Lista_de_Exercicios_02_Campos_Eletrostat

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Santa Maria – UFSM 
Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE 
Eletromagnetismo para Sistemas e Automação – DPEE 1035 
Prof. Rafael Concatto Beltrame – beltrame@gepoc.ufsm.br 
 
1/8
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
1. Lei de Coulomb 
 
1.1) Descreva a Lei de Coulomb. 
 
1.2) Três cargas pontuais Q1 = 1 mC, Q2 = 2 mC e Q3 = –3 mC estão localizadas em (0, 0, 4), 
(–2, 6, 1) e (3, –4, –8), respectivamente. Determine a força sobre Q1. 
 
1.3) Determine a carga total: 
(a) Sobre uma linha dada por 0 5 mx  , se 212 mC m.L x  
(b) Sobre um cilindro oco dado por 3, 0 4 mz    , se 2 2nC m .S z  
(c) Dentro de uma esfera com 4 mr  , se 310
C m .
sen
v
r
  
 
1.4) Defina intensidade de campo elétrico. 
 
1.5) Três cargas pontuais idênticas, de 10 nC cada uma, estão localizadas nos vértices de um 
triângulo equilátero de 10 cm de lado. Calcule a intensidade: 
(a) Da força F

 sobre cada carga; 
(b) Do campo elétrico E

 no centro do triângulo. 
 
1.6) Uma carga pontual Q está localizada em P(0, –4, 0), enquanto que uma carga de 10 nC está 
distribuída uniformemente ao longo de um anel semicircular, como mostra a Figura 1. Determine 
o valor de Q tal que E

(0, 0, 0) = 0. 
 
 
Figura 1 – Referente ao exercício 1.6. 
 
 
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM 
Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE 
Eletromagnetismo para Sistemas e Automação – DPEE 1035 
Prof. Rafael Concatto Beltrame – beltrame@gepoc.ufsm.br 
 
2/8
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
1.7) Um disco circular de raio a, sobre o plano xy e com centro na origem, está carregado com 
uma distribuição de carga dada por 
1
S  2C m   . Calcule o campo elétrico em (0, 0, h). 
 
1.8) Seja um retângulo descrito por , e 0a x a b y b z       , carregado com uma distri-
buição uniforme de carga S 2C m   : 
(a) Demonstre que o campo elétrico no ponto (0, 0, h), devido ao retângulo, é dado por: 
 1 2
2 2 2
arctgS
z
o
a b
E a
h a b h

 
     
 
. 
(b) Se a = 2 m, b = 5 m e 510S  , determine a carga total sobre o retângulo e a inten-
sidade de campo elétrico em (0, 0, 10). 
 
1.9) O plano 2 5x y  está carregado com 26 nC mS  . Determine E

 em (–1, 0, 1). 
 
 
2. Densidade de fluxo elétrico 
 
2.1) Um anel dado por 2 2 4 e 0y z x   está carregado com uma distribuição uniforme de 
carga de 5 C m . 
(a) Determine D

 em P(3, 0, 0). 
(b) Se duas cargas pontuais idênticas Q forem colocadas em (0, –3, 0) e (0, 3, 0), nas pro-
ximidades do anel, determine o valor de Q tal que 0D  em P. 
 
2.2) Três superfícies carregadas estão localizadas no espaço livre como segue: 210 C m em 
x = 2, 220 C m em y = –3, e 230 C m em z = 5. Calcule D

 em (a) P(5, –1, 4), (b) R(0, –2, 
1), e (c) S(3, –4, 10). 
 
2.3) Uma linha uniformemente carregada com 10 nC m está posicionada em x = 0, y = 2, en-
quanto uma outra linha, também uniformemente carregada, com 10 nC m , está posicionada 
em x = 0, y = –2. Determine D

 na origem. 
 
 
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM 
Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE 
Eletromagnetismo para Sistemas e Automação – DPEE 1035 
Prof. Rafael Concatto Beltrame – beltrame@gepoc.ufsm.br 
 
3/8
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
2.4) Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico: 
(a) 2 28 4 C mx yD xy a x a   
. 
(b) 2 24 sen 2 cos 2 C mzD a a z a         
. 
(c) 2
3 3
2cos sen
 C mrD a a
r r
    
. 
 
 
3. Lei de Gauss 
 
3.1) Qual é o enunciado da Lei de Gauss? 
 
3.2) Qual é o procedimento para o emprego da Lei de Gauss na determinação de um campo elé-
trico? 
 
