Fundamentos Básicos da Engenharia - EAD

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FUNDAMENTOS BÁSICOS
DA ENGENHARIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
PROF. DR. RODRIGO DE SOUZA RUZZI 
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Aliana de Araújo Camolez
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande re-
sponsabilidade sobre as escolhas que fazemos, 
e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica 
e profissional, refletindo diretamente em nossa 
vida pessoal e em nossas relações com a socie-
dade. Hoje em dia, essa sociedade é exigente 
e busca por tecnologia, informação e conhec-
imento advindos de profissionais que possuam 
novas habilidades para liderança e sobrevivên-
cia no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino 
a Distância, a proporcionar um ensino de quali-
dade, capaz de formar cidadãos integrantes de 
uma sociedade justa, preparados para o mer-
cado de trabalho, como planejadores e líderes 
atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................4
1. AS OPERAÇÕES ELEMENTARES ..........................................................................................................................5
2. FATORAÇÃO, FATOR COMUM E AGRUPAMENTOS ...........................................................................................18
3. NOTAÇÃO CIENTÍFICA ....................................................................................................................................... 20
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ........................................................................................................26
5. GRÁFICOS E TABELAS ....................................................................................................................................... 30
6. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS .........................................................................................................................36
7. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1O E 2O GRAUS ....................................................................................................38
8. INTERPOLAÇÃO ...................................................................................................................................................41
NÚMEROS E A ENGENHARIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA 
PROF. DR. RODRIGO DE SOUZA RUZZI
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à primeira unidade do curso de Fundamentos 
Básicos da Engenharia. Esta unidade tem por objetivo revisar as operações básicas e alguns 
conceitos que usaremos ao longo do curso de Engenharia. O objetivo, também, é apresentar a 
você algumas aplicações simples de matemática básica no curso de Engenharia.
Nesta unidade, você será encorajado(a) a pesquisar a solução de algumas situações-
problema envolvendo Engenharia. Esperamos que você, por meio da leitura e das vídeo-aulas, 
desenvolva raciocínio lógico para a resolução de problemas. Focaremos bastante nas operações 
matemáticas básicas, leitura de grá� cos e tabelas, uso da interpolação e uso da calculadora 
cientí� ca no dia a dia da Engenharia.
Serão apresentadas algumas soluções utilizando a calculadora cientí� ca. Vale ressaltar 
que ela não substitui a capacidade de raciocínio lógico, o conhecimento matemático, tampouco 
a criatividade do engenheiro. A correta utilização da calculadora otimiza o tempo e facilita a 
solução de problemas. Nesta apostila, será utilizada a calculadora CASIO® fx-82MS, que é uma 
calculadora básica, mas que realiza todas as operações fundamentais matemáticas. Calculadoras 
programáveis e que realizam derivadas e integrais não serão permitidas no curso.
Lembre-se de que a matemática é fundamental na formação dos engenheiros, seja qual 
for o seu ramo. Assim, desejamos a você bons estudos. 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1. AS OPERAÇÕES ELEMENTARES
Os números que usamos no cotidiano são denominados de números reais. De acordo 
com Gomes (2018), esses números são divididos em diversos conjuntos, cada qual com origem e 
emprego especí� cos. 
Uma das características mais importantes dos seres humanos é a capacidade de 
abstração. Você, como futuro engenheiro, deverá ter essa capacidade ainda mais aguçada, pois, 
constantemente, no exercício da pro� ssão, deparar-se-á com situações que exigirão tal capacidade 
de abstração, em particular, na resolução de problemas usando a linguagem matemática. 
Foge do objetivo deste texto a de� nição formal das operações aritméticas elementares, 
as quais supomos conhecidas por você. Entretanto, deter-nos-emos nas propriedades dessas 
operações e suas aplicações na Engenharia. O que faremos será analisar e aplicar essas propriedades.
Admita que x, y e z sejam números reais quaisquer. Para eles, são válidas as seguintes 
propriedades:
• Comutatividade da soma: 
• Associatividade da soma: 
• Comutatividade da multiplicação: 
• Associatividade da multiplicação: 
• Distributividade: 
Exemplo 1
A Figura 1 apresenta informações acerca do número de empregos formais criados em um 
semestre em um país. Com base nessas informações, resolva os itens a seguir.
Figura 1 - Número de empregos formais. Fonte: O autor.
a) Quantas vagas de empregos formais, no semestre, foram criadas pelos setores indústria 
de transformações, serviços e indústria extrativa?
Solução: Para calcular o número de vagas criadas no semestre, pelos setores indústria de 
transformações, serviços e indústria extrativa, necessitamos efetuar a seguinte soma numérica 
. Logo, foram criadas 128.001 vagas pelos setores indústria 
de transformações, serviços e indústria extrativa.
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b) Quantas vagas de empregos formais o setor da construção civil ofereceu a mais do que 
o setor de serviços de água, luz e gás?
Solução: Para calcular o número de vagas que o setor da construção civil ofereceu a mais 
do que o setor de serviços de água, luz e gás, devemos efetuar a seguinte diferença (subtração) 
 Logo, o setor de construção civil criou 51.792 vagas a mais do que o 
setor de serviços de água, luz e gás.
Exemplo 2
(CESGRANRIO - adaptado) No Brasil, são consumidos 340 milhões de botijões de GLP 
por ano. Se todos esses botijões fossem do tipo P-13, que contém 13 kg de GLP, quantos milhões 
de quilogramas de GLP seriam consumidos anualmente no Brasil?
Solução: Para determinar a quantidade, em quilograma, de GLP utilizada, devemos 
efetuar a multiplicação entre o número de botijões consumidos e a massa de cada botijão. Assim, 
, ou seja, são consumidos, no Brasil, 4.420 milhões de 
quilogramas de GPL por ano.
Exemplo 3
(ENADE- adaptado) Na construção civil, umdos ensaios mais conhecidos e aplicados ao 
controle tecnológico do concreto é o ensaio de compressão axial de corpos de prova cilíndricos, 
que são normalmente moldados no recebimento do concreto em obra, a � m de se veri� car o 
atendimento da resistência característica do concreto. A tabela a seguir apresenta os resultados 
de resistência à compressão axial, aos 28 dias de idade, de três corpos de prova coletados em uma 
obra.
Corpo de prova Tensão (MPa)
CP1 25
CP2 22
CP3 28
Calcule a média aritmética da resistência à compressão axial dos três corpos de provas 
testados.
Solução: Do Ensino Médio, você deve se lembrar que a média aritmética  é a soma 
de vários valores, dividida pelo total deles. Isto é, o resultado dessa divisão equivale a um valor 
médio entre todos os valores. Dessa forma, a média aritmética da resistência à compressão axial 
dos três corpos de provas testados é
Logo, a média aritmética da resistência à compressão axial dos corpos de prova é igual a 
25 MPa.
Solução pela calculadora: As operações entre parênteses têm a prioridade na solução. 
Para obter o resultado correto, você deve digitar os números da seguinte maneira:
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Exemplo 4
Um combustível, de massa especí� ca 800 kg/m3, preenche completamente um tanque 
de 0,5 m3. Considerando a aceleração gravitacional igual a 9,8 m/s2, determine o peso desse 
combustível, em N.
Solução: Das aulas de química do Ensino Médio, você deve se recordar de que a massa 
especí� ca é calculada pela razão entre a massa e o volume ocupado por uma 
substância e, das aulas de física, deve se recordar de que o peso é o produto da massa com a 
aceleração gravitacional . Assim, a massa do combustível é calculada como segue
Assim, o peso do combustível é
Portanto, o peso desse combustível é igual a 3.920 N.
Exemplo 5
(ENADE - adaptado) O consumo de água de um município varia signi� cativamente ao 
longo das horas do dia. Com o avanço tecnológico e o surgimento de modernos medidores de 
consumo, inclusive os digitais com transmissão de dados online para as centrais de saneamento, 
tem sido possível estabelecer parâmetros mais precisos sobre a variação do consumo de água ao 
longo do dia. Essa variação precisa ser corrigida no dimensionamento da rede de distribuição 
de água. Para tanto, é comum fazer uso do coe� ciente da hora de maior consumo (k2), de� nido 
como a razão entre o consumo máximo e o consumo médio ao longo do dia. O grá� co da Figura 
2 exibe o consumo de água ao longo do dia em um município.
Figura 2 – Consumo de água. Fonte: ENADE (2019).
A massa específi ca de uma substância é defi nida como a razão entre a massa de 
uma porção compacta e homogênea dessa substância e o volume ocupado por 
ela.
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A partir da análise do grá� co, qual o coe� ciente da hora de maior consumo (k2)?
Solução: Note que, segundo o enunciado, o coe� ciente da hora de maior consumo (k2) é 
de� nido como a razão entre o consumo máximo e o consumo médio ao longo do dia. Assim, por 
inspeção, segue que
Portanto, é igual a 1,5.
 
A seguir, elencamos as principais propriedades numéricas envolvendo frações. Para tal, 
considere que x, y, z e w sejam números reais quaisquer com e . Assim,
• Propriedade 1: 
• Propriedade 2: 
• Propriedade 3: 
• Propriedade 4: 
• Propriedade 5: 
• Propriedade 6: 
• Propriedade 7: com 
Exemplo 6
Um engenheiro recebeu uma tarefa para cumprir. Pela manhã, ele fez da tarefa e à tarde 
 do total. Determine a fração da tarefa que esse engenheiro precisa realizar.
Solução: Primeiramente, vamos determinar a fração da tarefa realizada pelo engenheiro, 
ou seja,
Agora, vamos determinar a fração que falta, isto é,
Solução pela calculadora: A fração da tarefa realizada pelo engenheiro pode ser calculada 
pela função ( ) da calculadora. Para tanto, deve ser digitado:
O mesmo é realizado na fração que falta:
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 7
(CESGRANRIO) “Existem no País 292 áreas concedidas para minério de ferro. Cerca de 
2/3 destas áreas encontram-se paralisadas por motivos diversos, como di� culdade de escoamento, 
falta de mercado localizado, áreas com pesquisa insu� ciente, minério de baixa qualidade, 
pendências judiciais, restrições ambientais, etc. [...] Mas a evolução da produção comercial, no 
período de 1988 a 2000, mostra um crescimento a uma taxa anual de 3%.”
Balanço mineral brasileiro – 2001, disponível em http://www.dnpm.gov.br
O número aproximado de áreas concedidas para minério de ferro que se encontra em 
atividade é:
(A) 97 (B) 123 (C) 154 (D) 178 (E) 194
Solução: Segue do enunciado que 2 das 292 áreas concedidas para minério de ferro, 2/3 
delas encontram-se paralisadas, ou seja,
Assim, o número aproximado de áreas concedidas para minério de ferro que se encontram 
em atividade é .
Símbolos da vírgula decimal e separador
Por padrão de fábrica, a calculadora utiliza o ponto (.) como separador decimal 
e a vírgula (,) como separador de milhares. Se um número grande for digitado 
na calculadora, como 178549875 e, então, o botão de igual (=) for pressionado, 
aparecerá no visor:
178,549,875.
Verifi que que a vírgula separa os milhares. Esse número se lê como: cento e 
setenta e oito milhões, quinhentos e quarenta e nove mil e oitocentos e setenta e 
cinco. Se esse número for dividido por 2, o resultado será:
89,274,937.5
O ponto separa a parte inteira da decimal. O número se lê como: oitenta e nove 
milhões, duzentos e setenta e quatro mil, novecentos e trinta e sete e cinco 
décimos.
Essa representação não é convencional na Língua Portuguesa e pode ser confusa 
ao usuário. Para alterar o padrão, é necessário clicar em (MODE) quatro vezes, 
quando aparecer Disp. na tela, clicar em (1) e, então, no botão replay, apertar a seta 
para a direita. As opções Dot (ponto) e Comma (vírgula) vão aparecer. A opção (1) 
mantém o padrão de fábrica da calculadora, e a opção (2) alterará para vírgula, 
que é o comum na Língua Portuguesa. A ordem é apresentada na Figura 3.
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Exemplo 8
(CESGRANRIO) Uma central de tratamento de resíduos transforma resíduos da 
construção civil (entulho de obras) em areia e pedra prontos para serem reaproveitados, 
reciclando, ao todo, 18 mil toneladas de entulho por mês. Se, desse total, 2/3 correspondem à 
areia, e o restante, a pedras, quantos milhares de toneladas de areia reciclada são produzidos, em 
três meses, por essa central?
Solução: Note que, em um mês, são recicladas 18 mil toneladas de entulho pela central 
de tratamento de resíduos. Assim, em três meses, são tratadas 54 mil toneladas. Desse total, 2/3 
correspondem à areia, ou seja, 
Logo, correspondem à areia 36 mil toneladas.
Exemplo 9
(CESPE – adaptado) O valor numérico da expressão é igual a...
Solução: Quando resolvemos expressões numéricas, devemos lembrar que, primeiramente, 
resolvemos as operações dentro dos parênteses, seguidas das que estão dentro dos colchetes e, 
por � m, das chaves. Assim,
Figura 3 – Mudando de separador decimal. Fonte: O autor.
Alterando para vírgula, se o número 178549875 for digitado na calculadora, ele 
aparecerá da seguinte forma:
178.549.875,
E, dividindo esse valor por dois, o resultado será:
89.274.937,5
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Solução pela Calculadora: A calculadora não apresenta colchetes e chaves, somente 
os parênteses. Portanto, ela sempre resolverá os parênteses mais internos da expressão. Para 
solucionar o problema, deve-se digitar a expressão da seguinte forma:
Exemplo 10
(CESGRANRIO) Quandoum estudo de sustentabilidade de usinas hidrelétricas é 
realizado, diversos fatores são levados em consideração. Um desses fatores é o “indicador de área 
alagada”, i, que corresponde à razão entre a área (em km2) alagada na formação do reservatório 
de água da usina e a potência instalada da mesma (em MW). O valor encontrado deve ser situado 
nas classes estabelecidas para esse indicador. Essas classes são apresentadas na tabela seguinte.
Classes do indicador de área alagada
Classes Intervalo das classes (km2/MW)
Muito alta i≤0,25
Alta 0,25≤i≤0,50
Média 0,50≤i≤0,75
Baixa 0,75≤i≤1,0
Muito baixa i>1,0
Disponível em: http://www.epe.gov.br (adaptado)
Uma usina hidrelétrica, cuja área alagada é de 2.600 km2 e a potência instalada é de 8.400 
MW, apresenta indicador de área alagada i na classe
(A) Muito Alta (B) Alta (C) Média (D) Baixa (E) Muito Baixa
Solução: Segue do enunciado que o indicador de área alagada é calculado como
Assim, com o valor de indicador de área alagada calculado, na tabela, veri� camos que a 
classe desse indicador é “Alta”.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 11
(FGV - adaptado) Para realizar um reboco de 5 cm de espessura em um metro quadrado 
de parede, temos as seguintes necessidades:
• 0,50 hora de pedreiro (R$ 15,00/h);
• 0,40 hora de ajudante de pedreiro (R$ 12,00/h);
• 0,006 m3 de areia � na (R$ 50,00/ m3);
• 1,4 kg de cal hidratada (R$ 0,5/kg).
Determine o valor do custo unitário (por m2) deste serviço.
Solução: O custo do serviço, por m2, é a soma dos custos individuais (insumos e mão-de-
obra) apresentados anteriormente. Assim,
i) 0,50 hora de pedreiro (R$ 15,00/h) 
ii) 0,40 hora de ajudante de pedreiro (R$ 12,00/h)
iii) 0,006 m3 de areia � na (R$ 50,00/ m3)
iv) 1,4 kg de cal hidratada (R$ 0,5/kg)
Daí, o custo unitário, por m2, desse serviço é 
.
Exemplo 12
Um projeto de engenharia possui três fases consecutivas X, Y e Z. Inicialmente, as fases X 
e Y têm custos estimados correspondentes a 40% e 30% do custo total da obra, respectivamente. 
Durante a execução do projeto, os custos das fases X, Y e Z sofreram acréscimos de 10%, 15% 
e 10%, respectivamente. Nessas condições, determine o acréscimo percentual do custo total do 
projeto.
Solução: De acordo com o enunciado, as três fases do projeto têm custo previsto de X = 
40%, Y = 30% e Z = 30% (o que faltou para completar o total). No entanto, as fases de execução 
sofreram acréscimos de 10%, 15% e 10%, respectivamente. Assim, os novos valores são X = 44% 
 Y = 34,5% e Z = 33%, ou seja, o projeto custa, agora, 44%+34,5%+33% = 
111,5%, ou seja, 11,5% a mais que o valor original.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 13
Duas membranas permeáveis, que distam d = 0,04 m, separam as regiões 1, 2 e 3 de 
um líquido, como mostra a Figura 4. As concentrações de certo corante nas regiões 1 e 3 são, 
respectivamente, 2,0 kg/m3 e 4,0 kg/m3. Dado que o coe� ciente de difusão do corante no � uido é 
 = 5,0 10-11 m2/s, qual é, em kg/(m2.s), o � uxo estacionário de massa por unidade de área das 
membranas? 
Figura 4 – Transferência de massa. Fonte: O autor.
Solução: Segue do enunciado que m2/s; kg/m3; 
kg/m3 e l = 0,04 m. Assim, pela lei de Fick
A lei da difusão de Fick é uma lei quantitativa que descreve diversos casos de 
difusão de massa em um meio no qual, inicialmente, não existe equilíbrio químico. 
A difusão está associada ao transporte de massa que ocorre em um sistema em 
que haja gradiente de concentração química. Essa lei é escrita como
 , em que mX é a taxa (kg/s) de transferência de massa da 
substância X, A é área (m2) da seção transversal em que ocorre a transferência de 
massa, é o coefi ciente de difusividade (m2/s) de X em Y, l é a espessura da 
região onde ocorre a difusão, C2 e C1 são as concentrações das regiões menos e 
mais concentradas, respectivamente. O sinal negativo na lei de Fick indica que o 
fl uxo ocorre de uma região de alta concentração para uma de baixa concentração.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
A ideia de porcentagem foi empregada em épocas distantes, como a do antigo Império 
Romano. O imperador Augusto cobrava um imposto de sobre o preço da venda de todos os 
bens. No século XV, manuscritos italianos utilizavam expressões como “20 p100” e “XX p cento” 
para indicar vinte por cento. Em 1650, o sinal “per ” era utilizado para indicar porcentagem. 
Posteriormente, esse sinal se perdeu no tempo e � cou o sinal que se utiliza atualmente (%). 
Diversos assuntos ligados à Engenharia requerem o uso de porcentagem.
Exemplo 14
(ENADE - adaptado) Entendendo a importância do planejamento para o melhor 
desempenho empresarial, uma empresa realizou uma reunião para revisar o planejamento do 
terceiro trimestre. Na reunião, o diretor de Marketing informou que a projeção de vendas para o 
mês de julho, agosto e setembro era R$100.000,00, R$120.000,00 e R$200.000,00. Esclareceu que 
50% das vendas são realizadas à vista e as demais a prazo, sendo metade para 30 dias, e a outra 
parte para 60 dias. O diretor � nanceiro informou que, nos meses de maio e junho, a empresa 
realizou vendas de R$ 160.000,00 e R$ 140.000,00 e que há recebimentos acerca de outros 
rendimentos no valor de R$ 2.000 por mês. Para dar continuidade ao planejamento � nanceiro, 
é necessário conhecer o total de recebimentos do período. Com base nas informações dadas na 
reunião, determine os recebimentos totais projetados para os meses de julho, agosto e setembro.
Solução: Segue do enunciado que as vendas e projeções de vendas são as seguintes:
Mês Valor (R$)
Maio 160.000
Junho 140.000
Julho 100.000
Agosto 120.000
Setembro 200.00
Mas, os recebimentos são 50% à vista, 25% para 30 dias e 25% para 60 dias. Além de 
existirem recebimentos de R$ 2.000,00 ao longo dos meses. Daí, 
Maio Junho Julho Agosto Setembro Out. Nov.
160.000 80.000 40.000 40.000
140.000 70.000 35.000 35.000
100.000 50.000 25.000 25.000
120.000 60.000 30.000 30.000
200.000 100.000 50.000 50.000
2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000
Total 127.000 122.000 157.000
 
