resumo trigonmetria

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TRIGONOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática II 
1
a 
Série do Ensino Médio – 1
o
 Semestre 
 Prof. Sérgio Tambellini 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: ............................................................................... Turma: ...................... 
 
 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 1 
 
Radiciação 
 
Tópicos da aula 
 Definição de raiz 
 Potência com expoente racional 
 Decomposição em fatores primos 
 
Resumo teórico 
Considere a um número real e n um número natural não 
nulo. Chama-se de raiz enésima de a o número x se, e 
somente se, x elevado à n resulta o valor de a. 
 
 
 
Conclusões importantes: 
005  
636  
6 36  
Atenção, 36 não é ± 6. 
283  
2 83  
4 16 não existe no conjunto dos números reais 
 
Expoente racional de uma potência: 
Considere a um número real positivo, n um número 
natural não nulo e 
n
m
 um número racional na forma 
irredutível. Desta forma, define-se 
 
 
 
Exemplos: 
a) 
7 27
2
55  
b) 
4 34
3
100
75
75,0 2222  
 
Números primos 
Um número natural, não nulo, é chamado de número 
primo se este número possui dois divisores naturais 
distintos, o número 1 e ele mesmo. 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...} 
 
Decomposição de um n
o
 natural em fatores primos 
Todo número natural, não nulo e não primo, pode ser 
decomposto em fatores de números primos. 
 
Exemplo: 
350 = 2 . 5
2
 . 7 , pois 
 
 
 
 
O valor da raiz enésima de um número natural pode ser 
obtido por meio de uma calculadora científica, ou por 
decomposição em fatores primos do radicando. 
Obs.: caso a raiz enésima de um número natural não for 
exata pode-se escrever a raiz na forma simplificada. 
Exemplos: 
a) 155.35.3225
22  
b) 205.2.25.2.28000
3 3333  
c) 535.345
2  
d) 
555 55 1427.227.2.2448  
 
Exercícios de aula 
1) (UNIP) O valor de 
3
46148  é 
a) 32 . 
b) 23 . 
c) 6 . 
d) 52 . 
e) 25 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ax xa nn  
n mn
m
aa  
350 2 
175 5 
 35 5 
 7 7 
 1 2 . 5
2
 . 7 
1 
2) Considere as aproximações para os valores das 
seguintes raízes: 
2  1,41 , 3  1,73 e 5  2,24. 
A soma 204850  é aproximadamente igual a 
a) 17,25. 
b) 17,45. 
c) 17,85. 
d) 18,05. 
e) 18,45. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Considere os números reais x, y e z dados a seguir 
 x = 51 
 y = 
3 130 
 z = 4 1520 
É certo afirmar que 
a) x < y < z. 
b) x < z < y. 
c) y < x < z. 
d) y < z < x. 
e) z < x < y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) Calcule os valores das raízes abaixo, utilizando o 
processo de decomposição em fatores primos. 
a) 196 
b) 2025 
c) 
3 1000 
d) 
5 1024 
2) Simplifique cada uma das raízes abaixo. 
a) 80 c) 3 40 
b) 252 d) 7 256 
 
3) (UEMT) O número 2352 corresponde a 
a) 74 . d) 2128 . 
b) 214 . e) 356 . 
c) 328 . 
4) (INATEL) O valor de 
8,02
3
)32()9(  é 
a) 43. d) 36. 
b) 25. e) 17. 
c) 11. 
 
5) A geometria analítica, com recursos da álgebra e da 
geometria plana, permite localizar pontos, calcular a 
distância entre dois pontos, calcular a medida de uma área. 
Conhecendo as coordenadas de dois pontos A(xA , yA) e 
B(xB , yB) do plano bidimensional é possível calcular a 
distância entre eles utilizando a fórmula 
   2BA
2
BA yyxx)B,A(d  
Problema: Na cidade de Ouro Branco o prefeito decidiu 
construir uma linha retilínea de metrô, buscando melhorias 
na qualidade do transporte da cidade. A linha do metrô 
ligou dois pontos importantes da cidade, o bairro 
Andorinhas e o bairro Bela Vista. Utilizando o sistema de 
eixos coordenados cartesiano abaixo, com escala em 
quilômetros, onde cada quadrado tem lado de 
comprimento 1 km, calcule o comprimento da linha do 
metrô do ponto A (bairro Andorinhas) ao ponto B (bairro 
Bela Vista). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão de raciocínio lógico 
Uma sequência de sete números naturais é formada 
utilizando algumas das operações matemáticas de adição, 
subtração, multiplicação ou divisão, mantendo uma mesma 
lógica operacional. Obtenha o sétimo número da 
sequência. 
 
2 
A 
B 
x 
y 
0 
24 48 45 9 18 15 ? 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 2 
 
Propriedades de Radiciação 
 
Tópicos da aula 
 Propriedades de radiciação 
 Racionalização de denominadores 
 
Resumo teórico 
Considere a e b números reais positivos, m, n e p números 
naturais não nulos. Nestas condições são válidas as 
seguintes propriedades: 
 
1) nnn b.ab . a  
Exemplos: 
3333 204.54 . 5  
 707.5.27 . 5 . 2  
2) n
n
n
b
a
b
a
 
Exemplos: 
44
4
4
6
3
18
3
18
 
 
2
5
6
15
6
15
 
3) 
m.nn m aa  
Exemplos: 
155.33 5 373737  
 
82.2.2 333  
4)   n mmn aa  
Exemplos:   77 227 933  
 
3 83 4.2
4
3 2 555 





 
5) 
p.n p.mn m aa  
Exemplos: 
20 124.5 4.35 3 222  
 
30 55.6 5.16 777  
6) 
pn pmn m aa
  
Exemplos: 
4 328 268 6 555 
 
 
 
33 239 369 69 422264 
 
 
 
Racionalização de denominadores: 
Racionalizar o denominador de uma fração é eliminar a 
raiz que existe no denominador buscando, por meio de 
operações adequadas, uma fração equivalente com 
denominador inteiro não nulo. 
1
o
 caso: O denominador possui uma única raiz. 
Exemplos 
a) Escrever a fração 
7 23
6
 na forma racionalizada 
3
3 . 6
3
3 . 6
3
3 . 6
3.3
3 . 6
3 .
3 .
3
6
3
6
7 5
7 7
7 5
7 52
7 5
7 52
7 5
7 5
7 5
7 27 2


 b) Escrever a fração 
5
1
 na forma racionalizada 
5
5
5
5
5
5.1
5 .
5 .
5
1
5
1
211


 
2
o
 caso: O denominador possui uma soma de raízes 
quadradas ou a soma de uma raiz quadrada e um número 
inteiro. 
Exemplos 
a) Escrever a fração 
25
1

 na forma racionalizada 
 
 
 
 








 4101025
25 . 1
25 .
25 .
25
1
25
1
3
25
25
25 



 
b) Escrever a fração 
74
3

 na forma racionalizada 
 
 
 
 








 49747416
74 . 3
74 .
74 .
74
3
74
3
 
   
3
74
9
74 . 3
716
74 . 3 





 
 
Exercícios de aula 
1) O resultado da operação 
10
7
.
14
5
 é igual a 
a) 0,2. 
b) 0,3. 
c) 0,4. 
d) 0,5. 
e) 0,6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
2) O produto 4
3 2 . 2 é igual a 
a) 12 4 . 
b) 12 8 . 
c) 1216 . 
d) 12128 . 
e) 12 256 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Se A = 
3 10
1
, B = 
30
1
 e C = 
4 15
1
 é certo afirmar 
que 
a) A > B > C. 
b) B > A > C. 
c) B > C > A. 
d) C > A > B. 
e) C > B > A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Sabendo que 924,2253  , é certo afirmar que o valor 
da operação 
4
9
6256  é aproximadamente igual a 
a) 1,424. 
b) 1,924. 
c) 2,258. 
d) 3,591. 
e) 4,424. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) Se x = 8 , então o valor de x-1 é igual a 
a) 
2
2
. d) 
6
2
. 
b) 
3
2
. e) 
8
2
. 
c) 
4
2
. 
2) Sabendo que 16,310  e 58,421  é certo afirmar 
que o resultado do produto 7.5.3.2 é 
aproximadamente igual a 
a) 7,7423. d) 14,4728. 
b) 12,7474. e) 16,2534. 
c) 13,0567. 
 
3) Qual valor é maior? O cubo da raiz quadrada de dois ou 
o quadrado da raiz cúbica de três? Justifique sua resposta. 
 
Questão de raciocínio lógico 
Um caramujo encontra-se no chão e deseja subir 
completamente uma parede vertical de 2 metros de altura. 
No primeiro dia ele sobe verticalmente 40cm e no segundo 
dia ele escorrega verticalmente para baixo 20cm, e assim 
sucessivamente, subindo 40cm num dia e descendo 20cm 
no outro dia. Em quantos dias, após o início da escalada, 
ele conseguirá subir completamente a parede? 
 4 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 3 
 
Operações com raízes 
 
Tópicos da aula 
 Elementos importantesda raiz 
 Adição e subtração de raízes 
 Multiplicação e divisão de raízes 
 Potência de raiz 
 
Resumo teórico 
Elementos importantes da raiz: 
 
 
 
 
 
 
Adição e subtração de raízes: 
O que é necessário? 
As raízes precisam ter índices iguais e radicandos iguais. 
Como realizar a operação? 
Somar (ou subtrair) os coeficientes e conservar a raiz 
(mesmo índice e mesmo radicando). 
Exemplos: 
a) 
333 2 . 112 . 62 . 5  
b) 
4444 5 . 3555  
c) 3 . 7343 . 53 . 8  
 
Multiplicação e divisão de raízes: 
O que é necessário? 
As raízes precisam ter apenas índices iguais. 
Como realizar a operação? 
Multiplicar (ou dividir) os coeficientes entre si, multiplicar 
(ou dividir) os radicandos entre si e conservar os índices. 
Exemplos: 
a)     3333 10 . 245 . 2 . 6 . 45 . 6 . 2 . 4  
b) 5 . 2
7
35
 . 
5
10
7 . 5
35 . 10






 
 
Potência de raiz: 
Como realizar a operação? 
Elevar o coeficiente no expoente dado e elevar também o 
radicando no expoente dado. 
Exemplos: 
a)   55 3335 8 . 642 . 42 . 4  
b) 
99 89 4.24
4
9 2 6561 . 163 . 163 . 23 . 2 





 
 
Exercícios de aula 
1) (UNIFOR) A expressão 5018  é equivalente a 
a) .172 
b) .234 
c) .28 
d) .35 
e) .22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (FUVEST-SP) O valor da expressão 
12
2-2

 é 
a) .2 
b) .
2
1
 
c) 2. 
d) .
2
1
 
e) .12  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
3 5 . 4 
coeficiente 
índice 
radicando 
radical 
3) Se x =  282  , então é certo afirmar que x é 
a) um número irracional. 
b) um número primo. 
c) um número múltiplo de 3. 
d) um número decimal exato. 
e) um número divisível por 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Sendo x um número real positivo, y = 22 e z = 72 , 
então obtenha o valor de x, de modo que o quadrado de x 
seja igual à soma dos quadrados de y e de z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) (U.C.Salvador) A média geométrica de dois números 
positivos a e b é igual a b.a . Sabendo-se que a média 
geométrica de dois números é igual a 6 e um deles é o 
quádruplo do outro, então 
a) o menor deles é um número primo. 
b) o maior deles é um número ímpar. 
c) o menor deles é um número quadrado perfeito. 
d) o maior deles é um número primo. 
e) o menor deles é um número par. 
 
 
2) (U.F.RN) O valor que devemos adicionar a 5 para 
obtermos o quadrado de 32  é 
a) .3 d) .32 
b) .6 e) .62 
c) .22 
 
 
3) (UFMG-MG) O quociente   33:192248537  
é igual a 
a) .33 
b) .32 
c) .
3
3
 
d) 2. 
e) 1. 
 
