Lista_Vetores_IFPE_Campus_Belo Jardim (2)

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Vetores 1 Campus Belo Jardim 
 
 
Lista de exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Prof. Mardson Alencar 
 
 
1. Geometricamente, um vetor é representado por um seguimento de reta orientado. A Figura 1 (a) 
ilustra um vetor cuja origem é o ponto 𝐴 e a extremidade é o ponto 𝐵. Seguimentos orientados com o 
mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são ditos equipolentes (ou equivalentes). 
Seguimentos orientados equivalentes representam o mesmo vetor, independente de sua localização 
espacial, uma vez que todos eles representam a mesma magnitude, a mesma direção e o mesmo 
sentido. A Figura 1 (b) apresenta vários segmentos orientados equivalentes, todos representando o 
mesmo vetor. 
 
 
 
 
 
No plano cartesiano, denotamos um ponto 𝐵 arbitrário na forma 𝐵(𝑥, 𝑦) e um vetor arbitrário 
representado na origem do sistema de coordenadas por �⃗� = (𝑥, 𝑦) (expressão analítica do vetor), ou 
seja sua origem 𝐴 tem coordenadas 𝐴(0,0) e sua extremidade 𝐵 tem coordenadas 𝐵(𝑥, 𝑦) (Figura 2 (a)). 
Se um vetor é definido por dois pontos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) e 𝐵(𝑥2, 𝑦2) do plano cartesiano, então o vetor com 
origem em 𝐴 e extremidade em 𝐵 é equivalente ao vetor com origem no ponto (0,0) e extremidade no 
ponto (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) (Figura 2 (b)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no texto apresentado, determine as coordenadas da origem e da extremidade do vetor �⃗�, 
bem como sua expressão analítica �⃗� = (𝑥, 𝑦), em cada uma das situações apresentadas a seguir: 
�⃗� = 𝒗 = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ 
𝐵
𝐴
(a) Vetor geométrico 
�⃗� 
�⃗� 
�⃗� 
�⃗� 
(b) Vetores equivalentes 
Figura 1. Vetor geométrico e vetores equivalentes 
x 
y 
𝑥 
𝑦 
𝐴(0,0) 
𝐵(𝑥, 𝑦) 
Figura 2. Vetor geométrico representado na origem do ℝ2 e vetor 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ definido por dois pontos do ℝ2 e seu 
vetor equivalente �⃗� na origem. 
�⃗� 
 
y 
(𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) 
𝑥1 x 
𝑥2 
𝑦1 
𝑦2 
𝐴 
𝐵 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ 
 
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = �⃗� = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) 
 
�⃗� 
 
(b) Vetor geométrico representado na 
origem do ℝ2 
(a) Vetor 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ definido por dois pontos do ℝ2 e seu vetor equivalente 
�⃗� na origem 
�⃗� = (𝑥, 𝑦) 
 
 
 
Vetores 2 Campus Belo Jardim 
 
 
Resp.: a) �⃗� =(4,3); b) �⃗� = (-4,3); c) �⃗� = (5,1); d) �⃗� = (3,-2); e) �⃗� = (-4,2); f) �⃗� = (-4,-2) 
2. Determine o vetor 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ e, em seguida, faça um esboço representando o vetor encontrado no plano 
cartesiano nos casos abaixo: 
a) A = (2,1) e B = (4,6) b) A = (7,5) e B = (1,2) c) A = (-2,0) e B = (3,-1) 
d) A = (1,0) e B = (0,3) e) A = (4,3) e B = (4,5) f) A = (0,0) e B = (x,y) 
Resp.: a) 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = (2,5) b) 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = (-6,-3) c) 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = (5,-1) d) 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = (-1,3) e) 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = (0,2) f) 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ = (x,y) 
3. Dados A = (2,1), B = (5,-1) e C = (-4,0), calcular o vetor soma dos vetores 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ e 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬ⃗ . 
Resp.: (-3,-3). 
4. Dados A = (0,1), B = (-3,1), C = (4,4) e D = (5,-2), calcular os seguintes vetores 
a) 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ + 2𝐴𝐶ሬሬሬሬሬ⃗ − 3𝐴𝐷ሬሬሬሬሬ⃗ b) 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ + 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬ⃗ + 𝐶𝐷ሬሬሬሬሬ⃗ + 𝐷𝐴ሬሬሬሬሬ⃗ 
Resp.: a) (-10,15); b) (0,0). 
5. Se �⃗� = 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ , A = (3,2) e �⃗� = (5,8), então qual é o ponto B? 
Resp.: B(8, 10). 
6. Dados A = (3,7) e B = (11,19), determinar o ponto C tal que 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬ⃗ =
1
4
𝐴𝐵ሬሬሬሬሬ⃗ . 
Resp.: (5, 10). 
7. Os vetores 𝑢ሬ⃗ = (3, 4), �⃗� = (2𝑎, 7) e 𝑤ሬሬ⃗ = (1, 3𝑏) satisfazem à equação 2𝑢ሬ⃗ − �⃗� + 3𝑤ሬሬ⃗ = 0ሬ⃗ , onde 0ሬ⃗ 
indica o vetor nulo. Calcular 𝑎 e 𝑏. 
 
