainda nos anos iniciais da Educação Básica, propor situações em que os estudantes comecem a se deparar com conceitos e noções relacionados à Álgebra (por exemplo, o status do sinal de igualdade), possivelmente suprimiremos a ideia de ruptura didática evidenciada no currículo. Em relação aos problemas em linguagem natural, estudos como dos pesquisadores Enrique de Castro Martínez, Luis Rico Romero e Francisco Gil Cuadra (1992) e Vergnaud (2011) apontam que naqueles envolvendo operações aritméticas é comum considerar que o enunciado traz as pistas relativas à operação que deve ser realizada. Quando um problema traz palavras como "ganhou", "comprou", "juntou", deve ser realizada a adição. Em contrapartida, palavras como "perdeu", "deu" sugerem que deve ser realizada a subtração. Se considerarmos que teorizou Vergnaud (2011) acerca das estruturas aditivas e das diferentes possibilidades de apresentação de um problema em linguagem natural, a ideia de pistas no enunciado poderia conduzir o estudante ao erro. A expressão "ganhou", que pode ser entendida como uma pista para a realização da adição, dependendo do enunciado do 93</p><p>problema, pode exigir a subtração. Esse pesquisador exemplifica com a seguinte situação: Joana acaba de ganhar R$ de sua agora, ela tem R$ Quantos reais ela tinha antes de receber esse presente de sua Vergnaud discute ainda que em um problema por sua não existem pistas diretas a serem seguidas no enunciado. É necessário o estudante estabeleça uma relação entre os dados do de forma que a propor uma equação cuja resolução permite descobrir o valor desconhecido. A passagem do problema em linguagem natural para a linguagem (equação) precisa garantir que, embora se trate de registros linguísticos diferentes, a equação traduza enunciado do problema em linguagem matemática. Toda a discussão que travamos até agora alimentou o debate já existente sobre ruptura versus continuidade na "passagem da à Álgebra". Os que defendiam a ideia de continuidade tratavam a Álgebra como Aritmética generalizada, enfatizando, consequentemente, a dimensão generalizadora mencionada antes. Para esses pesquisadores, a mesma lógica e operações realizadas na Aritmética eram aplicadas na Álgebra, havendo, obviamente, uma maior elaboração nos procedimentos, algoritmos, técnicas, em função da presença da incógnita. Segundo os defensores dessa ideia de continuidade, seria desejável haver uma consolidação do campo aritmético antes da introdução à Álgebra. Para além da polarização entre ruptura e continuidade, grupos de pesquisadores, como é o caso da canadense Nadine Bednarz em parceria com Kieran e Lee (1996), e de Schliemann, Carraher e Brizuela (2006), passaram a defender a ideia de que seria possível e desejável que estudante fosse apresentado aos conceitos e às noções iniciais da Álgebra quando ainda estivesse imerso na Aritmética. Foi cunhado, então, ainda na década de 1980, o termo Pré- Álgebra (Kieran, 2016), sugerindo que atividades envolvendo quantidades desconhecidas a serem descobertas, mudança no status do sinal de igualdade, utilização de símbolos não numéricos, entre outras, já poderiam ser realizadas anteriormente ao que propunha o currículo de Matemática. Essa ideia avançou para a década de 1990 e anos 2000, e, como salientam Carraher, Schliemann e Shwartz (2008) e o pesquisador 94</p><p>estadunidense Alan Schoenfeld (2017), em substituição ao termo Pré- Álgebra, adotou-se a expressão Early Algebra, no intuito de explicitar que a proposta não era trabalhar com elementos não algébricos que forneceriam aos estudantes pré-requisitos para o futuro trabalho com a Álgebra, mas sim oportunizar às crianças um primeiro contato com as noções algébricas e, consequentemente, favorecer desenvolvimento do Pensamento Algébrico. Carraher, Schliemann e Schwartz (2008) travam uma importante discussão a esse respeito, estabelecendo um trocadilho ao propor que Early Algebra não é o mesmo que Algebra Early. Para esses autores, Early Algebra não significa propor o ensino de Álgebra mais cedo, com suas notações e com todo o formalismo a esse campo associado. Em vez disso, refere-se a propor atividades que possibilitem o desenvolvimento do pensamento algébrico, da capacidade de compreender as raízes da Álgebra, no sentido de entender quais as noções que a ela estão relacionadas, a partir de situações-problema em que os estudantes das mais tenras idades se deparem com questões que apontem para a necessidade de estabelecer relações, de trabalhar com quantidades desconhecidas e outras noções que temos tratado ao longo deste capítulo. Finalizamos esta seção pontuando que, a nosso ver, não se deve considerar a existência de uma "passagem da Aritmética para a Álgebra". Entendemos que, na realidade, a Aritmética é parte da Álgebra, ideia compartilhada pela pesquisadora portuguesa Maria Teresa Pimentel