 
4) (U.F.CE) Sejam p e q números reais. Se p = 525 e 
p.q = 1, então p + 5q é igual a 
a) 6. 
b) 8. 
c) 10. 
d) 12. 
 
 
Questão de raciocínio lógico 
Pedrinho e Paulinho pediram para sua avó fazer um 
delicioso bolo de chocolate. Após o bolo ficar pronto a avó 
dos meninos deu a Pedrinho a metade de um terço do bolo, 
e para Paulinho deu um terço da metade do bolo. Quem 
ficou com o pedaço maior? Pedrinho ou Paulinho? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 4 
 
Teorema de Pitágoras 
 
Tópicos da aula 
 Elementos do triângulo retângulo 
 Propriedade dos ângulos agudos 
 Teorema de Pitágoras 
 
Resumo teórico 
Elementos do triângulo retângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Catetos = lados que formam o ângulo reto  AB e AC 
Hipotenusa = lado oposto ao ângulo reto  BC 
Ângulo reto = CAB

 
Ângulos agudos = BCA e CBA

 
 
Medidas: 
a = medida da hipotenusa BC  m  BC = a 
b = medida do cateto AC  m  AC = b 
c = medida do cateto AB  m  AB = c 
x = medida do ângulo agudo CBA

  m 




 
CBA = x 
y = medida do ângulo agudo BCA

  m 




 
BCA = y 
Propriedade dos ângulos agudos: 
Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são 
complementares, ou seja, x + y = 90
o
. 
 
Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aula 
1) Sendo x + 18
o
 e 2x – 42
o
 as medidas, em graus, dos 
ângulos agudos de um triângulo retângulo, é certo afirmar 
que a medida do maior destes ângulos agudos é igual a 
a) 34
o
. 
b) 38
o
. 
c) 56
o
. 
d) 64
o
. 
e) 72
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um triângulo retângulo possui um de seus catetos de 
medida 8cm e hipotenusa 134 cm. A razão entre a 
medida do maior cateto pela medida do menor cateto é 
igual a 
a) 0,7. 
b) 1,5. 
c) 1,8. 
d) 2,4. 
e) 3,6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
c 
b 
a 
C 
B A 
x 
y 
“Em todo triângulo retângulo, o 
quadrado da medida da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos catetos.” 
 
Pitágoras 
570 – 490 a.C. 
a
2
 = b
2
 + c
2
 
3) Sabendo que as medidas dos lados de um triângulo 
retângulo são três números inteiros positivos e 
consecutivos, obtenha estas três medidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma Terna Pitagórica de números inteiros é uma 
sequência de três números inteiros positivos que 
satisfazem o Teorema de Pitágoras. Por exemplo, a terna 
(3, 4, 5) onde 3 e 4 são as medidas dos catetos e 5 a 
medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é uma 
Terna Pitagórica, pois esta sequência satisfaz o Teorema 
de Pitágoras, ou seja, 3
2
 + 4
2
 = 5
2
. 
Uma maneira de descobrir tais Ternas Pitagóricas é 
encontrar dois números inteiros positivos p e q 
diferentes (com p > q), de modo que os catetos tenham as 
medidas 2.p.q e p
2
 – q
2
 , e que a hipotenusa tenha a 
medida de p
2
 + q
2
. 
Obtenha as quatro Ternas Pitagóricas possíveis de 
números inteiro com p = 5 e complete a tabela abaixo. 
 
p q 
cateto 
2.p.q 
cateto 
p
2
 – q
2
 
hipotenusa 
p
2
 + q
2
 
Terna 
Pitagórica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Sendo p e q números inteiros positivos, verifique 
algebricamente que a terna (2.p.q , p
2
 – q
2
 , p
2
 + q
2
) é uma 
terna pitagórica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo 
retângulo de catetos 25cm e 60cm. 
 
2) Um triângulo retângulo possui hipotenusa de medida 
20cm. Sabendo que um de seus catetos mede 12cm, 
calcule a medida do outro cateto deste triângulo. 
 
3) Das ternas apresentadas abaixo a única que não é uma 
terna pitagórica é a terna 
a) (8, 15, 17). d) (5, 12, 13). 
b) (10, 24, 26). e) (7, 24, 25). 
c) (9, 12, 16). 
 
4) Sendo p e q são dois número inteiros positivos e 
distintos (com p > q) a terna (2.p.q , p
2
 – q
2
 , p
2
 + q
2
) 
constitui uma terna pitagórica. Obtenha as cinco ternas 
pitagóricas possíveis com p = 6. 
 
5) Sabendo que a soma dos quadrados das medidas dos 
três lados de um triângulo retângulo é igual a 32, calcule a 
medida da hipotenusa. 
 
Questão de raciocínio lógico 
Você é bom de olho? 
Na figura abaixo quantos triângulos você vê? 
a) 9 triângulos. 
b) 10 triângulos. 
c) 12 triângulos. 
d) 13 triângulos. 
e) 18 triângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 5 
 
Aplicações do Teorema de Pitágoras 
 
Tópicos da aula 
 Problemas envolvendo o Teorema de Pitágoras 
 
Resumo teórico 
Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 
 
 
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos catetos. 
 
 
Exercícios de aula 
1) Um andarilho fez o seguinte percurso, numa região 
plana e sem obstáculos: 
Saiu de um ponto A e caminhou 2 Km na direção norte até 
chegar no ponto B; em seguida saiu do ponto B e 
caminhou mais 9 Km na direção leste até chegar no ponto 
C; e depois saiu do ponto C seguindo na direção norte 
novamente e caminhou mais 4 Km até chegar no ponto D; 
e por fim, saiu do ponto D e caminhou na direção oeste pormais 1 Km até chegar no ponto E. 
a) Faça uma figura ilustrativa do problema e calcule 
quantos quilômetros o andarilho percorreu nesta trajetória. 
b) Calcule quantos quilômetros teria andado o andarilho, 
se ele tivesse caminhado em linha reta do ponto A até o 
ponto E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (ENEM 2006) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada 
com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do 
corrimão é igual a 
a) 1,8m. 
b) 1,9m. 
c) 2,0m. 
d) 2,1m. 
e) 2,2m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
a
2
 = b
2
 + c
2
 
 
c 
b 
a 
N 
S 
L O 
3) A tirolesa é um tipo de técnica usada para transpor 
equipamentos ou pessoas entre um ponto e outro. Para 
isso, é fixada uma corda ou cabo de aço entre dois pontos 
(sendo que um deles frequentemente está mais alto do que 
o outro), onde as pessoas são conectadas por polias que 
deslizam nestas cordas. Daí em diante é só escorregar 
preso a estas polias e curtir a velocidade, além das 
exuberantes paisagens onde normalmente são montadas. 
Esta atividade é muito realizada em áreas destinadas ao 
turismo e lazer. 
 
Um esportista deseja realizar uma tirolesa urbana. Para isto 
escolhe dois grandes prédios de uma cidade para realizar 
tal aventura. Os prédios estão a uma distância de 60 metros 
um do outro, sendo que o primeiro prédio tem altura de 30 
metros e o segundo 55 metros. Fixando em um ponto A 
numa extremidade do topo do primeiro prédio e num ponto 
B na extremidade do topo do segundo prédio, o esportista 
precisará ligar estes pontos por um cabo de aço, para 
realizar a tirolesa. 
a) Faça uma figura ilustrativa do problema; 
b) Calcule o comprimento do cabo de aço que ligará (em 
linha reta) os pontos A e B dos topos dos dois prédios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um grande matemático hindu chamado Bhaskara 
registrou em sua obra Lilavati, um antigo problema chinês, 
o problema do bambu quebrado, que diz o seguinte: 
Se um bambu de 32 cúbitos de altura é quebrado pelo 
vento, de modo que a ponta encontra o chão a 16 cúbitos 
da base, a que altura a partir do chão ele foi quebrado? 
“Cúbito”ou “côvado”é uma das unidades de medida mais 
antigas das quais se tem notícia, utilizada no velho Egito há 
cerca de 50 séculos e definido pelo comprimento do braço 
medido do cotovelo à extremidade do dedo médio distendido. O 
“cúbito”equivale a pouco mais de 0,5 metro. 
 Acesso: www.dicionarioinformal.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) Com cinco quadrados idênticos de lado 2cm forma-se 
uma cruz. Unindo quatro vértices específicos desta cruz 
forma-se o quadrado ABCD, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um trapézio isósceles tem perímetro 48cm. Sabendo 
que as bases deste trapézio medem 6cm e 16cm, calcule a 
área do trapézio. 
 
3) Uma escada de 2,5m de comprimento está apoiada 
numa parede vertical, de modo que o pé da escada 
encontra-se a uma distância de 70cm da parede. Se o pé da 
escada escorregar 80cm afastando-se horizontalmente da 
parede, quantos centímetros o ponto de apoio da escada na 
parede descerá? 
 
Questão de raciocínio lógico: 
Quatro tartarugas, cada uma de um bairro diferente da 
cidade, foram inscritas na Corrida Anual de Tartarugas no 
Rio de Janeiro. Com base nas indicações abaixo, você 
conseguiria determinar de que bairro é cada tartaruga, e em 
que colocação cada uma terminou a corrida? 
– A tartaruga do Bairro Leste venceu a corrida, e 
Margarida chegou em segundo lugar. 
– Patrícia não é do Bairro Sul nem do Bairro Leste. 
– Fritz terminou a corrida em último lugar, logo depois da 
tartaruga do Bairro Norte. 
– Margarida e Jacó são de bairros opostos da cidade.
10 
A 
B 
C 
D 
2cm 
a) Calcule o comprimento 
do lado do quadrado ABCD. 
b) Calcule a área do 
quadrado ABCD. 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 6 
 
Trigonometria no triângulo retângulo 
 
Tópicos da aula 
 Razões trigonométricas 
 Razões trigonométricas inversas 
 Consequências da tangente e da cotangente 
 
Resumo teórico 
Razões trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seno de x =
hipotenusa da medida
 xà oposto cateto do medida
  
a
b
senx  
 
Cosseno de x =
hipotenusa da medida
 xà adjacente cateto do med.
  
a
c
xcos  
 
Tangente de x =
 xà adjacente cateto do med.
 xà oposto cateto do med.
  
c
b
tgx  
 
 
 
Razões trigonométricas inversas: 
Cossecante de x  
senx
1
xseccos   
b
a
xseccos  
 
Secante de x  
xcos
1
xsec   
c
a
xsec  
 
Cotangente de x  
tgx
1
gxcot   
b
c
gxcot  
 
 
Consequências da tangente e da cotangente: 
Com relação ao triângulo retângulo dado no início do 
resumo teórico, temos: 
tgx
c
b
c
a
.
a
b
xcos
senx
a
c
a
b
  
xcos
senx
tgx  
 
gxcot
b
c
b
a
.
a
c
senx
xcos
a
b
a
c
  
senx
xcos
gxcot  
 
Exercícios de aula 
1) Para saber se uma subida (ou rampa) é mais íngreme, ou 
se tem um aclive maior, do que outra rampa, basta calcular 
o seu ângulo de inclinação. Quanto maior o ângulo de 
inclinação, maior será o aclive da rampa. O ângulo de 
inclinação é medido entre a horizontal (afastamento) e a 
rampa, como pode ser visto nos exemplos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Nas figuras dadas a rampa 1 é mais íngreme do que a 
rampa 2, pois 60
o
 > 35
o
. 
Quando não é possível medir o ângulo de inclinação, basta 
calcular a razão entre a altura da rampa e o seu 
afastamento, conhecida também como índice de subida. O 
índice de subida é numericamente igual ao valor da 
tangente do ângulo de inclinação da rampa. E quanto 
maior o valor do índice de subida, mais íngreme será a 
rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
Sem saber qual é a medida do ângulo de inclinação de 
cada uma das rampas abaixo, determine qual das duas 
rampas é mais íngreme. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
c 
b 
a 
x 
 
afastamento 
altura 
rampa 
oafastament
rampa da altura
subida de índice  
11m 
rampa 1 
7m 
5m 
8m 
rampa 2 
60
o 
35
o
 
rampa 1 
rampa 2 
2) No triângulo retângulo ABC dado abaixo, sabe-se que 
sen = 0,8. Calcule o valor da tgÂ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Na figura dada abaixo, os triângulo retângulos ABG, 
ACF e ADE são semelhantes, com AB = 6cm, AC = 9cm, 
AD = 12cm, AG = 10cm, AF = 15cm e AE = 20cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule as medidas dos catetos BG , CF e DE . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os 
valores de cos

