Cap2 Anton

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<p>CAPÍTULO 2 Determinantes CONTEÚDO DO CAPÍTULO 2.1 Determinantes por expansão em cofatores 93 2.2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas 100 2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 106 INTRODUÇÃO Neste capítulo, estudamos "determinantes" ou, mais precisamente, "funções determinante". Diferentemente de funções reais, como f(x) = que associam um número real f(x) a uma variável real as funções determinante associam um número real f (A) a uma variável matricial A. Embora os determinantes tenham surgido primeiro no contexto de resolução de sistemas de equações lineares, não são mais usados com esse propósito nas aplicações do mundo real. Ainda que possam ser úteis na resolução de sistemas lineares muito pequenos (digamos, em duas ou três incógnitas), nosso interesse predominante nos determinantes deriva do fato de relacionarem vários conceitos da Álgebra Linear e fornecerem uma fórmula útil para a inversa de uma matriz. 2.1 Determinantes por expansão em cofatores Nesta seção, definimos a noção de "determinante" Isso nos dará condições para obter uma fórmula específica para a inversa de uma matriz invertível, quando até agora só dispomos de um procedimento computacional para encontrá-la. Essa fórmula, por sua vai acabar fornecendo uma fórmula para a resolução de certos tipos de sistemas lineares. Lembre-se do Teorema 1.4.5, que diz que a matriz 2 X 2 A = d é invertível se ad bc # 0 e que a expressão ad - bc é denominada determinante da ADVERTÊNCIA É importante matriz A. Lembre, também, que esse determinante é denotado escrevendo não esquecer que det(A) é um a b número, enquanto A é uma ma- det(A) = ad bc ou = ad bc (1) triz. d e que a inversa de A pode ser expressa em termos do determinante por = 1 d (2) Um dos principais objetivos deste capítulo é o de obter análogos da fórmula (2) que sejam Menores e cofatores aplicáveis a matrizes quadradas de todas as ordens. Para isso, é conveniente usar entradas com índices ao escrever matrizes ou determinantes. Assim, denotando uma matriz 2 2 por A =</p><p>94 Álgebra Linear com Aplicações as duas equações em (1) tomam a forma Definimos o determinante de uma nho 1 1 por (3) det[A] = A definição seguinte é fundamental para o nosso objetivo de definir o determinante de uma matriz de ordem superior. DEFINIÇÃO 1 Se A for uma matriz quadrada, então o menor da entrada é denota- do por M ij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. número é denotado por denominado cofator da entrada EXEMPLO 1 Encontrando menores e cofatores Seja 3 1 -4 A = 2 5 6 1 4 8 menor da entrada ADVERTÊNCIA Seguimos a convenção padrão de usar letras 1 4 maiúsculas para denotar meno- 5 6 2 5 6 = res e cofatores, mesmo que se- = 16 4 8 jam números e não matrizes. 4 8 cofator de Analogamente, o menor da entrada 3 -4 M32 = 2 5 6 = = 26 2 3 -4 6 8 cofator de Nota histórica termo determinante foi introduzido pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss, em 1801 (ver nota à página 15), que o utilizou para "determinar" as propriedades de certos tipos de funções. É interessante observar que o termo matriz deriva da palavra em latim para "ventre", por serem as matrizes consideradas um recipiente de determinantes. Nota histórica Aparentemente, o termo menor é devido ao matemático inglês James Sylvester (ver nota à página 34), que escreveu o seguinte num artigo publicado em 1850: "Agora conceba uma linha e uma coluna quaisquer sendo canceladas, e obtemos um quadrado, com um termo a menos em largura e profundidade do que o quadrado original; e supondo que o quadrado original consista em n linhas e n colunas, variando a linha e coluna excluídas dentre todas as seleções obtemos desses quadrados menores, cada um dos quais representa o que eu you denominar "Primeiro Determi- nante Menor" relativo ao determinante principal ou</p><p>2.1 Determinantes por expansão em cofatores 95 Observação Observe que um menor e seu cofator correspondente são ou iguais ou nega- tivos um do outro, e que o sinal que os relaciona é +1 ou 1 de acordo com o padrão de tabuleiro de xadrez + - + - + - + - + - ... + - + - + ... - Por exemplo, e assim por diante. Assim, realmente nunca é preciso calcular para encontrar basta cal- cular o menor e ajustar o sinal, se necessário, de acordo com o padrão do tabuleiro de xadrez. Teste isso no Exemplo 1. EXEMPLO 2 Expansão em cofatores de uma matriz padrão de tabuleiro de xadrez de uma matriz A = de tamanho + - + de modo que Deixamos para o leitor usar a Fórmula (3) para verificar que det(A) pode ser expresso em termos de cofatores das quatro maneiras a seguir. (4) Cada uma das quatro últimas equações é denominada expansão em cofatores do det(A). Em cada expansão de cofatores, todas as entradas e os cofatores vêm da mesma linha ou coluna de A. Por exemplo, na primeira equação, todas as entradas e os cofatores vêm da primeira linha de A; na segunda, todas elas vêm da segunda linha de A; na terceira, todas elas vêm da primeira coluna de A; e na quarta, todas elas vêm da segunda coluna de A. A Fórmula (4) é um caso especial do resultado geral seguinte, que enunciamos sem de- Definição de um monstração. determinante geral TEOREMA 2.1.1 Se A for uma matriz n X n, então independentemente de qual linha ou coluna escolhermos, sempre obteremos o mesmo número multiplicando as entra- das daquela linha ou coluna pelos cofatores correspondentes e somando os produtos obtidos. Esse resultado nos permite apresentar a próxima definição.