Cardoso (2010) que, por sua vez, subsidia-se nas visões de Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), como destacam Lima e Bianchini (2022) ao tecer comentários acerca das percepções dos mencionados autores. Esses últimos autores observam: Também sobre a relação existente entre Aritmética e Álgebra, Cardoso (2010, p. 108), com base nas considerações de Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), ressalta que há ideias, técnicas e representações comuns a estes campos e que a alternativa ao que em geral é feito, é conceber a como parte da designadamente a que lida com sistemas de numeração, a reta numérica, funções simples etc'. Ainda adotando como premissas as ideias de Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), Cardoso (2010, p. 130) salienta que 'a abordagem da nos 95</p><p>anos deve assentar numa visão da aritmética como como parte da primeiros os factos aritméticos são encarados instâncias ideias em mais que gerais e na exploração e generalização de padrões 11). que permitam de interpretações (Lima; Bianchini, 2022, p. Finalizadas as reflexões, sob diferentes pontos de vista, acerca da relação existente entre a Aritmética e a Álgebra e suas possíveis implicações pedagógicas, passamos a tecer comentários a respeito especificamente da noção de pensamento algébrico. o que é, então, Pensamento Algébrico e qual a relação entre que foi discutido até agora com O seu desenvolvimento? Nas discussões que antecederam esta seção, apresentamos questões que pretendemos, a partir de agora, retomar, aprofundando algumas O que, no nosso entendimento, torna esse debate profícuo e faz com que, por várias décadas, ele continue evidente é justamente a existência de visões distintas, de argumentos fundamentados e de interlocuções possíveis decorrentes de tantos pontos de vista. Dos elementos que trouxemos para o cenário da nossa discussão, alguns são fundamentais para naquilo que acreditamos caracterizar pensamento algébrico e seu desenvolvimento. Adentramos, agora, esse universo de ideias, indicando que os principais autores defendem e qual é a nossa concepção. Sempre que possível, optamos por estabelecer uma relação com que acontece no campo da Aritmética, apontando para a distinção e/ou proximidade entre os dois campos. Algumas das ideias que retomamos foram contempladas nos Quadros 1 e 2, mas aqui pretendemos discuti-las relacionando-as com aspectos específicos da sala de aula. 1. A Álgebra como um campo da em que é necessário desconhecido. operar com números e letras, com a finalidade de descobrir o valor conhecido. Uma primeira ideia que o estudante constrói ou é um a de que ela Em Álgebra, a letra é nomeada como seja, valor não 96</p><p>esconde o número, encobre-o, e que seu papel é de descobrir, tirar a letra da frente do número que se oculta por trás dela. Se pensarmos no campo da também há algo a ser descoberto: o resultado da operação. O que diferencia, então, a "descoberta" em Aritmética e em Álgebra? O primeiro elemento que podemos apontar é que em Aritmética esse resultado é obtido por meio de uma operação direta com os números envolvidos, operação essa indicada por um sinal (+, -, X, :). Ao final, o que é descoberto é resultado da operação matemática realizada. foco está, então, na operação em si, no domínio do algoritmo de adição, subtração, multiplicação ou divisão. No caso de a operação não ser indicada de partida, mas estar no contexto de um problema, caberá ao estudante buscar as pistas deixadas no enunciado (conforme já mencionamos), identificar qual a operação a ser realizada, desenvolver o algoritmo relacionado operação e descobrir o resultado. Em Álgebra, essa descoberta se estrutura de forma diferente. O foco não está na operação em si, mas no estabelecimento de relações entre os dados do problema, na proposição de uma representação do problema em linguagem algébrica e na possibilidade de operar, seguindo um conjunto de procedimentos, com números e letras, de modo que seja possível descobrir o valor da incógnita. As ideias apresentadas nos dois parágrafos anteriores estão diretamente relacionadas ao que, na visão do pesquisador guatemalteca Luis Radford (2011), conforme apresentado pelos investigadores brasileiros Jadilson Ramos de Almeida e Marcelo Câmara dos Santos (2017), diferencia o pensamento aritmético (abordado no capítulo anterior) do pensamento algébrico: enquanto ao pensar aritmeticamente [...] lidamos com quantidades conhecidas, no pensamento algébrico lidamos com quantidades indeterminadas de uma maneira analítica, ou seja, tratamos quantidades desconhecidas (por exemplo, incógnitas ou variáveis) como se fossem conhecidas e realizamos cálculos com elas como fazemos na Aritmética, com os valores conhecidos (Almeida; Santos, 2017, p. 46). Uma vez que há uma clara distinção entre a descoberta de um dado valor em Aritmética e em