Operadores de matrizes

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1. MATRIZES ESPECIAIS 2. OPERADORES AUTOADJUNTOS 3. OPERADORES ORTOGONAIS (ISOMETRIAS) Definição: operador linear T é autoadjunto Simétrica Ortogonal Preservam: se sua matriz é simétrica. Definição comprimentos A matriz é igual As colunas (ou linhas) formam = distâncias T é ortogonal se à sua transposta. uma base ortonormal. Isometrias Característica importante: ângulos ||u||, V A Autovetores associados a autovalores produto interno distintos são ortogonais. A At Equivalências importantes: Matriz ortogonal Reflexão na Teorema: existe uma base ortonormal T(u) T(v) Ex.: matrizes diagonal principal formada por autovetores de T. de rotação ||T(u) - Logo, T é diagonalizável. Se é ortonormal, então também é. 4. TEOREMA ESPECTRAL Corolário importante Versão para operadores Versão matricial OPERADORES Se = e T(u) 0, então = 0. Se T é autoadjunto em um espaço euclidiano Se A é uma matriz simétrica real, Logo, Té injetora. de dimensão finita, então existe uma base existe uma matriz ortogonal Q SOBRE ESPAÇOS ortonormal de autovetores de T. e uma matriz diagonal D tais que: COM PRODUTO 7. TEOREMAS E RESULTADOS IMPORTANTES Tuᵢ Teorema de Cayley-Hamilton Teorema (autovetores ortogonais) INTERNO Se T L(V) e é O polinômio Aplicações Se Té autoadjunto e A1 # são Onde: característico de T, então: fisica quântica autovalores, então autovetores colunas de Q = autovetores de A vibrações e estabilidade 0 associados são ortogonais: diagonal de D = autovalores de A engenharia estrutural (matriz nula) = 0 de sistemas 6. FORMAS QUADRÁTICAS 5. FORMAS BILINEARES Definição Teorema de congruência Relação entre matrizes Representação matricial Definição Matriz da forma bilinear Dada uma forma bilinear simétrica B, Se B tem matriz B (simétrica): V V é bilinear se: Em uma base a forma quadrática associada é: Ortogonais fixando B(v, w) é linear em B(v, w) vt Bw então fixando B(v, w) é linear em w Propriedades preservadas pela congruência: B(v, w) = (produto interno) reflexiva, simétrica e transitiva. Se B é simétrica: Relação com a forma bilinear Exemplo clássico (produto interno usual) Simétricas Invertíveis w) V R Q(w) + 2 (det A # 0) Ferramenta útil Mudança de base Congruência de matrizes Permite estudar: Se U é a matriz de mudança positividade T (definição) de base de para classificação de e propriedades importantes otimização (máximos e minimos) então a matriz transforma-se por (ex.: positividade). Operadores autoadjuntos e ortogonais revelam estruturas profundas em espaços com produto interno. Teorema Espectral garante que matrizes podem ser diagonalizadas ortogonalmente, facilitando cálculos e aplicações. Formas bilineares e quadráticas conectam álgebra, geometria e fisicos.