Álgebra Linear para Computação - Aula 01

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<p>Matemática para Computação</p><p>Profa PhD. Paula Corain</p><p>Aula 01:</p><p>Apresentação do Curso e</p><p>Conceitos Iniciais</p><p>ICET - Alphaville</p><p>Álgebra Linear</p><p>Espaços Vetoriais Euclidianos</p><p>Transformações Lineares: Definição,</p><p>Propriedades, Núcleo e sua relação com</p><p>Transformações Lineares Injetoras.</p><p>Matriz de Uma Transformação Linear (base</p><p>canônica)</p><p>Exemplos de Transformações Lineares no</p><p>Plano, Espaço e entre Ambos</p><p>Contrações, Dilatações, Rotações,</p><p>Cisalhamentos, Reflexões, Projeções.</p><p>Exemplos de Transformações Não-Lineares</p><p>Ementa:</p><p>Objetivos:</p><p>Familiaridade do aluno com</p><p>representação de pontos e,</p><p>consequentemente, de imagens</p><p>planas ou tridimensionais dentro</p><p>dos respectivos espaços</p><p>Euclidianos.</p><p>• Preparar o estudante para</p><p>outras disciplinas do curso como</p><p>por exemplo, computação</p><p>gráfica.</p><p>Promover o desenvolvimento do</p><p>raciocínio abstrato do aluno.</p><p>Aulas Expositivas,</p><p>com explicações de</p><p>conceitos</p><p>Resolução de</p><p>exercícios em</p><p>aula</p><p>Listas de</p><p>Exercícios</p><p>(Individuais</p><p>ou Grupos)</p><p>“Brainstorm”</p><p>Problemas Práticos</p><p>Feedback</p><p>( + / -)</p><p> LIPSHUTZ, S. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo:</p><p>Makron Books, 2004. (Coleção Schaum).</p><p> LIMA, E. L. Álgebra linear. 5. ed. Rio de Janeiro:</p><p>IMPA, 2004.</p><p> TLEON, STEVEN J. Álgebra Linear com</p><p>aplicações. Ed.Livros Técnicos e Científicos</p><p>Editora, 1999.</p><p>Bibliografia</p><p>Básica:</p><p> ANTON, Howard, Álgebra Linear com Aplicações,</p><p>2007, Bookman.</p><p> POOLE, David , Álgebra Linear,2004, Thomson</p><p>Pioneira.</p><p> LIPSCHUTZ, Seymour; Marc Lipson, Álgebra Linear</p><p>- Col. Schaum - 3ª Ed. 2004 – Bookman.</p><p> KOLMAN, Bernard. Introdução À Álgebra Linear</p><p>com Aplicações - 8ª Edição 2006 , LTC.</p><p> CALLIOLI, Carlos A. Álgebra Linear e Aplicações, 6a</p><p>Ed., 1990.</p><p>Bibliografia</p><p>Complementar:</p><p>Critérios Avaliativos:</p><p> 2 Provas Bimestrais</p><p>(Individuais) </p><p>MFinal =</p><p>P1 + P2</p><p>𝟐</p><p>MFinal ≥ 𝟕 → Aprovação</p><p>MFinal < 𝟕 → Exame Final</p><p>Exame Final = “o quanto falta para</p><p>inteirar a nota 10”</p><p>• GRADUAÇÃO em Física com ênfase em Física</p><p>Médica (PUC-SP)</p><p>• INICIAÇÃO CIENTÍFICA: (USP-SP) - Física</p><p>Nuclear e Detectores Gasosos.</p><p>• LICENCIATURA EM MATEMÁTICA</p><p>• PÓS GRADUAÇÃO:</p><p>• MESTRADO - Área de Concentração:</p><p>Engenharia, Tecnologia Nuclear Aplicações -</p><p>Física e Medicina Nuclear (USP-SP)</p><p>• DOUTORADO - Área de Concentração:</p><p>Engenharia, Tecnologia Nuclear Materiais -</p><p>Físico/Química Atmosfera (USP-SP)</p><p>• DOUTORADO SANDUÍCHE: Brasil-EUA</p><p>(Boulder, Colorado)</p><p>• ENSINO SUPERIOR: Lecionando desde 2009.</p><p>Obrigada!</p><p>Sejam Bem Vindos de</p><p>Volta à Universidade!</p><p>Então vamos estudar por que amar tá</p><p>difícil, beber tá caro, carnaval acabou</p><p>e comer engorda....</p><p>Seja um conjunto V, não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações</p><p>de adição e multiplicação por um escalar, isto é:</p><p>O conjunto V com essas duas operações é chamado Espaço Vetorial Real</p><p>(ou Espaço Vetorial sobre ℝ) se forem verificados os seguintes axiomas:</p><p>A1, A2, A3 e A4 e M1, M2, M3 e M4</p><p>✓ Espaços Vetoriais - Definição:</p><p>Relembrando Conceitos Iniciais...</p><p>∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉</p><p>∀𝛼 ∈ ℝ, ∀𝑢 ∈ 𝑉, 𝛼𝑢 ∈ 𝑉</p><p>✓ Espaço Vetorial Real - Definição:</p><p>Relembrando Conceitos Iniciais...</p><p>Em relação à multiplicação por escalar deve satisfazer:</p><p>Em relação à adição deve satisfazer:</p><p>0 00</p><p>∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉</p><p>∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉</p><p>∀𝑢 ∈ 𝑉</p><p>0</p><p>𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝑒 ∀𝛼, 𝛽𝜖ℝ.