Álgebra, não nos parece fazer sentido 97</p><p>pensar que primeiro seria necessário desenvolver Ao essa contrário, ideia na apenas depois desenvolvê-la na Álgebra. possibilitaria defendemos para trabalhar concomitantemente com esses campos uma ampliação que no repertório do estudante que, por exemplo, passaria a compreender a resolução de um problema aritmético não apenas como "fazer contas para encontrar o resultado", mas também como uma maneira de estabelecer relações entre os dados do problema e ampliar sentido do sinal de igualdade. Se um pouco mais nessa direção, podemos pensar que algumas situações propostas no âmbito da Aritmética já apontam na direção da ampliação do repertório algébrico. Problemas que trazem a figura de um pequeno quadrado no lugar de um dos números é um exemplo. Pensemos na seguinte situação: 8 + = 13. Essa atividade situa-se no campo da Aritmética (considerando os argumentos trazidos até agora), uma vez que o foco continua na operação em si. Um dos possíveis enunciados que caberia no exemplo é: "Qual 0 valor do quadrado, de modo que o resultado satisfaca a É interessante observar que, em uma situação dessa natureza, embora o resultado da operação esteja após o sinal de igualdade, é preciso descobrir um valor que possibilite ser o resultado o que ali está designado. Do ponto de vista heurístico, dada a simplicidade da situação, o estudante poderia optar por fazer adições sucessivas, até obter número 13, ou seja, 8 + 1, 8 + 2, 8 + 3, 8 + 4 e 8 + 5. Poderia ainda, no inversa: 13 - 8 = 5. caso de contemplar as propriedades da Aritmética, realizar a operação Nesse segundo exemplo (operação inversa), cabe destacar que algo se aproxima do procedimento algébrico: deve-se "isolar" o termo desconhecido e realizar a operação indicada com os termos conhecidos. Essa linha de pensamento fez com que Booth (1987) propusesse a existência de dois tipos de equação: as equações aritméticas, cuja 2x incógnita está presente em apenas um membro da igualdade (por exemplo, + 8 = 14), e as equações algébricas, cuja incógnita está ambos os membros (por exemplo, 2x + 8 = 14 6). Assim, embora a ideia em de operar 98</p><p>diretamente e descobrir estabelecendo relações seja algo que promova uma distinção entre Aritmética e Álgebra, algumas situações propostas no campo aritmético parecem convergir para que se espera no campo Para provocar o leitor, podemos indagar: Se 8 + = 13, situação que trouxemos há pouco, está inserida no campo aritmético, manteríamos a mesma ideia se no lugar do quadrado houvesse um x: 8 + x = Se tomarmos a proposição de Booth (1987) como referência, poderíamos dizer que se trata de uma equação aritmética. Todavia, podemos ampliar essa visão propondo que não basta existir números no lugar das letras para afirmarmos que se trata de uma situação pertencente ao campo algébrico. Em outras palavras, é necessário algo mais para podermos caracterizar a Álgebra, noção que abordamos nos próximos Vinculadas às ideias apresentadas nesta seção até este momento, estão algumas recomendações didáticas para o trabalho com a Aritmética, sintetizadas pelo estadunidense Ferdinand Rivera (2006) a partir de uma súmula de investigações anteriormente realizadas e retomadas por Cardoso (2010), a saber: (a) Abordar os sistemas numéricos de modo que os alunos tomem consciência da existência de propriedades ou relações inerentes que devem ser articuladas matematicamente. [...] (b) Ensinar os alunos a valorizar as representações informais e formais. Um dos objectivos do ensino é fazer a ponte entre as representações espontâneas das crianças e os sistemas de representação formais validados pela comunidade matemática. Parece também haver uma relação entre a competência de representação e a facilidade de fazer generalizações, um processo importante em álgebra; (c) Explorar funções de modo que as crianças possam começar a desenvolver a predisposição para a modelação algébrica. Uma forma será ensinar as quatro operações numa perspectiva funcional, não apenas como um processo que produz um resultado, mas como um processo de mudança (Cardoso, 2010, p. 124-125). Ainda no que diz respeito ao uso de letras no lugar do número que se pretende descobrir, há estudos, como o de Brito Lima (1996), que apontam que os estudantes consideram a incógnita como representando o número a ser descoberto, mas não estabelecem relação entre a letra 99</p><p>utilizada e o número que ela representa. Explicitando melhor essa ideia, exemplo, alguns 2x + 4y + 8 = 17) realizavam a operação indicada considerando as estudantes, diante da equação que apresentava duas (por incógnitas indistintamente. Tomemos exemplo apresentado: 6x+8=17. A lógica subjacente a essa construção parece ser a de que dois valores desconhecidos podem sofrer uma operação, resultando em um terceiro valor desconhecido que englobe os dois