Portanto, os recebimentos em julho, agosto e setembro são, respectivamente, iguais a R$ 
127.000,00; R$ 122.000,00 e R$ 157.000,00.
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Exemplo 15
O número de Reynolds, Re, é uma quantidade adimensional para um � uido em movimento 
e amplamente empregado em Mecânica dos Fluidos. Ele é obtido pela combinação da viscosidade 
, da massa especí� ca do � uido ρ, de uma velocidade típica V e um comprimento típico, em 
geral, o diâmetro D de uma tubulação. Assim, o número de Reynolds é escrito como . 
Considere que a viscosidade do � uido aumente em 10%, enquanto que a massa especí� ca diminui 
em 10%, sendo mantidas as demais grandezas. Nessas condições, qual a variação percentual 
sofrida pelo número de Reynolds?
Solução: Para um � uido em escoamento que apresenta viscosidade , massa especí� ca 
ρ, velocidade V e tubulação com diâmetro D, o número de Reynolds é . Para a nova 
condição, a viscosidade aumentou em 10%, ou seja, seu valor passou a ser igual a , ao passo 
que a massa especí� ca diminuiu em 10%, isto é, seu valor é igual a . Nessas condições, o 
novo número de Reynolds ( ) é
Assim, concluímos que o novo número de Reynolds é, aproximadamente, igual a 82% do 
valor original.
Sejam x e y números reais não nulos, e m e n números racionais, temos as seguintes 
propriedades:
• Propriedade 8: 
• Propriedade 9: 
• Propriedade 10: 
• Propriedade 11: 
• Propriedade 12: 
Exemplo 16
Determine a terça parte do número real .
Solução: Note que , e . Daí, 
 Logo, a terça parte do número é
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Exemplo 17
Dado que e Determine a diferença entre x 
e y, nessa ordem.
Solução: Do ensino básico, você deve se lembrar das prioridades de resolução de operações 
matemáticas. Assim,
Temos, ainda, que
Logo, .
Considerando que tal que e . Considerando, ainda, que 
com e e que n e o produto nm seja par, são válidas as seguintes propriedades:
• Propriedade 13: 
• Propriedade 14: 
• Propriedade 15: com 
• Propriedade 16: 
• Propriedade 17: 
• Propriedade 18: 
As propriedades de 13 a 18 também são válidas quando n e o produto nm são ímpares e, 
nessa condição, podemos ter .
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Exemplo 18
Determine o valor de 
Solução: Do ensino básico, você deve se lembrar das prioridades de resolução de operações 
matemáticas. Assim,
Solução na calculadora: A raiz pode ser resolvida diretamente, basta separar as operações 
de forma adequada: 
Exemplo 19
Determine o valor de .
Solução: Do ensino básico, você deve se lembrar de que Assim,
Assim, é igual a 0,5 ou 50%.
Solução na calculadora: Utilizando a ideia de porcentagem: 
Exemplo 20
Determine a soma de todos os dígitos do número real .
Solução: Segue que
Daí, a soma dos dígitos do número é 4+0+9+6=19.
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2. FATORAÇÃO, FATOR COMUM E AGRUPAMENTOS
Neste tópico, relembraremos tópicos de fatoração e produtos notáveis. Quando 
dominamos esses assuntos, diversos cálculos matemáticos em Engenharia � cam mais simples. 
Acompanhe a situação matemática descrita a seguir:
Nessa identidade, o membro foi escrito na forma da multiplicação 
 de dois fatores, e . Nessas condições, efetuamos a fatoração 
de e que é o fator comum. Observe que aparece como fator que é 
comum a cada parte do membro . De fato,
Existem situações em que a fatoração pode ser feita empregando agrupamento dos termos 
de uma expressão, como foi feito na expressão a seguir. Acompanhe o exemplo:
As identidades expostas apresentam produtos de expressões algébricas que são conhecidos 
como produtos notáveis. A Tabela 1 apresenta os principais e que merecem sua atenção, pois 
você fará uso deles em muitas situações em Engenharia. Aconselhamos que você os memorize!!
Diferença de quadrados
Quadrado da soma
Quadrado da diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença
Soma de cubos
Diferença de cubos
Tabela 1 – Os principais produtos notáveis. Fonte: O autor.
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Exemplo 21
Simpli� que as expressões que seguem
A) 
B) 
 com 
C) 
 com 
D)
 com 
Nesse exemplo, observe que � zemos uso de um artifício matemático para tornar a 
fatoração possível.
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Exemplo 22
Sem usar calculadora, determine .
Solução: Aplicando a fatoração da diferença de quadrados, temos que 
3. NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Considere os textos a seguir:
Difícil imaginar o quão complicado é desenvolver algo nesse ambiente? Então 
apanhe uma régua e, em um papel, trace uma linha de dez centímetros. Agora 
pegue essa reta e a divida em nada menos que 10.000.000 de partes. Pronto, agora 
você já sabe o que é 1 nanômetro, ou seja, 1 nm = 0,000000001 m. Observáveis 
em vários aspectos da natureza, como em alguns animais que têm a habilidade de 
andar na parede devido a forças adesivas ou nas superfícies hidrofóbicas (capazes 
de repelir água), como as folhas da � or de lótus, as nanoestruturas passaram a ser 
sintetizadas pelo homem e aplicadas nos mais diversos segmentos. Seu potencial 
é tão amplo e promissor que muitos especialistas consideram a nanotecnologia 
uma nova revolução industrial (PINELLI, 2016).
E, ainda:
Astrônomos anunciaram em março de 2.016, que o Telescópio Espacial Hubble, 
operado pela Nasa, identi� cou a galáxia mais distante já vista, posicionada a 
13.400.000.000 de anos-luz de distância da Terra. A chamada GN-z11 se formou 
apenas 400.000.000 de anos depois do Big Bang e do nascimento do Universo. 
A descoberta, feita por especialistas americanos, será publicada na semana que 
vem na revista cientí� ca � e Astrophysical Journal. A galáxia, que foi avistada 
na direção da Ursa Maior, tem cerca de 1.000.000.000 de vezes a massa do Sol. 
A análise foi feita com uma das câmeras do Hubble (Adaptado de VEJA, 2016).
Ao efetuar a leituras desses dois textos, deparamo-nos com números cuja leitura 
é complicada, pois alguns deles são ou muito grandes ou muito próximos de zero. Isso é um 
tormento para quem trabalha com a notação decimal. Para contornar essas situações, fazemos 
uso da notação cientí� ca. Dizemos que um número está em notação cientí� ca quando ele é 
escrito como
em que x é o coe� ciente com tal que e n é o expoente tal que 
Para trabalhar em notação cientí� ca, o futuro engenheiro precisa saber lidar com potências 
de 10. Na Tabela 2, estão sumarizadas algumas dessas potências de base 10.
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Forma decimal Forma de produto Forma de potência
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1.000
10.000
Tabela 2 – Algumas representações em potências de base 10. Fonte: O autor.
A maioria das calculadoras admite a representação de números na notação 
científi ca. Entretanto, em muitas delas, o expoente aparece depois da letra E, que 
também pode aparecer na forma minúscula: e. Assim, 3,14153×10-4, por exemplo, 
pode aparecer no visor da calculadora na forma 3,14153×E-4 ou 3,14153×e-4.
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Exemplo 23
Escreva, em notação cientí� ca, os números seguintes:
A) 
Solução na calculadora: No modo normal da calculadora, qualquer número decimal 
abaixo de 0,01, será automaticamente apresentado em notação cienti� ca. 
B) 
Solução pela calculadora: Para apresentar esse valor em notação cientí� ca, será utilizada 
a tecla (ENG). Essa tecla transforma o valor utilizando notação de Engenharia, que são as 
potências múltiplas de 3. Se o valor for digitado e a tecla (ENG) for pressionada, o 
resultado será .
Exemplo 24
Escreva, em notação decimal, os números seguintes:
A) 
Solução na calculadora: Para apresentar esse valor em decimal, será utilizada primeiro 
a tecla (EXP), que é a representação da notação cientí� ca. Deve-se digitar o número da seguinte 
forma:
E o número é apresentado em notação cientí� ca:
Para transformá-lo em decimal, é necessário pressionar (SHIFT) e então (ENG). Cada 
vez que for realizado esse processo, o valor será representado em uma base maior; na primeira 
vez, o resultado será:
Se o procedimento for realizado mais duas vezes, o resultado será:
Há uma perda de dados, pois a calculadora só tem resolução de 9 dígitos.
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B)
Solução na calculadora: Para números entre 0,01 e 9999999999, se forem digitados na 
calculadora, não serão apresentados na forma de notação cientí� ca, digitando:
No visor, aparecerá o número:
Exemplo 25
Efetue os cálculos a seguir.
A) 
Solução: Note que as potências de base 10 possuem expoentes distintos. Assim, devemos 
converter o número com menor potência de 10, deixando-o com o mesmo expoente do outro.
Solução na calculadora: basta digitar o valor de forma direta e organizada, da seguinte 
maneira:
O resultado será:
B) 
Solução: Reagrupando os termos do produto, segue que
Solução pela calculadora: Novamente, o cálculo é realizado de forma direta. Basta digitar:
O resultado seria exatamente o mesmo sem os parênteses, porém, para uma melhor 
organização dos dados,é recomendado utilizá-los. O resultado é:
C) 
Solução: Para dividir números na notação cientí� ca, seguimos as regras usuais das 
frações. Daí,
Solução na calculadora: O calculo é análogo à multiplicação. Sendo assim:
Isso será igual a:
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Exemplo 26
Energia elétrica é gerada pela instalação de um conjunto gerador-turbina hidráulica em 
um local 90 m abaixo de um grande reservatório de superfície livre, que pode fornecer água 
à vazão de 2.000 kg/s, como ilustrado pela Figura 5. Com base nessas informações, estime a 
potência elétrica produzida pela usina, em W.
Figura 5 – Instalação de uma hidroelétrica. Fonte: O autor.
Solução: Das aulas de física do Ensino Médio, você deve se recordar de que a energia 
mecânica é a soma da energia potencial gravitacional com a energia cinética 
, isto é, . Note, na Figura 5, que no ponto (1) a energia 
potencial é máxima, e a energia cinética é nula, pois, nessa região, a água está parada. Daí, no 
ponto (1), temos que
O quociente entre a quantidade de energia e o tempo de� ne a potência. Assim, na região 
1, temos que
ou ainda,
Mas a razão entre a massa que atravessa uma seção reta de tubo pelo tempo é, em 
Engenharia, conhecida como vazão mássica, que aqui denotaremos por . Assim, a potência a 
ser desenvolvida pela hidroelétrica é
Logo, a potência elétrica dessa usina é de .
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Solução na calculadora: Para solucinar essa multiplicação, primeiramente, deverá ser 
realizada a seguinte multiplicação:
Após o resultado 1765800 aparecer, basta pressionar a tecla (ENG) e, então, o resultado é 
dado por:
Ao realizar as operações em matemática, temos que nos 
recordar da prioridade de resolução. 
O vídeo (disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=EliV-1RvhrY>), produzido pela Khan Academy, 
ilustra essas situações.
A calculadora tem um modo próprio para trabalhar com notação científi ca. Para 
isso, você deve pressionar a tecla (MODE) três vezes e, então, deve ser escolhida 
a opção SCI (2). Após isso, devem ser informados os números dígitos que serão 
apresentados, as opções são de 0 a 9, indo de 1 dígito para o número 1, e 10 
dígitos para o número 0.
Nanopartículas são partículas cujo tamanho está na faixa 
de medida entre 1 e 100 nanômetros. Um nanômetro é igual 
a 1,0×10-9m. O artigo que segue é uma revisão acerca da 
aplicação de nanotecnologia em alimentos. O artigo, intitulado 
Características de nanopartículas e potenciais aplicações em 
alimentos é de autoria Letícia Marques de Assis, Elessandra 
da Rosa Zavareze, Carlos Prentice Hernández e Leonor 
Almeida de Souza Soares e está disponível em: 
<http://www.scielo.br/pdf/bjft/v15n2/aop_0711.pdf>
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4. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem 
quatro valores, dos quais três são conhecidos. Portanto, determina-se um valor com base nos 
outros três já conhecidos. Para resolver uma regra de três, usa-se o seguinte roteiro:
1. Construir uma tabela, agrupando-se as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo, em linha, as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2. Veri� car se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3. Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplo 27
(ENADE – adaptado) Um produtor rural de soja aplicará um inseticida para controle de 
pragas cuja bula recomenda a dosagem de 2 l⋅ha-1 (litro por hectare) do produto comercial. Ele 
possui um pulverizador com capacidade de 400 litros, devidamente regulado para distribuir esse 
volume em 4 ha. Considerando-se essas informações, qual quantidade do produto comercial 
deve ser adicionada ao tanque de pulverização utilizando o seu volume total?
Solução: Segue do enunciado que a bula recomenda a dosagem de 2 l⋅ha-1 (litro por 
hectare) do produto comercial. Daí,
x = 8 litros
Portanto, serão necessários 8 litros do inseticida.
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre os 
valores da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda. 
Ou seja, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Dessa forma, 
dobrando-se uma delas, a outra também dobra; triplicando-se uma delas, a outra 
também triplica; e assim por diante. Por outro lado, duas grandezas são ditas 
inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual 
ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda. Ou seja, são 
grandezas em que, variando-se uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. 
Dessa forma, dobrando-se uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando-se 
uma delas, a outra se reduz para a terça parte; e assim por diante.
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Exemplo 28
O grá� co da Figura 6 aponta a produção de um insumo produzido por uma empresa nas 
diversas regiões do País. Em valores absolutos, essas estimativas indicam que as duas maiores 
regiões produtoras produziram juntas um total de 120 mil de toneladas em 2.019.
Figura 6 – Produção de insumo. Fonte: O autor.
Nessas condições, determine a produção estimada desse insumo, em mil de tonelada, na 
Região Nordeste do País.
Solução: As duas maiores regiões produtoras do insumo são Sul e Centro-Oeste, as 
quais produziram juntas 32,2% + 38,2% = 70,5%, o que corresponde a uma produção de 120 mil 
toneladas. Assim, a região Nordeste produziu 
x = 17.702,13 toneladas
Portanto, a região Nordeste produziu, aproximadamente, 17.702 toneladas do insumo.
Exemplo 29
(ENEM – adaptado) A energia solar vai abastecer parte da demanda de energia do campus 
de uma universidade painéis solares na área dos estacionamentos e na cobertura do hospital 
pediátrico será aproveitada nas instalações universitárias e também ligada na rede da companhia 
elétrica distribuidora de energia. O projeto possui 100 m2 de painéis solares que � carão instalados 
nos estacionamentos, produzindo energia elétrica e proporcionando sombra para os carros. Sobre 
o hospital pediátrico serão colocados aproximadamente 300 m2 de painéis, sendo 100 m² para 
gerar energia elétrica utilizada no campus, e 200 m2 para geração de energia térmica, produzindo 
aquecimento de água utilizada nas caldeiras do hospital. Suponha que cada metro quadrado 
de painel solar para obter energia elétrica gere uma economia de 1 kWh por dia e cada metro 
quadrado produzindo energia térmica permita economizar 0,7 kWh por dia para a universidade. 
Em uma segunda fase do projeto, será aumentada em 75% a área coberta pelos painéis solares que 
geram energia elétrica. Nessa fase também deverá ser ampliada a área de cobertura com painéis 
para a geração de energia térmica. 
Disponível em: http://agenciabrasil.ebc.com.br. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado).
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Determine a área total dos painéis que geram energia térmica, em metro quadrado, para 
obter o dobro da quantidade de energia economizada diariamente, em relação à primeira fase.
Solução: Depreende-se do enunciado que há 200 m2 de painéis solares para produção de 
energia elétrica, e outros 200 m2 para produção de energia térmica. Assim, a economia de energia 
para:
i) produção de energia elétrica será 
ii) produção de energia térmica será 
No � nal da primeira fase do projeto, temos uma economia de energia igual a . 
Na segunda fase, de acordo com o enunciado, haverá aumento de 75% na área coberta pelos painéis 
no que diz respeito à produção de energia elétrica. Assim, a área passa a ser igual a 200 1,75 
= 350 m2 e a economia de energia elétrica,nessas condições, é de . O dobro da 
quantidade de energia economizada na primeira fase é igual a . Como já temos a 
economia na produção de energia elétrica de referente à ampliação da segunda fase, 
resta-nos de economia, para ser realizada com a produção de energia 
térmica. Assim, a área de painel necessária é
A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem 
N valores, dos quais são conhecidos N -1 desses valores. Portanto, determina-se um valor com 
base nos outros N-1 já conhecidos.
Exemplo 30
(FCC - adaptado) Suponha que 8 máquinas de terraplanagem, todas com a mesma 
capacidade operacional, sejam capazes de nivelar uma superfície de 8.000 metros quadrados em 8 
dias, se funcionarem ininterruptamente 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos metros 
quadrados poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, em 16 dias de trabalho e 16 horas 
por dia de funcionamento ininterrupto?
Solução: Montemos uma tabela, colocando, em cada coluna, as grandezas de mesma 
espécie.
8 máquinas 8 horas/dia 8 dias 8.000 m2
16 máquinas 16 horas/dia 16 dias X
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O aumento no número de máquinas aumenta a área de terraplanagem; logo, as grandezas 
são diretamente proporcionais. O aumento no número de horas diárias trabalhadas aumenta 
a área de terraplanagem; logo, as grandezas são diretamente proporcionais. O aumento no 
número de dias trabalhados aumenta a área de terraplanagem; logo, as grandezas são diretamente 
proporcionais. Assim, a tabela é a mesma. 
Daí,
512 8.000 m2
4.096 x
Logo, serão nivelados 64.000 m2.
Exemplo 31
Três máquinas produzem 180 peças em três horas. Admitindo-se que todas as máquinas 
sejam igualmente e� cientes e que todas as peças demandam o mesmo tempo de fabricação, 
determine o tempo necessário para que cinco máquinas produzam 300 peças.
Solução: Montemos uma tabela colocando, em cada coluna, as grandezas de mesma 
espécie. Na tabela a seguir, Y é o tempo necessário para que cinco máquinas produzam as 300 
vacinas. Assim,
Número de peças Número de máquinas Tempo (h)
180 3 3
300 5 Y
Observe que, com o aumento do número de peças a serem produzidas, o tempo gasto será 
maior; logo, temos grandezas diretamente proporcionais. Por outro lado, o aumento no número 
de máquinas reduz o tempo de produção das peças, ou seja, temos grandezas inversamente 
proporcionais e, daí, invertemos essa coluna na tabela. Logo,
Número de peças Número de máquinas Tempo (h)
180 5 3
300 3 Y
Agora, montamos a proporção e resolvemos a equação:
Logo, o tempo gasto será de 3 horas.
8 máquinas 8 horas/dia 8 dias 8.000 m2
16 máquinas 16 horas/dia 16 dias X
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5. GRÁFICOS E TABELAS 
Atualmente, estar informado tem grande relevância. As informações, que podem ser lidas 
todos os dias nos mais diferentes meios de comunicação, vêm acompanhadas, muitas vezes, de 
tabelas e grá� cos de vários tipos. Em Engenharia não é diferente. 
Ao longo do curso e na vida pro� ssional, você, futuro(a) engenheiro(a), será exposto(a) 
a diversos grá� cos e tabelas. Efetuar a correta leitura e interpretação deles será uma de suas 
responsabilidades. Citemos como exemplo a leitura de propriedades termodinâmicas, como 
entalpia, entropia, energia livre de Gibbs, fator de atrito para escoamento etc.
O objetivo deste tópico é que você, futuro(a) engenheiro(a), resolva alguns exercícios de 
diversas áreas, interpretando e fazendo uso de grá� cos e tabelas. Destacamos as seguintes dicas 
para leitura de grá� cos.
No momento em que resolver um exercício: 
1. Con� ra se as informações do grá� co ou tabela batem com as do enunciado do exercício.
2. Entenda qual tipo de informação está destacada no eixo vertical e qual está no eixo 
horizontal (no caso de grá� cos) e no corpo (no caso de tabelas).
3. Interprete com calma, pois, geralmente, as questões são contextualizadas.
Exemplo 32
(ENEM – adaptado) Dispositivos eletrônicos que utilizam materiais de baixo custo, como 
polímeros semicondutores têm sido desenvolvidos para monitorar a concentração de amônia em 
granjas avícolas. A polianilina é um polímero semicondutor que tem o valor de sua resistência 
elétrica nominal quadriplicado quando exposta em altas concentrações de amônia. Na ausência 
de amônia, a polianilina se comporta como um resistor ôhmico e sua resposta elétrica é apresenta 
na Figura 7. 
Figura 7 – Resposta da poliamida à exposição de amônia. Fonte: ENEM (2017).
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Nessas condições, determine o valor da resistência elétrica da polianilina na presença de 
altas concentrações de amônia, em ohm.
Solução: Você deve se recordar, das aulas de Ensino Médio, de que, para um resistor 
ôhmico, é válida a seguinte equação: , em que R é a resistência, U a diferença de potencial 
e i a corrente elétrica. A análise grá� ca nos permite a� rmar que temos um resistor ôhmico (pois 
o grá� co é uma reta). Observe, ainda, que, para quaisquer valores de diferença de potencial e 
corrente elétrica, temos o mesmo valor de resistência. De fato,
No entanto, no enunciado, é dito que o valor da resistência quadriplica sob altas 
concentrações de amônia. Assim, o valor da resistência elétrica da polianilina na presença de 
altas concentrações de amônia é 
Exemplo 33
A profundidade do nível em um tanque de combustível foi registrada num período de 
4 horas, como ilustrado na Figura 8. Nela, a profundidade de nível h, registrada às 13 h, não foi 
anotada pelo engenheiro e, a partir de h, cada unidade sobre o eixo vertical corresponde a 0,5 m. 
Figura 8 – Registro de nível do tanque. Fonte: O autor.
O engenheiro observou que, entre as 15 e 16 horas, a altura h do nível de combustível foi 
reduzida em 25%. Nessas condições, determine a altura h, do nível de combustível, em metro, às 
16h.
Solução: Seja h o valor, em metros, do nível de combustível no interior do tanque às 13 h. 
Assim, por inspeção, concluímos que o nível de combustível no tanque às 15 h é igual a 
e às 16 h é igual a . Do enunciado, depreende-se que o nível de combustível diminuiu 
em 25% entre as 15 e 16 h, o que implica que o nível de combustível às 16 h corresponde a 75% do 
valor às 15 h, que, aqui denominaremos de 100%. Daí, usando regra de três, segue que
Ou seja, às 13 h, o nível de combustível no tanque era de 1,0 m e, às 16 h, era de 3,0 metros.
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Exemplo 34
(CESGRANRIO – adaptado) A Figura 9 apresenta o relatório sintetizado, com a 
discriminação das despesas de uma empresa nos anos de 2012 e 2013. Considere que a última 
linha nessa � gura expressa o total das despesas, em cada ano. Determine o valor do aumento 
percentual das despesas totais em 2013, na comparação com 2012.
Figura 9 – Relatório sintetizado. Fonte: CESGRANRIO (2018).
Solução: Observe no grá� co que o aumento das despesas foi de 
 e esse total representa um 
aumento de, aproximadamente, 8,92%, em relação ao ano de 2012. De fato,
Exemplo 35
(ENADE – adaptado) A relação intrínseca entre o aumento do consumo de energia e o 
desenvolvimento social de uma região é consequência do aprimoramento da infraestrutura para 
oferta de serviços essenciais como educação, saúde, atividades culturais e entretenimento, podendo 
in� uenciar na elevação do padrão de vida da população. Nesse contexto, o aproveitamento da 
energia eólica para geração de eletricidade é um importante vetor de desenvolvimento social, 
principalmente se utilizado para o atendimento de comunidades isoladas, de modo a favorecer a 
universalização do uso da energia a custos menores, a geração de empregos e, consequentemente, 
a redução do êxodo rural. A energia eólicano Brasil passou de uma participação inexpressiva 
para uma posição de destaque na matriz elétrica nacional ao longo da última década. No que diz 
respeito à de� nição da localização de parques eólicos, além dos aspectos � nanceiros e técnicos, 
é necessário que sejam avaliados os aspectos socioambientais que possam restringir a área 
disponível e gerar con� itos associados ao processo de implantação desses parques. 
AZEVEDO, J. P. M.; NASCIMENTO, R. S.; SCHRAM, I. B. Energia eólica e os impactos ambientais: um estudo de 
revisão. Revista Uningá, v. 51, n. 1, 2018 (adaptado).
A Figura 10 mostra a evolução e previsão da geração de energia elétrica em usinas eólicas 
no Brasil, de 2005 a 2024.
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Figura 10 – Previsão e geração de energia. Fonte: ENADE (2019).
A partir das informações apresentadas, avalie as a� rmações a seguir.
(I)O maior incremento de energia eólica nova ocorrerá em 2022, para o período analisado.
(II)O incremento da capacidade instalada entre 2014 e 2018 ocorreu de forma mais 
acelerada, com previsão de redução desse crescimento para o período entre 2019 e 2021.
(III)O número de parques eólicos instalados no estado do Rio Grande do Sul supera em 
53 unidades o número do estado da Bahia.
(IV)A capacidade instalada no estado do Rio Grande do Norte supera o do estado do 
Ceará em mais de 1.899 MW.
É correto apenas o que se a� rma em 
(A) I e II. (B) I e III. (C) II e IV. (D) I, III e IV. (E) II, III e IV. 
Solução: Analisemos, em separado, cada a� rmação como segue.
i) Por inspeção no grá� co, contata-se que o maior incremento de energia eólica nova 
ocorreu em 2014. De fato, o incremento de 2.013 para 2.014 foi de 5.972,3 - 3.476,8 = 
2.495,5 MW, ao passo que a previsão de 2.021 para 2.022 é de 1.399,6. Logo, a a� rmação 
é FALSA.
ii) Observe, no grá� co, que, de 2.014 até 2.019, houve um aumento nos incrementos em 
cada ano. Por outro lado, a previsão é que, entre 2.019 e 2.021, haja diminuição nesses 
incrementos. Fica a cargo do(a) futuro(a) engenheiro(a) efetuar essas operações de 
diferença ano a ano. Logo, a a� rmação é VERDADEIRA.
iii) O número de parques eólicos instalados no estado da Bahia supera em 53 unidades o 
número do estado do Rio Grande do Sul. Logo, a a� rmação é FALSA.
iv) A capacidade instalada no estado do Rio Grande do Norte supera o do estado do 
Ceará em mais de 1.899 MW. A a� rmação é VERDADEIRA. De fato, 3.949,3 – 2.049, = 
1.899,4 MW.
Portanto, são verdadeiras as a� rmações (II) e (IV).
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Exemplo 36
(ENADE) O grá� co da Figura 11 apresenta o número de acidentes de trabalho ocorridos 
entre os anos de 2001 e 2014, visando ao entendimento da gestão de riscos dentro das indústrias.
Figura 11 – Acidentes de Trabalho. Fonte: ENADE (2019).
Com base nas informações apresentadas no grá� co, assinale a opção correta. 
(A) Entre dois anos consecutivos, a maior taxa de variação ocorreu entre 2002 e 2003. 
(B) Entre dois anos consecutivos, a maior variação absoluta foi de 587 acidentes de 
trabalho. 
(C) Entre 2010 e 2013, percebe-se um crescimento contínuo do número de acidentes de 
trabalho. 
(D) Entre 2007 e 2012, houve redução de aproximadamente 10% no número de acidentes 
de trabalho. 
(E) Entre dois anos quaisquer, no período apresentado, a maior amplitude encontrada foi 
de 2 004 acidentes de trabalho.
Solução: A inspeção do grá� co nos permite concluir que, entre os anos de 2001 e 2003, 
ocorreram 700 (1458 - 758) acidentes de trabalho, o que faz desse período aquele com o maior 
incremento no número de acidentes de trabalho. Observamos, ainda, que, entre 2007 e 2012, 
houve redução de aproximadamente 5% no número de acidentes de trabalho. Já entre 2010 e 
2013, não é observado um crescimento contínuo do número de acidentes de trabalho, pois houve 
redução entre 2011 e 2012. Logo, responde à questão a alternativa (A).
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Exemplo 37
(ENADE)
Figura 12 – Infográ� co. Fonte: ENADE (2018).
Considerando o infográ� co apresentado, avalie as a� rmações a seguir. 
I. A distribuição da área plantada com transgênicos no mundo re� ete o nível de 
desenvolvimento econômico dos países. 
II. Os Estados Unidos da América possuem a maior área plantada de algodão transgênico 
no mundo. 
III. O hemisfério norte concentra a maior área de produção transgênica. 
IV. A área de produção de soja transgênica é maior no Brasil que na Argentina.
É correto apenas o que se a� rma em 
(A) I e II. (B) I e IV. (C) III e IV. (D) I, II e III. (E) II, III e IV.
Solução: Analisemos as a� rmações de forma independente. 
I) FALSA, pois países como o Brasil, Argentina e Índia, que ocupam, respectivamente, 
o 2º, 3º e 5º lugares em área de transgênicos plantados, não são países desenvolvidos 
economicamente.
II) FALSA, pois os EUA possuem 6% de 75 mil hectares = 4,5 mil hectares de área plantada 
de algodão. Note que a Índia tem 11,4 mil hectares.
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III) VERDADEIRA. Observe que EUA, Canadá e Índia estão localizados no Hemisfério 
Norte e, juntos, possuem uma área plantada de transgênicos igual a 99,5 mil hectares, 
restando 189,8 – 99,5 = 90,3 hectares para os demais países.
IV) VERDADEIRA, pois a área de soja transgênica no Brasil é igual a 33,634 mil hectares 
(67% de 50,2 mil hectares), ao passo que a Argentina, 18,054 mil hectares.
Portanto, responde à questão a alternativa (C).
6. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
O número de algarismos signi� cativos é o número mínimo de dígitos necessários para 
escrever um número em notação cientí� ca sem a perda da exatidão (HARRIS, 2001). 
O número 271,8 tem quatro algarismos signi� cativos, uma vez que pode ser escrito, em 
notação cientí� ca, como . Se você o escrever como , ele passa a ter 
cinco dígitos signi� cativos e subentende-se que você conhece o valor após o dígito 8, o que não 
procede para o número 271,8.
O número 0,000000314 possui três algarismos signi� cativos, pois, em notação cientí� ca, 
pode ser escrito como . 
De acordo com Harris (2001), o zero é signi� cativo quando se encontra: (i) no meio de 
um número, como em , que apresenta três algarismos signi� cativos; (ii) no � nal de 
um número, do lado direito da vírgula decimal, como em , que apresenta quatro 
algarismos signi� cativos.
O último algarismo signi� cativo (o mais afastado à direita) é aquele que apresenta a 
incerteza associada a si. Essa incerteza deverá ser de, no mínimo, nesse dígito. 
Agora, tratemos do número de algarismos signi� cativos em operações aritméticas. 
Lembrando-se de que o arredondamento deve ser feito somente na resposta � nal a � m de evitar 
os erros de arredondamentos.
Nas operações de adição e de subtração, se os números a serem somados ou subtraídos 
apresentarem igual número de dígitos signi� cativos, a resposta � cará com o mesmo número 
de casas decimais do número individual. Por outro lado, se os números a serem somados ou 
subtraídos não apresentarem igual número de dígitos signi� cativos, a resposta � cará limitada 
pelo de menor número. 
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Exemplo 38
A) 
 
