Teoria de Conjuntos (UFU)

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TEORIA DE CONJUNTOS 
(UFU) 
01) (UFU) Seja X o conjunto dos números inteiros
dado por {0,1,2,3,4,5}, e A e B subconjuntos 
disjuntos não vazios de X tais que AC – B = {0,1}, 
em que AC denota o complementar de A em X. 
Levando em conta todas as possibilidades 
possíveis para A e B, quantos pares ordenados 
distintos (a, b) podemos formar, sendo a um 
elemento de A e b um elemento de B? 
a) 16
b) 14
c) 10
d) 12
02) (UFU) Para cada inteiro positivo n, considere o
conjunto An formado pelos múltiplos positivos de n. 
Então é verdade que 
a) se n e m são primos distintos, então
nm n mA A A  .
b) se n m , então .n mA A . 
c) se n m , então .n mA A  . 
d) se mn A , então .n mA A . 
03) (UFU) Considere dois conjuntos de números A
e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. 
Então, sempre se pode afirmar que 
a) AB terá, no mínimo, 12 elementos.
b) AB terá, no mínimo, 15 elementos.
c) o número máximo de elementos de AB é igual
ao número máximo de elementos de AB. 
d) o número mínimo de elementos de AB é igual
ao número máximo de elementos de AB. 
04) (UFU) Se A e B são dois conjuntos quaisquer
não vazios, então: 
a) (A  B )  (B – A)
b) (A  B) = (A – B)
c) (A – B)  A
d) (A  B)  (A – B) = A
05) (UFU) Em uma pesquisa sobre a ocorrência dos
tipos sanguíneos A, B, AB e O realizada com 1200 
pessoas, constatou-se que 12% têm sangue tipo A, 
62% não têm sangue tipo B e 83% não têm sangue 
tipo AB. 
Como cada indivíduo possui um único tipo 
sanguíneo, então o número de pessoas que tem 
sangue tipo O é 
a) 720
b) 180
c) 396
d) 465
06) (UFU) Sejam A, B e C conjuntos com
exatamente 4 elementos cada um e, sabendo-se 
que ABC, AB, AC e BC tem, 
respectivamente, 7, 3, 2 e 1 elementos, então o 
número de elementos de (AB)C é igual a 
a) 5
b) 8
c) 6
d) 7
07) (UFU) João fez um curso de verão com carga
horária de 21 horas aula, sendo que nos dias em 
Professor Jazz
1
que tinha aula, João tinha somente 1 hora aula. 
Quantos dias durou o curso, sabendo que as aulas 
ocorriam exclusivamente no período da manhã ou 
no período da tarde e houve 15 tardes e 16 manhãs 
sem aula durante o referido curso? 
a) 21
b) 26
c) 31
d) 36
08) (UFU) Num grupo de estudantes, 80% estudam
Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam 
nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a 
porcentagem de alunos que estudam ambas as 
línguas é: 
a) 25%
b) 50%
c) 15%
d) 30%
09) (UFU) Considere os números UAI e AII
formados pelos algarismos U, A e I do conjunto {1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sabendo-se que AII é o triplo 
de UAI, então o valor de U + A + I é igual a 
a) 16.
b) 17.
c) 15.
d) 18
10) (UFU) Considere o conjunto numérico U cujos
elementos são todos os números naturais de dois 
algarismos e os subconjuntos A e B de U, 
satisfazendo: 
i) A é formado por todos os elementos tais que para
qualquer par de elementos distintos x e y, em A, 
tem-se que mdc(x,y) = 33; 
ii) B é formado por todos os elementos que são
divisores de 132. 
Nessas condições, faça o que se pede. 
a) Determine quais são todos os elementos da
interseção A  B.
b) Numerando cada uma das bolas idênticas de
uma urna com um número correspondendo a cada 
um dos elementos do conjunto U – (A  B) e 
escolhendo-se ao acaso uma delas, determine a 
probabilidade de a bola escolhida ter numeração 
ímpar. 
11) (UFU) Considere os seguintes subconjuntos do
conjunto dos números inteiros positivos: 
A = {n : n é divisor de 1024} 
B = {m : m é múltiplo de 4 e m ≤ 260} 
Com base nessas informações, resolva os itens 
abaixo, justificando suas respostas. 
A) Determine o número de elementos de AB.
B) Considere todas as funções :f A B que
sejam injetoras e satisfaçam  f n n , para
n A B  . Quantas funções deste tipo existem?
GABARITO 
01) D
02) A
03) B
04) D
05) C
06) C
07) B
08) D
09) C
10) a) A  B = {33, 66}
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2
 b) 
83
42
11) A) Como 1024 = 210, então o número de
divisores positivos de 1024 é igual a 10+1 = 11. 
Mais precisamente, 
A = {2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 24 , 2 5 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 
8 , 2 9 , 2 10} = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 
512, 1024}. 
O conjunto B é formado pelos múltiplos de 4 
menores ou iguais a 260, logo 
B = {4x1, 4x2, 4x3, 4x4, ..., 4x64, 4x65} = {4, 8, 12, 
16, ..., 256, 260}. 
Note que os elementos do conjunto B formam uma 
P.A. com 65 termos. 
Como n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) e AB possui 
7 elementos, então AB possui 69 elementos. 
B) Dada f: A  B injetora, com f(n)=n, para n A 
B e A  B = {4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}, resta saber
quantas são as possibilidades para as imagens dos
elementos de A que não estão em B, ou seja, f(1),
f(2), f(512) e f(1024).
Como f é injetora e AB possui 7 elementos,
restam 65 – 7 = 58 possibilidades para f(1), f(2),
f(512) e f(1024). Escolhendo um desses 58 valores
para f(1) e lembrando que f é injetora, restam 57
possibilidades para f(2). Da mesma forma, restam
56 possibilidades para f(512) e 55 possibilidades
para f(1024). Portanto, a quantidade de funções
deste tipo que existem é igual a
58 x 57 x 56 x 55 = 10 182 480.
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3
Parte Geral de 
Função 
(UFU) 
01) (UFU) A função definida por f(x) = -3x2 – x + 4,
de domínio e contradomínio  , em que 
representa o conjunto dos números reais, é tal que 
a) f é bijetora
b) f é injetora e não sobrejetora
c) f é sobrejetora e não injetora
d) f não é injetora, nem sobrejetora
02) (UFU) Os reservatórios (I), (II) e (III) da figura
abaixo têm o mesmo volume e a mesma altura. 
Para eles serem cheios de água, despejada em 
cada um deles de forma constante, com a mesma 
vazão e simultaneamente, é gasto um tempo T. 
Sejam f1(t), f2(t) e f3(t) as funções que associa, a 
cada tempo t, 0  t  T, as alturas dos níveis de 
água, no tempo t, nos reservatórios (I), (II) e (III), 
respectivamente. 
Assinale a alternativa verdadeira. 
a) f1(t)  f3(t)  f2(t), para todo t no intervalo [0,T/2], e
f2(t)  f3(t)  f1(t), para todo t no intervalo [T/2,T].
b) f1(t)  f2(t)  f3(t), para todo t no intervalo [0,T/2],
e f3(t)  f2(t)  f1(t), para todo t no intervalo [T/2,T].
c) f2(t)  f3(t)  f1(t), para todo t no intervalo [0,T/2], e
f1(t)  f3(t)  f2(t), para todo t no intervalo [T/2,T].
d) f2(t)  f1(t)  f3(t), para todo t no intervalo [0,T/2],
e f3(t)  f1(t)  f2(t), para todo t no intervalo [T/2,T].
03) (UFU) Suponha que, para a produção de um
medicamento manipulado, seja necessário utilizar 
quatro componentes ativos R, S, T, H, nas 
respectivas quantidades percentuais x, y, z e w, 
segundo as especificações: 
Nessas condições, dentre as figuras a seguir, 
aquela que melhor se identifica, no plano 
cartesiano xOy, com a região viável 
correspondente aos percentuais admissíveis das 
quantidades x e y é a apresentada na alternativa 
a) 
b) 
c) 
d) 
04) (UFU) Seja a função cujo gráfico 
está ilustrado abaixo. 
  ,
6
1
(I) (II) (III)
h/2
R 4] [0, :f 
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4
Sobre as afirmações seguintes 
I. o domínio da função f(x+2) é o intervalo [-2,2].
II. a imagem da função f(x+2) é o intervalo [1,5].
III. a função f(x+2), em seu domínio de definição, é
injetora. 
é correto afirmar que 
a) II e III são verdadeiras.
b) I, II e III são verdadeiras.
c) I e IV são verdadeiras.
d) Apenas I é verdadeira.
05) (UFU) Seja f a função real de variável real cujo
gráfico está representado na figura abaixo. 
Sejam g a função inversa de f e h a função definida 
por h(x) = –g(–x). Assinale a alternativa que 
corresponde ao gráfico da função h. 
a) 
b) 
c) 
d) 
06) (UFU) Na figura abaixo estão os gráficos de
duas funções reais de valores reais f e g. 
Seja A o conjunto dos números reais x para os 
quais está definida. Pode-se afirmar que o 
conjunto A 
a) possui 2 elementos.
b) possui 3 elementos
c) possui 4 elementos
d) é o conjunto vazio
07) (UFU) Se f é uma função cujo gráfico é dado
abaixo, então o gráficoda função g, tal que g(x) = 
f(x – 1) será dada por 
y
x
g
f
1
)x(g
)x(f 
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5
a) 
b) 
c) 
d) 
08) (UFU) Uma torneira, despejando água de modo
uniforme, enche completamente o recipiente de 
altura H da figura abaixo, num tempo T. 
Qual dos seguintes gráficos pode representar a 
subida do nível da água no recipiente, do instante 
em que este está vazio até ficar cheio? 
a) 
b) 
c) 
d) 
09) (UFU) Seja f:  a função cujo gráfico é o
seguinte: 
y
x
g
a.
-1
-1
1
1
y
x
g
b.
-1-3
2
y
x
g
c.
-2-3
-3
1
y
x
g
d.
-2
-1
-1
1
H
a. Nível da água
H
Tempo
T
b. Nível da água
H
Tempo
T
c. Nível da água
H
Tempo
T
e. Nível da água
H
Tempo
T
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6
Assinale o gráfico g:  se g(x) = f(x + 1) – 1. 
a) 
b) 
c) 
d) 
GABARITO 
01) B
02) C
03) A
04) D
05) D
06) A
07) A
08) D
09) B
1
1
-1
-1
y
x
1
-1
y
x
a.
-1
-1
y
x
b.
1
-1
y
x
c.
1 2
-1
-2
y
x
d.
Professor Jazz
7
FUNÇÃO AFIM 
(UFU) 
01) (UFU) Considere a reta r de equação dada por
y = 100x+(100)2. Dessa forma, o número de retas 
de equações do tipo y= ax, com a ∈ IN, que 
interceptam r em pontos de coordenadas (x, y) em 
que x, y ∈ IN, é igual a 
a) 50
b) 25
c) 75
d) 100
02) (UFU) Suponha que R(q) e C(q) sejam funções
afins, representando, respectivamente, a receita e 
o custo mensais, em reais, da fabricação e
comercialização de um dado produto por uma 
empresa, quando q varia no conjunto dos números 
naturais e corresponde à quantidade mensal 
produzida e vendida desse produto, conforme 
indica a figura. 
Se M é a menor quantidade desse produto a ser 
produzida e vendida, de forma a assegurar um 
lucro mensal maior do que ou igual a R$ 
30.000,00, então M pertence ao intervalo 
a) (5200, 6200]
b) (4200, 5200]
c) (6200, 7200]
d) (3200, 4200]
03) (UFU) Controlar a conta de telefone celular não
é uma tarefa fácil. A tarifação pode depender de 
certos detalhes, como o tempo de duração da 
chamada; o horário da ligação; se é DDD 
(Discagem Direta à Distância) ou DDI (Discagem 
Direta Internacional); se o número de destino é de 
telefone fixo ou móvel; se é da operadora que você 
usa ou de outra. 
Ana usa uma conta de celular da operadora FALE 
BEM, exclusivamente para chamadas locais, 
sendo que as ligações locais são cobradas por 
chamadas e não por minuto, com tarifação de 
acordo com a tabela que segue: 
Suponha que Ana faça x chamadas mensais, 
sendo 70% para telefones da operadora FALE 
BEM e 30% para telefones de outras operadoras. 
Suponha ainda que mande diariamente SMS para 
celulares da operadora FALE BEM e que acesse 
diariamente a internet. 
Nessas condições, a expressão algébrica C = C(x), 
que representa, em reais, seu gasto com o celular 
ao final de um mês comercial de 30 dias satisfaz a 
equação 
a) C – 30 + 0,144x = 0
b) C – 30 – 0,176x = 0
c) 1000C – 30000 – 144x = 0
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8
d) 100C – 30000 – 176x = 0
04) (UFU) Suponha que, para realizar traduções de
textos egípcios para um museu brasileiro, um 
tradutor X cobre um valor fixo de R$ 440,00, 
acrescidos de R$ 3,20 por linha traduzida. Por 
outro lado, um tradutor Y, para executar o mesmo 
trabalho, cobra um fixo de R$ 800,00, mais R$ 
2,30 por linha traduzida. 
Nessas condições, o número que corresponde à 
quantidade mínima de linha a serem traduzidas de 
modo que o custo seja menor se for realizado pelo 
tradutor Y é 
a) um quadrado perfeito.
b) divisível por 5.
c) um número ímpar.
d) divisível por 3.
05) (UFU) Considere a função f definida no
conjunto dos números naturais, f: ℕ  ℝ, cuja lei 
de formação é dada por f(n) = 616 x n (em que x 
denota multiplicação). Suponha que n a é o 
menor valor natural tal que f(a) é o quadrado de 
algum número natural. Então, é correto afirmar 
que: 
a) a é divisível por 3
b) a soma dos algarismos de a é 45
c) a é um número ímpar
d) o produto dos algarismos de a é 20
06) (UFU) Uma locadora de carros A cobra R$
9,00 por quilômetro rodado e uma taxa adicional de 
R$ 20,00. Uma locadora B cobra R$ 8,00 por 
quilômetro rodado, uma taxa adicional de R$ 21,00 
e, ainda 10% sobre o total. A partir de quantos 
quilômetros rodados, a locadora B é mais 
vantajosa? 
a) 14,0 km
b) 15,5 km
c) 10,5 km
d) 12,0 km
e) 18,0 km
07) (UFU) Seja S a região limitada pelo quadrado
abaixo. 
Então a região S é caracterizada pelo seguinte 
sistema de inequações: 
a) y  x, y  -x, y  x + 2, y  -x + 2
b) y  x, y  -x, y  x + 2, y  -x + 2
c) y  x, y  -x, y  x + 2, y  -x + 2
d) y  x, y  -x, y  x + 2, y  -x + 2
08) (UFU) Considere a função f:    definida
por   ² 4 2f x kx x   , em que k é uma 
constante real. 
Para que f seja uma função afim, o valor de k é 
um número 
a) múltiplo de 4.
b) irracional.
c) negativo.
d) primo.
09) (UFU) Com o objetivo de aumentar as vendas,
uma fábrica de peças oferece preços promocionais 
aos clientes atacadistas que compram a partir de 
y
1
1-1 x
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9
120 unidades. Durante esta promoção, a fábrica só 
aceitará dois tipos de encomendas: até 100 peças 
ou, pelo menos, 120 peças. O preço P(x), em 
reais, na venda de x unidades, é dado pelo gráfico 
seguinte, em que os dois trechos descritos 
correspondem a gráficos de funções afins. 
(Figura ilustrativa e sem escalas) 
Nestas condições, qual o maior número de peças 
que se pode comprar com R$ 9.800,00? 
10) (UFU) Em função dos recentes problemas de
escassez de água, uma prefeitura resolveu taxar o 
consumo de água nas residências segundo o que 
segue: para um consumo mensal de até 10 m3, é 
cobrado um valor fixo de R$ 32,00; para um 
consumo mensal superior a esse valor, é cobrado 
R$ 32,00, mais um acréscimo linear, proporcional a 
R$ 5,00 por m3 consumido acima dos 10 m3. 
Os moradores de uma residência consumiram 8 m3 
de água em abril e, devido a um vazamento não 
percebido, houve uma elevação do consumo em 
maio. Esse consumo foi superior a 10 m3 e elevou 
em 0,025% o valor efetivamente pago pelo m3 de 
água em relação ao que foi pago em abril. 
Elabore e execute uma resolução de maneira a 
determinar: 
a) Qual foi o valor efetivamente pago por m3 de
água em abril. 
b) Quantos m3 de água foram consumidos em
maio. 
11) (UFU) Um vendedor comprou n bolsas por d
reais cada uma. Ele vendeu 2 bolsas para um 
bazar escolar beneficente pela metade do preço de 
custo. O restante ele vendeu para uma loja com 
um adicional de 8 reais por bolsa. Se após as 
vendas para o bazar e para a loja o lucro total foi 
de 72 reais, determine o menor valor possível para 
n. 
GABARITO 
01) B
02) A
03) C
04) C
05) D
06) B
07) C
08) D
09) Sejam P1(x) e P2(x) os preços de venda de x
unidades sem e com promoção, respectivamente. 
De acordo com o gráfico dado, segue que 
P1(x) = 100x, para x entre 0 e 100, 
P2(x) = 40x + 4800, para x maior ou igual a 120. 
Assim, o preço de cada peça fora da promoção é 
constante e igual a 100 reais e o preço de cada 
peça na promoção é dado, em reais, pela 
expressão (40 + 4800/x), sendo este preço válido 
quando x é maior ou igual a 120. 
Da expressão do preço de cada peça na 
promoção, conclui-se que o preço diminui a 
medida em que se compra mais peças. Assim, o 
maior valor que se paga por unidade na promoção 
é quando x = 120, ou seja, 
Professor Jazz
10
40 + 4800/120 = 80 reais. 
Como o valor disponível para comprar as peças é 
de R$ 9.800,00 e este valor é maior que R$ 
9.600,00 (valor de 120 peças em promoção), para 
adquirir o maior número de peças possível, é mais 
vantajoso comprar todas as peças na promoção. 
Neste caso, o número máximo x de peças que se 
pode comprar com R$ 9.800,00 é tal que 
9800 = 40x + 4800 
=> 40x = 5000. 
Logo, x = 125 peças. 
10) a) 4 m3 b) 18 m3
11) n = 12

Professor Jazz
11
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
(UFU) 
01) (UFU) O arremesso de peso é uma modalidade
de esporte tradicionalnos jogos olímpicos e em 
competições esportivas mundiais. A equipe de 
treinamento de um atleta, para melhorar seu 
desempenho, analisou a trajetória de dois 
arremessos de peso, elaborando um esquema no 
plano cartesiano de modo que o primeiro peso 
percorreu o gráfico da função do segundo grau 
p(x), partindo do ponto de coordenadas (0, 0), 
atingindo altura máxima de 6 m e encontrando o 
solo no ponto (10, 0). O segundo peso percorreu o 
gráfico da função do segundo grau q(x), partindo do 
ponto (2, 0), passando pelo ponto em que o 
primeiro peso atingiu sua altura máxima, atingindo 
o solo no ponto (15, 0).
Nessas condições, a função do segundo grau cujo 
gráfico descreve a trajetória do segundo peso é 
expressa por 
a) 6
5
x17
5
x
)x(q
2
 . 
b) 6x
5
17
5
x
)x(q
2
 . 
c)   26 102 180q x x x   
d)   26 102 180q x x x   
02) (UFU) Funções afins e quadráticas têm
aplicações em alguns modelos simples, 
envolvendo os conceitos preço de venda e custo de 
produção de uma mercadoria, bem como a receita 
e o lucro obtidos com sua venda. Para uma 
empresa, é fundamental determinar o intervalo de 
produção em que a receita supera o custo de 
produção. 
Suponha que o custo de produção de uma 
mercadoria de certa empresa, em função da 
quantidade produzida x, seja dado pela função 
  40 1400C x x  ( 0 1400c  é denominado custo
fixo de produção) e que o preço de venda seja 
  2 200p x x   , em que x é a quantidade
demandada (vendida). Nesse caso, a receita R 
obtida com as vendas é função de x, precisamente 
   .R x x p x .
As quantidades produzidas e vendidas x para as 
quais essa empresa tem lucro      L x R x C x 
positivo (receita supera o custo de produção) é 
a) {x  | x > 40}.
b) {x  | 0 < x < 10}.
c) {x  | 10 < x < 70}.
d) {x  | 10 < x < 40}.
Professor Jazz
12
03) (UFU) O número de soluções da equação
 ² cos 0x x x   , com x , é igual a
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) 3.
04) (UFU) Se o gráfico abaixo representa a
parábola y = ax2 + bx + c, podemos afirmar que 
a) a > 0, b < 0 e c < 0
b) a < 0, b > 0 e c > 0
c) a < 0, b > 0 e c < 0
d) a < 0, b < 0 e c < 0
05) (UFU) O conjunto de todos os valores reais de
r, para os quais o polinômio (r2 – 1)x2 + 2(r – 1)x + 
1 é positivo, quaisquer que sejam os valores reais 
de x, é: 
a) {r   / r  2}
b) {1}
c) {r   / r  1}
d) {r   / r > 1}
06) (UFU) Se y = ax2 + bx + c é a equação da
parábola da figura abaixo, pode-se afirmar que: 
a) ab < 0.
b) b < 0.
c) bc < 0.
d) b2 – 4ac  0.
07) (UFU) Determine todos os valores positivos do
parâmetro m de modo que as raízes da equação 
m2x2 + 2(m - 1)x - 6 = 0, na variável x, pertençam a 
lados opostos da reta de equação cartesiana y = 2x 
- 2.
08) (UFU) Sabendo que os pontos (1,2), (2,3) e
(3,8) pertencem ao gráfico da função y = ax2 + bx + 
c, determine a, b e c. 
09) (UFU) Um arame medindo 2 metros é cortado
em dois pedaços, sendo um dobrado na forma de 
um quadrado e o outro na forma de um círculo. 
Quais devem ser os comprimentos dos dois 
pedaços para que a soma das áreas do quadrado 
e do círculo seja mínima? 
y
x
y
x
Professor Jazz
13
10) (UFU) A equação de segundo grau x2 + px + 4
= 0, em que x é a incógnita, p é uma constante e 
cujas soluções r1 e r2 são números inteiros, pode 
ser expressa na forma de um produto de monômios 
de primeiro grau: (x – r1)(x – r2) = 0. 
Com base nas informações apresentadas, 
responda aos seguintes itens, registrando as 
justificativas para as respostas apresentadas. 
a) Determine todos os possíveis valores para a raiz
r1. 
b) Quais são os valores possíveis para a constante
p? 
GABARITO 
01) B
02) C
03) A
04) C
05) D
06) C
07) 
08) a = 2; b = –5; c = 5
09) e 
10) a) Dado um polinômio de segundo grau ax2 +
bx + c, a soma de suas raízes é igual a e o 
produto de suas raízes é igual a . Assim, se as
raízes do polinômio x2 + px + 4 são r1 e r2, temos 
Como as raízes r1 e r2 são número inteiros, temos 
6 possiblidades para o produto r1r2: 1 4, (–1) (–
4), 4 1, (–4) (–1), 2 2 ou (–2) (–2). Logo, os 
valores possíveis para as raízes r1 e r2, 
respectivamente, são 1 e 4, –1 e –4, 4 e 1, –4 e –
1, 2 e 2, –2 e –2. Portanto, r1 {–4, –2 – 1,1,2,4}. 
b) Considerando as 6 possibilidades para as raízes
r1 e r2, a soma r1 + r2 pode assumir os seguintes 
valores: –5, –5, 4 ou 5. Como r1 + r2 = –p temos p
{–5,–4,4,5}. 
2} m 0 / R m{ 
mx
4
8
v 
 mw
4
2


a
b
a
c





4rr
prr
21
21
 
   

Professor Jazz
14
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
(UFU)
01) (UFU) O conjunto dos números reais x que
satisfazem a inequação: 
  )1x(
8
1)xx21(
)1x3(
2
1 2
x
4.