primeiros. Aqui, parece não haver a compreensão de que se constarem letras diferentes em uma equação, elas necessariamente representam números diferentes. Nesse contexto, a intervenção didática é de fundamental importância, uma vez que uma compreensão inadequada, de tal natureza, pode comprometer situações mais sofisticadas envolvendo a Álgebra, como os sistemas de equações. Ainda no mesmo estudo, Brito Lima (1996) afirma que outros estudantes afirmavam que não era possível resolver essa equação, pois só haviam aprendido procedimentos para tal ação nos casos em que havia uma única incógnita. Um terceiro grupo, menos representativo, era o que, intuitivamente, tratava as duas incógnitas como representando números distintos. Ao que parece, apenas esse terceiro grupo havia, de fato, entendido qual o papel da incógnita em uma equação. que nos parece curioso em relação a esse estudo é que os estudantes que intuitivamente não adicionavam os dois valores desconhecidos eram aqueles que ainda não haviam sido introduzidos ao campo algébrico. Já alguns estudantes iniciados formalmente na Álgebra adicionavam diferentes incógnitas. Embora essa tenha sido uma situação específica do estudo de Brito Lima (1996), não podemos deixar de levantar hipóteses sobre essa questão. Parece haver, nos estudantes já introduzidos à Álgebra, a ideia de que a incógnita representa quantidades diferentes, mas não de que diferentes incógnitas assumem, necessariamente, valores diferentes, sugerindo que pode haver uma compreensão ainda incompleta e imprecisa do que seja uma incógnita, reflexão da qual a escola não pode se furtar. 100</p><p>Por fim, para O estudante construir essa ideia, que aqui situamos como a primeira a ser desenvolvida operar com números e letras para descobrir valor desconhecido é necessário que ele desenvolva capacidade de estabelecer relações entre os dados do problema. Relações a essas, em parte, explicitadas na situação proposta, mas, em larga medida, estabelecidas pelo estudante a partir da compreensão do enunciado do problema ou da equação apresentada, independentemente de ter uma ou mais incógnitas e do lugar em que essa incógnita está posicionada na equação (primeiro ou segundo membro, por exemplo). Estabelecer relações, no sentido piagetiano, significa mobilizar esquemas na direção de uma construção lógica. Isso torna a Álgebra um instrumento potente de desenvolvimento da cognição, da capacidade de levantar testá-las, buscar a resposta adequada e encontrar o sentido lógico. O tópico seguinte explora um pouco mais que propomos e avança em direções que ainda não mencionamos. 2. A Álgebra como um conjunto de procedimentos que possibilitam resolver uma equação. A segunda ideia que aqui trazemos, no intuito de caracterizar a Álgebra e o pensamento algébrico, não se sustenta sem considerarmos a primeira, que implica a ideia de letra representando um número desconhecido que deve ser descoberto. Desse modo, é preciso entender que cada um dos argumentos elencados aqui, em forma de tópicos, é assim construído para facilitar a compreensão de conceitos e ideias imbricados de maneira interdependente. Não desejamos estabelecer nenhuma prioridade ou hierarquia de um em relação aos outros, apenas trazer uma perspectiva de complementaridade. Para se propor uma equação, no caso de ela não ser apresentada de partida, mas ser estabelecida a partir de um problema em linguagem natural, a primeira ação necessária é estabelecer relações entre os dados do problema. Sendo um problema aritmético, os dados numéricos requeridos para sua resolução estão, quase sempre, claramente postos no enunciado. Cabe ao estudante "extrair" tais dados do enunciado, identificar a palavra-chave que aponta para a operação a ser realizada e aplicar o algoritmo da operação em questão (adição, subtração, 101</p><p>e divisão). Destacamos que tratamos trabalhados aqui, na para sala exemplificar de aula multiplicação aritméticos comumente Entendemos, e dos problemas em boa parte dos livros didáticos. em as disponibilizados há problemas com um nível de maior, que relações não que evidenciadas. aparecem de tão problema a ação de "extrair" os dados No caso buscar um palavras-chave e escolher a operação, não apenas do ineficaz enunciado, como também, muitas vezes, é impossível de ser realizada. Embora é tudo que seja necessário para o estabelecimento da equação deva estar presente no enunciado, a principal tarefa do estudante é relacionar esses dados, identificando o que deve ser descoberto a relação dessa incógnita com os valores numéricos dados, o lugar que a incógnita ocupará na equação e como estabelecer a equivalência entre os membros da igualdade a partir da equação. Grifamos esse último aspecto mencionado porque ele está no cerne da proposição de uma equação: a ideia de igualdade, de equivalência entre ambos os Na ausência da igualdade não