B)
Nas operações acima, ns subscrito denota não signi� cativo. Note que o número 54,3139 
deverá ser reescrito como 54,31, assim como o número será reescrito como 
. Por outro lado, número 71,596 deverá ser arredondado para 71,6 como resposta 
� nal. Para o arredondamento que realizamos no número 71,596, usou-se a regra segundo a qual 
quando o primeiro dígito não signi� cativo for maior ou igual a 5, acrescentamos uma unidadeno 
último dígito signi� cativo. Por outro lado, se o primeiro dígito não signi� cativo fosse um número 
inferior a 5, manteríamos o último dígito signi� cativo. Observe que, no caso de operações com 
número em notação cientí� ca, todos os números foram convertidos primeiramente ao mesmo 
expoente.
Solução na calculadora: É possível realizar as operações de números com algarismos 
signi� cativos � xos. Para isso, é necessário mudar a função da calculadora. Essa mudança é realizada 
pressionando-se a tecla (MODE) três vezes e, então, escolhe-se a opção FIX (1). Selecionando-se 
essa opção, é informado o número de algarismos signi� cativos de 0 a 9. Veri� que que a própria 
calculadora realizará o arredondamento do número.
Em problemas de notação cientí� ca, a função SCI (2) pode ser utilizada. Apenas preste 
atenção à seleção de 0 a 9, pois representa o número de dígitos presentes na tela; no caso, 0 
representa 10 dígitos.
Nas operações de multiplicação e de divisão, estamos limitados ao número de dígitos 
contidos no número com menos algarismos signi� cativos. 
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Exemplo 39
Observe e calcule as operações a seguir.
 
Note que o resultado de é escrito como e o resultado 
de é escrito como 14,05. O subscrito nas operações anteriores indica que os 
dígitos são não signi� cativos.
Sejam , com e . O logaritmo do número a em uma base b 
é um número real n tal que
em que a é denominado de logaritmando, e b é base
Assim, o logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3. De fato,
O logaritmo é composto de uma característica e uma mantissa. Por exemplo, sabemos 
que . Aqui, “2” é a característica, e “0,64738287” é a mantissa; isto é, a 
característica é a parte inteira, e a mantissa é a parte decimal. 
Nas operações de logaritmo, estamos limitados ao número de dígitos contidos no 
logaritmando; isto é, a mantissa do logaritmo terá o mesmo número de algarismos signi� cativos 
que o logaritmando.
Assim, em , temos que o logaritmando tem três dígitos signi� cativos e é 
escrito como
7. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1O E 2O GRAUS
De acordo com Bonetto e Murolo (2016), uma equação com uma incógnita x é denominada 
equação do primeiro grau se puder ser reduzida por meio de operações elementares à forma
em que e . No nosso estudo, o conjunto universo para a solução dessas 
equações é o conjunto dos números reais ( ). 
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Exemplo 40
(CESGRANRIO – adaptado) No modelo da Figura 13, os pontos A, B, C e D pertencem 
à mesma reta. O ponto A dista 65,8 mm do ponto D; o ponto B dista 41,9 mm do ponto D, e o 
ponto C está a 48,7 mm do ponto A.
Figura 13 – Representação do exercício. Fonte: CESGRANRIO (2012).
Qual é, em milímetros, a distância entre os pontos B e C?
Solução: Observe, na � gura, que a soma das distâncias
Assim,
 
Exemplo 41
(CESGRANRIO – adaptado) Ação global contra petróleo caro A Agência Internacional 
de Energia (AIE), formada por 28 países, anunciou ontem a liberação de 60 milhões de barris de 
petróleo de reservas estratégicas [...]. Os EUA vão entrar com metade do volume, [...] a Europa irá 
colaborar com 30%, e o restante virá de Austrália, Japão, Coreia e Nova Zelândia.
O Globo, Rio de Janeiro, p. 17. 24 jun. 2011. Adaptado.
Suponha que os países asiáticos (Japão e Coreia) contribuam juntos com 1,8 milhão de 
barris a mais do que a contribuição total dos países da Oceania (Austrália e Nova Zelândia). 
Desse modo, quantos milhões de barris serão disponibilizados pelos países asiáticos?
Solução: Seja x a quantidade de petróleo, em milhões de barris que serão disponibilizados 
pelos países da Oceania. Assim, segue do enunciado que 
Assim,
Segundo Bonetto e Murolo (2016), uma equação com uma incógnita x é denominada 
equação do segundo grau se puder ser reduzida por meio de operações elementares à forma
em que e . 
Para a determinação da solução dessa equação, primeiramente, devemos calcular o 
discriminante da equação
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Nessas condições, se , o conjunto universo para a solução dessas equações é o 
conjunto dos números reais ( ), e essas soluções são determinadas usando-se
Caso , o conjunto solução é o conjunto dos números complexos, e o procedimento 
é o mesmo que usamos quando o discriminante é positivo.
Exemplo 42
O produto das raízes da equação é um número
(A) primo e par. 
(B) primo e ímpar. 
(C) natural. 
(D) irracional. 
(E) racional.
Solução: Fazendo , segue que a equação pode ser reescrita como 
, cujas raízes são t = - 0,5 e t = - 0,5. Note que é raiz dupla. Assim, 
 que é um número irracional. Logo, o produto das raízes é 
 é um número racional. Portanto, alternativa (E).
Exemplo 43
Determine a soma das raízes da equação .
Solução: Da relação básica em trigonometria, segue que . Assim, 
a equação pode ser reescrita como que é uma equação quadrática. 
Fazendo , temos, agora, a equação , cujas raízes são e . 
Daí, temos que
 
•
 
 que não convém.
 
•
 
 que ocorre quando rad e rad.
Portanto, a soma das raízes é 
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Exemplo 44
A bomba centrífuga empregada numa estação de tratamento de água tem curva 
característica descrita pela equação enquanto que a curva de carga do 
sistema hidráulico é descrita como . Nas equações, Hs é a carga que deve ser 
desenvolvida pela bomba para que escoe uma vazão volumétrica Q através da tubulação; Hb é a 
carga desenvolvida pela bomba quando ela bombeia uma vazão volumétrica Q; nas duas equações, 
[H] é expresso em coluna de metro de água, e [Q] é expresso em m³/s. O ponto operacional desse 
sistema é determinado igualando-se a curva característica da bomba com a curva de carga do 
sistema hidráulico, ou seja, fazendo . Nessas condições, determine a vazão operacional 
do sistema.
Solução: Segue, do enunciado, que o ponto operacional é determinado fazendo 
Assim,
Isto é,
 Resolvendo a equação quadrática, temos que Q = 0,2 m³/s.
8. INTERPOLAÇÃO
A interpolação linear é um método de aproximação usado em diversas situações em 
Engenharia, no qual um novo valor é determinado a partir de outros já conhecidos.
Para isso, considere dois pontos distintos, digamos, e , e, por eles, para um 
valor x, com , determinemos um valor y, com , como ilustra a Figura 14.
O vídeo (disponível em <https://m3.ime.unicamp.br/
recursos/1097> ) proporciona um passeio histórico em 
torno de equações quadráticas, passando pelos hindus, 
mesopotâmios, gregos, árabes e europeus e mostrando 
diferentes métodos de resolução até à famosa fórmula de 
Bhaskara.
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Figura 14 – Interpolação linear. Fonte: O autor.
Temos, devido à semelhança de triângulos, que
 
Essa relação nos permite concluir que, dados os pontos distintos e e um 
valor qualquer, digamos x, podemos determinar y por meio da equação
A interpolação linear pode ser realizada selecionando-se o modo de regressão 
linear da calculadora. Para isso, as seguintes teclas devem ser pressionadas: 
primeiro (MODE) e, então, o número (3). Por fi m, o número (1) (Figura 15). 
Figura 15 – Modo de regressão linear. Fonte: O autor.
Para uma maior organização, os dados serão apresentados na tabela que segue. 
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Variável de Referência Variável a ser encontrada
Valor Conhecido (x0) Valor Conhecido (y0)
Valor de Referência (x) Valor a ser encontrado (y)
Valor Conhecido (x1) Valor Conhecido (y1)
Tabela 3 – Tabela para interpolação. Fonte: O autor.
Agora, os dados sãoinseridos. Primeiro, digita-se o valor de x0 e pressiona-se a 
tecla (,). Então, digita-se o valor y0, a tecla (M+) e, fi nalmente, (AC) (Figura 16). 
Figura 16 - Inserir valores para interpolação. Fonte: O autor.
O mesmo procedimento é realizado para as variáveis x1 e y1. Após esse 
procedimento, é realizada a interpolação. Para tanto, digita-se o valor de x e realiza-
se o procedimento indicado na Figura 17.
Figura 17 - Procedimento de interpolação. Fonte: O autor.
Esses valores podem ser visualizados e alterados pressionando-se Replay (^). 
Se você não alterar o modo da calculadora, essa mesma confi guração pode ser 
utilizada para outra interpolação; basta alterarem-se os valores de x0, x1, y0 e y1.
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Exemplo 45
Em problemas de Engenharia Econômica que envolvem o cálculo de juros compostos, é 
comum determinar o valor de , sendo conhecidos a taxa de juro i e o prazo da aplicação 
t. Observe a representação grá� ca, na Figura 18, da função , no intervalo [0,02; 
0,03], para um certo valor � xado de t.
Figura 18 – Grá� co de f(i) em função da taxa de juros. Fonte: O autor.
Sem o uso de calculadora, é possível aproximar f(i) para valores de i entre 0,02 (2%) e 
0,03 (3%) pelo método chamado de interpolação linear, o qual consiste em calcular f(i) usando 
a função cujo grá� co é a reta que passa por (0,02; f(0,02)) e (0,03; f(0,03)). Calculando uma 
aproximação de f(i) por interpolação linear, sobre a função descrita no grá� co, para a taxa de juro 
de 2,50%.
Solução: Empregando interpolação polinomial sobre dois pontos, temos que
Solução na calculadora: Primeiro, é montada a tabela para realizar a interpolação:
Taxa de Juros (i) Taxa de Juros (i)
2 1,08
2,5 Função de Juros f(2,5)
3 1,12
Realizando-se o procedimento adequadamente, chega-se ao resultado de 1,1.
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Exemplo 46
Considere as informações a seguir acerca dos valores do calor especí� co de uma substância 
em diferentes temperaturas.
Temperatura (ºC) 20 30 40 50
Calor especí� co 0,99907 0,99826 0,99728 0,99678
Determine a temperatura, em ºC, na qual o calor especí� co seja igual a 0,99837 
usando interpolação linear.
Solução: Por inspeção, notamos que a temperatura na qual o valor do calor especí� co 
igual a 0,99837 está entre 20 e 30ºC. Assim,
Solução na calculadora: Realizando a interpolação, o resultado obtido é apresentado:
Calor Especí� co (cal/g. ºC) Temperatura (ºC)
0,99907 20
0,99837 28,64
0,99826 30
Para restaurar a calculadora para seu modo de fábrica, basta realizar o procedimento 
indicado na Figura 19.
 