</p><p>96 Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 2 Se A for uma matriz de tamanho n X n, então o número obtido mul- tiplicando as entradas de uma linha ou coluna qualquer de A pelos cofatores corres- pondentes e somando os produtos assim obtidos é denominado determinante de A. As próprias somas são denominadas expansões em cofatores de det(A), ou seja, (5) e (6) i] EXEMPLO 3 Expansão em cofatores ao longo da primeira linha Encontre o determinante da matriz 3 1 0 A= 54-2 expandindo em cofatores ao longo da primeira linha. Solução 3 1 0 -4 3 -2 3 -2 -4 det(A) = -2 -4 - 54 EXEMPLO 4 Expansão em cofatores ao longo da primeira coluna Seja A a matriz do Exemplo 3. Calcule det(A) expandindo em cofatores ao longo da pri- Observe que, no Exemplo meira coluna de A. precisamos calcular três cofato- res, enquanto no Exemplo 3, só Solução dois, porque o terceiro foi mul- tiplicado por zero. Como uma 3 1 0 regra geral, a melhor estratégia det(A) = -2 3 4 0 3 1 para calcular uma expansão em cofatores é expandir ao longo de uma linha ou coluna com o = 3(-4) = -1 maior número de zeros. Isso está de acordo com o resultado obtido no Exemplo 3. Nota histórica A expansão em cofatores não é o único método para expressar o determinante de uma matriz em termos de determinantes de ordens menores. Por exemplo, embora não seja muito bem conhecido, o matemático inglês Charles Dodgson, que foi o autor de Alice no País das Maravilhas e Pelo Espelho sob o pseudônimo de Lewis Carroll, inventou um tal método, denominado "condensação". Esse método foi recentemente ressuscitado da obs- curidade por ser especialmente adequado para o processamento paralelo em computadores. [Imagem: Time & Life Pictures/Getty Images, Inc.] Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll) (1832-1898)</p><p>2.1 Determinantes por expansão em cofatores 97 EXEMPLO 5 Uma escolha esperta de linha ou coluna Se A for a matriz 4 X 4 1 0 0 -1 3 1 2 2 1 0 -2 1 2 1 então a maneira mais fácil de calcular det(A) é expandir em cofatores ao longo da segunda coluna, que é a que tem mais zeros. 10-1 201 Para o determinante 3 X 3, a maneira mais fácil é usar expansão em cofatores ao longo de sua segunda coluna, que é a que tem mais zeros. 2 1 =-6 EXEMPLO 6 Determinante de uma matriz triangular inferior As contas a seguir mostram que o determinante de uma matriz triangular inferior o produto de suas entradas diagonais. Cada parte da conta usa uma expansão em cofatores ao longo da primeira linha. 0 0 0 a22 0 0 a22 0 0 a32 a33 0 a31 a32 a33 0 a42 a43 a44 a41 a42 a43 a44 a33 0 a43 a44 = = método ilustrado no Exemplo 6 pode ser facilmente adaptado para provar o próxi- mo resultado geral. TEOREMA 2.1.2 Se A for uma matriz triangular n X n (triangular superior, inferior ou diagonal), então det(A) é o produto das entradas na diagonal principal da matriz, ou seja, Os determinantes de matrizes 2 X 2 podem ser calculados muito eficientemente Uma técnica útil para calcular usando o padrão sugerido na Figura 2.1.1. determinantes 2 X 2 e a a the the the Figura 2.1.1 No caso 2 X 2. o determinante pode ser calculado formando o produto das entradas na seta para a direita e subtraindo o produto das entradas na seta para a esquerda. No caso 3 X 3, primeiro copiamos as primeira e segunda colunas conforme indicado na figura e depois podemos calcular o determinante somando o produto das entradas nas setas para a</p><p>98 Álgebra Linear com Aplicações ADVERTÊNCIA A técnica de direita e subtraindo os produtos das entradas nas setas para a esquerda. Esse procedimento setas só funciona com determi- executa as seguintes contas. nantes de matrizes 2 X 2 e 3 X 3. + - que estão de acordo com a expansão em cofatores ao longo da primeira linha. EXEMPLO 7 Uma técnica para calcular determinantes 4 3 -2 1 = 4 3 -2 1 2 3 2 3 I 2 -4 5 6 = -4 5 4 5 7 -8 9 9 7 -8 + : Revisão de conceitos Aptidões desenvolvidas Determinante Encontrar os menores e cofatores de uma matriz quadrada. Menor Usar a expansão em cofatores para calcular o Cofator determinante de uma matriz quadrada. Expansão em cofatores Usar a técnica de setas calcular o determinante de uma matriz 2 X 2 ou 3 X 3. Usar o determinante de uma matriz invertível 2 para encontrar a inversa dessa matriz. Encontrar mentalmente o determinante de uma matriz triangular superior, inferior ou diagonal. Conjunto de exercícios 2.1 Nos Exercícios 1-2, encontre todos os menores e cofatores da 3. Seja matriz A. 4 -1 1 6 1 -2 3 0 0 -3 3 1. A = 4 1 0 14 -3 1 4 4 1 3 2 1 1 2 Encontre 2. A = 3 3 6 (a) 0 1 4 (c)</p><p>2.1 Determinantes por expansão em cofatores 99 4. Seja Nos Exercícios 21-26, calcule det(A) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. -3203 331 A= 3-210 251 10-4 Encontre (a) 23. A= 24. A = k-3 4 5 k+1 k Nos Exercícios 5-8, calcule o determinante da matriz. Se a matriz for invertível, use a Equação (2) pra encontrar a inversa. 25. A = 4 1 5. 6. 8 2 2 6 40010 7. 8. 4 3 333-10 26. A = 12423 Nos Exercícios 9-14, use a técnica de setas para calcular o 9 4623 determinante da matriz. 2242 3 -276 Ta-3 5 9. 10. Nos Exercícios 27-32, obtenha por inspeção o determinante -3 a-2 da matriz dada. 384 4 11. 12. 27. 28. 172 0000 1111 13. 2 -1 5 14. 1200 29. 30. 19-4 4 0430 1238 0004 Nos Exercícios 15-18, encontre todos os valores de com os 1 2 7 -3 -3 0 quais (A) = 0. 0 1 -4 1200 1-400 31. 32. 15. 1-2 1+4 1 16. A= 2 33. Mostre que o valor do determinante independe de 17. = 2 18. A = 0 0 19. Calcule o determinante da matriz do Exercício 13 usando uma + 1 expansão em cofatores ao longo 34. Mostre que as matrizes (a) da primeira linha (b) da primeira coluna (c) da segunda linha (d) da segunda coluna a b (e) da terceira linha (f) da terceira coluna 0 e 0 f e 20. Calcule o determinante da matriz do Exercício 12 usando uma comutam se, e só se, expansão em cofatores ao longo (a) da primeira linha (b) da primeira coluna =0 (c) da segunda linha (d) da segunda coluna (e) da terceira linha (f) da terceira coluna</p><p>100 Álgebra Linear com Aplicações 35. Sem fazer contas, descubra uma relação entre os determinantes 42. Prove que se A for uma matriz triangular superior e se for a matriz que resulta quando suprimimos a i-ésima linha e a a b c a + b j-ésima coluna de A, então é triangular superior se i <j. = d 1 f e d, = d 1 f g 0 1 g 0 1 Exercícios Verdadeiro/Falso Nas partes (a)-(j), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, 36. Mostre que justificando sua resposta. 