G , cos

F e cos

E , respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
c) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule o 
valor da tg

A em cada um dos triângulos, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
d) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os 
valores de sen

G , sen

F e sen

E , respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
e) Com relação aos resultados obtidos das razões 
trigonométricas nos itens (b), (c) e (d) o que se pode 
concluir? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (U.F.BA) Num triângulo ABC, reto em B, a hipotenusa 
mede 10cm e a medida de AB é o dobro da medida de 
BC . O valor de 

 CtgCcosCsen é 
a) 4. 
b) 
10
17
 . 
c) 
5
1053 
. 
d) 
10
556 
. 
e) 1053  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
30cm 
C 
B A 
 
C B A 
  
D 
E 
F 
G 
Tarefa de casa 
1) (U.F.PA) No triângulo retângulo temos: 
 
I) sent = 
2
1
 
II) cost = 
5
2
 
III) tgt = 2 
 
 
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são): 
a) I. d) II e III. 
b) II. e) I, II e III. 
c) III. 
 
 
2) (PUC-SP) Um dos ângulos de um triângulo 
retângulo é . Se tg = 2,4 , os lados desse triângulo são 
proporcionais a 
a) 30, 40, 50. d) 50, 120, 130. 
b) 80,150, 170. e) 61, 60, 11. 
c) 120, 350, 370. 
 
 
3) No triângulo retângulo ABC da figura abaixo, tem-se 
que o valor de cossec – cotg é igual a 
 
a) 
3
1
. 
b) 3. 
c) 
6
1
. 
d) 6. 
e) 
5
4
. 
 
 
4) Numa subida de índice igual a 
2
1
, se nos afastarmos 
50m, a quantos metros nos elevamos do chão? 
 
 
5) Numa subida de índice igual a 
5
2
, se nos elevarmos a 
uma altura de 4 metros, qual será o afastamento 
correspondente? 
 
 
6) Numa subida de índice igual a 
12
5
, se nos deslocarmos 
52 metros sobre a rampa desde o seu início, quantos 
metros nos elevaremos do chão? 
 
 
 
Questão de raciocínio lógico: 
Os dois grupos de letras representados abaixo guardam 
entre si uma relação. Essa mesma relação deve existir entre 
o terceiro e o quarto grupo, que está faltando. 
 
(K P Q R) está para (K S T U) 
assim como (M C D E) está para ( ? ) 
 
Considerando que a ordem alfabética é a oficial, o grupo 
de letras que deve substituir corretamente o ponto de 
interrogação é 
 
a) M B C D 
b) M F G H 
c) M J K L 
d) N K L M 
e) N S T U 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
1 
t 
 
10cm 
C 
B A 
6cm 
13 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 7 
 
Tabela de valores reais das razões trigonométricas 
 
Tópicos da aula 
 Tabela de valores reais 
 Razões trigonométricas para ângulos complementares 
 
Resumo teórico 
Tabela de valores reais das razões trigonométricas: 
Na ausência de uma calculadora científica usa-se a tabela 
de valores reais para o seno, o cosseno e a tangente de um 
determinado ângulo. Tal tabela pode ser consultada na 
página 15. 
 
Razões trigonométricas para ângulos complementares: 
Se x e y são as medidas dos ângulos agudos de um 
triângulo retângulo, ou seja, se x + y = 90
o
, então 
 
 senx = cosy e seny = cosx 
 tgx = cotgy e tgy = cotgx 
 cossecx = secy e cossecy = secx 
 
Exemplos: 
1) sen40
o
 = cos50
o
 , pois 40
o
 + 50
o
 = 90
o
 
2) cos20
o
 = sen70
o
 , pois 20
o
 + 70
o
 = 90
o
 
3) tg5
o
 = cotg85
o
 , pois 5
o
 + 85
o
 = 90
o
 
4) cotg13
o
 = tg77
o
 , pois 13
o
 + 77
o
 = 90
o
 
5) sec65
o
 = cossec25
o
 , pois 65
o
 + 25
o
 = 90
o
 
6) cossec42
o
 = sec48
o
 , pois 42
o
 + 48
o
 = 90
o
 
 
Exercícios de aula 
1) Ao meio dia, sol a pino, um garoto empina papagaio, e a 
linha, bem esticada, forma com o chão um ângulo de 50º. 
Calcule a altura do papagaio, em metros, sabendo que sua 
sombra (no chão) está a 20m do garoto. 
OBS.: desconsiderar a altura do garoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) As rampas de acessibilidade para deficientes físicos 
devem ter no máximo uma inclinação de 5º, conforme a 
legislação brasileira. Sabendo que um estabelecimento 
bancário foi construído 30cm acima do nível da calçada, 
calcule: 
a) o comprimento, em metros, da rampa; 
b) o afastamento, em metros, da rampa. 
 
Fonte: Google imagens 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) O astrônomo grego Aristarco de Samos (310-230a.C.) 
determina a distância dS da Terra ao Sol. Para isso, mediu 
o ângulo  formado entre o Sol e a Lua na situação 
mostrada na figura a seguir, em que dL representa a 
distância entre a Terra e a Lua. 
Sabendo-se que  = 89,85
o
 , dL = 3,9 . 10
8
 m e 
sen(0,15
o
) = 2,6 . 10
-3
 , o valor de dS , em metros, é igual a 
a) 1,5 . 10
-11
. 
b) 1,5 . 10
5
. 
c) 1,5 . 10
11
. 
d) 6,7 . 10
5
. 
e) 6,7 . 10
11
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
5
o 
afastamento 
altura 
comprimento 
da rampa 
 
 dS 
Sol 
Terra 
dL 
Lua 
 
 
 
 
x sen x cos x tg x 
1
o
 0,0175 0,9998 0,0175 
2
o
 0,0349 0,9994 0,0349 
3
o
 0,0523 0,9986 0,0524 
4
o
 0,0698 0,9976 0,0699 
5
o
 0,0872 0,9962 0,0875 
6
o
 0,1045 0,9945 0,1051 
7
o
 0,1219 0,9925 0,1228 
8
o
 0,1392 0,9903 0,1405 
9
o
 0,1564 0,9877 0,1584 
10
o
 0,1736 0,9848 0,1763 
11
o
 0,1908 0,9816 0,1944 
12
o
 0,2079 0,9781 0,2126 
13
o
 0,2250 0,9744 0,2309 
14
o
 0,2419 0,9703 0,2493 
15
o
 0,2588 0,9659 0,2679 
16
o
 0,2756 0,9613 0,2867 
17
o
 0,2924 0,9563 0,3057 
18
o
 0,3090 0,9511 0,3249 
19
o
 0,3256 0,9455 0,3443 
20
o
 0,3420 0,9397 0,3640 
21
o
 0,3584 0,9336 0,3839 
22
o
 0,3746 0,9272 0,4040 
23
o
 0,3907 0,9205 0,4245 
24
o
 0,4067 0,9135 0,4452 
25
o
 0,4226 0,9063 0,4663 
26
o
 0,4384 0,8988 0,4877 
27
o
 0,4540 0,8910 0,5095 
28
o
 0,4695 0,8829 0,5317 
29
o
 0,4848 0,8746 0,5543 
30
o
 0,5000 0,8660 0,5774 
31
o
 0,5150 0,8572 0,6009 
32
o
 0,5299 0,8480 0,6249 
33
o
 0,5446 0,8387 0,6494 
34
o
 0,5592 0,8290 0,6745 
35
o
 0,5736 0,8192 0,7002 
36
o
 0,5878 0,8090 0,7265 
37
o
 0,6018 0,7986 0,7536 
38
o
 0,6157 0,7880 0,7813 
39
o
 0,6293 0,7771 0,8098 
40
o
 0,6428 0,7660 0,8391 
41
o
 0,6561 0,7547 0,8693 
42
o
 0,6691 0,7431 0,9004 
43
o
 0,6820 0,7314 0,9325 
44
o
 0,6947 0,7193 0,9657 
45
o
 0,7071 0,7071 1,0000 
 
 
 
 
 
x sen x cos x tg x 
46
o
 0,7193 0,6947 1,0355 
47
o
 0,7314 0,6820 1,0724 
48
o
 0,7431 0,6691 1,1106 
49
o
 0,7547 0,6561 1,1504 
50
o
 0,7660 0,6428 1,1918 
51
o
 0,7771 0,6293 1,2349 
52
o
 0,7880 0,6157 1,2799 
53
o
 0,7986 0,6018 1,3270 
54
o
 0,8090 0,5878 1,3764 
55
o
 0,8192 0,5736 1,4281 
56
o
 0,8290 0,5592 1,4826 
57
o
 0,8387 0,5446 1,5399 
58
o
 0,8480 0,5299 1,6003 
59
o
 0,8572 0,5150 1,6643 
60
o
 0,8660 0,5000 1,7321 
61
o
 0,8746 0,4848 1,8040 
62
o
 0,8829 0,4695 1,8807 
63
o
 0,8910 0,4540 1,9626 
64
o
 0,8988 0,4384 2,0503 
65
o
 0,9063 0,4226 2,1445 
66
o
 0,9135 0,4067 2,2460 
67
o
 0,9205 0,3907 2,3559 
68
o
 0,9272 0,3746 2,4751 
69
o
 0,9336 0,3584 2,6051 
70
o
 0,9397 0,3420 2,7475 
71
o
 0,9455 0,3256 2,9042 
72
o
 0,9511 0,3090 3,0777 
73
o
 0,9563 0,2924 3,2709 
74
o
 0,9613 0,2756 3,4874 
75
o
 0,9659 0,2588 3,7321 
76
o
 0,9703 0,2419 4,0108 
77
o
 0,9744 0,2250 4,3315 
78
o
 0,9781 0,2079 4,7046 
79
o
 0,9816 0,1908 5,1446 
80
o
 0,9848 0,1736 5,6713 
81
o
 0,9877 0,1564 6,3138 
82
o
 0,9903 0,1392 7,1154 
83
o
 0,9925 0,1219 8,1443 
84
o
 0,9945 0,1045 9,5144 
85
o
 0,9962 0,0872 11,4301 
86
o
 0,9976 0,0698 14,3007 
87
o
 0,9986 0,0523 19,0811 
88
o
 0,9994 0,0349 28,6363 
89
o
 0,9998 0,0175 57,2900 
 
 
 
 
 
 
Tabela de valores reais das razões trigonométricas 
15 
Tarefa de casa 
1) Um avião levanta vôo de um aeroporto A, e sobe 
fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. 
Determinar, em quilômetros, com aproximação de 2 casas 
decimais, a altura do solo e qual a distância percorrida 
quando passar pela vertical que passa por um prédio 
situado a 2 quilômetros do ponto de partida A, ou seja 
AP = 2km. 
Dados: 
sen15° = 0,2588; cos15° = 0,9659 e tg15° = 0,2679 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A área de um polígono regular em função do apótema 
é dada pela relação pol
n. .r
A
2
 , onde n é o nº de lados 
do polígono regular , é o comprimento do lado e r o raio 
da circunferência inscrita no polígono regular (apótema). 
Usando as informações dadas anteriormente 
calcule, em cm
2
, com aproximação de 2 casas decimais, a 
área de um octodecágono regular (18 lados) em função da 
medida do raio da circunferência inscrita (apótema), 
sabendo que o lado do octodecágono regular mede 16cm. 
Dados : sen10° = 0,1736 sen20° = 0,3420 
cos10° = 0,9848 cos20° = 0,9397 
tg10° = 0,1763 tg20° = 0,3640 
 
 
4) Durante um vendaval, um poste (vertical) de iluminação 
quebrou-se em um ponto à certa altura do solo 
(horizontal). A parte do poste acima da fratura inclinou-se 
e sua extremidade superior encostou no solo a uma 
distância de 4m da base dele e formando um ângulo de 50° 
como o solo. Determine, em metros, a altura H do poste. 
Dados: sen 50° = 0,77 , cos 50° = 0,64 e tg 50° = 1,20.Questão de raciocínio lógico: 
Em um sistema de criptografia, as palavras são codificadas 
de acordo com as seguintes regras: 
 cada vogal deve ser substituída por um dentre os 
números 1, 2, 3, 4 e 5 sendo que o 1 corresponde ao A, o 2 
corresponde ao E, e assim por diante, conforme a ordem 
em que as vogais aparecem no alfabeto; 
 cada consoante deverá ser substituída pela letra 
do alfabeto que a sucede. A letra Z será substituída 
pela letra A. 
Que palavra está codificada de acordo com esse sistema 
criptográfico? 
 
