Tábua de uma operação

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<p>3.13 TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO Como se constrói: = com um conjunto com n elementos. Toda operação sobre E é uma aplicação f: E que associa a cada par (a, a) = Podemos representar o elemento correspondente ao par (a,a), numa tabela de du- pla entrada construída como segue. 1°) Marcamos na linha fundamental e na coluna fundamental os elementos do conjunto E na mesma ordem. Chamamos de i-ésima linha aquela que começa com e de j-ésima coluna a que é por a1 ... an - linha fundamental a2 ... a, an L coluna fundamental</p><p>2°) Dado um elemento a, na coluna fundamental e um elemento a, na linha fundamental, na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna, marcamos o composto j-ésima coluna ... an a1 composto a2 ... i-ésima linha a, aij ... an Exemplo 35 Tábua da multiplicação em E= -1 0 1 -1 1 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 1</p><p>2°) Tábuas das operações de reunião e de interseção sobre E={A, B, em que A, B, C, D são conjuntos tais que UABCD AABCD AAAAA DC A B BBBCD BABBB CCCCD CABCC DABCD 3°) Tábua operação * sobre 15} definida por X*y= mdc(x,y) *13515 11111 31313 51155 1513515</p><p>4°) Tábua da operação de composição em que f2 f3 são funções assim descritas: f, = f1 f2 f3 f1 f1 f2 f3 f2 f2 f3 f1 f3 f3 f1 f2</p><p>3.13.1 Como checar propriedades Vejamos agora como se pode checar uma a uma as propriedades de uma operação * quando * é dada por meio de uma tábua. 3.13.1.1 Propriedade associativa É aquela cuja verificação exige maior trabalho. A verificação pode ser feita de dois modos: modo: Calculam-se todos os compostos do tipo calculam-se todos os compostos do tipo n}; comparam-se os compostos que têm os mesmos k. Como podemos notar, esse método requer o cálculo de compostos.</p><p>modo: Encontra-se um conjunto F dotado de uma operação A que se sabe ser associa- tiva de tal forma que exista uma aplicação f: E F com as seguintes propriedades: fé bijetora; Af(y) para todos Se isso ocorrer, a lei * também é associativa, pois, para quaisquer temos: = e, como f é bijetora, vem: Você, estudante, poderá ter uma compreensão maior desse assunto quando estudar os isomorfismos (ver Capítulo 4, seção 4.3).</p><p>3.13.1.2 Propriedade comutativa Sabemos que uma operação * é comutativa se ou seja, para quais- quer {1, 2, 3, n}. Chamando de diagonal principal da tábua da operação * o conjunto formado pelos com- a33' ... , ann' podemos notar que os compostos ocupam posições simétri- cas relativamente à diagonal principal. Assim, uma operação * é comutativa se sua tábua é simétrica em relação à diagonal principal, isto é, compostos colocados simetricamente em relação à diagonal são iguais dois a dois. a2 a1 a22 iguais an ann diagonal principal</p><p>Observe as quatro operações do exemplo 35 (páginas 142 e 143). Todas elas são comutativas. Observe agora a tabela abaixo. É um exemplo de operação não comutativa. Note, por exemplo, que b * * a b a bac b a b a C a b b</p><p>3.13.1.3 Elemento neutro Sabemos que um elemento e é neutro para a operação * quando: i) Da condição (i) decorre que a linha de e é igual à linha fundamental. Da condição (ii) decorre que a coluna de e é igual à coluna fundamental. a1 a2 e a1 a1 a2 a2 linhas iguais ... e a1 e an ... *** an an</p><p>Assim, uma operação * tem neutro desde que exista um elemento cuja linha e coluna sejam respectivamente iguais à linha e coluna fundamentais. Observe novamente as tábuas das operações do exemplo 35 (páginas 142 e 143). Todas têm elemento neutro. Confira: A e D, respectivamente; 3°) Um exemplo de operação sem elemento neutro é dado pela tábua abaixo. Notemos que a é elemento neutro só à esquerda (a linha de a é igual à fundamental). a b aabc b b a</p><p>3.13.1.4 Elementos simetrizáveis Sabemos que um elemento é simetrizável para a operação * que tem neutro e quando existe E tal que: e Obviamente o elemento neutro e é simetrizável pois e*e=e. Fora este caso, temos: Da condição (i) decorre que a linha de na tábua deve apresentar ao menos um com- posto igual a e. Da condição (ii) decorre que a coluna de a deve apresentar ao menos um composto igual a e. decorre que o neutro deve figurar em posições simétricas relativamente à diagonal principal.</p><p>a1 a2 aj a1 e posições simétricas em relação à diagonal aj e an Assim, um elemento diferente do elemento neutro e, é simetrizável, quando e figura na linha i-ésima e na coluna i-ésima, ocupando posições simétricas em relação à diagonal principal.</p><p>Exemplo 36 Neutro: e Elementos simetrizáveis: C e a b e e a b C a a b C e b b C e a C C e a b 2°) Neutro: e Elementos simetrizáveis: e, c, b a b C d a a a a a b a d e C b C a e b d C d a d d d d e a b C d e</p><p>3.13.1.5 Elementos regulares Sabemos que um elemento a é regular em relação à operação * quando a sempre que e Isso significa que a é regular quando, composto com elementos distintos de E, tanto à esquerda deles como à direita, produz resultados distintos. Assim, um elemento a é regular quando na linha e na coluna de a não há elementos iguais.</p><p>Exemplo 37 Os elementos regulares são e, a, d. Note que na linha e coluna de b ocorrem repetições. Nas de C também. eabcd eeabcd aabcde b :cdcab ddeabc</p><p>3.14 OPERAÇÕES EM m Vamos definir aqui as operações de adição e multiplicação num conjunto 1) de classes de restos. Em seguida mostraremos algumas propriedades dessas operações. Lem- bremos que Definição 45 - Dadas duas classes a, chama-se soma a + b a classe Definição 46 - Dadas chama-se produto a . b a classe Observação então a III a' (mod m)eb=b'(mod m); portanto, a + b a' + b' e, consequentemente, Isso mostra que a soma e o produto de classes, conforme as definições 45 e dependem dos repre- sentantes das classes. Dessa forma ficam garantidas as unicidades de b, ou seja, que as aplicações (a, b) são operações sobre denominadas adição e multiplicação módulo m, respectivamente.</p><p>3.14.1 Propriedades da adição 1) Associativa Para quaisquer temos: 2) Comutativa Para quaisquer</p><p>3) Elemento neutro Para 4) Elementos simetrizáveis procuremos seu simétrico a + a' 0 (mod n) ou - a (mod m). De onde, - Isso mostra que todo é simetrizável para a adição e seu simétrico</p><p>3.14.2 Propriedades da multiplicação Analogamente, pode-se provar a associativa e a comutativa. Para Portanto, neutro da multiplicação Provaremos que é simetrizável para a multiplicação ou invertível se, e somente se, um elemento invertível. Existe, Daí, (mod m) ou - mq, ou aa' + para algum q E A proposição 2, do Capítulo 2, garante então que =</p><p>(-) Se = 1, então, devido à mencionada proposição, existem tais que + Dessa igualdade segue que - = e, portanto, que (mod m). De onde, ou a = igualdade que mostra que a é irrevertível e seu inverso. Por exemplo, em os elementos invertíveis são 7 cujos in- versos são, respectivamente,</p>