Figura 19 – Como restaurar a calculadora. Fonte: O autor.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................47
1. O CÁLCULO DO PERÍMETRO .............................................................................................................................. 48
2. O CÁLCULO DA ÁREA ...........................................................................................................................................52
3. O CÁLCULO DO VOLUME .....................................................................................................................................61
4. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ..............................................................................................70
4. LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS ....................................................................................................................78
GEOMETRIA E A ENGENHARIA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA 
PROF. DR. RODRIGO DE SOUZA RUZZI
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à segunda unidade do curso de Fundamentos Básicos 
da Engenharia. Esta unidade tem por objetivo revisar a geometria plana, geometria espacial, 
trigonometria no triângulo retângulo e alguns conceitos que usaremos ao longo do curso de 
Engenharia. O objetivo também é apresentar a você algumas aplicações simples de geometria no 
curso de Engenharia.
Nesta unidade, você será encorajado(a) a pesquisar a solução de algumas situações-
problema envolvendo Engenharia. Esperamos que você, por meio da leitura e das vídeo-aulas, 
desenvolva raciocínio lógico para a resolução de problemas envolvendo geometria. Focar-nos-
emos no cálculo de perímetros, superfícies planas e capacidade no dia a dia da Engenharia.
Lembre-se de que a geometria plana e a espacial são fundamentais à formação dos 
engenheiros, seja qual for o seu ramo. Assim, desejamos a você bons estudos. 
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1. O cálculo do perímetro
O perímetro é a medida do comprimento de um contorno. A unidade de medida 
empregada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento, isto é, 
metro, centímetro, quilômetro, pé, polegada etc.
Exemplo 1
(ENEM – adaptado) Para o re� orestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com 
tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a Figura 1. Cada rolo de 
tela que será comprado para a confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. Determine 
a quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno.
Figura 1 – Representação para o exercício. Fonte: ENEM (2013).
Solução: O perímetro da área cercada é Assim, o número 
de rolos de tela a ser comprado pode ser calculado usando-se regra de três, como segue
Portanto, a quantidade mínima de rolos a ser comprada para cercar esse terreno é igual 
a 8.
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Exemplo 2
Analise o telhado em meia água, da Figura 2.
Figura 2 – Telhado em meia água. Fonte: O autor.
Determine o perímetro desse telhado, em metros.
Solução: Observe que necessitamos do valor da medida de um dos lados para o cálculo 
do perímetro. Para determinar esse valor, usaremos o teorema de Pitágoras. Seja x o valor da 
medida, em metros, desse lado. Assim,
Daí, o perímetro do telhado é
Logo, o telhado apresenta a medida do perímetro igual a 90,3 m.
Exemplo 3
Em escoamento em canais, o perímetro molhado é de� nido como o  comprimento 
relativo ao contato do líquido com o conduto. Determine o perímetro molhado para a situação 
de escoamento em canal aberto ilustrado pela Figura 3.
Figura 3 – Escoamento em canal. Fonte: O autor.
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Solução: Segue, do enunciado, que o perímetro molhado é a medida do comprimento 
relativa ao contato do líquido com o conduto. Assim, segue que 
Logo, o perímetro molhado no canal ilustrado é igual a 7,0 m.
Exemplo 4
Considere o croqui da Figura 4 e as informações a seguir referentes ao perímetro externo 
de um terreno destinado à construção.
Figura 4 – Croqui. Fonte: O autor.
A empresa deseja cercar todo o terreno com tapume, que custa R$ 27,50 o metro. Nessas 
condições, determine o custo para se cercar o terreno.
Solução: Inicialmente, precisamos determinar o perímetro do terreno. Assim,
Daí, para determinar o custo com tapume, fazemos uso da regra de três, como segue
Portanto, o valor gasto para cercar o terreno com tapume é de R$ 1.595,00.
O diâmetro hidráulico é um parâmetro importante, amplamente utilizado no 
dimensionamento de canais, dutos, tubos e outros componentes das obras 
hidráulicas. Ele é utilizado para se estimar o diâmetro de tubos e canaiscuja 
transversal não é circular. Ele é defi nido como a razão da área da seção transversal 
molhada e P o perímetro molhado.
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Exemplo 5
A Figura 5 a seguir é composta por três quadrados idênticos, com um deles apoiado em 
outros dois que possuem um lado comum. Com base nessas informações, determine o perímetro 
da � gura.
Figura 5 – Três quadrados idênticos. Fonte: O autor.
Solução: Seja x o valor da medida, em cm, do lado de cada quadrado. Por inspeção, 
segue que
Daí, x = 11 cm, isto é, cada lado do quadrado mede 11 cm. Logo, o perímetro da � gura é
Exemplo 6
Na Figura 6, a medida do segmento é de 20 m, e M é o ponto médio de . Determine 
o comprimento do contorno dessa � gura.
Figura 6 – Representação do exercício. Fonte: Silveira e Marques (2008).
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Solução: Como M é o ponto médio do segmento , temos que as medidas 
. Dos seus estudos do Ensino Fundamental, você deve se lembrar de que o 
comprimento ou perímetro de uma circunferência é dado pela equação , em que 
R é o valor da medida do raio. Assim, a medida do contorno da circunferência da parte inferior, 
que tem centro em A, é
Note que foi dividido por 2, pois temos meia circunferência. A medida do contorno da 
circunferência da parte superior da � gura, com centro em B, é
Por outro lado, a medida do contorno da circunferência da parte superior da � gura, com 
centro em M, é
Portanto, a media do contorno da � gura é
2. O CÁLCULO DA ÁREA
A área de � guras planas mede o tamanho dessa superfície. Nesse sentido, quanto maior 
a área de uma � gura, maior será seu tamanho. Para o cálculo de área de � guras planas, podemos 
fazer uso das equações listadas na Figura 7.
Figura 7 – Equações para o cálculo de área de algumas � guras planas. Fonte: O autor.
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Exemplo 7
Analise o telhado em meia água, da Figura 8. Determine a área desse telhado, em m2.
Figura 8 – Telhado em meia água. Fonte: O autor.
Solução: Observe que necessitamos do valor da medida de um dos lados para o cálculo 
da área. Para determinar esse valor, usaremos o teorema de Pitágoras. Seja x o valor da medida, 
em metros, desse lado. Assim,
Note que o telhado tem o formato de um retângulo. Assim, a área desse telhado é
Portanto, o telhado tem área igual a .
Exemplo 8
Considere o croqui da Figura 9.
Figura 9 – Croqui para o exercício. Fonte: O autor.
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Dados: J1 = 2,00 m x 1,50 m; B1 = 1,00 m x 0,60 m; P1 = 0,80 m x 2,10 m; P2 = 0,60 m x 2,10 
m; piso da sala = tacos; piso do WC = cerâmica; altura das janelas = 1,50 m. Considerando que 
um pedreiro produz 6 m2 de piso em tacos e 4 m2 de cerâmica em um dia de trabalho, determine o 
prazo estimado para a realização desses dois serviços, com apenas um pedreiro, sem interrupção, 
em dias.
Solução: A área da sala é , e a área do banheiro é 
 . Assim, o tempo gasto para o pedreiro assentar os tacos na sala é 
calculado, usando-se regra de três, como segue
O tempo gasto para assentar a cerâmica também é calculado usando-se regra de três, 
como segue:
Assim, para realizar todo o trabalho, esse pedreiro necessitará de 7 dias de trabalho. 
Exemplo 9
(ENEM – adaptado) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão 
substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas 
são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como ilustrado na 
Figura 10.
Figura 10 – Representação para o exercício. Fonte: ENEM (2015).
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo 
cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. 
Com a instalação da nova antena, determine a medida da ampliação da área de cobertura, em 
quilômetros quadrados.
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Solução: A área de cobertura total das antenas 1 e 2 é calculada como segue
Ao efetuar a substituição das antenas, o raio da área de cobertura passa a ser igual a R = 4 
km, e a área de cobertura passa a ser
ou seja, temos um aumento de área de cobertura igual a 
.
Exemplo 10
(ENEM – adaptado) O Esquema da Figura 11 mostra a con� guração de uma quadra de 
basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.
Figura 11 - Área restritiva antes de 2010. Fonte: ENEM (2015).
Visando a atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de 
Basquete (FIBA) em 2010, que uni� cou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma 
modi� cação nos garrafões das quadras, os quais passariam a ser retângulos, como mostra a 
Figura 12.
Figura 12 - Área restritiva a partir de 2010. Fonte: ENEM (2015).
Após executadas as modi� cações previstas, determine a variação percentual sofrida na 
área ocupada por cada garrafão.
Solução: Inicialmente, o garrafão era um trapézio, e sua área é calculada como segue
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Com a alteração proposta pela FIBA, o garrafão passa ter a forma de um retângulo, e sua 
área é
Isso acarreta um incremento de área de 
, que, por sua vez, corresponde a um aumento percentual em 
relação à área original de
Solução na calculadora: Neste tipo de problema, é necessário tomar cuidado, 
principalmente, com a ordem das operações. Primeiro, deve-se realizar a soma dentro dos 
parênteses e, então, a divisão e a multiplicação. Portanto, a equação deve ser escrita da seguinte 
forma:
Dessa forma é que se obtém o valor correto da área.
Exemplo 11
(ENEM – adaptado) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a 
colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a Figura 13.
Figura 13 – Representação do vitral. Fonte: ENEM (2012).
Nessa � gura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os 
segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, 
são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da � gura, que custa R$ 30,00 o m2, 
e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo 
com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
Solução: Note que ABB, ABD, BCQ e QCD são triângulos cuja base mede 0,25 m, e a 
altura, 0,5 m. Assim, a área desses quatro triângulos é
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O custo do material para essa região é calculado usando-se regra de três, como segue:
A área da região restante é (lembre-se: é a diferença entre a área do quadrado e 
a área dos triângulos), e o custo é
Portanto, o custo total para a produção do mosaico é igual a R$ 35,00.
Exemplo 12
(ENEM – adaptado) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante 
nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o � uxo de 
água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem 
as medidas especi� cadas na Figura 14 (a). Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O cálculo 
da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), 
em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na 
canaleta, com as dimensões especi� cadas na Figura 14 (b), para evitar a ocorrência de enchentes.
Figura 14 – Representação para o exercício. Fonte: ENEM (2009).
Na suposição deque a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para 
depois da reforma na canaleta?
Solução: A área da seção transversal, do projeto original, é
e, consequentemente, a velocidade de escoamento nessa seção é calculada como segue
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Por outro lado, com a reforma da canaleta, a área da seção transversal é
e, sob a condição de velocidade constante, a vazão de escoamento é calculada como segue
Exemplo 13
A Figura 15 apresenta uma escada com quatro degraus, todos eles com formato de um 
paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 
50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é 
de 10 cm. 
Figura 15 – Escadas. Fonte: O autor.
Na base de cada degrau, será colocado piso antiderrapante, cujo preço é de R$ 42,00 o 
metro quadrado. Em toda a parte lateral da escada (região cinza-escuro da vista frontal) e entre 
um degrau e outro (região branca), será instalado um tipo de revestimento em porcelanato, cujo 
preço é de R$ 135,00 o metro quadrado. Nessas condições, determine o valor gasto, em reais, com 
piso e revestimento, admitindo não existirem perdas.
Solução: Observe, na � gura, que, ao todo, serão quatro pisos que receberão o piso 
antiderrapante, e sua área é
O custo do piso antiderrapante é calculado como segue, usando-se regra de três:
Por outro lado, a área da região que receberá o porcelanato é
O custo do porcelanato é calculado como segue, usando-se regra de três:
Logo, o custo total é de R$ 124,80.
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Exemplo 14
Em uma metalúrgica, chapas de aço quadradas de 8 m de lado são empregadas para 
recortar formas circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na Figura 16. Determine a área da 
chapa que resta após a operação. Use π = 3, 14.
Figura 16 – Chapa metálica. Fonte: O autor.
Solução: A área da chapa quadrada metálica é de 64 m2. Temos que a área ocupada pelas 
4 formas circulares é igual a 
Assim, a área da chapa que resta é
Exemplo 15
Considere que um tsunami se propaga como uma onda no formato de um círculo, 
ilustrado na Figura 17.
Figura 17 - Representação para o tsunami. Fonte: O autor.
Considere que a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada intervalo de 1 hora, seja 
de k quilômetros. Nessas condições, determine a área A, em , varrida pela onda entre 9 e 10 
horas.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Solução: A área varrida pelo tsunami, após 9 horas, é calculada como segue
Após 10 h, a área corresponde a
Logo, a área varrida pela onda entre 9 e 10 horas é igual a 
Exemplo 16
Uma peça tem a forma apresentada na Figura 18, em que as medidas estão em milímetros. 
Determine a área super� cial dessa peça.
Figura 18 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Neste tipo de problema, é necessário dividir a � gura em formas geométricas 
conhecidas. Neste caso, tem-se um quadrado de 150 x 150 mm e um quarto de circunferência de 
raio de 75 mm. Para o cálculo da área da � gura, será calculada a área do quadrado:
Então, a área de um quarto de circunferência:
Agora, para se obter a área da � gura, basta retirar a área de um quarto de circunferência 
do quadrado. Logo:
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3. O CÁLCULO DO VOLUME
O volume de um sólido corresponde ao espaço ocupado por ele. Nesse sentido, quanto 
maior o volume de um sólido, maior será o espaço ocupado por ele. Para o cálculo do volume de 
sólidos, podemos fazer uso das equações listadas na Figura 19.
Figura 19 – Formas geométricas e equações para cálculo de volume. Fonte: O autor.
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Exemplo 17
Considere um reservatório de água cujo formato é de um cone circular reto. O diâmetro 
de sua base, que está apoiada sobre o solo, é de 8 metros, e a altura é igual a 12 m. Considere que, 
inicialmente, o reservatório esteja completamente vazio e, a partir de um instante, inicia-se seu 
enchimento com água na vazão constante de 0,5 metro cúbico por minuto. Usando 
, determine o tempo gasto para que o nível de água atinja três quartos da altura do reservatório.
Solução: Do enunciado, segue que a altura do nível é Assim, o volume 
de água para encher o reservatório é 
Para determinar o tempo gasto para encher o volume determinado, usaremos regra de 
três, como segue:
Ou seja, o tempo de enchimento será de, aproximadamente, 5 h 1 min.
A geometria não euclidiana é uma geometria fundamentada 
em um sistema axiomático diferente daquele da geometria 
euclidiana. Naquela, ao se modifi car o axioma das paralelas, 
que postula que por um ponto exterior a uma reta passa 
exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as 
geometrias elíptica e hiperbólica. O artigo intitulado Algumas 
diferenças entre a Geometria Euclidiana e as Geometrias Não 
Euclidianas – Hiperbólica e Elíptica a serem abordados nas 
séries do Ensino Médio, de autoria de Donizete Gonçalves 
da Cruz e Carlos Henrique dos Santos, permite compreender 
os conceitos geométricos da geometria euclidiana e de 
geometrias não euclidianas. O artigo está disponível em 
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/
arquivos/1734-8.pdf>
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Exemplo 18
(ENEM – adaptado) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado na 
Figura 20, deverá ser descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 10 
m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres (Figura 21).
Figura 20 – Contêiner. Fonte: ENEM (2015).
Figura 21 – Representação da região. Fonte: ENEM (2015).
De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma 
a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada. Após o empilhamento total da 
carga e atendendo à norma do porto, determine a altura mínima a ser atingida por essa pilha de 
contêineres, em metros.
Solução: O volume dos 100 contêineres é calculado como segue
Assim, a altura mínima da pilha de contêineres é 
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Exemplo 19
(ENEM – adaptado) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular 
reto, tem as dimensões, em centímetros, mostrada na Figura 22.
Figura 22 – Lata de tinta. Fonte: ENEM (2014).
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as 
dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. Determine o valor percentual de 
redução, na altura, da lata a ser confeccionada.
Solução: O volume da lata original é calculado como segue
As novas dimensões da base serão 25% maiores que as originais, ou seja, . 
Assim, na condição de que o volume seja o mesmo, a altura, em cm, da nova lata é calculada 
como segue
Exemplo 20
(ENEM – adaptado) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um 
processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, 
como mostrado na Figura 23.
Figura 23 – Tanque para resfriamento. Fonte: ENEM (2012).
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O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume 
fosse de 2.400 cm3?
Solução: O volume de líquido no tanque de resfriamento é calculado como segue
Ao colocar um objeto de 2.400 cm3 o volume passa a ser 26.400 cm3. Nessa condição, esse 
volume atingirá uma altura calculada como segue:
Isso indica queo nível de líquido no tanque subirá 2 cm e não haverá derramamento de 
líquido.
Exemplo 21
Um tanque contendo um � uido incompressível de massa especí� ca 850 kg/m3 tem o 
formato apresentado na Figura 24. Determine a massa, em kg, do � uido contido no interior do 
tanque.
Figura 24 – Representação do tanque. Fonte: O autor.
Solução: Para calcular o volume desse tanque, calculemos, inicialmente, o volume da 
cunha de uma das laterais do mesmo. Esse volume é
Agora, calculemos o volume do tanque, admitindo existir a cunha acoplada a ele. Assim
Daí, o volume do tanque . A massa de � uido contida no interior do 
tanque é calculada como segue
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Exemplo 22
Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 6 cm utilizando concreto 
usinado, de acordo as dimensões do projeto dadas na Figura 25. 
Figura 25 – Representação da laje. Fonte: O autor.
Qual o volume de concreto que o mestre de obras deverá pedir à usina de concreto para 
fazer a laje?
Solução: Para determinar o volume de concreto necessário para essa laje, necessitamos 
conhecer, primeiramente, a área da laje. Assim,
Daí, o volume de concreto usinado necessário é calculado como segue
Exemplo 23
(VUNESP – adaptado) Com o fenômeno do efeito estufa e consequente aumento da 
temperatura média da Terra, há o desprendimento de icebergs das calotas polares terrestres. Para 
calcularmos o volume aproximado de um iceberg podemos compará-lo com sólidos geométricos 
conhecidos. Suponha que o sólido da Figura 26, formado por dois troncos de pirâmides regulares 
de base quadrada, simétricos e justapostos pela base maior, represente aproximadamente um 
iceberg.
Figura 26 – Representação para o exercício. Fonte: VUNESP (2006). 
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As arestas das bases maior e menor de cada tronco medem, respectivamente, 400 m e 300 
m, e a altura mede 120 m. Sabendo-se que o volume VS da parte submersa do iceberg corresponde 
a, aproximadamente, 7/8 do volume total V, determine VS.
Solução: Note que temos dois troncos de pirâmide de base quadrada. Assim, o volume V 
é calculado como segue
Segue, do enunciado, que o volume da parte submersa corresponde a 7/8 do volume total. 
Logo, o volume da parte submersa é
Solução na calculadora: Neste problema, o cálculo do volume é relativamente grande. 
Há duas abordagens para resolvê-lo: é possível dividi-lo em operações menores ou resolvê-lo de 
uma só vez. Nessa abordagem, o volume será obtido diretamente. Só é necessária uma atenção 
extra nos parênteses. A equação deve ser escrita da seguinte forma:
O resultado é 29.600.000 .
Exemplo 24
Uma peça metálica, ilustrada na Figura 27, tem o formato de um tronco de cone circular 
reto, com uma cavidade na forma de cone, que possui a mesma altura do tronco e a base igual à 
base menor do tronco. Determine o volume dessa peça, considerando que os valores das medidas 
do tronco são: 1,6 cm de altura, 25 cm2 de área da base maior e 4 cm2 de área da base menor.
Figura 27 – Representação da peça metálica. Fonte: O autor.
Solução: Inicialmente, devemos determinar os raios das bases maior e menor do tronco 
de cone. Assim,
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Daí, o volume do tronco do cone é
Agora, segue que o volume do cone é
Logo, o volume da peça é igual a .
Solução pela calculadora: Para a obtenção do volume do tronco do cone, novamente, 
tem-se uma equação longa. Para resolvê-la de uma vez, ela é inserida da seguinte forma:
O resultado é .
Exemplo 25
O tanque esférico, ilustrado na Figura 28, tem 4 m de diâmetro interno e espessura de 10 
cm. Esse tanque foi confeccionado com aço inox AISI 316, de densidade 800 kg/m3. 
Figura 28 – Representação do tanque esférico. Fonte: O autor.
Os sólidos platônicos são sólidos convexos tal que suas arestas formam polígonos 
planos regulares congruentes. A nomenclatura se deve a Platão, que os descobriu 
por volta de 400 a. C. A existência desses sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, 
e os egípcios utilizaram alguns deles em sua arquitetura. Existem apenas cinco 
sólidos platônicos: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e icosaedro.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Nessas condições, determine a massa de aço usado para fabricar o tanque.
Solução: Para determinar a massa de aço empregado na confecção do tanque, é preciso, 
inicialmente, determinar o volume de aço empregado. Esse volume é calculado como segue
Logo, a massa de aço empregado na confecção do tanque é, aproximadamente, 
Solução na calculadora: Para calcular o volume, a equação deve ser escrita da seguinte 
forma:
O resultado é . 
Exemplo 26
(ENEM – adaptado) Uma construtora pretende conectar o reservatório central (Rc), da 
Figura 29, em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 
m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e 
alturas internas medindo 1,5 m.
Figura 29 – Representação para o exercício. Fonte: ENEM (2019). 
As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos 
com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada 
reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que 
liberam ou interrompem o � uxo de água. No momento em que o reservatório central está cheio 
e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das 
colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o � uxo de água entre eles, pelo 
princípio dos vasos comunicantes. Determine a medida, em metro, das alturas das colunas de 
água nos reservatórios auxiliares, após cessar o � uxo de água entre eles.
Solução: Note que a geometria dos tanques e tubulações é cilíndrica. O volume de água 
no reservatório, após se preencherem as quatro tubulações, é 
Seja y a altura de água nos reservatórios auxiliares e no reservatório central, após cessar o 
� uxo de água. Daí, essa altura é calculada como segue
Portanto, a medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, 
após cessar o � uxo de água, é de 1 m.
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4. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A trigonometria surgiu como um ramo da matemática no qual se estudavam as relações 
entre ângulos e distâncias, usando-se triângulo retângulo. Posteriormente, ela passou a ser 
aplicada à representação de eventos periódicos da vida real (GOMES, 2018). 
O triângulo retângulo é uma � gura geométrica plana, composta por três lados e três 
ângulos internos, sendo um desses ângulos o ângulo reto, ou seja, a medida de um ângulo é igual 
a 90º.
Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especí� cos:
o lado que for oposto ao ângulo reto é denominado de hipotenusa, e os outros dois lados serão 
chamados de cateto, como ilustra a Figura 30.
Figura 30 – Triângulo retângulo. Fonte: O autor.
De acordo com o teorema de Pitágoras, a soma das medidas dos quadrados dos catetos 
de um triângulo retângulo é igual à medida do quadrado de sua hipotenusa. Isto é,
Algumas razões trigonométricas são as relações existentes entre os lados de um triângulo 
retângulo. Assim, são de� nidas
• 
• 
• 
• 
• 
• 
 
