Para determinar os valores de \( m \) para os quais os vetores resultantes das operações \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) são ortogonais, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Definir os vetores: - \( \mathbf{u} = (2, 1, m) \) - \( \mathbf{v} = (m+2, -5, 2) \) - \( \mathbf{w} = (2m, 8, m) \) 2. Calcular \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (2 + (m + 2), 1 + (-5), m + 2) = (m + 4, -4, m + 2) \] 3. Verificar a ortogonalidade: Para que os vetores \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero: \[ (m + 4, -4, m + 2) \cdot (2m, 8, m) = 0 \] 4. Calcular o produto escalar: \[ (m + 4)(2m) + (-4)(8) + (m + 2)(m) = 0 \] \[ 2m^2 + 8m - 32 + m^2 + 2m = 0 \] \[ 3m^2 + 10m - 32 = 0 \] 5. Resolver a equação quadrática: Usando a fórmula de Bhaskara: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 3 \), \( b = 10 \), e \( c = -32 \): \[ m = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32)}}{2 \cdot 3} \] \[ m = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 384}}{6} \] \[ m = \frac{-10 \pm \sqrt{484}}{6} \] \[ m = \frac{-10 \pm 22}{6} \] Isso resulta em duas soluções: \[ m_1 = \frac{12}{6} = 2 \quad \text{e} \quad m_2 = \frac{-32}{6} = -\frac{16}{3} \] Portanto, os valores de \( m \) para os quais os vetores \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) são ortogonais são \( m = 2 \) e \( m = -\frac{16}{3} \).