BMA03-PD9-2025 2

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Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática Ciclo 2025-2
[Curso: Álgebra Lineal] [Código: BMA03]
Práctica Dirigida N°9
1. Sea ℘ el conjunto de todos los polinomios con
coeficientes complejos en una variable t. Con-
siderar los subespacios ℘ que consisten de los
polinomios p para los cuales:
a) p tiene grado 3.
b) 2p(0) = p(1).
c) p(t) ≥ 0 siempre que 0 ≤ t ≤ 1.
d) p(t) = p(1 − t) para todo t.
¿En cuál de estos casos es un subespacio vec-
torial?
2. Sea v un elemento de R2, Vv = {x ∈ R2/x es
múltiplo de v}, y +, · las operaciones usuales.
Demostrar que V con esas operaciones es un es-
pacio vectorial sobre R. Para los espacios Vu y
Vv. La unión de ellos es un espacio vectorial?(u,
v no son paralelos). El conjunto ∪u∈R2Vu es un
espacio vectorial?.
3. Probar que si R es considerado como un espa-
cio vectorial sobre el cuerpo R, entonces una
condición necesaria y suficiente para que los
vectores 1 y ξ en R sean l.i es que el número
real ξ sea irracional.
4. Bajo que condiciones sobre los escalares ξ y η,
son los vectores (1, ξ) y (1, η) linealmente de-
pendientes?.
5. Cuáles de los sgtes subconjuntos del espacio
vectorial C[0, 1](f : [0, 1] −→ [0, 1], f función
continua) son subespacios del mismo:
a) A = {f ∈ C[0, 1]; f(0) = f(1)}
b) B = {f ∈ C[0, 1]; f(0) = 2f ′(1/2)}
c) D = {f ∈ C[0, 1]; f(τ) = µτ + ν, µ, ν ∈ Z}
d) E = {f ∈ C[0, 1]; f(0) = f(1)2}
6. Sean los subespacios vectoriales V1, V2, ..., Vn ⊂
V. Pruebe que el subespacio vectorial generado
por la unión ∪Vi es el conjunto V1+V2+...+Vn.
7. Probar que el conjunto A de las funciones pa-
res y el conjunto B de las funciones impares
son subespacios vectoriales de F(E; F ) = {f :
E −→ F/f es función} y además F(E; F ) =
A ⊕ B.
8. Sea P1 ⊂ A y P2 ⊂ B, considérese A′ =
{p(x) =
∑
aix
2i} y B′ = {p(x) =
∑
aix
2i+1}.
Pruebe que el espacio de todos lo polinomios
P = A ⊕ B = A′ ⊕ B′.
9. Sea E un espacio vectorial de dimensión fini-
ta. Dado un subespacio F ⊂ E, probar que se
puede obtener un subespacio G ⊂ E tal que
E = F ⊕ G.
10. Sea S el conjunto de las matrices simétricas
n × n. Para cada par (i, j) de números natura-
les de 1 hasta n, con i ≤ j, sea sij una matriz
n × n cuyos elementos en las posiciones ij e ji
son iguales a 1 y los demás son cero. Probar
que éstas matrices constituyen una base para
el subespacio vectorial S ⊂ M(n × n). De mo-
do análogo, obtenga una base del subespacio A
de las matrices antisimétricas n × n. Concluya
que dim(S) = n(n + 1)
2 y dim(A) = n(n − 1)
2 .
11. Obtenga una base y luego determine la dimen-
sión de cada uno de los subespacios de Mn×n
siguientes.
a) Matrices cuya traza es cero.
b) Matrices que tienen la primera y última
fila iguales.
c) Matrices cuya segunda fila es igual a la
tercera columna.
1