1 a b (a) o determinante da matriz d de tamanho X é ad + bc. tr(A) (b) Duas matrizes quadradas A e B podem ter o mesmo determi- para qualquer matriz A de tamanho 2 2. nante se, e só se, forem de mesmo tamanho. 37. o que pode ser dito sobre um determinante de enésima ordem (c) o menor é igual ao cofator se, e só se, i + j for par. com todas as entradas iguais a 1? Explique seu raciocínio. (d) Se A for uma matriz simétrica de tamanho 3 X 3, então 38. Qual é o número máximo de zeros que uma matriz pode = com quaisquer i j. ter sem ter determinante zero? Explique seu raciocínio. (e) o valor da expansão em cofatores de uma matriz A é indepen- 39. Qual é o número máximo de zeros que uma matriz pode dente da linha ou coluna escolhida para a expansão. ter sem ter determinante zero? Explique seu raciocínio. (f) o determinante de uma matriz triangular inferior é a soma 40. Prove que os pontos (x1, y1), e são colineares se, das entradas ao longo de sua diagonal principal. e só se, (g) Dados uma matriz quadrada A e um escalar quaisquer, te- mos det(cA) = det(A). y 1 (h) Dadas quaisquer matrizes quadradas A e B, temos X2 1 = 0 det(A + B) = det(A) + det(B) X3 1 (i) Dada qualquer matriz A de tamanho temos 41. Prove: a equação da reta que passa pelos pontos distintos e b2) pode ser escrita como y 1 a b 1 = 0 b2 1 2.2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas Nesta seção, mostramos como calcular um determinante por meio da redução da matriz associada à forma escalonada por linhas. Em geral, esse método requer menos cálculos que a expansão em cofatores e é, portanto, o método preferido para matrizes grandes. Um teorema básico Começamos com um teorema fundamental que nos leva a um procedimento eficiente para calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer tamanho. TEOREMA 2.2.1 Seja A uma matriz quadrada. Se A tem uma linha ou uma coluna de zeros, então det(A) 0. Prova Como o determinante de A pode ser obtido por uma coleção de expansões em cofatores ao longo de qualquer linha ou coluna, podemos usar a linha ou coluna de zeros.</p><p>Calculando determinantes por meio de redução por linhas 101 Assim, denotando os cofatores de A ao longo dessa linha ou coluna por C1, então segue da Fórmula (5) ou (6) da Seção 2.1 que teorema útil a seguir relaciona o determinante de uma matriz com o determinante de sua transposta. TEOREMA 2.2.2 Seja A uma matriz quadrada. Então det(A) Como transport uma matriz troca suas colunas para linhas e suas linhas para quase todo teorema sobre as linhas de um Prova Como transport uma matriz troca suas colunas para linhas e suas linhas para co- determinantes tem uma versão lunas, a expansão em cofatores de A ao longo de qualquer linha é igual à expansão em companheira sobre as colunas, e cofatores de ao longo da coluna correspondente. Assim, ambas matrizes têm o mesmo determinante. próximo teorema mostra como uma operação elementar com as linhas de uma matriz Operações elementares com quadrada afeta o valor de seu determinante. Em vez de uma prova formal, fornecemos as linhas uma tabela para ilustrar as ideias no caso 3 X 3 (ver Tabela 1). TEOREMA 2.2.3 Seja A uma matriz n X n. (a) Se B for a matriz que resulta quando uma única linha ou coluna de A é multipli- cada por um escalar k, então det(B) = k det(A). (b) Se B for a matriz que resulta quando duas linhas ou colunas de A são permutadas, então det(B) = det(A). (c) Se B for a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha de A é somado a uma outra linha, ou quando um múltiplo de uma de A é somado a uma outra coluna, então det(B) = det(A) Tabela 1 Relação Operação primeiro painel da Tabela 1 A primeira linha de A é multiplicada por k. mostra que podemos trazer um k fator de qualquer linha (ou co- = luna) de um determinante para fora do determinante. Essa é det(B) = kdet(A) uma maneira ligeiramente dife- A primeira e a segunda linhas de A são rente de interpretar a parte (a) = permutadas. do Teorema 2.2.3. det(B) = -det(A) + + Um múltiplo da segunda linha de A é = somado à primeira linha. det(B) = det(A) Verificamos a primeira equação da Tabela 1 e deixamos as outras duas para o leitor. Para começar, observe que os determinantes dos dois lados da equação diferem apenas em sua primeira de modo que esses determinantes têm os mesmos cofatores ao longo dessa linha (já que esses cofatores dependem somente das entradas nas duas</p><p>102 Álgebra Linear com Aplicações linhas de baixo). expandindo o lado esquerdo em cofatores ao longo da primeira linha, obtemos ka A21 =k A22 Matrizes elementares É útil considerar o caso especial do Teorema 2.2.3 em que A = é a matriz identida- de X n. e E (em vez de B) denota a matriz elementar que resulta de efetuar a operação ele- mentar com a linha de Nesse caso especial, o Teorema 2.2.3 implica o resultado seguinte. TEOREMA 2.2.4 Seja E uma matriz elementar (a) Se E resulta da multiplicação de uma linha de I, por um número não nulo k, então det(E) = k. (b) Se E resulta da permutação de duas linhas de então det(E) (c) Se E resulta da soma de um múltiplo de uma linha de com uma outra linha, então EXEMPLO 1 Determinantes de matrizes elementares Os determinantes de matrizes elementares seguintes, que são calculados mentalmente, Observe que o determinante de ilustram o Teorema 2.2.4. uma matriz elementar não pode ser zero. 1000 1007 0001 0300 0100 0100 =3, =1 0 0 0 1 0001 A segunda linha de 7 vezes a última linha A primeira e última foi multiplicada por 3. de foi somada à linhas de I foram primeira linha. permutadas. Matrizes com linhas ou Se uma matriz quadrada A tem duas linhas proporcionais, então pode ser introduzida colunas proporcionais uma linha de zeros somando um múltiplo conveniente de uma das duas linhas à outra. Analogamente para colunas. Mas somar um múltiplo de uma linha ou coluna a uma outra não muda o determinante, de modo que, pelo Teorema 2.2.1, devemos ter det(A) = 0. Isso prova o teorema seguinte. TEOREMA 2.2.5 Se A for uma matriz quadrada com duas linhas proporcionais ou duas colunas proporcionais, então det(A) = 0. EXEMPLO 2 Introduzindo linhas de zeros O próximo cálculo mostra como introduzir uma linha de zeros quando há duas linhas proporcionais. 