A Figura 31 apresenta o círculo trigonométrico e a interpretação de cada uma das relações 
trigonométricas de� nidas.
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Figura 31 – Ciclo trigonométrico. Fonte: O autor.
 
A seguir, temos os principais valores para seno,cosseno e tangente para os arcos notáveis.
30º 45º 60º
1
O que é um radiano?
Em geometria, o radiano é a unidade de medida de ângulo 
que corresponde ao ângulo central subentendido por um arco 
de circunferência cujo comprimento seja igual ao raio dessa 
mesma circunferência. Uffaa! Para clarifi car esse conceito, 
fi que atento(a) à sugestão de vídeo, cujo link de acesso é 
<https://www.youtube.com/watch?v=lwLSGdtP8y8>
Por padrão, a calculadora vem com a unidade angular de Graus (Deg). Para se 
alterar essa função, é necessário apertar a tecla (Mode) duas vezes e, então, 
mudar o modo. A opção (1) é Graus (Deg), a opção (2) é Radianos (Rad) e a opção 
(3) é Grado (Gra). Esta última não é muito usual. Tome cuidado para não confundir 
(Gra) com Graus.
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Exemplo 27
Duas pessoas avistam um balão meteorológico. A pessoa A está a 1,8 km da posição 
vertical do balão, e a pessoa B está alinhada com a pessoa A, como ilustra a Figura 32. A pessoa A 
avista o balão sob um ângulo de 60º, e a pessoa B sob um ângulo de 30º. Nessas condições, qual a 
distância entre as pessoas A e B?
Figura 32 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: Seja h a altura em que se encontra o balão, e x a distância entre as pessoas A e 
B. Na � gura, o triângulo retângulo formado pela pessoa A, o balão e o ângulo reto nos permite 
escrever que
Por outro lado, o triângulo retângulo formado pela pessoa B, o balão e o ângulo reto nos 
permite escrever que
Logo, a distância entre A e B é igual a 3,6 km.
As funções trigonométricas inversas são utilizadas para obter ângulos de um 
triangulo. Essas funções são arccos, arcsen e arctang. São utilizadas da mesma 
forma que as funções seno, cosseno e tangente.
 
• θ=arcsen
 
• θ=arccos
 
• θ=arctan
Geralmente, na calculadora, essas funções são indicadas por cos-1,sen-1 e tg-1.
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Exemplo 28
(UEM – PR) No problema a seguir, considere que qualquer trajetória do ciclista é feita 
em linha reta e com velocidade constante e igual a 10 m/s. Duas rodovias H e R cruzam–se em 
um ponto A, segundo um ângulo de 60°. Um ciclista parte do ponto A pela rodovia H e, após 
um terço de hora, atinge um ponto B, de onde é possível seguir para a rodovia R, percorrendo o 
menor caminho, atingindo–a no ponto C. Para retornar de C ao ponto A de origem, pela rodovia 
R, a distância que o ciclista deve percorrer, em quilômetros, é ...
Solução: A representação esquemática da situação proposta pelo problema é apresentada 
na Figura 33.
Figura 33 – Representação para o exercício. Fonte: O autor.
A distância percorrida pelo ciclista do ponto A até o ponto B, em um terço de hora (20 
minutos = 1.200 segundos), pode ser calculada por regra de três, como segue:
Observe que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo retângulo ACB. Assim, a distância 
CA que o ciclista deve percorrer é:
Exemplo 29
Considere os dados e o croqui da Figura 34, referentes à estrutura de uma tesoura de 
telhado. Determine a altura H da cumeeira, em metros.
Figura 34 – Representação de um croqui de cumeeira. Fonte: O autor.
Solução: Para se determinar a altura da cumeeira, consideremos que x seja o valor da 
medida, em metro, de um dos catetos do triângulo retângulo DBC, como ilustrado na Figura 35.
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Figura 35 – Representação de um croqui de cumeeira. Fonte: O autor.
Assim, empregando-se as relações métricas nos triângulos retângulos ABD e DBC, segue 
que
e
Substituindo o fato de que x = H na equação anterior, segue que
Logo, a cumeeira terá altura aproximada de 6,7 m.
Exemplo 30
(UFMT – adaptado) A altura de um morro foi determinada por um topógrafo usando 
o seguinte procedimento: i) escolheu dois pontos, A e B, situados no mesmo plano vertical que 
passa por C; ii) mediu a distância AB, encontrando 162 m; iii) com auxílio de um teodolito 
mediu os ângulos , e , encontrando, respectivamente, 60º, 90º e 30º. A Figura 36 ilustra o 
procedimento descrito. Qual a altura h, em metros, encontrada pelo topógrafo? 
Figura 36 – Representação para o exercício. Fonte: UFMT (2009).
Solução: O esquema da Figura 37 ilustra a situação descrita com os valores conhecidos e 
fornecidos pelo problema, em que x é a distância do segmento BC.
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Figura 37 – Ilustração para resolução do exercício. Fonte: O autor.
No triângulo retângulo ABC, segue que
Por outro lado, no triângulo BDC, temos que
Logo, a altura do morro é de 81 m.
Exemplo 31
Determine a área, em m2, do triângulo da Figura 38.
Figura 38 – Triângulo. Fonte: O autor.
Solução: Marquemos os vértices do triângulo A, B e C e escolhamos um ponto H sobre o 
segmento AC, tal que o segmento HB seja a altura do triângulo, e AC seja a base desse triângulo, 
como ilustra a Figura 39.
Figura 39 – Ilustração para resolução do exercício. Fonte: O autor.
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No triângulo AHB, podemos determinar a altura h e a medida do segmento AH do 
triângulo
O triângulo BHC é isósceles, e podemos a� rmar que HB = HC = 1 m. Assim, a medida do 
segmento da base do triângulo e a altura é igual a . Logo, a área do triângulo é
Considere que uma força de intensidade F seja aplicada sobre uma superfície 
cuja área é A, como indicado na Figura 39. Essa força pode ser decomposta de 
acordo com a direção normal à superfície e da tangente, dando origem a uma 
componente normal (FN) e outra tangencial (Ft).
Figura 40 – Decomposição do vetor força. Fonte: O autor.
Dessa maneira, a pressão é o resultado do quociente entre a força normal (FN) e 
a área A onde é aplicada. Por outro lado, a tensão de cisalhamento é o resultado 
entre o quociente da força tangencial (Ft) e a área A onde é aplicada. 
A lei de Newton da viscosidade afi rma que a relação entre a tensão de cisalhamento 
(τ) e o gradiente de velocidade é defi nida por meio da equação diferencial 
τ=μ , sendo μ constante de proporcionalidade, que é denominada a viscosidade 
do fl uido. A forma algébrica da lei de Newton da viscosidade é τ=μ , em que V é 
a velocidade média e l é a espessura da camada de fl uido. 
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Exemplo 32
Na Figura 41, observa-se uma placa quadrada, cuja área da base é 2 m2 e massa de 2 kg. 
Ela desliza sobre uma lâmina de óleo depositada sobre um plano inclinado em 30º em relação à 
horizontal. A viscosidade desse óleo é 0,4 Pa.s, e a espessura da lâmina é de 0,01 m. Admita que 
a lâmina de óleo não escorra pelo plano inclinado, que o escoamento entre a placa e o plano seja 
laminar e que a aceleração da gravidade local seja igual a 10 m/s2. Nessas condições, determine a 
velocidade terminal da placa escoando pelo plano inclinado.
Figura 41 – Representação do exercício. Fonte: O autor.
Solução: A velocidade é calculada empregando-se a lei de Newton da viscosidade. 
Resolve-se a equação para a velocidade como segue
em que é a espessura da camada de óleo, F a força horizontal, A é a área do bloco 
em contato com o � uido e é a viscosidade. Do enunciado, temos que ; 
; . A força que atua nesse sistema é a força peso, ou seja, 
. No entanto, devemos considerar apenas a componente da força que atua paralelamente ao 
escoamento, como ilustra a Figura 42.
Figura 42 – Decomposição da força peso no plano inclinado. Fonte: O autor.
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Assim, efetuando-se a decomposição dessa força,resulta que a força paralela ao escoamento 
será Assim, a velocidade terminal da placa é
Logo, a velocidade terminal da placa é igual a 0,125 m/s.
4. LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS
Estudos trigonométricos relacionados ao triângulo retângulo relacionam os ângulos do 
triângulo retângulo com as medidas dos lados por meio das relações de� nidas anteriormente. 
No entanto, essas relações são válidas somente para os triângulos retângulos. Para triângulos 
quaisquer, fazemos uso da lei dos senos e da lei dos cossenos.
Considere o triângulo cujos vértices são A, B e C e as medidas dos lados são a, b e c, 
apresentando na Figura 43. A lei dos senos estabelece que, para um mesmo triângulo, a razão 
entre o valor da medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante. Assim, 
podemos escrever:
Figura 43 – Triângulo. Fonte: O autor.
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Exemplo 33
Três pontos aparecem em um croqui, em escala 1:10000, como apresentado na Figura 44. 
Determine, em quilômetros, o perímetro desta � gura.
Figura 44 – Ilustração para o exemplo. Fonte: O autor.
Solução: Para se determinarem os valores das medidas dos lados AB e BC, usaremos a lei 
dos senos, como segue
Daí, 
e,
Logo, o perímetro do triângulo ABC é igual a 
Como o croqui está na escala 1:10000, segue que
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Exemplo 34
Na Figura 45, tem-se um triângulo cujos vértices são A, B e C, inscritos em uma 
circunferência de centro D e raio 10 cm. Determine, em cm, o perímetro do triângulo BDC.
Figura 45 – Representação do exemplo. Fonte: O autor.
Solução: Devemos observar que o triângulo BDC é isósceles, e o valor das medidas dos 
lados DB = DC = R, em que R é o raio da circunferência. Devemos observar que a medida dos 
ângulos . Assim, pela lei dos senos, escrevemos que
ou seja,
Logo, o perímetro do triângulo BDC é igual a 
Considere o triângulo cujos vértices são A, B e C e as medidas dos lados são a, b e c, 
apresentado na Figura 46. A  lei dos cossenos  estabelece que, para um mesmo triângulo, o 
quadrado do valor da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros 
dois lados, subtraído do produto desses lados, multiplicado pelo cosseno do ângulo formado por 
eles. Assim, podemos escrever:
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Figura 46 – Triângulo. Fonte: O autor.
Exemplo 35
Em 2011, um terremoto de 8,9 na Escala Richter atingiu o Japão. O epicentro desse 
terremoto foi no Oceano Pací� co, a 360 km da cidade de Tóquio, seguido de um tsunami. A 
cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 
13 minutos. Uma ilustração da região é apresentada na Figura 47.
Figura 47 - Representação do exercício. Fonte: O autor.
Considerando que , estime, em km/h, a velocidade de propagação da primeira 
onda do tsunami.
Solução: A distância entre o epicentro do terremoto e a cidade de Sandai pode ser 
determinada aplicando-se a lei dos cossenos, como segue:
Como a velocidade média é de� nida como a razão entre distância e tempo, segue que
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Exemplo 36
Em um dado instante, a manivela AB gira de tal forma, que o ângulo , como 
mostra a Figura 48. Considerando que a = 3,00 m e c = 7,00 m, determine a medida de b.
Figura 48 – Representação do exercício. Fonte: O autor. 
Solução: Considerando o triângulo ABC, temos que , a = 3,00 m e c = 7,00 m. 
Aplicando-se a lei dos cossenos como segue:
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03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 84
1. UNIDADES E DIMENSÕES .................................................................................................................................. 85
2. TRANSFORMAÇÕES E APLICAÇÕES DE UNIDADES DE MEDIDA .................................................................. 89
3. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL ................................................................................................................... 95
4. O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .....................................................................................................97
SISTEMAS DE UNIDADES, CONVERSÃO DE 
UNIDADES E NÚMEROS COMPLEXOS
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA 
PROF. DR. RODRIGO DE SOUZA RUZZI
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à terceira unidade do curso de Fundamentos Básicos 
da Engenharia. Esta unidade tem como objetivo estudar as unidades de medidas, os sistemas de 
unidades de medidas, conversão de unidades de medidas, números complexos e alguns conceitos 
que usaremos ao longo do curso de Engenharia. O objetivo é também apresentar a você algumas 
aplicações simples de unidades de medidas e números complexos no curso de Engenharia.
Nesta unidade, você será encorajado(a) a pesquisar a solução de algumas situações-
problema envolvendo Engenharia. Esperamos que você, por meio da leitura e das vídeo-aulas, 
desenvolva raciocínio lógico para a resolução de problemas envolvendo unidades de medidas. 
Lembre-se de que o conhecimento acerca de unidades e transformações de unidades é 
fundamental à formação dos engenheiros, seja qual for sua formação. A aplicação de números 
complexos aparece em eletricidade e problemas de vibrações. Assim, desejamos a você bons 
estudos.
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1. UNIDADES E DIMENSÕES
Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo ou particularidade de um fenômeno, 
passível de ser medida e à qual se pode atribuir um valor numérico. A medição de uma grandeza 
pode ser efetuada por comparação direta com um padrão ou com um aparelho de medida 
(medição direta) ou ser calculada por meio de uma expressão conhecida, à custa das medições de 
outras grandezas (medição indireta). 
Uma dimensão é uma medida de uma grandeza física (sem os valores numéricos), e a 
unidade é uma forma de atribuir um número a essa dimensão. A Tabela 1 apresenta as dimensões 
primárias (ou dimensões fundamentais) que são utilizadas para de� nir grandezas físicas diversas, 
bem como suas respectivas unidades no Sistema Internacional (SI) e no sistema inglês.
Dimensão Símbolo Unidade SI Unidade inglesa
Massa M kg (quilograma) lb (libra)
Comprimento L m (metro) ft (pé)
Tempo t s (segundo) s (segundo)
Temperatura T k (kelvin) R (rankine)
Corrente elétrica I A (ampére) A (ampére)
Quantidade de luz C cd (candela) cd (candela)
Quantidade de matéria N Mol mol
Tabela 1 – As dimensões primárias e suas unidades. Fonte: O autor.
Exemplo 1
A velocidade (V) de um objeto é dada pela razão entre o deslocamento do objeto em 
determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido o objeto se 
desloca. Usando colchetes [ ] para denotar “a dimensão de”, a dimensão da grandeza velocidade é 
 Assim, dizemos que a grandeza velocidade tem unidade “m/s” no SI e “� /s” no 
sistema inglês. Já a aceleração (a) é a grandeza que determina a variação da velocidade em relação 
ao tempo. Em outras palavras, ela indica o aumento ou a diminuição da velocidade com o passar 
do tempo. Assim, a dimensão da grandeza aceleração é Logo, dizemos que 
a grandeza aceleração tem unidade “m/s2” no SI e “� /s2” no sistema inglês.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIAExemplo 2
A Segunda Lei de Newton a� rma que , em que F é a força, m a massa e a é a 
aceleração desenvolvida pelo corpo. Assim, usando colchetes [ ] para denotar “a dimensão de”, 
temos que a grandeza força tem dimensão de
Logo, a grandeza força tem dimensão . Portanto, dizemos que a grandeza força 
tem unidade “kg.m/s2” no SI e “lb.� /s2” no sistema inglês.
Exemplo 3
O termo pressão é utilizado em diversas áreas da ciência como uma grandeza escalar que 
mensura a ação de uma ou mais forças sobre um determinado espaço, o qual pode ser líquido, 
gasoso ou sólido. A pressão é uma propriedade intrínseca a qualquer sistema. Para problemas que 
envolvem gases e sólidos, a expressão matemática utilizada para expressar pressão é dada por: 
, em que F é a força e A é a área de atuação da força. Assim, usando colchetes [ ] para denotar 
“a dimensão de”, temos que a grandeza pressão tem dimensão de .
A unidade de medida defi nida por kg.m/s2 recebe o nome especial de Newton (N), 
em homenagem a Isaac Newton (1643-1727). Assim, podemos afi rmar que 
1 =1 N. 
A unidade de medida defi nida por kg/(m.s2), no SI, recebe o nome especial de 
Pascal (Pa), em homenagem a Blaise Pascal (1623-1662). Assim, podemos 
afi rmar que 1 =1Pa. 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 4
Em Engenharia, energia é um conceito extremamente importante e representa a capacidade 
de produzir trabalho. Esse conceito é também usado em outras áreas cientí� cas, como a biologia, 
física e química. Energia potencial é a energia que pode ser armazenada em um sistema físico e 
tem a capacidade de ser transformada em energia cinética. A energia potencial é a energia que 
corresponde ao trabalho que a força peso realiza. A energia potencial pode ser equacionada como 
, em que m é a massa do corpo, g é a aceleração gravitacional e h é a altura em que se 
encontra o objeto de massa m, em relação a um nível de referência. Dessa forma, a dimensão de 
energia potencial é Por outro lado, a energia cinética é a forma 
de energia que os corpos em movimento possuem, sendo proporcional à massa e à velocidade 
da partícula que se move. A energia cinética é equacionada como , em que m é a 
massa do objeto, V a velocidade e é uma constante adimensional. Dessa forma, a dimensão 
de energia cinética é Assim, dizemos que a grandeza energia 
tem unidade “kg.m2/s2” no SI e “lb.� 2/s2” no sistema inglês. Observe que tanto energia potencial 
quanto energia cinética apresentam a mesma dimensão. Isso já era de se esperar, pois se trata da 
mesma grandeza física.
O conhecimento sobre as dimensões e unidades de algumas grandezas físicas nos ajuda 
em seu entendimento. Na Tabela 2, são apresentadas algumas grandezas físicas, suas dimensões e 
unidades no SI e no sistema inglês de unidades.
A unidade de medida defi nida por kg.m2/s2 recebe o nome especial de Joule (J), 
em homenagem a James Prescott Joule (1818-1889). Assim, podemos afi rmar 
que 1 =1 J. 
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Grandeza Dimensão Unidades SI Unidades inglesas
Área L2 m2 ft2
Volume L3 m3 ft3
Velocidade L T-1 m s-1 ft s-1
Aceleração L T-2 m s-2 ft s-2
Força M L T-2 kg m s-2 lb ft s-2
Pressão M L-1 T-2 kg m-1 s-2 lb ft-1 s-2
Tensão M L-1 T-2 kg m-1 s-2 lb ft-1 s-2
Massa específi ca M L-3 kg m-3 lb ft-3
Viscosidade M L-1 T-1 kg m-1 s-1 lb ft-1 s-1
Energia M L2 T-2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Trabalho M L2 T-2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Potência M L2 T-3 kg m2 s-3 lb ft2 s-3
Vazão volumétrica L3 T-1 m3 s-1 ft3 s-1
Vazão mássica M T-1 kg s-1 lb s-1
Tabela 2 – Dimensões e unidades de algumas grandezas. Fonte: O autor.
Exemplo 5
No século XIX, Osborne Reynolds estudou a transição entre os regimes laminar e 
turbulento em um tubo. O parâmetro que determinou o regime de escoamento, mais tarde, 
recebeu o nome de número de Reynolds, indicado por Re. O número de Reynolds é de� nido por:
em que é a massa especí� ca do � uido, V é a velocidade de escoamento, D é o diâmetro 
do tubo e a viscosidade. Com base nessas informações, prove que o número de Reynolds é 
adimensional.
Solução: Segue, do enunciado, que . Assim,
Logo, o número de Reynolds é adimensional.
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2. TRANSFORMAÇÕES E APLICAÇÕES DE UNIDADES DE 
MEDIDA
Em física do Ensino Médio, provavelmente, seu professor disse que, para transformar a 
velocidade de um objeto de km/h para m/s, bastava dividir o número pelo fator 3,6. 
Em Engenharia, é bastante comum a transformação de unidades de medidas. Em geral, 
para transformações de unidades, usamos tabelas com medidas equivalentes, bem como fazemos 
uso da regra de três. 
Entendamos esse processo. Para isso, considere a velocidade de 72 km/h, sendo que 
necessitamos dessa grandeza em m/s. Sabemos que 1 hora é equivalente a 3.600 segundos (1 h = 
3.600 s) e, ainda, que 1 km é equivalente a 1.000 metros (1 km = 1.000 m). Daí,
No procedimento anterior, ao multiplicar por , não alteramos a igualdade, 
pois 1 h = 3600 s. Analogamente, quando multiplicamos por . 
Observe que transformar unidades é uma tarefa simples: basta colocar, no lugar da 
unidade, o seu valor na nova unidade desejada. Depois, basta fazer as contas. O resultado dessas 
contas é o tal “fator” de conversão, presente nas inúmeras tabelas disponíveis.
Efetuemos algumas transformações de unidades, usando os conhecimentos de medida 
de comprimento, massa e tempo que, provavelmente, você estudou nos ensinos Fundamental e 
Médio.
Exemplo 6
Em todo processo no qual exista a movimentação de sólidos e � uidos é necessário fazer 
a medição de vazão mássica ( . O objetivo em mensurar a grandeza é para que se saiba a 
diferença entre a quantidade de matéria-prima que entrou no início do processo e a de produto 
que saiu ao � nal dele. Assim, é possível fazer o balanço da produção. A vazão mássica é de� nida 
como a razão entre a massa que atravessa a seção transversal de uma tubulação pelo tempo, isto é, 
. Observe, ainda na Tabela 2, que essa grandeza tem dimensão de M T-1 e unidade no SI 
de kg/s (ou kg s-1). Considere um processo industrial, cuja vazão massa seja de 45 toneladas por 
minuto. Expresse esse resultado em unidades do SI e do sistema inglês.
Solução: Sabemos que 1 tonelada = 1.000 kg e 1 minuto = 60 s. Assim, segue que
Observe, atentamente, como são dispostos os fatores para conversão. 
Agora, efetuemos a transformação de para o sistema inglês. Sabemos que a massa, 
no sistema inglês, é designada por libra (lb) e que 1 lb = 0,453592 kg. Assim,
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Portanto, .
A unidade de comprimento que o sistema inglês adota como unidade principal é a jarda, 
a qual, em 1959, foi de� nida em relação ao metro como 0,91440 m. Como múltiplo da jarda, tem-
se a milha, sendo que uma milha equivale a 1760 jardas. A jarda pode, ainda, ser dividida em 3 
pés, sendo que cada pé corresponde a 12 polegadas. Assim, os valores do sistema inglês podem 
ser convertidos e expressos no sistema métrico de acordo com a relação:
1 mi (uma milha) = 1760 yd = 1609,344 m
1 yd (uma jarda) = 3 � = 0,91440 m
1 � (um pé) = 12 in = 304,8 mm
1 in (uma polegada) = 25,4 mm
Assim como para comprimento, todas as unidades utilizadas no sistema inglês têm suas 
equivalentes no SI, com exceção do tempo, em que o segundo é utilizado em ambos os sistemas.
Exemplo 7
O croqui da Figura 1 ilustra a planta baixa de um apartamento, em que as medidas são 
dadas em metro. Expresse a medida da área desse apartamento em cm2 e � 2.
Figura 1 – Croqui de um apartamento. Fonte: O autor.
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Solução:Primeiramente, determinemos a área total desse apartamento, que é
Agora, efetuemos as conversões:
a) de m2 para cm2.
Sabemos que 1 m = 100 cm
Note que elevamos ao quadrado o fator de conversão para que a unidade m2 do numerador 
pudesse ser simpli� cada com m2 do denominador.
b) de m2 para � 2.
Sabemos que feet (� ) é a unidade de medida do sistema inglês de unidade e a relação de 
equivalência é tal, que 1 � = 0,3048 m. Assim, 
Exemplo 8
A Lagoa Rodrigo de Freitas � ca localizada na cidade do Rio de Janeiro e tem profundidade 
máxima de 787,4 in (in = polegada). Nessa condição, e assumindo que a massa especí� ca da água 
seja igual a 1 g/mL e que a aceleração gravitacional local seja igual a 32,1 � /s2, determine o valor 
da pressão, em unidades SI, que a coluna de água exerce na base da Lagoa, em sua profundidade 
máxima. 
Solução: Sabemos que a unidade de pressão, no SI, é Pa (lembre-se de que ). 
Para determinar o valor da pressão no fundo da Lagoa, usaremos a lei de Stevin, como segue
Observe, na expressão, a incompatibilidade de unidades. Efetuemos as transformações, 
uma a uma. Acompanhe:
•
 