d) Matrices en las cuales la suma de los ele-
mentos de la primera fila es igual a la su-
ma de los elementos de la segunda colum-
na.
12. Sea V espacio vectorial finito sobre R. Entonces
cualquier par de bases para V tiene el mismo
número de elementos.
13. Sea V espacio vectorial finito sobre R. Entonces
cualquier conjunto finito de vectores l.i puede
ser expandido, si fuese necesario, a una base de
V.
14. Sea V espacio vectorial de dimensión n sobre
R. Entonces cualquier conjunto de n vectores
l.i en V es base para V.
15. Sean F1, F2 ⊂ E subespacios de dimensión fi-
nita. Obtenga una base del subespacio F1 +F2,
que contenga una base de F1, una base de F2
y una base de F1 ∩ F2.
16. Dados X, Y ⊂ R, sean F = {f : R −→
R/f(x) = 0, x ∈ X}, G = {f : R −→
R/f(x) = 0, x ∈ Y }. Probar:
a) F y G son subespacios de F(R;R).
b) Se cumple F(R;R) = F+G, si y solamen-
te si X ∩ Y = ∅.
c) F∩G = {0}, si y solamente si X ∪Y = R.
d) Se cumple F(R;R) = F⊕G, si y solamen-
te si Y = R − X.
17. a) Representar gráficamente en el plano los
siguientes vectores:
(−1, 1); (2, 3); (−1, 1)+(2, 3); 1
2 ·(−1, 1)+3
2 ·(2, 3)
b) Sean v, w ∈ R2. Interpretar geométrica-
mente −v, 3.v, 1
3 .v, v + w, v − w.
c) Sean v = (3, 1), w = (2, 4) ∈ R2. Repre-
sentar gráficamente los conjuntos:
S1 = {r.v/r ∈ R}
S2 = {r.v/r ∈ R ≥ 1}
S3 = {r.v + s.w/r, s ∈ R}
S4 = {r.v + s.w/r, s ∈ R, 0 ≤ r, s ≤ 1}
S5 = {r.v + s.w/r, s ∈ R, 0 ≤ r, s ≤ 1, r + s = 1}
18. Probar en cada caso que el conjunto V con la
suma y el producto por escalares definidos es
un espacio vectorial sobre K.
a) V = KN =
{
(ai)i∈N = (a1, a2, . . . , an, . . .) /ai ∈ K∀i ∈ N
}
,
el conjunto de todas las sucesiones de
elementos de K (donde K es un cuerpo
cualquiera).
+ : (ai)i∈N + (bi)i∈N = (ai + bi)i∈N
· : k · (ai)i∈N = (k · ai)i∈N
b) X es un conjunto, V = P(X), K = Z2.
+ : B + C = B△C
· : 0 · B = ∅, 1 · B = B
c) V = R>0, K = Q.
⊕ : a ⊕ b = a.b
⊗ : m
n
⊗ a = n
√
am
19. Sea V un espacio vectorial sobre K, k ∈ K, v ∈
V . Probar las siguientes afirmaciones:
a) k · −→0 = −→0
b) −(−v) = v
c) k.v = −→0 ⇒ k = 0 ó v = −→0
d) −−→0 = −→0
20. a) Sea v ∈ R2 un vector fijo. Se define la fun-
ción fv : R2 → R2 de la siguiente forma:
fv(x, y) = (x, y) + v
Interpretar geométricamente el efecto de
fv sobre el plano ( fv se llama la traslación
en v ).
b) Probar que R2 es un R-espacio vectorial
con la suma +(2,1) y el producto por esca-
lares -(2,1) definidos de la siguiente forma:
(x, y) +(2,1)
(
x′, y′) =
(
x + x′ − 2, y + y′ − 1
)
r·(2,1)(x, y) = r · (x − 2, y − 1) + (2, 1)
(Este espacio se notará R2
(2,1) para distin-
guirlo de R2 con la suma y el producto
usual. La notación se basa en que el ( 2,1
) resulta el neutro de la suma +(2,1) ).
2
c) Interpretar geométricamente +(2,1)y·(2,1),
teniendo en cuenta que:
(x, y) +(2,1) (x′, y′) =
f(2,1)
(
f(−2,−1)(x, y) + f(−2,−1) (x′, y′)
)
r·(2,1)(x, y) =