 é: 
a) {x  | 0,2  x  1}
b) 
c) {x  | 1  x  5}
d) {x  | x  1 ou x  5}
02) (UFU) Na elaboração de políticas públicas
que estejam em conformidade com a legislação 
urbanística de uso e ocupação do solo em 
regiões metropolitanas, é fundamental o 
conhecimento de leis descritivas do crescimento 
populacional urbano. 
Suponha que a lei dada pela função 
   ktp t 0,5. 2 expresse um modelo 
representativo da população de uma cidade (em 
milhões de habitantes) ao longo do tempo t (em 
anos), contados a partir de 1970, isto é, t = 0 
corresponde ao ano de 1970, sendo k uma 
constante real. 
Sabendo que a população dessa cidade em 
2000 era de 1 milhão de habitantes: 
a) Extraia do texto dado uma relação de forma a
obter o valor de k. 
b) Segundo o modelo de evolução populacional
dado, descreva e execute um plano de 
resolução que possibilite estimar em qual ano a 
população desta cidade atingirá 16 milhões de 
habitantes. 
03) (UFU) O setor de controle de qualidade de
um frigorífico avalia o funcionamento de 
algumas de suas câmaras de refrigeração. Um 
boi foi abatido e parte de seu corpo foi colocado 
em uma câmara, mantida a uma temperatura 
constante de 10 C,  para resfriamento. Nela, 
instalou-se um termômetro para aferir a 
oscilação na temperatura desse corpo. 
Considere que a temperatura do corpo, em 
graus Celsius, varie com o tempo t, em minutos, 
de acordo com a função b tT(t) 10 a 5 ,    em 
que a e b são constantes reais e t, o tempo 
decorrido após o corpo ser colocado na câmara 
de refrigeração. Assim, após 80 minutos, foi 
observado que a temperatura do corpo era de 
0 C e que, após 2 horas e 40 minutos, essa 
temperatura passou para 8 C.  
Levando-se em consideração essas 
informações, elabore e execute um plano de 
resolução de maneira a determinar 
a) os valores das constantes reais a e b.
b) o instante de tempo t, em horas, a partir do
qual T(t) 9,6 C.  
04) (UFU) Sejam   .2tf t A B  a função que
descreve a temperatura 𝑓(𝑡), em graus Farenheit 
(℉) e   .2tg t P Q  a função que descreve a
temperatura 𝑔(𝑡), em graus Celsius (℃), de um 
determinado corpo em função do tempo 𝑡 em 
horas, onde 𝐴, 𝐵, 𝑃 e 𝑄 são constantes reais e 𝑡 
Professor Jazz
15
≥ 0. Com base nessas informações, resolva os 
itens abaixo, justificando suas respostas. 
A) Sabendo-se que inicialmente o corpo está à
temperatura de 41 ℉ e que, após uma hora, sua 
temperatura é de 32 ℉, determine os valores de 
𝐴 e 𝐵. 
B) Sabendo-se que a relação de conversão
entre as escalas de temperaturas Celsius e 
Farenheit é dada por 
32
5 9
C FT T 
 , onde 𝑇𝐶 e 𝑇𝐹 
denotam as temperaturas em graus Celsius e 
Farenheit, respectivamente, determine os 
valores de 𝑃 e 𝑄. 
GABARITO 
01) A
02) 
a) 1 = 0,5.230.k  2 = 230.k  30k = 1  k = 1/30
b) 0,5.2(1/30)k = 16  2(1/30)t = 32  2(1/30t) = 25
 t = 150
Portanto, 1970 + 150 = 2.120.
03) 
a) Calculando:




   
    
  
     
  
 
  

       
       
 
b t
80b
80b
160b
160b
160b 80b 80b
1
80b 80b
80b 1
80b 1
T(t) 10 a 5
T(80) 10 a 5 0
a 5 10
T(160) 10a 5 8
a 5 2
a 5 2 5 5
5
10a 5 5
1
5 5 80b 1 b
80
1
a 5 10 a 5 10 a 10
5
a 50
b) Calculando:
t
80
t
80
t
80
t
80
t
380
T(t) 10 50 5
10 50 5 9,6
50 5 0,4
1
5
125
5 5
t
3 t 240 min ou 4 horas
80






   
     
   
  
  

    
04) 
A) A = 50 e B = - 9
B) P = 10 e Q = - 5
Professor Jazz
16
Logaritmos e Funções Logarítmicas 
(UFU) 
01) (UFU) Um mestre em caratê abriu uma academia
há alguns anos e registrou a quantidade de alunos 
que frequentava seu estabelecimento. A primeira 
turma era formada por 6 alunos e, a cada ano, esse 
número dobrava. A seguinte função exponencial 
descreve a quantidade de alunos que esta academia 
possui anualmente 
y = f(x) = c ebx, 
em que y é a quantidade de alunos que frequentou o 
ano x e b e c são constantes reais. 
Baseando-se nas informações apresentadas, os 
valores das constantes são 
a)
1
ln 2
2
b  e c = 6. 
b) b = ln4 e c = 6..
c) b = ln2 e c = 3.
d) b = ln4 e c = 3.
02) (UFU) Considere o plano munido de um sistema
de coordenadas cartesianas x0y . Seja H o conjunto 
dos pontos P(x, y) desse plano, cujas coordenadas 
cartesianas (x, y) satisfazem: 
log3 (x – y) < (log3 12) – 1 
Assinale, dentre as alternativas que seguem, a que 
melhor representa graficamente o conjunto H. 
a)
b)
c)
d)
03) (UFU) Um indivíduo com uma grave doença teve
a temperatura do corpo medida em intervalos curtos 
e igualmente espaçados de tempo, levando a equipe 
médica a deduzir que a temperatura corporal T do 
paciente, em cada instante t, é bem aproximada pela 
função , em que t é medido em horas, e 
T em graus Celsius. Quando a temperatura corporal 
deste paciente atingir os 40 ºC, a equipe médica fará 
uma intervenção, administrando um remédio para 
baixar a temperatura. Nestas condições, quantas 
horas se passarão desde o instante até a 
administração do remédio? 
Utilize log10 9 = 0,95. 
a) 5
b) 6

100/t1036T 
0t 
Professor Jazz
17
c) 7
d) 8
04) (UFU) A função , em que k é 
uma constante real fixa representada graficamente 
abaixo é o modelo que descreve a evolução 
populacional de uma cultura de bactérias durante 1 
hora. 
Se t0 é o tempo, em minutos, tal que P(t0) = 3,13, 
então t0 é aproximadamente igual a 
(Sugestão: Utilize a aproximação log32 = 0,63.) 
a) 34.
b) 42.
c) 15.
d) 27.
05) (UFU) Uma indústria produziu 5 000 toneladas
do produto ZW68 no ano de 2000. Segundo 
projeções e estudos realizados na época, para 
atender a demanda dos 20 anos seguintes, ficou 
definido que a produção desse produto iria aumentar 
em 5% ao ano, até o ano de 2020. No início do 
processo produtivo, a capacidade de armazenagem 
desse produto na indústria era de 2 000 toneladas 
anuais. A logística da indústria prevê que, 
anualmente, essa armazenagem fique limitada ao 
máximo de 20% da produção do ano em andamento. 
Segundo as condições apresentadas, em que ano a 
indústria necessitará reestruturar seu 
gerenciamento, ampliando sua capacidade de 
armazenagem? 
Sugestão: Utilize log2(1 + 0,05) = 0,070 
a) 2014.
b) 2016.
c) 2017.
d) 2015.
06) (UFU) A acidez de uma solução líquida é medida
pela concentração de íons de hidrogênio H+ na 
solução. A medida de acidez usada é o pH, definido 
por 
pH = – log10 [H+], 
onde [H+] é a concentração de íons de hidrogênio. 
Se uma cerveja apresentou um pH de 4,0 e um suco 
de laranja, um pH de 3,0 , então, relativamente a 
essas soluções, é correto afirmar que a razão, 
(concentração de íons de hidrogênio na cerveja), 
quociente (concentração de íons de hidrogênio no 
suco), é igual a: 
a) 0,001
b) 0,01
c) 0,1
d) 0,0001
07) (UFU) Existem alguns esportes em que a
sensação de liberdade e perigo convivem lado a 
lado. Este é o caso do esqui na neve. Suponha que 
um esquiador, ao descer uma montanha, seja 
surpreendido por uma avalanche que o soterra 
totalmente. A partir do instante em que ocorreu o 
soterramento, a temperatura de seu corpo decresce 
ao longo do tempo t (em horas), segundo a função 
T(t) dada por 
(T em graus Celsius), com t  0. 
100
13
k)t(Py
t4 

 
t
t
3
36
3tT 
Professor Jazz
18
Quando a equipe de salvamento o encontra, já sem 
vida, a temperatura de seu corpo é de 12 graus 
Celsius. De acordo com as condições dadas, pode-
se afirmar que ele ficou soterrado por, 
aproximadamente, 
(Utilize a aproximação log3 2 = 0,6) 
a) 2h e 36 minutos
b) 36 minutos
c) 1h e 36 minutos
d) 3h e 36 minutos
08) (UFU) O conjunto solução da inequação
 no conjunto dos números 
reais é 
a) 
b) 
c) 
d) 
09) (UFU) Considere uma circunferência de raio
0,25, cujo centro (da mesma) desliza sobre o gráfico 
da função . Sabendo-se que o início do 
deslizamento se deu a partir do ponto do plano de 
coordenadas (0,1), no sentido negativo do eixo das 
abscissas Ox, e o término desse deslizamento se 
deu quando a circunferência tocou o eixo Ox pela 
primeira vez em um ponto T, pode-se afirmar que a 
distância de T ao eixo das ordenadas é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
10) (UFU) Se a e b são números reais positivos, tais
que e , então, é igual a
a) 675.
b) 625.
c) 640.
d) 648.
11) (UFU) Admitindo-se que a “luminosidade” L(x) da
luz solar a x metros abaixo do nível do oceano seja 
dada, em luxes, pela função e que 
um mergulhador não consiga trabalhar sem luz 
artificial quando essa luminosidade fica inferior a 
10% de seu valor na superfície, então a maior 
profundidade, em metros, que o mergulhador pode 
atingir sem ter de usar luz artificial é igual a 
a) 2.ln10 .
b) ln100
c) ln 20
d) 10.ln10 .
12) (UFU) Se 10log 3x , qual é o valor do natural n
para que se tenha a soma dos n primeiros termos da 
sequência  2 3
10 10 10log ; log ; log ;...x x x igual a 
15150? 
a) 100
b) 101
c) 110
d) 111
13) (UFU) A solução da equação 
10 10 10 103log 3.log 5.log log 125
4 5
x x
x
        
   
 é: 
a) x = 4
b) x = 16
1 1)(2x log - x)-(3 log 22 
}
5
1
 x 
2
1
- : R x{ 
}
5
1
ou x 
2
1
- x : R x{ 
}
2
1
- ou x 3 x : R x{ 
3} x 
2
1
- : R x{ 
R x,5)x(f x 
2log 4 5
2log2 5
2log2 5
2log4 5
43 loga  65 logb  12)ab(
10/xe1000)x(L 
Professor Jazz
19
c) x = 25
d) x = 64
14) Suponha-se que a progressão aritmética
 1 2 3 20; ; ;...;a a a a satisfaça 3 18 256a a  . Então, o 
valor de  2
4 1 20log a a é: 
a) 16
b) 8
c) 4
d) 32
15) (UFU) Os gráficos abaixo, descritos em um
sistema de coordenadas cartesianas, representam 
os desempenhos de dois atletas, A e B, numa corrida 
de 800 metros rasos. 
Sabe-se que, até o instante t1, o gráfico 
representativo do desempenho de B é um segmento 
de reta, enquanto, no caso de A, o gráfico é uma 
curva descrita pela equação . Agora, a 
partir do instante t1, até o fim da prova, o gráfico 
representativo do desempenho de A é descrito por 
um segmento de reta cujo coeficiente angular (da 
reta que contém este segmento) é igual a 4 e, no 
caso de B, é descrito pela função f (t), esboçada na 
figura acima, onde sabe-se que f(t2) = 700log2 
log2(t2)100. 
Com base nestas informações, faça o que se pede. 
a) Determine os instantes t1 e t2 .
b) Calcule quantos metros a frente de A, o atleta B
concluiu a corrida. 
GABARITO 
01) C
02) A
03) A
04) A
05) D
06) C
07) C
08) A
09) C
10) A
11) D
12) A
13) D
14) B
15) 
a) t1 = 25s, t2 = 128.
b) 138 metros
t20t
5
2
y 2 
 
7
1
t7
2 
Professor Jazz
20
Módulo e Função Modular 
(UFU) 
01) (UFU) Sejam 1k e 2k dois números reais
positivos com 2 1k 3k .
Suponha que os gráficos cartesianos das funções
reais definidas por 1f(x) x k  e 2g(x) x k  
delimitam um quadrilátero de área 8 unidades de
área.
Segundo essas condições, o valor do produto
1 2k k é igual a
a) 9.
b) 15.
c) 18.
d) 12.
02) (UFU) Considere a função definida por
y f(x) k | x 3 |,    em que k é um número natural 
constante, x uma variávelassumindo valores reais 
e | a | representa o módulo do número real a. 
Representando, no sistema de coordenadas 
cartesianas, o gráfico de y f(x), tem-se que esse 
gráfico e os eixos coordenados delimitam um 
triângulo de área igual a 272 cm . 
Nas condições apresentadas, o valor de k, em cm, 
é um número 
a) quadrado perfeito.
b) ímpar.
c) múltiplo de 3.
d) divisível por 5.
03) (UFU) Dada a função  : 1f IR IR  definida
por   1
1
x
f x
x



 , pode-se afirmar que 
a) f é sobrejetora
b) f é injetora
c) a imagem de f é um conjunto de dois
elementos 
d) o domínio de f é um conjunto com um número
finito de elementos 
04) (UFU) A figura abaixo representa o gráfico de
uma função  : 0;3f IR .
Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico 
da função  y f x , para  3;3x  .
a) 
b)
Professor Jazz
21
c) 
d) 
05) (UFU) Considere os números reais que
satisfazem a equação
2
12 0x x   . Pode-se 
afirmar que: 
a) existe um único número real xque satisfaz a
equação. 
b) o produto desses números reais x é - 9.
c) a soma desses números reais xé igual a 1.
d) o produto desses números reais x é igual a 12².
06) (UFU) Seja  : 0, 4f IR a função cujo gráfico
está ilustrado abaixo 
Sobre as afirmações seguintes 
I. o domínio da função  2f x  é o intervalo
 2,2 .
II. a imagem da função  2f x  é o intervalo  1,5 .
III. a equação  2 2 0f x    não tem solução. 
IV. a função  2f x  em seu domínio de definição,
é injetora. 
é correto afirmar que 
a) II e III são verdadeiras.
b) I, II e III são verdadeiras.
c) I e IV são verdadeiras
d) I e III são verdadeiras
07) (UFU) Considere as funções  : 2f IR IR 
e :g IR IR dadas por   2
2
x
f x
x



e 
  3g x x  . O valor numérico da área da região 
delimitada pelas retas 1x   , 1x  , 5y  e pelo
gráfico da função composta g f é igual a:
a) 1
b) 6
c) 2
d) 3
08) (UFU) Na figura abaixo estão esboçadas duas
parábolas que são os gráficos das funções f e g . 
Encontre a função :h IR IR (onde ℝ representa
o conjunto dos números reais), definida por
     h x f x g x  e determine em que ponto o 
gráfico de h intercepta o eixo das ordenadas y . 
Professor Jazz
22
09) (UFU) Considere as funções reais de variável
real definidas por   2 3f x x  e  g x x . 
Determine quantas soluções tem a equação
   2g f x  , em que fg  é a função composta
de g com f . 
GABARITO 
01) D
02) A
03) C
04) B
05) B
06) D
07) C
08) 
   
   
 
 
2
2
2. 3 2
3 1
² 18 8
0 8
f x x
g x x
h x x x
h
   
  
   

09) 4 soluções
Professor Jazz
23
Função Composta e Função Inversa 
(UFU) 
01) (UFU) O gráfico da função de variável real 𝑦 =
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que a, b e c são 
constantes reais, é uma parábola. Sabe-se que a 
função 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2. 𝑓(𝑥 + 1) apresenta o gráfico 
que segue: 
Nessas condições, o produto entre os valores da 
abscissa e da ordenada do vértice da parábola 
representando f(x) é igual a 
a) 18.
b) 6,5.
c) 9.
d) 4,5.
02) (UFU) Sejam f e g duas funções reais definidas
para todo número real. Se f é dada por 
  12 3xf x   e a função composta f g por
   2 1f g x x  , então o valor de    2 . 2g g é
igual a 
a) 4.
b) 8.
c) 16.
d) 32.
03) (UFU) Sejam f e g funções reais de variável
real definidas por   4
5
x
g x

 e   5x
f x
x

 , com 
0x  . Assim,    1f g f x é igual a
a) 
5 x
x

b) 
1
1
5x
 
c) 5x
d) 
1 5x
x

04) (UFU) Seja f e g funções reais a valores reais,
dadas por  f x ax b  e   3g x x a  , onde a e
b são constantes reais, 0a  . Considere a função 
composta h f g  .
Sabendo-se que o gráfico da função inversa 1h 
corresponde à reta representada na figura acima, 
então o valor da somaa b é igual a 
a) 
11
12
b) 
17
9

Professor Jazz
24
c) 
13
9
d) 
1
12

05) (UFU) O total de óbitos causados pelo
coronavírus Sars-Cov-2 no Brasil, no período 
De 20/04 a 10/05 de 2020 pode ser aproximado por 
uma função exponencial  y f x , conforme ilustra
a figura abaixo. 
Dado que 1A  e  ln y denota o logaritmo natural de
y , assinale a alternativa que representa o gráfico da 
função composta     lng x f x .
a) 
b) 
c) 
d) 
06) (UFU) Considere as funções polinomiais 𝑝(𝑥) =
 𝑥² – 3𝑥 e 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são números 
reais não nulos. Sabendo que 0 e -1 são raízes do 
polinômio ℎ(𝑥) = (𝑝 𝑞)(𝑥), sendo que pq indica a
composição das funções 𝑝 e 𝑞, pode-se afirmar que 
a diferença 𝑏 − 𝑎 é igual a 
a) 6
b) 0
c) -6
d) -3
07) (UFU) Considere a função dada por
  1
f x
ax b


, onde 0ax b  e 0a  . Se esta
função satisfaz a igualdade   f f x x , então o
número real ba é igual a: 
a) 1
b) 0
c) –1
d) 2
Professor Jazz
25
08) (UFU) Fixado um sistema de coordenadas
cartesianas xOy, considere as funções reais de 
variável real   2y f x x bx c    e
  4y g x kx   , em que as constantes b , c , k
são números reais. Sabendo que o gráfico de f é 
dado pela parábola de vértice  1,1V  , determine
todos os possíveis valores reais que k poderá 
assumir de maneira que a equação definida pela 
composição     0g f x  tenha raiz real.
GABARITO 
01) D
02) A
03) C
04) C
05) D
06) B
07) A
08) –4  k < 0
Professor Jazz
26
Progressão Aritmética e Progressão 
Geométrica 
(UFU) 
01) (UFU) Três terrenos quadrados de lados,
medindo x – 4, x e x + 3 metros, respectivamente, 
são tais que suas áreas estão em progressão 
aritmética. 
Determine a soma dos perímetros, em metros, 
desses três terrenos. 
a) 142
b) 106
c) 146
d) 102
02) (UFU) Sejam x, y e z números reais positivos.
Se os números log10 x, log10 y e log10 z formam, 
nessa ordem, uma progressão aritmética, então 
a) 2y = xy
b) y2 = x + z
c) 2y = x + z
d) y2 = xz
03) (UFU) Suponha que, em uma certa região, o
número de vítimas da AIDS dobre a cada seis 
meses e o número atual de pessoas atingidas por 
esta doença seja 1.500. 
Assinale, dentre as alternativas abaixo, o valor que 
melhor se aproxima do número de pessoas 
acometidas pela doença daqui a cinco anos nesta 
região. 
a) 3.000.000
b) 1.500.000
c) 150.000
d) 15.000
04) (UFU) Um círculo de área A1 está contido no
interior de outro círculo cuja área é A1 + A2. se o 
raio do círculo maior é 3 e os números A1, A2 e A1 + 
A2 formam, nesta ordem, uma progressão 
aritmética, então o raio do menor círculo vale: 
r
3
a) 3
b) 
3
2
c) 3 3
d) 
3
3
05) (UFU) Sabendo-se que o quinto e o oitavo
termos de uma progressão aritmética crescente são 
as raízes da equação x2 – 14x + 40 = 0, seu terceiro 
termo é: 
a) –2
b) 0
c) 2
d) 14
06) (UFU) Sabe-se que a soma dos dez primeiros
termos de uma progressão aritmética é igual a 500. 
A soma do terceiro e do oitavo termos dessa 
progressão é igual a 
a) 50.
Professor Jazz
27
b) 100.
c) 25.
d) 125.
07) (UFU) Um tipógrafo está efetuando a montagem
de um pequeno dicionário regional e, em seu 
primeiro dia de trabalho, fez a montagem de 35 
linhas. Por questões contratuais, o dicionário 
deverá possuir 27 páginas e cada página terá 21 
linhas. Sabe-se que esse tipógrafo, em cada dia de 
trabalho, produz o mesmo número de linhas do dia 
anterior mais 7 linhas. Dessa forma, o tipógrafo 
terminará a montagem do dicionário em 
a) 9 dias
b) 8 dias
c) 10 dias
d) 11 dias
08) (UFU) Assuma que a função exponencial de
variável real T = f(t) = r.ek.t, em que r e k são 
constantes reais não nulas, representa a variação 
da temperatura T ao longo do tempo t (em horas) 
com 4t0  . 
Sabendo que os valores f(1), f(2), f(3) e f(4) 
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica 
de razão 
1
4
 e soma igual a 
255
128
, então o valor de r 
é um número múltiplo de 
a) 9.
b) 5.
c) 3.
d) 7.
09) (UFU) O molde de uma peça em umafundição
em alumínio corresponde a uma caixa no formato 
de um paralelepípedo retangular, com volume de 
216 cm3. A Figura que segue ilustra esse molde, 
sendo que a parte em negrito corresponde à tampa 
do molde. 
Sabe-se que os comprimentos, em centímetros, dos 
lados do molde estão ordenadamente em 
progressão geométrica, com razão r, de acordo 
com a sequência x, xr e 18. 
Com base nessas informações, a área da tampa do 
molde, em cm2, é igual a 
a) 216.
b) 108.
c) 432.
d) 54.
10) (UFU) Considere as retas r1 e r2, descritas pelas
equações cartesianas y1 = a.x+d e y2 = b.x+c, 
respectivamente, em que a, b, c e d são números 
reais. Sabe-se que a, b, c e d formam, nessa 
ordem, uma progressão geométrica de razão -2 e 
que a soma desses números é igual a 5. 
Com base nessas informações, é correto afirmar 
que a área do triângulo limitado pelas retas r1, r2 e a 
reta de equação y = 0 é igual a 
a) 24
b) 16
c) 12
d) 32
Professor Jazz
28
11) (UFU) Dois ciclistas estão em fases distintas de
preparação. O técnico desses atletas elabora um 
planejamento de treinamento para ambos, 
estabelecendo o seguinte esquema: 
• ciclista 1: iniciar o treinamento com 4 km de
percurso e aumentar, a cada dia, 3 km a mais para 
serem percorridos; 
• ciclista 2: iniciar o treinamento com 25 km de
percurso e aumentar, a cada dia, 2 km a mais para 
serem percorridos. 
Sabendo-se que esses ciclistas iniciam o 
treinamento no mesmo dia e que o término desse 
treinamento se dá quando os atletas percorrem a 
mesma distância em um mesmo dia, pode-se 
afirmar que ao final do treinamento o ciclista 1 
percorre uma distância total, em km, de 
a) 781
b) 714
c) 848
d) 915
12) (UFU) Considere na o termo geral de uma 
progressão geométrica de razão 
 