•
 
•
 
Daí, 
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Segundo o  Sistema Internacional de Unidades (2012), a 11ª CGPM, de 1960, adotou 
uma série de nomes de pre� xos e símbolos de pre� xos para formar os nomes e símbolos dos 
múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do SI, variando de 1012 a 10-12. Posteriormente, 
foram incluídos pre� xos para 10-15 e 10-18 (12ª CGPM,1964), para 1015 e 1018 (15ª CGPM, 1975) 
e para 1021, 1024, 10-21, 10-24 (19ª CGPM, 1991). Os pre� xos e símbolos de pre� xos adotados estão 
dispostos na Tabela 3. 
Fator Nome do prefi xo Símbolo Fator Nome do Prefi xo Símbolo
101 deca da 10-1 Deci d
102 hecto h 10-2 Centi c
103 kilo k 10-3 Mili m
106 mega M 10-6 Micro μ
109 giga G 10-9 Nano n
1012 tera T 10-12 Pico p
1015 peta P 10-15 Femto f
1018 exa E 10-18 Atto a
1021 zetta Z 10-21 Zepto z
1024 yotta Y 10-24 Yocto y
Tabela 3 – Pre� xos do SI. Fonte: Sistema Internacional de Unidades (2012).
Exemplo 9
Em instalações prediais de água fria, o valor máximo da pressão de serviço de um tubo de 
PVC rígido, da classe 15, é de 7,5 kgf/cm2. Expresse essa medida em unidades do SI.
Solução: A unidade de kgf/cm2 corresponde à pressão, uma vez que é a razão entre 
unidade de forma e unidade de área. No entanto, kgf/cm2 não é unidade do SI. O quilograma-
força é a força com que a Terra atrai o quilograma-padrão ao nível do mar e a 45º de latitude. 
Devemos pesquisar em tabelas ou livros o fator de conversão entre quilograma-força e Newton, 
que é . Assim, 
Segundo a Tabela 3, o valor encontrado poderá ser reescrito, por exemplo, como 0,754 
MPa.
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Exemplo 10
Um objeto se desloca paralelamente sobre uma superfície plana, sem atrito, sob a ação de 
uma força F, representada na Figura 2.
Figura 2 – Ação de uma força F no deslocamento (d) de um corpo. Fonte: O autor.
Sabendo que trabalho (W) é uma grandeza de� nida como , em que F é 
a força; d é a distância percorrida pelo objeto e é o ângulo formado entre o ponto de aplicação 
da força e o deslocamento. Determine o trabalho, em unidades SI, realizado pela força F para 
movimentar o objeto de x = 0,0 � até x = 6,0 � .
Solução: Como o deslocamento e a força são paralelos ao solo e apresentam o mesmo 
sentido, segue que e . Daí, 
Podemos calcular o trabalho, simplesmente, calculando a área de três retângulos, mas 
devemos � car atentos às unidades. Observe
Note que dyn e � não são unidades SI. Sabemos que o dina (dyn) foi proposto, 
inicialmente, como unidade de força em 1861, por Joseph David Everett, como parte do sistema 
CGS (centímetro-grama-segundo), isto é, Assim, 
Note a incompatibilidade de unidades. Efetuemos as transformações nas unidades:
Veri� que, na Tabela 1, que a unidade é, de fato, unidade da grandeza trabalho no SI. 
Podemos escrever, ainda, que . Logo, o trabalho é de .
Sistema de unidades CGS é um sistema de unidades de medidas físicas, do tipo 
LMT (comprimento, massa, tempo), em que as unidades-base são o centímetro 
para o comprimento, o grama para a massa e o segundo para o tempo. Ele foi 
adotado em 1881, no Congresso Internacional de Eletricidade.
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Exemplo 11
A água tem calor especí� co à pressão constante, em 25ºC, igual a 1,0 . Expresse esse 
valor em 
Solução: Segue que
Exemplo 12
O volume de uma barra metálica varia com a temperatura segundo a equação
em que V é o volume, em cm3, e T, a temperatura, em ºC. Obtenha uma equação em que 
o volume seja expresso em in3 e a temperatura em ºF.
Solução: Observe, na equação, que temos o volume em função da temperatura. Para que 
essa equação seja homogênea, é necessário que seus termos aditivos tenham a mesma dimensão 
(L3) e unidade (cm3), ou seja, os termos e devem apresentar a unidade cm3. 
Note que o termo é o produto de um número real ( ) com a variável 
temperatura (T) e que o resultado desse produto é cm3. Como T é expresso em ºC, temos que a 
unidade do número é . De fato,
Os termômetros e termopares são os instrumentos capazes de determinar a 
temperatura de um corpo, e a leitura realizada por eles é apresentada em uma 
escala termométrica. Atualmente, as escalas termométricas utilizadas são: 
Celsius (°C), Fahrenheit (°F) e Kelvin (K). A transformação dessas unidades de 
temperatura pode ser realizada por interpolação linear, utilizando os valores 
defi nidos para ponto de fusão e ebulição de substâncias. 
A equação permite a conversão de temperatura entre 
as três escalas. 
Importante observar o valor correspondente à variação de temperatura nessas 
escalas . Isso signifi ca que a variação de 1ºC = 1 K = 1,8 ºF.
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Agora, para escrevermos uma versão dessa equação, na qual o volume seja expresso em 
in3 e a temperatura em ºF, faremos as transformações de unidades termo a termo, como segue. 
Acompanhe:
•
 
•
 
Logo, a versão da equação na qual o volume seja expresso em in3 e a temperatura em ºF é 
3. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL 
Todos conhecemos a expressão: “não podemos somar três laranjas com duas melancias”. 
Isso porque se tratam de coisas distintas. Na verdade, é a expressão simpli� cada de uma lei 
matemática mais fundamental e global – a lei da homogeneidade dimensional, enunciada como:
Todo termo aditivo de uma equação deve ter as mesmas dimensões.
 
 Todas as equações teóricas, em qualquer ciência física, são dimensionalmente 
homogêneas. Analisemos os dois casos a seguir:
Eq. (1)
Eq. (2)
em que as unidades de V e Vo (m/s), g (m/s
2) e t (s). Vejamos, primeiramente, para a 
equação (1), segue que
Agora, para a equação (2), segue que
Note que a equação (1) é dimensionalmente consistente, enquanto que (2) não o é, porque 
estamos somando termos com dimensões distintas. 
Exemplo 12
Em mecânica dos � uidos, a equação de Bernoulli é provavelmente mais discutida e 
utilizada. Essa equação descreve para um escoamento irrotacional, de um � uido incompressível, 
a relação entre pressão, velocidade e elevação, sendo escrita como
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em que P é a pressão, é a massa especí� ca, g a aceleração da gravidade, V a velocidade 
e z a cota referente à altura em relação à horizontal. Analisemos as dimensões de cada termo 
aditivo da equação de Bernoulli. Assim,
•
 
•
 
•
 Como os três termos da equação apresentam a dimensão L (de comprimento), podemos 
garantir quea equação é homogênea. Caso as dimensões de qualquer um dos termos fossem 
diferentes umas das outras, isso indicaria algum erro em alguma parte da análise. 
Exemplo 13
Uma importante equação diferencial, estudada na teoria das vibrações, é escrita como
em que m é a massa e x é a posição no instante t. Para uma equação dimensionalmente 
consistente, determine as dimensões de c, k e 
Solução: Sabemos que é a derivada segunda da posição em relação ao tempo, ou seja, 
é a aceleração. Sabemos, também, que é a derivada primeira da posição em relação ao tempo, 
ou seja, é a velocidade. Assim, o termo tem dimensão de , ou seja, tem 
dimensão de força. Assim, os termos e deverão ter dimensão de força para que a equação 
diferencial dada tenha consistência dimensional. Daí,
Portanto, as dimensões de c, k e f(t) são, respectivamente, e 
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4. O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
O matemático alemão Leonard Euler, em 1777, fez uso, pela primeira vez, da letra para 
simbolizar . O número é tal, que e é denominado de unidade imaginária. Os 
números em que aparece a unidade imaginária são denominados de números complexos, como 
proposto por Carl Friedrich Gauss, no início do século XIX.
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma em que 
 e é a unidade imaginária. Essa é a forma algébrica do número complexo z. 
O coe� ciente a é a parte real de z, representada por Re(z). E o coe� ciente b é a parte 
imaginária de z, representada por Im (z). Dizemos que dois números complexos, digamos 
 e , são iguais quando
Com o surgimento dos números complexos, uma ampliação dos conjuntos numéricos 
aconteceu, como ilustrado na Figura 3.
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. As grandezas 
se dividem em escalares e vetoriais. As grandezas escalares 
são aquelas defi nidas por um valor numérico e sua unidade. 
Por outro lado, para as grandezas vetoriais, necessita-se, 
além do valor e da unidade, informar o sentido e a direção; 
ademais, elas podem ser representadas por um vetor. O 
vídeo a seguir explica esses tipos de grandezas e o Sistema 
Internacional de Unidades. O link de acesso é: 
<https://www.youtube.com/watch?v=752KWWVH_VU>
Em geral, os valores dos fatores de conversão entre 
unidades de medidas são tabelados. O arquivo a seguir 
apresenta algumas dessas tabelas. Nossa sugestão é 
que você o imprima e o tenha sempre em mãos. O arquivo 
está disponível em: <https://www.feq.unicamp.br/images/
stories/documentos/eq481_tab_conv_unid.pdf>
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Figura 3 – O conjunto dos números complexos. Fonte: O autor.
Um número complexo pode ser somado, subtraído, multiplicado e dividido. Considere 
que e sejam números complexos e seja o conjugado de , 
com , com As operações são de� nidas como segue:
• Adição: 
• Subtração:
• Multiplicação: 
• Divisão: 
Exemplo 14
Dados os números complexos e . Para eles, observe as operações a 
seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
Para as operações de adição e de multiplicação de números complexos, são 
válidas as propriedades associativa e comutativa, além da existência do elemento 
neutro.
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Exemplo 15
Sejam A e B dois números complexos, tal que , em que i denota a unidade 
imaginária. Seja A o conjugado de B. Nessas condições, determine o resultado da operação .
Solução: Temos que e A é o conjugado de B. Dessa forma, . Assim, 
Exemplo 16
Seja z um número complexo, tal que , com e e . Seja 
 que tem determinante dado por . Nessas condições, determine 
o valor de .
Solução: A matriz A pode ser reescrita como
e o determinante é . Assim, como 
o resultado do determinante é dado, segue que
Assim, temos o sistema , cujas soluções são e ou, então, 
e , o que implica ou . Portanto, 
As potências de i são repetidas em grupos de quatro valores, seguindo o padrão 
das potências i0, i1, i2 e i3. Dessa maneira, para calcularmos o valor de in, sendo 
n um número natural, efetuamos a divisão de n por 4, e o resto dessa divisão é 
considerado o novo expoente de i.
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Exemplo 17
Um circuito RLC contém um resistor (R), um indutor (L) e um capacitor (C). O valor 
da medida da resistência desse tipo de circuito é denominado de impedância (Z), expressa por 
um número complexo. Em um circuito RLC em série, a impedância equivalente (Zeq) é de� nida 
como:
Considere o circuito RLC, em série, da Figura 4, em que , e . 
Determine o valor do Zeq.
Figura 4 – Circuito RLC. Fonte: O autor.
Solução: Da de� nição, segue que a impedância equivalente é 
Assim,
 
