Lista2 4

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<p>206 Álgebra Linear com Aplicações Prova. Nós vamos provar a parte (b) e deixar a prova das demais Como o Teorema 6.1.1 é um resultado geral, é particular- partes como exercícios. mente válido para todos os espaços com produto interno reais. [Por simetria] Este é o verdadeiro poder do desenvolvimento axiomático de = + u) [Por espaços vetoriais e produtos internos-um único teorema prova = + (u, w) [Por uma abundância de resultados de uma só vez. Por exemplo, sem O exemplo a seguir ilustra como o Teorema 6.1 e as pro- maiores provas temos a garantia que as cinco propriedades lis- tadas no Teorema 6.1.1 são verdadeiras para o produto interno priedades que definem produtos internos podem ser usados para efetuar cálculos algébricos com produtos internos. À medida em gerado por qualquer matriz A [Fórmula (3)]. Para exem- que você o exemplo, vai achar instrutivo justificar cada passo. plificar, vamos conferir a parte (b) do Teorema 6.1.1 para este produto interno: EXEMPLO 11 Calculando com Produtos Propriedade da transposta] Internos = + [Propriedade de multiplicação matricial] = + (u - 2v, 3u + 4v) = (u, 3u + 4v) - O leitor pode verificar que é instrutivo conferir as demais partes + (u, 4v) - (2v, 3u) (2v, do Teorema 6.1.1 para este produto interno. 3(u, + 4(u, v) 6(v, u) = + 4(u, v) 6(u, v) - = Conjunto de Exercícios 6.1 1. Seja v) o produto interno euclidiano do R2 e sejam que (a) = (v, u) (b) (c) + (u, w) (d) (lu, (e) (0, v) = 2. Repita o Exercício 1 para o produto interno euclidiano ponderado 3. Calcule usando o produto interno do Exemplo 7. u = 4 8 = 3 1 5 4 8 6 4. Calcule <p, usando o produto interno do Exemplo 8. (a) (b) q=3+2x-4x2 5. (a) Use a Fórmula (3) para mostrar que (u, v) produto interno de gerado por 3 0 A = 0 2 (b) Use o produto interno da parte (a) para calcular <u, com u = (-3,2) 6. (a) Use a Fórmula (3) para mostrar que <u, + é o produto interno de R2 gerado por A = 2 3 1 (b) Use o produto interno da parte (a) para calcular (u, com u 7. Sejam u cada parte, a expressão dada é um produto interno em R2. Encontre a matriz que gera este produto inter- no. (a) (b) 8. Sejam u = U2). Mostre que as expressões a seguir são produtos internos em verificando que valem os axiomas de pro- dutos (a) (b) (u, = 9. Sejam u U3). Determine quais das expressões a seguir são produtos internos em Para as que não são produtos internos, liste os axiomas que não valem. (a) (u, (b) (c) (d) 10. Em cada parte use o produto interno em R2 dado para calcular onde (a) o produto interno euclidiano</p><p>Capítulo 6 Espaços com Produto Interno 207 (b) o produto interno euclidiano ponderado <u, = + onde (c) o produto interno gerado pela matriz 11. Use os produtos internos do Exercício 10 para encontrar d (u, v) para u = 12. Suponha que P2 tem o produto interno do Exemplo 8. Em cada parte, encontre (a) 13. Suponha que tem o produto interno do Exemplo 7. Em cada parte, encontre 14. Suponha que P2 tem o produto interno do Exemplo 8. Encontre d (p, q). 15. Suponha que tem o produto interno do Exemplo 7. Encontre d (A,B). (a) 16. Suponha que u, e W são vetores tais que Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões. (a) (b) (2v (c) (f) 17. (Para leitores que estudaram Cálculo.) Suponha que tem o produto interno (a) Encontre (b) Encontre d (p, q) se 18. Esboce o círculo unitário em R2 usando o produto interno dado. (a) (b) = + 19. Encontre um produto interno euclidiano ponderado de para o qual o círculo unitário é a elipse mostrada na figura dada. 1 3 Figura Ex-19 20. Mostre que vale a seguinte identidade para vetores de qualquer espaço com produto interno. 21. Mostre que vale a identidade para vetores de qualquer espaço com produto interno. 22. Mostre é um produto interno em 23. Sejam que (p, é um produto interno em Isto é um produto interno em P3? Explique. 24. Prove: Se (u, é o produto interno euclidiano de R" e se A é uma matriz então [Sugestão. Use o seguinte fato: 25. Verifique o resultado do Exercício 24 para o produto interno euclidiano de e -1 3 1 -2 1 4 -2 26. é um produto interno em se W1, Wn são números reais positivos.</p><p>Capítulo 6 Espaços com Produto Interno 213 2. Suponha que R4 tem o produto interno euclidiano e seja u = (- 1, 1, 0, 2). Determine se o vetor u é ortogonal ao subespaço gerado pelos vetores = (0, 0, 0, 0), W2 = (1, 1,3,0) e W3 = (4, 0, 9, 2). 3. Suponha que R2, e R4 têm o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre e (a) u = (1,-3), = (2, (b) (c) u = (-1,5,2), = (2,4,-9) (d) (e) u = (1,0,1,0), = (-3, -3, -3, -3) (f) 4. Suponha que P2 tem o produto interno do Exemplo 8 da Seção 6.1. Encontre o cosseno do ângulo entre e (a) p 5. Mostre que ortogonais em relação ao produto interno do Exercício 4. 