1552952-Matemática_Lista_3_-_N2_-_AP1

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<p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Trigonometria no triângulo 01 E retângulo RETÂNGULO A demonstração formal do Teorema de Pitágoras pode ser feita a partir das relações métricas no triângulo retângulo. Oferecemos, aqui, apenas uma ideia de como se obter Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um tal resultado, utilizando um quadrado (de lado b + c), ângulo reto. subdividido em quatro triângulos retângulos (de lados Na figura, é reto. Costumamos dizer que o triângulo a, b e c), e um quadrado menor (de lado a). ABC é retângulo em A. b . B a b a a b a C A C b C Somando as áreas dos quatro triângulos retângulos e do Em todo triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo quadrado menor, obtemos a área do quadrado maior. Logo: reto são denominados catetos, o lado oposto ao ângulo + = reto é chamado de hipotenusa, e os ângulos agudos são 2 denominados complementares. TEOREMA DE PITÁGORAS Aplicações Vamos deduzir, num quadrado, a relação entre as medidas d de uma diagonal e l de um lado e, num triângulo Em todo triângulo retângulo, a soma dos equilátero, a relação entre as medidas h de uma altura e l de um lado. quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Diagonal do quadrado D C 4 Na figura, são as medidas dos catetos; e a, a medida da hipotenusa. Daí, temos: l d B a A B C No triângulo BCD, pelo Teorema de Pitágoras, temos: A b Editora Bernoulli 57</p><p>Frente E Módulo 01 Altura do triângulo equilátero B b C seno (sen) a a C b cosseno (cos) a a b C tangente (tg) C b h Utilizando o quadrado e o triângulo equilátero, é possível construir uma tabela com os valores do seno, do cosseno e A l H l B da tangente dos ângulos 30°, 45° e 60°. 2 2 No triângulo HBC, pelo Teorema de Pitágoras, temos: a 30° 45° 60° 1 sen a 2 2 2 1 cos a 2 2 2 tg a 1 4 3 2 RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS C NUM RETÂNGULO i) Seno: Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. a b ii) Cosseno: Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. iii) Tangente: Em todo triângulo retângulo, a tangente B . de um ângulo agudo é a razão entre a medida do B A C cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto Na figura: adjacente a esse ângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, vamos indicar por sen = = a e as medidas dos ângulos internos, respectivamente, Dividindo sen B por cos B, obtemos: de vértices B e C. b sen BD = a = b tg B cos KD C C a a cos . C Portanto, a tangente de um ângulo é o quociente entre o b A seno e o cosseno desse ângulo. 58 Coleção Estudo</p><p>Trigonometria no triângulo retângulo Dividindo os membros de + por temos: 02. (UFMG) Nesta figura, E é o ponto médio do lado BC do quadrado ABCD. A tangente do ângulo a é = 1 D Substituindo = obtemos: 2a E A B 1 Portanto, a soma dos quadrados do seno e do cosseno A) 2 de um ângulo é igual a 1. B) 1 Observamos ainda que sen = COS e sen = COS B. C) 2 Portanto, o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno 2 do complemento desse ângulo, e vice-versa. 03. (UFV-MG-2006) Um passageiro em um avião avista duas a + = 1 cidades A e B sob ângulos de 15° e 30°, respectivamente, conforme a figura a seguir. - a) 15° 3 km EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Cidade A Cidade B Se o avião está a uma altitude de 3 km, a distância entre 01. (UFJF-MG) Um topógrafo foi chamado para obter a altura as cidades A e B é de um edifício. Para fazer isso, ele colocou um teodolito A) 7 km. (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do B) 5,5 km. edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a C) 6 km. 1,5 metro do solo, pode-se concluir que, entre os valores D) 6,5 km. a seguir, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, E) 5 km. em metros, é 04. (UFMG) Observe a figura. D C 30° A B Na figura anterior, o trapézio ABCD tem altura 2/3 e bases A) 112 D) 20 AB = 4 e DC = 1. A medida do lado BC é B) 115 E) 124 A) C) 117 B) Use os valores: C) 4 sen 30° = 0,5 30° = 0,866 tg 30° = 0,577 D) Editora Bernoulli 59</p><p>Frente E Módulo 01 05. (UFOP-MG) Um observador vê um prédio segundo um 02. (UFMG) Observe a figura. ângulo a. Após caminhar uma distância d em direção ao A prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo B. Podemos que a altura h do prédio é B 30° E D Se a medida de EC é 80, o comprimento de BC é h A) 20 C) 8 B) 10 D) 5 a d 03. (PUC Minas) A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e os lados formam uma proporção com os números 3 e 4. perímetro do retângulo, em cm, é de A) A) 14 B) 16 B) C) 28 D) 34 E) 40 04. (CEFET-MG-2009) o projeto de um avião de brinquedo, representado na figura a seguir, necessita de alguns ajustes em relação à proporção entre os eixos AB e CD. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Para isso, deve-se calcular o ângulo do triângulo A, B e C. 01. (UFJF-MG) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um 34,6 cm D navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30° na direção do seu cume, A B como indicado na figura. Depois de navegar mais 2 km 10 cm em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de Então, usando = 1,73, C o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, Considerando que o avião é simétrico em relação ao em quilômetros, é eixo CD e que = 1,73, o valor de é A) D) B) E) 90° C) 05. (UNESP-SP-2008) Dado o triângulo retângulo ABC, cujos 30° 45° catetos são: AB = sen x e BC = cos X, os ângulos em 2 km A) 2,1 2 B) 2,2 C) 2,5 D) 2,7 E) 3,0 4 60 Coleção Estudo</p><p>Trigonometria no triângulo retângulo 06. (UNESP-SP-2008) Dois edifícios, X e Y, estão um em 08. (PUC-SP-2008) Para representar as localizações de frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pontos estratégicos de um acampamento em construção, pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo a em relação foi usado um sistema de eixos cartesianos ortogonais, ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e M edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um representam os locais onde serão construídos os respectivos retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador dormitórios feminino e masculino e R, o refeitório. mede um ângulo em relação ao ponto Q no edifício Y. (metros) y Q F 30° M(30, 0) R Y X (metros) R S h Se o escritório da coordenação do acampamento deverá 10 m X ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, a no sistema, sua representação é um ponto pertencente P T ao eixo das abscissas, quantos metros ele distará do (figura fora de escala) refeitório? Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que A) 10/3 E) 8/3 3 tg a = 4 tg a altura h do edifício Y, em metros, é B) 10 D) 9 40 A) 3 09. (UFJF-MG) valor de y = 10° + 20° + + 40° + 50° + 60° + 70° 50 B) 80° + 90° é 4 A) -1 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5 C) 30 D) 40 10. (VUNESP-SP) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°. Caminhando 23 m em E) 50 direção ao prédio, atingimos outro ponto de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60°. Desprezando 07. (PUC RS) De um ponto A, no solo, visam-se a base B e a altura do observador, a altura do prédio em metros é o topo de um bastão colocado verticalmente no alto de A) entre 10 e 12. D) entre 18 e 19. uma colina, sob ângulos de 30° e 45°, respectivamente. Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina, B) entre 12 e 15. E) maior que 19. em metros, é igual a C) entre 15 e 18. 11. (UFOP-MG-2009) Uma ponte elevadiça está construída sobre um rio cujo leito tem largura igual a 80 m, conforme ilustra B a figura. A largura l do vão entre as rampas dessa ponte, quando o ângulo de elevação das rampas é de 30°, é A 40 m A) 30° 30° B) 2 80 m C) D) A) C) 4(10 20/3) E) B) 4(20 10/3) D) 20(4 Editora Bernoulli 61</p><p>Frente E Módulo 01 12. (PUC-SP) Um dos ângulos de um triângulo retângulo é a. 02. (Enem-2010) Um balão atmosférico, lançado em Se tg a = 2,4, os lados desse triângulo são proporcionais a Bauru (343 quilômetros a noroeste de São Paulo), na A) 30, 40, 50 noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em B) 80, 150, 170 Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. o artefato faz parte C) 120, 350, 370 do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, D) 50, 120, 130 França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do E) 61, 60, 11 comportamento da camada de ozônio e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. 