CÁLC II ENG Aula 17

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<p>AULA Nº 17</p><p>CÁLCULO II ENGENHARIA</p><p>PROF. CLAUDIO POSSANI</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Nesta aula vamos estudar o Teorema de Green,</p><p>um importante resultado envolvendo integrais</p><p>duplas e integrais de linha.</p><p>O Teorema de Green possui muitas</p><p>consequências relevantes tanto em termos de</p><p>Geometria como nas aplicações à Física.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Seja</p><p>𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝑷 𝒙, 𝒚 Ԧ𝒊 + 𝑸 𝒙, 𝒚 Ԧ𝒋 = (𝑷 𝒙, 𝒚 , 𝑸 𝒙, 𝒚 )</p><p>Um campo vetorial de classe 𝑪𝟏 definido numa</p><p>região 𝑫 ⊂ ℝ𝟐 cuja fronteira, 𝝏𝑫, seja a reunião</p><p>de um número finito de curvas fechadas</p><p>simples, regulares, disjuntas e orientadas</p><p>“positivamente”.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Orientação</p><p>positiva:</p><p>-8 -6 -4 -2 2 4 6 8</p><p>-8</p><p>-6</p><p>-4</p><p>-2</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Então</p><p>𝐷׭</p><p>𝑅𝑜𝑡 Ԧ𝐹 ∙ 𝑘𝑑𝐴 = 𝐷��׬</p><p>Ԧ𝐹𝑑 Ԧ𝑟</p><p>ou</p><p>ඵ</p><p>𝐷</p><p>(</p><p>𝜕𝑄</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝑃</p><p>𝜕𝑦</p><p>)𝑑𝐴 = න</p><p>𝜕𝐷</p><p>𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Observações:</p><p>1)𝑅𝑜𝑡 Ԧ𝐹 = (</p><p>𝜕𝑄</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝑃</p><p>𝜕𝑦</p><p>)𝑘</p><p>2) Na orientação positiva da região a</p><p>componente externa da fronteira é percorrida</p><p>no sentido anti-horário e as componentes</p><p>internas no sentido horário.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Orientação</p><p>positiva</p><p>-8 -6 -4 -2 2 4 6 8</p><p>-8</p><p>-6</p><p>-4</p><p>-2</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Calcule 𝛾׬</p><p>𝑒𝑥2</p><p>𝑑𝑥 + (3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦5)𝑑𝑦 sendo 𝛾 a</p><p>elipse</p><p>(𝑥−1)2</p><p>9</p><p>+</p><p>(𝑦−1)2</p><p>4</p><p>= 1 percorrida no sentido</p><p>horário.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>-4 -3 -2 -1 1 2 3 4</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Como podemos fazer este cálculo ?</p><p>1) Pela definição.</p><p>Uma rápida análise mostra que é um</p><p>caminho trabalhoso.</p><p>2) Usando teoria de campos conservativos.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>(I) 𝛻𝜑 = Ԧ𝐹 ⇔ (II) ׬𝛾</p><p>Ԧ𝐹𝑑𝑟 = 𝜑 𝛾 𝑏 − 𝜑(𝛾 𝑎 ) ⇔</p><p>⇔ (III) ׯ Ԧ𝐹𝑑 Ԧ𝑟 = 0</p><p>𝑅𝑜𝑡(𝐹) = 0</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Precisamos decidir se o campo do exemplo é</p><p>conservativo.</p><p>Ԧ𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥2</p><p>Ԧ𝑖 + (3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦5)Ԧ𝑗</p><p>𝑅𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =</p><p>𝜕𝑄</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝑃</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑘 = 3 − 0 𝑘 = 3𝑘 ≠ 0</p><p>logo 𝑭 não é conservativo</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>3) Usando o Teorema de Green</p><p>Importante: o rotacional é muito mais simples</p><p>que o campo!</p><p>Atenção: o sentido de percurso não está</p><p>coerente.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>න</p><p>𝜕𝐷</p><p>𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = − ඵ</p><p>𝐷</p><p>𝜕𝑄</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝑃</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑𝐴 =</p><p>= − ඵ</p><p>𝐷</p><p>3𝑑𝐴 = −3á𝑟𝑒𝑎 𝐷 = −3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 𝜋 = −18𝜋</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>IMPORTANTE: para aplicarmos o Teorema de</p><p>Green é necessário que toda a região 𝑫 esteja</p><p>contida no domínio do campo de vetores 𝑭.