3.3) Use a Lei de Gauss para determinar o vetor densidade de fluxo elétrico em um ponto P para 
as seguintes distribuições de carga: 
(a) Carga pontual localizada na origem; 
(b) Linha infinita de carga (uniformemente carregada) sobre o eixo z; 
(c) Lâmina infinita de carga (uniformemente carregada) no plano z = 0; 
(d) Esfera de raio a (uniformemente carregada) centrada na origem (para r a e r a ). 
 
3.4) Determine a distribuição de cargas que gera o seguinte campo elétrico: 
  
2
1
1 cos 3 V mrE r a
r
  
. 
 
3.5) As cargas 5 C , 3 C , 2 C e 10 C estão localizadas em (–12, 0, 5), (0, 3, –4), 
(2, –6, 3) e (3, 0, 0), respectivamente. Calcule o fluxo através das superfícies esféricas de raios: 
(a) r = 1; (b) r = 10; (c) r = 15. 
 
3.6) Dado que 
312 nC m , 1 2 m
= 
0, fora desse intervalo
v
     
determine D

 em qualquer ponto. 
 
 
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM 
Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE 
Eletromagnetismo para Sistemas e Automação – DPEE 1035 
Prof. Rafael Concatto Beltrame – beltrame@gepoc.ufsm.br 
 
4/8
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
3.7) Seja 30= nC m , 0v r a
r
   , onde 0 é constante. (a) Determine E

 dentro e fora de 
r a ; (b) Calcule a carga total. 
 
 
4. Potencial elétrico 
 
4.1) Qual é a definição de potencial elétrico? 
 
4.2) Em um campo elétrico 20 sen 10 cos V mrE r a r a    
, determine a energia emprega-
da ao transferir uma carga de 10 nC 
(a) De A(5, 30°, 0°) até B(5, 90°, 0°); 
(b) De A até C(10, 30°, 0°); 
(c) De A até D(5, 30°, 60°); 
(d) De A até E(10, 90°, 60°). 
 
4.3) Um disco circular de raio a está carregado com 21
= C mS  . Calcule o potencial em (0, 0, h). 
 
4.4) Para verificar se V mx y zE yz a xz a xy a     
 é verdadeiramente um campo elétrico, de-
monstre que: 
(a) 0E  
; e 
(b) 0
L
E dl   
 , onde L é o perímetro de um quadrado definido por 0 x , 2y  , 1z  . 
 
4.5) Uma distribuição esférica de cargas é dada por: 
0 ,
=
0,
v
r
r a
a
r a
   
 
Determine V e E

 em qualquer ponto. 
 
 
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM 
Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE 
Eletromagnetismo para Sistemas e Automação – DPEE 1035 
Prof. Rafael Concatto Beltrame – beltrame@gepoc.ufsm.br 
 
5/8
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
4.6) Dado o campo elétrico em certa região do espaço 
   1 sen 1 cos sen V mzE z a z a a           
, 
determine o trabalho realizado ao movimentar uma carga de 4 nC de 
(a) De A(1, 0, 0) até B(4, 0, 0); 
(b) De B(4, 0, 0) até C(4, 30°, 0); 
(c) De C(4, 30°, 0) até D(4, 30°, –2); e 
(d) De A até D. 
 
 
5. O dipolo elétrico 
 
5.1) Um dipolo elétrico com C mzp p a  
 está localizado em (x, z) = (0 , 0). Se o potencial em 
(0, 1) nm é de 9 V, determine o potencial em (1, 1) nm. 
 
 
6. Densidade de energia em campos eletrostáticos 
 
6.1) Se 2 senV z  , calcule a energia dentro da região definida por 1 4  , 2 2z   , 
0 3   . 
 
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM 
Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE 
Eletromagnetismo para Sistemas e Automação – DPEE 1035 
Prof. Rafael Concatto Beltrame – beltrame@gepoc.ufsm.br 
 
6/8
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
Respostas 
 
1. Lei de Coulomb 
1.1) A “Lei de Coulomb” estabelece que a força 12F

 entre duas cargas Q1 e Q2 (exercida por Q1 
em Q2) é diretamente proporcional ao produto das cargas Q1 e Q2, inversamente proporcio-
nal ao quadrado da distância 12R

 entre elas, e está na orientação da linha imaginária de Q1 
para Q2. Assim, a força que a carga Q1 exerce sobre a carga Q2 é dada por: 
121 2
12
3
0 12
4
Q Q R
F
R


