pagina IX

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69. **Qual é a solução da equação diferencial \( y' + 2y = 0 \) com a condição inicial \( y(0) = 4 
\)?** 
 - A) \( y(x) = 4e^{-2x} \) 
 - B) \( y(x) = 2e^{-2x} \) 
 - C) \( y(x) = e^{-2x} + 4 \) 
 - D) \( y(x) = 4 + e^{-2x} \) 
 **Resposta: A) \( y(x) = 4e^{-2x} \)** 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando um 
fator integrante. A solução geral é \( y = Ce^{-2x} \). Aplicando a condição inicial \( y(0) = 4 \), 
obtemos \( C = 4 \), logo \( y(x) = 4e^{-2x} \). 
 
70. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) \( \frac{1}{3} \) 
 - C) \( \frac{2}{3} \) 
 - D) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta: C) \( \frac{2}{3} \)** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = x - \frac{x^3}{3} \). Avaliando de 0 a 1, temos \( F(1) 
= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) e \( F(0) = 0 \). Portanto, \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx = \frac{2}{3} - 
0 = \frac{2}{3} \). 
 
71. **Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6} \)?** 
 - A) \( \frac{\pi^6}{945} \) 
 - B) \( \frac{1}{2} \) 
 - C) 1 
 - D) 0 
 **Resposta: A) \( \frac{\pi^6}{945} \)** 
 **Explicação:** Esta é uma série p que converge para \( \frac{\pi^6}{945} \) quando \( p = 6 
\). 
 
72. **Qual é o valor do determinante da matriz \( C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 
\end{pmatrix} \)?** 
 - A) -1 
 - B) 1 
 - C) 0 
 - D) 2 
 **Resposta: A) -1** 
 **Explicação:** O determinante de \( C \) é calculado como \( \text{det}(C) = 1(0) - 1(1) = -1 
\). 
 
73. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{3} \) 
 - B) 0 
 - C) 1 
 - D) -1 
 **Resposta: B) 0** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = x^3 - 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( F(1) = 1 - 2 
= -1 \) e \( F(0) = 0 \). Portanto, \( \int_0^1 (3x^2 - 2) \, dx = -1 - 0 = -1 \). 
 
74. **Qual é o resultado de \( \int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) 1 
 - C) \( \frac{5}{6} \) 
 - D) 2 
 **Resposta: C) \( \frac{5}{6} \)** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \). Avaliando de 0 a 
1, temos \( F(1) = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2 + 4.5}{3} = \frac{6.5}{3} \). 
 
75. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 3 
 - D) Não existe 
 **Resposta: C) 3** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{u \to 0} 
\frac{\tan(u)}{u} = 1 \). Assim, podemos substituir \( u = 3x \), e então \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 3 \cdot 1 = 3 \). 
 
76. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{-x} \)?** 
 - A) \( -e^{-x} \) 
 - B) \( e^{-x} \) 
 - C) \( -x e^{-x} \) 
 - D) \( e^{x} \) 
 **Resposta: A) \( -e^{-x} \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{-x} \) é conhecida e \( f'(x) = -e^{-x} \). 
 
77. **Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2} \) 
 - B) 1 
 - C) \( \frac{1}{3} \) 
 - D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: B) 1** 
 **Explicação:** Usando a fórmula para a soma de uma série geométrica \( 
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r} \), onde \( a = \frac{1}{3} \) e \( r = \frac{1}{3} \), 
temos \( S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 1 \). 
 
78. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 **Resposta: D) 4** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 3x \). Avaliando de 
0 a 1, temos \( F(1) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{1 + 8 + 12}{12} = \frac{21}{12} = 1.75 \). 
 
79. **Qual é a condição de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?** 
 - A) Converge para \( p > 1 \) 
 - B) Diverge para \( p < 1 \) 
 - C) Converge para \( p = 1 \) 
 - D) Diverge para \( p > 1 \) 
 **Resposta: A) Converge para \( p > 1 \)** 
 **Explicação:** A série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) é conhecida como a série de 
p. Ela converge se \( p > 1 \) e diverge se \( p \leq 1 \). 
 
80. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (4x^2 + 2) \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 3 
 - D) 4 
 **Resposta: B) 2** 
 **Explicação:** A antiderivada é \( F(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
F(1) = \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{10}{3} \). 
 
81. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 5 
 - D) Não existe 
 **Resposta: C) 5** 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{u \to 0} 
\frac{\sin(u)}{u} = 1 \). Assim, podemos substituir \( u = 5x \), e então \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(5x)}{x} = 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 5 \cdot 1 = 5 \). 
 
82. **Qual é a condição de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)?** 
 - A) Converge para \( p > 1 \) 
 - B) Diverge para \( p < 1 \) 
 - C) Converge para \( p = 1 \) 
 - D) Diverge para \( p > 1 \) 
 **Resposta: A) Converge para \( p > 1 \)**