1 3 -2 4 1 3 -2 4 2 -4 8 0 0 0 0 = A segunda linha é 2 vezes a primeira, 3 3 9 1 5 portanto, somamos -2 vezes a primeira linha à segunda para 1 4 8 1 1 4 8 introduzir uma linha de zeros.</p><p>2.2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas 103 Cada uma das matrizes a seguir tem duas linhas ou colunas proporcionais; assim, cada uma tem determinante zero. 3 -1 4 -5 1 -2 7 -1 4 6 -2 5 2 -4 8 5 , 5 8 1 4 2 -4 3 -9 3 -12 15 Veremos, agora, um método para calcular determinantes que envolve substancialmente Calculando determinantes menos cálculos do que a expansão em cofatores. A ideia do método é reduzir a matriz com redução por linhas dada ao formato triangular superior por operações elementares com as linhas, depois cal- cular o determinante da matriz triangular superior (uma conta fácil) e, finalmente, relacio- nar esse determinante com o da matriz original. Vejamos um exemplo. EXEMPLO 3 Usando redução por linhas para calcular um determinante Calcule det(A), sendo 0 1 5 A 3 -6 9 2 6 1 Solução Vamos reduzir A a uma forma escalonada (que é triangular superior) e, então, aplicar o Teorema 2.1.2. 0 1 5 3 -6 9 det(A) = 3 -6 9 015 A primeira e segunda linhas de A foram permutadas. 2 6 1 2 6 1 Mesmo com os computadores 1 -2 3 mais velozes de hoje, levaria milhões de anos para calcular =-3 0 1 5 Um fator comum de 3 da primeira linha foi trazido um determinante 25 X 25 por 2 6 1 para fora do determinante. expansão em cofatores, motivo pelo qual, para determinantes 1 -2 3 grandes, são utilizados, muitas =-3 01 5 -2 vezes a primeira linha vezes, métodos com base em re- foi somado à terceira linha. dução por linhas. Para determi- nantes pequenos (como os deste 1 texto), uma escolha razoável é a =-3 0 1 5 10 vezes a segunda linha expansão em cofatores. foi somado à terceira linha. 0 0 -55 (-3)(-55) Um fator comum de -55 da última linha foi trazido para fora do = EXEMPLO 4 Usando operações com colunas para calcular um determinante Calcule o determinante de 1 0 0 3 2 7 0 6 A = 0 6 3 0 7 3 1 -5</p><p>104 Álgebra Linear com Aplicações Solução Esse determinante poderia ser calculado como o anterior, usando operações elementares com linhas para reduzir A à forma escalonada, mas podemos colocar A em forma triangular inferior em um passo, somando - 3 vezes a primeira à quarta colunas para obter 1 0 0 0 O Exemplo 4 ressalta a utilidade 2 7 0 0 - = de manter a atenção voltada às 0 6 3 0 operações com colunas que po- 7 3 1 -26 dem encurtar nossas contas. vezes, a expansão em cofatores e as operações com linhas e colunas podem ser usadas em combinação para fornecer um método eficaz de calcular determinantes. Essa ideia é ilustrada no próximo exemplo. EXEMPLO 5 Operações com linhas e expansão em cofatores Calcule det(A), com 3 5 -2 6 1 2 - 1 1 2 4 1 5 3 7 5 3 Solução Somando múltiplos convenientes da segunda linha às demais linhas, obtemos 0 - 1 1 3 1 2 - 1 1 det(A) = 0 0 3 3 0 1 8 0 -1 1 3 = 0 3 3 Expansão em cofatores ao longo da primeira coluna. 1 8 0 1 1 3 0 3 3 Somamos a primeira linha à terceira. 0 9 3 3 3 =-(-1) Expansão em cofatores ao 9 3 longo da primeira coluna. =-18 Aptidões desenvolvidas Usar a redução por linhas para calcular o determinante de Conhecer o efeito de operações elementares com linhas uma matriz. no valor do determinante. Usar operações com as colunas para calcular o Conhecer o determinante dos três tipos de matrizes determinante de uma matriz. elementares. Combinar o uso de redução por linhas e expansão em Saber como introduzir zeros nas linhas ou colunas de uma cofatores para calcular o determinante de uma matriz. matriz para facilitar o cálculo de seu determinante.</p><p>2.2 Calculando determinantes por meio de redução por linhas 105 Conjunto de exercícios 2.2 Nos Exercícios 1-4, verifique que det(A) = 18. Repita os Exercícios 10-13 usando uma combinação de ope- rações com linhas e expansão em cofatores. = 19. Repita os Exercícios 14-17 usando uma combinação de ope- rações com linhas e expansão em cofatores. 3 3. 124 0 2 -3 Nos Exercícios 20-27, calcule o determinante, sabendo que abc def =-6 Nos Exercícios 5-9, calcule por inspeção o determinante da ghi matriz elementar dada. g h i def abc 20. def 21. 22. def 5. 0100 6. 010 abc abc 3a 3b 3c a+d b+e c+f 1000 0010 3 23. 4g 4h 4 24. i 7. 8. 0100 c+i ab 0001 25. 26. g g h+3b 9. 0010 27. Nos Exercícios 10-17, calcule o determinante da matriz dada 28. Mostre que reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas. (a) det 0 = 10. 11. 112 324 0 0 12. -241 13. (b) det = 0 015 2131 29. Use redução por linhas para mostrar que 5-963 1011 14. 15. 111 286 0123 abc 16. Nos Exercícios 30-33, confirme as identidades sem calcular o 0 determinante diretamente. 13153 30. b3 -2-70-42 C2 C3 17. 