 
Vetores 3 Campus Belo Jardim 
 
Resp.: 𝑎 =
9
2
 e 𝑏 = −
1
9
 . 
8. Obter os pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremidades A (-3, 2) e B (12, -7). 
Resp.: (2,-1) e (7,-4). 
9. O ponto simétrico do ponto A, relativamente ao ponto B, é o ponto C tal que B é o ponto médio de 
AC. Dados A (3,11) e B (5,8), obter C. 
Resp.: (7,5). 
10. Seja o segmento de extremos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) e 𝐵(𝑥2, 𝑦2). Determine as coordenadas do ponto médio 
𝑀(𝑥, 𝑦) do segmento 𝐴𝐵. 
11. Dado um triângulo de vértices A, B e C com pontos médios M e N respectivamente dos lados AC e 
CB, demonstre que o segmento MN é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento. 
12. Seja o triângulo de vértices 𝐴(4, −1, −2), 𝐵(2, 5, −6) e 𝐶(1, −1, −2). Calcular o comprimento da 
mediana do triângulo relativa ao lado AB. 
Resp.: √17. 
13. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo e é representado pela letra G. Ele está localizado 
no encontro das medianas do triângulo. A mediana de um triângulo é um segmento que parte de um 
vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Se um triângulo de vértices 𝐴(𝑥1, 𝑦1), 
𝐵(𝑥2, 𝑦2) e 𝐶(𝑥3, 𝑦3) tem um baricentro 𝐺(𝑥𝐺 , 𝑦𝐺), determine as coordenadas do baricentro a partir 
das coordenadas dos vértices desse triângulo. 
Resp.: 𝑥𝐺 =
𝑥1+𝑥2+𝑥3
3
 e 𝑦𝐺 =
𝑦1+𝑦2+𝑦3
3
 . 
14. Aplicando as fórmulas das coordenadas do baricentro, encontrar o baricentro do triângulo ABC nos 
casos: 
a) A (0,0), B (9,0) e C (0,6) 
b) A (-1,-2), B (0,-4) e C (1,6) 
c) A (a+1, a-1), B (-1,1) e C (1-a, 1+a) 
Resp.: a) (3,2); b) (0,0); c) (
1
3
,
2𝑎+1
3
). 
15. Em um triângulo de baricentro 𝐺 (0,
1
2
), dois dos vértices são 𝐴(1, 1) e 𝐵 (−2,
2
3
). Obter o outro 
vértice. 
Resp.: (1, −
1
6
). 
 
 
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16. Dados os vetores 𝑢ሬ⃗ = (2, −4), �⃗� = (−5, 1), e 𝑤ሬሬ⃗ = (−12, 6), determinar 𝑘1 e 𝑘2 tal que 𝑤ሬሬ⃗ = 𝑘1𝑢ሬ⃗ +
𝑘2�⃗�. 
Resp.: 𝑘1 = −1 e 𝑘2 = 2. 
17. Determinar o valor de 𝑎 para que 𝑢ሬ⃗ = (𝑎, −2𝑎, 2𝑎) seja um versor. 
Resp.: 𝑎 = ±
1
3
 
18. Dado o vetor 𝑤ሬሬ⃗ = (3, 2, 5), determinar 𝑎 e 𝑏 de modo que os vetores 𝑢ሬ⃗ = (3, 2, −1) e �⃗� =
(𝑎, 6, 𝑏) + 2𝑤ሬሬ⃗ sejam paralelos. 
 Resp.: 𝑎 = 9 e 𝑏 = −15 
19. Determinar o valor de 𝑦 para que seja equilátero o triângulo de vértices 𝐴(4, 𝑦, 4), 𝐵(10, 𝑦, −2) e 
𝐶(2, 0, −4). 
Resp.: 𝑦 = ±2 
20. Mostrar que os pontos 𝐴(4, 0, 1), 𝐵(5, 1, 3), 𝐶(3, 2, 5) e 𝐷(2, 1, 3) são vértices de um 
paralelogramo. 
21. Determinar o simétrico do ponto 𝑃 (3, 1, −2) em relação ao ponto 𝐴 (−1, 0, −3). 
Resp.: (−5, −1, −4).