13. (FUVEST-SP-2008) Para se calcular a altura de uma torre, Disponível em: Acesso em: 02 maio 2010. utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, Balão a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. ângulo determinado entre o raio e o solo foi de a = radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de B radianos, com tg = 1,8 Km A B Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? É CORRETO afirmar que a altura da torre, em metros, é A) C) 3,1 km E) A) 4/3 E) 8/3 B) 1,9 km D) 3,7 km B) D) SEÇÃO ENEM GABARITO Fixação 01. (Enem-2006) 01. 04. B 30 cm 02. A 05. A 03. Corrimão 90 cm Propostos 30 cm 01. D 08. B 24 cm, 02. B 09. E 24 03. 10. E 24 24 cm. 90 cm 04. A 11. B 24 cm 05. D 12. D 06. D 13. 07. D Na figura anterior, que representa o projeto de uma escada de 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a Seção Enem A) 1,8 m. C) 2,0 m. E) 01. D 02. C B) 1,9 m. D) 2,1 m. 62 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Arcos e ciclo trigonométrico 02 E ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA arco de circunferência contido num ângulo central é chamado de arco correspondente a esse ângulo. Dois pontos, A e B, de uma circunferência dividem-na em Como a todo ângulo central de corresponde um duas partes denominadas arcos; A e B são as extremidades único arco de contido nesse ângulo, e a todo arco de de cada um desses arcos, que indicaremos por AB ou BA. corresponde um único ângulo central de C, a medida de um ângulo central, relativo a uma circunferência, e a medida do B B arco correspondente, numa mesma unidade, são iguais. B A A AB BA Se A coincide com B, temos um arco de uma volta e um A arco nulo. m(AOB) = m(AB) A=B A B MEDIDAS DE ÂNGULOS arco de 1 volta arco nulo E ARCOS Se A e B são as extremidades de um mesmo diâmetro, temos um arco de meia-volta. Medida em graus Dividindo-se uma circunferência em 360 partes congruentes centro do círculo B A entre si, cada um desses arcos é um arco de um grau o AB: arco de meia-volta Dividindo-se um arco de 1° em 60 partes congruentes entre si, cada um desses arcos mede um minuto Dividindo-se um arco de 1'em 60 partes congruentes entre si, ÂNGULO CENTRAL cada um desses arcos mede um segundo Portanto, 1° - 60' e 1' = Todo ângulo coplanar com uma circunferência C, cujo Para um arco de circunferência com medida a graus, vértice é o centro de C, é denominado ângulo central b minutos e segundos, escrevemos relativo a C. Radiano B C Arco de 1 radiano (rad) é o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém. A a r arco 1 rad AB: arco correspondente ao ângulo central Editora Bernoulli 63</p><p>Frente E Módulo 02 Um modo de definirmos o ângulo de 1 radiano é Exemplos caracterizando-o como o ângulo correspondente a um arco 1°) B + 2°) B de comprimento igual ao do seu raio. Indicando por a a medida, em radianos, de um arco de comprimento l contido numa circunferência de raio r, temos: A A 1°) O: centro do círculo a l Arco orientado AB tem medida rad ou 90° 2 2°) O: centro do círculo Arco orientado BA tem medida rad ou -90° 2 É importante observar que a medida de um ângulo, Ciclo trigonométrico em radianos, só é igual ao comprimento de seu arco se + 1 As medidas de arcos de circunferências em graus e em A X radianos são diretamente proporcionais: 2 Toda circunferência orientada, de centro o e raio unitário, na qual escolhemos um ponto origem dos arcos, Esse fato nos possibilita obter uma forma de conversão é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo de unidades através de uma regra de três simples: trigonométrico. Adotaremos como origem dos arcos o ponto A de interseção do ciclo com o semieixo positivo medida em graus medida em radianos das abscissas Ox. a a No ciclo trigonométrico, a medida absoluta a, em radianos, 180 de um arco e o comprimento l desse arco são iguais, pois = r a a 180 Logo, podemos associar cada número real a um único ponto P do ciclo trigonométrico com o seguinte procedimento: Arco orientado tomamos P A. Em Trigonometria, adotamos o sentido anti-horário de Se percorremos o ciclo no sentido anti-horário. percurso como o positivo e o sentido horário de percurso Se percorremos o ciclo no sentido horário. como o negativo. P A=P A A P Todo arco de circunferência não nulo no qual adotamos um sentido de percurso é chamado de arco orientado. ponto P é a imagem de a no ciclo trigonométrico. 64 Coleção Estudo</p><p>Arcos e ciclo trigonométrico Convenções ARCOS CÔNGRUOS i) sistema de coordenadas xOy divide a circunferência Consideremos P imagem de um arco de 30° no ciclo trigonométrica em quatro quadrantes: trigonométrico. y 90° B P 30° 2.° Q 1.° Q 180° 0° 360° o A' A X 3.° Q 4.° Q 270° B' No sentido anti-horário, dando 1, 2, 3, voltas ii) Será omitido o símbolo rad nos arcos trigonométricos completas, obtemos os arcos de 30° + 1.360° = 390°, em radianos. 30° + 2.360° = 750°; 30° + 3.360° = 1 110°, todos associados a P. iii) Como todo arco trigonométrico tem como extremidade um mesmo ponto, denotaremos o arco apenas pelo Também no sentido horário, dando 1, 2, 3, voltas outro ponto. completas, obtemos os arcos de 30° 1.360° = -330°, Exemplos 30° 2.360° = -690°; 30° 3.360° = todos associados a P. 1°) Partindo de A e percorrendo, no sentido anti-horário, um arco de comprimento obtemos o arco de Logo, podemos associar ao ponto P infinitos arcos de medida positiva, bem como infinitos arcos de medida negativa. Tais arcos podem ser representados por: P 30° + k.360°; k Z ou, em radianos, Z A 6 Como os arcos têm a mesma origem, A, e a mesma imagem, P, dizemos que eles são côngruos entre si ou, 2°) Partindo de A e percorrendo, no sentido horário, um simplesmente, côngruos. arco de comprimento 2, obtemos o arco -2. As medidas dos arcos côngruos a um arco de medida a são dadas por: A a k e Z ou, em graus, a + k.360°; Z P -2 Se 0 a < 2 (ou < 360°), o arco de medida a é a determinação principal ou a determinação Obtemos, assim, o ciclo trigonométrico em radianos não negativa desses arcos côngruos entre e em graus. Notemos que a diferença entre as medidas de dois arcos 2 2 90° 3 2 120° 60° côngruos entre si é igual ao produto de um número inteiro 4 135° 45° por 2 (ou é múltiplo de 360°), isto é, sempre equivale a 6 6 150° 30° um número inteiro de voltas completas. 3 0 2 180° 360° o Exemplos 6 210° 330° 6 1°) Os arcos de são côngruos entre 5 225° 315° 240° 5 300° 3 3 270° si, 2 pois: 27 5 ( 5 ) 5 5 = Editora Bernoulli 65</p><p>Frente E Módulo 02 2°) Os arcos de medidas e não são côngruos Analogamente, temos: 7 7 27 P3) 180° + 30° = 210° entre si, pois = (não é um produto de 7 7 y um inteiro por 3°) Os arcos de medidas 1 110° e 390° são côngruos (30°) entre si, pois: 1 110° - 390° = 720° = 30° A 4°) Os arcos de medidas -30° e 320° não são côngruos entre si, pois -30° - 320° = -350° (não é múltiplo P3 de 360°). 330° SIMETRIAS y Consideremos o ponto P1 associado à medida 30°, no ciclo (30°) trigonométrico. y A P (360° 30°) (30°) A X Temos, então: (30°) . Pelo ponto traçando três retas, uma delas perpendicular . ao eixo das ordenadas, outra que passa pela origem do A X sistema, e a terceira perpendicular ao eixo das abscissas, (180° + 30°) P (360° 30°) obtemos os pontos P, P, e P4, respectivamente. y Generalizando, temos: . (30°) i) Sendo a uma medida em graus: y A X P, (a) . A X Os pontos e P são chamados de simétricos P (360° a) (ou correspondentes) do ponto nos diversos quadrantes. E suas medidas são: P2) ii) Sendo a uma medida em radianos: y (180° 30°) (30°) (a) . . A X A X 66 Coleção Estudo</p><p>Arcos e ciclo trigonométrico EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 03. (PUC-SP) Na figura, têm-se 3 circunferências de centros A, B e C, tangentes duas a duas. As retas QC e PT são 01. (Unimontes-MG-2007) Quando os ponteiros de um Sendo 4 m o raio da circunferência maior, relógio marcam 1h50min, qual a medida do ângulo central quantos metros devemos percorrer para in de P a Q, formado por eles? seguindo as flechas? A) 120° B) 115° C) 110° D) 95° A) 2 B) 3 02. (FUVEST-SP) perímetro de um setor circular de raio R C) T A B P e ângulo central medindo a radianos é igual ao perímetro D) de um quadrado de lado R. Então, a é igual a E) A) B) 2 C) 1 D) E) 3 3 2 Q 03. (UFSCar-SP) Se o ponteiro dos minutos de um relógio 04. (UFSJ-MG) Na figura a seguir, está representado um arco mede 12 centímetros, o número que MELHOR aproxima a circular de espessura desprezível, em repouso, de 1 m de distância em centímetros percorrida por sua extremidade raio, sendo o diâmetro AB perpendicular ao diâmetro CD e em 20 minutos é (Considere = 3,14) A o ponto de contato do aro com a superfície lisa e reta. A) 37,7 cm. D) 12 cm. B B) 25,1 cm. E) 3,14 cm. C) 20 cm. D 04. (FUVEST-SP) Um arco de circunferência mede 300° e seu A comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros? Considerando = 3,14, é CORRETO afirmar que, se o aro rolar, sem deslizar, ininterruptamente, para a direita, A) 157 B) 284 C) 382 D) 628 E) 764 parando depois de 21,98 m, então a figura correspondente nesse momento é a que está na alternativa 05. (PUC Minas) Um ângulo central de uma circunferência de A) A C) raio 5 centímetros intercepta um arco de circunferência de 24 centímetros de comprimento. A medida desse ângulo, em graus, é D C A B 757 864 A) D) B D 786 983 B) B D) D B) E) 805 D B A C) A EXERCÍCIOS PROPOSTOS 05. (PUC Minas) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros 01. (FUVEST-SP) Considere um arco AB de 110° numa devem ter em mente o movimento de oscilação, que é circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais A'B' de 60° numa circunferência de raio 5 cm. Dividindo-se alto de um edifício de 400 m descreve um arco de 0,5°, o comprimento do arco AB pelo do arco A'B' (ambos a medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é medidos em cm), obtém-se A) D) 11 11 B) 2 C) 22 9 A) D) E) 11 6 3 3 B) E) 4 10 02. (UFRGS-RS) As rodas traseiras de um veículo têm 4,25 metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas C) 3 dianteiras dão 15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência de cada roda dianteira mede 06. (UFRGS-RS) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas A) 2,125 metros. C) 3,4 metros. e vinte minutos. MENOR ângulo entre os ponteiros é B) 2,25 metros. D) 3,75 metros. A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65° Editora Bernoulli 67</p><p>Frente E Módulo 02 07. (PUC-SP) João e Maria costumavam namorar atravessando 12. (UFMG) A medida, em graus, de um ângulo que mede um caminho reto que passava pelo centro de um canteiro 4,5 rad é circular, cujo raio mede 5 m. Veja a figura 1. 4,5 810 A) C) E) canteiro B) D) 810 P 13. Em uma circunferência de 5 cm de raio, marca-se caminho do passeio um arco de 8 cm de comprimento. Em radianos, esse arco vale canteiro 8 8 A) B) C) 8 D) E) 5 5 Figura 1 Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de SEÇÃO ENEM partida P, partiram emburrados, e, ao mesmo tempo, para o ponto de chegada C. Maria caminhou pelo diâmetro do 01. (Enem-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, canteiro e João andou ao longo do caminho que margeava o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", o canteiro (sobre o círculo), cuidando para estar sempre à conseguiu realizar a manobra denominada "900", "mesma altura" de Maria, isto é, de modo que a reta MJ, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta formada por Maria e João, ficasse sempre perpendicular no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" ao diâmetro do canteiro. Veja a figura 2. refere-se ao número de graus que o atleta gira no an em ] torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a A) uma volta completa. D) duas voltas e meia. B) uma volta e meia. E) cinco voltas completas. P C C) duas voltas completas. M 02. (Enem-2009) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo X, como mostra a figura, e suponha que Figura 2 o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância Quando a medida do segmento PM, percorrido por Maria, d r sobre a circunferência. for igual metros, o comprimento do arco de y 2 circunferência PJ, percorrido por João, será igual a P r A) 3 m. D) o Q B) E) 3 m Então, o ponto Q percorrerá, no eixo uma distância C) dada por A) r D) sen 08. (UFOP-MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500 km em torno de uma pista circular de raio B) r 200 m. número aproximado de voltas que ele deve dar é r E) COS A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500 C) 09. (UniBH-MG) Considerando = 3,14, o número de voltas completas que uma roda de raio igual a 40 cm, incluindo o pneu, dará para que o automóvel se desloque 1 quilômetro será de GABARITO A) 290 B) 398 C) 2 000 D) 3 980 Fixação 10. (UFC-CE) Um relógio marca que faltam 15 minutos para as 01. B 02. B 03. B 04. 05. D duas horas. Então, o MENOR dos dois ângulos formados pelos ponteiros das horas e dos minutos mede Propostos A) 142°30' C) 157°30' E) 01. 04. A 07. A 10. A 13. D B) 150° D) 135° 02. C 05. D 08. D 03. D 06. B 09. B 11. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? Seção Enem 16 01. D 02. B A) B) C) D) E) 9 3 3 2 3 68 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Funções seno e cosseno 03 E FUNÇÃO PERIÓDICA Dizemos também que OP, é o seno de AOP ou de AP. 2 Uma função y = f(x) é periódica, de período p, se existe sen R 0, tal que para todo pertencente ao domínio da função eixo Oy passa a ser denominado, então, como eixo dos senos. FUNÇÃO SENO No ciclo trigonométrico a seguir, a é a medida do ângulo GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO AOP, e o triângulo OP P é retângulo. (SENOIDE) y B P y 2 1 1 a 2 . 1 A X 2 2 1 2 X 643 2 D -1 Utilizando a definição de seno para ângulos agudos num A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1], isto é, triângulo retângulo, podemos escrever: -1 < sen < 1, para todo x real. P.P sen a = em que OP = 1, e é a ordenada de P, ou seja: OP A função seno é periódica, e seu período é 2. sen a = ordenada de P SINAL A função seno é a função, de R em R que para todo número a associa a ordenada do ponto P (imagem de a no Vamos analisar o sinal de sen a quando P (imagem de a ciclo trigonométrico). no ciclo trigonométrico) pertence a cada um dos quadrantes. sen: R R: a Eixo dos senos: y sen B(0,1) P a 1 a + A(1, 0) + C(-1, 0) o - a Editora Bernoulli 69</p><p>Frente E Módulo 03 VALORES NOTÁVEIS FUNÇÃO COSSENO No ciclo trigonométrico a seguir, a é a medida do ângulo sen agudo AOP, e o triângulo é y 5 1) 6 P 1 6 1 2 a TO 1 C(-1, 0) 6 2 6 7n X 6 6 sen Utilizando a definição de cosseno para ângulos agudos num triângulo retângulo, podemos escrever: 4 4 COS a = OP em que OP = 1, e OP, é a abscissa de P, ou seja: TO 4 2 a = abscissa de P 4 4 4 A função cosseno é a função, de R em R, que para todo 2 número a associa a abscissa do ponto P (imagem de a no 5 4 círculo trigonométrico). 4 cos: R R: a a = y B(0,1) sen P 2 1 3 C(-1, 0) 3 2 3 2 3 D(0, -1) Dizemos, também, que OP, 1 é o cosseno de AOP ou de 3 3 AP, e indicamos: cos AOP = cos AP = OP, SENOS DE ARCOS CÔNGRUOS eixo Ox passa a ser denominado, então, como eixo dos cossenos. Qualquer que seja o número real a, os arcos de medida a GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO e + k E Z, têm a mesma origem A e a mesma extremidade P. Logo: (COSSENOIDE) y 2 1 2 1 2 TO 2 2 Exemplos 643 1°) sen 750° = sen 390° = sen 30° = 2 -1 2°) A determinação principal do arco de medida 29 rad A imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1], isto é, 3 -1 X 1, para todo real. mede 3 rad. Então, sen 29 3 = sen 3 = 2 A função cosseno é periódica, e seu período é 2. 70 Coleção Estudo</p><p>Funções seno e cosseno SINAL Exemplos 1°) 8 = cos = cos 4 = cos 2 = cos 0 = 1 Vamos analisar o sinal de a quando P (imagem de a no ciclo trigonométrico) pertence a cada um dos quadrantes. 20 2°) A determinação principal do arco de medida rad 3 a mede 3 rad. Então, cos 20 3 = 2 3 = 2 1 a - + cos PERÍODO DE FUNÇÕES - + a ENVOLVENDO SENO E COSSENO Sabendo-se que as funções seno e cosseno são periódicas, e seu período é 2, podemos calcular o período p das VALORES NOTÁVEIS seguintes funções: 6 i) m 6 o ii) f(x) = cos (mx p = m # 0 /3 m 2 2 6 6 6 Demonstração: i) Seja f(x) = sen (mx + n), 3 4 4 Como o período da função sen é igual a 2, obtemos 4 um período de f(x) quando o arco (mx + n) variar, por exemplo, de 0 a 2 Assim: 4 2 2 4 n = m 4 4 n X = m m 2 3 Como o período p é positivo, temos: = m m ( m in ) = 2 m 1 1 2 2 ii) A demonstração é análoga. 