 Código Palavra 
a) 1A2EP AZEDO 
b) CS1R3M BRASIL 
c) D15R1 CAUSA 
d) A2CSB ZEBRA 
e) M2US1 LETRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70° 
42m 
2) Um cabo de aço preso no chão (horizontal) e no topo de 
uma torre (vertical) forma com o chão um ângulo de 70°, 
como mostra a figura abaixo. Sabendo que o cabo de aço 
foi fixado no chão a uma distância de 42m do pé da torre, 
calcule, em metros, com aproximação de 2 casas decimais: 
a) o comprimento do cabo de aço. 
b) a altura da torre. 
Dados: 
sen70
o
 = 0,9397 
cos70
o
 = 0,3420 
tg70
o
 = 2,7475 
16 
y 
x 
y 
H 
4m 
solo 
50°  
15° 
A P 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 8 
 
Valores exatos das razões trigonométricas de 30o e 60o 
 
Tópicos da aula 
 Altura do triângulo equilátero 
 Razões trigonométricas de 30
o
 e 60
o
 
 
Resumo teórico 
Altura do triângulo equilátero: 
Definição: a altura de um triângulo é o segmento que sai 
do vértice e chega perpendicularmente no lado oposto ou 
na reta suporte do lado oposto. 
Importante: No triangulo equilátero a altura coincide com 
a bissetriz e com a mediana relativas ao mesmo vértice. 
Definição: a bissetriz de um triângulo é o segmento que sai 
do vértice, chega no lado oposto, e divide a medida do 
ângulo do vértice ao meio. 
Definição: a mediana de um triângulo é o segmento que 
sai do vértice e chega no ponto médio do lado oposto. 
Propriedade: em todo triângulo equilátero cada um dos 
ângulos internos tem medida de 60
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela de valores exatos das razões trigonométricas 
para os ângulos de 30
o
 e 60
o
: 
 
 30
o
 60
o
 
sen 
2
1
 
2
3
 
cos 
2
3
 
2
1
 
tg 
3
3
 3 
 
 
Exercícios de aula 
1) Calcule a medida h da altura de um triângulo equilátero 
em função da medida a de seu lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule os valores exatos das razões trigonométricas 
para o ângulo de 30
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule os valores exatos das razões trigonométricas 
para o ângulo de 60
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
60
o 
60
o 
30
o 
30
o
 
a a 
a/2 a/2 
h 
M 
4) (PUC/MG) Um barco parte de A e segue numa direção 
que forma com a margem AC do rio um ângulo de 30°. 
Sabe-se que o barco navega a uma velocidade constante de 
4km/h e que a largura do rio é BC = 800m. O tempo gasto 
pelo barco para ir de A até B, em minutos é 
a) 12. 
b) 24. 
c) 36. 
d) 48. 
e) 60. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma pessoa localizada num ponto A de uma avenida, 
retilínea e horizontal, vê o topo de um edifício (vertical) 
sob um ângulo 30
o
. Caminhando por 80 metros nesta 
avenida em direção ao edifício ela para num ponto B e vê 
o topo do mesmo prédio sob ângulo de 60
o
. De acordo com 
as informações apresentadas 
a) Faça um desenho que ilustre tal problema; 
b) Calcule aproximadamente, em metros, a altura deste 
edifício, desprezando a altura da pessoa. (use 7,13  ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) (PUC-MG) Uma escada rolante de 10m de 
comprimento liga dois andares de uma loja e tem 
inclinação de 30°. A altura h entre um andar e outro, em 
metros, é tal que 
a) 3 < h < 5. 
b) 4 < h < 6. 
c) 5 < h < 7. 
d) 6 < h < 8. 
e) 7 < h < 9. 
 
 
 
2) Na figura ao lado, h = 2 cm ,  = 30° e  = 60° . 
Calcule, em centímetros, a medida x + y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio 
e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na outra 
margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo 
CA B

 mede 75º e o ângulo A CB

 mede 75º. Determine a 
largura do rio. 
 
Questão de raciocínio lógico 
Quatro amigos, funcionários de uma mesma empresa, 
precisam marcar exame médico num dos 30 dias do mês 
de setembro. Eles enviaram e-mails ao setor de recursos 
humanos informando o período em que cada um estaria 
disponível para realizar o exame. 
– Rogério: do dia 5 ao dia 21. 
– Marcos: do dia 8 ao dia 16. 
– Pedro: do dia 20 ao dia 28. 
– Sérgio: do dia 17 ao dia 19. 
Considerando que os quatro exames médicos foram 
marcados em dias que atendiam as respectivas 
disponibilidades, é certo concluir que 
a) Rogério foi o primeiro dos quatro a fazer o exame. 
b) Marcos fez o exame antes de Sérgio. 
c) os quatro exames médicos foram marcados em dias 
diferentes. 
d) o intervalo entre a realização do primeiro e do último 
exame foi de 23 dias. 
 
 
18 
A 
B 
C 
30° 
h 
A 
B 
C 
D E 
  
h 
  
x y 
3) Na figura ao lado, ACDE é um 
retângulo com AE = 50cm. Calcule a 
medida do segmento BD sabendo que 
B, C e D são colineares, BÂC = 30
o
 e 
BÊD = 60
o
. 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 9 
 
Valores exatos das razões trigonométricas de 45o 
 
Tópicos da aula 
 Diagonal do quadrado 
 Razões trigonométricas de 45
o
 
 
Resumo teórico 
Diagonal do quadrado: 
Definição: a diagonal do quadrado é o segmento que une 
dois vértices não consecutivos. 
Importante: No quadrado a diagonal é a bissetriz do 
ângulo interno. 
Propriedade: em todo quadrado cada um dos ângulos 
internos tem medida de 90
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela de valores exatos das razões trigonométricas 
para os ângulos de 30
o
, 45
o
 e 60
o
: 
 
 
 30
o
 45
o
 60
o
 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
tg 
3
3
 1 3 
 
 
 
 
Exercícios de aula 
1) Calcule a medida d da diagonal de um quadrado em 
função da medida a de seu lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule os valores exatos das razões trigonométricas 
para o ângulo de 45
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule a medida de x na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
d 
 
  
 
45
o 
45
o 
45
o 
45
o 
a 
a 
a 
a 
 45º 60º 
2cm x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) De um ponto A, no solo, avistam-se a base B e o topo C 
de um bastão colocado verticalmente no alto de uma 
colina, sob ângulos de 30º e 45º, respectivamente. Se o 
bastão mede 4m de comprimento, a altura da colina, em 
metros, é igual a ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) Calcule o valor de x na figura abaixo. 
 
 
 
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) No triângulo ABC da figura abaixo, o segmento CH é a 
altura relativa ao vértice C, ou seja, ABCH  , sabendo 
que BC = 32 cm, o45CBA 

 e o30HCA 

, calcule, 
em centímetros, a medida de x e a medida de y, sendo 
AC = x e AH = y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) (UNICAMP) Caminhando em linha reta ao longo de 
uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B , 
cobrindo a distância AB = 1200m. Quando em A ele avista 
um navio parado em N de tal maneira que o ângulo BAN

 
é de 60°; quando em B, verifica que o ângulo ABN

 é de 
45°. 
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. 
b) Calcule a distância a que se encontra o navio da 
praia. ( Use 7,13ou 4,12  ) 
 
 
Questão de raciocínio lógico 
Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma 
delas é azul, o da outra é preto, e o da outra é branco. Elas 
calçam paresde sapatos destas mesmas três cores, mas 
somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. 
Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa 
está com sapatos azuis. Deste modo 
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. 
b) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são 
azuis. 
c) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é 
branco. 
d) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. 
 
 
20 
 
A 
B 
C 
4) Na figura, os ângulos 

A e 

C são retos. 
Determine as medidas 
dos lados AB e AD . 
30° 45° 
x 
30° 45° 
x 
 
3 
x 
y A B 
C 
H x 
y A B 
C 
H 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 10 
 
Medida de ângulo em radiano 
 
Tópicos da aula 
 Ângulo central 
 Comprimento de uma circunferência 
 Comprimento de um arco de circunferência 
 Medida de um arco de circunferência 
 Medida em radiano 
 
Resumo teórico 
Ângulo central: 
Definição: ângulo central é o ângulo cujo centro coincide 
com o centro da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
O : centro da circunferência  
AÔB : ângulo central 

AB : arco de circunferência determinado pelo ângulo 
central AÔB 
r : comprimento do raio da circunferência  
 : medida do ângulo central 
l : comprimento do arco 

AB 
 
Comprimento de uma circunferência: 
O comprimento de uma circunferência é dado, em função 
do comprimento de seu raio r, pela relação C = 2..r. 
Exemplo: 
O comprimento de uma circunferência de raio r = 8,5 cm é 
igual a C = 2..8,5 = 17 cm. 
 
Comprimento de um arco de circunferência: 
O comprimento l de um arco de circunferência é calculado 
por meio de regra de três simples, com relação à medida 
do ângulo central. 
 
 Ângulo Comprimento 
 360
o
 --------------- 2..r 
  --------------- l 
 
Exemplo: 
O comprimento de um arco l de uma circunferência de 
raio r = 18 cm e ângulo central de medida 30
o
 é igual a: 
 
l
..
o
o 182
30
360 
 
l = 
o
o
360
18..2.30 
 
l = 3 cm 
 
Medida de um arco de circunferência: 
A medida de um arco de circunferência é igual à medida 
do ângulo central que o determina, na mesma unidade de 
medida. 
Exemplo: 
Um arco de circunferência determinado por um ângulo 
central de medida 50
o
 mede também 50
o
. 
 = 50
o
  med(

AB ) = 50
o
 
 
 
 
 
 
Comprimento de arco é o tamanho do arco, linearmente, e 
sua unidade de medida é o metro, centímetro, polegadas, 
ou qualquer outra unidade de comprimento, e em geral é 
utilizada uma régua ou trena para calcular seu 
comprimento. 
Medida de arco é o valor do ângulo central que determina 
o arco, e sua unidade de medida é o grau, radiano ou 
grado, e para calcular a medida do arco mede-se com um 
transferidor a medida do ângulo central. 
 