1
2
 e primeiro 
termo 1. Podemos afirmar que a representação 
gráfica dos pontos  ; nn a no plano cartesiano, em 
que n está contida no gráfico de uma função
a) quadrática
b) exponencial
c) linear
d) logarítmica
13) (UFU) A Secretaria de Saúde de um
determinado Estado brasileiro necessita enviar 640 
estojos de vacinas para N regiões distintas. Após 
avaliar as demandas de cada uma dessas regiões a 
serem atendidas, estabeleceu-se o seguinte 
esquema de envio: 
- para a região 1 serão enviados x estojos;
- para a região 2 serão enviados x estojos;
- para a região 3 serão enviados 2x estojos;
- para a região 4 serão enviados 4x estojos;
e esse padrão se repete nas demais regiões, ou 
seja, serão enviados tantos estojos a uma região 
quanto for a soma dos que já foram enviados às 
regiões anteriores. O valor de x deve ser tal que N é 
o maior possível e exatamente todos os estojos
sejam distribuídos. 
Nas condições apresentadas, N x é igual a 
a) 35
b) 30
c) 40
d) 45
14) (UFU) Os "fractais" são criados a partir de
funções matemáticas cujos cálculos são 
transformados em imagens. Geometricamente, 
criam-se fractais fazendo-se divisões sucessivas de 
uma figura em partes semelhantes à figura inicial. 
Abaixo destacamos o Triângulo de Sirpinski, obtido 
através do seguinte processo recursivo: 
- Considere um triângulo equilátero de 1 cm2 de
área, conforme a Figura Inicial. Na primeira 
iteração, divida-o em quatro triângulos equiláteros 
idênticos e retire o triângulo central, conforme figura 
da Iteração 1 (note que os três triângulos restantes 
em preto na Iteração 1 são semelhantes ao 
triângulo inicial). 
- Na segunda iteração, repita o processo em cada
um dos três triângulos pretos restantes da primeira 
iteração. E assim por diante para as demais 
iterações. seguindo esse processo indefinidamente 
obtemos o chamado Triângulo de Sierpinski. 
Professor Jazz
29
Considerando um triângulo preto em cada iteração, 
de iteração 1 até a iteração N, e sabendo que o 
produto dos valores numéricos das áreas desses 
triângulos é igual a 
240
1
2
, então N é 
a) é um número primo.
b) é múltiplo de 2.
c) é um quadrado perfeito.
d) é divisível por 3.
15) (UFU) Sejam: C1 uma circunferência de raio r e
centro O; P um ponto arbitrário dessa mesma 
circunferência. No interior dessa circunferência, 
considere outra circunferência C2, tangente à C1 em 
P e com raio igual à metade do raio de C1. 
Repetindo-se esse processo, encontra-se uma 
sequência de circunferências C3, C4,...., Cn+1 
tangentes à C1 em P e com o raio de cada uma 
delas correspondendo à metade do raio da anterior, 
conforme ilustra a figura abaixo. 
De acordo com essas condições, pode-se afirmar 
que a diferença entre a área de Cn e a área de Cn+1 
é igual a 
a) 
2
22 n
r
b) 
2
2
3
2 n
r
c) 
2
2 2
3
2 n
r

d) 
2
2 22 n
r

16) (UFU) Cubos são colocados uns sobre os
outros, do maior para o menor, para formar uma 
coluna, como mostra a figura abaixo. 
O volume do cubo maior é 1m3 e o volume de cada 
um dos cubos seguintes é igual a 
1
27
 do volume do 
cubo sobre o qual ele está apoiado. Se fosse 
possível colocar uma infinidade de cubos, a altura 
da coluna seria igual a 
a) 
27
26
m 
b) 2m
c) 1,5m
d) 4,5m
17) (UFU) Sejam a, b e c três algarismos do
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sabendo-se que 
a, b e c estão, nessa ordem, em progressão 
aritmética crescente, a b c 18   e a b c 162,   a 
fração geratriz da dízima periódica 0, abcabc é
igual a 
Professor Jazz
30
a) 
52
.
111
 
b) 
63
.
111
 
c) 
107
.
111
 
d) 
41
.
111
 
GABARITO 
01) C
02) D
03) B
04) A
05) B
06) B
07) A
08) C
09) B
10) C
11) A
12) B
13) C
14) D
15) B
16) C
17) D
Professor Jazz
31
Porcentagem e Matemática 
Financeira 
(UFU) 
01) (UFU) O imposto de renda atualmente está
dividido em cinco faixas de valores de rendimentos 
mensais, de modo que na primeira faixa o 
contribuinte é isento de pagar imposto e, nas outras 
quatro, o imposto a ser pago segue uma tabela 
crescente de percentuais chamados de alíquotas. 
Está sendo estudada uma nova proposta de 
considerar uma alíquota única de 20% para os 
contribuintes com rendimentos mensais maiores do 
que R$5.000,00 e aqueles com rendimentos 
mensais menores ou iguais a esse valor estariam 
isentos de pagar esse imposto. O cálculo do 
imposto a pagar é feito somente sobre o valor do 
rendimento mensal que excede R$5.000,00. 
Considerando-se essa nova proposta de alíquota 
única, se uma pessoa que teve rendimento mensal 
fixo pagou um total de R$ 700,00 de imposto de 
renda em um ano, logo seu salário anual foi, em 
reais, igual a 
a) 56.500,00.
b) 42.000,00.
c) 102.000,00.
d) 63.500,00.
02) (UFU) Um estudante recorre a uma imobiliária
na expectativa de alugar um apartamento. A 
imobiliária exige de seus locatários o pagamento de 
um depósito caução, dividido em três parcelas fixas 
e de iguais valores, a serem pagas junto com as 
mensalidades do aluguel nos três primeiros meses. 
Essas mensalidades são fixas e de iguais valores. 
O estudante desembolsará, em um ano de contrato, 
um total de R$ 8 400,00, de maneira que o 
desembolso total, após o término do pagamento do 
depósito caução, será 80% superior àquele 
correspondente ao desembolso referente aos três 
primeiros meses. 
Nas condições apresentadas, o valor do depósito 
caução é igual a 
a) R$ 1 400,00.
b) R$ 1 200,00.
c) R$ 900,00.
d) R$ 1 800,00.
03) (UFU) Uma loja de artigos para presente
sempre colocou seus produtos à venda aplicando 
50% a mais sobre o preço de custo. No entanto, 
devido à recessão, ela anunciou uma liquidação 
com 20% de desconto sobre todos os produtos para 
pagamentos à vista. Nesse caso, o lucro da loja na 
venda à vista de cada produto será de 
a) 10%
b) 30%
c) 20%
d) 40%
04) (UFU) De uma certa população, 12% de seus
membros foram afetados por uma doença 
epidêmica. Das pessoas atingidas pela doença, 
20% morreram. Qual a porcentagem da população 
que morreu vitimada pela doença? 
a) 2,4%
Professor Jazz
32
b) 1,8%
c) 3,6%
d) 3,2%
05) (UFU)Um produtor vende uma mercadoria por
R$ 74,75, com 15% de lucro, para um feirante que 
a revede por R$ 84,50. Qual seria a margem de 
lucro do produtor se ele vendesse a mercadoria 
diretamente ao consumidor, pelo mesmo preço da 
feira? 
a) 27,5%
b) 32,5%
c) 30,0%
d) 50,0%
06) (UFU) Um produtor de arroz vendeu 60% da
sua produção para a distribuidora A e 40% para a 
distribuidora B, as quais doaram 4% e 2%, 
respectivamente, do arroz comprado. Do arroz 
produzido foram doados: 
a) 1,5%
b) 3,2%
c) 6%
d) 3%
07) (UFU) Um comerciante está negociando o valor
V da venda à vista de uma mercadoria que foi 
adquirida com seu fornecedor um mês antes por 
R$1000,00 com 4 meses de prazo para pagamento 
(sem pagar juros). Sabe-se que o comerciante 
aplica esse valor V à taxa de 2% de juros 
(compostos) ao mês para viabilizar o pagamento 
futuro da mercadoria. 
Para que a atualização do valor associado à venda 
dessa mercadoria forneça, na data do pagamento 
do fornecedor, um lucro líquido de R$200,00, a 
venda à vista deve ser de 
Obs.: use a aproximação 1,0612 para (1,02)3 e, ao 
expressar um valor monetário, faça o 
arredondamento na segunda casa decimal, 
considerando unidades inteiras de centavos. 
a) R$942,33.
b) R$1.130,80.
c) R$1.232,89.
d) R$1.108,62.
08) (UFU) Um financiamento de R$10.000 reais foi
contratado a uma taxa de juros (compostos) de 3% 
ao mês. Ele será liquidado em duas parcelas iguais, 
a primeira vencendo em 60 dias e a segunda em 90 
dias após a efetivação do contrato. O valor de cada 
parcela desse financiamento é , aproximadamente, 
igual a 
Dados: 
a) R$5226,00.
b) R$5383,00.
c) R$5387,00.
d) R$5282,00.
09) (UFU) Juliana participa de um leilão de obras de
arte adquirindo uma obra por D reais, em que é 
acordado que ela irá pagar em prestações mensais 
sem acréscimo de juros. Enquanto o saldo devedor 
for superior a 25% do valor D, ela pagará uma 
prestação no valor de 20% do saldo devedor, no 
mês que o saldo for inferior a 25% do valor D, ela 
pagará o restante de sua dívida. Nessas condições, 
em quantos pagamentos Juliana quitará sua dívida? 
Sugestão: Utilize log10(2) = 0,301 
Professor Jazz
33
a) 6
b) 9
c) 7
d) 8
10) (UFU) Paulo, Ana e Luís formaram uma
sociedade e investiram, respectivamente, R$ 
2.500,00; R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de 
investimentos. Após um ano, a aplicação estava 
com um saldo de R$ 12.500,00. Se os três 
investidores regatarem somente o rendimento e 
dividirem em partes diretamente proporcionais aos 
valores investidos, a diferença entre os valores 
recebidos por Ana e Paulo será igual a 
a) R$ 125,00
b) R$ 1.000,00
c) R$ 250,00
d) R$ 500,00
11) (UFU) Um grande tanque de capacidade 500
litros contém, inicialmente, 100 litros de uma 
solução aquosa de cloreto de sódio, cuja 
concentração é de 5 gramas por litro. Esse tanque 
é abastecido com uma solução aquosa de cloreto 
de sódio, com concentração de 1 grama por litro, a 
uma vazão de 10 litros por minutos, e um 
mecanismo de agitação mantém homogênea a 
solução no tanque. 
A concentração no tanque é a razão entre a 
quantidade do cloreto de sódio (em gramas g) e o 
volume de solução (em litros, l). Logo, a 
concentração no tanque, em g/l, no instante em que 
ele começa a transbordar, é: 
a) 
9
5
b) 
10
5
c) 
54
50
d) 
4
5
12) (UFU) Um maratonista calcula que, se correr a
uma velocidade constante de 10km por hora, 
chegará ao do percurso da corrida às 10;00 horas. 
Contudo, se sua velocidade constante for de 15km 
por hora, ele chegará às 8:00 horas. Para que ele 
chegue exatamente às 9:00 horas, sua velocidade 
constante deverá se de 
a) 12 km/h
b) 12,5 km/h
c) 11 km/h
d) 11,5 km/h
13) (UFU) Um comerciante toma em empréstimo de
R$ 2.000,00 junto à financiadora A, a juros simples 
de 6% ao mês. Alguns meses mais tarde, ele 
consegue tomar emprestada a mesma quantia de 
uma financiadora B, a juros simples de 4,5% ao 
mês, e paga sua dívida com a financiadora A. Um 
ano e meio depois de ter feito o primeiro 
empréstimo, ele salda sua dívida tendo, no período 
todo, pago um total de R$ 1.860 de juros. Quanto o 
comerciante pagou de juros a cada financiadora?
Professor Jazz
34
Gabarito
01) D
02) B
03) C
04) A
05) C
06) B
07) B
08) B
09) D
10) C
11) A
12) A
13) A=R$960,00 e B=R$900,00
Professor Jazz
35
 
Divisibilidade 
(UFU)
01) (UFU) Os irmãos José e Maria visitam
regularmente seu avô Pedro. José visita-o a cada 8 
dias e Maria a cada 6 dias, ambos, rigorosamente, 
sem nunca falharem. Se José e Maria visitaram 
simultaneamente o avô no primeiro dia do ano de 
2004, quantas vezes mais eles fizeram a visita 
simultânea até o dia 31 de dezembro de 2006? 
Obs.: Considere cada ano com 365 dias. 
a) 48
b) 44
c) 46
d) 45
02) (UFU) O número de três algarismos 2m3 é
somado ao número 326, resultando o número de 
três algarismos 5n9. Sabendo-se que 5n9 é 
divisível por 9, temos que m + n é igual a 
a) 2
b) 6
c) 4
d) 8
03) (UFU) Se o máximo divisor comum entre os
números 144 e (30)p é 36, em que p é um inteiro 
positivo, então o expoente p é igual a: 
a) 1
b) 3
c) 4
d) 2
04) (UFU) Considere a função :f   , (onde 
representa o conjunto dos números naturais) dada
por    2 4;4 2f n mdc n n   . Então, o valor
mínimo de f é igual a 
a) 4
b) 1
c) 6
d) 2
05) (UFU) Se p é um número natural primo e a
soma de todos os divisores positivos de p2 é igual a 
31, então p é igual a 
a) 5
b) 7
c) 3
d) 2
06) (UFU) Se 5 717 .3k  , então o número de
divisores positivos de k é: 
a) 48
b) 12
c) 35
d) 20
07) (UFU) Considere a sequência ordenada de
letras: 
AMOROMAMOROMAMOROM..., 
Em que se observa que a posição 1 é ocupada pela 
letra A, a posição 2 pela letra M e, assim por diante. 
Segundo este padrão, podemos afirmar que a letra 
que ocupa a posição 2001 é 
a) O.
b) M.
c) A.
Professor Jazz
36
d) R.
08) (UFU) Em uma gráfica, uma impressora foi
ajustada para imprimir as 323 páginas de um livro, 
em ordem crescente da 1ª até a 323ª página. 
Assuma que ocorreu uma pane, interrompendo a 
impressão e deixando de ser impresso um total de 
páginas, em cujas enumerações seriam utilizados 
636 algarismos. Se é o conjunto de todos os 
números usados na enumeração das páginas, 
então a quantidade de elementos desse conjunto 
que são quadrados perfeitos é igual a 
A) 11.
B) 8.
C) 9.
D) 10.
GABARITO
01) D
02) B
03) D
04) D
05) A
06) A
07) A
08) D
Professor Jazz
37
ESTATÍSTICA 
(UFU)
01) (UFU) Em uma reunião para comemorar o ano
novo, 13 familiares estavam reunidos em um salão 
de festas e cada um levou um presente embalado 
com apenas uma cor, sendo que 3 presentes 
estavam embalados na cor branca, 4 na cor cinza, 
4 na cor amarela e 2 na cor verde. Dois membros 
dessa família fizeram as seguintes afirmações 
independentes. 
Membro I. Se eu trocar a cor da embalagem do 
meu presente por uma nova embalagem na cor 
verde, então a moda passará a ser somente 
presentes embalados de cinza. 
Membro II. Se mais uma pessoa chegar à nossa 
reunião e trouxer um presente embalado da mesma 
cor que a do meu presente, então a embalagem 
cinza deixará de ser moda. 
Baseando-se nas informações apresentadas, é 
correto afirmar que 
a) os membros I e II trouxeram presentes com
embalagens amarelas. 
b) o membro I trouxe um presente com embalagem
cinza e o membro II, com embalagem amarela. 
c) o membro I trouxe um presente com embalagem
amarela e o membro II, com embalagem cinza. 
d) os membros I e II trouxeram presentes com
embalagens cinzas. 
02) (UFU) Um açougueiro atendeu, nos quatro
primeiros dias de uma semana, respectivamente, 
20, 17, 16 e 19 pessoas. Considerando-se os 
atendimentos realizados na sexta-feira e no 
sábado, a média do número de pessoas atendidas, 
ao longo de todos esses dias da semana, foi de 21 
pessoas. 
Se a moda referente às quantidades de pessoas 
atendidasdiariamente é maior do que 20, logo a 
maior quantidade de pessoas atendidas em um 
único dia é igual a 
a) 22.
b) 33.
c) 27.
d) 34.
03) (UFU) A partir de 2015, as contas de energia
terão uma novidade: o Sistema de Tarifas com 
Bandeiras Tarifárias. Esse sistema possui três tipos 
de tarifação: 
 Bandeira verde: condições favoráveis de geração 
de energia. A tarifa não sofre nenhum acréscimo 
em relação à tarifa básica; 
 Bandeira amarela: condições de geração menos 
favoráveis. A tarifa sofre acréscimo de R$ 0,15 para 
cada 1 quilowatt-hora (kWh) consumido; 
 Bandeira vermelha: condições mais custosas de 
geração. A tarifa sofre acréscimo de R$ 0,30 para 
cada 1 kWh consumido. 
Admita, hipoteticamente, que no período de 
estiagem, que vai de maio a setembro, vigore a 
bandeira amarela e que, nos meses de outubro, 
novembro e dezembro, vigore a bandeira vermelha, 
sendo que nos demais meses vigora a tarifa verde. 
Suponha que, durante o ano de 2015, a tarifa 
básica (normal) de energia seja R$0,40 o kWh 
consumido e que o gráfico a seguir mostra o 
Professor Jazz
38
consumo de energia de uma residência durante o 
ano de 2015. 
Nesse ano, o mês com menor e maior custo com 
energia elétrica para esse consumidor será, 
respectivamente, 
a) abril e dezembro.
b) maio e janeiro.
c) maio e dezembro.
d) abril e janeiro.
04) (UFU) Durante o mês de julho de 2012, foram
vendidos 75 refrigeradores em uma loja, quantidade 
essa correspondente a um aumento de 150% a 
mais em relação à média mensal de refrigeradores 
vendidos no primeiro semestre de 2012. Para 
avaliar o desempenho das vendas mensalmente, o 
gerente solicita ao controle de vendas da loja um 
demonstrativo do número de refrigeradores 
vendidos por mês no primeiro semestre. O gerente 
recebe o gráfico a seguir, em que, por um erro na 
impressão gráfica, não foi registrado o número H de 
refrigeradores vendidos em maio. 
Entretanto, com base nas informações fornecidas 
pelo gráfico, o gerente concluiu que H, 
necessariamente, pertence ao intervalo 
a) [35, 45)
b) [15, 25)
c) [25, 35)
d) [0, 15)
05) (UFU) Uma pesquisa com 27 crianças,
realizada por psicólogos em um ambiente 
hospitalar, avalia a redução dos custos hospitalares 
mensais individuais em função do bem-estar 
emocional promovido pela vivência de atividades 
artísticas. 
13000,00
52400,00
72000,00
11400,00
5900,00
8700,00
crianças de Número
reais. em criança)(por 
Mensal Custo do Redução
Com base nos dados descritos na tabela, a soma 
da média aritmética e da mediana correspondente à 
distribuição de redução dos custos mencionada é 
igual a 
a) 2900.
b) 3400.
c) 3200.
d) 3700.
06) (UFU) A distribuição das idades dos alunos da
turma do 5º período de um curso de agronomia está 
descrita no gráfico de barras abaixo. Esse gráfico 
está incompleto, pois nele não está representada a 
quantidade x de alunos com 20 anos de idade. 
Sabendo que ao considerarmos todos os alunos da 
Professor Jazz
39
turma (inclusive os que tenham 20 anos), a média 
aritmética das idades é 20,25. 
Então, o valor de x é tal que 
a) x é par
b) x é divisível por 5
c) x
d) x é primo
07) (UFU) Em maio de 2010, a Empresa de
Pesquisas Energéticas (EPE) divulgou o Plano 
Decenal de Expansão de Energia no horizonte 
2019. Esse documento descreve o planejamento do 
setor energético brasileiro. Nele encontra-se a 
figura abaixo. Na representação da matriz de 
geração de eletricidade prevista para 2019, as 
termoelétricas participarão com 15% na capacidade 
de geração de energia. Suponha que essa matriz 
seja representada não da forma mostrada na figura, 
mas em um gráfico de setor de raio 3 cm. De 
acordo com a nova representação, a área do setor 
(em cm2) correspondente à energia termoelétrica é 
igual a 
a) 1,15 
b) 1,35 
c) 9 
d) 10,15 
08) (UFU) Um time de voleibol possui um plantel
formado por jovens atletas, contendo x pessoas 
cuja média aritmética das idades é de 20 anos. O 
presidente do time resolveu contratar um técnico e 
um preparador físico experientes, 
coincidentemente, ambos com 50 anos. Sabendo 
que, com a entrada destas duas novas pessoas no 
plantel, a nova média das idades passou para 24 
anos, pode-se afirmar que 
a) 10 < x  12
b) 12 < x  15
c) x > 16
d) x  9
09) (UFU) Considere a tabela dos indicadores de
preço apresentada abaixo. 
Tendo em vista os dados da tabela, pode-se afirmar 
que: 
a) A média dos índices IPC da Fipe de novembro
de 2008 a março de 2009 é igual a 0,46. 
b) O mês de fevereiro de 2009 apresenta os índices
com a menor moda. 
c) A mediana dos índices do mês de janeiro de
2009 é igual a 0,64. 
d) O mês de novembro de 2008 apresenta índices
cuja mediana é igual à moda. 
Professor Jazz
40
10) (UFU) Pedro é um dos 18 funcionários de uma
microempresa. Ele resolve aposentar-se e, em seu 
lugar, um novo funcionário de 22 anos de idade é 
contratado. Sabendo-se que, com a saída de Pedro 
e a entrada desse novo funcionário, a média 
aritmética das idades dos funcionários dessa 
microempresa diminui em 2 anos, pode-se afirmar 
que Pedro se aposentou com 
a) 62 anos.
b) 56 anos.
c) 60 anos.
d) 58 anos.
11) (UFU) Um concurso avaliou n candidatos
atribuindo-lhes notas de 0 a 100 pontos. Sabe-se 
que exatamente 20 deles obtiveram nota máxima e, 
nesse caso, a média aritmética foi de 80 pontos. 
Agora, se consideradas apenas as notas inferiores 
a 100 pontos, a média passa a ser de 70 pontos. 
Nessas condições, pode-se afirmar que n é igual a 
a) 70
b) 60
c) 80
d) 40
12) (UFU) As 10 medidas colhidas por um cientista
num determinado experimento, todas na mesma 
unidade, foram as seguintes: 
1,2 1,2 1,4 1,5 1,5 2,0 2,0 2,0 2,0 2,2. 
Ao trabalhar na análise estatística dos dados, o 
cientista esqueceu-se, por descuido, de considerar 
uma dessas medidas. Dessa forma, comparando os 
resultados obtidos pelo cientista em sua análise 
estatística com os resultados corretos para esta 
amostra, podemos afirmar que 
a) a moda e a média foram afetadas.
b) a moda não foi afetada, mas a média foi.
c) a moda foi afetada, mas a média não foi.
d) a moda e a média não foram afetadas.
13) (UFU) Para estimar a intensidade luminosa de
uma fonte, os estudantes de uma turma obtiveram 
50 valores experimentais, cuja média aritmética 
resultou em 9 lux. O professor observou que entre 
estes 50 resultados apenas dois eram discrepantes, 
a saber, um deles igual a 13 lux e o outro igual a 17 
lux. Sendo assim, a média aritmética dos 48 valores 
não discrepantes é igual a 
a) 8,4 lux
b) 9,375 lux
c) 8,25 lux
d) 8,75 lux
14) (UFU) Uma equipe de futebol realizou um
levantamento dos pesos dos seus 40 atletas e 
chegou à distribuição de frequência dada pela 
tabela a seguir, cujo histograma correspondente é 
visto abaixo. 
Peso (kg)
60 | 64
64 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
Total de atletas
Frequência
2
5
10
12
6
3
2
40
TABELA
frequência
Peso (kh)
HISTOGRAMA
12
10
6
3
5
2
62 66 70 74 78 82 86
Com base nestes dados pode-se afirmar que o 
valor da mediana dos pesos é igual a 
Professor Jazz
41
a) 75
b) 72
c) 74
d) 73
15) (UFU) O Departamento de Comércio Exterior do
Banco Central possui 30 funcionários com a 
seguinte distribuição salarial em reais. 
Nº de
funcionários
10 2.000,00
12 3.600,00
5 4.000,00
3 6.000,00
Salário
em R$
Quantos funcionários que recebem R$ 3.600,00 
devem ser demitidos para que a mediana desta 
distribuição e salários seja de R$ 2.800,00? 
a) 8
b) 11
c) 9
d) 10
16) (UFU) A tabela abaixo apresenta, em ordem
decrescente, a classificação final dos dez países 
que mais ganharam medalhas de ouro nas 
Olimpíadas do Rio de 2016 e o respectivo número 
de medalhas. 
Posição País 
Número de 
medalhas de 
ouro 
1º Estados 
Unidos 
46 
2º Grã-Bretanha 27 
3º China 26 
4º Rússia 19 
5º Alemanha ? 
6º Japão 12 
7º França 10 
8º Coréiado Sul 9 
9º Itália ? 
10º Austrália 8 
Disponível em: https://brasil.elpais.com/resultados/deportivos/juegos-
olimpicos/medallero/. Acesso em: 03 fev. 2020. 
Nessa tabela, não foram apresentados os números 
de medalhas de ouro da Alemanha e da Itália, mas 
sabe-se que o número de medalhas de ouro 
somadas desses dez países é igual a 182. 
Denotando por a dm , m e om , respectivamente, a 
média aritmética, a mediana e a moda do número 
de medalhas de ouro da tabela, incluindo as 
medalhas da Alemanha e da Itália, então a relação 
entre essas três medidas de tendência central, em 
ordem decrescente, é 
a) a o dm m m . 
b) d a om m m . 
c) a d om m m . 
d) d o am m m . 
17) (UFU) O gráfico abaixo mostra o número de
casos confirmados de COVID-19, por faixa etária e 
por sexo, na cidade de São Carlos – SP, no mês de 
junho de 2020. 
São dadas as seguintes afirmações. 
I. Considerando-se as faixas etárias de 11 a 20, de
21 a 30 e de 31 a 40 anos, a média de casos do 
Professor Jazz
42
sexo feminino, por faixa etária, é menor do que a 
média de casos do sexo masculino, por faixa etária. 
II. Considerando-se as faixas etárias de 21 a 30, de
31 a 40 e de 41 a 50 anos, o desvio padrão da 
média de casos do sexo masculino, por faixa etária, 
é maior do que o desvio padrão da média de casos 
do sexo feminino, por faixa etária. 
III. Considerando-se todas as faixas etárias, a
diferença entre a mediana do número de casos do 
sexo masculino e a mediana do número de casos 
do sexo feminino é igual a 3. 
IV. Considerando-se o total de casos (feminino e
masculino) em cada faixa etária, a moda do total de 
casos por faixa etária é 38. 
Assinale a alternativa que apresenta as afirmações 
corretas. 
a) Apenas I, II e III.
b) Apenas I, II e IV.
c) Apenas I e III.
d) Apenas II, III e IV
18) (UFU) A tabela a seguir registra a quantidade
diária da venda de um determinado medicamento 
durante os sete primeiros dias do mês de maio, e 
as incógnitas x e y representam as quantidades nos 
dois dias seguintes, respectivamente. 
A média móvel semanal, num determinado dia, 
consiste na média aritmética entre as quantidades 
da venda do medicamento neste dia e nos seis dias 
anteriores. 
Considere que a média móvel semanal em 09/05 foi 
inferior à média móvel semanal em 07/05, que, em 
08/05, venderam-se, pelo menos, quatro 
medicamentos a mais do que em 09/05 e que, em 
09/05, venderam - se, pelo menos, três 
medicamentos. 
Então, o maior valor possível para x é 
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 1
GABARITO 
01) A
02) C
03) A
04) A
05) A
06) A
07) B
08) B
09) D
10) D
11) B
12) B
13) D
14) D
15) D
16) C
17) B
18) B
Professor Jazz
43
 
TRIÂNGULOS 
(UFU)
01) (UFU) Na figura abaixo o ângulo x, em graus,
pertence ao intervalo 
a) (0º, 15º)
b) (15º, 20º)
c) (20º, 25º)
d) (25º, 30º)
02) (UFU) Considere o triângulo ABC, abaixo, e D
um ponto no lado AC , tal que AD = BD = BC = 
1cm. Nesse caso, a relação existente entre os 
ângulos  e  indicados é 
A B
 