3 Exemplos 3 3 COSSENOS DE ARCOS CÔNGRUOS 2 p y Qualquer que seja o número real a, os arcos de medidas a 1 e a + k E Z, têm a mesma origem A e a mesma extremidade P. Logo: 2 2 2 = cos a, k E Z -1 Editora Bernoulli 71</p><p>Frente E Módulo 03 Gráfico: 2 y p p = 2 2 1 2 1 y y = sen X 1 2 2 2 o -1 -1 m+3 02. Determinar m de modo que se tenha cos = 2 Resolução: Como -1 RELAÇÃO FUNDAMENTAL m+3 ENTRE SENO E COSSENO 2 Utilizando as razões trigonométricas num triângulo EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO retângulo, já havíamos deduzido que: 01. (VUNESP-SP) Uma máquina produz diariamente dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, Tal relação é conhecida como a Relação Fundamental da respectivamente, pelas funções: Trigonometria, e pode ser demonstrada facilmente no ciclo trigonométrico. C(x) = 2 - cos ( ) e V(x) = 3/2 sen Tomemos um ângulo a tal que < a < (os demais casos 2 o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de são demonstrados de maneira análoga). peças é A) 500 C) E) B) 750 P 1 02. (PUC Minas) Se cos a = 1 e a é um ângulo do terceiro 4 a quadrante, então o valor de sen a é igual a X V15 V11 V15 A) C) E) 4 4 4 V13 B) D) 4 4 Assim, temos: a e OP=1 03. (UFES) período e a imagem da função Pelo Teorema de Pitágoras, temos: E R, são, respectivamente, = 1 A) 2 D) 2 e [-3, 3] B) 2 e 8] E) e [-3, 3] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS C) e [2, 8] 04. (UFU-MG) Se f é a função real dada por f(x) = 2 (4x), 01. Dar o domínio, o conjunto imagem e o gráfico de então é CORRETO afirmar que X. A) o gráfico de f intercepta o eixo dos x. Resolução: B) f(x) 3 e f(x) 1, para todo X E R. C) f(x) 2 para todo E R. Domínio: D = R Conjunto imagem: todo X e R. 2 72 Coleção Estudo</p><p>Funções seno e cosseno 05. (VUNESP-SP) Observe o gráfico. 04. (UFES) Qual das equações representa a função y trigonométrica cujo gráfico está na figura a seguir? 2 2 6 2 2 2 2 3 -2 -2 TO X 2 2 -2 Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é D) sen 2x A) -2 3x D) 3 sen 2x B) E) B) -2 sen 3x E) 3 cos 2x 2 2 C) 2 3x C) 05. (Unimontes-MG-2008) Considere a função f: R R dada EXERCÍCIOS PROPOSTOS por Assim, podemos afirmar que 01. (FJP-MG-2010) Observe a seguinte figura que lembra um dos mais bonitos cartões postais de Belo Horizonte. A) C) = B) 12 m 06. (Mackenzie-SP) A função real definida por f(x) = k.cos (px), tem período e conjunto imagem [-7, 7]. 15,70 m Então, kp vale Parece que o arquiteto Oscar Niemeyer se inspirou no A) 7 C) 2 E) 14 arco de uma senoide para fazer a fachada da Igreja da B) 7 D) 7 2 Pampulha. Se assim foi, das funções a seguir, a que mais 2 se aproxima da função que o inspirou é 07. (UFPel-RS) conjunto imagem da função f: R R, 15,70x A) f(x) = 12 sen (5x) C) f(x) = 12 sen definida por f(x) = 2 sen (x) 3, é o intervalo A) [-1,1] D) [-1, 5] B) f(x) = 12 sen 15,70x 12 E) [-5,-1] 02. (FUVEST-SP) A figura a seguir mostra parte do gráfico da 08. (FUVEST-SP) de MENOR valor função 6 1 4 2 E) 3 2 09. (Unimontes-MG-2008) Dado sen 2 o é -2 B) 4 3 2 3 A) sen X D) 2 sen 2x B) E) sen 2x 10. (Cesgranrio) Seja f: R definida por: C) 2 sen X 03. (Cesgranrio) Se sen (x) - cos (x) = o valor de valor de que torna f(x) máximo é sen (x) cos (x) é igual a A) 0 D) 3 3 3 3 C) E) 8 B) 2 E) 3 2 3 3 B) D) C) 8 4 3 Editora Bernoulli 73</p><p>Frente E Módulo 03 11. (UFES) Considere que V(t), o volume de an nos pulmões SEÇÃO ENEM de um ser humano adulto, em litros, varia de, no mínimo, 2 litros a, no máximo, 4 litros, sendo t a variável tempo, 01. (Enem-2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos em segundos. Entre as funções a seguir, a que MELHOR após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de descreve V(t) é distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por: Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de A) 12 765 km. D) 10 965 km. B) 12 km. E) km. 12. (UEL-PR) Seja a medida de um arco em radianos. C) km. número real a, que satisfaz as sentenças sen 2 tal que 02. As vendas de uma certa empresa são muito oscilantes, devido à sazonalidade do produto que fabrica. o cálculo do número de produtos vendidos pode ser fornecido pela seguinte função, cujos valores são expressos em milhares de reais: V(t) = 250 50.sen em que t representa cada mês do ano; 2: fevereiro, e assim por diante). 13. (UFJF-MG) A figura a seguir mostra, no plano cartesiano, Com base nessas informações, as vendas da empresa são uma circunferência centrada na origem, de raio igual a 1, A) maiores nos meses de janeiro, maio e setembro. passando pelos pontos B e C. Nessa figura, os pontos o, B) maiores nos meses de fevereiro, abril, junho, agosto, e D são colineares, os segmentos de retas AC e BD outubro e dezembro. são paralelos ao eixo y e é o ângulo que o segmento C) maiores nos meses de março, julho e novembro. de reta OD faz com o eixo D) menores nos meses de fevereiro, abril, junho, agosto, y outubro e dezembro. D E) nulas nos meses de fevereiro, abril, junho, agosto, outubro e dezembro. A B X GABARITO Fixação 01. C 02. A 03. C 04. B 05. B Com respeito a essa figura, é CORRETO afirmar que A) OA = sen Propostos 01. B 04. A 07. E 10. D 13. B) OC = cos 02. B 05. B 08. B 11. C) BD = AC 03. C 06. C 09. B 12. D OA Seção Enem D) 01. B 02. C E) 1 74 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Funções tangente, cotangente, 04 E secante e cossecante FUNÇÃO TANGENTE Gráfico Pela origem A dos arcos, consideremos o eixo AT paralelo a Oy, passando por A. x 0 Temos que a é a medida do ângulo agudo AOP, e o 6 4 3 2 2 triângulo OAT é retângulo. y 1) tg x 0 1 0 0 3 T C(-1, 0) A(1,0) 3 1 D(0, -1) X 2 643 2 Portanto, utilizando a definição de tangente para ângulos agudos num triângulo retângulo, podemos escrever AT = em que OA = 1, e AT é a ordenada de T, ou seja: OA tg a = ordenada de T A imagem da função tangente é R. A função tangente é a função de R - + Z em R, A função tangente é periódica, e seu período é 2 que para todo número a associa a ordenada do ponto T, interseção de AT com OP (em que P é a imagem de a no OBSERVAÇÃO ciclo trigonométrico). tg: R - + ke R (mx + n) => p = , 2 m tg a = AT y B(0,1) Sinal T Vamos estudar o sinal de tg a quando P (imagem de a no C(-1, 0) a A(1,0) ciclo trigonométrico) pertence a cada um dos quadrantes. X tg a - + Dizemos, também, que AT é a tangente de AOP ou de AP. tg AOP = tg AP = AT + eixo AT passa a ser denominado, então, eixo das tangentes. Editora Bernoulli 75</p><p>Frente E Módulo 04 Valores notáveis RELAÇÃO ENTRE TANGENTE, SENO E COSSENO tg Qualquer que seja a E D(tg), se # , k Z, existem os 6 6 3 triângulos retângulos OAT e OP,P semelhantes. Logo: 6 tg T 6 B T 3 P 3 a 6 1 1 a 6 a a a A A P. a 1 tg 1 4 4 D 4 AT OA tg 1 sen a = tg a = P.P OP sen a cos a cos 1 1 4 A análise dos sinais de tg a, sen e a e o estudo dos 5 casos particulares nos permite concluir que: 4 -1 4 sen e 2 tg 3 2 OUTRAS FUNÇÕES 3 3 TRIGONOMÉTRICAS 3 Função cotangente Definiremos a função cotangente utilizando as funções 3 seno e cosseno da seguinte forma: 3 3 a = a # k sen a Como consequência imediata, temos: cotg tg 1 a # 2 Z TANGENTES DE ARCOS Gráfico CÔNGRUOS cotg Qualquer que seja o número real a, os arcos de medidas a e + k têm a mesma origem A e a mesma 2 extremidade P. Logo: = tg a, a D(tg), A imagem da função cotangente é Exemplos A função cotangente é periódica, e seu período é 1°) tg 1 38 OBSERVAÇÃO 2°) A determinação principal do arco de medida rad 3 3 rad. Então: tg 38 2 3 f(x) = cotg (mx + n) p = m 76 Coleção Estudo</p><p>Funções tangente, cotangente, secante e cossecante Função secante RELAÇÃO ENTRE Definiremos a função secante utilizando a função cosseno, SECANTE E TANGENTE da seguinte forma: E ENTRE COSSECANTE sec a = 1 + k e 2 E COTANGENTE Gráfico Dividindo os membros de + = 1 por a, sec X sendo # 0, temos: 1 a a 1 X 2 2 2 2 -1 2 Analogamente, dividindo por a, sendo sen a # 0, temos: A imagem da função secante é R (-1, 1). 