Medida em radiano: 
A medida de um ângulo (ou arco) , em radiano, é a 
RAZÃO, entre o comprimento do arco e o comprimento 
do raio da circunferência, ambos na mesma unidade de 
comprimento. 
 
raio do ocompriment
arco do ocompriment
 
 
Exemplo: 
A medida, em radiano, de um arco de circunferência de 
raio 3 cm, cujo comprimento do arco é de 18 cm é igual a 
radianos 6
cm 3
cm 18
raio do ocompriment
arco do ocompriment
 
Obs.: para a medida de arco em radiano omite-se a unidade 
de medida, ou seja,  = 6 equivale a  = 6 radianos. 
 21 
l 
O 
A 
B  
 
r 
NÃO CONFUNDA: comprimento 
de arco e medida de arco 
 
Exercícios de aula 
1) Calcule a medida, em radianos, de um arco de 
circunferência cujo comprimento do arco é de 10cm, 
sabendo que o raio da circunferência tem comprimento de 
4 cm. 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule a medida, em radianos, de uma volta completa 
de uma circunferência de raio 8cm. 
 
 
 
 
 
3) Calcule a medida, em radianos, de uma volta completa 
de uma circunferência de raio 13cm. 
 
 
 
 
 
4) Com relação aos resultados obtidos nos exercícios (2) e 
(3) dados anteriormente complete a sentença abaixo: 
 
 
 
 
5) Dê as medidas, em radianos, equivalentes às medidas 
em graus dadas abaixo: 
 
360
o
 equivale à medida, em radianos, de 2. 
180
o
 equivale à medida, em radianos, de ....... 
90
o
 equivale à medida, em radianos, de ....... 
270
o
 equivale à medida, em radianos, de ....... 
 
6) Por regra de três simples é possível transformar uma 
medida dada em graus para uma medida em radianos, e 
vice e versa. Dê a medida, em radiano, de um arco de 9
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Um arco tem sua medida em radiano igual à 
12
5
, dê sua 
medida em graus. 
 
 
 
 
 
 
8) Calcule quantos graus mede, com aproximação de uma 
casa decimal, um arco de medida 1 radiano. 
(use  = 3,14) 
 
 
 
 
 
9) Calcule em radianos as medidas equivalentes dos 
ângulos de 30
o
, 45
o
 e 60
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) (FUVEST-SP) Convertendo-se 30
o
15’ para radianos, 
obtém-se ( = 3,14): 
a) 0,53. b) 30,15. c) 1,10. 
d) 3,015. e) 0,26. 
 
2) Determine, em radianos, a medida do menor ângulo 
formado pelos ponteiros de um relógio quando este está 
marcando 4 horas. 
 
3) (ETF-RJ) Quando o comprimento de uma 
circunferência aumenta de 8cm para 14cm, o raio da 
circunferência aumenta de 
a) 
6

cm. b) 

3
cm. c) 
3

cm. 
d) 1,5 cm. e) 3 cm. 
 
Questão de raciocínio lógico 
Daniel tem 3 netos: um recém nascido, uma criança e um 
adolescente. Seus nomes são Adriano, Bruno e Carlos. 
Sabe-se que um dos netos tem olhos verdes, o outro olhos 
azuis e o outro olhos castanhos. Se o mais novo tem olhos 
castanhos, o adolescente se chama Bruno e Carlos tem 
olhos verdes, marque a afirmativa correta: 
a) O neto de olhos verdes é o mais velho. 
b) Carlos é recém nascido. 
c) Adriano tem olhos castanhos. 
d) Bruno não tem olhos azuis. 
e) A criança não tem olhos verdes. 
22 
30° 45° 
x 
x 
y A B 
C 
H 
A medida em radianos de uma circunferência 
é sempre igual a ................ 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 11 
 
Medidas dos principais arcos da circunferência 
 
Tópicos da aula 
 Origem das medidas dos arcos 
 Divisão da circunferência em 4 partes iguais (quadrante) 
 Divisão da circunferência em 12 partes iguais 
 Divisão da circunferência em 8 partes iguais 
 Arcos simétricos 
 
Resumo teórico 
Origem das medidas dos arcos: 
Por convenção a origem das medidas dos arcos numa 
circunferência é o ponto situado no semi eixo horizontal à 
direita, com medidas positivas, dos arcos, no sentido anti 
horário. 
 
Divisão da circunferência em 4 partes iguais: 
Ao dividir a circunferência em 4 partes iguais ficam 
definidos 4 quadrantes, numerados em ordem crescente, no 
sentido anti horário. Cada quadrante tem a medida de 
o
o
90
4
360
 




 


24
2
 ou . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão da circunferência em 12 partes iguais: 
Ao dividir a circunferência em 12 partes iguais, cada arco 
tem a medida de 
o
o
30
12
360
 




 


612
2
 ou . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão da circunferência em 8 partes iguais: 
Ao dividir a circunferência em 8 partes iguais, cada arco 
tem a medida de o
o
45
8
360
 




 


48
2
 ou . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arcos simétricos: 
Um arco de medida x no 1
o
 quadrante possui simétricos 
nos demais quadrantes. A medida de cada arco simétrico 
de x nos demais quadrantes, em graus ou radianos, é: 
Simétrico de x no 2
o
 quadrante = 180
o
 – x (ou  – x). 
Simétrico de x no 3
o
 quadrante = 180
o
 + x (ou  + x). 
Simétrico de x no 4
o
 quadrante = 360
o
 – x (ou 2 – x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Obter os arcos simétricos no 2
o
, 3
o
 e 4
o
 
quadrantes do arco do 1
o
 quadrante de medida 36
o
. 
 
Sendo x = 36
o
 a medida do arco do 1
o
 quadrante, temos: 
2
o
 quadrante : 180
o
 – 36
o
 = 144
o
. 
3
o
 quadrante : 180
o
 + 36o
 = 216
o
. 
4
o
 quadrante : 360
o
 – 36
o
 = 324
o
. 
 
23 
 
0
o
 (0 rad) 
30
o
 




 
6
 
 
0
o
 (0 rad) 
45
o
 




 
4
 
 
x 
180
o
 – x 
(ou  – x) 
180
o
 + x 
(ou  + x) 
360
o
 – x 
(ou 2 – x) 
90
o
 




 
2
 
 180o   
 
270
o
 




 
2
3
 
 
360
o
  2 
 
0
o
 (origem) 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
Exemplo: Obter os arcos simétricos no 2
o
, 3
o
 e 4
o
 
quadrantes do arco do 1
o
 quadrante de medida 
7
2
. 
Sendo x = 
7
2
 a medida do arco do 1
o
 quadrante, temos: 
2
o
 quadrante : 
7
5
7
27
7
2 




 . 
3
o
 quadrante : 
7
9
7
27
7
2 




 . 
4
o
 quadrante : 
7
12
7
214
7
2
2





 . 
 
Exercícios de aula 
1) Obter os arcos simétricos no 2
o
, 3
o
 e 4
o
 quadrantes do 
arco do 1
o
 quadrante de medida 30
o
 




 
6
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Obter os arcos simétricos no 2
o
, 3
o
 e 4
o
 quadrantes do 
arco do 1
o
 quadrante de medida 45
o
 




 
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Obter os arcos simétricos no 2
o
, 3
o
 e 4
o
 quadrantes do 
arco do 1
o
 quadrante de medida 60
o
 




 
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Com relação aos resultados obtidos nos exercícios (1), 
(2) e (3) dados anteriormente complete a circunferência 
abaixo com as medidas, em graus e em radianos, das 17 
principais medidas (0
o
, 30
o
, 45
o
, ... , 330
o
 e 360
o
) dos arcos 
da primeira volta positiva da circunferência. 
 
 
 
 
5) Obter os arcos simétricos no 2
o
, 3
o
 e 4
o
 quadrantes do 
arco do 1
o
 quadrante de medida 80
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
30
o
 




 
6
 
 
45
o
 




 
4
 
 
60
o
 




 
3
 
6) Obter os arcos simétricos no 1
o
, 3
o
 e 4
o
 quadrantes do 
arco do 2
o
 quadrante de medida 148
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Obter os arcos simétricos no 2
o
, 3
o
 e 4
o
 quadrantes do 
arco do 1
o
 quadrante de medida 
5

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Obter os arcos simétricos no 1
o
, 2
o
 e 4
o
 quadrantes do 
arco do 3
o
 quadrante de medida 
9
11
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Considerando como 57
o
 a medida aproximada de um 
arco de medida 1 radiano 
a) calcule em graus os arcos de medidas 2, 3, 4, 5 e 6 
radianos; 
b) localize na circunferência dada abaixo, as medidas dos 
arcos de medidas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 radianos, tendo como 
referências as 17 principais medidas dos arcos da 
circunferência, obtidas na questão (4) dada anteriormente. 
 
 
 
 
10) Calcule, em radianos, a medida do arco simétrico, no 
terceiro quadrante, do arco de medida 5 radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) O arco simétrico no 3
o
 quadrante do arco de medida 
288
o
 é igual a 
a) 72
o
. b) 108
o
. c) 198
o
. d) 252
o
. e) 272
o
. 
 
2) Sendo p a diferença entre as medidas, em radianos, de 
dois arcos simétricos do 4
o
 e do 2
o
 quadrantes, 
respectivamente, e q a diferença entre as medidas, em 
radianos, de dois arcos simétricos do 3
o
 e do 1
o
 quadrantes, 
respectivamente, então é certo afirmar que o valor de p + q 
em radianos é igual a 
a) 0. b) 
2

. c)  . d) 
2
3
. e) 2 . 
 
3) O arco simétrico, no terceiro quadrante, do arco de 
medida 2 radianos é igual a 
a) 2 . b) 2 . c) 4 . 
d) 22  . e) 22  . 
 
Questão de raciocínio lógico 
Dada a sequência (2, 12, 16, 17, 18, 19, ...) o próximo 
número deste sequência é 
a) 23. b) 33. c) 84. 
d) 200. 
 
 
30° 45° 
x 
x 
y A B 
C 
H 
25 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 12 
 
Arcos côngruos na circunferência 
 
Tópicos da aula 
 Medidas positivas e negativas 
 Arcos côngruos 
 Expressão geral dos arcos trigonométricos 
 
Resumo teórico 
Medidas positivas e negativas: 
As medidas dos arcos tomadas no sentido anti horário, a 
partir da origem, assumem sinais positivos para suas 
medidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As medidas dos arcos tomadas no sentido horário, a partir 
da origem, assumem sinais negativos para suas medidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arcos côngruos: 
Arcos côngruos são os arcos cujas extremidades são 
coincidentes, quer sejam tomadas no sentido anti horário 
como no sentido horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expressão geral dos arcos trigonométricos: 
Para representar todas as medidas reais dos arcos côngruos 
de uma sequência usa-se a expressão: 
 
 
 
onde, 
x : é a medida real de qualquer uma das medidas dos arcos 
côngruos. 
 : é a primeira medida não negativa dos arcos côngruos. 
k : é um contador inteiro de razões. 
r : é a razão, ou seja, a distância entre duas medidas 
consecutivas da sequência dos arcos côngruos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Colocando em ordem crescente as extremidades dos arcos 
côngruos com vértices em A , tem-se: 
 
 
 
 
 
 
A expressão geral dos arcos côngruos em A é dada por 
 
x = 270
o
 + k.360
o
 , k  Z 
 
Exercícios de aula 
1) Escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 
medida 30
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
 
 
- 100
o
 
 
 
 
- 195
o
 
 
0
o
 (origem) 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
 
 
100
o
 
 
 
 
195
o
 
 
0
o
 (origem) 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
270
o
  630
o
  - 90
o
  - 450
o
  ... 
80
o
  440
o
  800
o
  - 280
o
  ... 
 