00101 00211 31. = 00011</p><p>106 Álgebra Linear com Aplicações a Exercícios verdadeiro/falso 32. = b3 Nas partes (a)-(f), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se A for uma matriz 4 X 4 e B a matriz que resulta se trocar- mos entre si as duas primeiras linhas de A e depois trocarmos 33. C2 entre si as duas últimas linhas de A, então det(B) = det(A). (b) Se A for uma matriz 3 X 3 e B a matriz que resulta se multi- 34. Encontre o determinante da matriz plicarmos a primeira coluna por 4 e a terceira coluna por então det(B) = 3 det(A). abbb (c) Se A for uma matriz 3 X 3 e B a matriz que resulta se somar- babb mos 5 vezes a primeira linha à segunda e à terceira linhas de A, então det(B) = 25 det(A). (d) Se A for uma matriz e B a matriz que resulta se multi- plicarmos cada linha de A pelo índice dessa linha, então Nos Exercícios 35-36, mostre que det(A) = 0 sem calcular o determinante diretamente. -2814 (e) Se A for uma matriz quadrada com duas colunas idênticas, 35. A = então det(A) = 0. 11065 (f) Se a soma do segundo com o quarto vetor linha de uma ma- 4-64-3 triz A de tamanho 6 6 for igual ao último vetor linha, então -4111 1 det(A) = 0. -4 1 1 1 36. = 11-41 1 111-4 1 1111-4 2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer Nesta seção, desenvolvemos algumas propriedades fundamentais dos determinantes e utilizamos esses resultados para deduzir uma fórmula para a inversa de uma matriz invertível e fórmulas para as soluções de certos tipos de sistemas lineares. Propriedades básicas dos Suponha que A e B sejam matrizes n X n e que k seja um escalar qualquer. Começamos determinantes considerando as possíveis relações entre det(A), det(B) e det(kA), det(A + B), e det(AB) Como um fator comum de qualquer linha de uma matriz pode ser trazido para fora do determinante e como cada uma das n linhas de kA tem o fator k em comum, segue que (1) Por exemplo, ka12 A23 Infelizmente, em geral não existem relações simples entre det(A), det(B) e o determi- nante da soma det(A + B). Em particular, enfatizamos que det(A + B) geralmente não é igual a det(A) + det(B). Isso é ilustrado pelo próximo exemplo.</p><p>2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 107 EXEMPLO 1 # det(A) + det(B) Considere A = 2 5 = , A+B 4 3 3 8 Temos det(A) = = 23; assim, det(A) + det(B) Não obstante o aspecto negativo do exemplo precedente, existe uma relação útil que trata de somas de determinantes e que é aplicável quando as matrizes envolvidas são iguais exceto por uma linha (ou coluna). Por exemplo, considere as duas matrizes seguin- tes, que só diferem na segunda linha. a22 Calculando os determinantes de A e B, obtemos = Assim, det + det Esse é um caso especial do resultado geral que segue. TEOREMA 2.3.1 Sejam A, B e C matrizes n X n que diferem somente em uma única linha, digamos, a e suponha que a r-ésima linha de C possa ser obtida soman- do as entradas correspondentes nas r-ésimas linhas de A Então det(C) = det(A) + det(B) mesmo resultado vale para colunas. EXEMPLO 2 Somas de determinantes Deixamos para o leitor confirmar a igualdade seguinte calculando os determinantes. 1 7 5 1 7 5 1 7 5 det 2 0 3 = det 2 0 3 + det 2 0 3 4 + 1 7 + (-1) 1 4 7 0 1 -1 Considerando a complexidade das fórmulas de determinantes e multiplicação matricial, Determinante de um produto poderia parecer improvável que existisse alguma relação simples entre esses conceitos. matricial Isso é o que faz tão surpreendente a simplicidade do nosso próximo resultado. Mostrare- mos que se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho, então det(AB) = det(A) det(B) (2) A prova desse teorema é razoavelmente complexa, de modo que vamos precisar desenvol- ver primeiro alguns resultados preliminares. Começamos com o caso especial de (2) em que A é uma matriz elementar. Como esse caso especial é só um prelúdio para (2), vamos denominá-lo lema.</p><p>108 Álgebra Linear com Aplicações LEMA 2.3.2 Se B for uma matriz X n e E uma matriz elementar n X n, então Prova Consideramos três casos, um para cada uma das operações com linhas que pro- duzem a matriz E. Caso 1 Se E for o resultado da multiplicação de uma linha de por k, então, pelo Teo- rema 1.5.1, o resultado da multiplicação da linha correspondente de B por k é EB; logo, pelo Teorema 2.2.3(a), temos Mas, pelo Teorema 2.2.4(a), sabemos que det(E) = k, portanto, Casos 2 e 3 As provas dos casos em que E é o resultado da troca de duas linhas de entre si ou da soma de um múltiplo de uma linha com uma outra linha de I, seguem o mesmo padrão do Caso 1 e são deixadas como exercícios. Observação Da aplicação repetida do Lema 2.3.2 segue que se B for uma matriz X n e se E, forem matrizes elementares n X então (3) Teste do determinante para a Nosso próximo teorema fornece um critério importante para determinar se uma matriz é invertibilidade invertível. Também nos leva um passo mais próximo de mostrar a Fórmula (2). TEOREMA 2.3.3 Uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, det(A) + Prova Seja R a forma escalonada reduzida por linhas de A. Como um passo preliminar, vamos mostrar que det(A) e det(R) são ambos nulos ou ambos não nulos. Sejam E, as matrizes elementares que correspondem às operações elementares com linhas que produzem R a partir de A. Assim, e, por (3), (4) Na nota marginal que acompanha o Teorema observamos que o determinante de uma matriz elementar é não nulo. Assim, segue da Fórmula (4) que det(A) e det(R) são ambos nulos ou ambos não nulos, o que dá a fundamentação para a parte principal da pro- va. Supondo que A seja invertível, então, pelo Teorema 1.6.4, segue que R = I, de modo Segue dos Teoremas 2.3.3 e que det(R) = 1 (# 0) e, consequentemente, det(A) # 0, que é o que queríamos provar. 2.2.5 que uma matriz quadrada Reciprocamente, suponha que det(A) # 0. Disso decorre que det(R) # 0, o que nos com duas linhas ou duas colunas diz que R não pode ter uma linha de zeros. Assim, segue do Teorema 1.4.3 que R I, de proporcionais é não invertível. modo que A é invertível pelo Teorema 1.6.4.