Slides de Aula Unidade III (1)

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<p>Prof. Msc. Fábio Assis</p><p>UNIDADE III</p><p>Matemática para</p><p>Computação</p><p> A potenciação é uma operação aritmética que envolve dois elementos: base (a) e expoente</p><p>(n). Após efetuada, a operação resulta em uma potência (p).</p><p> Potência com expoente natural: considere uma base real a e um expoente natural n.</p><p>A potência, nesse caso, é igual ao produto de n fatores iguais a a.</p><p>Equações e funções exponenciais – Potenciação (expoente natural)</p><p>Para expoentes naturais, temos os casos de destaque:</p><p>23 = 2×2×2 = 8</p><p>(–2)3= (–2)×(–2)×(–2) = –8</p><p>a0 = 1 (para a ≠ 0)</p><p>a1 = a</p><p>30 = 1</p><p>31 = 3</p><p>Potência com expoente inteiro negativo: considere uma base real não nula 𝑎 e um expoente</p><p>inteiro 𝑛. Nesse caso, temos a propriedade a seguir:</p><p>A mesma propriedade anterior pode ser reescrita no formato a seguir:</p><p>Equações e funções exponenciais – Potenciação (expoente inteiro negativo)</p><p>Se partimos de uma base fracionária, podemos considerar:</p><p>(para a ≠ 0 e b ≠ 0)</p><p>Potência com expoente inteiro: Considere uma base real não nula 𝑎 e um expoente inteiro 𝑛.</p><p>As seguintes propriedades são válidas neste contexto:</p><p>Equações e funções exponenciais – Potenciação (expoente inteiro)</p><p>(Propriedade 1)</p><p>(Propriedade 2)</p><p>(Propriedade 3)</p><p>(Propriedade 4)</p><p>(Propriedade 5)</p><p>Propriedades de Potência Condição</p><p>Exemplos:</p><p>Potência com expoente racional: Considere um número real positivo 𝑎 e dois inteiros positivos</p><p>não nulos, 𝑚 e 𝑛, formando o expoente racional. As propriedades abaixo permitem converter</p><p>potenciação em radiciação.</p><p>Equações e funções exponenciais – Potenciação (expoente racional)</p><p>64 2</p><p>32 2</p><p>16</p><p>8</p><p>2</p><p>2</p><p>4 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>64 = 26</p><p>índice n</p><p>radicando am</p><p>Determine o resultado da potenciação demonstrada abaixo:</p><p>a) 0,1.</p><p>b) 0,2.</p><p>c) 0,3.</p><p>d) 0,4.</p><p>e) 0,5.</p><p>Interatividade</p><p>Fonte: livro-texto.</p><p>Determine o resultado da potenciação demonstrada abaixo:</p><p>a) 0,1.</p><p>b) 0,2.</p><p>c) 0,3.</p><p>d) 0,4.</p><p>e) 0,5.</p><p>Resposta</p><p>Fonte: livro-texto.</p><p>Solução:</p><p> Converta o expoente em um expoente mais simples:</p><p>pode ser simplificado para</p><p>Uma equação exponencial é toda equação que contém a incógnita no expoente. Observe</p><p>o exemplo:</p><p> Para resolver equações exponenciais, converta ambos os lados da equação em potências da</p><p>mesma base.</p><p>Equações e funções exponenciais – Equações exponenciais</p><p>incógnita</p><p>625 5</p><p>125 5</p><p>25</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>1</p><p>625 = 54</p><p>125 = 53</p><p> Uma função exponencial de base 𝑎, em que 𝑎 é um número real positivo diferente de 1(𝑎 > 0</p><p>e 𝑎 ≠ 1), é toda função f definida no conjunto dos números reais por:</p><p> Temos, portanto, a variável como expoente.</p><p>O gráfico da função exponencial é uma curva no plano cartesiano, sendo:</p><p> Para 𝑎 > 1: a função é crescente.</p><p> Para 0 < 𝑎 < 1: a função é decrescente.