 
Zk , r.kx  
( ... , - 450
o
 , - 90
o
 , 270
o
 , 450
o
 , ... ) 
r = 360
o
 
 
 
 
 
270
o
  630
o
  - 90
o
  - 450
o
  ... 
A 
 
 
30
o
 
2) Escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 
medida - 60
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Escreva a expressão geral dos arcos que têm 
extremidades em A ou em B, separados diametralmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Escreva a expressão geral dos arcos que têm 
extremidades em C ou em D, simétricos com relação ao 
eixo horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Escreva a expressão geral dos arcos que têm 
extremidades em Eou em F, simétricos com relação ao 
eixo vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Escreva a expressão geral dos arcos que têm 
extremidades em um dos vértices do triângulo equilátero 
inscrito na circunferência, dado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Escreva as expressões obtidas nos exercícios (1), (2), 
(3), (3), (4), (5) e (6) com as medidas em radianos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
- 60
o
 
A (60
o
) 
(240
o
) B 
C (20
o
) 
D (340
o
) 
E (45
o
) (135
o
) F 
270
o
 
8) Escreva a expressão geral dos arcos que têm 
extremidades em um dos vértices do retângulo inscrito na 
circunferência abaixo, sabendo que os arcos são arcos 
simétricos com relação aos eixos horizontal e vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Escreva a expressão geral dos arcos (em radianos) que 
têm extremidades em um dos vértices do triângulo 
equilátero inscrito na circunferência, dado na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) (PUC) Sendo  um ângulo, então 







2
5
 pertence ao 
a) 1
o
 quadrante. d) 4
o
 quadrante. 
b) 2
o
 quadrante. e) n.d.a. 
c) 3
o
 quadrante. 
 
2) (Fund. Educ, Serra dos Órgãos) Marcando no círculo 
trigonométrico as extremidades dos arcos da forma k.50
o
, 
k inteiro, obtemos os vértices de um polígono regular cujo 
número de lados é igual a 
a) 7. d) 29. 
b) 8. e) 36. 
c) 16. 
 
3) Representar no círculo trigonométrico as imagens dos 
números reais x, tais que x = 210
o
 +k.360
o
 , k  Z. 
 
4) Representar no círculo trigonométrico as imagens dos 
números reais x, tais que Zk , .k
3
2
x 

 . 
 
5) Representar no círculo trigonométrico as imagens dos 
números reais x, tais que x =  45
o
 + k.360
o
 , k  Z. 
 
6) Representar no círculo trigonométrico as imagens dos 
números reais x, tais que Zk , 
5
2
.kx 

 . 
 
Questão de raciocínio lógico 
Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados 
quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é 
mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. 
Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita 
do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, 
encontra-se à frente de Paulo. Assim, 
 
a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. 
b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. 
c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. 
d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
30
o
 
 
  
 
  
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 13 
 
Estudo do seno na circunferência trigonométrica 
 
Tópicos da aula 
 Circunferência trigonométrica 
 Eixo dos valores do seno de um ângulo 
 Valores do seno dos arcos simétricos 
 Limites dos valores do seno de um ângulo 
 Sinais dos valores do seno de um ângulo 
 
Resumo teórico 
Circunferência trigonométrica: 
Define-se a circunferência trigonométrica, como a 
circunferência de raio unitário (raio = 1), com centro no 
sistema de eixos ortogonais cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eixo dos valores do seno de um ângulo: 
O eixo vertical é o eixo dos valores do seno de um arco da 
circunferência. O valor do seno é obtido pela projeção 
perpendicular da extremidade do arco no eixo vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sen 30
o
 = 
2
1
 (valor conhecido da tabela de valores exatos) 
 
Valores do seno dos arcos simétricos: 
Os valores do seno dos arcos simétricos nos quatro 
quadrantes são iguais, diferenciando apenas o sinal. 
 
 
 
 
 
 
Limites dos valores do seno de um ângulo: 
O seno da medida de um ângulo é um valor real 
LIMITADO entre -1 e 1, ou seja, -1  sen x  1 , sendo x 
a medida de um ângulo qualquer da circunferência 
trigonométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais dos valores do seno de um ângulo: 
Para arcos no 1
o
 e no 2
o
 quadrantes o seno destes arcos tem 
sinal positivo, por se localizarem no semi eixo superior 
(valores positivos), e para arcos no 3
o
 e no 4
o
 quadrantes o 
seno tem sinal negativo, por localizarem no semi eixo 
inferior (valores negativos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aula 
1) Calcule os valores de 
 
sen 45
o
 = 
 
sen 135
o
 = 
 
sen 225
o
 = 
 
sen 315
o
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
1 
 
0 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
- 1 
 
- 1 
 
1 
 
- 1 
 
 
 
30
o
 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
1 
 
2
1
 
sen 30
o
 = ½ 
sen 150
o
 = ½ 
sen 210
o
 = - ½ 
sen 330
o
 = - ½ 
 
- 1 
 
 
 
30
o
 
1
o
 quad. 2
o
 quad. 
3
o
 quad. 4
o
 quad. 
1 
 
 
 
1/2 
-1/2 
150
o 
210
o 
330
o 
- 1 
 
x 
1 
 
 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
 
 
 
 
2) Calcule os valores de 
 
sen 60
o
 = 
 
sen 120
o
 = 
 
sen 240
o
 = 
 
sen 300
o
 = 
 
 
 
3) Calcule os valores do seno dos arcos de 0
o
, 90
o
, 180
o
, 
270
o
 e 360
o
. 
sen 0
o
 = 
 
sen 90
o
 = 
 
sen 180
o
 = 
 
sen 270
o = 
 
sen 360
o
 = 
 
 
4) Calcule os valores do seno dos arcos, dados em 
radianos, abaixo: 
 
a) sen 
4

= f) sen 
6

= 
b) sen 
3

= g) sen = 
c) sen 
6
5
= h) sen
3
5
= 
d) sen 
4
5
= i) sen 
6
11
= 
e) sen 
3
2
= j) sen 
2
3
= 
 
5) Calcule o valor da expressão 
E = sen 30
o
 + sen
2
60
o
 – sen 270
o
 
 
 
 
 
 
6) Calcule o valor da expressão 
2
sensen
4
7
sen
6
11
sen
E
3
2







 


 
 
 
 
 
7) Resolva a equação sen x = 
2
2
, para 0
o
  x < 360
o
, e 
dê o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Resolva a equação sen x = 
2
1
 , para 0  x < 2, e dê o 
conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Resolva, em graus, a equação sen x = 
2
3
, em R, e dê 
o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Resolva, em radianos, a equação sen x = 
2
2
 , em R, 
e dê o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
11) Resolva a equação 3.sen
2
x – 3 = 0, para 0  x < 2, e 
dê o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Resolva a equação 2.sen
2
x + senx – 1 = 0, em R, e dê a 
solução em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Considerando as medidas dos arcos em radianos, 
coloque em ordem crescente os valores de sen1, sen2, 
sen3, sen4, sen5 e sen6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) Determine o valor da expressão 
)x5(sen
)x4(sen)x3(sen 
 , para x = 30
o
. 
2) Calcule S = 
3
5
sen...
3
2
sen
3
sen0 sen





 
3) Sabendo que 
6

 é raiz da equação 
sen
2
x – m.senx + 3 = 0 , determine m. 
 
4) Resolva, no intervalo 0  x < 2, as equações: 
a) sen x = 
2
1
 d) sen
2
x = 1 
b) sen x = – 1 e) 2.sen
2
x = 1 
c) sen x = 
2
3
 f) 4.sen
2
x – 3 = 0 
 
5) Resolva, em R, as equações e dê a solução em radianos. 
a) sen x = 
2
1
 d) sen
2
x = 1 
b) sen x = – 1 e) 2.sen
2
x = 1 
c) sen x = 
2
3
 f) 4.sen
2
x – 3 = 0 
 
6) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação 
sen
2
x = senx. 
 
7) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação 
sen
2
x + 2.senx – 3 = 0. 
 
8) Resolva, em R, a equação sen
3
x – senx = 0 e dê a 
solução em radianos. 
 
9) (FATEC-SP) A diferença entre o maior e o menor valor 
de x  [0 , 2], na equação 2.sen
2
x + 3.senx = 2, é 
a) 
3

. d) 
3
5
. 
b) 
3
2
. e) 
3
7
. 
c) 
3
4
. 
 
10) Resolva, no intervalo de 0  x < 2, a equação 
sen
2
x + sen
4
x + sen
6
x = 3. 
 
Questão de raciocínio lógico 
Mariazinha saiu de sua casa com uma cesta cheia de ovos. 
Passou na casa de sua tia Tereza e lá deixou a metade dos 
ovos que tinha na cesta mais meio ovo. Em seguida, 
passou na casa de sua tia Judite e lá deixou a metade dos 
ovos que restaram em sua cesta mais meio ovo. E, por fim, 
passou na casa de sua tia Albertina e lá deixou a metade 
dos ovos que restaram em sua cesta mais meio ovo. Após 
isto verificou que em sua cesta não tinha mais ovos. Com 
quantos ovos Mariazinha saiu de sua casa? 
 
31 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 14 
 
Estudo do cosseno na circunferência trigonométrica 
 
Tópicos da aula 
 Eixo dos valores do cosseno de um ângulo 
 Valores do cosseno dos arcos simétricos 
 Limites dos valores do cosseno de um ângulo 
 Sinais dos valores do cosseno de um ângulo 
 
Resumo teórico 
Eixo dos valores do cosseno de um ângulo: 
O eixo horizontal é o eixo dos valores do cosseno de um 
arco da circunferência. O valor do cosseno é obtido pela 
projeção perpendicular da extremidade do arco no eixo 
horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos 60
o
 = 
2
1
 (valor conhecido da tabela de valores exatos) 
 
Valores do cosseno dos arcos simétricos: 
Os valores do cosseno dos arcos simétricos nos quatro 
quadrantes são iguais, diferenciando apenas o sinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites dos valores do cosseno de um ângulo: 
O cosseno da medida de um ângulo é um valor real 
LIMITADO entre -1 e 1, ou seja, -1  cos x  1 , sendo x 
a medida de um ângulo qualquer da circunferência 
trigonométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais dos valores do cosseno de um ângulo: 
Para arcos no 1
o
 e no 4
o
 quadrantes o cosseno destes arcos 
tem sinal positivo, por se localizarem no semi eixo da 
direita (valores positivos), e para arcos no 2
o
 e no 3
o
 
quadrantes o cosseno tem sinal negativo, por localizarem 
nosemi eixo da esquerda (valores negativos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aula 
1) Calcule os valores de 
 
cos 45
o
 = 
 
cos 135
o
 = 
 
cos 225
o
 = 
 
cos 315
o
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule os valores de 
 
cos 30
o
 = 
 
cos 150
o
 = 
 
cos 210
o
 = 
 
cos 330
o
 = 
 
 
 
 
32 
cos 60
o
 = ½ 
cos 120
o
 = - ½ 
cos 240
o
 = - ½ 
cos 300
o
 = ½ 
 
 
- 1 
 
 
 
60
o
 1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
1 
 
2
1
 
0 
 
- 1 
 
 
 
60
o
 
1
o
 quad. 2
o
 quad. 
3
o
 quad. 4
o
 quad. 
1 
 
 
 
1/2 -1/2 
120
o 
240
o 300
o 
- 1 
 
x 
1 
 
 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
 
  
 
3) Calcule os valores do cosseno dos arcos de 0
o
, 90
o
, 
180
o
, 270
o
 e 360
o
. 
cos 0
o
 = 
 
cos 90
o
 = 
 
cos 180
o
 = 
 
cos 270
o = 
 
cos 360
o
 = 
 
 
4) Calcule os valores do cosseno dos arcos, dados em 
radianos, abaixo: 
 
a) cos 
4

= f) cos 
6

= 
b) cos 
3

= g) cos = 
c) cos 
6
5
= h) cos
3
5
= 
d) cos 
4
5
= i) cos 
6
11
= 
e) cos 
3
2
= j) cos 
2
3
= 
 
5) Calcule o valor da expressão 
E = cos 60
o
 + cos
2
135
o
 – cos 180
o
 
 
 
 
 
 
6) Calcule o valor da expressão 
2
coscos
6
11
cos
3
4
cos
E
3
2







 


 
 
 
 
 
7) Resolva a equação cos x = 
2
2
, para 0
o
  x < 360
o
, e 
dê o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Resolva a equação cos x = 
2
1
 , para 0  x < 2, e dê o 
conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Resolva, em graus, a equação cos x = 
2
3
, em R, e dê 
o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Resolva, em radianos, a equação cos x = 
2
2
 , em R, 
e dê o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
11) Resolva a equação cos
2
x – 1 = 0, para 0  x < 2, e dê 
o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Resolva a equação 4.cos
2
x – 3 = 0, em R, e dê a 
solução em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Considerando as medidas dos arcos em radianos, 
coloque em ordem crescente os valores de cos1, cos2, 
cos3, cos4, cos5 e cos6. 
 