1 + A função secante é periódica, e seu período é 2. OBSERVAÇÃO f(x) = sec AO 1° QUADRANTE Consideremos os pontos P3 e P simétricos no ciclo Função cossecante trigonométrico. Definiremos a função cossecante utilizando a função seno, da seguinte forma: B(0, 1) 1 a = a # k E . P (cos X, sen x) sen a X I Gráfico X cosseo C(-1, 0) cos A(1,0 + 1 2 X -1 Se determina um arco de medida A imagem da função cossecante é R - (-1, 1). P, e determinam, respectivamente, arcos de medidas A função cossecante é periódica, e seu período é Pelas definições de seno e de cosseno, temos: OBSERVAÇÃO X, sen x); f(x) 0 = cossec + p sen e sen x)). Editora Bernoulli 77</p><p>Frente E Módulo 04 Aplicando as simetrias das coordenadas, obtemos: 3°) Reduzindo 310° ao 1° quadrante, temos: Pontos Abscissas Ordenadas B B 50° = sen 50° o A C 310° A Tais relações são válidas para todo número real X. D 310° 310° Exemplos sen 310° = -sen 50°; 310° = COS 50°; 1°) Reduzindo ao 1° quadrante, temos: 5 tg 310° = -tg 50°; cotg B B sec 310° = sec 50°; cossec 310° = -cossec 50°; 5 5 5 sen sen 5 5 5 RELAÇÕES ENTRE ARCOS C . A C A 5 5 COMPLEMENTARES D D Considerando um arco de medida que seu arco complementar tem No ciclo trigonométrico, temos: 2 5 . cotg 1 1 P2 P, X X 1 0 2 cossec 5 5 cossec cossec 2°) Reduzindo 220° ao 1° quadrante, temos: 2 B B sen 40% 40° Pelas definições de seno e cosseno, temos: cos 220° P (cos X, sen x) e cos sen . A A sen Da congruência dos dois triângulos retângulos anteriores, 220° 220° obtemos: D D sen 220° = -sen 40°; 220° = -COS 40°; sen = cos = tg 220° = tg 40°; cotg 220° = cotg 40°; sec 220° = -sec 40°; cossec 220° = -cossec 40°; Tais relações são válidas para todo número real 78 Coleção Estudo</p><p>Funções tangente, cotangente, secante e cossecante EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Provar que 1 para todo x real, 01. (Unifor-CE) valor de tg 150° + 2 sen 120° cos 330° é igual a Resolução: (1 + 6 02. Provar todo 2 02. (FUVEST-SP) Qual das afirmações a seguir é Resolução: VERDADEIRA? = A) sen 210° < cos 210° < tg 210° B) cos 210° < sen 210° < tg 210° = = 1 1 C) tg 210° < sen 210° < cos 210° x.sen X X D) tg 210° < cos 210° < sen 210° = (x) E) sen 210° < tg 210° < cos 210° EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 03. (UFG-GO-2008) Dois observadores, situados nos pontos A e B, a uma distância d um do outro, como mostra a figura 01. (UFTM-MG) Se (x) = 3, pode-se a seguir, avistam um mesmo ponto no topo de um prédio de altura H, sob um mesmo ângulo com a horizontal. 1 E) H 2 . 2 B 02. (UFOP-MG-2008) Se é CORRETO A d 2 afirmar que sen (x) + (x) vale Sabendo que o ângulo também mede e -1-a 1-a C) desconsiderando a altura dos observadores, a altura H do prédio é dada pela expressão 1+a -1+a B) sen cos 03. (FUVEST-SP) Se éum a a tg sen 0 A) a B) C) sec a 04. (Cesgranrio) Se sen a então o valor de 04. (UEL-PR) A função dada por f(x) = (tg x) (cotg x) está definida se, e somente se, sen sen é A) é um número real qualquer. A) 0 3 3 D) E) 2 3 B) sendo k e 2 C) sendo 05. (UFJF-MG-2006) Dois ângulos distintos, menores que 360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a A) 45° B) 90° C) 180° D) 270° E) 360° Editora Bernoulli 79</p><p>Frente E Módulo 04 05. (Fatec-SP) Sexé um arco do 3° quadrante e 13. (Cesgranrio) Se é ângulo agudo, tg é igual a então cossec X é igual a A) tg E) 5 3 C) 5 3 D) 4 5 E) 3 5 06. (PUC Minas) arco que tem medida em radianos é tal SEÇÃO ENEM que valor do sen é 01. lucro mensal de uma empresa, em reais, é dado por: A) B) 3 D) 3 E) 2 L(t) = + sec 07. (UEA-AM) Sabendo que sen e que está no Em que t representa os meses do ano. o lucro dessa 1° quadrante, o valor de cotg é empresa, em reais, no mês de fevereiro, é de A) 2 B) 3 1 C) D) 5 3 E) 5 A) C) 10 000 E) 3 2 B) 9 500 D) 10 500 08. (UFPA) Qual das expressões a seguir é idêntica a 02. Carlos, administrador de empresas, está realizando um ? cotg (x) sen (x) trabalho de pesquisa sobre duas empresas concorrentes A e B. Nesse trabalho, ele está usando várias informações A) sen X C) tg E) cotg X sobre cada uma delas, como lucro mensal, quantidade B) X D) de funcionários e de clientes. 09. (UFRGS) Para todo X E valor de lucro ao longo de um ano de cada empresa, em milhares de reais, é fornecido pela seguinte função do tempo t, em meses, sendo t = 1 correspondente ao mês de janeiro: A) -1 C) 1 B) 0 D) 12 10. (UFRN) A figura a seguir é composta de dois eixos perpendiculares entre si, e y, que se intersectam no 24 centro o de um círculo de raio 1, e outro eixo paralelo orientador do trabalho de pesquisa de Carlos pediu a y e tangente ao círculo no ponto P. A semirreta OQ, para ele fazer uma análise mensal sobre os lucros de com Q pertencente a forma um ângulo a com o eixo y. cada uma das empresas. Portanto, Carlos poderá afirmar y Z que, no mês de abril, A) a empresa A lucrou R$ 20 000,00 a mais que a Q empresa B. B) a empresa B lucrou R$ a mais que a a empresa A. . C) a empresa A lucrou R$ 25 000,00 a mais que a P X empresa B. D) a empresa B lucrou R$ a mais que a empresa A. E) as duas empresas tiveram lucros iguais. Podemos afirmar que o valor da medida do segmento PQ é A) sec a B) tg a C) cotg a D) a GABARITO 11. (FUVEST-SP) O dobro do seno de um ângulo Fixação é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, 01. D 02. A 03. A 04. A 05. C o valor de seu cosseno é Propostos A) 2 3 B) 2 C) 2 D) 2 E) 3 01. E 04. D 07. E 10. C 13. D 02. B 05. A 08. B 12. (Uscal-BA) Qualquer que seja o número real X, 03. D 06. D 09. A 12. a expressão cos4 (x) (x) é equivalente a A) D) 2 Enem B) 2 (sen E) (sen (x) + (x)) X 01. D 02. C) 2 1 80 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Funções soma e fatoração 05 E SEN (A Da mesma forma, para todo X, tem-se: Observe-se que: sen # sen 30° + sen 60°, De fato: Assim, sen (a + b) # sen a + sen b. 2x = (x+x) = X.COS - sen x.sen Fórmulas = Exemplos Quaisquer que sejam os valores de a e b, valem as seguintes identidades: 1°) I sen = sen a.cos b + sen b.cos a 2°) II sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a 3°) III cos = cos a.cos b - sen a.sen b IV = cos a.cos b + sen a.sen b 4°) 2 2 Exemplo Observamos que, ao utilizarmos a relação fundamental Calcular sen X = 1, podemos obter duas outras fórmulas Resolução: para cos 2x, que são: Como 75° = 45° + 30°, tem-se: sen 75° = sen (45° + 30°) sen 75° = sen 45°.cos 30° + sen sen + 2222 4 SEN 2X E 2X Observe-se que tg + 120°) # tg + tg 120°, pois: Para todo X, tem-se: sen 3 De fato: sen 2x = sen = sen sen = 2.sen Fórmulas Exemplos i) Sendo a, 1°) sen 2°) sen 20° = 2.sen 10° 3°) Demonstração: 4°) sen sen sen b.cos a Editora Bernoulli 61</p><p>Frente E Módulo 05 Dividindo-se o numerador e o denominador por cos a.cos b, A partir delas, é possível concluir que: a i) sen b ii) sen - sen = 2.sen b.cos a iii) + = 2.cos a.cos b iv) (a + b) - cos = -2.sen a.sen b ii) Essas fórmulas transformam somas e diferenças em produtos. Para facilitar o seu uso, convém escolher novas variáveis p e q, tal que a A demonstração é análoga à anterior. Resolvendo o sistema: TG 2X = a e b = Sendo X Assim, as fórmulas ficam: 2 I X 2 Demonstração: II III Exemplos IV DA SOMA E 2 FATORAÇÃO DA SOMA E DE TANGENTES DIFERENÇA DE SENOS E COSSENOS A fatoração de uma expressão é um recurso muito importante para a simplificação de frações, bem como para a resolução de equações e de inequações. Assim, Dedução de fórmulas Sejam as fórmulas: sen = sen a.cos b + sen b.cos a; Analogamente, demonstra-se que: sen = sen a.cos b - sen b.cos a; (a+b) = a.cos b - sen a.sen b; = cos a.cos b + sen a.sen b. 62 Coleção Estudo</p><p>Funções soma e fatoração EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (FUVEST-SP) Nos triângulos retângulos da figura, 01. (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, em que os ângulos cm, BC = 7 cm, AD = BD. Sabendo que são retos e os lados têm as medidas indicadas, sen = sen a.cos b - cos a.sen b, o valor de sen X é o valor de sen A é D B X 2x C C . A X 2x D A B V2 A) 2 2 5 A) B) E) 7 5 2 E) 1 5 02. (FUVEST-SP) valor de (tg 10° + cotg 10°).sen 20° é 02. (Unifor-CE) valor da expressão A) 2 1 B) 1 C) 2 D) 5 2 E) 4 y + sen x.sen y, D) 1 03. (UFSM-RS) valor da expressão 4.sen 2x, 2 2 2 A) 1 D) 2 C) 0 03. (FUVEST-SP) o valor de (sen + é A) 2 3 04. (FUVEST-SP) Se cos 3 então cos X vale 4 8 8 E) 2 3 B) 8 4 2 C) 4 04. (UFJF-MG) o valor de - sen 05. (UFTM-MG-2008) sen + = n e sen D) 1 a B) B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 06. (Mackenzie-SP) Se e X então tg 2x vale 5 05. (UFC) Se sen + o valor de sen 24 A) D) 8 7 3 2 3 C) D) 3 2 3 3 3 Editora Bernoulli 63</p><p>Frente E Módulo 05 07. (PUC Rio) Se tg 3x = 4, então tg 6x é igual a 14. (FGV-SP-2009) Seja ABCD um quadrado, e Q pontos médios de BC e CD, respectivamente. Então, sen é A) 8 D) 4 igual a P 8 5 B E) 8 4 Q 08. (UFSJ-MG) Se cossec = então o valor de cos 20 é B A) 0,4 C) 0,6 A D 3 V10 4 5 09. (PUC Minas) A expressão A) B) C) D) E) é igual a 5 5 5 5 6 A) 15. (FUVEST-SP-2010) A figura representa um quadrado B) cotg a + cotg C) sec a + sec ABCD de lado 1. ponto F está em BC, BF mede 4' D) cossec + o ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo E) a + Nessas condições, o segmento DE mede A B 10. (PUC RS) A expressão cos4 a + a é idêntica a A) 2.cos B) 2.sen 2a F C) cos 2a D) sen 2a E) cos 2a - sen D E 11. (PUC Minas) X, para todo x real, é CORRETO A) D) afirmar que M é igual a 40 40 13/5 D) B) E) 40 40 2 B) E) 2 C) 40 C) 2 GABARITO 12. (Unifor-CE) A expressão é equivalente a Fixação 2 2 01. 03. A A) 1 02. B 04. D B) 0 Propostos 2 01. 06. A 11. 13. (UECE) Se P = sen 40° 40° , então 1 é igual a sen 02. 