</p><p>Equações e funções exponenciais – Equações exponenciais</p><p>𝑥 variável</p><p>Exemplo: determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após</p><p>sua compra, é dado por:</p><p>Em que v0 é uma constante real que representa o valor de compra do equipamento, em reais.</p><p>Após dez anos, a máquina está valendo R$ 12.000,00. Determine por quanto ela foi comprada.</p><p>Equações e funções exponenciais – Equações exponenciais</p><p>Solução:</p><p>t: tempo (anos) → t =10</p><p>v0: valor de compra (reais)</p><p>Valor após 10 anos: 𝑣(10)=12000</p><p>A altura de uma planta, em centímetros, 𝑡 dias após ser plantada, é dada pela função linear</p><p>𝑓(𝑡)=0,5𝑡+1. Quantos dias são necessários para que a planta atinja 6 cm de altura?</p><p>a) 20 dias.</p><p>b) 10 dias.</p><p>c) 5 dias.</p><p>d) 35 dias.</p><p>e) 40 dias.</p><p>Interatividade</p><p>A altura de uma planta, em centímetros, 𝑡 dias após ser plantada, é dada pela função linear</p><p>𝑓(𝑡)=0,5𝑡+1. Quantos dias são necessários para que a planta atinja 6 cm de altura?</p><p>a) 20 dias.</p><p>b) 10 dias.</p><p>c) 5 dias.</p><p>d) 35 dias.</p><p>e) 40 dias.</p><p>Resposta</p><p> Uma matriz é uma estrutura de dados matemática semelhante a uma tabela, composta por</p><p>linhas e colunas identificadas de forma a “endereçar” cada um de seus elementos.</p><p> A matriz X é uma tabela retangular de ordem m X n, ou seja, é composta por m linhas e n</p><p>colunas. Temos m X n elementos (ou termos) xij, cada um deles representado por um número</p><p>real. Podemos, portanto, endereçar cada elemento individualmente indicando sua linha i e</p><p>sua coluna j. Observe a matriz X a seguir:</p><p>Matrizes – Introdução</p><p>Podemos realizar as operações de adição e subtração entre as matrizes, desde que possuam</p><p>a mesma ordem:</p><p> As matrizes A e B, ambas 2x2, produzem uma matriz C,</p><p>também 2x2, ao serem somadas ou subtraídas. Nos casos de</p><p>adição e subtração, a ordem da matriz resultante é sempre</p><p>igual a das matrizes originais.</p><p>Matrizes – Operações</p><p>Adição:</p><p>Subtração:</p><p> Podemos multiplicar duas matrizes, desde que a quantidade de colunas da 1ª seja igual à</p><p>quantidade de linhas da 2ª. A matriz resultante, por sua vez, tem o número de linhas da</p><p>primeira e o número de colunas da segunda.</p><p>Matrizes – Operações</p><p>2×3 3×2</p><p>=</p><p>2×2</p><p> Para calcular os elementos da matriz resultante, percorremos as linhas da matriz A e as</p><p>colunas da matriz B, multiplicando os elementos correspondentes e somando os</p><p>produtos obtidos. Ou seja, devemos multiplicar ordenadamente os elementos da linha i de A</p><p>e os elementos da coluna j de B, somando os resultados dessas multiplicações.</p><p>Matrizes – Operações</p><p>Formato:</p><p>Para realizarmos a operação aritmética de subtração de matrizes, também precisamos que</p><p>elas tenham a mesma ordem. Qual das alternativas apresenta a matriz resultante C da</p><p>subtração das matrizes A – B?</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Interatividade</p><p>Fonte: livro-texto.</p><p>Para realizarmos a operação aritmética de subtração de matrizes, também precisamos que</p><p>elas tenham a mesma ordem. Qual das alternativas apresenta a matriz resultante C da</p><p>subtração das matrizes A – B?