C
a)  + 2 = 
b)  = 2
c)  = 3
d)
4

03) (UFU) Considere um triângulo qualquer de
vértices A, B e C e represente por AM a mediana 
relativa ao lado BC. Assinale, dentre as seguintes, a 
alternativa CORRETA. 
a) AM é o segmento de menor comprimento ligando
o vértice A ao lado BC.
b) ABM  AMC.
c) ABM e AMC têm a mesma área.
d) AM é congruente a AC. 
04) (UFU) Considere o triângulo retângulo abaixo
Sabendo que 120   , 1AB AC cm  , então 
AD é igual a 
a) 
2
3
cm
b) 
2
3
cm 
c) 
2
3
cm 
d) 
3
2
cm
05) (UFU) Os lados AC e BC do triângulo ABC
representado na figura abaixo tem a mesma 
medida. 
Professor Jazz
44
Sabendo-se que este triângulo está inscrito em uma 
circunferência de raio 2 3cme que o 
ângulo ˆACB mede 30°, pode-se afirmar que a
distância do centro da circunferência até o lado AB
é igual a 
a) 1,5 cm
b) 3 cm 
c) 2 cm
d) 3 cm
06) (UFU) Sabendo-se que, na figura abaixo,
1CD cm e 3BD cm , determine 
a) Os ângulos  e  .
b) A área do triângulo ABC.
GABARITO 
01) B
02) C
03) C
04) A
05) D
06) a) 30a   
 b) 3 cm²ABCS  
Professor Jazz
45
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
(UFU)
01) (UFU) Na figura abaixo, ABC é um triângulo e
suas medianas , e medem, 
respectivamente, 8cm, 10cm e 4cm. 
Se é paralelo ao lado com , então, 
o perímetro do triângulo é igual a 
a) 24 cm.
b) 22 cm.
c) 20 cm.
d) 18 cm.
02) (UFU) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e
pelas Avenidas A e B tem a forma de um trapézio 
ADD' A ', com AD 90 m e A'D' 135 m, como 
mostra o esquema da figura abaixo. 
Tal área foi dividida em terrenos ABB' A ', BCC'B' e 
CDD'C', todos na forma trapezoidal, com bases 
paralelas às avenidas tais que AB 40 m, BC 30 m  
e CD 20 m. 
De acordo com essas informações, a diferença, em 
metros, A 'B' C'D' é igual a 
a) 20.
b) 30.
c) 15.
d) 45.
03) (UFU) Na Figura 1, o triângulo retângulo ABC
possui ângulo reto em B, AF 1cm, AC 10 cm e 
BDEF é um quadrado. Suponha que o quadrado 
BDEF seja transladado ao longo de AC, sem alterar 
a medida dos lados e ângulos ao longo dessa 
translação, gerando, dessa forma, um novo 
quadrado XYZW, em que coincidem os pontos C e 
Z conforme ilustra a Figura 2. 
CM e BN ,AP
BQ AC ACBQ2 
APQ
Professor Jazz
46
Nessas condições, qual é o valor (em cm2) da área 
do triângulo HZW? 
a) 5/2
b) 13/4
c) 3/2
d) 15/2
04) (UFU) Considere um triângulo qualquer de
vértices A, B e C e represente por AM a mediana 
relativa ao lado BC. Assinale, dentre as seguintes, a 
alternativa CORRETA. 
a) AM é o segmento de menor comprimento ligando
o vértice A ao lado BC.
b) ABM  AMC.
c) ABM e AMC têm a mesma área.
d) AM é congruente a AC. 
GABARITO 
01) B
02) B
03) C
04) C
Professor Jazz
47
POLÍGONOS E QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
(UFU)
01) (UFU) Considere o polígono cujos vértices são
os pontos de interseção dos gráficos de 2 2y a x  
e 2 2y x a  com os eixos coordenados, em que a 
é um número real positivo. Se o perímetro desse 
polígono é igual a 4 2 , então, 
a) a é um inteiro ímpar.
b) a é irracional. 
c) a é múltiplo de 3.
d) 2a é racional. 
02) (UFU) A localização de cada uma das quatro
cidades de uma região plana é representada pelos 
vértices de um quadrado ABCD, cujo lado mede 
200 km. Em uma reunião entre os prefeitos dessas 
cidades, ficou definida a construção de uma malha 
rodoviária para interligá-las. O critério de escolha do 
traçado da malha foi definido em função do 
comprimento: a malha de menor comprimento total 
seria a escolhida para construção. Os engenheiros 
contratados para a obra apresentaram os seguintes 
projetos para a malha viária: 
Supondo que o critério de menor comprimento 
tenha sido obedecido, o projeto de malha rodoviária 
aprovado pelo conjunto de prefeitos foi o 
a) Projeto 2.
b) Projeto 3.
c) Projeto 4.
d) Projeto 1
03) (UFU) Uma região quadrangular ABCD de
perímetro 400 2m será dividida ao meio para 
confinamento de gado, conforme indicado na figura 
(ilustrativa e sem escalas) a seguir. 
Ao longo da diagonal BD , será construída uma 
porteira, correspondente ao segmento EF de 
comprimento 2m , e uma cerca em arame, 
correspondente aos segmentos BE e FD . A 
medida, em metros, da cerca é igual a ¨ 
a) 200.
b) 100 2. 
c) 98 2. 
d) 198.
04) (UFU) O lado de um triângulo equilátero é igual
à altura de um segundo triângulo equilátero. 
a a
a
h
b b
b
a
Professor Jazz
48
A razão entre a área do primeiro e a do segundo 
triângulo é: 
a) 
3
2
b) 2
c) 
1
2
d) 
3
4
05) (UFU) Se n é um número natural maior ou igual
a dois, qual o número de diagonais de um polígono 
regular de 2n lados que não passam seu centro? 
06) (UFU) Considere um retângulo e dois
segmentos de reta paralelos aos seus lados, de 
forma que estes dividam este retângulo em quatro 
outros retângulos A, B, C e D, como na figuraabaixo. Sabendo - se que os perímetros de A, B e C 
são, respectivamente, 2, 4 e 4 cm, encontre o 
perímetro de D. 
07) (UFU) Na figura abaixo, temos que o
quadrilátero ABCD é um quadrado e o triângulo 
AEF é retângulo isósceles. Se 
1
2
AH AB , 
HE HB e 1AB m , determine a razão entre as 
áreas do triângulo AEF e do retângulo FBCG 
08) (UFU) Sabendo-se que o lado do primeiro
quadrado de uma coleção de quadrados mede 1 
cm, o lado do segundo quadrado mede 2 cm, o do 
terceiro mede 3 cm e, assim, sucessivamente, 
determine o número mínimo de quadrados que a 
coleção deve ter para que a soma dos 
comprimentos de todas as diagonais dos quadrados 
seja maior do que ou igual a 420 2cm . 
Obs: Lembre-se de que cada quadrado tem duas 
diagonais. 
GABARITO 
01) A
02 C 
03) D
04) D
05) 2n(n – 2)
06) 6
07) 
1
2
08) 20 quadrados
Professor Jazz
49
CIRCUNFERÊNCIA 
(RELAÇÕES MÉTRICAS E ÂNGULOS NOTÁVEIS) - (UFU) 
01) (UFU) Um polígono circunscreve um círculo,
conforme figura abaixo. 
Sabendo-se que 4AB cm , 5CD cm , 6DE cm
e 3FA cm , então, BC EF é igual a 
a) 2 cm.
b) 1 cm.
c) 0 cm.
d) 3 cm.
02) (UFU) Considere um polígono regular de n lados,
circunscrito em um círculo de raio 1 cm. O valor de 
n, par que o lado desse polígono tenha medida 2cm, 
é igual a 
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
03) (UFU) Uma escola resolveu construir uma pista
de atletismo em suas dependências. Essa pista 
deverá ser construída a partir de um retângulo de 
lados 4R por 2R com uma semicircunferência em 
cada extremidade, conforme mostra a figura abaixo. 
As raias terão 1 metro de largura. 
Em qual intervalo R (em metros) deverá ser 
escolhido para que o circuito, em negrito na figura, 
tenha 600 metros de comprimento? Observação: 
Utilize π = 3,14 
A) (41,42)
B) (40,41)
C) (42,43)
D) (39,40)
04) (UFU) Os lados AC e BC do triângulo ABC
representado na figura abaixo têm a mesma medida. 
Sabendo-se que esse triângulo está inscrito numa 
circunferência de raio 2 3cme que o ângulo ˆACB
mede 30 , pode-se afirmar que a distância do centro 
da circunferência até o lado AB é igual a 
A) 1,5 cm.
B) 3 cm. 
C) 2 cm.
D) 3 cm
Professor Jazz
50
05) (UFU) Sabendo-se que um polígono regular de
n lados está inscrito num círculo de raio 1 e que o
polígono possui 9 diagonais, encontre a medida do
comprimento de seu lado.
06) (UFU) A representação plana de um grande
muro em uma instalação militar está indicada pelo 
segmento de extremidades A(–100,0) e B(100,0), 
segundo um fixado sistema cartesiano xOy, 
representado pela figura a seguir. 
Uma pista de observação deve ser construída de 
modo que uma sentinela (guarda), situada em 
qualquer ponto S desta pista, consiga ver toda a 
extensão do muro AB sob um ângulo de visão de 
120º. Além disso, um posto de observação, 
localizado no ponto P(0,b), será construído nesta 
pista. 
Sugestão: Observe que, se forem dados dois pontos 
A e B e um o ângulo , o lugar geométrico dos pontos 
a partir dos quais se enxerga o segmento AB sobre 
o mesmo ângulo  é denominado arco capaz do
ângulo  sobre o segmento AB (sendo esse um arco
de círculo).
Considerando as informações apresentadas,
estruture e execute resoluções de maneira a
a) determinar a ordenada b do ponto de observação
P; 
b) encontrar a equação que os pontos da
representação cartesiana desta pista devem 
satisfazer. 
07) (UFU) Considere um triângulo ABC qualquer.
Sobre AB tomamos arbitrariamente um ponto P a 
partir do qual construímos as circunferências C1 e C2 
circunscritas aos triângulos PAC e PCB. Sejam r1 e 
r2 os raios C1 e C2, respectivamente, e  o ângulo 
entre PC e PA. Qual será o valor de  para que ao 
raios r1 e r2 sejam os menores possíveis? 
GABARITO 
01) C
02) D
03) A
04) D
05) 6
06) a) 
b) 
07)  = 90º
3
3100
b 
3
000 40
3
3200
3
3100
y)0x(
22
2 
















Professor Jazz
51
Área de Figuras Planas 
(UFU) 
01) (UFU) No triângulo ABC abaixo, o segmento DE
é paralelo ao segmento BC. Sabe-se que BC mede 
4 cm, AB AC e que a medida do ângulo ˆABC é
igual a 30º. Nestas condições, a distância (em cm) 
do segmento DE ao vértice A, para que o triângulo 
ADE e o trapézio DBCE tenham a mesma área, é 
igual a: 
a) 6
b) 
3
2
c) 
6
3
d) 3
02) (UFU) Na figura abaixo, o segmento BQ é a
altura do triângulo ABC relativa ao lado AC , x é a 
medida do segmento AQ e y é a medida do 
segmento QC . 
Sabendo-se que a área do triângulo PAB é igual a 
2/3 da área do triângulo PBC, qual é o valor da 
razão x/y? 
a) 1/3
b) 1/9
c) 2/3
d) 4/9
03) (UFU) Dois irmãos herdaram um terreno que,
conforme consta no registro de imóvel, pode ser 
representado pelo triângulo retângulo ABC da figura 
a seguir. 
Os irmãos pretendem murar esse terreno e, ao 
mesmo tempo, dividi-lo por um muro, representado 
pelo segmento AD, em dois terrenos triangulares de 
mesma área. O preço de construção do metro 
quadrado de muro foi orçado em R$90,00, e em 
toda extensão o muro terá 3 m de altura. 
A parte inteira do custo da construção do muro, em 
milhares de reais, é 
a) 25.
b) 23.
c) 24.
d) 26.
Professor Jazz
52
04) (UFU) Em relação a um sistema de
coordenadas xOy (x e y em metros), o triângulo 
PQR tem ângulo reto no vértice R = (3,5), base PQ 
paralela ao eixo x e está inscrito no círculo de 
centro C = (1, 1). A área desse triângulo, em metros 
quadrados, é igual a 
a) 40.
b) 8 20. .
c) 4 20. .
d) 80.
05) (UFU) O conceito de desenvolvimento
sustentável prevê a adoção de ações e práticas que 
auxiliem a sobrevivência do planeta Terra para 
futuras gerações. É de fundamental importância a 
adoção de projetos que estimulem e insiram 
crianças nessa batalha em defesa do meio 
ambiente. Um exemplo de ação educacional 
motivadora e direcionada a esse fim é a inserção de 
atividades com dobraduras, reproduzindo 
elementos da natureza. Suponha que, no início de 
tal atividade, tenha-se uma folha de cartolina 
cortada na forma de um triângulo equilátero ABC, 
com lado x cm. A cartolina é dobrada de modo que 
C coincida com o ponto médio M de AB , onde AB
e DE são paralelos. Sabendo que o perímetro do 
trapézio ABED é igual a 10 cm, então a área (em 
cm2) do triângulo DEM é igual a 
a) 3
b) 3 3 
c) 2 3 
d) 4 3 
06) (UFU) No terreno ABC da figura abaixo,
pretende-se construir um escritório na área 
hachurada. 
Sendo 40BC m ; 60AC m e 20MN m então 
a área livre que poderá ser usada como 
estacionamento tem área igual a 
a) 600 m2
b) 150 m2
c) 400 m2
d) 450 m2
07) (UFU) Na figura abaixo, a área do triângulo
ADE corresponde a 20% da área do quadrado 
ABCD . 
Para que a área do triângulo EBC seja igual a 
30cm2, o lado do quadrado ABCD deve ser igual a 
a) 10cm
b) 10 2cm . 
c) 5 3cm . 
d) 5cm
Professor Jazz
53
08) (UFU) Em um retângulo ABCD em que AB =
5cm e BC= 3cm, a diagonal AC é dividida em três 
segmentos de mesmo comprimento por pontos E e 
F. A área do triângulo BEF é igual a
a) 
34
²
2
cm
b) 
34
²
3
cm
c) 
5
²
2
cm
d) 
5
²
3
cm
09) (UFU) Traça-se uma circunferência C1, de
centro O1 e raio r. A seguir, traça-se uma segunda 
circunferência C2, passando por O1 e com raio igual 
a 2r, obtendo-se os pontos A e B, interseções de C1 
e C2. Sendo O2 o centro da circunferência C2, a 
área do quadrilátero O1AO2B é: 
a) 23r 
b) 215
4
r
c) 23
2
r
d) 215
2
r
10) (UFU) Para realizar a reforma de um
restaurante, uma das paredes será revestida com 
peças de cerâmica quadradas, formando padrões 
retangulares compostos por quatro dessas peças. 
Cada um desses padrões é formado por uma peça 
grande de cor cinza agrupada, na parte superior, a 
três peças pequenas de lados iguais, alternando-se 
as cores preta e cinza, conforme ilustra a imagem a 
seguir. 
Os padrões serão colocados na parede, da 
esquerda para a direita, iniciando-se pelo padrão 
formado por duas peças pretas. 
Sabendo-seque nove desses padrões foram 
aderidos à parede, apenas na direção horizontal, 
um ao lado do outro, cobrindo uma área total de 
2700 cm2, logo a área total coberta pelas peças 
pretas é, em cm2, igual a 
a) 375.
b) 350.
c) 325.
d) 225.
11) (UFU) Uma indústria de embalagens fabrica,
em sua linha de produção, discos de papelão 
circulares conforme indicado na figura abaixo. Os 
discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o 
desgaste indireto produzido na natureza pelo 
desperdício de papel, a indústria estima que a área 
do papelão não aproveitado, em cada folha 
utilizada, é de (100 - 25)cm2. 
Com base nas informações acima, é correto afirmar 
que o valor de L é: 
a) primo
Professor Jazz
54
b) divisível por 3
c) ímpar
d) divisível por 5
12) (UFU) Na figura abaixo, O é o centro da
circunferência de raio 1 cm. 
Sabendo-se que ABCD é um quadrado e que 
º60 , a área da região sombreada é igual a 
a)   22 2 3 cm  
b)   21 3 cm  
c)   21 3 cm  
d)   22 2 3 cm  
13) (UFU) Dado o triângulo ABC, retângulo em A ,
onde 13BC m e 12AC m , considere M, o ponto 
do segmento BC tal que ,AM CM e N o ponto 
do segmento AC tal que MN é perpendicular a 
AC . Determine a área do trapézio ABMN. 
a) 15,5 m2.
b) 17,5m2.
c) 18,5m2.
d) 22,5m2.
14) (UFU) No retângulo ABCD da figura abaixo tem-
se DM CN , 10AB cm e 5DA cm . A área do 
quadrilátero MQNP é: 
M
D
A Q B
N
CP
a) 25 cm2
b) 30 cm2
c) 35 cm2
d) 50 cm2
15) (UFU) Uma empresa que presta serviços de
telefonia rural possui duas torres T1 e T2, com 
específicas áreas de cobertura, correspondendo a 
círculos C1 e C2 que se tangenciam, conforme 
ilustra a Figura 1. 
(Figuras ilustrativas e sem escalas) 
Essas torres serão desativadas e uma nova torre 
será instalada de forma que sua área de cobertura 
corresponda ao círculo C, tangenciando C1 e C2, 
conforme Figura 2. 
Professor Jazz
55
Se x2 + y2 – 6x = 0 é a equação cartesiana 
descrevendo C1 e a medida da área (sombreada) 
da ampliação da cobertura é 30 km2, então, o valor 
do raio, em km, do círculo C2 é um número 
a) par
b) múltiplo de 3
c) primo
d) divisível por 7
16) (UFU) O número áureo aparece com frequência
em proporções ligadas a fenômenos da natureza e 
em magníficos projetos arquitetônicos. Neste 
contexto, alguns objetos matemáticos estão 
associados à elaboração estrutural de tais projetos. 
Este é o caso do retângulo áureo, cuja razão entre 
o maior e o menor lado é o número áureo. Uma
maneira simples de construir um retângulo áureo é 
dada pelo seguinte roteiro: 
1º Construa um retângulo ABCD de lados medindo 
1 metro e um segmento de reta ligando o ponto 
médio O do lado AD ao ponto médio do lado BC, 
oposto ao lado AD . 
2º Considere a reta r contendo o segmento AD . 
Com centro em O e raio OC , trace um arco de 
circunferência do vértice C até intersectar a reta r 
no ponto F. 
3º Prolongue BC e trace a perpendicular à r por F, 
obtendo o ponto E. O retângulo ABEF é áureo. 
No retângulo áureo ABEF, se o ângulo  é dado 
em radiano, então, dentre as expressões que 
seguem, aquela que corresponde ao valor da área 
sombreada, em m2, é 
a) 
5 2
8
 
b) 
8 5
8

c) 
3
4

d) 
2 5 1
4
 
17) (UFU) Sabendo-se que, na figura abaixo,
1CD cm e 3 ,BD cm , determine: 
a) os ângulos  e  .
b) a área do triângulo ABC.
Professor Jazz
56
18) (UFU) Qual é a área máxima de um triângulo
cujos vértices são o centro e dois pontos de uma 
circunferência de raio r? 
19) (UFU) A figura (ilustrativa e sem escalas) que
segue corresponde à vista superior do trecho de 
uma praça. Nela se destacam uma região de 
circulação de pedestres e uma região sombreada, a 
ser gramada, composta por três partes e limitada 
por segmentos de reta e um setor circular de raio r, 
conforme indicado. 
Sabe-se que ABEG é um quadrado de lado L m, 
com L > 7, EF = 13m, DE = 5,2m, AF = 17m, 
CD = 3m, CD é paralelo a AF , a área do setor 
circular é igual à metade da área de ABEG e D, E e 
F são colineares. 
Nessas condições, elabore e execute um plano de 
resolução de maneira a determinar: 
a) O valor de L (em metros).
b) A área de toda a região sombreada (em m2).
20) (UFU) As circunferências da figura abaixo são
concêntricas e tem raios 1cm e 2cm. Determine a 
área da região hachurada. 
GABARITO 
01) C
02) C
03) A
04) C
05) A
06) D
07) C
08) C
09) D
10) B
11) D
12) A
13) D
14) A
15) C
16) A
17) a) 30   
b) 3S 
18) 
2
2máx
r
S 
19) a) L = 12 metros
b) 138 m2.
20) 22. 1 3
2hS cm
    