f(2,1)
(
r · f(−2,−1)(x, y)
)
21. Sea S = {f ∈ R[X]/f(1) = f(2)}.
a) Verificar que la suma usual de polino-
mios es una operación en S (es decir:
f, g ∈ S ⇒ f + g ∈ S)
b) Verificar que el producto usual de un nú-
mero real por un polinomio es una acción
de R en S (es decir: r ∈ R, f ∈ S ⇒ r.f ∈
S )
c) Probar que ( S, +,. ) es un R-espacio vec-
torial. (Si se minimiza el trabajo sólo de-
berá verificarse una propiedad para esto.
Comparar i), ii) y iii) con el criterio para
decidir si un subconjunto es un subespa-
cio.)
22. a) Encontrar un subconjunto no vacío de R2
que sea cerrado para la suma y para la
resta pero no para la multiplicación por
escalares.
b) Encontrar un subconjunto no vacío de R2
que sea cerrado para la multiplicación por
escalares pero no para la suma.
23. Decidir cuáles de los siguientes subconjuntos
son subespacios de V como K espacio vecto-
rial:
a) S1 = {a.i/a ∈ R} V = C K = R ó
K = C
b) S2 = {f ∈ K[X]/f ′(1) = 0} V = K[X]
c) S3 = {M ∈ Kn×n/Mij = −Mji∀i, j} V =
Kn×n
d) S4 = {f ∈ C∞(R)/f ′′ + 3f ′ = 0} V =
C∞(R) K = R
e) S5 =
{
v ∈ R2
(2,1)/x + y = 3
}
V =
R2
(2,1) K = R
f ) S6 =
{
(ai)i∈N ∈ KN/a1 = 0
}
V = KN
g) S7 =
{
(ai)i∈N ∈ KN/∃k ∈ N tal que
ar = 0∀r ≥ k} V = KN
h) S8 =
{
(ai)i∈N ∈ KN/a1 · a2 = 0
}
V =
KN.
24. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K
y sea D un subconjunto de V linealmente in-
dependiente. Si v0 ∈ V es un elemento tal que
v0 /∈ gen(D), entonces el conjunto D ∪ {v0} es
un conjunto linealmente independiente.
25. Sea V = P3(R) el espacio vectorial de los poli-
nomios de grado menor o igual a 3, con coefi-
cientes reales. Considere los conjuntos: H1 =
{p ∈ V : p′(1) = 0} y H2 = gen{x−1, x2−3x}.
a) Determine una base para el subespacio
H1 ∩ H2.
b) Determine una base para el subespacio
H1 + H2.
26. Let V be the vector space of all 2 × 2 matrices
whose entries are real numbers. Let:
W =
{
A ∈ V | A =
(
a b
c −a
)
for any a, b, c ∈ R
}
.
a) Show that W is a subspace of V .
b) Find a basis of W .
c) Find the dimension of W .
27. Let V be the vector space of all 2 × 2 matri-
ces. Let W be a subset of V consisting of all
2 × 2 skew-symmetric matrices. (Recall that a
matrix A is skew-symmetric if AT = −A.)
a) Prove that the subset W is a subspace of
V .
b) Find the dimension of W .
28. Let P4 be the vector space consistingof all
polynomials of degree 4 or less with real num-
ber coefficients. Let W be the subspace of P4
by:
W = {p(x) ∈ P4 | p(1)+p(−1) = 0 y p(2)+p(−2) = 0}.
Find a basis of the subspace W and determine
the dimension of W .
3
29. Let V be the vector space of all 3 × 3 real ma-
trices. Let A be the matrix given below and we
define:
W = {M ∈ V | AM = MA}.
That is, W consists of matrices that commute
with A. Then W is a subspace of V . Determine
which matrices are in the subspace W and find
the dimension of W .
a)
A =

