fazendo na pratica 202

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D) \( \frac{5}{5}x^5 + \frac{3}{3}x^3 - 2 + C \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** Integrando os termos resulta em \( x^5 + x^3 - 2x + C \). 
 
42. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)? 
 A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 B) \( \frac{1}{2}x^{-1/2} \) 
 C) \( \frac{-1}{2\sqrt{x}} \) 
 D) \( x^{1/2} \) 
 **Resposta: C)** 
 **Explicação:** A derivada de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
43. Determine \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 A) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 B) \( -\frac{1}{3x^2} + C \) 
 C) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 D) \( \frac{1}{x^3} + C \) 
 **Resposta: B)** 
 **Explicação:** A integral de \( x^{-3} \) se torna \( -\frac{1}{2}x^{-2} + C \). 
 
44. Calcule \( \int_1^2 3x^2 \, dx \). 
 A) \( \frac{14}{3} \) 
 B) \( \frac{7}{3} \) 
 C) \( 7 \) 
 D) \( \frac{8}{3} \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** Isso resulta em \( [x^3]_1^2 = 8 - 1 = 7 \). 
 
45. O que é \( \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \)? 
 A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 B) \( \frac{\pi}{2} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( \frac{\pi}{3} \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** A integral é calculada usando a identidade para \( \sin^2 \). 
 
46. Encontre a segunda derivada de \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x \). 
 A) \( 12x - 6 \) 
 B) \( 12x + 6 \) 
 C) \( 6x - 6 \) 
 D) \( 12x^2 - 6 \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 6x^2 - 6x + 1 \), e a segunda derivada é \( 12x - 6 \). 
 
47. O que é \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)? 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) \(\infty\) 
 **Resposta: B)** 
 **Explicação:** Isso é baseado na definição da derivada da função exponencial no ponto. 
 
48. Calcule \( \int_0^1 (12x^2 - 4) \, dx \). 
 A) \( 0 \) 
 B) \( \frac{8}{3} \) 
 C) \( \frac{4}{3} \) 
 D) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** Isso resulta em \( [4x^3 - 4x]_0^1 = 0 \). 
 
49. Qual é o valor de \( \int_0^{\pi} \cos(x) \, dx \)? 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( \pi \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) entre 0 e \( \pi \) é 0, pois a área positiva e negativa 
se cancelam. 
 
50. Determine \( \int e^{3x} \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 B) \( 3e^{3x} + C \) 
 C) \( e^{3x} + C \) 
 D) \( \frac{3}{2}e^{3x} + C \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** A integral de uma função exponencial tem a forma \( \frac{1}{k}e^{kx} + C \). 
 
51. O que é \( \int \sec^2(x) \, dx \)? 
 A) \( \tan(x) + C \) 
 B) \( \sec(x) + C \) 
 C) \( \ln(\sec(x) + \tan(x)) + C \) 
 D) \( \cot(x) + C \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) resulta em \( \tan(x) + C \). 
 
52. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \(\infty\) 
 D) \( -1 \) 
 **Resposta: B)** 
 **Explicação:** A derivada de \( \ln(1 + x) \) em \( x = 0 \) é 1. 
 
53. O que é \( \int (x^2 + x + 1) \, dx \)? 
 A) \( \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + C \) 
 B) \( \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x + C \) 
 C) \( \frac{1}{2}x^2 + x + C \) 
 D) \( x^3 + x^2 + C \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** Integrando cada termo resulta em \( \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + C \). 
 
54. Qual é a fórmula para \( \int \frac{1}{x} \, dx \)? 
 A) \( x + C \) 
 B) \( \ln(x) + C \) 
 C) \( -\ln(x) + C \) 
 D) \( \ln(x) - 1 + C \) 
 **Resposta: B)** 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| + C \). 
 
55. O que é \( f''(x) \) se \( f(x) = x^5 - 5x^3 + 4x \)? 
 A) \( 30x^3 - 30x \) 
 B) \( 30x^2 - 30 \) 
 C) \( 30x^4 - 60x^2 + 4 \) 
 D) \( 60x^4 - 30x \) 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 5x^4 - 15x^2 + 4 \), a segunda derivada é \( 20x^3 - 
30 \). 
 
56. Encontre \( \int_0^1 (4x - 3) \, dx \). 
 A) 0 
 B) 2 
 C) 1 
 D) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: C)**