</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Resposta</p><p>Fonte: livro-texto.</p><p>Solução:</p><p> Um determinante é um valor real derivado dos elementos de uma matriz quadrada, como 2x2</p><p>ou 3x3. Com ele, podemos resolver vários problemas matemáticos de maneira sistemática.</p><p>Seja a matriz quadrada A mostrada a seguir, com as indicações da diagonal principal e da</p><p>diagonal secundária:</p><p>Podemos calcular o determinante de A (detA) da seguinte forma:</p><p>Matrizes – Determinantes</p><p>Calculando o determinante das matrizes X e Y a seguir:</p><p>Solução</p><p>Matrizes – Determinantes</p><p>detX=</p><p>detY=</p><p>= 3 × 8 − (7 × −2 = 24 − −14 = 38</p><p>= −3 × 8 − 7 × 9 = −24 − 63 = −87</p><p> O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser encontrado utilizando a regra</p><p>de Sarrus, cujos passos serão descritos a seguir diretamente com um exemplo numérico,</p><p>para facilitar o entendimento. Vamos considerar a matriz A a seguir, para a qual se deseja</p><p>calcular o determinante detA.</p><p>Matrizes – Determinantes</p><p>Solução: Passo 1. Para começar o cálculo do</p><p>determinante, repetimos as duas primeiras</p><p>colunas à direita da matriz e ficamos com o</p><p>total de 5 colunas.</p><p>Passo 2. Utilizando três elementos por vez, efetuamos três</p><p>multiplicações paralelas à diagonal principal, conforme</p><p>indicado pelas setas.</p><p> O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser encontrado utilizando a regra</p><p>de Sarrus, cujos passos serão descritos a seguir diretamente com um exemplo numérico,</p><p>para facilitar o entendimento. Vamos considerar a matriz A a seguir, para a qual se deseja</p><p>calcular o determinante detA.</p><p>Matrizes – Determinantes</p><p>Passo 3. Utilizando três elementos por vez, efetuamos três</p><p>multiplicações paralelas à diagonal secundária, conforme indicado</p><p>pelas setas. No entanto, esses produtos devem ser multiplicados por</p><p>−1, ou seja, seu sinal deve ser trocado.</p><p> O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser encontrado utilizando a regra</p><p>de Sarrus, cujos passos serão descritos a seguir diretamente com um exemplo numérico,</p><p>para facilitar o entendimento. Vamos considerar a matriz A a seguir, para a qual se deseja</p><p>calcular o determinante detA.</p><p>Matrizes – Determinantes</p><p>Passo 4. O determinante é a soma dos valores obtidos nos passos 2</p><p>e 3.</p><p>Portanto, o determinante da matriz 𝐴 é 0.</p><p>(Adaptado de: Consesp/2018). A temperatura de minha cidade, em graus Celsius, hoje de</p><p>manhã, quando acordei, era igual ao determinante da matriz a seguir. Qual é essa</p><p>temperatura?</p><p>a) 14 ºC.</p><p>b) 7 ºC.</p><p>c) -9 ºC.</p><p>d) -18 ºC.</p><p>e) -20 ºC.</p><p>Interatividade</p><p>1 4 7</p><p>4 5 3</p><p>3 6 9</p><p>(Adaptado de: Consesp/2018). A temperatura de minha cidade, em graus Celsius, hoje de</p><p>manhã, quando acordei, era igual ao determinante da matriz a seguir. Qual é essa</p><p>temperatura?</p><p>a) 14 ºC.</p><p>b) 7 ºC.</p><p>c) -9 ºC.</p><p>d) -18 ºC.</p><p>e) -20 ºC.</p><p>Resposta</p><p>Solução:</p><p>= 45 + 36 + 168 – 144 – 18 – 105 = –18</p><p>1 4 7</p><p>4 5 3</p><p>3 6 9</p><p>–144 –18 –105 45 36 168</p><p>ATÉ A PRÓXIMA!</p>