ALGA - LISTA 1 (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Prof. Dr. Raimundo Alves Leitão Júnior
Lista 1
OPERAÇÕES COM VETORES
1. Marque, num sistema de coordenadas, os pontos (2, 5), (3,−4), (2, 1, 3),
(−3, 2, 1) e (−1,−2, 3).
2. Calcule a distância entre os pontos:
a) A = (3,−1), B = (−1, 2). b) A = (−1, 3, 2), B = (1, 0, 5).
3. Calcule o ponto médio entre os pontos:
a) A = (2, 7), B = (−5, 1). b) A = (−1, 0,−2), B = (−1,−2,−6).
4. Determine o baricentro do triângulo cujo os vértices são os pontos:
a) A = (2, 7), B = (−5, 1), C = (6, 2).
b) A = (−1, 0,−2), B = (−1,−2,−6), C = (1,−1, 5).
5. Determine A+ B, A− B, 3A e −2B em cada um dos seguintes casos:
a) A = (2,−1), B = (−1, 1).
b) A = (−1, 3), B = (0, 4).
c) A = (2,−1, 5), B = (−1, 1, 1).
d) A = (−1,−2, 3), B = (−1, 3,−4).
6. Ache um vetor de módulo 2 com mesma direção e sentido contrário do
vetor (1, 2).
7. Sejam A = (1,−2), B = (−2, 3) e C = (−1,−2). Determine X de sorte
que:
i) X− C = B−A;
ii) C− B = X−A.
1
8. Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1, 1, c),
(−1, 1,−c) e a origem sejam vértices de um triângulo retângulo na
origem.
9. Verifique se é retângulo o triângulo cujos vértices são A = (−2, 1),
B = (3, 1) e C = (3,−4).
10. Seja A um vetor perpendicular a todo vetor X. Mostre que A = 0.
11. Determine o módulo de cada vetor a seguir e o vetor unitário na mesma
direção e sentido:
a) (1, 2)
b) (−2, 1)
c) (−4,−3)
d)
(
− 43 ,
5
2
)
.
12. Determine o produto escalar e o ângulo entre os seguintes pares de
vetores:
a) (0, 1) e (
√
3, 1)
b) (−
√
3, 1) e B = (−3,−
√
3).
13. Sejam A = (1, 1), B = (2,−2) e C = (−1, 1). Calcule o comprimento
da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC.
14. Sejam A = (1, 2, 3) e B = (−4, 5, 0). Determine os pontos pertencentes
ao segmento de reta AB que o dividem em três partes com mesma
medida.
15. Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (−1,−2, 4), (−4,−2, 0)
e (3,−2, 1).
16. Calcule o módulo dos vetores A + B e A − B sabendo que |A| = 4,
|B| = 3 e o ângulo entre A e B mede 60◦.
17. Ache um vetor de comprimento 5 simultaneamente perpendicular aos
vetores (1, 1, 0) e (2,−1, 3).
18. Calcule a área do paralelogramo gerado pelos vetores (3, 1, 2) e (4,−1, 0).
19. Determine os velores de x para os quais (x, 1, 1), (1,−1, 0) e (2, 1,−1)
são vértices de um triângulo cuja área vale
√
29
2
.
20. Ache o volume do tetraedro cujos vértices são os pontos A = (1,−2, 0),
B = (1, 3,−1), C = (0, 1, 0) e D = (0, 3,−3).
2
21. Sejam A = (1,−2, 3), B = (2,−1,−4), C = (0, 2, 0) e D = (−1,m, 1).
Encontre os valores de m para que seja igual 20 o volume do parale-
leṕıpedo determinado pelos vetores
−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD.
3