</p><p>2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 109 EXEMPLO 3 Testando invertibilidade por determinantes Como a primeira e terceira linhas de 1 2 3 A = 1 0 1 2 4 6 são proporcionais, det(A) = 0. Assim, A não é invertível. Agora estamos prontos para o principal resultado relativo a produtos de matrizes. TEOREMA 2.3.4 Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho, então = Prova Dividimos a prova em dois casos, dependendo de A ser invertível ou não. Se a matriz A for não invertível, então, pelo Teorema 1.6.5, o produto AB também não é. As- sim, pelo Teorema 2.3.3, temos = = 0, e segue que det(AB) = det(A) det(B). Suponha agora, que A seja invertível. Pelo Teorema 1.6.4, a matriz A pode ser expres- sa como um produto de matrizes elementares, digamos (5) e, portanto, Aplicando (3) a essa equação, obtemos det (AB) det(B) e aplicando novamente (3), resulta Augustin Louis Cauchy (1789-1857) que, por (5), pode ser reescrito como det (AB) = det (A) det (B). Nota histórica Em 1815, o grande matemático francês Augustin Cau- chy publicou um artigo de pesquisa fundamental, no qual apresentou o EXEMPLO 4 Verificando que det(A) det(B) primeiro tratamento sistemático e moderno de determinantes. Foi na- Considere as matrizes quele artigo que o Teorema 2.3.4 foi enunciado e provado pela primeira A = 2 3 17 14 vez em toda sua generalidade. Casos especiais do teorema já haviam sido enunciados e provados antes, mas foi Deixamos para o leitor verificar que Cauchy quem finalizou o resultado. [Imagem: The Granger Collection, det(A) = 1, det(B) = -23, e New York] Assim, det(AB) = det(A) det(B), como garante o Teorema 2.3.4.</p><p>110 Álgebra Linear com Aplicações próximo teorema dá uma relação útil entre o determinante de uma matriz invertível e o determinante de sua inversa. TEOREMA 2.3.5 Se A for invertível, então 1 = det(A) Prova Como = I, segue que det = det(I). Logo, devemos ter det(A) = 1. Como det(A) # 0, a prova pode ser completada dividindo ambos os lados dessa equação por det(A). Adjunta de uma matriz Na expansão em cofatores, calculamos det(A) multiplicando as entradas de uma linha ou coluna pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes. Ocorre que se multipli- camos as entradas de uma linha qualquer pelos cofatores de uma outra linha diferente, a soma dos produtos resultantes é sempre zero. (Esse resultado também vale para colunas.) Mesmo omitindo a prova geral, o próximo exemplo ilustra a ideia da prova num caso especial. EXEMPLO 5 Entradas e cofatores de linhas diferentes Seja Considere a expressão que é formada multiplicando as entradas da primeira linha pelos cofatores das entradas correspondentes da terceira linha e somando os produtos resultantes. Usando o artifício a seguir, mostramos que essa quantidade é zero. Construa uma nova matriz A' substituindo a terceira linha de A com uma cópia da primeira linha, ou seja, Sejam C'32 e os cofatores das entradas da terceira linha de A'. Como as duas pri- meiras linhas de A e A' são iguais e como os cálculos para obter C31, C32, C33, C'32 C'33 envolvem somente as entradas das duas primeiras linhas de A e A', segue que e Como A' tem duas linhas idênticas, segue de (3) que (6) Por outro lado, calculando det(A') por expansão em cofatores ao longo da terceira linha, dá a12C32 + (7) De (6) e (7), obtemos = 0</p><p>Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 111 DEFINIÇÃO 1 Se A for uma matriz qualquer e o cofator de então a matriz C12 : ... é denominada matriz de cofatores de A. A transposta dessa matriz é denominada ad- junta de A e denotada por adj(A). EXEMPLO 6 A adjunta de uma matriz Seja 3 2 -1 A= 163 Os cofatores de A são C12= C22=2 C23=16 = C33=16 Leonard Eugene Dickson (1874-1954) de modo que a matriz dos cofatores é Nota histórica uso do termo ad- 12 6 -16 junta para a transposta da matriz dos 4 2 16 cofatores parece ter sido introduzido pelo matemático norte-americano L. E. Dickson num artigo científico publi- cado por ele em 1902. e a adjunta de [Imagem: cortesia da American 12 4 12 Mathematical Society] adj(A) -16 16 16 No Teorema 1.4.5, apresentamos uma fórmula para a inversa de uma matriz in- vertível. Nosso próximo teorema estende aquele resultado para matrizes invertíveis n X n. TEOREMA 2.3.6 A inversa de uma matriz usando sua adjunta Se A for uma matriz invertível, então = (8) Segue dos Teoremas 2.3.5 e 2.1.2 que se A é uma matriz triangular invertível então, Prova Em primeiro lugar, mostramos que ann 1 A Além disso, usando a fórmula da Considere o produto adjunta, é possível mostrar que ann A = a : a : : : C2n C2 nn : são realmente as entradas diago- nais sucessivas de (compare A com no Exemplo 3 da Se- ção 1.7).</p><p>112 Álgebra Linear com Aplicações A entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna do produto A adj(A) é (9) (ver as linhas destacada nas matrizes). Se i=j, então (9) é a expansão em cofatores de det(A) ao longo da i-ésima linha de A (Teorema 2.1.1) e se i # j, então as entradas da matriz A e os cofatores provêm de linhas diferentes de A, de modo que o valor de (9) é zero. Portanto, det(A) 0 0 : det(A) 0 : = = (10) 0 0 det(A) Como A é invertível, det(A) # 0. Portanto, a Equação (10) pode ser reescrita como det(A) - ou A = I Multiplicando ambos lados à esquerda = EXEMPLO 7 Usando a adjunta para encontrar uma matriz inversa Use (8) para encontrar a inversa da matriz A do Exemplo 6. Solução Deixamos para o leitor conferir que det(A) = 64. Assim, 12 4 12 = 64 1 -16 12 6 16 4 -10 12 16 = 64 64 16 6 64 64 16 2 64 64 10 16 64 64 64 A regra de Cramer Nosso próximo teorema usa a fórmula da inversa de uma matriz invertível para produzir uma fórmula, conhecida como regra de Cramer, para a solução de um sistema linear Ax = b de n equações em n