 
Professor Jazz
57
Poliedros e Prismas 
(UFU) 
01) (UFU) Considere uma cruz formada por 6 cubos
idênticos e justapostos, como na figura abaixo. 
Sabendo-se que a área total da cruz é de 416cm2, 
pode-se afirmar que o volume de cada cubo é igual 
a 
a) 16cm3
b) 64cm3
c) 69cm3
d) 26cm3
02) (UFU) A área de uma face de cubo C1 é quatro
vezes a área de uma face de um cubo C2. Assinale 
a alternativa correta. 
a) O volume de C1 é oito vezes o volume de C2.
b) O volume de C1 é quatro vezes o volume de C2.
c) O volume de C2 é a metade do volume de C1.
d) O comprimento da aresta de C2 é um oitavo do
comprimento da aresta de C1. 
03) (UFU) Um suco de frutas, cujo volume é 150
cm3, quando congelado aumenta de volume em 
5%. Deseja-se acondicionar o suco congelado num 
recipiente em forma de paralelepípedo, cujas 
arestas da base medem 5cm e 3cm. Admitindo-se 
que as dimensões do recipiente não sofram 
alteração com a variação da temperatura, a altura 
mínima do recipiente é: 
a) 15,0 cm
b) 10,0 cm
c) 10,5 cm
d) 12,5 cm
04) (UFU) Na figura abaixo, representando um cubo
H, destaca-se o quadrilátero sombreado ABCD. 
Sabendo-se que o volume de H é igual a 8 cm3, 
então o perímetro de ABCD é igual a 
a) ( )8 1 2 cm+ . 
b) ( )1 2 cm+ . 
c) ( )2 1 2 cm+ . 
d) ( )4 1 2 cm+ . 
05) (UFU) No cubo ABCDEFGH considere o ponto
P na aresta AE satisfazendo AP 3PE= . 
Sabendo que PG mede 33 cm , calcule o volume 
do cubo. 
Professor Jazz
58
06) (UFU) Uma indústria produz e comercializa um
recipiente, sem tampa, no formato de um prisma 
reto de altura 8 m, cuja base é um hexágono 
regular de lado 2 m. O custo de produção de cada 
m2 desse recipiente é de R$ 2,00. 
a) Sabendo-se que a indústria agrega um lucro de
15% na venda de cada unidade, qual é o valor de 
venda de cada recipiente? 
b) Caso a indústria venha a produzir outro
recipiente, este no formato de um cubo sem tampa, 
qual deve ser a medida da aresta do cubo para que 
o custo final de produção de cada unidade seja o
mesmo do recipiente anterior? 
c) Deseja-se armazenar nesses recipientes o maior
volume possível de um líquido. Qual dos recipientes 
tem capacidade para armazenar o maior volume 
desse líquido? 
Para simplificar os cálculos, utilize as aproximações 
3 1,5 e 21 4,5= =
GABARITO
01) B
02) A
03) C
04) D
05) a3 = 64 cm3
06) a) R$ 241,50
b) 4,5 m
c) o cubo
Professor Jazz
59
Cilindros 
(UFU) 
01) (Ufu) Um recipiente, no formato de um cilindro
circular reto de raio de base r cm, possui um líquido 
solvente em seu interior. A altura h desse solvente 
presente no recipiente é igual a 
16
cm,
3
 conforme 
ilustra a Figura 1. 
Quando uma peça maciça, no formato de uma 
esfera de raio igual a 3 cm, é mergulhada nesse 
recipiente até encostar no fundo, observa-se que o 
solvente cobre exatamente a esfera, conforme 
ilustra a Figura 2. 
Segundo as condições apresentadas, o raio r, em 
cm, é igual a 
a) 4 3. 
b) 2 7. 
c) 5 2. 
d) 3 6. 
02) (UFU) A densidade (ou densidade volumétrica)
de um material mede a quantidade de matéria 
(massa) que está presente em uma unidade de 
volume desse material. Embora todo material seja 
um objeto espacial, é comum considerarmos sendo 
de “natureza linear”. Por exemplo, um fio de cobre 
tem natureza linear e consideramossua densidade 
linear (razão de sua massa pelo seu comprimento). 
O vergalhão CA 60 são barras de aço muito 
resistentes, utilizadas na construção civil e 
comercializadas em barras padrão de 12 metros. 
Admitindo que essas barras sejam cilíndricas, seus 
diâmetros (bitolas) variam de 4,2 a 9,5 mm. 
De acordo com as especificações da norma 
NBR 7480, a barra da bitola de 6,0 mm tem 
densidade linear de 0,222 kg / m (quilograma por 
metro). 
Com base nas informações apresentadas, a 
densidade, em 3kg / m , de uma barra de bitola 
6 mm é igual a 
a) 
222
36π
b) 
222
9π
c) 
222000
9π
d) 
222000
36π
03) (UFU) Para proteger seus clientes em dias de
chuva, a proprietária de uma loja planeja construir 
uma cobertura na entrada, utilizando telhas de 
fibrocimento. Cada telha tem formato de meio 
cilindro reto, com diâmetro da base medindo 60 
centímetros e comprimento medindo 1,5 metros, 
como ilustra a imagem a seguir. 
Professor Jazz
60
Imagem ilustrativa e sem escala. 
Após construída essa cobertura, a proprietária 
pretende pintar apenas a parte superior das telhas 
na cor branca. 
Sabendo-se que serão utilizadas exatamente 
quatro dessas telhas, a área que será necessário 
pintar é, em metros quadrados, igual a 
a) 8,0.
b) 10,8.
c) 21,6.
d) 5,4.
Considere 3,0 
04) (UFU) Durante uma feira de exposição de
animais, um tratador de cavalos é encarregado de 
levar água a alguns animais em uma baia. É 
colocado um tanque vazio na baia na forma de um 
paralelepípedo retangular com a=80 cm, b=2 m e 
c=50 cm, conforme ilustra a figura. O tratador 
transporta água de um reservatório para o tanque, 
em um balde de formato cilíndrico com base de 40 
cm de diâmetro e 50 cm de altura. Estima-se que a 
cada vez que vai ao reservatório, ele enche o balde 
e, no caminho, derrame 5% de seu conteúdo. Para 
que o nível de água no tanque atinja a metade de 
sua capacidade, o número mínimo de vezes que o 
tratador deverá buscar água no reservatório é igual 
a 
(Utilize  = 3,1). 
a) 6
b) 5
c) 7
d) 8
05) (UFU) Um canal de televisão pretende instalar o
serviço de TV digital em Uberlândia e, para isso, 
será necessário a construção de uma nova antena 
de transmissão. A antena deve ser composta por 
uma base cúbica, por um poste cilíndrico, ambos 
maciços e feitos de concreto, por uma haste de 
sustentação e por uma esfera maciça feita de uma 
liga metálica (conforme a ilustração abaixo). 
Sejam D, d e R, respectivamente, as medidas (em 
metros) da diagonal da base cúbica, da diagonal da 
face da base cúbica e do raio da esfera metálica. 
Sabe-se que: 
A) O valor de D 2 excede em 16 m2 o valor de d 2.
B) O diâmetro da base do poste cilíndrico é a
metade da aresta da base cúbica. 
C) O volume do poste cilíndrico é 18 m3.
D) 1 m3 da liga metálica corresponde a 300 kg
(kilogramas). 
Com base nestas informações, responda as 
seguintes perguntas: 
Professor Jazz
61
a) Deseja-se pintar o poste cilíndrico de uma cor
diferente da base cúbica. Considerando que a 
região de contato entre a haste e a parte superior 
do poste tenha área desprezível, qual é o valor da 
área do poste a ser pintada? 
b) Se a haste da antena suporta um peso máximo
de 50 kg, determine o maior valor possível para R, 
de forma que o peso da esfera de raio igual a este 
valor não exceda o peso máximo suportado pela 
haste. 
06) (UFU) Um “caminhão pipa” transporta álcool em
um tanque de formato cilíndrico com 2 metros de 
diâmetro e 12 metros de comprimento. Sabendo-se 
que a altura do nível do álcool é de 1,5 metros, 
conforme esboçado na figura abaixo, determine o 
volume, em litros, do álcool existente no tanque. 
07) (UFU) Determine o volume do cilindro se
ABCDEFGH é um cubo de aresta cm3 e AP = 
2cm. 
D
E H
G
BA
C
F
P
08) (UFU) Objetivando-se combater o desperdício
de água, um complexo hospitalar investiu 
R$77.000,00 na construção de um reservatório 
para armazenamento de água de reuso. Ele foi feito 
a partir do nível do chão, no formato de um cilindro 
circular reto, com raio da base medindo r metros e 
profundidade de p metros, sendo projetado para ter 
uma capacidade total de 248.000 litros . O valor 
gasto seguiu o custo da construção planejado, 
estimado no valor inicial de R$1.000,00 para 
perfuração e para serviço do primeiro metro linear 
da obra. A cada novo metro de profundidade 
integralizado, considerando-se o gasto efetivado no 
metro imediatamente anterior perfurado até a 
integralização dos p metros de profundidade, foi 
acrescido, sucessivamente, ao custo anterior, um 
valor de R$300,00 . Com base nessas informações, 
resolva os itens abaixo, justificando suas respostas. 
Sugestão: Utilize 3,1  
A) Determine o valor de p , em metros.
B) Determine o valor de r , em metros
09) (UFU) O rendimento teórico de uma tinta é a
quantidade necessária para pintar um metro 
quadrado de área e serve apenas para determinar o 
custo por metro quadrado da tinta. O rendimento 
real de uma tinta é calculado no final do trabalho 
executado que leva em conta o número de demãos 
(números de camadas de tintas necessárias para 
obter o resultado esperado) e as perdas 
decorrentes da preparação e do método de 
aplicação. Admita que as perdas usando os 
diferentes métodos de pintura são estimadas em: 
pincel 10%, rolo 20% e pistola pneumática 25%. 
Professor Jazz
62
Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque 
de combustível na forma de um cilindro circular de 
10 m de altura e raio da base igual a 2 m. Sabe-se 
que a tinta a ser usada tem rendimento teórico de 
20 m2 por litro e que são necessárias duas demãos. 
Determine a quantidade, em litros, de tintas 
necessárias para pintar esse tanque utilizando a 
pistola pneumática. 
Dado: Use  = 3,14. 
10) (UFU) Ao assistir a uma reportagem na TV
sobre o impacto do crescimento demográfico nos 
recursos hídricos, o Sr. José decidiu adotar 
medidas que auxiliam na preservação de recursos 
naturais. Ele construiu um reservatório para 
captação de água da chuva e também instalou um 
aquecedor solar em sua residência. O sistema de 
aquecimento solar é composto de coletores solares 
(placas) e um reservatório térmico chamado boiler, 
o qual tem o formato de um cilindro circular reto,
como mostra a figura abaixo. 
Por sua vez, foi escolhido e construído um 
reservatório para a captação de água da chuva na 
forma de um prisma reto cuja base é um quadrado. 
Sabe-se que: 
1 - o lado da base do prisma (que corresponde ao 
reservatório) mede 2 metros e o raio da base do 
cilindro (que corresponde ao boiler) mede 1/2 
metro; 
2 - a área lateral do prisma (reservatório) é igual ao 
dobro da área lateral do cilindro (boiler). 
A partir das considerações acima, redija um texto 
que relacione o volume do reservatório e o volume 
do boiler. Utilizando-o estabeleça o valor da razão 
(volume do reservatório) / (volume do boiler). 
GABARITO
01) D
02) C
03) D
04) C
05) a) A = (36 + )m2
b) R  3
8
1

m 
06) álcoolV 3000 3 8000 litros   
07) 33
V cm
6
 
08) a) 20m
b) 2m
09) 20,096 litros
10) Para a resolução, adotaremos as seguintes
notações: VB = volume do Boiler e VR = volume do 
reservatório. Assim, 
Professor Jazz
63
2
B
B B
2
R R R
R R R
B B
B
.h1
V . .h
2 4
V L .h 4.R
V 4.h 16h
V .h.h
4
π
π
π π
   
 
 
 
Calculando as áreas laterais 
B B B B
R R. R R
A 2 .r .h .h
A 4.L h 8.h
π π 
 
Fazendo AR = 2.AB, temos 8.h.R = 2π .hB 
R
B
R
B
h
h 4
V 16
Logo, . 4
B 4
π
π
π

 
Professor Jazz
64
Pirâmide 
(UFU) 
01) (UFU) Um designer de jogos virtuais está
simulando alguns deslocamentos associados com 
uma pirâmide quadrangular regular, em que o lado 
do quadrado da base mede 40 cm. 
Ele simula a trajetória de um lagarto pelas faces da 
pirâmide. Inicialmente o lagarto desloca-se de A 
até E e, posteriormente, de E até F, em que F éo 
ponto médio de CD. Cada um desses dois trechos 
da trajetória ocorre em linha reta. 
A projeção perpendicular dessa trajetória em 
ABCD, presente no plano da base da pirâmide, 
descreve uma curva R, a qual é a união de dois 
segmentos. 
Nessas condições, o comprimento de R, em cm, é 
igual a 
a) 20 2
b) 40 2
c) 40(1 2) 
d) 20(1 2)
02) (UFU) Considere um cubo cuja aresta tem
comprimento igual 1 cm. Sejam A, B, C, D os 
centros de suas faces laterais e E, o centro de sua 
base, determine o volume da pirâmide de vértice E, 
cuja base é o quadrilátero ABCD. 
Obs. Considere que o centro de uma face é o ponto 
de intersecção determinado pelas diagonais dessa 
face. 
a) 
2
3
cm3 
b) 
1
12
cm3 
c) 
1
3
cm3 
d) 
3
6
cm3 
03) (UFU) Sejam ABCD a base de um cubo de
aresta a e X um ponto da aresta AE. Qual deve ser 
o comprimento do segmento AX para que o volume
da pirâmide de vértice X e base ABCD seja 1/9 do 
volume do cubo? 
F
E
G
H
a
C
a
DaA
X
B
a) 
a
3
b) 
a
6
c) 
a
9
d) 
a
2
Professor Jazz
65
04) (UFU) Na figura a seguir, temos um cubo
ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, 
L, M e N são pontos médios das arestas a que 
pertencem. 
Determine o volume da pirâmide de base hexagonal 
IJKLMN e vértice H. 
GABARITO
01) D
02) B
03) A
04) 81 cm3
Professor Jazz
66
Cone 
(UFU) 
01) (UFU) Um recipiente cônico utilizado em
experiências de química deve ter duas marcas 
horizontais circulares, uma situada a 1 centímetro 
do vértice do cone, marcando um certo volume v, e 
outra marcando o dobro deste volume, situada a H 
centímetros do vértice, conforme figura. 
Nestas condições, a distância H, em centímetros, é 
igual a: 
a) 3 2
b) 3
c) 4 3
d) 3 2 
02) (UFU) Os ingaricós são indígenas que vivem no
extremo norte do Brasil. Admita que o cone da 
figura II representa, na escala 1:5, a cobertura de 
uma moradia ingaricó (figura I), feita de palha. 
Usando informações contidas no texto e na figura, a 
área, em metros quadrados, da cobertura de uma 
moradia ingaricó é igual a 
a) 5 2
b) 25 2
c) 225 2
d) 25 2
03) (UFU) Um buffet, especializado em festas de
crianças, trabalha usualmente com guloseimas 
embaladas em cones circulares de altura igual a 10 
cm e raio da base de 5 cm. Para atender uma 
encomenda especial, o buffet necessita comprar 
novas embalagens de cones de guloseimas, com o 
dobro do volume usual. O fornecedor desse 
material possui embalagens com as seguintes 
medidas: 
Sabe-se que o custo de uma embalagem é 
determinado pela quantidade de papel gasto com a 
lateral do cone, e o buffet pretende minimizar esse 
custo. 
Supondo que a compra das embalagens tenha 
atendido os quesitos de volume e custo, qual 
embalagem o buffet adquiriu? 
a) Embalagem I.
b) Embalagem III.
c) Embalagem IV.
d) Embalagem II.
Professor Jazz
67
04) (UFU) Considere um balde para colocação de
gelo no formato de um tronco de cone circular reto 
apresentando as medidas indicadas na figura a 
seguir. 
Considerando que esse balde esteja com 25% de 
sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) 
e, consequentemente, com um volume de água 
igual a 0,097 litros, qual é o valor (em cm) do raio 
da base maior R? 
a) 8,5
b) 9
c) 8
d)7,5
05) (UFU) Um cone reto está inscrito num cubo de
lado  , de modo que a base do cone esteja contida
numa face do cubo, e uma esfera de raio R está 
inscrita neste cone, como ilustra a figura abaixo. 
A razão entre o raio R e o lado  é igual a
a) 
5 1
4

b) 
5 1
4

c)  5 1 
d)  5 1 
06) (UFU) Para uma certa receita de floral, a
proporção de essência que deve ser diluída em 
água é de 1ml de essência para cada 48 ml de 
água. O recipiente utilizado para a preparação da 
mistura tem formato de um cone circular reto, cujo 
raio mede 3 cm e a capacidade total é de 81ml. O 
conta-gotas, utilizado para a essência, possui uma 
haste de borracha e um tubo de vidro (que é 
ocupado pelo líquido) com formato de um cilindro 
circular reto e capacidade para 2 ml. Suponha-se 
que, na preparação de uma mistura, a altura do 
volume de água no recipiente é de 18 cm.π 
Com base nessas informações, resolva os itens 
abaixo, justificando suas respostas. 
a) Calcule o volume de água no recipiente (use que
31ml 1cm ). 
b) Determine a fração da altura do tubo de vidro do
conta-gotas (na posição vertical) que deve ser 
preenchida com essência para a preparação dessa 
mistura. 
Professor Jazz
68
GABARITO
01) A
02) B
03) D
04) C
05) A
06) a) Se h é a medida da altura do recipiente,
então 
21 27
3 h 81 h cm.
3
π
π
      
Seja r o raio da base do cone formado pelo volume 
de água. Logo, da semelhança entre os dois cones, 
temos 
18
r
r 2cm.
273
π
π
   
Em consequência o volume de água no recipiente é 
dado por 
21 18
2 24mL.
3
π
π
    
b) Se para cada 1mL de essência devem ser
misturados 48mL de água, então, para cada 24mL
de água será necessário 24 1
mL
48 2
 de essência. 
Ademais, sabendo que o volume de líquido no 
cilindro é proporcional à altura, tem-se que a 
resposta é 
1
12 .
2 4

Professor Jazz
69
Esfera 
(UFU)
01) (UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um
plano  e uma esfera S de raio 10 cm é uma
circunferência de raio 6 cm, então, a distância do
centro da esfera S até o plano  é igual a
a) 4 cm.
b) 5 cm.
c) 7 cm.
d) 8 cm.
02) (UFU) Uma esfera maciça de ferro de raio 10
cm será fundida e todo o material derretido será 
usado na confecção de um cilindro circular e de 
um cone circular, ambos maciços com raio da 
base r cm e altura também r cm. Não havendo 
perda de material durante o processo, r será igual 
a 
a) 4 cm.
b) 8 cm.
c) 5 cm.
d) 10 cm.
03) (UFU) Atualmente, ocorre um crescimento
mundial no uso de gás natural. Segundo técnicos 
da área, entre os tanques utilizados para o 
armazenamento de gás, o de formato esférico é o 
mais recomendado (ver figura abaixo). Como 
qualquer tanque, esse também necessita ser 
inspecionado periodicamente para a prevenção de 
acidentes. Em geral, os tanques de 
armazenamento são pintados externamente com 
tinta primária que inibe a corrosão. Sabe-se que 1 
litro de tinta rende 6 m2. Se cada tanque de uma 
refinaria for considerado como uma esfera de raio 
2 m (desprezando as hastes de suporte vistas na 
figura), é correto afirmar que a quantidade máxima 
de tanques que podem ser pintados 
completamente, utilizandose 200 litros de tinta, 
está entre 
Sugestão: Utilize a aproximação  = 3,1. 
a) 18 e 21
b) 13 e 17
c) 22 e 26
d) 27 e 30
04) (UFU) Uma agência de viagens decidiu
presentear cada pessoa que comprou uma 
passagem, no mês de março, para assistir aos 
jogos da Copa do Mundo de 2010. O brinde 
oferecido consistia de uma minibola de futebol, 
pintada com as cores da bandeira da África do Sul 
e embalada em uma caixa de presente. Assuma 
que a caixa (com tampa) tenha o formato de um 
cubo, a minibola tenha o formato de uma esfera e 
que esteja perfeitamente inscrita na caixa. 
Sabe-se que: 
Professor Jazz
70
1. A agência vendeu 50 passagens em março,
destinadas a pessoas que fossem assistir aos 
jogos; 
2. A fábrica que produziu a minibola e a caixa
estimou seus custos na produção de cada 
unidade. Desta forma, cobrou de cada caixa o 
valor equivalente a R$ 0,01 por cm2 de sua área e, 
de cada minibola, o valor equivalente a R$ 0,02 
por cm2 de sua área. 
Se a diagonal da caixa mede 300 cm, utilizando a 
aproximação  = 3,1, pode-se afirmar que o gasto 
aproximado da agência com todos os brindes 
ofertados em março foi de: 
a) R$ 310,00
b) R$ 610,00
c) R$ 720,00
d) R$ 915,0
05) (UFU) Dispõe-se de um cilindro maciço
circular reto, feito de alumínio, cujo raio da base 
mede 4 cm e a altura 10 cm. Esse cilindro será 
derretido e com o material fundido serão 
fabricadas esferas de aço de raio 2 cm. 
Supondo que nesse processonão ocorra perda de 
material, então o número de esferas a ser 
fabricadas, a partir do cilindro dado, é igual a 
a) 13
b) 15
c) 14
d) 16
06) (UFU) Bóias de sinalização marítima são
construídas de acordo com a figura abaixo, em 
que um cone de raio da base e altura r é 
sobreposto a um hemisfério de raio r. 
Aumentando-se r em 50%, o volume da bóia é 
multiplicado por 
a) 8
b) 
27
8
c) 
9
4
d) 4
07) (UFU) Uma fábrica de sucos estima que
necessita de 27 laranjas de 8cm de diâmetro 
cada, para produzir um litro de suco concentrado. 
Para efeito dessa estimativa, a empresa assume 
que as laranjas são esferas. Contudo, devido às 
entressafras, as únicas laranjas disponíveis no 
mercado apresentam diâmetro de 6cm. Nessas 
condições, o número mínimo de laranjas 
necessárias para a produção de um litro de suco 
concentrado será igual a 
a) 48
b) 54
c) 64
d) 70
08) (UFU) A trufa tradicional de chocolate é um
doce feito com chocolate e recheado com um 
creme. Uma trufa tradicional tem sua parte 
externa (casca de chocolate) na forma da 
superfície de um sólido formado pela junção de 
Professor Jazz
71
uma semiesfera de raio 2 cm com um cilindro 
circular reto de altura 1 cm e raio da base igual a 2 
cm, conforme ilustra o esquema da figura a seguir 
(AB = AC = 2 cm e CD = 1 cm). 
Sabe-se que o chocolate corresponde a 30% do 
volume dessa trufa e que o tamanho do papel 
para embalagem (área) corresponde a 4 vezes a 
área da superfície da trufa. 
Obs.: Utilize  = 3,14 e lembre-se de que a área 
de uma esfera de raio R é 4R2. 
Considerando as informações apresentadas, 
marque, para as afirmativas abaixo, (V) 
Verdadeira, (F) Falsa ou (SO) Sem Opção. 
1. O volume de chocolate contido em uma trufa é
3168
cm
60
 .
2. A quantidade de embalagem usada para
embalar uma trufa é igual a 48  cm2.
3. É possível embalar uma trufa usando um papel
de embalagem na forma de um quadrado de lado 
12 cm. 
4. Se o preço cm3 do de chocolate for R$ 0,05 e o
preço do cm3 do recheio da trufa for R$ 0,01, o 
custo dos ingredientes (chocolate e recheio) de 
uma trufa está entre R$0,64 e R$0,65. 
09) (UFU) Uma alternativa prática de preparar
café de maneira rápida é utilizando uma cafeteira 
italiana, que é composta, geralmente, por três 
recipientes acoplados com funções de armazenar 
a água, o pó do café e o café pronto. Uma 
empresa está produzindo uma cafeteira italiana 
cujo recipiente para a água tem o formato de um 
hemisfério (metade de uma esfera) com 6 cm de 
altura e o recipiente para o café pronto tem 
formato de um cilindro circular reto de altura h cm 
e com base de 8 cm de diâmetro, como ilustra a 
figura abaixo. 
Com base nas informações apresentadas, 
responda aos seguintes itens, registrando as 
justificativas para as respostas apresentadas. 
a) Determine o volume máximo que o recipiente
destinado à água suporta. 
b) Considerando-se que a água, após misturada
com o café, passará a ter um volume 2% maior, 
qual deverá ser a altura mínima do recipiente 
destinado ao café pronto, supondo-se que o 
recipiente de água esteja completamente cheio? 
Obs.: considere 3  . 
Professor Jazz
72
GABARITO
01) D
02) D
03) C
04) B
05) B
06) B
07) C
08) VFFV
09) a) O volume máximo Vmax que o recipiente
destinado à água suporta corresponde à metade 
do volume de uma esfera de raio igual a 6 cm. 
Como o volume de uma esfera de raio r é dado 
por 34
V r
3
 
então o volume máximo que o recipiente 
destinado à água suporta é
3
max
1 1 4
V V 6 432cm³
2 2 3
     
b) Considerando que o volume do recipiente de
água está completamente cheio, o volume da 
mistura da água com o café Vac é dado por 
Vac = 1,02  Vmax = 1,02  432 = 440,64 cm3. 
O recipiente destinado ao café pronto é um 
cilindro cuja base é uma circunferência de 
diâmetro igual a 8 cm e, portanto, raio igual a 4 
cm. Logo a área da base Ab deste cilindro é dada
por 484rA 22
b  cm2 e o seu volume VC = Ab  
h = 48h. 
Logo, a altura mínima deste cilindro deve ser tal 
que o seu volume VC comporte o volume da 
mistura da água com o café Vac, isto é, 
VC = Vac  48h = 440,64  h = 9,18 cm 
Portanto, a altura mínima do recipiente destinada 
ao café pronto é 9,18 cm. 
Professor Jazz
73
 
Estudo do Ponto | GA 
(UFU) 
01) (UFU) O “bocha” é um esporte trazido ao Brasil
pelos imigrantes italianos. Ele consiste no 
lançamento de “bochas” (bolas), a partir de uma 
região delimitada, para situá-las o mais próximo 
possível de um “bolim” (bola pequena) previamente 
lançado. A “cancha”, local onde o jogo é praticado, 
é uma espécie de raia e pode ser interpretada como 
uma porção de um plano, o qual assumiremos estar 
munido de um sistema de coordenadas cartesianas 
xOy. 
Sabe-se que: 
1. O bolim está localizado no ponto A = ( 2, –4 ).
2. Uma bocha já arremessada está localizada no
ponto B = ( –1, 1 ). 
Um jogador deseja arremessar uma nova bocha 
que deverá colidir com a bocha em B, empurrando-
a para próximo do bolim em A. Para facilitar o seu 
arremesso, ele busca posicionar-se na cancha em 
um ponto C, de maneira que A, B e C estejam 
alinhados. Se C = ( h, 2 ), então, de acordo com as 
condições dadas, pode-se afirmar que: 
a) –2,1  h < –1,9
b) –1,9  h < –1,7
c) –1,7  h < –1,5
d) –1,5  h  –1,3
02) (UFU) Seja r a reta determinada pelos pontos
(5,4) e (3,2). Os pontos de r que são equidistantes 
do ponto (3,1) e do eixo das abscissas são: 
a) (6,4) e (2,5)
b) (6,5) e (2,1)
c) (4,3) e (5,4)
d) (6,5) e (2,3)
03) (UFU) Considere a figura abaixo, em que as
retas r e s são tangentes à circunferência de raio 2 
cm. 
C
s
y
t
B
r
x
60º
-2
A
2
A área do triângulo ABC é igual a 
a) 6 cm2
b) 26 3cm 
c) 24 3cm 
d) 23 3cm
04) (UFU) Considere, no plano cartesiano com
origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm 
coordenadas (-1,0), (0,4) e (2,0), respectivamente. 
Se M e N são pontos médios de AB e BC , 
respectivamente, a área do triângulo OMN será 
igual a 
a) 5 .
3
u a
b) 8 .
5
u a
c) 1 .u a
d) 3 .
2
u a
Professor Jazz
74
05) (UFU) Um polígono tem vértices consecutivos
A(0,0), B(5,0), C(5,1), D(3,4), E(3,2) e F(1,1). A sua 
área é: 
a) 9 u.a.
b) 6 u.a.
c) 8,5 u.a.
d) 7,5 u.a.
06) (UFU) Suponha que os pontos A(0,0),
 3, 3 3B e  9, 3 3C representam três torres
de observação ao longo de um anel viário circular, 
representado pelo círculo  centrado no ponto 
P(6,0). 
Uma nova torre será construída nesse anel, 
localizada num ponto D de modo que CD é um 
diâmetro do círculo  . 
Essas torres determinam um quadrilátero ABCD 
inscrito no circulo  e, de cada torre, é possível 
enxergar as outras três torres segundo um ângulo 
de visão (ângulo interno do quadrilátero). 
Elabore e execute um plano de resolução de 
maneira a determinar: 
a) As coordenadas cartesianas do ponto que
representa a torre D. 
b) Os valores, em graus, dos ângulos de visão
ˆDAB , ˆABC , ˆBCD e ˆCDA .
07) (UFU) Os vértices de um polígono 1 2 3 4 5 6PP P P P P
têm coordenadas 1 1 1( , )P x y , 2 2 2( , )P x y , 
3 3 3( , )P x y , 4 4 4( , )P x y , 5 5 5( , )P x y e 
6 6 6( , )P x y . As abscissas e ordenadas destas 
coordenadas satisfazem as seguintes condições: 
I. 1 2 1 2, , y , yx x formam, nessa ordem, uma 
progressão aritmética de razão 2 e cuja soma dos 
termos é igual a 4; 
II. 4 5 4 5, , y , yx x formam, nessa ordem, uma 
progressão geométrica em que o primeiro termo é 
igual a 8 e o último é igual a 1; 
III. Os vértices P3 e P6, em que y3 > 0, são as
representações geométricas no plano cartesiano 
das raízes complexas do polinômio 
2( ) - 4x 20p x x  
Considerando as informações dadas, faça o que se 
pede. 
a) Determine os vértices desse polígono.
b) Represente geometricamente esse polígono no
plano cartesiano e calcule a área da região limitada 
por este polígono. 
08) (UFU) Sejam  8, 8A    e  8, 8B vértices opostos de um losango de área 24. 
Determine as coordenadas dos outros dois vértices. 
GABARITO
01) C
02) B
03) B
04) D
05) C
06) a) Como  9,3 3C e D(xD, yD) são pontos do
círculo  de centro P(0, 6), tais que CD é um 
diâmetro do círculo, então P é ponto médio do 
segmento CD. Logo, 
Professor Jazz
75
9
6
2
Dx 
 , ou seja, xD = 3, 
3 3
0
2
Dy 
 , ou seja, 33yD  . 
Portanto, as coordenadas cartesianas do ponto que 
representa a torre D são 3Dx  e 3 3Dy   . 
b) Observando que a medida do raio do círculo  é
6, temos que os segmentos PA, PB, PC e PD tem 
todos comprimentos iguais a 6. Além disso, 
considerando 
dAB = distância do ponto A ao ponto B, 
dBC = distância do ponto B ao ponto C e 
dAD = distância do ponto A ao ponto D, 
temos 
2 2(3 0) (3 3 0) 6ABd      , 
2 2(9 3) (3 3 3 3) 6BCd      e, 
2 2(0 3) (0 3 3) 6ADd      . 
Assim, os triângulos APD, ABP e BCP são 
equiláteros de lado 6 e, portanto, possuem todos os 
ângulos internos iguais a 60º. Logo, os ângulos 
procurados são 
ˆ ˆ ˆ 60º 60º 120ºDAB DAP PAB     ,
ˆ ˆ ˆ 60º 60º 120ºABC ABP PBC     ,
ˆ 60ºBCD  ,
ˆ 60ºCDA  .
Gab: 
a) P1 = (-2,2), P2 = (0,4)
P4 = (8,2), P6 = (4,1) 
P3 = (2,4), P6 = (2,–4) 
b)
33 u.a 
Gab: 3 2 3 2,
2 2
P
  
 
 e 3 2 3 2,
2 2
Q
  
 
 