 
Tarefa de casa 
1) Para x = 20
o
, calcule o valor da expressão: 
E = cos(3x) – cos(6x) + cos(12x) 
2) Calcule S = 
3
2
cos
5
4
cos
5
cos
3
cos0 cos







 
3) Assinale a afirmação FALSA. 
a) 
2
cos
3
cos



 d)  cos2cos 
b) 
3
cos
4
cos



 e) 
3
2
cos
3
4
cos



 
c) 
6
5
cos
3
2
cos



 
4) Resolva, no intervalo 0  x < 2, as equações: 
a) cos x = 
2
1
 d) cos
2
x = 1 
b) cos x = – 1 e) 2.cos
2
x = 1 
c) cos x = 
2
3
 f) 2.cos
2
x – 1 = 0 
 
5) Resolva, em R, as equações e dê a solução em radianos. 
a) cos x = 
2
1
 d) cos
2
x = 1 
b) cos x = – 1 e) 2.cos
2
x = 1 
c) cos x = 
2
3
 f) 2.cos
2
x – 1 = 0 
 
6) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação 
cos
2
x = cosx. 
 
7) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação 
cos
2
x – cosx – 2 = 0. 
 
8) Resolva, em R, a equação 2.cos
2
x – cosx – 1 = 0 e dê a 
solução em radianos. 
 
9) A solução da equação 4.cos
2
x – 1 = 0 para x  [0 , ], é 
a) 







3
S . d) 





 

3
4
,
3
2
S . 
b) 





 

3
2
,
3
S . e) 





 

3
5
,
3
4
,
3
2
,
3
S . 
c) 





 

3
5
,
3
S . 
 
10) Resolva a equação cosx.(cos
2
x – 1).(2.cos
2
x – 1) = 0 , 
em R, e dê a solução em radianos. 
 
Questão de raciocínio lógico 
Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, então quanto 
pesam um tijolo e meio? 
 
 
 
 
 
 34 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 15 
 
Estudo da tangente na circunferência trigonométrica 
 
Tópicos da aula 
 Eixo dos valores da tangente de um ângulo 
 Valores da tangente dos arcos simétricos 
 Limites dos valores da tangente de um ângulo 
 Sinais dos valores da tangente de um ângulo 
 
Resumo teórico 
Eixo dos valores da tangente de um ângulo: 
O eixo vertical, tangente à circunferência pelo lado direito, 
é o eixo dos valores da tangente de um arco da 
circunferência. O valor da tangente é obtido pela 
intersecção do eixo da tangente com a reta que passa pela 
extremidade do arco e o centro da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tg 45
o
 = 1 (valor conhecido da tabela de valores exatos) 
 
 
Valores da tangente dos arcos simétricos: 
Os valores da tangente dos arcos simétricos nos quatro 
quadrantes são iguais, diferenciando apenas o sinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites dos valores da tangente de um ângulo: 
A tangente da medida de um ângulo é um valor real 
ILIMITADO , ou seja, tg x  R , sendo x a medida de um 
ângulo da circunferência, com x  90
o
 + k.180
o
, k  Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais dos valores da tangente de um ângulo: 
Para arcos no 1
o
 e no 3
o
 quadrantes a tangente destes arcos 
tem sinal positivo, por se localizarem no semi eixo 
superior (valores positivos), e para arcos no 2
o
 e no 4
o
 
quadrantes a tangente tem sinal negativo, por localizarem 
no semi eixo inferior (valores negativos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aula 
1) Calcule os valores de 
 
 
35 
tg 45
o
 = 1 
tg 135
o
 = - 1 
tg 225
o
 = 1 
tg 315
o
 = - 1 
45
o
 1
o
 quad. 2
o
 quad. 
3
o
 quad. 4
o
 quad. 
1 
 
0 
 
 
 
tg x 
 
 
 
-1 
 
135
o
 
225
o
 315
o
 
 
 
45
o
 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
1 
 
0 
 
 
 
tg x 
 
0 
 
+  
 
-  
 
 
 
 
 
 
1
o
 quadrante 2
o
 quadrante 
3
o
 quadrante 4
o
 quadrante 
 
  
tg 30
o
 = 
 
tg 150
o
 = 
 
tg 210
o
 = 
 
tg 330
o
 = 
2) Calcule os valores de 
 
 
3) Calcule os valores da tangente dos arcos de 0
o
, 90
o
, 
180
o
, 270
o
 e 360
o
. 
tg 0
o
 = 
 
tg 90
o
 = 
 
tg 180
o
 = 
 
tg 270
o = 
 
tg 360
o
 = 
 
 
 
4) Calcule os valores da tangente dos arcos, dados em 
radianos, abaixo: 
 
a) tg 
4

= f) tg 
6

= 
b) tg 
3

= g) tg = 
c) tg 
6
5
= h) tg
3
5
= 
d) tg 
4
5
= i) tg 
6
11
= 
e) tg 
3
2
= j) tg 
2
3
= 
 
5) Calcule o valor da expressão 
E = tg
3
180
o
 – tg 135
o
 + tg
4
60
o
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Calcule o valor da expressão 
4
tg.3
4
3
tg
6
11
tg
3
4
tg
E
2






 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Resolva a equação tg x = 
3
3
, para 0
o
  x < 360
o
, e dê 
o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Resolva a equação tg x = – 1, para 0  x < 2, e dê o 
conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Resolva, em graus, a equação tg x = 3 , em R, e dê o 
conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tg 60
o
 = 
 
tg 120
o
 = 
 
tg 240
o
 = 
 
tg 300
o
 = 
36 
10) Resolva, em radianos, a equação tg x = 
3
3
 , em R, 
e dê o conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Resolva a equação tg
2
x – 3 = 0, para 0  x < 2, e dê o 
conjunto solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Resolva a equação 5.tg
2
x – 5 = 0, em R, e dê a solução 
em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) Para x = 15
o
, calcule o valor da expressão: 
E = tg(4x) + tg(8x) + tg(16x) + tg(20x) 
 
2) Assinale a afirmação CORRETA. 
a) 1 < tg 30
o
 < 2. d) – 2 < tg 120
o
 < – 1. 
b) 2 < tg 60
o
 < 3. e) – 2 < tg 180
o
 < – 1. 
c) – 2 < tg 135
o
 < – 1,5. 
 
3) Resolva, no intervalo 0  x < 2, as equações: 
a) tg x = 1 d) tg
2
x = 3 
b) tg x = – 1 e) tg x = 0 
c) tg x = 
3
3
 f) 3.tg
2
x – 1 = 0 
 
4) Resolva, em R, as equações e dê a solução em radianos. 
a) tg x = 1 c) tg x = 
3
3
 
b) tg x = 0 d) tg
2
x = 1 
 
5) Resolva, no intervalo0  x < 2, a equação 
tg
2
x = tgx. 
 
6) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação 
tg
2
x – 3 .tg x = 0. 
 
7) Resolva, em R, a equação tg
3
x – tgx = 0 e dê a solução 
em radianos. 
 
8) A solução real da equação sen
 
x = cos x é 
a) 








 Zk,2.k
4
x|RxS . 
b) 








 Zk,.k
2
x|RxS . 
c)  Zk,.kx|RxS  . 
d) 








 Zk,.k
4
x|RxS . 
e) 










 Zk,
2
.k
3
x|RxS . 
 
9) Resolva a equação tgx.(tg
2
x – 3) = 0 , em R, e dê a 
solução em radianos. 
 
Questão de raciocínio lógico 
Em uma sequência de números, o primeiro termo é 61 e 
todos os outros termos correspondem à soma dos 
quadrados dos algarismos do termo anterior. O número 
que ocupa a 81
a
 posição desta sequência é 
a) 4. 
b) 16. 
c) 37. 
d) 42. 
e) 61. 
 
 
 
37 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 16 
 
Razões trigonométricas na circunferência 
 
Tópicos da aula 
 Seno, cosseno e tangente na circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo teórico 
Eixos do seno, cosseno e tangente e seus valores reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
x  – x 
 + x 2 – x 
ou 
– x 
sen(–x) = – senx 
cos(–x) = cosx 
tg(–x) = – tgx 
SIMETRIA 
+ + 
_ _ 
Sinal de sen x 
e cossec x 
+ 
+ 
_ 
_ 
Sinal de cos x 
e sec x 
+ 
+ _ 
_ 
Sinal de tg x 
e cotg x 
Exercícios de aula 
1) (AMAN) Calcular A = sen(3x) + cos(4x) – tg(2x) , 
para x = 
2

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (PUC) Determinar m para que 
3

 seja raiz da equação: 
tg
2
x – m.cos
2
x + sen
2
x = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) (F. Carlos Chagas) O menor valor que assume a 
expressão (6 – senx); para “x” variando de 0
o
 a 360
o
 é 
a) 7. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 1. 
e) –1. 
 
 
4) (VUNESP) Se A = sen(6), então 
a) 1A
2
3
 . 
b) 
2
2
A1  . 
c) 
2
2
A0  . 
d) 
2
3
A
2
2
 . 
e) 0A
2
2
 . 
 
 
5) (FISFS) Assinale a alternativa verdadeira: 
a) cos240
o
 < sen240
o
 < tg240
o
. 
b) cos240
o
 < tg240
o
 < sen240
o
. 
c) sen240
o
 < cos240
o
 < tg240
o
. 
d) tg240
o
 < cos240
o
 < sen240
o
. 
e) tg240
o
 < sen240
o
 < cos240
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) (ULBRA) O valor da expressão 
cos1440
o
 + sen810
o
 + tg720
o
 é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) (MACKENZIE) A soma dos valores máximo e mínimo 
de xcos.
3
2
2 2 é 
a) 
3
8
. b) 
3
10
. c) 4. d) 
3
14
. e) 
3
16
. 
 
2) (F. Carlos Chagas) Os quadrantes onde estão os ângulos 
,  e  tais que: 
sen < 0 e cos < 0 
cos < 0 e tg < 0 
sen > 0 e cotg > 0 são, respectivamente 
a) 3
o
, 2
o
 e 1
o
. d) 1
o
, 2
o
 e 3
o
. 
b) 2
o
, 1
o
 e 3
o
. e) 3
o
, 2
o
 e 2
o
. 
c) 3
o
, 1
o
 e 2
o
. 
 
3) (PUC-MG) Se x é um arco do 2
o
 quadrante e 
senx = 
2
2
, então tgx é 
a) – 1. b) 3 . c) 
3
3
 . d) 1. e) 3 . 
 