incógnitas no caso em que a matriz de coeficientes A for in- vertível (ou, equivalentemente, se det(A) # 0). TEOREMA 2.3.7 Regra de Cramer Se Ax = b for um sistema de n equações lineares em n incógnitas tal que det(A) # 0, então o sistema tem uma única solução. Essa solução é = em que é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas da matriz b b2 b = : bn</p><p>2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 113 Prova Se det(A) # 0, então A é invertível e, pelo Teorema 1.6.2, X : é a única solução de Ax = b. Portanto, pelo Teorema 2.3.6, temos C21 = det(A) : : ... Multiplicando as matrizes, resulta : Portanto, a entrada na j-ésima linha de (11) det(A) Seja, agora, ... b, Como A difere de A somente na j-ésima coluna, segue que os cofatores das entradas b1, de A, coincidem com os cofatores das entradas correspondentes da j-ésima coluna de A. A expansão em cofatores de ao longo da j-ésima coluna é, portanto, Substituindo esse resultado em (11), obtemos det(Aj) Gabriel Cramer (1704-1752) Nota histórica Variações da Regra EXEMPLO 8 Usando a regra de Cramer para resolver um sistema linear de Cramer eram razoavelmente co- antes do matemático suíço Use a regra de Cramer para resolver Gabriel Cramer discuti-la num traba- + 2x3 = 6 lho publicado em 1750. Foi a notação superior de Cramer que popularizou 30 o método e levou os matemáticos a = 8 associar seu nome à regra. [Imagem: Granger Collection] Solução 1 0 2 6 0 2 A = -3 4 6 , 30 4 6 , -1 -2 3 8 3 6 2 10 6 Com n > 3, a eliminação de = -3 30 6 Gauss-Jordan é, em geral, mais eficiente para resolver um sis- 8 3 tema linear de n equações em Portanto, n incógnitas do que a regra de Cramer. uso mais importan- det(A) 18 te dessa regra é na obtenção de propriedades de soluções de 152 11 um sistema linear sem precisar resolvê-lo.</p><p>114 Álgebra Linear com Aplicações Teorema da equivalência No Teorema 1.6.4, listamos cinco resultados que são equivalentes à invertibilidade de uma matriz A. Concluímos esta seção juntando o Teorema 2.3.3 àquela lista para obter um teorema que relaciona todos os principais tópicos que estudamos até aqui. TEOREMA 2.3.8 Afirmações equivalentes Se A for uma matriz n X n, então as seguintes afirmações são equivalentes. (a) A é invertível. (b) Ax = tem somente a solução trivial. (c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. (e) Ax = b é consistente com cada matriz b de tamanho n 1. (f) Ax = b tem exatamente uma solução com cada matriz b de tamanho n 1. (g) det(A) # 0. OPCIONAL Agora dispomos de toda a maquinaria necessária para provar os dois resultados seguintes, que enunciamos sem provar no Teorema 1.7.1. Teorema 1.7.1(c) Uma matriz triangular é invertível se, e só se, suas entradas diago- nais são todas não nulas. Teorema 1.7.1(d) A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular superior invertível é triangular superior. Prova do Teorema matriz triangular, com entradas diagonais Pelo Teorema a matriz A é invertível se, só se, for não nulo, o que vale se, e só se, as entradas diagonais forem todas não nulas. Prova do Teorema Provamos o resultado para matrizes triangulares superiores e deixamos o caso de triangulares inferiores como exercício. Suponha que A seja triangu- lar superior e invertível. Como = podemos provar que é triangular superior mostrando que adj(A) é triangular superior ou, equivalentemente, que a matriz de cofatores é triangular inferior. Isso pode ser feito mos- trando que é nulo cada cofator da diagonal principal). Como é suficiente provar que é nulo cada Para verificar isso, seja a ma- triz obtida suprimindo a i-ésima linha e a coluna de A, ou seja, (12) Da hipótese i segue que é triangular superior (ver Figura 1.7.1). Como A é triangu- lar superior, sua + 1)-ésima linha começa com i zeros, pelo menos. Mas a i-ésima linha de é a (i + 1)-ésima linha de A com a entrada na j-ésima coluna removida. Como i nenhum dos primeiros i zeros foi removido quando omitmos a j-ésima coluna; assim, a i-ésima linha de começa com i zeros, pelo menos, o que implica que essa linha tem um zero na diagonal principal. Segue agora, pelo Teorema 2.1.2. que por (12), que</p><p>2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 115 Revisão de conceitos Usar o determinante para testar uma matriz quanto à Teste do determinante para invertibilidade invertibilidade. Matriz de cofatores Conhecer a relação entre det(A) e Adjunta de uma matriz Calcular a matriz de cofatores de uma matriz quadrada A. Regra de Cramer Calcular adj(A) de uma matriz quadrada A. Afirmações equivalentes sobre uma matriz invertível Usar a adjunta de uma matriz invertível para encontrar sua inversa. Aptidões desenvolvidas Usar a regra de Cramer para resolver um sistema de Saber como os determinantes se comportam em relação equações lineares. às operações aritméticas básicas, conforme Equação (1), Conhecer as caracterizações equivalentes da Teorema 2.3.1, Lema 2.3.2 e Teorema 2.3.4. invertibilidade de uma matriz dadas no Teorema 2.3.8. Conjunto de exercícios 2.3 Nos Exercícios 1-4, verifique que det(kA) = det(A). 0 13. A = 810 0 ; 0 2 3 Nos Exercícios 15-18, encontre os valores de k com os quais 3. A= 321 k = -2 A é 145 15. A = -2 k 2 16. = 111 4. ; k=3 17. A = 316 k 1 k k 3 2 0 2 1 Nos Exercícios 5-6, verifique que det(AB) = det(BA) e deter- mine se vale a Nos Exercícios 19-23, decida se a matriz é invertível e, caso 3 for, use o método da adjunta para encontrar a inversa. 5. A = 3 4 0 e B = 2 5 5 19. -1 0 20. A = 03 2 243 -1 8 2 2 -1 -4 6. A= e 113 21. A = -3 22. A = 810 0 0 2 Nos Exercícios 7-14, use determinantes para decidir se a ma- triz é invertível. 1311 23. A = 7. A= 8. 1322 243 Nos Exercícios 24-29, resolva usando a regra de Cramer, 9. 10. quando aplicável. 24. 25. =2 428 11. 12. A = 26. 6 27. 