07. B 12. D A) 20° 03. E 08. D 13. B) 04. D 09. A 14. B C) 05. E 10. A 15. D D) 64 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Equações e inequações 06 E trigonométricas EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS Em resumo, para temos: Sejam f(x) e g(x) duas funções trigonométricas. Para resolver a equação trigonométrica f(x) = g(x), devemos reduzi-la a uma das três equações seguintes: i) sen a = sen DA EQUAÇÃO ii) a = a = COS Estas são denominadas equações fundamentais. Se a = = OP, então as imagens de a e no ciclo estão sobre a reta r, que é perpendicular ao eixo dos cossenos no ponto isto é, estão em P ou P'. DA EQUAÇÃO Há, portanto, duas possibilidades: SEN a = SEN i) a e têm a mesma imagem, isto é, são côngruos; ou ii) ae têm imagens simétricas em relação ao eixo dos Se sen a = sen = então as imagens de a e no cossenos. ciclo estão sobre a reta r, que é perpendicular ao eixo dos senos no ponto isto é, estão em P ou V Há, portanto, duas possibilidades: P i) a e têm a mesma imagem, isto é, são côngruos; ou ii) a e têm imagens simétricas em relação ao eixo dos o A senos, isto é, são suplementares. V P' A P. P Em resumo, para k temos: u Editora Bernoulli 65</p><p>Frente E Módulo 06 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SENX>M Marcamos sobre o eixo dos senos o ponto tal que OP, = m. Traçamos por P1 a reta r, perpendicular ao eixo. então as imagens de a e estão As imagens dos reais X, tais que sen > m, estão na sobre a reta r, determinada por o e T, isto é, estão em P ou P'. interseção do ciclo com o semiplano situado acima de r. Há, portanto, duas possibilidades: Finalmente, descrevemos os intervalos aos quais pode pertencer, tomando o cuidado de partir de A e de percorrer i) ae têm a mesma imagem, isto é, são côngruos; ou o ciclo no sentido anti-horário até completar uma volta. ii) ae têm imagens simétricas em relação ao centro do ciclo. V r P T r X A u o A u Exemplo Em resumo, para temos: Resolver a inequação sen em R. Procedendo conforme foi indicado, para k Z, temos: 5 ou 4 4 V INEQUAÇÕES FUNDAMENTAIS Dadas f(x) e g(x) duas funções trigonométricas, as inequações trigonométricas f(x) > g(x) ou f(x) < g(x) podem ser reduzidas a inequações de um dos seis tipos: 2 u i) 2 ii) sen 4 4 iii) iv) v) Notemos que escrever 4 X 4 + estaria vi) errado, pois, como existe algum nesse Em que m é um número real dado a denominadas 4 inequações fundamentais. intervalo. 66 Coleção Estudo</p><p>Equações e inequações trigonométricas DE SEN X < M r Marcamos sobre o eixo dos senos o ponto tal que = m. Traçamos por P1 a reta r, perpendicular ao eixo. As imagens dos reais X, tais que sen < m, estão na interseção do ciclo com o semiplano situado abaixo de r. P. A u 2 Finalmente, partindo de A e percorrendo o ciclo no sentido anti-horário até completar uma volta, descrevemos os intervalos que convêm ao problema. V Exemplo Resolver a inequação > em R. P1 r Procedendo conforme foi indicado, para k e Z, temos: X A u + 6 6 Exemplo Resolver a inequação sen < 2 Procedendo conforme foi indicado, para k Z, temos: u 0 + + 2 6 6 6 6 6 DE COS X M 1 2 Marcamos sobre o eixo dos cossenos o ponto tal que u OP2 = m. Traçamos por P, a reta r, perpendicular ao eixo. As imagens dos reais X, tais que cos < m, estão na interseção do ciclo com o semiplano situado à esquerda de r. Para completar, descrevemos os intervalos que convêm ao problema. r DE COS X > M Marcamos sobre o eixo dos cossenos o ponto tal que OP, = m. Traçamos por a reta r, perpendicular ao eixo. A u As imagens dos reais X, tais que X > m, estão na interseção do ciclo com o semiplano situado à direita de r. Para completar, descrevemos os intervalos que convêm ao problema. Editora Bernoulli 67</p><p>Frente E Módulo 06 Exemplo Resolver a inequação X R. 2 Procedendo conforme foi indicado, para k E Z, temos: V 2 1 2 3 + < 3 4 V 0 u 2 3 4 1 2 2 u 3 Marcamos sobre o eixo das tangentes o ponto T, tal que DE X > AT = m. Traçamos a reta r = OT. As imagens dos reais X tais que tg X < m, estão na interseção do ciclo com o ângulo TOB' + para k e Z. Marcamos sobre o eixo das tangentes o ponto T, tal que AT = m. Traçamos a reta r = OT. As imagens dos reais Para completar, descrevemos os intervalos que convêm tais que tg X > m, estão na interseção do ciclo com o ângulo ao problema. TOB + para k e Z. V r Para completar, descrevemos os intervalos que convêm B T ao problema. V r B T A' A u A' A u B' B Exemplo Resolver a inequação tg em R. Exemplo Procedendo conforme foi indicado, para k e Z, temos: Resolver a inequação tg em R. + 3 + ou < Procedendo conforme foi indicado, para k temos: 4 + < 2 + ou 4 + < X < 2 + ou + < X < 2 + 2 que podem ser resumidos em: que podem ser resumidos em: 68 Coleção Estudo</p><p>Equações e inequações trigonométricas 05. (VUNESP) conjunto solução de para é definido por 6 2 3 0 u 6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3 2 01. (UFLA-MG-2009) conjunto verdade (conjunto solução) da equação sen = EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO A) 01. (UFU-MG) Considere que feg são as funções reais de variável real dadas, respectivamente, por B) Z f(x) = 1 + sen Desse modo, podemos afirmar que, para X E os gráficos de Z f e g cruzam-se em A) 1 ponto. C) 3 pontos. B) 2 pontos. D) nenhum ponto. 02. (UNIRIO-RJ) conjunto solução da equação 02. (Unifor-CE) Para todo número inteiro k, o conjunto solução dos números sendo um arco da volta positiva, é dado por reais iguais a A) {60°,300°} D) {30°, 150°, 210°, 330°} B) {30°,330°} E) {15°, 165°, 195°, 345°} C) {30°,150°} 03. (UFRGS) o conjunto solução da equação 03. (UFJF-MG) o conjunto solução da equação 2x| = A) D) B) B) E) D) 04. (CEFET-MG-2009) o conjunto solução da equação 04. (Mackenzie-SP) Se a é a soma das soluções da equação é resolvida em [0, 2], A) 3' 3 E) E) D) Editora Bernoulli 69</p><p>Frente E Módulo 06 05. (UFJF-MG-2009) Os valores de X [0, que satisfazem 12. (Unimontes-MG-2009) As soluções da equação a desigualdade cos X < 2 são no intervalo [0, 2], são e 17n A) D) 6 6 6 6 6 6 B) 2 E) 6 6 6 6 13. (UFTM-MG-2008) Na figura, na qual estão representados C) os gráficos das funções f(x) = X e g(x) = x.cos2 P é um ponto onde dois gráficos se interceptam. 06. (Unifor-CE) número de soluções da equação 2.sen = 4 no intervalo A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 P 07. (UNIRIO-RJ) conjunto solução da equação sen é O k X A) C) 4 E) Se k é a abscissa do ponto P, então o valor de f(2k) é igual a 3 2 B) 2 C) D) E) 0 4 8 08. (UFV-MG) Se então 14. (UEL-PR) 2], o número de soluções da equação X é 6 2 2 C) 3 D) 4 15. (UFU-MG) conjunto solução da desigualdade 2 1 2 A) 6 09. (UEL-PR) Sexe [0, 2], então cos se, e somente B) 2 6 6 se, satisfizer à condição 3 3 C) ou 6 6 2 D) 6 6 C) E) 6 ou 6 2 E) 3 3 GABARITO 10. (Cesgranrio) arco é medido em radianos. Então, Fixação a soma das duas menores raízes positivas de 01. B 02. D 03. C 04. C 05. A A) B) 3 2 5 4 5 Propostos 11. (UFC) Considere a equação 01. B 04. B 07. E 10. B 13. B Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que 02. D 05. E 08. 11. D 14. D pertencem ao intervalo [0, 4] é 03. A 06. A 09. E 12. B 15. E A) 1 B) -1 C) 0 D) E) 2 70 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Triângulo retângulo 07 D INTRODUÇÃO Para demonstrar o Teorema de Pitágoras, basta adicionar, membro a membro, as relações = an e Considere o triângulo retângulo ABC a seguir: = am, obtendo: A + = an + am b Como + m = a, concluímos que: h m B H a Em que: OBSERVAÇÃO b e são as medidas dos catetos; recíproco Teorema de Pitágoras também é válido, ou seja, a é a medida da hipotenusa; se em um triângulo o quadrado de um lado for igual à soma dos h é a medida da altura relativa à hipotenusa; quadrados dos outros dois, então o triângulo será retângulo. m é a medida da projeção ortogonal do cateto AB sobre Resumindo as relações encontradas e excluindo as a hipotenusa. repetidas, vale a pena memorizar as seguintes: n é a medida da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa. Pela altura relativa à hipotenusa, separamos o triângulo retângulo em dois outros triângulos semelhantes a ele, como mostrado a seguir: A b MEDIDA DA MEDIANA RELATIVA B À HIPOTENUSA a A A "Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à b hipotenusa mede metade da hipotenusa." h h B . B H H m C Pela semelhança entre esses triângulos, temos: M (Ponto médio) ah=bc a b A ABC A HBA am h m A ch =bm an a b C A ABC A HAC ah = b n h bh = cn Para provar essa propriedade, construa o retângulo ABDC e h m A HBA A HAC b h suas diagonais. As diagonais de um retângulo são congruentes e o ponto comum às duas é o ponto médio de cada uma. Editora Bernoulli 39</p><p>Frente D Módulo 07 Logo, este é o ponto médio, M, da hipotenusa do triângulo ABC: 02. (UFRGS) lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. B D Sabendo que essas cordas medem a distância M do lampião ao teto é A Como AD = BC e AM = AD 2 concluímos que AM = BC 2 Outra maneira de verificar tal propriedade é através da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo. A) 1,69 B B) 1,3 M C) 0,6 1 D) 2 A 6 E) 13 Como o ângulo inscrito na circunferência é reto, o arco BC que ele "enxerga" mede Portanto, o segmento BC é 03. (UFTM-MG-2009) Uma praça tem a forma de um o diâmetro, e o ponto médio M é o centro da circunferência. pentágono convexo, mostrado na figura, em que as dimensões estão indicadas em metros. Logo, a medida AM é igual ao raio da circunferência, de onde BC conclui-se que AM = 60 2 A E D EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 80 01. (UFMG-2006) Nesta figura, estão representadas três (figura fora de escala) circunferências, tangentes duas a duas, e uma reta B tangente às três circunferências. 