se tem uma equação e não é possível descobrir a incógnita, além do que adentramos em outro domínio (ainda que algébrico): o das inequações. O trabalho cognitivo envolvido nessas ações reforça a ideia de que a Álgebra é também uma forma de pensar e de representar o universo A esse respeito, é pertinente mencionar um aspecto que, conforme indicam Almeida e Santos (2017), é destacado por Radford (2009) a partir de uma reflexão do filósofo alemão Immanuel Kant: "enquanto os objetos da geometria podem ser representados ostensivamente, incógnitas, variáveis e outros objetos algébricos só podem ser representados indiretamente, por meio de construções baseadas em sinais" (Almeida; Santos, 2017, p. 47). A capacidade de estabelecer relações é das mais potentes entre elementos as competências cognitivas. É ela que possibilita desenvolver alguns também constitutivos da como campo de conhecimento estabelecer como uma forma específica de pensar, a saber: generalizar, e padrões, formular, entre dentro Pensar de algebricamente seria, em última análise, si, de sua estrutura cognitiva, tornando trazer possível a Álgebra lançar para mão 102</p><p>de todos os elementos constitutivos do campo algébrico: descobrir desconhecido, representar um objeto a partir de outro (o número a partir da letra), estabelecer relações que não estão claramente postas na situação apresentada, operar, generalizar, propor modelos e padrões. Dito dessa maneira, a Álgebra deixa de ser entendida apenas como um campo do saber definido no currículo; cognitivamente, constitui-se como uma ferramenta do pensamento, de e amplificação da estrutura cognitiva. Daí concluímos que, mais do que possível, torna-se necessário pensar no seu Voltando ao ponto anunciado neste tópico a Álgebra como um conjunto de procedimentos que possibilita resolver uma equação é preciso seguir uma sequência de passos, em uma ordem mais ou menos determinada, cujo objetivo é encontrar o valor da incógnita. Esse valor satisfaz a igualdade, permite que conteúdo à esquerda do sinal de igualdade seja equivalente à direita. Para tanto, é preciso que os dados da equação sejam mobilizados, de maneira que, ao final, a incógnita esteja presente apenas em um dos membros e o número a que ela corresponde, em outro. Assim, a equação tem sinal de igualdade como o elemento em torno do qual todos os movimentos acontecem. A regra central que rege essa mobilização a que nos referimos é: para transport um termo da equação (número ou incógnita) de um membro da igualdade para outro, recorre-se ao emprego da operação inversa. Dessa forma, se em um dos membros, relacionado a um dos seus termos, está indicada a operação de adição, ao realizar a transposição, opera-se com esse termo subtraindo. Embora a regra enunciada na escola seja (quase sempre) essa, o que a ela subjaz é a ideia de que a igualdade deve ser mantida. É o princípio da equivalência que caracteriza a equação que não pode ser abandonado. Dito isso, quando o professor afirma que, ao resolver uma equação, toda vez que um termo for transposto para outro membro deve-se inverter a operação, está recorrendo, na realidade, a uma forma simplificada de mencionar um princípio que, de maneira formal e matematicamente mais adequada, pode ser enunciado da seguinte forma: se é dada uma igualdade, para que esta seja preservada, toda operação realizada em um dos membros terá, necessariamente, de ser realizada no outro. exemplo a seguir ilustra o que foi discutido: 103</p><p>Como a resolução de uma equação é usualmente ensinada nas escolas: 4x +8 = 10 +2x 4x -2x = 10 -8 2x = 2 x = 2 : 2 x = 1 Princípio aditivo da igualdade: 4x + 8 = 2x + 10 4x + 8-8 = 2x + 10-8 (*) 4x = 2x + 2 4x-2x = 2x -2x+2 (*) 2x = 2 Princípio multiplicativo da igualdade: 2x:2=2:2 x = 1 O princípio aditivo da igualdade garante que adicionando ou subtraindo uma mesma quantidade nos dois membros de uma equação, a igualdade será preservada. Nas linhas sinalizadas por (*) temos, pela definição de elemento oposto da que 8+(-8) = 0 e que 2x+(-2x) 0. O princípio multiplicativo da igualdade, por sua vez, permite-nos afirmar que ao se multiplicar ou dividir os dois membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero, a igualdade será mantida. O que acontece frequentemente na escola é que o estudante aprende a técnica de resolução de uma equação sem refletir sobre qual princípio a ela está subjacente. Em boa parte das situações, o domínio da é 0 que se espera na escola. A compreensão do princípio que a embasa raramente é enfatizada. Todavia, o desenvolvimento do pensamento 104</p><p>algébrico não se dá pela memorização de regras e técnicas algorítmicas, mas sim pela compreensão dos princípios nelas subentendidos. 