Professor Jazz
76
 
Estudo da Reta | GA 
(UFU) 
01) (UFU) Considere o feixe de retas concorrentes
no ponto P(8, 3). Seja r a reta desse feixe que 
determina junto com os eixos cartesianos um 
triângulo retângulo (ângulo reto na origem) contido 
no quarto quadrante e área igual a 6 unidades de 
área. 
Na equação geral 0cbyax  da reta r, a soma 
dos inteiros cba  é múltiplo de 
a) 7.
b) 13.
c) 11.
d) 5.
02) (UFU) No sistema de coordenadas
cartesianas xOy, descrito na figura a seguir, estão 
representadas as cidades A, B, C e O e as 
estradas, supostas retilíneas, que ligam estas 
cidades, sendo a unidade de medida dos eixos de 
10 Km. 
Usando as informações contidas nesse mapa, 
determine a distância, em Km, entre as cidades C 
e O. 
a) 120
b) 120/3
c) 190/3
d) 190
03) (UFU) Seja r uma reta que intersecta o eixo x
no ponto A e o eixo y no ponto B. Se P(2,3) é o pé 
da altura do triângulo OAB, relativa à origem O, 
então, uma equação geral para a reta r é 
a) 3 2y - 13 0x   .
b) 2 3y - 13 0x   .
c) 2 3y - 5 0x   .
d) 6 9y - 13 0x   .
04) (UFU) Sejam P (a, b) um ponto do plano
cartesiano, cujas coordenadas satisfazem as 
desigualdades 2 2b a  e - b a , e 
 ( )Q c, d o ponto de interseção das retas 
descritas pelas equações 2x - y -2 e 
x y 0  . Se m é o coeficiente angular da reta 
que passa pelos pontos P e Q, então, pode-se 
afirmar que 
a) –2 < m < –1
b) –1 < m < 2
c) m > 2
d) m < –2
05) (UFU) Sejam as retas concorrentes r e s
representadas pelas equações cartesianas 
: 2 4r y x  e : 6s x ky  , em que k é um 
número real. Para que essas retas se intersectem 
em um ponto de coordenadas cartesianas (m, n) 
Professor Jazz
77
com m > 0 e n > 0, os possíveis valores para k são 
tais que 
a) 1 3k  
b) 
1
2
k  
c) 
3
2
k 
d) 
1 3
2 2
k  
06) (UFU) O menor valor real de k para que o
triângulo de vértices A(0,0), B(9,3) e C(–1,k) seja um 
triângulo retângulo é: 
a) 1/3
b) 3
c) 19/3
d) 27
e) 33
07) (UFU) Na construção de modelos 3D, pode-se
fazer uso da varredura translacional ou extrusão 
vertical. Nela, criam-se sólidos extrudados por 
meio do deslocamento de uma curva (poligonal) 
geradora, correspondente à seção transversal do 
sólido, por uma determinada distância ao longo de 
uma diretriz correspondente a um segmento 
ortogonal à curva geradora. A figura abaixo ilustra 
a construção de um sólido extrudado. 
Considere a curva geradora correspondente ao 
triângulo retângulo ABC, representado abaixo no 
sistema cartesiano, e S o sólido extrudado 
vertical, de altura 10 cm, construído a partir de 
ABC. 
Segundo essas informações, o volume de S é 
igual a 
a) 350 cm3.
b) 105 cm3.
c) 145 cm3.
d) 120 cm³
08) (UFU) O uso de dados móveis de um celular
está registrado no gráfico cartesiano abaixo, em 
que o eixo das abscissas representa os dias e o 
eixo das ordenadas registra o total de dados 
utilizados em cada dia em megabytes. 
Os picos deste gráfico ocorrem nos dias 2, 4 e 6, 
com o uso de, respectivamente, 25, 35 e 45 
megabytes de dados móveis. 
Professor Jazz
78
Com base nas informações apresentadas, 
responda aos seguintes itens, registrando as 
justificativas para as respostas apresentadas. 
a) Os pares ordenados (4, 35) e (6, 45)
determinam uma reta r que corresponde ao 
gráfico de uma função afim y = f(x). Encontre a 
expressão para f(x) e verifique se os três pares 
ordenados correspondentes aos picos de uso de 
dados, representados no plano cartesiano acima, 
são colineares. 
b) Admitindo-se que o próximo pico ocorrerá no
oitavo dia e que o ponto P correspondente a este 
dia é colinear aos picos de coordenadas (4, 35) e 
(6, 45), determine a ordenada do ponto P. 
09) (UFU) Se r e s são as retas perpendiculares,
conforme esboçadas abaixo, determine a 
ordenada do ponto P, que é a interseção de r e s. 
10) (UFU) Considere a circunferência S de
equação 2 2 4 2 4x y x y    . Sejam: 
P1 = ponto de S que tem ordenada máxima; 
P2 = ponto de S que tem abscissa mínima; 
P3 = ponto de S que tem abscissa máxima; 
r = reta que passa por P1 e P2; 
s = reta tangente a S no ponto P3. 
Determine a distância de P3 ao ponto em que as 
retas r e s se intersectam. 
GABARITO
01) B
02) C
03) B
04) B
05) D
06) B
07) C
08) a) A equação de uma reta é dada pela fórmula
y – y0 = m(x – x0) 
em que (x0,y0) são as coordenadas de um ponto 
pertencente a reta e m é o coeficiente angular. 
Sendo r a reta que passa pelos pontos (4,35) e 
(6,45), o coeficiente angula de r é igual a 
5
46
3545
m 


 . 
E, assim, a equação da reta r é dada por 
y – 35 = 5(x – 4)  y = f(x) = 5x + 15 
Como f(2) = 52 + 15 = 25 então o ponto (2,25) 
pertence a reta r e, portanto, os pontos (2,25), 
(4,35) e (6,45) são colineares. 
b) Como P, (4,35) e (6,45) são pontos colineares e
a abscissa de P é igual a 8, então o valor de sua 
ordenada é f(8) = 58 + 15 = 55. 
09) 2
10) 6 u.c.
Professor Jazz
79
Estudo da Circunferência 
(UFU)
01) (UFU) Inúmeras pinturas e desenhos em tela
fazem uso de sobreposição de formas circulares, 
conforme ilustra a figura abaixo. 
Disponível em: <http://www.google.com.br>. 
Pinturas Circulares. Robert Delaunay. Acesso em: 1º jul. 2012. 
Para a representação gráfica desses trabalhos 
artísticos, faz-se necessária a determinação de 
elementos geométricos associados. Suponha que, 
relativamente a um sistema de coordenadas 
cartesianas xOy, duas circunferências, presentes 
no desenho, sejam dadas pelas equações 
2 2x y 6y 5 0    e 2 2x y 6x 2y 6.     
Assim sendo, a reta que passa pelos centros 
dessas circunferências pode ser representada pela 
equação 
a) 2x 3y 9. 
b) 2x 3y 9.  
c) x 2y 4. 
d) x 2y 4.  
02) (UFU) Na figura abaixo, uma circunferência que
tangencia os eixos coordenados, tem o centro C 
sobre a reta de equação. O ponto B está na 
interseção da reta com a circunferência e A é o 
ponto de interseção da reta com o eixo das 
ordenadas. 
Com base nessas informações, resolva os itens 
abaixo, justificando suas respostas. 
a) Determine a equação reduzida da circunferência
de centro C. 
b) Determine a distância entre os pontos A e B.
03) (UFU) Considere  uma reta do plano
cartesiano xOy. A reflexão em torno da reta  é a
transformação geométrica R , que associa a cada
ponto P do plano o ponto P' R (P),  tal que  seja
a mediatriz do segmento PP'. Tal transformação 
preserva a distância entre pontos, ou seja, dados os 
pontos A e B se A ' R (A)  e B' R (B)  são suas
respectivas imagens,então AB A 'B '. 
Considere a reta : x y 4  e o círculo
2 2: (x 7) (y 1) 1.λ     
Baseando-se nas informações citadas, elabore e 
execute um plano de resolução de maneira a 
determinar 
a) a interseção da reta perpendicular à reta ,
passando pelo centro de λ com a reta .
Professor Jazz
80
b) a equação cartesiana do círculo ',λ imagem do
círculo λ pela reflexão em torno da reta .
04) (UFU) Suponha que os pontos A(0, 0), B(3, 3 3) 
e C(9, 3 3) representam três torres de observação 
ao longo de um anel viário circular, representado 
pelo círculo λ centrado no ponto P(6, 0). 
Uma nova torre será construída nesse anel, 
localizada num ponto D de modo que CD é um 
diâmetro do círculo .λ 
Essas torres determinam um quadrilátero ABCD 
inscrito no circulo λ e, de cada torre, é possível 
enxergar as outras três torres segundo um ângulo 
de visão (ângulo interno do quadrilátero). 
Elabore e execute um plano de resolução de 
maneira a determinar: 
a) As coordenadas cartesianas do ponto que
representa a torre D. 
b) Os valores, em graus, dos ângulos de visão
  DAB, ABC, BCD e CDA.
05) (UFU) Uma máquina moderna usa um sistema
de coordenadas cartesianas xOy para representar 
a forma e a dimensão (mapear) dos objetos que 
serão cortados, furados etc.. Uma chapa metálica 
delgada triangular é mapeada pelo triângulo de 
vértices A ( 3, 0),  B (1, 4) e C (5, 4)  e será 
feito um furo circular de raio uma unidade de 
comprimento, com centro no centro de massa 
dessa chapa (baricentro do triângulo). Para realizar 
esse procedimento com precisão, a máquina 
calcula a equação cartesiana do círculo. 
Elabore e execute um plano de resolução que 
conduza à determinação do centro de massa e da 
equação desse círculo. 
06) (UFU) No plano cartesiano, considere o círculo
S descrito pela equação cartesiana x2 + y2 = 5 e a 
reta r descrita pela equação cartesiana y = 2x. 
Assim, r intersecta S nos pontos A e B. 
Considerando uma nova reta h, descrita pela 
equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S 
nos pontos A e C. 
a) Determine os pontos A, B e C.
b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e
C. 
07) (UFU) Uma circunferência no plano cartesiano
xOy contém o ponto P = (5, 5 + 1), e tangencia o 
eixo das ordenadas. Sabendo-se também que o 
centro dessa circunferência é o ponto C = (3, b), 
com b < 5, determine uma equação para essa 
circunferência. 
08) (UFU) Numa região plana mapeada num
sistema de coordenadas xOy, em que a unidade de 
medida nos eixos x e y é de 10 km, existem duas 
torres de telefonia T1 e T2. Suas áreas de cobertura 
são dadas, respectivamente, pelos pontos dos 
círculos delimitados pelas circunferências 1 de 
centro (0,0) e 2 de centro (4 3,0) , sendo que as 
torres se localizam em seus centros. Duas cidades 
A e B localizadas na interseção das duas 
circunferências possuem coordenadas (2 3,2) e 
(2 3, 2) , respectivamente. 
Nessas condições, elabore e execute um plano de 
resolução de maneira a determinar: 
a) As distâncias da cidade A às torres T1 e T2.
b) A área, em km2, da região de cobertura comum
das duas torres (interseção dos círculos). 
Professor Jazz
81
09) (UFU) Obtenha as equações das 
circunferências centradas no ponto (2, –1) e 
tangentes à circunferência x2 + 2x + y2 – 6y + 9 = 0. 
10) (UFU) Considere que o segmento de reta que
une os pontos A(1,–2) e B(–2,1) é uma corda de 
duas circunferências de mesmo raio 5 . Determine 
as coordenadas dos centros destas circunferências. 
GABARITO
01) A
02) a) 2 2 2 2 2(x 3) (y 3) 3 (x 3) (y 3) 9.        
b) 
2 26 27
d(A, B) 0 7 2.
5 5
          
   
03) a)  5, 1
b)    2 2
' : x 3 y 3 1   λ
04) a) D(3, 3 3). 
b) Teremos DAB 120  , ABC 120  , BCD 60  ,
CDA 60 
05) 2 2 2 2 2(x 1) (y 0) 1 (x 1) y 1.       
06) a) (1, 2), B(-1,-2), C(-2,-1)
b) 3u.a.
07) (x - 3)2 + (y - 1)2 = 9
08) 6 u. c.
09) a) r=4
b) 21600
800 3km
3

 de área. 
10) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 42 = 16 e (x – 2)2 + (y – 1)2
= 62 = 36 
11) a) as coordenadas dos pontos A, B e C são:
A(1,2), B(–1,–2) e C(–2,–1). 
b) AABC = 3u.a.
12) C1(–1,–1) e C2(0,0)
Professor Jazz
82
 
Trigonometria no Triângulo 
Retângulo 
(UFU) 
01) (UFU) O comandante de um navio fez, pela
primeira vez, uma rota retilínea AC orientado por um 
farol F, localizado numa ilha. Ele pretendia 
determinar as distâncias do farol F à rota AC e do 
ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o 
comandante obteve a medida FAC =30° e, após 
percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se em B, 
ele fez a medição do ângulo FBC, obtendo 60°. 
Observe a figura a seguir que ilustra esta situação. 
De acordo com as informações, as distâncias, em 
milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao 
farol F, obtidas pelo comandante foram, 
respectivamente, 
a) 2 3 e 
3 3
2
. 
b) 2 3 e 4 3 . 
c) 3 3 e 6 3 . 
d) 3 3 e 3 . 
02) (UFU) Um observador em uma planície vê o topo
de uma montanha segundo um ângulo de 15º. Após 
caminhar uma distância d em direção à montanha, 
ele passa a vê-lo segundo um ângulo de 30º. Qual é 
a altura H da montanha? 
d
H
15º 30º
a) 
3
2
d
b) d
c) 2d
d) 
2
d
e) 
2
2
d
03) (UFU) Os lados de um triângulo retângulo estão
em progressão geométrica. O cosseno do maior 
ângulo agudo é: 
a) 3
2
b) 
1
2
c) 3 1
2
 
d) 5 1
2

04) (UFU) Uma academia de ginástica disponibiliza
a seus usuários um banco para que possam 
Professor Jazz
83
desenvolver suas atividades físicas com o auxílio de 
um instrutor habilitado. Esse banco pode ser 
utilizado para diversas atividades e por pessoas com 
diferentes biotipos, uma vez que possui uma parte 
prolongável e uma parte inclinável. 
Na Figura 1, a seguir, o banco foi inclinado em 30º 
em relação à posição horizontal, mas a parte 
prolongável não foi utilizada, mantendo sua 
extensão igual a 𝑑 cm. Na Figura 2, o banco foi 
inclinado um pouco mais até formar um ângulo de 
45º em relação à posição horizontal e, além disso, a 
parte prolongável foi utilizada para ampliar a 
extensão do banco em 𝑥 cm em relação à sua 
extensão inicial de 𝑑 cm. 
Na posição da Figura 1, o encosto desse banco 
atinge a altura de ℎ cm em relação à base horizontal 
do banco; na posição da Figura 2, o encosto desse 
banco atinge a altura de 𝐻 cm em relação a essa 
mesma base horizontal, que é o dobro da altura ℎ. 
Considere 2 1,4
Segundo as informações apresentadas, a razão 
entre o prolongamento 𝑥 e a extensão inicial 𝑑 do 
banco é um número que pertence ao intervalo 
a) 
1
0,
5
 
 
b) 
2 4
,
5 5
 
 
c) 
1 2
,
5 5
 
 
d) 
4 6
,
5 5
 
 
05) (UFU) A foto de uma folha obtida a partir da
câmera de um telefone resulta, muitas vezes, numa 
imagem um pouco distorcida por causa da inclinação 
das mãos. A imagem a seguir representa a foto 
distorcida em forma de um trapézio sobre um 
retângulo de bordas tracejadas com 8 𝑐𝑚 de largura 
por 12 𝑐𝑚 de comprimento, o qual representa as 
dimensões originais e sem deformações desta foto. 
Admita que os lados não paralelos desse trapézio 
formam ângulos, de medida 𝜃, com os lados do 
retângulo que representa a foto original. A área da 
foto distorcida em função de 𝜃 é, em 𝑐𝑚2, igual a 
A) 48 ⋅ (2 − 3 ⋅ tg(𝜃)).
B) 48 ⋅ (2 − 3 ⋅ sen(𝜃)).
C) 96 ⋅ (1 − 2 ⋅ tg(𝜃)).
D) 96 ⋅ (1 − 2 ⋅ sen(𝜃)).
06) (UFU) Considerando que na figura abaixo BC =
2cm, a área do triângulo equilátero ABD é igual a 
Professor Jazz
84
 
a) 23
3
cm
b) 23 3cm
c) 23cm
d) 23
2
cm
07) (UFU) O compasso é um instrumento usado no
desenho artístico e no desenho técnico. Um exemplo 
de compasso especial é o compasso articulável, 
que possui cabeça de fricção para ajuste preciso e 
suave do raio, um braço articulável e outro com barra 
prolongadora do braço, onde fica a ponta seca, 
conforme ilustra a figura abaixo.O esquema abaixo mostra um compasso articulável 
ajustado de modo que o braço articulável AO é 
perpendicular a AB e OP . 
Para essa configuração, a medida, em cm, do raio 
da circunferência traçado com o compasso é 
a) 5 3
b) 8 3
c) 9 3
d) 13 3
08) (UFU) O aero Hockey é um jogo em que duas
pessoas rebatem um disco deslizante sobre uma 
mesa retangular com o objetivo de acertar o gol de 
seu adversário, conforme ilustra a figura abaixo, em 
que AB mede 90 centímetros e BC mede 3 metros. 
Imagem ilustrativa e sem escala. 
Durante uma partida, um dos jogadores lançou o 
disco, partindo do ponto A, que primeiramente 
atingiu o lado BC no ponto P, de modo que o trajeto 
linear AP formou um ângulo de 30º com o lado AB 
da mesa, que, em seguida, rebateu diversas vezes 
nos lados BC e DA da mesa até atingir o lado CD no 
ponto E. Sabe-se que o trajeto linear do disco, ao 
bater no ponto P, forma com o lado BC um ângulo de 
chegada  igual ao ângulo de saída, como ilustra a 
figura, e o processo se repete, alternando-se os 
lados AD e BC até o disco atingir o ponto E. 
Com base nas informações apresentadas, responda 
aos seguintes itens, registrando as justificativas para 
as respostas apresentadas. 
a) Quantas vezes o disco bate em ambos os lados
até atingir o lado CD do jogador adversário? 
A B
D
60
120
30
C
Professor Jazz
85
b) Qual é a distância, em cm, entre os pontos D e E?
Obs.: considere 3 1,7 
GABARITO 
01) C
02) D
03) D
04) B
05) A
06) C
07) D
08) a)
Denotando o ponto P = P1, como o triângulo AP1B é 
retângulo, segue que o ângulo mede 60º. Assim 
1BP
90
)º60(tg  
1BP
90
3   330
3
90
BP  cm. 
Utilizando a aproximação dada 7,13  , então 
517,130BP1  cm. 
Como os ângulos de chegada e saída do disco são 
iguais, traçando-se as alturas relativas aos vértices 
em que o disco toca os lados BC ou AD, obtém-se 
triângulos retângulos congruentes ao triângulo AP1B 
(já que possuem base e altura relativas ao ângulo 
reto de mesma medida), conforme pode ser 
observado na figura. Assim, cada vez que o disco 
rebate em um dos lados BC ou AD, sua distância 
relativa ao lado CD diminui 51 cm. Como BC mede 3 
m (300 cm), o número de vezes que o disco toca um 
dos lados BC ou AD é o maior número natural n tal 
que 51n  300, ou seja, n  5,9. Portanto n = 5. 
b) Seja P5 o último ponto em que o disco rebate no
lado BC antes de atingir o ponto E. Assim 
300CP515 5  , ou seja, cm45255300CP5  . Logo, 
5,767,145345CE
45
CE
3
45
CE
)º60(tg  cm. 
Como 90CEDE  , obtém-se 5,135,7690DE  cm. 
Obs.: Como o valor dado para 3 é aproximado, se 
o candidato, por exemplo, substituir o valor de 3 na 
igualdade 
3
90
BP1  e já fizer a conta ao invés de 
racionalizar, o valor obtido será 9,52
7,1
90
BP1  cm. 
Independentemente disso, a resposta do item A) 
permanece a mesma, mas a resposta de B) será 
outra. Nesse caso obtém-se 5,35CP5  cm e 
4,607,15,3535,35CE  cm e 6,294,6090DE  cm. 
Como diferentes situações desse tipo podem ocorrer 
devido a essa aproximação de 3 , todas soluções 
em que acontecer esse tipo de situação serão 
consideradas da mesma forma que a proposta no 
presente gabarito. 
Professor Jazz
86
 
Trigonometria no Ciclo 
Trigonométrico 
(UFU) 
01) (UFU) Sejam 1a e 2a números reais, 1a  2a ,
as raízes reais da equação ² 6 0x x  e a função 
real de variável real  1 2: ,f a a IR definida por
   .f x sen x , em que  0;a  . Sabe-se que
  0f x  ocorre quando x assume os valores 1a ,
2a e 1 2
2
a a
. Nessas condições, a soma de todos os 
possíveis valores de  é igual a 
a) 15
6

b) 2
c) 
d) 4
3

02) (UFU) Considere as duas afirmações a seguir:
I - A soma das soluções da equação    cossen x x
, com  0,3x  é igual a 9
4
 .
II - Se  e  são ângulos tais que 180 270   
e 90 90     , então      . .cos 0sen tg    .
Com base nestas afirmações, assinale a alternativa 
correta. 
a) I e II estão incorretas
b) Somente I está correta
c) I e II estão corretas
d) Somente II está correta
03) (UFU) A cada valor atribuído ao número real α,
considere a parábola obtida por meio da equação 
cartesiana    ² 2 .cos ²y x x sen    Dessa
forma, pode-se afirmar que, à medida que α varia, os 
vértices das parábolas assim obtidas descrevem um 
arco de parábola de equação 
a) y = − 2x2 − 2
b) y = − 2x2 + 1
c) y = − x2 − 1
d) y = − x2 – 2
04) (UFU) Seja  um ângulo fixado, medido em
radianos, 0
2
  . Sobre as raízes da equação 
   2cos
²
4
x sen x

  pode-se afirmar que 
a) pelo menos uma das raízes é igual a 1.
b) as duas raízes são maiores do que 1.
c) uma raiz é maior do que 1 e a outra é menor do
que 1. 
d) as duas raízes são menores do que 1.
05) (UFU) Determine todos os valores de  para os
quais a função    2 1
cos
8
f x x x   não se
anulará, para quaisquer que sejam os valores de x
real, sabendo que 0
2
  . 
a) 0
4
 
Professor Jazz
87
b) 
4 2
  
c) 
6 4
  
d) 
6 2
  
GABARITO 
01) C
02) D
03) B
04) D
05) B
Professor Jazz
88
Transformações Trigonométricas 
(UFU) 
01) (UFU) Em um determinado sistema mecânico, as
extremidades de uma haste rígida AB ficam 
conectadas, de forma articulada, a um motor e a um 
corpo, conforme ilustra a figura. Quando o motor é 
ligado, a haste imprime ao corpo um movimento 
oscilatório, e a distância horizontal  x t do ponto B
em cada instante em relação a um ponto fixo O é 
dado pela expressão      1 3
. cos
2 2
x t sen t t 
centímetros. Nestas condições, a maior distância, 
em centímetros, será igual a: 
a) 1
2
b) 
3
2
c) 1
d) 
1 3
2

02) (UFU) Na figura abaixo, o ângulo  é tal que
0 90    . 
Então, b
a
é igual a 
a)  2.cos  2cos(α)
b) 2
c) 2.cos
2
 
 
 
d)  2sen 
03) (UFU) A área da região do primeiro quadrante
delimita pelas retas, que são soluções da equação 
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) = 0, com 0  𝑥 + 𝑦  2, é igual a 
a) 2 unidades de área
b) 42 unidades de área
c) 32 unidades de área
d) 82 unidades de área
04) (UFU) O valor de 
2
cos
12 12
sen
              