6. Suponha que tem o produto interno do Exemplo 7 da Seção 6.1. Encontre o cosseno do ângulo entre A e B. (a) 1 = B = 7. Seja A = Quais das seguintes matrizes são ortogonais a A em relação ao produto interno do Exercício 6? 1 1 0 2 1 (a) (b) (c) (d) 0 5 2 8. Suponha que R3 tem o produto interno euclidiano. Para quais valores de k os vetores u e são ortogonais? (a) (b) u = (k, k, 1), = (k, 5,6) 9. Suponha que R4 tem o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores de norma 1 que são ortogonais aos três vetores u = (2, 1, - 4, 0), e W = (3, 2, 5, 4). 10. Em cada parte, mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale para os vetores dados usando o produto interno (a) (b) (2, -1,3) (c) (d) -1, 11. Em cada parte, mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale para os vetores dados. (a) = (1,0), usando o produto interno do Exemplo 2 da Seção 6.1. (b) = e 3 3 , usando o produto interno do Exemplo 7 da Seção 6.1. o produto interno do Exemplo 8 da Seção 6.1. 12. Seja W a reta de equação Obtenha uma equação para 13. (a) Seja W o plano de Obtenha equações paramétricas para (b) Seja W a reta de equações paramétricas = 2t, = 4t em R3. Obtenha uma equação para (c) Seja W a interseção dos dois planos em Obtenha uma equação para 14. Seja A = 3504 1120 (a) Encontre bases para o espaço-linha e espaço-nulo de A. (b) Mostre que cada vetor do espaço-linha é ortogonal a cada vetor do espaço-nulo (conforme garantido pelo Teorema 6.2.6a). 15. Seja A a matriz do Exercício 14. (a) Encontre bases para o espaço-coluna de A e para o espaço-nulo de (b) Mostre que cada vetor do espaço-coluna de A é ortogonal a cada vetor do espaço-nulo de AT (conforme garantido pelo Teorema 6.2.6b). 16. Encontre uma base para o complemento ortogonal do subespaço de gerado pelos vetores. (a) V1 = V2 = V3 = (7, (b) V1 V2 = (c) = V2 = V3 = (-1,3,2,2) (d) V1 = = (3, -2, 1,4 -1), V3 = (-1,0, -1, -2, -1), V4 = (2,3,5,7,8) 17. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e são vetores ortogonais de V tais que = = 1, então = 2</p><p>214 Álgebra Linear com Aplicações 18. Seja um espaço com produto interno. Mostre que se W é ortogonal a ambos e então W é ortogonal a para quaisquer escalares Interprete este resultado geometricamente no caso em que V é o com o produto interno 19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se W é ortogonal a cada um dos vetores então é ortogonal a cada vetor em 20. Seja uma base do espaço com produto interno V. Mostre que o vetor nulo é o único vetor de V que é ortogonal a todos os vetores da base. 21. Seja uma base do subespaço W do espaço com produto interno V. Mostre que W1 consiste de todos os vetores de que são ortogonais a cada vetor da base. 22. Prove a seguinte generalização do Teorema 6.2.4. Se V, são vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno, então 23. Prove as seguintes partes do Teorema 6.2.2: (a) parte (a) (b) parte (b) (c) parte (c) 24. Prove as seguintes partes do Teorema 6.2.3: (a) parte (a) (b) parte (b) (c) parte (c) (d) parte (d) 25. Prove: se u e são uma matriz nxn, então 26. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que, para quaisquer valores reais de a, b e 0, vale (a cos b sin 27. Prove: Se W1, Wn são números reais positivos são quaisquer dois vetores no então 28. Mostre que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz se, e somente se, u e são linearmente independentes. 29. Use métodos vetoriais para provar que um triângulo inscrito num círculo de tal modo que um de seus lados é um diâmetro, é necessariamente um triângulo retângulo. Expresse os vetores AB e BC da figura dada em termos de u e v.] B A C Figura Ex-29 30. Os vetores u = (1, e = têm norma 2 em relação ao produto interno euclidiano e o ângulo entre eles é de 60° (veja figu- ra). Encontre um produto interno euclidiano ponderado em relação ao qual u e y são vetores unitários e ortogonais. y 60° 2 Figura Ex-30 31. (Para leitores que estudaram Cálculo.) Sejam (x) (x) funções contínuas em [0, 1]. Prove: (a) (b) [Sugestão Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz.] 32. (Para leitores que estudaram Cálculo.) Suponha que tem o produto interno e Mostre que se então e f são ortogonais em relação ao produto interno Discussão e Descoberta 33. (a) Seja W a reta y num sistema de coordenadas xy do R2. Descreva o subespaço (b) Seja W o eixo y num sistema de coordenadas xyz do Descreva o subespaço (c) Seja W o plano yz num sistema de coordenadas xyz do Descreva o subespaço</p>