3. A álgebra como generalização, proposição de modelos e como linguagem. O terceiro tópico que aqui mencionamos poderia ser desmembrado e discutido separadamente. Contudo, tendo em vista que nosso intuito é discorrer sobre pensamento algébrico e seu desenvolvimento, optamos por articular esses aspectos, uma vez que, considerando processo cognitivo pensamento, esses elementos se inter-relacionam estreitamente. pensamento (conforme já discutido no Prólogo), no plano cognitivo, implica a mobilização de esquemas conceituais, estabelecendo um modelo de ação que dê conta da situação com que indivíduo se depara. Explicando melhor: a estrutura cognitiva forma-se a partir da construção de esquemas, que podem ser articulados, mobilizados, para dar conta de uma situação. Um esquema é um modelo cognitivo, compreendido em esquema motor (ou de ação) e esquema conceitual Todo conceito, por sua vez, é uma generalização. Se uma criança, por exemplo, construiu o conceito de gato (animal de estimação), significa dizer que ela tem, em seu pensamento, um modelo do que seja um gato. Cada vez que ela se deparar com esse animal, lançará mão do esquema conceitual que possui e então nomeará objeto: "Eis um gato!". Um conceito é uma generalização porque nele cabem todos os gatos (no caso de nosso exemplo) que existem no mundo, ainda que nem todos eles tenham sido acessíveis ao sujeito epistêmico. É preciso que sejam abstraídas as propriedades que fazem daquele objeto uma classe ou categoria (tipo de pelagem, tamanho, som emitido etc.). Uma vez abstraídas tais propriedades, elas se estruturam como modelo (esquema); este pode ser evocado cada vez que sujeito se deparar com aquele objeto (gato) e pode ser representado por uma palavra: em português, gato; em cat; em chat. Em outros termos, a linguagem (nesse caso, a palavra gato) é a representação do objeto e possibilita comunicar aos demais algo a seu respeito. Se, resumidamente, pensamento (no plano cognitivo) assim se estrutura, é possível fazer referência ao pensamento algébrico, uma vez 105</p><p>o PENSAMENTO permite generalizar, propor modelos, utilizar de uma que a Por meio dela, linguagem A equação própria é uma para forma de representação. dado em linguagem verbal, representa- mantendo fidedignamente se, por as condições agora, presentes em outro tipo linguagem: a exemplo, um problema no enunciado daquele mas, expressando-as, exemplo, uma situação em que seja solicitado ao Se tomarmos, por entre cinco possibilidades, a equação correspondente estudante problema identificar, enunciado, aquele que resolvê-la tiver compreendido os ao terá mais condições de procedimento algébrico de resolução de uma equação é uma O de linguagem e só pode ser desenvolvido se estudante domina- la, forma particularmente a partir das regras previamente enunciadas: isolar incógnita em um dos membros da igualdade; os termos numéricos a para um dos membros e os símbolos literais para outro; inverter a operação que os precedem. Até agora, ao longo deste capítulo, nossa opção foi construir uma argumentação que se sustenta, sobretudo, nos vieses epistemológico, psicológico e didático. No início do capítulo, propomos um debate que contemplasse as diversas possibilidades de discussão sobre a Álgebra, reiterando seu caráter polissêmico. Optamos também, ao tratar da Álgebra, por propor uma discussão que revelasse a natureza complexa e imbricada entre o domínio psicológico e matemático, entre aritmético e 0 algébrico. Acreditamos que essa visão articulada, de levantamento de pontos, contrapontos e argumentos, possibilita dar conta da natureza polissêmica da Álgebra e do que é pensamento algébrico. Se tomamos a ideia de pensamento algébrico e se pensamento pressupõe construção, é possível fazer referência a etapas na construção do pensamento algébrico ou, ainda, a níveis de pensamento algébrico? Refletir sobre essa questão parece-nos relevante em virtude de dois argumentos centrais: o primeiro, do ponto de vista psicológico, é de que pensamento é algo que se constrói (Piaget, 1982). Decorre daí a 106</p><p>ideia central do construtivismo, que, em vez de tratar da transmissão do conhecimento, assume a ideia de construção do Esses pressupostos têm implicação didática: um conhecimento não se constrói espontaneamente, colocando-se indivíduo em contato com novo objeto (quer seja um objeto concreto ou um campo de saber definido no currículo). conhecimento é, então, resultado de uma interação ativa entre o indivíduo (que lança mão das suas estruturas cognitivas para conhecer o objeto) e o objeto de conhecimento. Todavia, no caso da sala de aula, para que seja estabelecida tal interação, é necessário haver uma intencionalidade didática (Chevallard, 1991). professor, intencionalmente, organiza o cenário de maneira que possam ser estabelecidas múltiplas interações entre o estudante e o saber que se pretende que ele aprenda. Assim, a ação e a intervenção didática são intencionais e com objetivos dirigidos à construção do conhecimento. Essa