Cada número real associa um ponto na reta real, e cada número complexo , com 
, associa um único ponto P(a,b) no plano cartesiano, e vice-versa, como mostra a Figura 
5. A parte real do número complexo é representada no eixo das abcissas, que é denominado de 
eixo real, e a parte imaginária é representada no eixo das ordenadas, que é o eixo imaginário. 
Figura 5 – Representação geométrica de um número complexo. Fonte: O autor.
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Na Figura 5, note que o módulo do número complexo , denotado por ou 
é de� nido como:
Por outro lado, o argumento de z, denotado por arg(z), é o ângulo ( ) formado pelo 
semieixo real positivo, e o vetor , determinado no sentido anti-horário. Assim, escrevemos que 
 Como , temos que z pode ser reescrito como:
que é a forma trigonométrica do número complexo z. 
Exemplo 18
Considere a equação , em que i é a unidade imaginária. Sejam e as 
raízes dessa equação. Nessas condições, determine .
Solução: A equação pode ser reescrita como 
que é uma equação quadrática em C. Assim, usando a fórmula de Bhaskara, temos
Daí, e . Logo, .
Exemplo 19
Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos: e 
. Determine em que 
Solução: Os números complexos são
Assim,
Daí, 
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O teorema de Stevin estabelece que o valor da diferença de pressão entre dois 
pontos, em um fl uido em repouso, é igual ao produto do peso específi co desse 
fl uido pela diferença de altura entre esses pontos. Escrevendo o Teorema de Stevin 
como uma equação, temos ∆P=γ×∆h=ρ×g ×∆h, em que ∆h é a diferença de altura 
entre os pontos, γ é o peso específi co, ρ é a massa específi ca e g é a aceleração 
gravitacional.
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04
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................104
1. O PROFISSIONAL DE ENGENHARIA ..................................................................................................................105
2. ESPECIALIDADES DA ENGENHARIA E ÁREAS AFINS .....................................................................................106
3. O CONSELHO DE ENGENHARIA .........................................................................................................................109
3.1 CONSELHO FEDERAL DE ENGENHARIA E AGRONOMIA – CONFEA ............................................................ 110
3.2 CONSELHOS REGIONAIS DE ENGENHARIA E AGRONOMIA – CREA .......................................................... 111
3.3 ANOTAÇÃO DE RESPONSABILIDADE TÉCNICA – ART .................................................................................. 112
4. A ÉTICA NA ENGENHARIA.................................................................................................................................. 1135. COMUNICAÇÃO NA ENGENHARIA .................................................................................................................... 115
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................................................................... 118
A ENGENHARIA E SUAS PARTICULARIDADES
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA 
PROF. DR. RODRIGO DE SOUZA RUZZI
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INTRODUÇÃO
Para um pro� ssional de qualquer formação, é fundamental saber e conhecer sua própria 
pro� ssão bem com suas respectivas áreas de atuação. Assim, o pro� ssional da área da Engenharia, 
seja ela qual área for, precisa conhecer sobre as atribuições cabíveis à sua formação e os respectivos 
conselhos que controlam isso.
Além de � car informado sobre o que cabe ao engenheiro e aos conselhos de Engenharia, 
nesta unidade, apresentar-se-ão, também, conceitos de ética relacionados à Engenharia a � m de 
que, ao chegar ao � nal do curso de graduação em Engenharia, o estudante esteja apto a exercer 
sua pro� ssão de maneira responsável e ética.
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1. O PROFISSIONAL DE ENGENHARIA
Facilmente, no nosso dia a dia, deparamo-nos com objetos que são frutos do trabalho 
de engenheiros, o que evidencia a importância dos engenheiros ao trazerem objetos comuns 
até o mercado. Contudo, além da produção de objetos comuns, os engenheiros foram e são 
fundamentais para vários feitos da humanidade, como o programa Apolo, que levou o homem à 
Lua (HOLTZAPPLE e REECE, 2013).
De modo geral, os engenheiros são indivíduos que conseguem combinar os conhecimentos 
teóricos para a solução de problemas técnicos com os quais a sociedade se depara. Assim, o que 
difere o engenheiro de cientistas é o conhecimento prático (HOLTZAPPLE e REECE, 2013). 
Embora, historicamente, a Engenharia tenha sido guiada por experiências adquiridas 
pela prática ou pela observação, o ensino de Engenharia nos moldes atuais busca enfatizar 
conhecimentos de ciências, matemática e economia, de modo que a Engenharia seja uma ciência 
aplicada.
Atualmente, junto com o fator econômico, que deve ser levado em consideração na hora 
de propor uma solução, o controle e a utilização de recursos de modo consciente vêm se tornando 
cada vez mais importantes. De acordo com Holtzapple e Reece (2013), a crescente onda de 
ambientalismo é resultado do nosso reconhecimento de que mudança é necessário, de modo que 
devemos nos tornar cuidadores da natureza e, não, adversários dela, vez que ainda precisamos da 
natureza para prover elementos básicos à vida, como o alimento e o oxigênio.
Um engenheiro solitário di� cilmente será capaz de vencer os desa� os técnicos da 
atualidade. O desenvolvimento tecnológico se dá por um processo com esforços coordenados 
de equipes constituídas por cientistas, engenheiros, tecnólogos, técnicos e artesãos. Cientistas 
são estudiosos que trabalham realizando pesquisa, mesmo que os resultados não tenham 
aplicações imediatas. Engenheiros aplicam seus conhecimentos e, muitas vezes, os resultados 
apresentados pelos cientistas para desenvolver produtos. Tecnólogos, por sua vez, aplicam a 
ciência e a matemática em problemas que não requerem um conhecimento mais profundo, como 
o de engenheiros e cientistas. Os técnicos realizam tarefas especí� cas como procedimentos e 
construção de modelos. Artesãos são pro� ssionais que, muitas vezes, não apresentam qualquer 
formação especí� ca na área; contudo, por experiências, apresentam habilidades manuais para 
executar e construir produtos especi� cados por cientistas, engenheiros, tecnólogos e técnicos 
(HOLTZAPPLE e REECE, 2013). Para que o trabalho em equipe apresente um resultado positivo, 
é necessário que todos os membros estejam comprometidos com o mesmo ideal e apresentem 
respeito pelas ideias dos companheiros.
A palavra engenheiro data do século XIV e signifi cava “construtor de engenhos”, 
que, na época, referia-se a máquinas militares. É uma palavra derivada do antigo 
francês engigneor, que, por sua vez, tem origem da palavra latina ingenium, que 
signifi ca qualidade, talento, genialidade, habilidade.
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2. ESPECIALIDADES DA ENGENHARIA E ÁREAS AFINS
Embora, de modo geral, a Engenharia tenha uma base comum, ela também apresenta 
especialidades. A Figura 1 apresenta, de modo esquemático, a origem das principais especialidades 
da Engenharia.
Figura 1 – Origem das principais especialidades da Engenharia. Fonte: Holtzapple e Reece (2013).
Como se pode ver na Figura 1, uma vasta base de conhecimentos de física é necessária 
para todas as especialidades da Engenharia, enquanto que, para algumas especialidades, são 
ainda necessários conhecimentos de química e de biologia.
A engenharia civil é, por muitos autores, considerada a mais antiga especialidade e, 
como se pôde observar na Figura 1, a maior parte das especialidades da Engenharia é proveniente 
dela. Os feitos da engenharia civil datam de antes mesmo da construção das pirâmides. Contudo, 
a expressão “engenheiro civil” veio a ser usada somente no século XVIII para distinguir 
engenheiros que trabalhavam em projetos civis daqueles que trabalhavam em projetos militares 
(HOLTZAPPLE e REECE, 2013).
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De modo geral, os engenheiros civis são responsáveis por projetar, construir, supervisionar 
e manter projetos de construção de sistemas de abastecimento de água e de esgoto, rodovias, 
represas, pontes, canais, portos, aeroportos e edifícios. De acordo com Cocian (2017), dentre as 
atribuições dos engenheiros civis, podem-se destacar:
• A análise de relatórios, mapas e outros dados necessários ao planejamento e 
desenvolvimento de projetos.
• Estimar custos de uma construção, considerando todos os regulamentos e leis, além de 
outros fatores, como possíveis problemas ambientais no estágio de planejamento e análise 
de risco.
• Redigir e compilar bem como submeter solicitações às agências governamentais a � m de 
se veri� car se os projetos atendem às respectivas normas e legislação.
• Realizar e/ou supervisionar testes de solos a � m de determinar sua adequação para a 
construção de fundações.
• Testar materiais de construção que serão utilizados nos seus projetos, tais como aço, 
asfalto, concreto etc.
• Utilizar ferramentas de so� ware para realizar, de acordo com as normas vigentes, o projeto 
e os cálculos de estruturas, sistemas hidráulicos e planejamento de sistemas de transporte.
• Avaliar e orientar atividades de construção.
• Apresentar de forma clara os resultados de seu trabalho, seja em forma de propostas, 
declarações de impacto ambiental, seja descrição de propriedades.
• Gerenciar a manutenção, como consertos e substituições, da infraestrutura pública e/ou 
privada.
Engenheiros civis que exercem atividades em projetos mais complexos costumam 
buscar algum tipo de especialização, sendo as mais comuns nas áreas de construção, geotécnica, 
estruturas, hidráulica e transportes.
Engenheiros mecânicos, por sua vez, realizam pesquisa, projeto, desenvolvimento e 
testes de componentes e sistemas térmicos e mecânicos (COCIAN, 2017). Assim, os engenheiros 
mecânicos constroem motores, meios de transporte (tais como automóveis, navios e aviões), 
estruturas metálicas, máquinas, ferramentas (como tornos, fresadoras e furadeiras), trocadores 
de calor, sistemas de aquecimento e refrigeração e equipamentos industriais (HOLTZAPPLE e 
REECE, 2013). De acordo com Cocian (2017), dentre as atribuições dos engenheiros mecânicos, 
podem-se destacar:
• Realizaranálise de situações para aplicar dispositivos térmicos e mecânicos a � m de 
resolver os problemas de forma e� ciente.
• Projetar componentes e dispositivos térmicos e mecânicos.
• Utilizar ferramentas computacionais para a elaboração de projetos e para realizar 
simulações.
• Desenvolver e testar protótipos de componentes projetados.
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• Realizar a análise dos resultados de testes e fazer adequações no projeto, se necessário.
• Gerir e supervisionar processos de manufatura.
Os engenheiros mecânicos, normalmente, trabalham em indústrias ou empresas que 
prestam serviços de Engenharia, na área de pesquisa e desenvolvimento, bem como em processos 
de fabricação, manutenção e controle da qualidade. Na maioria das vezes, são pro� ssionais que 
atuarão como parte de uma equipe composta por engenheiros, tecnólogos, técnicos e outros 
pro� ssionais (COCIAN, 2017).
Assim que os cientistas começaram a entender a eletricidade, nasceu a engenharia elétrica. 
Assim, a eletricidade passou a servir a sociedade na transmissão de potência e de informações 
(HOLTZAPPLE e REECE, 2013). Os engenheiros eletricistas e eletrônicos realizam projetos, 
desenvolvimento e testes de equipamentos elétricos como motores, sistemas de navegação, de 
comunicação e de geração de energia elétrica. Também realizam projetos de linhas de transmissão 
de energia e sistemas elétricos embarcados em meios de transportes, além de participarem do 
desenvolvimento de equipamentos eletrônicos de modo geral. De acordo com Cocian (2017), são 
atribuições do engenheiro eletricista e eletrônico:
• Desenvolver novas formas de uso da energia elétrica para melhorar projetos e produtos.
• Elaborar cálculos e relatórios necessários para desenvolver normas para construção e 
instalação de sistemas elétricos.
• Cuidar da fabricação, instalação e testes de equipamentos elétricos a � m de garantir que 
eles atendam à legislação vigente.
• Avaliar problemas elétricos e recomendar possíveis soluções.
• Realizar projetos de componentes eletrônicos, programas ou sistemas para as mais 
diversas aplicações.
• Determinar os requisitos dos sistemas elétricos com base nas necessidades dos clientes.
• Analisar e avaliar sistemas elétricos, determinando procedimentos de teste e manutenção 
e recomendando possíveis modi� cações de projeto.
• Realizar inspeção de sistemas e equipamentos eletrônicos para assegurar que atendam a 
todas as normas de segurança vigentes.
Normalmente, os engenheiros eletricistas trabalham em indústrias de serviços de 
Engenharia que envolvem geração, transmissão e distribuição de energia elétrica, em fábricas 
de componentes elétricos e eletrônicos, em empresas de telecomunicações e de construção civil 
(COCIAN, 2017).
A engenharia da computação evoluiu a partir da engenharia elétrica. Diferente dos 
cientistas da computação, que apresentam ênfase na parte de programação, os engenheiros da 
computação, apesar de entenderem tanto de so� ware como de hardware, apresentam ênfase em 
hardware. Assim, realizam projetos e constroem desde supercomputadores até computadores de 
uso pessoal, conectam computadores em rede, realizam a programação e regulam suas funções. 
Dado o desenvolvimento na área de informática nos últimos anos, foi uma das especialidades da 
Engenharia que apresentou maior crescimento (HOLTZAPPLE e REECE, 2013).
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A engenharia química, por sua vez, está relacionada à utilização dos princípios advindos 
do conhecimento das ciências para resolução de problemas que envolvem a produção e o uso de 
produtos químicos, sejam eles combustíveis, fármacos ou alimentos. São os engenheiros químicos 
que projetam tanto processos como equipamentos para fabricação, em larga escala, de produtos e 
substâncias. Usualmente, os engenheiros químicos trabalham em indústrias de produção química 
e re� narias, além de outros locais onde monitoram e dirigem operações (COCIAN, 2017).
Os engenheiros de produção são pro� ssionais que buscam formas de eliminar os 
desperdícios encontrados em processos de produção, assim como buscam utilizar, de modo 
mais e� ciente, os recursos humanos, maquinário, materiais e energia ao se fazer um produto ou 
ao se prestar um serviço. Os engenheiros de produção apresentam grande versatilidade, o que 
lhes permite participar e atuar em uma grande variedade de mercados, tanto governamentais 
como privados. Os engenheiros de produção, na maioria das vezes, participam diretamente das 
atividades de gestão, tanto nas cadeias de fornecimento e produtivas, como nas atividades de 
logística e controle da qualidade a � m de controlar os custos e maximizar as e� ciências (COCIAN, 
2017).
Por sua vez, os engenheiros de materiais são os responsáveis por desenvolverem, 
processarem e testarem materiais para as mais diversas aplicações, desde componentes da turbina 
de um avião até sacolas plásticas. Trabalham com uma grande variedade de materiais como 
metais, cerâmicas, polímeros ou compósitos, a � m de criar novos materiais, combinações ou 
formas de uso que atendam aos requisitos de projeto, sejam eles mecânicos, térmicos, elétricos, 
magnéticos ou químicos. Normalmente, os engenheiros de materiais estão presentes em fábricas 
de componentes para uso em meios de transporte (carros, aviões, navios etc.) e de componentes 
eletrônicos, além da indústria metalúrgica e de institutos e agências de pesquisas cientí� ca e 
tecnológica.
3. O CONSELHO DE ENGENHARIA
O Conselho Federal de Engenharia e Agronomia (CONFEA) foi instituído juntamente 
com os Conselhos Regionais de Engenharia e Agronomia (CREA) pelo Decreto nº 23.569, de 11 
de dezembro de 1933, e é a instância superior da � scalização do exercício das pro� ssões inseridas 
no Sistema CONFEA/CREA. 
Atualmente, o exercício das pro� ssões de engenheiro e agrônomo é regulado pelo sistema 
CONFEA/CREA conforme a Lei nº 5.194, de 24 de dezembro de 1966 (BRASIL, 1966), a qual 
de� ne as atividades pro� ssionais, o conselho federal (CONFEA), os conselhos regionais (CREA) 
e as câmaras especializadas.
Assim, quando o CREA/CONFEA realiza o registro de um pro� ssional ou emite uma 
Anotação de Responsabilidade Técnica (ART), ele atesta que o pro� ssional em questão está apto a 
realizar sua função. O pro� ssional registrado, por sua vez, � ca sujeito às regras e ao código de ética 
pro� ssional do sistema CONFEA/CREA. É importante notar que, sem registro, o pro� ssional � ca 
impossibilitado perante a lei de desempenhar sua função, bem como de emitir qualquer tipo de 
ART.
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3.1 Conselho Federal de Engenharia e Agronomia – CONFEA
Trata-se de entidade autárquica dotada de personalidade jurídica de direito público, que 
constitui serviço público federal, com sede e foro na cidade de Brasília-DF e jurisdição em todo 
o território nacional.
O CONFEA é a instância superior da � scalização do exercício pro� ssional da Engenharia 
e da Agronomia, cujas principais atribuições, de acordo com a Lei nº 5.194, de 24 de dezembro 
de 1966, são:
• Organizar o regimento interno e estabelecer normas gerais para os regimentos dos 
Conselhos Regionais.
• Homologar os regimentos internos organizados pelos Conselhos Regionais.
• Examinar e decidir, em última instância, os assuntos relativos ao exercício das pro� ssões 
de Engenharia e Agronomia, podendo anular qualquer ato que não estiver de acordo com 
a lei.
• Tomar conhecimento e dirimir quaisquer dúvidas suscitadas nos Conselhos Regionais.
• Julgar, em última instância, os recursos sobre registros, decisões e penalidades impostas 
pelos Conselhos Regionais.
• Baixar e fazer publicar as resoluções previstas para regulamentação e execução da Lei nº 
5.194, de 24 de dezembro de1966, e, ouvidos os Conselhos Regionais, resolver os casos 
omissos.
• Relacionar os cargos e funções dos serviços estatais, paraestatais, autárquicos e de 
economia mista, para cujo exercício seja necessário o título de engenheiro ou engenheiro-
agrônomo.
• Incorporar, ao seu balancete de receita e despesa, os dos Conselhos Regionais.
• Enviar aos Conselhos Regionais cópia do expediente encaminhado ao Tribunal de Contas, 
até 30 (trinta) dias após a remessa.
• Publicar anualmente a relação de títulos, cursos e escolas de ensino superior, assim como, 
periodicamente, relação de pro� ssionais habilitados.
• Fixar, ouvido o respectivo Conselho Regional, as condições para que as entidades de 
classe da região tenham nele direito à representação.
• Promover, pelo menos uma vez por ano, as reuniões de representantes dos Conselhos 
Federal e Regionais.
• Examinar e aprovar a proporção das representações dos grupos pro� ssionais nos 
Conselhos Regionais.
• Julgar, em grau de recurso, as infrações do Código de Ética Pro� ssional do engenheiro e 
engenheiro-agrônomo, elaborado pelas entidades de classe.
• Aprovar ou não as propostas de criação de novos Conselhos Regionais.
• Fixar e alterar as anuidades, emolumentos e taxas a pagar pelos pro� ssionais e pessoas 
jurídicas.
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• Autorizar o presidente a adquirir, onerar ou, mediante licitação, alienar bens imóveis.
3.2 Conselhos Regionais de Engenharia e Agronomia – CREA
Os Conselhos Regionais (CREA) são órgãos que realizam a � scalização do exercício das 
pro� ssões de engenharia e agronomia, em suas respectivas regiões. De acordo com a Lei nº 5.194, 
de 24 de dezembro de 1966, as atribuições dos conselhos regionais são:
• Elaborar e alterar seu regimento interno, submetendo-o à homologação do Conselho 
Federal.
• Criar as câmaras especializadas, atendendo às condições de maior e� ciência da � scalização 
estabelecida em lei.
• Examinar reclamações e representações acerca de registros.
• Julgar e decidir, em grau de recurso, os processos de infração de lei e do Código de Ética, 
enviados pelas câmaras especializadas.
• Julgar, em grau de recurso, os processos de imposição de penalidades e multas.
• Organizar o sistema de � scalização do exercício das pro� ssões reguladas pela Lei nº 5.194, 
de 24 de dezembro de 1966.
• Publicar relatórios de seus trabalhos e relações dos pro� ssionais e � rmas registrados.
• Examinar os requerimentos e processos de registro em geral, expedindo as carteiras 
pro� ssionais ou documentos de registro.
• Sugerir ao Conselho Federal medidas necessárias à regularidade dos serviços e à 
� scalização do exercício das pro� ssões reguladas na Lei nº 5.194, de 24 de dezembro de 
1966.
• Agir, com a colaboração das sociedades de classe e das escolas ou faculdades de engenharia 
e agronomia, nos assuntos relacionados com as pro� ssões reguladas.
• Cumprir e fazer cumprir a Lei nº 5.194, de 24 de dezembro de 1966, as resoluções baixadas 
pelo Conselho Federal, bem como expedir atos que julguem necessários a isso.
• Criar inspetorias e nomear inspetores especiais para maior e� ciência da � scalização.
• Deliberar sobre assuntos de interesse geral e administrativos e sobre os casos comuns a 
duas ou mais especializações pro� ssionais.
• Julgar, decidir ou dirimir as questões da atribuição ou competência das câmaras 
especializadas, quando o conselho regional não possuir número su� ciente de pro� ssionais 
do mesmo grupo para constituir a respectiva câmara.
• Organizar, disciplinar e manter atualizado o registro dos pro� ssionais e pessoas jurídicas 
que, nos termos da lei, inscrevam-se para exercer atividades de Engenharia ou Agronomia, 
na Região.
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• Organizar e manter atualizado o registro das entidades de classe e das escolas e faculdades 
que devam participar da eleição de representantes, destinada a compor o Conselho 
Regional e o Conselho Federal.
• Registrar as tabelas básicas de honorários pro� ssionais elaboradas pelos órgãos de classe.
• Autorizar o presidente a adquirir, onerar ou, mediante licitação, alienar bens imóveis.
3.3 Anotação de Responsabilidade Técnica – ART
A anotação de responsabilidade técnica (ART) é o documento que de� ne, para os efeitos 
legais, o(s) responsável(is) técnico(s) pelo desenvolvimento de atividade técnica no âmbito das 
pro� ssões abrangidas pelo sistema CONFEA/CREA. A ART pode, ainda, ser de três tipos: de 
obra ou serviço; de obra ou serviço de rotina; de cargo ou função.
A Lei nº 6.496, de 7 de dezembro de 1977, instituiu a ART e sua obrigatoriedade em 
todo contrato, escrito ou verbal, para a execução de obras ou prestação de quaisquer serviços 
pro� ssionais referentes à Engenharia e à Agronomia, bem como para o desempenho de cargo ou 
função para a qual sejam necessários habilitação legal e conhecimentos técnicos nas pro� ssões 
abrangidas pelo sistema CONFEA/CREA. Para os efeitos legais, é a ART que de� nirá quem são 
os responsáveis técnicos pelo empreendimento de Engenharia ou Agronomia.
O registro da ART é uma via de mão dupla, pois garante, perante à sociedade, o compromisso 
do pro� ssional com a qualidade do serviço prestado, ao mesmo tempo em que garante, para o 
pro� ssional, a formalização do respectivo acervo técnico, ou seja, é uma comprovação de sua 
capacidade técnico-pro� ssional.
O registro da ART deve ser realizado pelo pro� ssional antes do início da atividade a que 
se refere o CREA da região em que será realizada a respectiva atividade. A ausência do registro da 
ART deixa o pro� ssional e/ou a empresa sujeitos a multas e às demais cominações legais.
Uma revisão interessante sobre os conselhos de Engenharia 
(CREA e CONFEA) pode ser vista no vídeo História: conheça 
o CREA e o CONFEA, disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=3XeX0OQdiLI>
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4. A ÉTICA NA ENGENHARIA
A ética deve acompanhar o cotidiano dos engenheiros, assim como deve acompanhar 
o cotidiano de todos os cidadãos. Desde a Lei nº 5.194, de 24 de dezembro de 1966, já está 
de� nido o caráter social das atividades de Engenharia e Agronomia de modo que, desde 1971, 
os pro� ssionais do sistema CONFEA/CREA respondem ao código de ética pro� ssional da 
engenharia, da agronomia, da geologia, da geogra� a e da meteorologia que, em 2019, chegou à 
sua 11ª edição.
Os fundamentos éticos e as condutas necessárias à boa e honesta prática da Engenharia 
estão enunciados no código de ética pro� ssional, que tem alcance sobre os pro� ssionais, 
quaisquer que sejam seus níveis de formação, modalidades ou especializações. As modalidades 
e especializações pro� ssionais, por sua vez, poderão estabelecer preceitos próprios de conduta 
devido às suas especi� cidades, contanto que estejam em consonância com o código de ética 
pro� ssional.
O código de ética pro� ssional abrange os seguintes tópicos:
• A identidade das pro� ssões e dos pro� ssionais: cada pro� ssional é detentor do saber e 
deve ser um sujeito proativo para o desenvolvimento.
• Princípios éticos: a prática da pro� ssão deve sempre ser pautada em princípios éticos.
• Objetivo da pro� ssão: a pro� ssão é um bem social da humanidade; assim, o pro� ssional 
deve exercê-la tendo como objetivos a preservação e o desenvolvimento do ser humano, 
de seu ambiente e de seus valores.
• Natureza da pro� ssão: a pro� ssão é um bem cultural da humanidade e deve sempre ser 
colocada em prática a serviço da melhoria da qualidade de vida.
• Honradez da pro� ssão: a pro� ssão deve sempre ser vista como um título de honra e 
conduzida de forma honesta e digna.
• E� cácia pro� ssional: o pro� ssional deve sempre cumprir os compromissos de forma 
responsável, utilizando-se de técnicasadequadas para que os resultados propostos sejam 
alcançados com qualidade e segurança.
• Relacionamento pro� ssional: o relacionamento pro� ssional deve ocorrer de forma 
honesta e justa, com igualdade de tratamento entre os pro� ssionais e lealdade.
• Intervenção pro� ssional sobre o meio: a pro� ssão deve ser exercida de forma sustentável.
• Liberdade e segurança pro� ssionais: aos que apresentam quali� cação, a pro� ssão é de 
livre exercício.
• Deveres dos pro� ssionais: 
• Ante o ser humano e a seus valores: o pro� ssional deve oferecer seu saber em prol 
da humanidade, deve sempre conciliar os interesses pessoais com os coletivos.
• Ante a pro� ssão: o pro� ssional deve dedicar-se à pro� ssão, desenvolver a cultura da 
mesma, atuar dentro do limite das suas atribuições.
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• Nas relações com clientes: tratar terceiros sempre com equidade, resguardar o sigilo 
pro� ssional, realizar propagandas com informações corretas, respeitar o direito de 
escolha do destinatário do serviço, alertar sobre possíveis riscos.
• Nas relações com outros pro� ssionais: atuar sempre com lealdade, manter-se 
informado sobre as normas.
• Ante o meio: exercer as atividades pelos preceitos do desenvolvimento sustentável 
e buscar, em novos projetos, minimizar os impactos ambientais e a conservação de 
energia, além de preservar os patrimônios socioculturais.
• Condutas vedadas:
• Ante o ser humano e a seus valores: descumprir com os deveres do ofício, usar 
da pro� ssão ou função de forma abusiva ou de modo a obter vantagens pessoais, 
prestar orientações ou prescrições técnicas que possam resultar em danos pessoais 
e/ou patrimoniais.
• Ante a pro� ssão: exercer trabalho, função ou tarefa para os quais não possui a 
devida quali� cação, omitir ou ocultar fatos que transgridam a ética pro� ssional.
• Nas relações com os clientes e empregados: formular propostas de salário e 
apresentar proposta de honorários inferiores ao mínimo pro� ssional legal, usar 
de artifícios enganosos para obtenção de vantagens ou impedir o acessos de 
colaboradores às devidas promoções, descuidar da segurança e saúde do trabalho 
dos colaboradores sob sua coordenação, suspender contratos de forma injusti� cada 
e sem comunicação prévia, impor ritmo de trabalho excessivo e exercer assédio 
moral ou pressão psicológica aos colaboradores.
• Nas relações com outros pro� ssionais: realizar intervenções no trabalho de outro 
pro� ssional sem a autorização do mesmo (salvo quando se tratar de exercício 
do dever legal), agir com preconceito e/ou discriminatoriamente contra outros 
pro� ssionais ou pro� ssões.
• Ante o meio: prestar orientações ou prescrições técnicas que possam resultar em 
danos ao ambiente natural, à saúde humana ou ao patrimônio cultural.
• Direitos dos pro� ssionais:
• Livre associação e organização em corporações pro� ssionais.
• Exclusividade do exercício pro� ssional.
• Reconhecimento legal.
• Representação institucional.
• Liberdade de escolha de especialização.
• Liberdade de escolha de métodos, procedimentos e formas de expressão.
• Uso do título pro� ssional.
• Exclusividade do ato de ofício a que se dedicar.
• Remuneração justa e proporcional à tarefa desenvolvida.
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• Meios e condições de trabalho dignos, e� cazes e seguros.
• Recusar trabalho, contrato, função ou tarefa que julgar incompatível com sua 
titulação ou capacidade.
• À proteção do seu título, de seus contratos e de seu trabalho.
• À proteção da propriedade intelectual sobre sua criação.
• À competição honesta no mercado de trabalho.
• À liberdade de associar-se a corporações pro� ssionais.
• À propriedade de seu acervo técnico-pro� ssional.
• Infrações éticas: as infrações éticas são todos os atos cometidos contra os princípios 
éticos. É a prática de conduta vedada ou, ainda, prática que lese os direitos de outrem.
5. COMUNICAÇÃO NA ENGENHARIA
No decorrer do curso de Engenharia, na especialidade de sua escolha, o estudante se depara 
com muitos componentes técnicos considerados como “difíceis” (que enfatizam os cálculos) e 
alguns mais “super� ciais”, considerados como “fáceis” (que abrangem a comunicação na forma 
escrita e, algumas vezes, na forma oral). Dessa forma, o estudante pode, equivocadamente, 
concluir que a comunicação não é tão importante na Engenharia.
De acordo com Holtzapple e Reece (2013), nada poderia ser mais falso do que a conclusão 
anterior. A limitação de tempo faz com que haja, no decorrer do curso, uma ênfase maior nos 
componentes técnicos, considerados difíceis; contudo, a comunicação, tanto oral como escrita, é 
parte integrante do trabalho de um engenheiro (alguns engenheiros relatam que gastam até 80% 
do seu tempo com tal atividade).
Ainda de acordo com Holtzapple e Reece (2013), as habilidades de comunicação são, 
provavelmente, aquelas que mais afetarão a promoção de um engenheiro no mercado de trabalho, 
principalmente, se ele aspirar a algum cargo de gerência.
Nos dias de hoje, com a di� culdade para se destacar no mercado de trabalho, é 
imprescindível que o engenheiro desenvolva habilidades de trabalho em equipe, de apresentar 
e debater ideias, de administrar o tempo e, mais ainda, de comunicação verbal e escrita (BISPO, 
ABREU e SANTOS, 2017).
Para um conhecimento mais aprofundado sobre o código de 
ética da engenharia, acessar o Código de Ética Profi ssional 
da Engenharia, da Agronomia, da Geologia, da Geografi a e 
da Meteorologia, disponível em: <http://www.confea.org.
br/sites/default/files/uploadsimce/CodEtica11ed1_com_
capas_no_indd.pdf>
Código de Ética Profi ssional 
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Engenheiros, independentemente da área de especialização ou do método de comunicação, 
usam palavras e grá� cos para apresentar suas ideias. Portanto, é extremamente necessário que, 
ao longo da formação, eles tenham contato com a comunicação grá� ca, pois algumas ideias de 
Engenharia são complexas para serem descritas somente com palavras (HOLTZAPPLE e REECE, 
2013).
Assim, ao se redigir um texto ou mesmo preparar uma apresentação oral, deve-se sempre 
se preparar, seguindo-se três passos:
• Seleção do tema.
• Pesquisa.
• Organização.
O tema, em grande parte das situações, é pré-determinado. Contudo, se se tiver a 
possibilidade de escolhê-lo, deve-se sempre preferir assuntos com os quais já se esteja familiarizado, 
buscando aumentar a segurança. A pesquisa, por sua vez, deve ser sempre realizada buscando-
se mais de uma fonte de informação tais como: revistas técnicas, livros, anais de conferências, 
relatórios técnicos, patentes, notas de aula, sites da Internet, dentre outras fontes. É muito 
importante a indicação da fonte dos dados, de forma que não ocorra plágio e para que os dados 
transmitam maior con� ança. Por � m, na hora de organizar, é fundamental levar em consideração 
o tipo de audiência a que o texto será dirigido. Por mais que um texto esteja bem fundamentado, 
se ele não conseguir passar para o seu público-alvo a informação de forma clara e organizada, de 
nada ele servirá.
Em seu dia a dia, o engenheiro faz uso de apresentações orais em diversas situações 
tais como: apresentar propostas para potenciais clientes; explicar perante a empresa as reais 
necessidades de investimento; construção de novas instalações; apresentar para a gerência 
resultados de análises; apresentar produtos e resultados em feiras e conferências. Já se percebe 
que ter uma boa desenvoltura em apresentações colocará o engenheiro em uma posição de 
destaque, aumentando suas chances de ser promovido para posições de alta visibilidade em uma 
companhia (HOLTZAPPLE e REECE, 2013).
O uso de recursos audiovisuais durante uma apresentação oral é extremamenteimportante 
quando se pretende que o público retenha a mensagem transmitida. Na Tabela 1, apresenta-se 
o resultado de um estudo que mostra a retenção da mensagem transmitida por apresentações 
apenas orais, apenas visuais ou orais e visuais, simultaneamente.
Apresentação Retenção após 3 h (%) Retenção após 3 dias (%)
Oral 70 10
Visual 72 20
Oral e visual 85 65
Tabela 1 – Retenção da mensagem transmitida. Fonte: Casagrande e Casagrande (1986).
A linguagem escrita, por sua vez, é desenvolvida desde o ensino básico. Contudo, a 
linguagem técnica a ser empregada por um engenheiro é muito diferente da linguagem literária 
vista nas aulas de Português. A linguagem técnica não transmite emoções. Não é esse o objetivo 
dela, a qual precisa ser:
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
• Precisa: de modo geral, na Engenharia, é essencial que a informação esteja sempre correta.
• Breve: textos técnicos devem ser breves e diretos, pois o público-alvo quase sempre é 
ocupado e não dispõe de muito tempo para � ltrar muitas palavras.
• Clara: a clareza do texto é essencial para que ele não admita outras interpretações 
diferentes da desejada.
• Fácil de entender: o objetivo de um texto técnico é expressar uma ideia e não impressionar 
por meio dela.
Em um meio industrial e empresarial, faz diferença o modo como o engenheiro se 
comunica? Um profi ssional que sabe muito tecnicamente, mas que não consegue 
se expressar de forma clara, seria o mais indicado para representar uma empresa 
externamente? São esses questionamentos que nos levam a enxergar que, embora 
o conhecimento técnico seja primordial, sem conseguir se expressar adequada 
e claramente, seja na linguagem oral seja na escrita, o profi ssional fi ca preso e 
não consegue se destacar. Assim, se o que buscamos é sermos profi ssionais de 
destaque, ou mesmo conseguirmos uma colocação de destaque no mercado de 
trabalho, é fundamental que nossa forma de comunicação seja adequada à nossa 
formação técnica. Ante o exposto, é fortemente recomendado que, ao longo da 
graduação, o(a) estudante se dedique aos trabalhos, às atividades escritas e às 
apresentações, de forma a aperfeiçoar sua capacidade de comunicação.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o estudo da presente obra, foi possível notar a grande responsabilidade que está 
implícita na pro� ssão de um engenheiro, bem como conhecer um pouco mais sobre os cálculos, 
as especialidades da Engenharia e seus Conselhos. 
Os conceitos referentes à ética pro� ssional são extremamente importantes para qualquer 
que seja a área de atuação, salientando-se que o pro� ssional que infringe o código de ética � ca 
sujeito a responder pelos seus atos.
Como se pôde notar, o exercício da comunicação oral e escrita é fundamental para que 
o pro� ssional se destaque. Portanto, vale lembrar que não só a formação técnica é levada em 
consideração na hora de se avaliar um pro� ssional.
Por � m, desejamos a você uma ótima jornada pela graduação em Engenharia e que você 
consiga absorver o curso ao máximo, chegando ao � nal dele com seu próprio registro no sistema 
CONFEA/CREA.
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ENSINO A DISTÂNCIA
REFERÊNCIAS
BISPO, A. C. da S.; ABREU, T. P. de; SANTOS, S. Competências necessárias aos engenheiros 
recém-formados para inserção no mercado de trabalho. Revista Pensar Engenharia, [s/l], v. 5, 
n. 2, 2017. 
BONETTO, G. A.; MUROLO,  A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e 
tecnologias. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
 
