Parece que sua pergunta está um pouco confusa e incompleta. No entanto, posso te ajudar com a parte sobre o produto vetorial no \(\mathbb{R}^3\). Para calcular o produto vetorial de dois vetores \(\mathbf{A} = (x_1, y_1, z_1)\) e \(\mathbf{B} = (x_2, y_2, z_2)\), você pode usar o determinante de uma matriz 3x3 que inclui os vetores e os vetores unitários \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) e \(\mathbf{k}\): \[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} \] O resultado do determinante será um vetor que é perpendicular aos vetores \(\mathbf{A}\) e \(\mathbf{B}\). Se precisar de mais detalhes ou exemplos, é só avisar!