construção, por sua vez, implica uma série de processos ligados ao pensamento: reflexão, levantamento de hipóteses, comparação etc. A ideia de que o pensamento e conhecimento são construções ativas e interativas remete-nos ao que propõe Kant, conforme aponta o pesquisador alemão Johannes Hessen (1999): o conhecimento não está no objeto, mas sim no sujeito. Quando deslocamos o lugar do conhecimento para o sujeito, entendemos que, para refletir sobre como ele o conhecimento - é construído, torna-se necessário voltarmo-nos para o desenvolvimento do pensamento do sujeito, no caso da sala de aula, do estudante. Alguns pesquisadores sugerem que existem níveis de desenvolvimento do pensamento algébrico e que a intervenção didática assume papel fundamental nesse processo. A primeira autora do capítulo realizou um estudo em uma escola, com crianças entre 7 e 12 anos. Os cenário didático pode ser entendido como uma descrição detalhada das atividades destinadas à aprendizagem de algum saber ou à resolução de um problema em particular. Como afirmam os pesquisadores franceses Jean-Louis Tetchueng, Serge Garlatti e Sylvain Laube (2007), um cenário depende de vários elementos que compõem as situações de aprendizagem: o conteúdo a ser trabalhado, o aluno e seus níveis de conhecimento, o professor, as atividades de aprendizagem, os recursos e as estratégias e ambientes 107</p><p>problemas apresentados não os eram estudantes facilmente livres para resolvê-los por como a pesquisadora deixava crianças de menor idade resolvidos representavam desejassem. e Foi observado que quantidades as desconhecidas, ou seja, por meio que de desenhos, envolviam "pipas" as desenhavam as pipas, círculos ou outra nos figura, problemas como pode ser observado no exemplo a seguir: Problema: No final de semana haveria um concurso de pipas na praia de Boa Viagem. Participaram do concurso crianças dos bairros de Boa Viagem e Piedade. Como já era sexta-feira as crianças trabalharam o dia todo para fazer as pipas. Os meninos de Boa viagem fizeram várias pipas pela e à tarde fizeram o triplo da quantidade de pipas da Os meninos de Piedade fizeram 24 pipas durante o dia. Os dois bairros fizeram a mesma quantidade de pipas para o concurso. Quantas pipas os meninos de Boa Viagem fizeram pela manhã? (Brito Lima, 1996, p. 99) Figura 1 Representação do problema feita por duas crianças de série ano). M T 24 T Fonte: Brito Lima (1996, p. 99). Segundo os resultados do estudo, as formas de representação se tornam mais sofisticadas quanto maior a idade, mas, sobretudo, quanto maior a exposição a situações de ensino intencionalmente organizadas para o desenvolvimento de formas de registrar pensamento algébrico. Para as crianças em início de escolarização, a ideia do uso de letras não aparecia espontaneamente, fazendo com que elas optassem por representar a partir do Tais formas de representação podem estar, de alguma maneira, relacionadas a uma possível evolução do pensamento algébrico, determinada não apenas em função das questões de natureza cognitiva, mas também, e fundamentalmente, em virtude do tipo de situação didática proposta para a criança. 108</p><p>Almeida (2016), em sua tese, propõe a existência de níveis de desenvolvimento do pensamento algébrico para problemas de partilha. Nesse estudo, faz levantamento de pesquisas anteriores que também seguiram na direção de propor que existem fases ou níveis de desenvolvimento do pensamento algébrico e que esses estão relacionados não apenas a uma lógica de pensamento, mas também à experiência com determinados tipos de problema. Quadro 4, a seguir, resume o levantamento de dois estudos que compartilham essa ideia. Quadro 4 Dois estudos nos quais são propostos níveis de pensamento algébrico. Fontes consultadas por Entendimentos acerca do que é Álgebra Fase 1: Os estudantes conseguem considerar alguns elementos algébricos, como o uso de letras, mas ainda não são capazes de concebê-las como um número generalizado ou uma variável. Dario Fiorentini, Fer- Fase 2: transição entre pensamento aritmético e o quando estudante já concebe a ideia de que, por exemplo, a letra representa uma nando Pereira Fernandes e quantidade a ser descoberta, mas pode ou não utilizar uma representação Eliane Matesto Cristóvão algébrica para resolver problema. Brasil (2005) Fase 3: pensamento algébrico mais desenvolvido: quando estudante concebe a ideia das relações existentes no problema, da possibilidade de representar e operar sobre quantidades conhecidas e desconhecidas, números e variáveis. Nível 0: ausência de pensamento estudante pode até representar quantidades desconhecidas, mas em linguagem natural, icônica ou por meio de desenhos. Todavia, no momento de operar, ainda assume um raciocínio aritmético, como atribuir valores ao número desconhecido até chegar ao valor que satisfaça a Nível 1: pensamento algébrico