 [N], onde 12
0 8,854 10  F/m é a permissividade do espaço livre. 
1.2) (67,995; –265,349; 304,493) N 
1.3) (a) 500 mC 
 (b) 1,206 µC 
 (c) 1579,140 C 
1.4)A “intensidade de campo elétrico” E

 é definida como a força por unidade de carga imersa 
em um campo elétrico. O vetor intensidade de campo elétrico E

 possui a mesma direção 
da força 12F

 (na direção da carga Q1 ao ponto de interesse “2”). Ou seja: 
12 121
3
2 0 12
4
QF R
E
Q R
 
 
 [V/m], onde 12
0 8,854 10  F/m é a permissividade do espaço livre. 
1.5) (a) 118,897 nN 
 (b) 0 V/m 
1.6) 25,465 nC 
1.7) 
2 2
02
z
a
E a
h a h
 
 
 
1.8) (a) A própria demonstração 
 (b) 400 µC e 31,572 kV/m 
1.9) (151,529; 303,059; 0) V/m 
 
2. Densidade de fluxo elétrico 
2.1) (a) 320,019 xa

 nC/m
2 
 
 (b) –51,185 µC 
 
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM 
Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE 
Eletromagnetismo para Sistemas e Automação – DPEE 1035 
Prof. Rafael Concatto Beltrame – beltrame@gepoc.ufsm.br 
 
7/8
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
2.2) (a) (5; –10; –15) µC /m
2 
 
 (b) (–5; –10; –15) µC /m
2 
 
 (c) (5; 10; 15) µC /m
2 
 
2.3) 1,592 ya 
 nC/m
2 
 
2.4) (a) 8y C/m
3
 
 (b) 6sen 4 za z a 
 C/m
3
 
 (c) 0 C/m
3
 
 
3. Lei de Gauss 
3.1) A “Lei de Gauss” estabelece que o fluxo elétrico total  através de qualquer superfície 
fechada é igual à carga total encerrada por esta superfície. Ou seja: 
enc v
v S
Q dv D d S      
 [C], onde D

 [C/m
3
] é o vetor densidade de fluxo elétrico. 
3.2) Metodologia para determinar o campo elétrico E

 ou a densidade de fluxo elétrico D

: 
 (i) Verificar se a distribuição de cargas é simétrica; 
 (ii) Construir uma superfície matemática fechada (superfície gaussiana) que passe pelo 
ponto de interesse; 
 (iii) A superfície é escolhida de modo que o vetor densidade de fluxo elétrico D

 seja nor-
mal ou tangencial à superfície: 
 Quando D

 for normal à superfície: D d S D dS 
 ; 
 Quando D

 for tangencial à superfície: 0D d S  
 . 
3.3) (a) 
24
r
Q
D a
r 
 (superfície gaussiana esférica) 
 (b) 
2
LD a
 
 (superfície gaussiana cilíndrica) 
 (c) 
2
S
zD a
 
 (superfície gaussiana paralelepipédica) 
 (d) 
3
2
,
3
,
3
rv
rv
r
a r a
D
a
a r a
r


   


 (superfície gaussiana cilíndrica) 
3.4)    
2
3 sen 3
, , o
v
r
r
r
    [C/m
3
] 
 
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM 
Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE 
Eletromagnetismo para Sistemas e Automação – DPEE 1035 
Prof. Rafael Concatto Beltrame – beltrame@gepoc.ufsm.br 
 
8/8
 
Lista de Exercícios 02 – Campos Eletrostáticos 
 
3.5) (a) 0 C 
 (b) 9 µC 
 (c) 14 µC 
3.6) 2 2
2
0, 0 1 m
1
4 nC m , 1 2 m
28
nC m , 2 m
D a
a



 

           
 

 
3.7) (a) 
2
2
nV m, 0
2
nV m,
2
o
r
o
o
r
o
a r a
E
a
a r a
r




    


 
 (b) 22 oa  nC 
 
4. Potencial elétrico 
4.1) O “potencial elétrico” em um dado ponto é a diferença de potencial entre esse ponto e um 
ponto escolhido (normalmente, no infinito) no qual o potencial é arbitrado como zero. O 
potencial elétrico pode ser calculado por: 
 
4 'o
Q
V r
r r 

  [V], onde r

 é o ponto de interesse e 'r

 é a posição da carga Q. 
4.2) (a) –1,25 µJ 
 (b) –3,75 µJ 
 (c) 0 J 
 (d) –8,75 µJ 
4.3) 
2 21
ln
2 o
a a h
h
     
4.4) (a) e (b) A própria demonstração