a 0 0
0 b 0
0 0 c
 ,
where a, b, c are distinct real numbers.
b)
A =

a 0 0
0 a 0
0 0 b
 ,
where a, b are distinct real numbers.
30. For what value(s) of a is the following set S
linearly dependent?
S =


1
2
3
a
 ,

a
0
−1
2
 ,

0
0
a2
7
 ,

1
a
1
1
 ,

2
−2
3
a3

 .
31. Determine whether the following set of vectors
is linearly independent or linearly dependent. If
the set is linearly dependent, express one vec-
tor in the set as a linear combination of the
others.
S =


1
0
−1
0
 ,

1
2
3
4
 ,

−1
−2
0
1
 ,

−2
−2
7
11

 .
32. Find the value(s) of h for which the following
set of vectors
S =

(
1
0
)
,

h
1
−h
 ,

1
2h
3h + 1


is linearly independent.
33. Let
v1

1
2
0
 , v2 =

1
a
5
 , v3 =

0
4
b
 ,
be vectors in R3. Determine a condition on the
scalars a, b so that the set of vectors {v1, v2, v3}
is linearly dependent.
34. Determine conditions on the scalars a, b so
that the following set S = {v1, v2, v3} of vec-
tors is linearly dependent, where:
v1

1
3
1
 , v2 =

1
a
4
 , v3 =

0
2
b
 .
35. Let A be a 3 × 3 matrix and let v =

1
2
−1

and w =

2
−1
3
. Suppose that Av = −v and
Aw = 2w. Then find the vector A5

−1
8
−9

36. An n × n matrix A is called orthogonal if
AT A = I. Let V be the vector space of all
real 2 × 2 matrices. Consider the subset
W = {A ∈ V : A is an orthogonal matrix}.
Prove or disprove that W is a subspace of V .
37. Let a and b be fixed vectors in R3, and let W
be the subset of R3 defined by:
W = {x ∈ R3 : aT x = 0 and bT x = 0}.
Prove that the subset W is a subspace of R3.
38. Let S = {v1, v2, v3, v4, v5} where:
v1 =

1
2
2
−1
 , v2 =

1
3
1
1
 , v3 =

1
5
−1
5
 ,
v4 =

1
1
4
−1
 , v5 =

2
7
0
2
 .
Find a basis for the Span(S).
4
39. Let V be the vector space over R of all real
valued function on the interval [0, 1] and let:
W = {f(x) ∈ V : f(x) = f(1−x) for x ∈ [0, 1]}
be a subset of V . Determine whether the subset
W is a subspace of the vector space V .
40. Let A be an n×n nonsingular matrix. Let v, w
be linearly independent vectors in Rn. Prove
that the vectors Av and Aw are linearly inde-
pendent.
41. Let V be the vector space of all 2 × 2 matri-
ces, and let the subset S of V be defined by
S = {A1, A2, A3, A4}, where:
A1 =
(
1 2
−1 3
)
, A2 =
(
0 −1
1 4
)
,
A3 =
(
−1 0
1 −10
)
, A4 =
(
3 7
−2 6
)
.
Find a basis of the Span(S) and find its dimen-
sion.
42. Sea el espacio vectorial P2(R) de los polino-
mios grado 2 o inferior sobre R y consideremos
el conjunto B = {1, x + 1, x2 − 1}.
a) Demostrar que es posible construir una
base B1 de P2 con el conjunto B.
b) Hallar la matriz de cambio de base para
pasar de la base canónica B0 a la base B1.
c) Determine las coordenadas del vector
p(x) = 1 + 5x + x2 con respecto a B1.
43. Find a basis for each of Row(A), Col(A) and
Ker(A) of the following matrix A over the com-
plex numbers, where:
A =

1 1 − 2i 1 + i
i 2 + i −1 + i
2 − i −5i 4 + i
3 3 − 6i 4 + 3i

.
44. Let P3 denote the set of polynomials of degree
3 or less with real coefficients. Consider the or-
dered basis:
B = {1 + x, 1 + x2, x − x2 + 2x3, 1 − x − x2}.
Write the coordinate vector for the polynomial
f(x) = −3 + 2x3 in terms of the basis B.
45. P2 tiene por base a S = {1, t, t2 + t − 2}. De-
termine una base T de P2 tal que la matriz de
transición de T a S es