incipiente: o estudante pode utilizar símbolos para representar o valor desconhecido, mas não consegue operar adequadamente sobre eles. Pode ser capaz de reconhecer uma Juan Díaz Godino et al. generalização, mas ainda não consegue representá-la. Espanha (2014) Nível 2: pensamento algébrico intermediário: estudante já consegue operar com compreender adequadamente a ideia de incógnitas e variáveis, mas em situações mais sofisticadas, não consegue estabelecer generalizações. Nível 3: pensamento algébrico consolidado: quando as limitações de pensamento das fases anteriores são superadas e o estudante consegue generalizar, representar os objetos em uma linguagem simbólico-formal e operar sobre eles. Fonte: elaborado pelos autores. 109</p><p>modelo desenvolvido por Almeida (2016) segue a categorização Godino et al. (2014) Nível 0, Nível 1, Nível 2 e Nível 3 proposta debruça por de maneira muito detalhada nos problemas de Como mas se nosso interesse não é discorrer sobre um tipo específico de problema, mas refletir sobre pensamento algébrico, não nos deteremos na categorização de Almeida (2016). que é comum a todos esses estudos é a ideia de que pensar algebricamente é algo mais sofisticado do que resolver um problema utilizando procedimento algébrico. Significa mobilizar todos elementos que compõem pensamento algébrico, passando pelo estabelecimento de relações entre os dados do problema, a capacidade de representar simbolicamente, de operar sobre incógnitas e variáveis, entendendo o seu significado, de generalizar e de propor modelos. Se considerarmos que essa construção que permite generalizar, representar, operar etc. não se dá de um dia para o outro, mas implica um processo, pensar na introdução à Álgebra desde os anos iniciais parece- nos ser o caminho para trilhar essa construção de forma paulatina e cada vez mais sofisticada. A esse respeito, Brizuela, Carraher e Schliemann (1998) salientam que esse trabalho inicial com a Álgebra não significa que devem ser introduzidas notações convencionais e ser trabalhado 0 procedimento algébrico tal como feito nos anos finais. Esse momento primeiro implica a possibilidade de oportunizar aos estudantes mais jovens a reflexão e a construção de significados acerca das noções e conceitos fundamentais para a consolidação do pensamento algébrico. Algumas considerações para finalizar A nossa intenção, neste capítulo, foi de defender a ideia da existência de um pensamento algébrico. Tomando por base uma concepção construtivista da ideia de pensamento, como discutimos ao longo deste texto, pensar algebricamente implica um processo, uma construção paulatina, mas não Isso envolve dizer que o pensamento algébrico se constrói (e se constitui) no entrelaçamento com outros campos do pensamento matemático, em um processo ativo e interativo</p><p>do sujeito cognoscente, a partir das situações com as quais se depara, particularmente no contexto escolar. Objetivamos, também, refletir sobre algumas concepções que, considerando nosso referencial teórico e de pesquisa, não se sustentam suficientemente: em primeiro lugar, a ideia de que há a necessidade de consolidar desenvolvimento do pensamento aritmético, para que o pensamento algébrico possa ser desenvolvido. Na mesma direção, a suposição de que, dado caráter formal e abstrato da Álgebra, apenas quando o estudante, cognitivamente, houvesse atingido o pensamento formal, a partir da adolescência, a Álgebra poderia ser contemplada. Acreditamos que essas são as concepções mais fortemente questionadas neste capítulo. Há de se entender que as fronteiras entre o concreto e o abstrato, entre o pensamento concreto e o formal, são bem mais tênues do que se supunha no passado. Essas formas de pensamento, embora tendo características próprias, contribuem uma para a sofisticação da outra. Não há dicotomia, mas complementaridade. Tal compreensão, por nós defendida explicitamente neste capítulo, começou a ser contemplada na proposição do currículo de Matemática no Brasil desde o final do século passado: ainda em semente nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (Brasil, 1997) e de forma mais marcada na Base Nacional Curricular Comum - BNCC (Brasil, 2018), já neste século, conforme abordam os capítulos finais deste livro. que nos coube, neste capítulo, foi possibilitar aos leitores a compreensão das bases teóricas e de pesquisa do que fundamenta do ponto de vista psicológico, pedagógico e matemático - a ideia de que é possível e necessário iniciar estudante no campo algébrico desde os primeiros anos de escolarização, de forma concomitante com o ensino de Aritmética. Esperamos ter conseguido. Referências ALMEIDA, J. R. Níveis de desenvolvimento do pensamento algébrico: um modelo para os problemas de partilha de quantidade. 2016. 202 Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) Programa de 111</p>