Questão de raciocínio lógico 
A metade dos dias decorridos, desde o início do ano até 
hoje, é igual à terça parte dos dias que ainda faltam para o 
término desse mesmo ano. Sabendo que este ano tem 365 
dias e que fevereiro tem, portanto, 28 dias, pode-se 
concluir que hoje é 
a) 14 de abril. d) 15 de junho. 
b) 10 de junho. e) 21 de maio. 
c) 26 de maio. 
39 
 
Matemática II 
Prof. Sérgio Tambellini AULA 17 
 
Cossecante, secante e cotangente na circunferência 
 
Tópicos da aula 
 Estudo da cossecante 
 Estudo da sencante 
 Estudo da cotangente 
 
Resumo teórico 
Estudo da cossecante de um ângulo: 
O eixo dos valores da cossecante de um ângulo x, tal 
que Zk ,180.kx o  , é o eixo vertical que passa pelo 
centro da circunferência trigonométrica, com valores reais 
maiores do que 1 ou menores do que –1. 
 
 
 
 O valor da cossecante do ângulo x é 
numericamente igual ao comprimento do segmento OP , 
com sinal positivo para P no semi eixo superior e negativo 
para P no semi eixo inferior, tal que OAPA  , sendo A a 
extremidade do ângulo de medida x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
cossec 30
o
 = 2, pois 2
1
30sen
1
30seccos
2
1o
o  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo da secante de um ângulo: 
O eixo dos valores da secante de um ângulo x, tal que 
Zk ,180.k90x oo  , é o eixo horizontal que passa pelo 
centro da circunferência trigonométrica, com valores reais 
maiores do que 1 ou menores do que –1. 
 
 
 
 
 
 O valor da secante do ângulo x é numericamente 
igual ao comprimento do segmento OP , com sinal 
positivo para P no semi eixo da direita e negativo para P 
no semi eixo da esquerda, tal que OAPA  , sendo A a 
extremidade do ângulo de medida x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
sec 45
o
 = 2 , pois 
2
2.2
2.2
2
21
45cos
1
45sec
2
2o
o  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
cossec x  –1 ou cossec x  1 
sec x  –1 ou sec x  1 
 
O 
P 
1 
–1 
A 
cossec 
 
0 
2 
1 
–1 
30
o
 
cossec 
 
O 
P 
1 –1 
A 
sec 
 
0 
2 
1 –1 
45
o
 
sec 
Estudo da cotangente de um ângulo: 
O eixo dos valores da cotangente de um ângulo x é o 
eixo horizontal que tangencia a circunferência 
trigonométrica em seu ponto de ordenada máxima. 
 O valor da cotangente é obtido pela intersecção 
do eixo da cotangente com a reta que passa pela 
extremidade do arco e o centro da circunferência. É 
numericamente igual ao comprimento do segmento OP , 
com sinal positivo para P no semi eixo da direita e 
negativo para P no semi eixo da esquerda, sendo A a 
extremidade do ângulo de medida x. 
A cotangente da medida de um ângulo é um valor real 
ILIMITADO , ou seja, cotg x  R , sendo x a medida de 
um ângulo da circunferência, com x  k.180
o
, k  Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
cotg 30
o
 = 3 , pois 
3
3.3
3.3
3
31
30tg
1
30gcot
3
3o
o  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aula 
1) Calcule os valores abaixo. 
cossec 120
o
 = 
 
sec 120
o
 = 
 
cotg 120
o
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule os valores abaixo. 
a) cossec
6
7
= 
b) sec
6
7
= 
c) cotg 
6
7
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule a área do trapézio retângulo BCDE assinalado 
na figura abaixo, sabendo que a circunferência dada tem 
raio unitário e o ângulo central AÔB mede 30
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O P 
A 
cotg 
cossec 
sec 
cotg 
cossec 
sec 
cotg 
O A 
B 
C D 
E 
 
0 
3
 
30
o
 
cotg 
41 
4) Resolver a equação cossecx = 2 , para 0  x < 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Resolver em R a equação sec
2
x + 2.secx = 0, e dê a 
solução em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Sejam x e y dois ângulos agudos , com x  y e x > y. 
Assinale a única alternativa VERDADEIRA. 
a) cotg x > cotg y. 
b) sec y < cos x. 
c) tgx < tg y. 
d) sen x > cossec x. 
e) cos x > cossec y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa de casa 
1) (UEL-PR) Para todo número real x, tal que 
2
x0

 , a 
expressão 
gxcotxcos
tgxxsec


 é equivalente a 
a) (senx).(cotgx) 
b) (secx).(cotgx) 
c) (cosx).(tgx) 
d) (secx).(tgx) 
e) (senx).(tgx) 
 
2) Sendo 1, 2 e 3 as medidas de três arcos em radianos, 
então é certo afirmar que 
a) sec1 < sec2 < sec3. 
b) sec1 < sec3 < sec2. 
c) sec2 < sec1 < sec3. 
d) sec2 < sec3 < sec1. 
e) sec3 < sec1 < sec2. 
 
3) (U.C.PR) O conjunto de todas as soluções da equação 
4.cossecx + 2.senx = 9 , sendo k qualquer número inteiroé 
a) 
3
.)1(.kx k

 . d) 
3
.k.2x

 . 
b) 
6
.k.2x

 . e) 
4
.)1(.kx k

 . 
c) 
6
.)1(.kx k

 . 
 
Questão de raciocínio lógico 
Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada 
linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado 
mágico abaixo o valor de x é 
a) 20. 
b) 22. 
c) 23. 
d) 25. 
e) 27. 
 
26 
1 14 x 
13 
42 
Respostas 
 
AULA 1 - Radiciação 
1. a) 14 
 b) 45 
 c) 10 
 d) 4 
2. a) 54 
 
b) 76 
 
c) 
3 52 
 
d) 
7 22 
3. c 
4. a 
5. 13 km 
Questão de raciocínio lógico: 
 O sétimo número é igual a 3. 
Sequência operacional: multiplicar por 2; subtrair 3 e 
dividir por 5, e assim sucessivamente. 
 
 
AULA 2 – Propriedades de Radiciação 
1. c 
2. d 
3.    233 32  
Questão de raciocínio lógico: 
 Em 17 dias ele conseguirá subir completamente a 
parede. 
 
 
AULA 3 – Operações com raízes 
1. a 
2. e 
3. e 
4. c 
Questão de raciocínio lógico: 
 Os dois ganharam a mesma quantidade de bolo. 
 
 
AULA 4 – Teorema de Pitágoras 
1. 65 cm 
2. 16 cm 
3. c 
4. (12, 35, 37); (24, 32, 40); (36, 24, 45); 
 (48, 20, 52); (60, 11, 61) 
5. 4 
Questão de raciocínio lógico: 
 13 triângulos 
 
 
 
 
AULA 5 – Aplicações do Teorema de Pitágoras 
1. a) 52 cm 
 b) 20 cm
2
 
2. 132 cm
2
 
3. Descerá 40 centímetros 
Questão de raciocínio lógico: 
 Colocação Nome Bairro 
 1
o
 lugar Jacó Leste 
 2
o
 lugar Margarida Oeste 
 3
o
 lugar Patrícia Norte 
 4
o
 lugar Fritz Sul 
 
 
 
AULA 6 – Trigonometria no triângulo retângulo 
 
1. b 
2. d 
3. a 
4. 25 m 
5. 10 m 
6. 20 m 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (b) 
 
 
 
AULA 7 – Tabela de valores reais das razões trigonom. 
 
1. h = 0,54 km e d = 2,07 km 
2. a) c = 122,81 m 
b) h = 115,40 m 
3. 6534,32 cm
2
 
4. H = 11,05 m 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (e) 
 
 
AULA 8 – Valores exatos das razões trigon. de 30o e 60o 
 
1. b 
2. 
2
63
 
3. BD = 75 cm 
4. 20 m 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (b) 
 
 
 
 
43 
AULA 9 – Valores exatos das razões trigon. de 45o 
1. 
x = 33 
2. 
x = 22 cm e y = 2 cm 
3. a) 
 
 
 
b) d  755,56 m 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (d) 
 
 
 
AULA 10 – Medida de ângulo em radiano 
1. a 
2. 
3
2
 
3. b 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (c) 
 
 
 
AULA 11 – Medidas dos principais arcos da circunf. 
1. d 
2. e 
3. d 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (d) 
 
 
 
AULA 12 – Arcos côngruos na circunferência 
1. a 
2. e 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (a) 
 
 
 
 
 
 
AULA 13 – Estudo do seno na circunferência trigon. 
1. 32 
2. S = 0 
3. m = 13/2 
 
4. a) S=





 
6
5
,
6
 
b) S=





 
2
3
 
c) S=





 
3
5
,
3
4
 
d) S=





 
2
3
,
2
 
e) S=





 
4
7
,
4
5
,
4
3
,
4
 
f) S=





 
3
5
,
3
4
,
3
2
,
3
 
 
5. a) S=










 Zk , 2k
6
5
xou 2k
6
x|Rx 
b) S=








 Zk , 2k
2
3
x|Rx 
c) 
S=










 Zk , 2k
3
5
xou 2k
3
4
x|Rx 
d) S=








 Zk , k
2
x|Rx 
e) S=










 Zk , 
2
k
4
x|Rx 
f) S=








 Zk , k
3
x|Rx 
 
6. S=








,
2
,0 
 
7. S=






2
 
8. 
S=








 Zk , 
4
kx|Rx 
9. b 
 
10. S=





 
2
3
,
2
 
Questão de raciocínio lógico: 
 Mariazinha saiu com 7 ovos. 
 
 
 
 
 
 
A B 
N 
d 
45o 60o  
 210o 
 
3
2 
 
3
5 
 
- 45o  
45o 
 
5
2 
 
5
4 
 
 
 5
6 
5
8 
0 
44 
AULA 14 – Estudo do cosseno na circunferência trigon. 
1. 1/2 
 
2. 
 
S = 1 
 
3. 
 
e 
 
 
4. 
 
a) S=





 
3
5
,
3
 
b) S=  
c) S=





 
6
7
,
6
5
 
d) S= ,0 
e) S=





 
4
7
,
4
5
,
4
3
,
4
 
f) S=





 
6
11
,
6
7
,
6
5
,
6
 
 
 
5. 
 
a) S=








 Zk , 2k
3
x|Rx 
b) S= Zk , 2kx|Rx  
c) S=








 Zk , 2k
6
5
x|Rx 
d) S= Zk , kx|Rx  
e) S=










 Zk , 
2
k
4
x|Rx 
f) S=








 Zk , k
6
x|Rx 
 
 
6. 
 
S=





 
2
3
,
2
,0 
 
7. 
 
S=  
 
 
8. 
 
S=








 Zk , 
3
2
kx|Rx 
 
9. 
 
b 
 
 
 
10. 
 
S=








 Zk , 
4
kx|Rx 
 
Questão de raciocínio lógico: 
 Três quilos. 
 
 
 
 
AULA 15 – Estudo da tangente na circunferência trigon. 
1. E = 0 
2. d 
 
3. a) S=





 
4
5
,
4
 
b) S=





 
4
7
,
4
3
 
c) S=





 
6
11
,
6
5
 
d) S=





 
3
5
,
3
4
,
3
2
,
3
 
e) S= ,0 
f) S=





 
6
11
,
6
7
,
6
5
,
6
 
 
4. a) S=








 Zk , k
4
x|Rx 
b) S= Zk , kx|Rx  
c) S=








 Zk , k
6
x|Rx 
d) S=










 Zk , 
2
k
4
x|Rx 
 
5. S=





 


4
5
,,
4
,0 
 
6. S=





 


3
4
,,
3
,0 
 
7. S=










 Zk , 
2
k
4
xou kx|Rx 
8. d 
 
9. S=








 Zk , 
3
kx|Rx 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (b) 
 
AULA 16 – Razões trigonométricas na circunferência 
1. d 
2. a 
3. a 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (c) 
 
AULA 17 – Cossecante, secante e cotangente na circunf. 
1. d 
2. d 
3. c 
Questão de raciocínio lógico: 
 Alternativa (e) 
 
 45