1 2 0
0 1 0
1 3 −1
 .
46. En P2 se consideran las dos bases siguientes:
β1 = {1 − t, t + 2t2, 2 − t2},
β2 = {1 + t, 2 − t + 2t2, 1 − t2}.
Calcula las dos matrices de cambio de base y
compruebe que son inversas una de la otra.
47. Let P2 be the vector space of all polynomials
of degree two or less. Consider the subset in P2
Q = {p1(x), p2(x), p3(x), p4(x)},
where
p1(x) = 1, p2(x) = x2 + x + 1,
p3(x) = 2x2, p4(x) = x2 − x + 1.
a) Use the basis B = {1, x, x2} of P2, give
the coordinate vectors of the vectors in
Q.
b) Find a basis of the Span(Q) consisting of
vectors in Q.
c) For each vector in Q which is not a ba-
sis vector you obtained in (b), express the
vector as a lineal combination of basis vec-
tors.
48. Show that the sum of the subspaces:
V1 = {(x, y, z) : x + y + z = 0},
V2 = {(x, y, z) : x = y = z}
is direct. Find basis for V1 and V2.
49. In R3[x], we consider the sets:
p = {1 + x + x2 + x3, 1 + x2 − x3, x2 + 2x3, 3x2},
q = {x3, x2, x, 1},
and the polynomial r(x) = 2 + x3.
a) Show that p is a basis for R3[x].
5
b) If Cp : R3[x] → R4 is the associated coor-
dinate map, find Cpr.
c) Find Cqr.
d) Compute the matrix for the change of
variables from p to q. Verify your result
using the computation of (b) and (c).
50. Let Pn(R) be the vector space over R consisting
of all degree n or less real coefficiente polyno-
mials. Let:
U = {p(x) ∈ Pn(R) : p(1) = 0}
be a subspace of Pn(R). Find a basis for U and
determine the dimension of U .
51. Find a basis for {p ∈ R3[x] : p(1) = p(−1)}.
52. Let: V1 = {p ∈ R2[x] : p(1) = 0}, V2 =
{p ∈ R2[x] : p(0) = p′(0)}. Find a basis for
V1 ∩ V2. Knowing this, and without any ad-
ditional computation, give a basis for V1 + V2
(Hint. Look at dimensions.)
53. Find the matrix for the change of basis from
B1 = {1, 1 + x, 1 + x + x2} to B2 = {1 −
x + x2, 1, −x} en R2[x]. Chech your result with
p(x) = 1 + x2.
54. En V = P3 considera dos bases en las que
el polinomio P (t) = t tenga por coordenadas
(1, 1, 1, 1). Calcula las matrices de cambio de
base entre ellas.
55. En el espacio vetorial de las matrices antisi-
métricas determine dos bases que contengan al
vector M =

0 1 −1
−1 0 1
1 −1 0
. Calcula tam-
bién las correspondientes matrices de cambio
de base.
56. Considera el siguiente espacio vectorial: U =
{(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 / x1 − x2 − x3 +
x4 + x5 = 0}. Calcula dos bases del mismo
que contengan a los vectores (1, 1, 0, 0, 0) y
(0, 0, 0, 1, −1). Calcula también las correspon-
dientes matrices de cambio de base.
57. Let A =

3 6 7
0 2 1
2 3 4
. Find the coordinates of
the vector (1, −1, 2) with respect to the basis
B obtained from the column vectors of A.
58. Let A be invertible. Show that, if v1, v2, v3
are linearly independent vectors, so are
Av1, Av2, Av3.
59. Sea V = R[x]3 y U = ⟨S⟩ donde
S = {1+x2−x3, 1−5x2+4x3, 2−4x2+3x3, 4−2x2+x3}
Determine la dimensión y una base para U .
60. Para V = R3, estudiar cuando el conjunto
S = {(3, −1, 2), (a, 1, −1), (a2, 1, 4)}
es una base para V según los valores de a.
61. Para V = R3, estudiar cuando el conjunto
S = {(1, 0, 1), (2, a, −1), (0, 1, a)}
es una base para V según los valores de a.
62. Para V = R2, B1 = {u1, u2} y B2 = {v1, v2},
tales que u1 = (2, 3), u2 = (1, 2), v1 = (−3, 2)
y v2 = (−5, 3), determine las ecuaciones del
cambio de base de B1 a B2.
63. Determine unas ecuaciones implícitas para el
subespacio U = ⟨(2, 2, −1, 3), (2, 2, 1, 3)⟩ de R4.
64. Determine una base para el subespacio inter-
sección de los subespacios siguientes de R3:
U = {(x, y, z)/2x + y − 5z = 0},
W = {(x, y, z)/3x − y + 4z = 0}.
65. Determine una base para el subespacio inter-
sección de los subespacios siguientes de R4:
U = {(x, y, z, t)/2x + 5y − z − t = 0},
W =⟨(1, 2, 3, 4), (−1, 0, 1, −1)⟩.
UNI, 11 de diciembre de 2025.
6