 é: 
a) 
2 3
2

b) 
2 3
2

c) 2
3
d) 1
2
05) (UFU) Se f e g são funções definidas por
   cosf x x e    3g x sen x , para todo x real,
Professor Jazz
89
então a soma dos números reais  0,x  tais que
   2 2
2. 3 1g x f x        é igual a
a) 3
2

b) 
c) 2
d) 
9
2

06) (UFU) Quantos são os pares de números reais
 ,x y que são soluções do sistema
 
 
0
0
sen x y
sen x y
 

 
satisfazendo as condições 0  x   e 0  y  ? 
a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
07) (UFU) Se os números reais 1x e 2x , tais que
1 20
2
x x

   são soluções da equação 
   2 2
1 1
16
cossenx x
  , então 2 1x x é igual a
a) 
4

b) 
3

c) 
6

d) 
12
 
08) (UFU) Determine cos x , sabendo-se que
   sec cot
32 2
2log 2 2 1 0
x x
g 
   
 
. 
09) (UFU) Se  é um número do intervalo 0,
2
 
  
tal
que   4
2
3
tg   , determine  cos  e  sen 
Sugestão: Inicialmente, calcule cos(2). 
GABARITO 
01) C
02) C
03) A
04) D
05) A
06) D
07) B
08)
1
cos
2
x 
09)   2 5
cos
5
  e   1 5
55
sen   
Professor Jazz
90
Funções Trigonométricas 
(UFU) 
01) (UFU) Considere que f e g são as funções
reais de variável real dadas, respectivamente , por 
   1 2f x sen x  e    1 2cosg x x  . Desse
modo, podemos afirmar que, para  0,2x  os
gráficos de f e g cruzam-se em 
a) 1 ponto
b) 2 pontos
c) 3 pontos
d) nenhum ponto
02) (UFU) Se      cosf x sen x x  , x IR , então
os valores mínimo e máximo que a função   2f x
assume no intervalo 0, são, respectivamente,
a) 1 e 1
b) 1 e 2
c) 0 e 2
d) 0 e 1
03) (UFU) Um engenheiro, ao resolver um problema
do movimentoondulatório (periódico) do sistema 
mola-massa, representado na figura a seguir, 
obteve a função    2. 3 , 0p t sen t t  , em que p
denota a posição (em metros) da massa, em relação 
à posição de equilíbrio, no instante (em segundos) 
0t  . 
Considerando o movimento de subida e descida do 
sistema massa-mola, quantos metros, no total, a 
massa percorreu em 
7
3

segundos, após ter 
iniciado o movimento em 0t  ? 
a) 28.
b) 14.
c) 18.
d) 12
04) (UFU) As imagens abaixo ilustram o projeto de
um escorregador infantil (à esquerda) e sua 
representação sobre o sistema de coordenadas 
cartesianas (à direita), dada pelo gráfico da função
   cosf x a x b   , em que a e b são
constantes reais, com 
2 2
b
 
   . 
Professor Jazz
91
Se as alturas máxima e mínima desse escorregador 
ocorrem nos pontos de coordenadas (  /6, 2) e (7 
/6, 0), respectivamente, então a+b é igual a 
a) 1 –  /6.
b) 2 –  /6.
c) 2 +  /6.
d) 1 +  /6.
05) (UFU) Na equação  21
x
sen sen x
a
   
 
, em 
que a é um número real não nulo e 0 x   o maior 
valor positivo de a para que essa equação admita 
solução é igual a 
a) 
1
4
b) 
1
2
c) 1
d) 2
06) (UFU) Encontre o valor máximo e o valor mínimo
da função      6 6
cosf x x senx  pode assumir. 
Observe: Lembre-se de que 
    23 3 3a b a b a b ab     .
07) (UFU) Seja :f IR IR a função definida por
     22 2. cosf x x sen x    , em que  é um
arco medido em radianos. Determine todos os 
valores de  para os quais a soma dos quadrados 
das raízes de  f x seja igual a 2.
GABARITO 
01) B
02) C
03) A
04) A
05) B
06) O valor máximo é 1 e o valor mínimo é
1
4
. 
07) 2k  
Professor Jazz
92
Análise Combinatória 
(UFU)
01) (UFU) De quantas maneiras três mães e seus
respectivos três filhos podem ocupar uma fila com 
seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto 
de seu filho? 
a) 18
b) 12
c) 36
d) 48
02) (UFU) A maioria dos sistemas informatizados é
protegido por senhas, sendo usual o sistema 
bloquear o acesso quando ocorrem três tentativas 
de acesso, com fornecimento de senha incorreta. 
Pedro esqueceu a senha do computador que usa 
na casa de sua avó, chamada JOAQUINA. Porém, 
lembra-se que a senha é um anagrama do nome de 
sua avó, começando com A. 
Supondo que Pedro faça as suas tentativas, 
fornecendo anagramas distintos que começam com 
A, a probabilidade de Pedro ter acesso ao 
computador com 1, 2 ou 3 tentativas, sem que o 
sistema bloqueie seu acesso, é igual a: 
a) 
1 1 1
7! 7! 7!
 
b) 
1 1 1
7! 7! 1 7! 2
 
 
c) 
1 1 1
7! 6! 5!
 
d) 
1 1 1
7! 7! 7!
 
03) (UFU) Em uma feira de troca de livros, João
levou 3 livros e Maria levou 7 livros, sendo todos os 
10 distintos. Assuma que, em uma troca, João 
recebe de Maria a mesma quantidade de livros que 
entrega, ou seja, um, dois ou três livros. 
Considerando-se apenas o conjunto de livros que 
cada um obterá após a troca, de quantas maneiras 
os dois podem trocar seus livros? 
a) 210
b) 35
c) 119
d) 359
04) (UFU) Para realizar uma venda, uma loja virtual
solicita de seus clientes o cadastramento de uma 
senha pessoal que permitirá acompanhar a entrega 
de sua compra. Essa senha anteriormente era 
composta por quatro algarismos e uma letra 
(minúscula), sem quaisquer restrições de 
posicionamentos entre letra e algarismos. Com o 
grande aumento no número de vendas, houve a 
necessidade de ampliação no número de senhas, 
as quais passaram a ser compostas por cinco 
algarismos e uma letra (minúscula). Sabe-se que 
existem 26 letras no alfabeto e 10 algarismos 
disponíveis. 
Se denotarmos por N e M, respectivamente, o 
número total de senhas possíveis, antes e após a 
mudança, então, a relação entre N e M é dada por: 
a) M 10 N 
b) M 5!N
c) M 6!N
d) M 12 N 
Professor Jazz
93
05) (UFU) A senha de acesso ao cofre de um carro-
forte é formada por d algarismos, em que esses 
algarismos pertencem ao conjunto de inteiros 
 0,1,2, ,9 . Um dos guardas observa o colega
digitar o último algarismo da senha, concluindo que 
esta corresponde a um número ímpar. Assuma que 
esse guarda demore 1,8 segundos para realizar 
cada tentativa de validação da senha, sem realizar 
repetições, de maneira que, assim procedendo, no 
máximo em duas horas e meia terá sucesso na 
obtenção da senha. 
Segundo as condições apresentadas, conclui-se 
que o valor de d é um número 
a) quadrado perfeito.
b) primo.
c) divisível por 3.
d) múltiplo de 5.
06) (UFU) Um projeto piloto desenvolvido em um
curso de Engenharia Mecânica prevê a construção 
do robô “Eddie”, cujos movimentos estão limitados 
apenas a andar para frente (F) e para a direita (D). 
Suponha que Eddie está na posição A e deseja-se 
que ele se desloque até chegar à posição B, 
valendo-se dos movimentos que lhe são permitidos. 
Admita que cada movimento feito por Eddie o leve a 
uma posição consecutiva, conforme ilustra um 
esquema a seguir, em que foram realizados 10 
movimentos (as posições possíveis estão marcadas 
por pontos e o percurso executado de A até B, é 
representado pela sequência ordenada de 
movimentos D F D D F F D F F D). 
Com base nas informações acima, o número de 
maneiras possíveis de Eddie se deslocar de A até 
B, sem passar pelo ponto C, é igual a 
a) 192
b) 60
c) 15
d) 252
07) (UFU) Uma fábrica de tintas necessita contratar
uma equipe para desenvolver e produzir um novo 
tipo de produto. A equipe deve ser formada por 4 
químicos, 1 engenheiro ambiental e 2 engenheiros 
de produção. Se no processo final de seleção 
compareceram 6 químicos, 3 engenheiros 
ambientais e 4 engenheiros de produção, o número 
de maneiras que a equipe poderá ser formada é 
igual a (nos itens abaixo, x denota multiplicação 
numérica): 
a) 6! 3
b) 6! 18
c) 
3
6!
8

d) 
3
6!
4

Professor Jazz
94
08) (UFU) Para participar de um campeonato de
Futsal, um técnico dispõe de 3 goleiros, 3 
defensores, 6 alas e 4 atacantes. Sabendo-se que 
sua equipe sempre jogará com 1 goleiro, 1 
defensor, 2 alas e 1 atacante, quantos times 
diferentes o técnico poderá montar? 
a) 216
b) 432
c) 480
d) 540
09) (UFU) A prova de um concurso é composta
somente de 10 questões de múltipla escolha, com 
as alternativas A, B, C e D por questão. Sabendo-
se que, no gabarito da prova, não aparece a letra A 
e que a letra D aparece apenas uma vez, quantos 
são os gabaritos possíveis de ocorrer? 
a) 410
b) 210
c) 29
d) 10 . 29
10) (UFU) Para gerar sua senha de acesso, o
usuário de uma biblioteca deve selecionar cinco 
algarismos de 0 a 9, permitindo-se repetições e 
importando a ordem, em que eles foram escolhidos. 
Por questões de segurança, senhas que não 
tenham nenhum algarismo repetido são 
consideradas inválidas. Por exemplo, as senhas 
09391 e 90391 são válidas e diferentes, enquanto 
que a senha 90381 é inválida. O número total de 
senhas válidas que podem ser geradas é igual a 
a) 69.760.
b) 30.240.
c) 50.000.
d) 19.760.
11) (UFU) Considere nove barras de metal que
medem, respectivamente: 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 
metros. Quantas combinações de cinco barras, 
ordenadas em ordem crescente de comprimento, 
podem ser feitas de tal forma que a barra de 5 
metros ocupe sempre a quarta posição? 
a) 32
b) 16
c) 20
d) 18
e) 120
12) (UFU) Quer-se colocar as bandeiras de oito
países em uma praça de forma octogonal, de modo 
que as bandeiras fiquem nos vértices do octógono e 
que as bandeiras de Brasil e Portugal ocupem 
vértices consecutivos. Pode-se fazer isso de 
quantas maneiras? 
13) (UFU) Em um laboratório de análises clínicas,
um recipiente, fixado em uma estante, em que são 
armazenados tubos idênticos coletores de sangue 
tem o formato indicado na Figura. Esse recipiente é 
composto por 13 compartimentos e apenas um 
tubo pode ser depositado em cada compartimento. 
Baseando-se nessas informações,elabore e 
execute um plano de resolução de maneira a 
determinar 
a) o número possível de formas para se depositar,
ao acaso, 5 desses tubos coletores de sangue 
nesse recipiente. 
b) qual é a probabilidade de que 5 desses tubos
coletores de sangue depositados no recipiente não 
tenham compartimentos vazios entre eles. 
Professor Jazz
95
14) (UFU) O Programa Nacional de Tecnologia
Educacional do MEC financia e instala laboratórios 
de informática nas escolas públicas de Educação 
Básica. Suponha que, no processo de licitação para 
a compra dos computadores destinados aos 
laboratórios, o MEC tenha a sua disposição 15 
consultores técnicos, sendo que 10 são consultores 
júnior e 5 são consultores sênior. Dois fabricantes 
de computadores, sendo um da marca A e outro da 
marca B, resolveram participar do processo de 
licitação. Para decidir qual marca comprar, uma 
equipe de consultores técnicos testou as duas 
marcas durante uma semana. Os técnicos 
concluíram que a probabilidade de que ocorra um 
problema em computadores da marca A é de
1
2
, da 
marca B é de
1
4
, e, em ambas, é de
1
100
. 
Com base nestas informações, responda as 
seguintes perguntas: 
a) Se o MEC deseja designar 5 consultores
técnicos para compor a equipe de testes, sendo 
que 3 são consultores júnior e 2 são consultores 
sênior, de quantas maneiras distintas podem ser 
escolhidos os 5 consultores? 
b) Durante os testes realizados, qual a
probabilidade de que nenhuma marca tenha 
apresentado problema? 
GABARITO
01) D
02) A
03) C
04) D
05) A
06) A
07) C
08) D
09) D
10) A]
11) B
12) N = 10.080
13) a) Calculando:
13,5
13! 13 12 11 10 9 13 11 9
C 1287
5! 8! 5 4 3 2 1
     
   
   
b) Calculando:
8
9
13,5
P 9 1
P(X)
C 1287 143
 
14) a) 120010.120
!3!.2
!5
.
!7!.3
!10
; 2,53,10 CC 
b) Probabilidade de A ou B apresentar problema.
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
P(A U B) = 
100
74
100
1
4
1
2
1

Logo a probabilidade de não ocorrer problema será: 
P = 1 - 
100
26
100
74
 = 26% 
Professor Jazz
96
Probabilidade 
(UFU)
01) (UFU) Um sistema computacional gera diária e
automaticamente senhas de acesso a um setor 
público sigiloso. Nessa geração, inicialmente, é 
selecionada e manipulada uma matriz invertível de 
um conjunto M de matrizes do tipo 
a 2 3
b 2 5
0 1 3
 
 
 
 
 
na 
qual os valores inteiros a e b são distintos e a, b ∈ 
{1,2,3, ... 30}. Selecionando-se ao acaso uma 
matriz de M, a probabilidade de que ela seja 
invertível é igual a 
a) 
86
87
b) 
1
87
c) 
1
90
d) 
89
90
02) (UFU) No início da pandemia de COVID, alguns
países adotaram procedimentos de controle no 
fluxo no fluxo de pessoas em seus aeroportos 
internacionais. Em um determinado país, por 
questões logísticas, a cada voo que chegava do 
exterior com um número par, p, de passageiros, 
eram sorteados aleatoriamente 
p
2
desses 
passageiros para serem entrevistados, na tentativa 
de aferir possíveis sintomas da doença. Duas irmãs 
viajam juntas em um voo para esse país com um 
total de 200 passageiros. Nas condições 
apresentadas, a probabilidade de que ambas sejam 
entrevistadas é aproximadamente igual a 
a) 2%.
b) 25%.
c) 75%.
d) 51%.
03) (UFU) As irmãs Ana e Beatriz e seus
respectivos namorados vão sentar-se em um banco 
de jardim (figura) de modo que cada namorado 
fique ao lado de sua namorada. 
A probabilidade de as irmãs sentarem-se uma ao 
lado da outra é igual a 
a) 0,25.
b) 0,33.
c) 0,45.
d) 0,50.
04) (UFU) Uma loja que comercializa celulares
registrou, em uma campanha de lançamento, o 
número de compradores, femininos e masculinos, 
de um novo modelo de smartphone. 
O gráfico a seguir descreve o ocorrido nos quatro 
dias de pré-venda desse modelo. 
Professor Jazz
97
Com o sucesso de vendas, a loja decidiu sortear 
um acessório para este modelo de smartphone 
entre os compradores femininos e outro acessório 
entre os compradores masculinos. 
Qual é a probabilidade de que um dos sorteados 
tenha feito sua compra no primeiro dia de pré-
venda e outro no último dia de pré-venda? 
a) 
17
120
b) 
11
20
c) 
7
80
d) 
1
40
05) (UFU) Um campeonato de múltiplas
modalidades integra 16 cidades, sendo 10 cidades 
do estado de Minas Gerais e 6 cidades do estado 
de São Paulo. Elas concorrem em todas as 
modalidades praticadas. Assuma que as duas 
cidades têm as mesmas chances de vitórias e que 
os três primeiros lugares, ordenadamente, serão 
ocupados, cada qual, por uma única cidade. 
Considere as afirmativas: 
I. Existem 3360 diferentes possibilidades de três
distintas cidades ocuparem, ordenadamente, os 
três primeiros lugares. 
II. A probabilidade de uma cidade mineira ganhar o
primeiro lugar é de
2
3
. 
III. A probabilidade dos três primeiros lugares não
serem conquistados apenas por cidades paulistas é 
de 
27
28
. 
Com base nas afirmações acima, é correto afirmar 
que: 
a) Apenas I e III são verdadeiras.
b) Apenas I é verdadeira.
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) Apenas III é verdadeira.
06) (UFU) De uma urna que contém bolas
numeradas de 1 a 100 será retirada uma bola. 
Sabendo-se que qualquer uma das bolas tem a 
mesma chance de ser retirada, qual é a 
probabilidade de se retirar uma bola, cujo número é 
um quadrado perfeito ou um cubo perfeito? 
a) 0,14
b) 0,1
c) 0,12
d) 0,16
07) (UFU) Numa classe com 50 alunos, 8 serão
escolhidos, aleatoriamente, para formar uma 
comissão eleitoral. A probabilidade de Lourenço, 
Paulo e Larissa, alunos da classe, fazerem parte 
desta comissão é igual a 
a) 3/50.
b) 1/175.
c) 3/8.
d) 1/350.
Professor Jazz
98
08) (UFU) Em um vilarejo com 1000 habitantes,
52% dos habitantes são mulheres e 25% dos 
homens têm no máximo 20 anos. Escolhendo-se 
aleatoriamente dois habitantes da cidade, a 
probabilidade de que as duas pessoas escolhidas 
sejam homens, sendo um deles com no máximo 20 
anos de idade e o outro com pelo menos 21 anos 
de idade, é igual a 
a) 16/185
b) 27/625
c) 12/275
d) 12/2775
09) (UFU) Assuma que um teste de laboratório para
COVID-19 possui eficácia de 80% para detectar a 
doença quando a pessoa está infectada e 
apresenta resultado falso positivo em 1% dos 
testes, isto é, 1% das pessoas não infectadas pelo 
vírus da COVID-19, que são testadas, apresentam 
resultado positivo. 
A) Em uma amostra de 10.000 pessoas da
população, 30% possui COVID-19 e 70% não 
possui. Se essas pessoas fizerem o teste para 
COVID-19, qual é o número esperado de resultados 
positivos? Justifique sua resposta. 
B) Admitindo-se que 2% da população possui
COVID-19, qual é a probabilidade de que uma 
pessoa, escolhida ao acaso, teste positivo para 
COVID-19? Justifique sua resposta. 
C) Ainda se admitindo que 2% da população possui
COVID-19, qual é a probabilidade de que uma 
pessoa, escolhida ao acaso, tenha COVID-19, 
sabendo-se que seu teste foi positivo? Justifique 
sua resposta. 
10) (UFU) A tabela que segue descreve o número
de jogadores de uma equipe de vôlei, com suas 
respectivas idades, em que k é um número natural 
fixo. 
Número de jogadores Idade 
1 19 
5 21 
k 23
3 24
Sabendo que a média de idade de todos os 
jogadores é 22 anos, elabore e execute um plano 
de resolução de forma a determinar: 
a) O número de formas distintas de se estruturar
aleatoriamente uma comissão representativa da 
equipe composta por dois jogadores. 
b) A probabilidade de a média de idade dos dois
jogadores da comissão ser superior a 22 anos. 
11) (UFU) Existe um grupo de n pessoas
trabalhando em um escritório. Sabe-se que existem 
780 maneiras de selecionar duas dessas pessoas 
para compor uma comissão representativa do grupo 
e a probabilidade de ser selecionado um homem 
desse grupo é 0,2 maior do que a probabilidade de 
escolha de uma mulher. 
Elabore e execute um plano de resolução de 
maneira a determinar: 
a) Qual é o valorde n.
b) Quantos homens existem no grupo.
GABARITO
01) A
02) B
03) A
04) C
Professor Jazz
99
05) A
06) C
07) D
09) a) o número esperado de resultados positivos é
de 2470 pessoas. 
b)   129
P
5000
 
c)   80
P E
129

10) Determinando, inicialmente, o valor de k,
temos: 
2k22
k9
24323k21519



 
Temos, então, um total de 11 jogadores. 
a) Calcularemos todas as combinações de 11
elementos, tomados 2 a 2, para obtermos o 
número de combinações pedido. 
11,2
11!
C 55
2! 9!
 

 
b) Para que a média das idades seja maior que 22,
a soma das idades deverá ser maior que 44. 
Temos, então as seguintes comissões: 
Idades Número de comissões 
21 e 24 anos 5 3 15 
23 e 23 anos 1 
23 e 24 anos 2 3 6 
24 e 24 anos 3C 2,3 
Logo, o número de combinações é 15 1 6 3 25   
e a probabilidade P pedida será dada por: 
11
5
55
25
P 
11) a) Tem-se que
n n!
780 780
2 2! (n 2)!
n (n 1) 40 39
n 40.
 
      
    
 
b) Seja h o número de homens no grupo. Logo,
vem 
h 40 h
0,2 2h 40 8
40 40
h 24.

    
 
Professor Jazz
100
Matrizes | Determinantes 
(UFU) 
01) (UFU) Sejam A e B matrizes quadradas e
invertíveis, tais que x det(A) e y det(B) 
satisfaçam as equações 
1 1
9
x y
  e 
3 4
31.
x y
  
Logo, é correto afirmar que 2 1det(A B ) é igual a 
a) 
4
.
25
 
b) 
4
.
21
 
c) 
4
.
17
d) 
4
.
11
 
02) (UFU) O produto de uma matriz quadrada A por
ela mesma é denotado por A2 = A A, o produto de 3 
dessas matrizes quadradas é denotado por A3 = A 
A A e o produto de n dessas matrizes quadradas é 
denotado por    
n termos
n AAAAA  . 
Para a matriz 




 

01
10
A , o produto A2019 é igual a 
a) 





10
01
. 
b) 




 
01
10
. 
c) 





 01
10
. 
d) 





01
10
. 
03) (UFU) Por recomendação médica, João está
cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições 
diárias. Estas refeições são compostas por dois 
tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas dos 
tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte 
tabela: 
De acordo com sua dieta, João deve ingerir em 
cada refeição 13.000 unidades de vitamina A e 
13.500 unidades de vitamina B. 
Considere nesta dieta: 
x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas. 
y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas. 
A matriz M, tal que 











500.13
000.13
y
x
M , é igual a 
a) 





5020
4530
b) 





4550
3020
c) 





4530
5020
d) 





5045
2030
e) 





7055
2030
04) (UFU) Seja A uma matriz de ordem 3 inversível
tal que (A – 2I)2 = 0, em que I é a matriz identidade 
de ordem 3. Assim, pode-se afirmar que a matriz 
inversa A–1 é igual a 
a) AI
4
1 
b) 2 A
c) 4I – A
d) I
2
1
Professor Jazz
101
05) (UFU) Seja A uma matriz de terceira ordem com
elementos reais. Sabendo-se que 









 











2
4
1
 
0
0
1
 .A ,
concluiu-se que –1, 4 e 2 são elementos da 
a) diagonal da transposta de A
b) primeira coluna da transposta de A
c) primeira linha da transposta de A
d) última linha da transposta de A
06) (UFU) Se A é uma matriz diagonal de ordem
dois tal que 






270
08
A3 , então A–1 é a matriz. 
a) 







3
1
2
1
0
0
b) 





10
12
1
c) 





30
02
1
d) 





10
01
07) (UFU) Dada a matriz 






tz
yx
 A qual a afirmativa 
certa? 







t-z-
-y x
 A a) t









22
22
2
tz
y x
 A b)
c) A A
A
10
01
.A d) 





 
08) (UFU) Sejam A, B e C matrizes quadradas de
ordem 2, tais que I B A  , em que I é a matriz 
identidade. A matriz X tal que CA X A  é igual a 
a) B C B  .
b) C)A( 12  .
c) 2-1)(A C  .
d) B C A  .
09) (UFU) Considere a matriz 




 

11
12
A e as 
afirmações a seguir. 
I. O sistema linear 











2
1
y
x
A possui uma única 
solução, onde x e y são valores reais. 
II. Existe um número real a tal que sen(a) = det (A).
III. A matriz A100 é invertível.
IV. Se B é uma matriz tal que o produto A3. B = 1,
então 
9
1
)Bdet(  , onde I é matriz identidade de ordem 
2. 
Com relação a essas afirmações, assinale a 
alternativa correta. 
a) Apenas I e IV são falsas.
b) Apenas II e IV são verdadeiras.
c) Apenas II e III são falsas.
d) Apenas I e III são verdadeiras.
10) (UFU) Seja A uma matriz quadrada tal que
0)I3A2( 2  onde I é a matriz identidade com a 
mesma ordem de A. 
Assim, pode-se afirmar que 
a) A é inversível e I
3
2
A 1 
b) A é inversível e I
3
4
A
9
4
A 1 
c) A é anti-simétrica e não inversível
d) A é simétrica e não inversível
Professor Jazz
102
11) (UFU) Sobre a matriz 





d c
b a
A sabe-se que: 
 os elementos a, b, c e d são números inteiros não
negativos; 
 A comuta com a matriz 