120 Existem duas opções para in do ponto A até o ponto C, contornando a São elas: I. Saindo de A, pode-se seguir em linha reta até E, depois até D e, finalmente, encaminhar-se até C. Sabe-se que o raio de cada uma das duas circunferências II. Saindo de A, pode-se seguir em linha reta até B e maiores mede 1 cm. Então, é CORRETO afirmar que a depois dirigir-se até C. medida do raio da circunferência menor é Se, nas duas opções, a distância total a ser percorrida é a mesma e, sendo DE > DC, então a distância entre D e E, em metros, é igual a A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 cm, E) 110 40 Coleção Estudo</p><p>Triângulo retângulo 04. (FUVEST-SP) Os lados de um triângulo medem 03. (PUC Minas) A interseção de duas retas perpendiculares, Qual o comprimento da altura relativa ao lado maior? r é um ponto A. Um ponto B, de r, está a 3 m de A e um ponto C, de está a 4 m de A. A distância de A à reta BC, 05. (FUVEST-SP-2006) Na figura a seguir, AC = 3, em metros, mede valor de CD é A) 2,5 A B) 2,4 C) 2,3 D) 2,0 D B E) 1,5 17 A) 04. (UFU-MG) Num triângulo ABC, o ângulo A é reto. 12 A altura h, divide a hipotenusa a em dois segmentos 19 B) Sabendo-se que o cateto b é o dobro do 12 23 cateto C, podemos afirmar C) 12 25 A) 4 D) D) 7 2 12 B) 3 E) 5 29 E) 12 C) 2 05. (UFG) perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de EXERCÍCIOS PROPOSTOS altura é 18 cm. Os lados deste triângulo, em cm, são A) 7, 7, 4 D) 4, 4, 10 01. (UFMG) Observe a figura. B) 5, 8 E) 3, 3, 12 D R Q 06. (Cesgranrio) No quadrado ABCD da figura, tem-se AB = 4, S e AG = 2. Então, HI mede A P B A G B H Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = o perímetro do quadrilátero PQRS é A) 11/3 I B) 22/3 D C) 11/2 D) 22/2 A) B) 5 C) 16 D) E) 2/5 3 02. (PUC Minas) Constrói-se um triângulo retângulo de catetos 07. (UEPA) No quadrilátero ABCD a seguir, tem-se AB = 4 cm, e seno do maior ângulo agudo desse BC = 5 cm, CD = 6 cm e AC perpendicular a BD. A medida do lado AD vale triângulo é igual a A) 5 D 3/5 B) 5 A B 5 A) 7 cm. D) 3/5 cm. E) 6/5 B) 3 cm. E) 3/3 cm. 5 C) cm. Editora Bernoulli 41</p><p>Frente D Módulo 07 08. (USS-RJ) Em um triângulo retângulo, o quadrado da 12. (UFRJ) Na figura, o triângulo AEC é equilátero, e ABCD é hipotenusa é o dobro do produto dos catetos. Então, um um quadrado de lado 2 cm. CALCULE a distância BE. dos ângulos agudos do triângulo vale E A) 30° B) 60° C) 45° D) 15° E) 10° A B 09. (Mackenzie-SP) A circunferência de raio a é tangente às duas semicircunferências menores e à semicircunferência maior. Se MN = NP = R, então a é igual a D a 13. (UFF-RJ) Na figura a seguir, os triângulos ABC e DEF são equiláteros. Sabendo que AB, CD e DE medem, respectivamente, 6 m, 4 m e 4 m, CALCULE a medida M N P de BE. B A) E R D) 2 3 R A D F E) 2 R 14. (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira 4 num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura a seguir. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base 10. (FUVEST-SP) A secção transversal de um maço de cigarros mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é é um retângulo que acomoda exatamente os cigarros como na figura. Se o raio dos cigarros é r, as dimensões do retângulo são h 2,5 m A) 2 A) 15r e D) 15r e 3r B) 7r e 3r E) e B) C) 15r e 6r C) 11. (UNESP) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, 3 como na figura. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é 4 B 15. (FUVEST-SP) Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em o, com OA = a e OB = são dados os pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP = PQ = QB = X. Nessas condições, o valor de é A D E P A) D) m. Q 6 A B m. E) 2/2 C) m. E) 5 C) ab 42 Coleção Estudo</p><p>Triângulo retângulo 16. (FCMSC-SP) Seja um triângulo ABC, retângulo em A, tal 02. (Enem-2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de que AB = 30 cm e cm. Se um ponto D é marcado iluminação de ambiente e necessita saber a altura que no lado AC, de modo que BD = DC, então o segmento deverá instalar a luminária ilustrada na figura. mede Luminária A) 31,25 cm. B) 32,5 cm. C) 31,75 cm. D) 32 cm. E) 32,25 cm. h 17. (FUVEST-SP) Em uma semicircunferência de centro e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto em que a bissetriz do ângulo BCA intercepta a semicircunferência. comprimento da corda AD é B D Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área A circular de 28,26 considerando 3,14, a altura h será igual a R A) 3 m. D) 9 m. B) 4 m. E) 16 m. A) C) 5 m. B) 03. Uma torre de transmissão vertical possui vários cabos de C) sustentação, conforme ilustração a seguir: Torre D) C E) Cabo de sustentação B Pontos de apoio do cabo SEÇÃO ENEM 01. Antônio adora soltar pipas. Para confeccionar uma pipa nova, ele faz uma armação com dois quadrados iguais ABCD e EFGH, ambos com lado a e centro o, conforme a figura. Se EP = 2 cm, então podemos afirmar que o a lado a do quadrado é, em cm, local de instalação da torre será representado pelo plano a, os pontos de apoio dos cabos serão colocados A B em pontos das circunferências concêntricas e de centro o, sendo as medidas dos raios 30 m, 50 m e 2 E G 90 m, respectivamente. Os pontos de apoio dos cabos P serão vértices de um triângulo equilátero, inscrito em cada circunferência. Sabendo-se que OA = AB = BC = 60 m, D C e que os pontos de apoio que estão sobre uma mesma H circunferência são equidistantes um do outro, o valor A) mínimo de cabo com apoio na circunferência de raio 30 m, B) em metros, usada na sustentação da torre é C) A) 30/5 D) 90/5 D) 2/2 B) 55/5 E) 120/5 E) C) 70/5 Editora Bernoulli 43</p><p>Frente D Módulo 07 04. o cálculo da vela de uma asa-delta é importante para a segurança dos praticantes desse esporte. Um dos modelos GABARITO de asa-delta consiste em dois triângulos isósceles, AABC de base AC e AAOC de base AC, ligados ao longo da Fixação quilha, formando um ângulo de 90° no nariz, conforme a figura a seguir: 01. B A 02. E 03. B 04. 1 05. E B Nariz Quilha Propostos 01. D 02. A 03. B 04. A Sabendo que OA = OB = OC = a, então o valor do segmento AB é 05. B A) D) a. 2 + 06. E B) a. a E) 2 07. E C) a. 2 - 08. 05. Na confecção do número de dentes e da profundidade dos 09. D sulcos (fresas) das engrenagens, é importante determinar 10. A as medidas do triângulo imaginário ABC, como na figura a seguir. Para regulagem das máquinas, é necessário 11. D calcular a altura BD do triângulo ABC. Processo de usinagem para confecção de engrenagens cônicas 13. A 14. E D 15. B 16. A 17. A Roda B das Seção Enem 01. E 02. B Se, nessa engrenagem, AB = 12 cm e BC = 16 cm, 03. D a altura BD do triângulo ABC é A) 9,2 cm. D) 9,5 cm. 04. A B) 9,3 cm. E) 9,6 cm. 05. E C) 9,4 cm. 44 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Lei dos senos e lei dos cossenos 08 D LEI DOS SENOS OBSERVAÇÃO Os valores dos senos de dois ângulos suplementares são Considere um triângulo ABC qualquer, inscrito em uma iguais, isto é: circunferência a de raio R. Traçando o diâmetro BD, temos que o triângulo BCD é retângulo em C, pois o ângulo BCD sen "enxerga" um arco de 180°. ângulo é congruente ao ângulo pois ambos são Por exemplo, sendo temos: inscritos na circunferência e "enxergam" o mesmo arco BC. sen X sen 60° = A sen sen 120° = sen 60° = 2 A a b D LEI DOS COSSENOS A R Considere um triângulo ABC qualquer e sua altura AD. R B A B a b h B Do triângulo BCD, temos que: B D m a-m sen 2R a a 2R sen A Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos formados, temos: Analogamente, conclui-se sen (I) A Lei dos Senos pode, então, ser enunciada da seguinte Substituindo (I) em (II): maneira: (III) Em todo triângulo, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles, e a constante de proporcionalidade Mas, no triângulo ABD, m : é o dobro do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo, ou seja: Substituindo (IV) em (III): a b = = 2R sen A sen B sen Analogamente, conclui-se que Editora Bernoulli 45</p><p>Frente D Módulo 08 A Lei dos Cossenos pode, então, ser enunciada da seguinte EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO maneira: Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados 01. (UFMG-2006) Esta figura representa o quadrilátero é igual à soma dos quadrados dos outros dois, diminuída do B dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado, ou seja: A A D Sabe-se que AB = 1 cm e AD = 2 cm; o ângulo ABC mede 120°; e o segmento CD é perpendicular aos segmentos 2.a.b.cos AD e BC. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é OBSERVAÇÃO A) Os valores dos cossenos de dois ângulos suplementares cm. diferem apenas no sinal, ou seja: 02. (PUC Minas) A Lei dos Cossenos diz o seguinte: o quadrado cos do lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles. O cosseno do Por exemplo, sendo temos: ângulo do triângulo da figura, é igual a = 45° = 3 2 = 135° = 4 NATUREZA DE UM A) 1 Um triângulo, quanto aos seus ângulos, é classificado em acutângulo, retângulo ou obtusângulo. 3 Sabe-se que, num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo, e vice-versa. Assim, conhecendo as medidas dos três lados, podemos determinar as medidas dos três 03. (FUVEST-SP) Na figura a seguir, AD = 2 cm, AB = 3 cm, ângulos pela Lei dos Cossenos e, portanto, classificar a medida do ângulo é 30° e BD = DC, em que D é o triângulo. ponto do lado AC. A medida do lado BC, em cm, é B Seja o triângulo ABC, com lados medindo a, b e C, em Tem-se três possibilidades quanto à natureza do triângulo ABC: A D i) ABC é acutângulo se, e somente se, A) D) ii) A ABC é retângulo se, e somente se, B) 2 iii) O A ABC é obtusângulo se, e somente se, C) 46 Coleção Estudo</p><p>Lei dos senos e lei dos cossenos 04. (UFU-MG) Considere o triângulo retângulo a seguir: 02. (PUC-SP-2008) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte: ponto A é duas vezes mais distante do ponto do que o ponto B é de A. Se a distância de B a de 5 qual é a distância do ponto A ao ponto C? D a A B Sabendo-se que a = 120°, AB = AC = 1 cm, então AD é igual a os MORTOS-VIVOS NÃO PRECISAM RESOLVER JOGOS A) DE 4/30 D) ESTADO DE S. PAULO, 28 abr. 2007. Supondo que os pontos A, B e sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a 05. (UFJF-MG) Dois lados de um triângulo medem 8 m e resposta CORRETA que Calvin deveria encontrar para o 10 m, e formam um ângulo de terceiro lado desse problema é, em centímetros, triângulo mede A) D) 5/3 A) 2/21 3 B) 2/31 E) 10/3 3 C) 2/41 D) C) 3 E) 03. (EESC-SP) Dado o triângulo ABC, tal que AC = 2, EXERCÍCIOS PROPOSTOS A) D) 01. (FUVEST-SP) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. B) E) N.d.a. cosseno do maior ângulo de T é C) 5 A) 6 04. (PUC-SP) Sejam a, b e as medidas dos lados de um triângulo ABC. Então, se 4 5 A) < + o triângulo ABC é 3 B) = + o lado a mede a soma das medidas de C) 4 2 C) o ângulo oposto ao lado que mede a é D) obtuso. 3 D) = + a é a hipotenusa, e b e são catetos. 1 8 E) Nenhuma das anteriores é correta. Editora Bernoulli 47</p><p>Frente D Módulo 08 05. (UNESP-2009) Paulo e Marta estão brincando de jogar 08. (UFJF-MG-2007) Os lados AB e AC de um triângulo ABC dardos. alvo é um disco circular de centro o. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto que vamos formam um ângulo tal que a 3 Sabe-se que denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que a medida do lado BC é igual a cm e que a medida do atinge um ponto denotado por M, conforme figura. lado AC é o triplo da medida do lado AB. Sendo o ângulo formado entre os lados AC e BC, podemos afirmar que P A) e a medida do lado AB é um inteiro par. B) e a medida do lado AB é um inteiro 14 cm 10 cm C) 30° < 45°, e a medida do lado AB é um inteiro par. D) 30° < 45°, e a medida do lado AB é um inteiro M E) 45° < 60°, e a medida do lado AB é um inteiro par. 09. (Cesesp-PE) "Com três segmentos de comprimentos iguais a 10 cm, 12 cm e 23 cm, A) é possível formar apenas um triângulo retângulo." Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro o B) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo." do alvo é PO = 10 cm, que a distância de C) é possível formar apenas um triângulo acutângulo." PM = 14 cm e que o ângulo POM mede 120°, a distância, D) não é possível formar um triângulo." em centímetros, do ponto M ao centro o é E) é possível formar qualquer um dos triângulos: A) 12 D) 6 retângulo, acutângulo ou obtusângulo." B) 9 E) 5 C) 8 10. (PUC-SP) A diagonal de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, um de 60° e 06. (FUVEST-SP) ABC é equilátero de lado 4; AM = = 2, outro de A razão entre os lados menor e maior do AP = e PB = 1. perímetro do triângulo APM é paralelogramo é A A) 6 V2 M B) 2 P 2/3 C) B 9 A) D) B) 3 C) E) 3 11. (Cesgranrio) Se 4 cm, 5 cm e 6 cm são as medidas dos lados de um triângulo, então o cosseno do seu menor 07. (UFBA) Na figura a seguir, AB = 3 cm, BC = 4 cm e ângulo vale = AD é, aproximadamente, igual a 5 A) 6 A 4 B) D 5 3 C) 4 B 2 A) 1,2 cm. D) 1,8 cm. D) 3 B) 1,4 cm. E) 2,04 cm. C) 1,54 cm. E) 1 2 48 Coleção Estudo</p><p>Lei dos senos e lei dos cossenos 12. (UFG) No triângulo a seguir, os valores de e y, nessa 15. (FEI-SP) Assinale a alternativa FALSA quanto ao tipo de ordem, são triângulo, dados os lados a, b e C. A) Se a = 13, b = 5, = 12, o triângulo é retângulo. B) Se a = 18, b = 5, = 12, é um triângulo. y C) Se a = 5, b 5, 5, o triângulo é equilátero. 135° 15° D) Se a = 5, b = 7, 7, o triângulo é isósceles. E) Se a = 1, b = 2, = 3, não é triângulo. 16. (ITA-SP) triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado cujo ângulo oposto é de 15°. 3 3 comprimento da circunferência, em cm, é A) B) C) D) 13. (FESP-PR) Na figura a seguir, ABC e BDE são triângulos equiláteros de lados 2a e a, respectivamente. Podemos E) afirmar, então, que o segmento CD mede 17. (Mackenzie-SP) Três ilhas A, B e aparecem num mapa, em escala 1:10 000, como na figura. Das alternativas, a D que MELHOR se aproxima de distância entre as ilhas A e B A B E 5a 30° A) D) 2 3a B) E) 2 A 12 cm C C) 2a A) 2,3 km. 14. (UFC) Os lados AC e CD dos triângulos equiláteros ABC e B) 2,1 km. CED medem, respectivamente, 6 m e 3 m. Os segmentos AC C) 1,9 km. e CD estão numa reta r, são consecutivos e AD mede 9 m. D) 1,4km. Se os vértices B e E estão no mesmo semiplano determinado por r, então o perímetro, em metros, do E) 1,7 km. quadrilátero ABED é igual a A) 18. (UFPE-2007) Na ilustração a ABCD e ABEF são retângulos, e o ângulo DAF mede 60°. Se AB mede BE mede 6 e BC mede 10, qual a distância entre os vértices e F? D A F B 2 E Editora Bernoulli 49</p><p>Frente D Módulo 08 19. (ITA-SP) Num triângulo ABC, BC = 4 cm, o ângulo mede 02. Uma empresa ao construir uma linha férrea acaba por 30° e a projeção do lado AB sobre BC mede 2,5 cm. deparar-se com uma nascente de água e seu curso será comprimento da mediana que sai do vértice A mede alterado para garantir um custo menor de construção, A) 1 cm. figuras 1 e 2. Sabe-se que o aumento do custo de construção depende da diferença entre a distância efetiva B) cm. de construção (soma das distâncias dos segmentos AC C) 0,9 cm. e BC) e a distância inicialmente planejada (medida do D) cm. segmento AB). valor encontrado pela construtora nessa diferença de percurso, em km, é E) 2 cm. Figura 1 20. (Unifor-CE) Um terreno de forma triangular tem frentes de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um Figura 2 A ângulo de A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é 60° B A) 10/5 B) 10/6 A) C) 10/7 B) D) 26 C) E) 20/2 D) SEÇÃO ENEM E) 01. Em escolas infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorregador, constituído de uma superfície GABARITO plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada. No pátio da escolinha Casa Fixação Feliz, há um escorregador, apoiado em um piso plano 01. A 02. 03. A 04. A 05. A e horizontal, cuja escada tem 8 degraus espaçados de 25 cm e forma um ângulo de 60° com o piso. Propostos 01. E 11. 02. C 12. E 03. E 13. E 04. C 14. A 05. D 15. B 60° 06. A 16. A 07. C 17. E o comprimento da rampa, sabendo-se que ela forma com 08. A 18. 14 o chão um ângulo de 45°, é de 09. D 19. A 10. D 20. B) C) Seção Enem D) 01. B 02. E E) m. 50 Coleção Estudo</p>