4 4x1</p><p>116 Álgebra Linear com Aplicações 28. -32 36. Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma 14 matriz com det(A) =-2. 11 (a) (b) (c) (d) -4 37. Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma 29. matriz com det(A) = 7. (a) det(3A) (b) (c) (d) 30. Mostre que a matriz 38. Prove que uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, ATA sen 0 0 é invertível. 39. Mostre que se A for uma matriz quadrada, então det(ATA) = 0 0 1 é invertível com qualquer valor de em seguida, encontre Exercícios verdadeiro/falso usando o Teorema 2.3.6. Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, 31. Use a regra de Cramer para resolver em y sem resolver nas justificando sua resposta. incógnitas zew. (a) Se A for uma matriz 3 X 3, então det(2A) = 2 det(A). 6 (b) Se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho tais que det(A) = det(B), então det(A + B) = 2 det(A). (c) Se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho e A for invertível, então 32. Seja Ax = b o sistema do Exercício 31. (d) Uma matriz quadrada A é invertível se, e só se, det(A) = 0. (a) Resolva o sistema pela regra de Cramer. (e) A matriz de cofatores de A é precisamente [adj(A)]T. (b) Resolva o sistema por eliminação de Gauss-Jordan. (f) Para cada matriz A de tamanho n X n, temos (c) Qual método envolve menos contas? 33. Prove que se det(A) = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de também são inteiros. (g) Se A for uma matriz quadrada, e o sistema linear Ax = b tiver 34. Seja Ax = b um sistema de n equações lineares em n soluções múltiplas para X, então det(A) = 0. nitas com todos os coeficientes e as constantes números intei- (h) Se A for uma matriz de tamanho n X n, e existir uma matriz ros. Prove que se det(A) = 1, então a solução tem entradas b de tamanho n X 1 tal que o sistema linear Ax = b não tem inteiras. soluções, então a forma escalonada reduzida de A não pode 35. Seja (i) Se E for uma matriz elementar, então Ex = 0 só tem a solu- ção trivial. A = def (j) Dada uma matriz invertível A, o sistema linear Ax = b tem somente a solução trivial se, e só se, o sistema linear Supondo que det(A) = = tem somente a solução trivial. (a) det(3A) (b) (k) Se A for invertível, então adj(A) também será invertível. (1) Se A tem uma linha de zeros, então adj(A) também tem. (d) i</p><p>2.3 Propriedades dos determinantes; regra de Cramer 117 Capítulo 2 Exercícios suplementares Nos Exercícios 1-8, calcule o determinante da matriz usando Nos Exercícios 17-24, use o método da adjunta (Teorema (a) a expansão em cofatores e (b) as operações elementares com as 2.3.6) para encontrar a inversa da matriz dada, se existir. linhas para introduzir zeros na matriz. 17. A matriz do Exercício 1. 18. A matriz do Exercício 2. 19. A matriz do Exercício 3. 20. A matriz do Exercício 4. 1. 2. 3 3 21. A matriz do Exercício 5. 22. A matriz do Exercício 6. 23. A matriz do Exercício 7. 24. A matriz do Exercício 8. -15 2 3. 4. 25. Use a regra de Cramer para resolver x' e y' em termos de xey. -514 5. 1 1 6. 26. Use a regra de Cramer para resolver x' e y' em termos de xey. 0 2 3 6 0 1 -1 -2 -3 -4 -2 3 1 4 2 1 7. 8. 27. Examinando o determinante da matriz de coeficientes, mostre 0 -1 1 2 3 4 que o sistema dado tem uma solução não trivial se, e só se, a 2 -4 -2 9. Calcule os determinantes nos Exercícios 3-6 usando a técnica 0 das setas (ver Exemplo 7 da Seção 2.1). 10. (a) Construa uma matriz 4 X 4 cujo determinante seja fácil de calcular usando expansão em cofatores, mas difícil de calcular usando operações elementares com linhas. 28. Seja A uma matriz com todas as entradas iguais a 0 ou 1. Qual é o maior valor possível para det(A)? (b) Construa uma matriz 4 X 4 cujo determinante seja fácil de calcular usando operações elementares com linhas, 29. (a) Para o triângulo da figura dada, use trigonometria para mas difícil de calcular usando expansão em cofatores. mostrar que 11. Use o determinante para decidir se as matrizes dos Exercícios b cos 1-4 são invertíveis. 12. Use o determinante para decidir se as matrizes dos Exercícios a 5-8 são invertíveis. e, então, aplique a de Cramer para mostrar que Nos Exercícios 13-15, encontre o determinante da matriz usando qualquer método. 3 -4 5 (b) Use a regra de Cramer para obter fórmulas análogas para 13. 14. b-2 -3 0000-3 y b a 15. 00-100 Figura Ex-29 02000 30. Use determinantes para mostrar que, com qualquer valor de 1, 50000 a única solução de 16. Resolva -3 -1</p><p>118 Álgebra Linear com Aplicações 31. Prove: se A for invertível, então adj(A) é invertível e (b) Use o resultado da parte (a) para encontrar a área do tri- ângulo de vértices (3, (4, 0), (-2,-1). 32. Prove: se A for uma matriz n X n, então B(x2, 33. Prove: se a soma das entradas em cada linha de uma matriz A A(x1, de tamanho n X n for sempre zero, então o determinante de A é zero. [Sugestão: considere o produto matricial AX, em que X é a matriz n X 1 com todas as entradas iguais a 1.] D E F Figura Ex-34 34. (a) Na figura dada, a área do triângulo ABC pode ser expres- sa como 35. Sabendo que 21.375, 38.798, 34.162, 40.223 e 79.154 são to- área ABC = área ADEC + área CEFB - área ADFB dos divisíveis por 19, mostre, sem calcular diretamente, que o determinante Use isso e o fato de que a área de um trapézio é igual à metade da altura vezes a soma dos lados paralelos para 2 1 3 7 5 mostrar que 3 8 7 9 8 1 3 4 1 6 2 área X2 1 1 4 0 2 2 3 7 9 1 5 4 X3 é divisível por 19. [Observação: na dedução dessa fórmula, os vértices foram denotados de tal modo que quando passamos de 36. Sem calcular diretamente o determinante, mostre que (x1, para para o triângulo é percorrido sen a cos a sen(a + 8) no sentido anti-horário. Para uma orientação horária, o sen cos B =0 determinante acima dá o negativo da área.] sen cos sen(y 8)</p>