1 1
0 0 ;
 det (A) = 2.
Considere as informações fornecidas acima e 
calcule o valor do determinante det (X), sendo que 
t1 AAX   . 
12) (UFU) Em computação gráfica, é frequente a
necessidade de movimentar, alterar e manipular 
figuras em um sistema 2D (bidimensional). A 
realização destes movimentos é feita, em geral, 
utilizando-se transformações geométricas, as quais 
são representadas por matrizes T2x2. Assim –– 
considerando um polígono P no plano cartesiano 
xOy de vértices (a1, b1), …, (an, bn), o qual é 
representado pela matriz 






n1
n1
xn2 bb
aa
M


, em que 
n é o número de vértices do polígono –– a 
transformação de P por T2x2 é feita pela realização 
do produto matricial T2x2M2xn, obtendo a matriz 
resultante 





n1
n1
dd
cc


, cujas colunas determinam os 
vértices (c1, d1), …, (cn, dn) do polígono obtido. 
Nesse contexto, para o que se segue, considere a 
transformação 








2cos2sen
2sen2cos
 T2x2 e P o triângulo 
cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 0) e C(2, 
32 ). 
Execute planos de resolução de maneira a 
encontrar: 
a) os vértices do triângulo resultante Q obtido da
transformação do triângulo P por T2x2, quando  =
840º;
b) a área do triângulo resultante Q obtido na
transformação do item A. 
GABARITO
01) A
02) C
03) C
04) A
05) C
06) A
07) D
08) C
09) D
10) B
11)
2
11
)Xdet( 
12) a) Os vértices de Q são (0, 0), )34 ,4( e (–8, 0)
b) 316
Professor Jazz
103
 
Sistemas Lineares 
(UFU) 
01) (UFU) Considere o sistema linear S, descrito
abaixo em termos matriciais, onde x e y são 
variáveis reais: 
 
 
0
1 sen x
29
sen 2 1 y
25
                  
Sabendo que (x, y) = (– 4, 5) é uma solução de S, 
pode-se afirmar que tg() é igual a: 
a) 
4
3
b) 
4
3

c) 
3
4

d) 
3
4
02) (UFU) Sabendo-se que o sistema linear B AY ,
em que 
1 0 1
A 0 1 0
1 0 -1
 
   
  
, tem 
1
Y 2
3
 
   
  
como 
solução, pode-se afirmar que o sistema linear 
-1A X B apresenta como solução o vetor:
a) 
2
X 4
6
 
   
  
b) 
1
1
X 
2
1
3
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
2
X 2
6
 
   
  
d) 
3
X 2
1
 
   
  
 
03) (UFU) Considere que os sistemas S1 e S2
abaixo, possuem o mesmo conjunto solução. 
1
6x ay 7
S :
bx y 13
 
  
 2
3x y 11
S :
x 2y 12
 
  
Então, log2(a2b) é igual a 
a) 16 b) 4 c) 1 d) 2
04) (UFU) Um campeonato de múltiplas
modalidades integra 16 cidades, sendo 10 cidades 
do estado de Minas Gerais e 6 cidades do estado 
de São Paulo. Elas concorrem em todas as 
modalidades praticadas. Assuma que as duas 
cidades têm as mesmas chances de vitórias e que 
os três primeiros lugares, ordenadamente, serão 
ocupados, cada qual, por uma única cidade. 
Considere as afirmativas: 
I. Existem 3360 diferentes possibilidadesde três
distintas cidades ocuparem, ordenadamente, os 
três primeiros lugares. 
II. A probabilidade de uma cidade mineira ganhar o
primeiro lugar é de 2/3. 
III. A probabilidade dos três primeiros lugares não
serem conquistados apenas por cidades paulistas é 
de 27/28. 
Com base nas afirmações acima, é correto afirmar 
que: 
a) Apenas I e III são verdadeiras.
b) Apenas I é verdadeira.
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) Apenas III é verdadeira.
Professor Jazz
104
05) (UFU) Um supermercado vende três diferentes
marcas de macarrão − A, B e C −, em pacotes de 1 
kg. O preço da marca B é igual à média aritmética 
dos preços das marcas A e C. 
Sabendo que na compra de um pacote de macarrão 
da marca A, dois pacotes da marca B e um pacote 
da marca C, um cliente pagou R$ 10,00, o preço 
que ele pagaria por três pacotes de macarrão da 
marca B seria 
a) R$ 8,40 b) R$ 2,50 c) R$ 9,00 d) R$ 7,50
06) (UFU) Uma comerciante de bijuterias necessita
comprar alguns objetos que servirão como material 
para a montagem de suas peças. Ela dispõe de 
R$100,00 e deseja gastar todo o dinheiro na 
aquisição de 100 objetos dentre os tipos A, B e C. 
Se cada objeto do tipo A custa R$5,00, do tipo B 
R$3,00 e 3 unidades do tipo C custam, no total, 
R$1,00, então, a quantidade de diferentes maneiras 
de efetuar a compra é igual a 
a) 6 b) 2 c) 5 d) 4
07) (UFU) Se o sistema linear 
 x by cz 1
 x y z 2
3x 2y 4
  
   
  
, em que b e c são números 
reais, tem infinitas soluções, então, b c é igual a 
a) 0. b) 1. c) 3. d) 2.
08) (UFU) Um pai realizou duas festas de
aniversário para seus filhos e, entre salgadinhos e 
refrigerantes, gastou R$ 250,00 em uma festa e R$ 
150,00 em outra. A festa que teve menor custo foi 
realizada com 50% dos salgadinhos e 75% dos 
refrigerantes da outra. Sabendo-se que o preço 
unitário do salgadinho e do refrigerante foi o mesmo 
para ambas as festas, qual foi o total gasto com 
refrigerantes nas duas festas? 
a) R$ 225,00 b) R$ 200,00 c) R$ 150,00
d) R$ 175,00
09) (UFU) No passado, alguns castelos eram
protegidos com a construção de um lago 
circundando a propriedade e uma ponte de acesso 
para os visitantes. Considere a figura representativa 
da vista superior de um desses castelos, descrita 
como segue, em que o lago apresenta uma largura 
constante de x m (metros) e a região retangular 
ocupada pelo castelo apresenta lados na razão 2:3. 
Sabe-se que um trajeto de percurso mínimo 
composto de uma volta completa na margem 
externa, passando pela ponte e efetuando uma 
volta completa na margem interna, mede 980 m. 
São percorridos 1540 m quando o trajeto for 
composto de duas voltas completas na margem 
externa, acrescidos de uma passagem pela ponte e 
uma volta completa na margem interna. 
Considerando as informações apresentadas, 
marque, para as afirmativas abaixo, (V) Verdadeira, 
(F) Falsa ou (SO) Sem Opção.
Professor Jazz
105
1. O perímetro da margem interna do lago é igual a
460 m. 
2. A medida da ponte é de 30 m.
3. A área da região retangular ocupada pelo castelo
é igual a 9600 m2. 
4. Uma pessoa nadará 20 2 m ao percorrer a 
menor trajetória de extremidades A e B (presentes 
na figura dada). 
10) (UFU) Determine os valores de c e d de modo
que o sistema abaixo seja possível e 
indeterminado. 
3x y z 4
4x y cz 3
x 3y z d
  
   
   
 
11) (UFU) Considere a matriz
0 1
A
1 0
 
   
. 
Determine quantas soluções tem o sistema linear 
 2 3 222 333 x 0
A A A A
y 0
   
      
   
. 
12) (UFU) Dois colecionadores de obras de arte,
durante a realização de um leilão, compraram 
diversos quadros dos artistas A, B e C. Sabe-se 
que: 
i) cada artista vende seus quadros por um valor fixo
(em reais); 
ii) um dos colecionadores comprou 1 quadro do
artista A, 2 quadros do artista B e 3 quadros do 
artista C por R$ 10 000,00; 
iii) o outro colecionador comprou 2 quadros do
artista A, 5 quadros do artista B e 8 quadros do 
artista C por R$ 23 500,00. 
Nessas condições, execute planos de resolução, 
respondendo: 
a) Qual é o valor total a ser pago por um
colecionador que comprou um quadro de cada um 
desses três artistas? 
b) Se no leilão, cada quadro do artista B é vendido
no mínimo por R$ 1 000,00, qual é o preço máximo 
de venda de um quadro do artista C? 
13) (UFU) Quando da realização de vários eventos
esportivos em estádios, muitos vendedores 
ambulantes utilizam este espaço para a venda de 
seus produtos. Considere um vendedor que 
comercialize, nos fins de semana, na portaria de 
entrada de um estádio, bonés e camisetas a preços 
fixos. 
a) Em um sábado, ele vende 10 bonés e 20
camisetas, recebendo um total de R$ 350,00. 
Sabendo que um cliente que compre um boné e 
uma camiseta irá gastar, para tanto, R$ 20,00, 
determine o preço fixo de cada boné e de cada 
camiseta. 
b) No dia seguinte, o vendedor vendeu 30 bonés e
uma quantidade x de camisetas, recebendo, neste 
dia, um total de y reais. Sabendo que o valor de y é 
o menor quadrado perfeito possível nas condições
dadas, encontre o valor de x 
(Lembre-se de que um número natural não nulo é 
um quadrado perfeito se ele puder ser expresso 
como o quadrado de outro número inteiro). 
Professor Jazz
106
14) (UFU) Com o intuito de participar da próxima
Olimpíada de Inverno, que será realizada em Sochi 
na Rússia, em 2014, um atleta da patinação no gelo 
deverá seguir uma dieta especial sugerida por seu 
nutricionista. A dieta é composta por três tipos de 
alimentos, I, II e III. A quantidade em miligramas 
dos nutrientes A, B e C presentes em 1 (um) grama 
de cada alimento é dada na tabela abaixo. 
Alimento I Alimento II Alimento III
Nutriente A 1 1 2
Nutriente B 1 2 1
Nutriente C 3 5 3
O nutricionista sugeriu ao patinador consumir, por 
refeição, as quantidades (em gramas) x, y e z dos 
alimentos I, II e III, respectivamente. 
Sabe-se que: 
1) A soma das quantidades x, y e z é igual a 375
gramas. 
2) As quantidades x, y e z formam, nessa ordem,
uma progressão aritmética cuja razão é 
1
5
da 
quantidade y. 
Com base nessas informações, determine as 
quantidades, em miligramas dos nutrientes A, B, e 
C, a serem consumidas, por refeição, pelo 
patinador. 
15) (UFU) Pedro e Vitor foram ao cinema e
compraram pipoca e refrigerante. Pedro comprou 
um pacote grande de pipoca, um copo médio de 
refrigerante e gastou R$ 9,50. Vitor comprou um 
pacote médio de pipoca, um copo grande de 
refrigerante e gastou R$ 10,00. Sabendo-se que o 
preço do pacote grande de pipoca é 10% maior do 
que o preço do pacote médio de pipoca e o preço 
do copo médio de refrigerante é 20% menor do que 
o preço do copo grande de refrigerante, responda:
a) Quais os preços dos copos de refrigerante médio
e grande? 
b) Quais são os preços dos pacotes de pipoca
médio e grande? 
GABARITO
01) A
02) C
03) B
04) A
05) D
06) D
07) D
08) D
09) FFVV
10) 
2
c
5
 e d = –2 
11) 
12) 
a) R$ 6.500,00
b) R$ 1.250,00
13) 
a) c = 15, b = 5.
b) x = 5.
14) O patinador deve consumir em cada refeição
525 miligramas do nutriente A, 500 miligramas de B 
e 1375 miligramas de C. 
15) 
a) médio é R$ 4,00 e o grande R$ 5,00
b) médio é R$ 5,00 e o grande R$ 5,50
Professor Jazz
107
Números Complexos | Forma Algébrica 
(UFU) 
01) (UFU) A soma das raízes distintas da equação
 2z 2R z 1 0   , onde z é um número complexo e
R(z) denota a parte real de z , é igual a
a) 1
b) –1
c) 2i
d) –2i
02) (UFU) Se 2 3 2003...S i i i i     , em que
2 1i   , então S é igual a 
a) 0
b) 1
c) i
d) 1i 
03) (UFU) A representação geométrica do conjugado
do número complexo 
 22 2
3 2
i
i


 em que i é a unidade 
imaginária, encontra-se no 
a) primeiro quadrante.
b) segundo quadrante.
c) terceiro quadrante.
d) quarto quadrante.
04) (UFU) Sejam 1z e 2z duas raízes cúbicas de um
número complexow. Considerando-se as 
representações geométricas dessas raízes, sabe-se 
que 1z está situada no primeiro quadrante e que 2z 
é da forma b i, onde b é um número real negativo e 
i é a unidade imaginária. 
Portanto, o coeficiente angular da reta que passa por 
1z e 2z é igual a 
a) 3. 
b) 1.
c) 
3
.
3
 
d) 
3
.
2
 
05) (UFU) Considere o triângulo cujos vértices
correspondem aos números complexos z1 = 3, z2 = 6 
e z3 =8+3i, em que i é a unidade imaginária. Sabe-se 
que outro triângulo de vértices correspondentes a w1 
= –iz1, w2 = –iz2 e w3 = –ihz3, sendo h um número real 
positivo, possui área igual a 18. Então, o valor de h 
é igual a 
a) 10
b) 6
c) 8
d) 4
06) (UFU) Sejam n e m números naturais com
1 n 50  e 80 m 100  . Se i é a unidade
imaginária dos números complexos, i2 = –1, então a
quantidade de distintos pares ordenados (n, m) tais
que n mi i 2i   é igual a
A) 25.
B) 78.
C) 17.
D) 60.
GABARITO
01) B 02) B 03) A 04) A 05) D 06) D
Professor Jazz
108
 
Números Complexos | Forma 
Trigonométrica 
(UFU) 
01) (UFU) Tome um número complexo z1 com
módulo 1 e a partir dele construa uma sequência 
ordenada de números complexos 1z , 2z , 3z , …, na 
qual 1kz  é obtido, girando zk em rotações de 105º no 
sentido anti-horário, para todo 1k  . O menor valor 
de 1n  tal que a representação geométrica de nz 
coincida com a de 1z é igual a 
a) 26
b) 24
c) 23
d) 25
02) (UFU) Seja o número complexo z = cos15º +
isen15º, onde i2 = -1. Se w é um outro número 
complexo tal que |w| = |z| = |z – w|, então pode-se 
afirmar que um valor possível para w nessas 
condições é 
a) w = cos315º + isen315º
b) w = cos60º + isen60º
c) w = cos165º + isen165º
d) w = cos225º + isen225º
03) (UFU) As representações gráficas dos números
complexos    1 cos 30 . 30z i sen    e 
   2 cos 102 . 102z i sen    no plano complexo 
correspondem a vértices consecutivos de um 
polígono regular inscrito em uma circunferência com 
centro na origem. O número de lados desse polígono 
é igual a 
a) 12
b) 6
c) 5
d) 10
04) (UFU) Sejam z1 e z2 as raízes quadradas do
número complexo z = 2i, onde i denota a unidade 
imaginária, suponha que P e Q sejam os pontos do 
plano cartesiano que representam geometricamente 
z1 e z2, respectivamente. De acordo com as 
considerações acima, é correto afirmar que a 
distância entre P e Q é igual a: 
a) 2
b) 4
c) 2
d) 2 2
05) (UFU) Sabendo-se que uma das raízes cúbicas
de um número complexo z pertence à semirreta 
3y x , com 0x  e tem módulo igual a 2, assinale 
a alternativa INCORRETA. 
a) Uma das outras raízes cúbicas de z é um número
imaginário puro. 
b) O número complexo z tem módulo igual a 8.
c) Uma das outras raízes cúbicas de z é um número
real. 
d) A soma das três raízes cúbicas de z é igual a 0.
Professor Jazz
109
06) (UFU) O conjunto de todos os pontos (x,y)  IR2
tais que x + iy = (-5 + 2cost) + i(3 + 2sent), para t  IR, 
com i2 = -1, é descrito como 
a) uma reta que passa pelo ponto (-5,3) e tem
declividade 2. 
b) uma circunferência de centro em (-5,3) e raio 2.
c) um par de retas concorrentes que se interceptam
no ponto (-5,3). 
d) uma parábola cujo vértice é o ponto (-5,3).
07) (UFU) Determine o menor valor do inteiro 0n 
tal que 
1
1
2
n
i    
 
 
GABARITO
01) D
02) A
03) C
04) D
05) A
06) B
07) 8
Professor Jazz
110
 
Polinômios 
(UFU) 
01) (UFU) Sabe-se que o polinômio 
1bxxax)x(p 23  , em que a e b são números reais 
não nulos, é divisível por x–1 e, além disso, que o 
resto da divisão de p(x) por x–b é igual a 1. 
Desse modo, a respeito de a e b, pode-se afirmar 
que 
a) pelo menos um deles é um número inteiro.
b) o produto a.b é um número irracional.
c) a diferença a–b é um número irracional.
d) não existem números nas condições
apresentadas. 
02) (UFU) Considere o polinômio 
  3 2p x 3x x ax 9    , em que a é uma constante
real. Se  p x é divisível por x 3 , então ele
também é divisível por 
a) 2x 9
b) 2x 9
c) 23x 10x 3 
d) 23x 10x 3 
03) (UFU) Considere o polinômio
     4 3 2p x x 5x - x 3a b -1 x a - 2b .    
Sabendo-se que zero é raiz de multiplicidade dois 
deste polinômio, então 
a) 
2
a
7
 e 
1
b
7

b) a 1  e 
1
b
7

c) 
2
a
7
 e 
1
b
7
 
d) a 1 e b 0
04) (UFU) Considere as seguintes afirmações a
respeito do polinômio p(x) = (x2 + x3)20. 
I. p(x) possui apenas duas raízes distintas.
II. O grau de p(x) é igual a 100.
III. p(x) é divisível por x + 1.
IV. O coeficiente de x43 no desenvolvimento de p(x)
é o número binomial 20
2
  
 
. 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) 
afirmativa(s) correta(s). 
a) Apenas III.
b) Apenas II e IV.
c) Apenas I, III e IV.
d) Apenas I e III.
05) (UFU) O polinômio p(x), na variável real x, é
obtido por meio da multiplicação sucessiva de 
termos de tipo (x – i)i para i = 1, 2, …, k . Desse 
modo,        2 k
p x x 1 x 2 x k     , sendo k um 
número natural constante. 
Se o grau de p(x) é igual a 210, logo k é um número 
a) primo.
b) divisível por 5.
c) múltiplo de 7.
d) ímpar.
Professor Jazz
111
06)= (UFU) Considere o polinômio de variável 
realp x  x – 1  x2 – 2  x3 – 4  x4 – 8  x5 – 16 ...x15 – 16384 . Então, o grau de p x e o valor dep 2 
são, respectivamente:
a) 120 e 2112
b) 136 e 2112
c) 136 e 2105
d) 120 e 2105
07) (UFU) Considere o polinômio
   2 2p x ax - 3 a 5 x a   , com a . Assim, o
conjunto S dos valores positivos de a para os quais 
p(1) < 0 é igual a 
a)  S a / 0 a 5   
b)  S a / a 5  
c)  S a / a 0  
d)  S a / 3 a 5   
08) (UFU) Se q(x) é um polinômio do terceiro grau
com q(2) = q(3) = q(4) = 2 e q(5) = 0, então o valor 
de q(0) é igual a 
a) 8
b) 10
c) 8
d) 10
09) (UFU) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x2
P(x – 1) = x3 + x – 2, então P(1) é igual a: 
a) 1
b) 1
c) 
1
2

d) 
1
2
10) (UFU) Seja P(x) um polinômio de quinto grau tal
que            1 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 e P 6 0     
.
Qual é o valor de P(0)?
a) 1
b) 1
c) 2
d) 2
11) (UFU) A capacidade do corpo para metabolizar
os medicamentos está intimamente relacionada 
com a exposição à luz solar e, portanto, pode variar 
até mesmo com as estações climáticas. Suponha 
que a função polinomial q(t), de variável real t (em 
minutos), definida por   3 2q t t - 5t 8t - 3  ,
represente um modelo matemático que descreva, 
aproximadamente, a absorção, por um limitado 
período de tempo, de um determinado 
medicamento administrado a um doente, por via 
intravenosa, depois de transcorrido um tempo da 
aplicação. 
Descreva expressões matemáticas que conduzam 
aos valores de a, b e c, determinando-os, de forma 
que tornem iguais os polinômios  q t e
     3 2 3h t t a t b c .    
Professor Jazz
112
12) (UFU) Considere os polinômios 
3p(x) x 2a b   e 4h(x) x a 2b   , em que a e b 
são constantes reais e x é uma variável real. 
Determine os valores de a e b para os quais esses 
polinômios sejam divisíveis por x 4 . 
GABARITO
01) C
02) B
03) A
04) D
05) B
06) D
07) A
08) D
09) D
10) D
11) Observe que dois polinômios serão iguais
desde que os seus respectivos coeficientes sejam 
iguais. Assim, desenvolvendo as expressões 
binomiais inclusas em h(t) segue que, 
h(t) = t3 + (3a + 1)t2 + (3a2 + 2b)t + (a3 + b2 + c3) 
Portanto, utilizando a correspondência entre os 
coeficientes, recaímos no sistema de equações, 
(I) 3a + 1 = –5  a = –2
(II) 3a2 + 2b = 8  3(–2)2 + 2b = 8  b = –2
(III) a3 + b2 + c3 = –3  (–2)3 + (–2)2 + c3 = –3  c =
1 
12) Como p(x) = x3 + 2a + b e h(x) = x4 + a – 2b são
divisíveis por x – 4, então 4 é raiz de p(x) e h(x). 
Assim, 
p(4) = 0  43 + 2a + b = 0 2a + b = –64, 
h(4) = 0 44 + a – 2b = 0  a – 2b = –256. 
Logo, temos o sistema 





)II( 256b2a
)I( 64ba2Multiplicando a equação (I) por 2 e somando com a 
equação (II), obtemos a equação 
5a = –384. 
Portanto, 
8,76
5
384
a  . 
Substituindo o valor de a na equação (I), temos que 
6,89
5
448
b  . 
Dessa forma, os valores de a e b para que os 
polinômios p(x) e h(x) sejam divisíveis por x – 4 
são, respectivamente, –76,8 e 89,6. 


Professor Jazz
113
Equações Algébricas 
(UFU) 
01) (UFU)Considere o polinômio de variável real
  3 150p x x kx   , com k sendo um número
natural fixo não nulo. Se o número complexo 
3z ai  é uma raiz de  p x , em que a é um
número real positivo e i é a unidade imaginária, 
então o valor do produto .k a é igual a 
a) 44.
b) 66.
c) 24.
d) 96.
02) (UFU)O polinômio de variável real
  3 2 29y p x x ax x ar     é representado 
graficamente conforme ilustra a figura a seguir, em 
que r , r e a , e são constantes reais e encontram-
se, nessa ordem, em progressão aritmética (P.A.). 
Nessas condições, o valor de a é um número 
a) primo.
b) ímpar.
c) múltiplo de 5.
d) divisível por 7.
03) (UFU) Se q(x) é um polinômio do terceiro grau
com q(2) = q(3) = q(4) = 2 e q(5) = 0, então o valor 
de q(0) é igual a 
a) –8
b) –10
c) 8
d) 10
04) (UFU) Considere o polinômio p(x) = x4 + 5x3 – x2
+ (3a + b – 1)x + (a-2b). Sabendo-se que zero é raiz
de multiplicidade dois deste polinômio, então 
a) 
2
7
a  e 
1
7
b 
b) 1a   e 
1
7
b 
c) 0a  e 0b 
d) 
2
7
a  e 
1
7
b  
05) (UFU) Sabe-se que 
         5 4 3 2
2 3. 2 2. 2 3. 2 3. 2 10i i i i i          
, em que i é a unidade imaginária. Logo, 
         5 4 3 2
2 3. 2 2. 2 3. 2 3. 2 10i i i i i          
é igual a 
a) – 20
b) – 1 0
c) 0
d) 10
06) (UFU) Seja P(x) um polinômio de quinto grau tal
que 1 = P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) e P (6) = 
0. Qual é o valor de P(0)?
a) 1
b) –1
c) –2
Professor Jazz
114
d) 2
07) (UFU) Sabendo-se que os números reais não
nulos, a e –a, são soluções da equação 
0123 23  pxxx , então, pode-se afirmar que:
a) 1p 
b) 0 1p 
c) 1 0p  
d) 1p  
08) (UFU) Dado o polinômio p(x) = x3 – 11x2 + 20x –
18 e sabendo-se que uma de suas raízes é o número 
complexo 1 + i, em que i2 = -1 e, que a raiz real desse 
polinômio é um número inteiro m, então m é 
a) múltiplo de 2
b) primo
c) múltiplo de 3
d) divisível por 5
09) (UFU) Sabendo-se que as três raízes de f(x) = x3
+ Ax2 + Bx + 8 formam uma PG de razão 2, então A
é igual a 
a) –4
b) 7
c) 5
d) –3
10) (UFU) Considere a equação 
   1 . 1 0p z q z   , em que os polinômios p(z) e
q(z) são definidos por   4 23 2p z z z   e
  3 1q z z  . Pode-se afirmar que a quantidade de
raízes complexas, não reais, dessa equação é igual 
a 
a) 7.
b) 6.
c) 4.
d) 3.
11) (UFU) Considere um polinômio de grau 3, escrito
na forma fatorada 1 2 3p(x) a(x x )(x x )(x x ),    onde
a é uma constante real e 1 2x , x e 3x são suas
raízes. Suponha-se que p(0) a e p(1 i) 0,  onde
2i 1,  então é correto afirmar que uma raiz de p(x) 
é 
a) 0
b) 
1
2

c) 
1
2
d) 2
12) (UFU) Sabendo que i é raiz do polinômio x5 – x4
– x3 + x2 – 2x + 2, onde i2 = –1, determine as outras
raízes. 
GABARITO 
01) A
02) B
03) D
04) A
05) A
06) D
07) D
08) C
09) B
10) B
11) B
12)  ; ;1; 2; 2S i i  
Professor Jazz
115