</p><p>ඵ</p><p>𝐷</p><p>(</p><p>𝜕𝑄</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝑃</p><p>𝜕𝑦</p><p>)𝑑𝐴 = න</p><p>𝜕𝐷</p><p>𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Exemplo importante:</p><p>Ԧ𝐹 𝑥, 𝑦 =</p><p>−𝑦</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>Ԧ𝑖 +</p><p>𝑥</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>Ԧ𝑗</p><p>Indicado por 𝑑𝜃.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Já vimos que</p><p>𝑅𝑜𝑡(𝐹) = 0</p><p>𝛾׬</p><p>−𝑦</p><p>𝑥2+𝑦2 𝑑𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>𝑥2+𝑦2 𝑑𝑦 = 2𝜋</p><p>onde 𝛾 é a circunferência de raio 𝑟 percorrida no</p><p>sentido anti-horário.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Porque não vale</p><p>න</p><p>𝛾</p><p>−𝑦</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>𝑑𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>𝑑𝑦 = ඵ</p><p>𝐷</p><p>𝜕𝑄</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝑃</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑𝐴 =</p><p>= ඵ</p><p>𝐷</p><p>0𝑑𝐴 = 0 ? ?</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>𝐷𝑜𝑚 Ԧ𝐹 = ℝ2 − (0,0)</p><p>-4 -3 -2 -1 1 2 3 4</p><p>-4</p><p>-2</p><p>2</p><p>4</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Por outro lado se 𝛾 for (𝑥 − 2)2+(𝑦 − 3)2= 1</p><p>então o interior de 𝛾 está contido no domínio</p><p>de Ԧ𝐹 e é válido aplicarmos o Teorema de Green</p><p>e concluir que</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>න</p><p>𝛾</p><p>−𝑦</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>𝑑𝑥 +</p><p>𝑥</p><p>𝑥2 + 𝑦2</p><p>𝑑𝑦 = ඵ</p><p>𝑖𝑛𝑡𝛾</p><p>𝜕𝑄</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝑃</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑑𝐴 =</p><p>= ඵ</p><p>𝐷</p><p>0𝑑𝐴 = 0</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>-4 -3 -2 -1 1 2 3 4</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Um domínio 𝐷 onde podemos aplicar livremente o</p><p>Teorema de Green, isto é, sem singularidades</p><p>(“sem buracos”) chama-se Domínio Simplesmente</p><p>Conexo.</p><p>Quando estamos nesta situação temos:</p><p>𝑅𝑜𝑡(𝐹) = 0⇒ ׯ Ԧ𝐹𝑑 Ԧ𝑟 = 0</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Domínios Simplesmente Conexos</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>(I) 𝛻𝜑 = Ԧ𝐹 ⇔ (II) ׬𝛾</p><p>Ԧ𝐹𝑑𝑟 = 𝜑 𝛾 𝑏 − 𝜑(𝛾 𝑎 ) ⇔</p><p>⇔ (III) ׯ Ԧ𝐹𝑑 Ԧ𝑟 = 0</p><p>𝑅𝑜𝑡(𝐹) = 0</p><p>CAMPOS CONSERVATIVOS</p><p>(I) 𝛻𝜑 = Ԧ𝐹 ⇔ (II) ׬𝛾</p><p>Ԧ𝐹𝑑𝑟 = 𝜑 𝛾 𝑏 − 𝜑(𝛾 𝑎 ) ⇔</p><p>⇔ (III) ׯ Ԧ𝐹𝑑 Ԧ𝑟 = 0</p><p>simplesmente</p><p>conexo</p><p>𝑅𝑜𝑡(𝐹) = 0</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Calcule 𝛾׬</p><p>𝑥6𝑑𝑥 + 𝑒𝑦3</p><p>𝑑𝑦 onde 𝛾 é o trecho da</p><p>curva 𝛾 𝑡 = (𝑡, 16 − 𝑡4) ligando −2,0 a (2,0)</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>-4 -2 2 4</p><p>-2</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>14</p><p>16</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>𝑅𝑜𝑡 Ԧ𝐹 =</p><p>𝜕𝑄</p><p>𝜕𝑥</p><p>−</p><p>𝜕𝑃</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝑘 = 0</p><p>𝐷𝑜𝑚 Ԧ𝐹 = ℝ2 que é simplesmente conexo</p><p>Logo 𝑭 é um campo conservativo.</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>Podemos “trocar de curva”.</p><p>𝛼 = 𝛼 𝑡 = 𝑡, 0 , −2 ≤ 𝑡 ≤ 2</p><p>𝑥 𝑡 = 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡</p><p>𝑦 𝑡 = 0 ⇒ 𝑑𝑦 = 0</p><p>TEOREMA DE GREEN</p><p>න</p><p>𝛾</p><p>𝑥6𝑑𝑥 + 𝑒𝑦3</p><p>𝑑𝑦 = න</p><p>𝛼</p><p>𝑥6𝑑𝑥 + 𝑒𝑦3</p><p>𝑑𝑦 =</p><p>= න</p><p>−2</p><p>2</p><p>𝑡6𝑑𝑡 =</p><p>𝑡7</p><p>7</p><p>|</p><p>2</p><p>−2</p><p>=</p><p>27</p><p>7</p><p>−</p><p>−2 7</p><p>7</p><p>=</p><p>28</p><p>7</p><p>TEOREMA DE GREEN</p>