BRASIL. Lei no 5.194, de 24 de dezembro de 1966. Regula o exercício das pro� ssões de Engenheiro, 
Arquiteto e Engenheiro-Agrônomo, e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da 
República, [1966]. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l5194.htm. Acesso 
em: 9 abr. 2020.
CASAGRANDE, D. O.; CASAGRANDE, R. D. Oral communication in technical professions 
and businesses. Michigan: Wadsworth, 1986.
CESGRANRIO. Fundação Cesgranrio. Disponível em: http://www.cesgranrio.org.br/concursos/
principal.aspx. Acesso em: 9 abr. 2020.
COCIAN, L. F. E. Introdução à Engenharia. Porto Alegre: Bookman, 2017. 
CONFEA/CREA. Código de Ética Pro� ssional da Engenharia, da Agronomia, da Geologia, 
da Geogra� a e da Meteorologia. 11. ed. Brasília: Conselho Federal de Engenharia e Agronomia, 
2019. 
CONFEA. Conselho Federal de Engenharia e Agronomia. Disponível em: http://www.confea.
org.br/confea/o-conselho . Acesso em: 9 abr. 2020. 
DICIONÁRIO ETIMOLÓGICO. Disponível em: https://www.dicionarioetimologico.com.br/
engenheiro/. Acesso em: 9 abr. 2020. 
ENADE. Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes. Disponível em: http://portal.inep.
gov.br/enade. Acesso em: 9 abr. 2020. 
ENEM. Exame Nacional do Ensino Médio. Disponível em: https://enem.inep.gov.br/. Acesso 
em: 9 abr. 2020.
FGV. Fundação Getúlio Vargas. Disponível em: https://fgvprojetos.fgv.br/concursos. Acesso 
em: 9 abr. 2020.
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage 
Learning, 2018.
HARRIS, D. C. Análise Química Quantitativa. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
HOLTZAPPLE, M. T.; REECE, W. D. Introduç ã o à engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
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ENSINO A DISTÂNCIA
REFERÊNCIAS
PINELLI, N. Seis benefícios que as nanopartículas podem trazer para a humanidade. In: Época 
Negócios. 2016. Disponível em: https://epocanegocios.globo.com/Caminhos-para-o-futuro/
Saude/noticia/2016/10/seis-bene� cios-que-nanoparticulas-podem-trazer-para-humanidade.
html. Acesso em: 9 abr. 2020.
SILVEIRA, Ê.; MARQUES, C. Matemática: compreensão e prática, 9° ano. São Paulo: Moderna, 
2008. 
UFMT. Universidade Federal de Mato Grosso. Disponível em: http://www.concursos.ufmt.br/
Portal/. Acesso em: 9 abr. 2020.
VEJA. Telescópio Hubble encontra galáxia mais distante já vista. In: Veja. 2016. Disponível em: 
https://veja.abril.com.br/ciencia/telescopio-hubble-encontra-galaxia-mais-distante-ja-vista/. 
Acesso em: 9 abr. 2020.
VUNESP. Fundação Vunesp. Disponível em: https://www.vunesp.com.br/?b=vestibular. 
Acesso em: 9 abr. 2020.