</p><p>✓ Espaços Vetoriais (Real, Não Real e Complexo):</p><p>Relembrando Conceitos Iniciais...</p><p>Logo, é necessário definir operações de adição e</p><p>multiplicação por escalar que atendam a certas</p><p>propriedades, como associatividade, comutatividade,</p><p>existência do vetor nulo, entre outras (axiomas anteriores)</p><p>para afirmar se um espaço é ou não vetorial real.</p><p>O espaço vetorial é chamado de Espaço Vetorial Real se for definido sobre o</p><p>corpo dos reais ℝ, ou seja, quando os escalares são números reais, e Espaço</p><p>Vetorial Complexo se for definido sobre o corpo dos complexos C, ou seja,</p><p>quando os escalares forem números complexos.</p><p>Exemplo 1: O conjunto dos números reais, ℝ, com as operações de adição</p><p>e multiplicação entre números reais usuais é um Espaço Vetorial Real.</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>Exemplo 2:</p><p>é um Espaço Vetorial Real.</p><p>Exemplo 3:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>é um Espaço Vetorial Real.</p><p>Exemplo 4:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>é um Espaço Vetorial Real.</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>Exemplo 5:</p><p>Não é um Espaço Vetorial Real.</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>Exemplo 6:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>é um Espaço Vetorial Real.</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>Exemplo 7:</p><p>✓ Espaços Vetoriais – Exemplos:</p><p>Não é um Espaço Vetorial Real.</p><p>1-) Marque a afirmação correta sobre espaços vetoriais.</p><p>A. Existe espaço vetorial vazio.</p><p>B. Para que um conjunto seja um espaço vetorial é preciso definir as</p><p>operações de adição e multiplicação entre dois vetores do conjunto.</p><p>C. Um conjunto continuará sendo espaço vetorial mesmo se definirmos</p><p>outras operações de adição e multiplicação por escalar.</p><p>D. O conjunto Z = {0, ±1, ±2 , ±3, ...} com as operações de adição e</p><p>multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial.</p><p>E. Nem todo o espaço vetorial contém o vetor nulo.</p><p>✓ Espaços Vetoriais: Exercícios</p><p>✓ Espaços Vetoriais: Exercícios</p><p>2-) O elemento neutro para soma do espaço vetorial das funções reais é</p><p>o(a):</p><p>A. Zero</p><p>B. Função identidade</p><p>C. Função identicamente nula</p><p>D. Conjunto vazio</p><p>E. Nda.</p><p>✓ Espaços Vetoriais: Exercícios</p><p>3-) A Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares</p><p>definidas entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações</p><p>lineares podem ser representadas por matrizes. Também com matrizes podem ser</p><p>representadas as formas bilineares e, mais particularmente, as formas quadráticas.</p><p>Disponível em: Acesso.02.Fev.2017. Neste contexto, complete as lacunas a seguir:</p><p>Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é</p><p>um subespaço vetorial de V se S contém as operações de _________ e</p><p>________________ definidas em V, além de S também possuir o</p><p>elemento_________ de V.</p><p>Agora, assinale a alternativa completa corretamente as lacunas.</p><p>a) Adição, subespaço da adição, multiplicativo.</p><p>b) adição, multiplicação por um escalar, unitário</p><p>c) Adição, multiplicação por escalar, neutro.</p><p>d) Adição, multiplicação, fracionário</p><p>e) Adição, multiplicação, irracional.</p><p>✓ Espaços Vetoriais: Exercícios</p><p>4-) É chamado de espaço vetorial um conjunto V, não-vazio, sobre o qual</p><p>estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar.</p><p>Em relação a adição é válida as seguintes propriedades:</p><p>a) Associativa, comutativa, multiplicação por escalar, simetria.</p><p>b) Associativa, distributiva, elemento neutro, simetria.</p><p>c) Associativa, distributiva, multiplicação por escalar, simetria.</p><p>d) Associativa, comutativa, elemento neutro, simetria.</p><p>e) Associativa, espaço vetorial, elemento neutro, multiplicação por</p><p>escalar.</p><p>Slide 1: Matemática para Computação</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p><p>Slide 27</p><p>Slide 28</p><p>Slide 29</p><p>Slide 30</p><p>Slide 31</p>