Lista_de_exercicios (9)

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Lista de exerćıcios
1. Prove, utilizando a definição de limite, que:
a) lim
(
n
n+ 2
)
= 1
b) lim
(
2n2
n2 + 7
)
= 2
c) lim
(
n
n2 + 1
)
= 0
d) lim
(
1
n
)
= 0
2. Uma sequência (xn) diz-se periódica quando existe p ∈ N tal que xn+p = xn para todo
n ∈ N. Prove que toda sequência periódica convergente é constante.
3. Dadas as sequências (xn) e (yn), defina (zn) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn. Se lim xn =
lim yn = a prove que lim zn = a.
4. Se lim xn = a, prove que lim |xn| = |a|.
5. Dê um exemplo de uma sequência (xn) tal que |xn| converge, mas xn não.
6. Se uma sequência monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência
é, ela própria, convergente.
7. Sejam (an) e (bn) duas sequências tais que |an − a| < C|bn|, onde a ∈ R e C é uma
constante positiva. Usando a definição de limite, mostre que se bn → 0 então an → a.
8. Prove que se (an) é uma sequência que converge para zero e (bn) uma sequência limitada,
não necessariamente convergente, então (anbn) converge para zero.
9. Um número a chama-se valor de aderência da sequência (xn) quando é limite de uma
subsequência de (xn). Prove que a é valor de aderência de (xn) se, e somente se, para
todo ǫ > 0 e todo k ∈ N dados, existe n > k tal que |xn − a| < ǫ.
10. Prove que b não é valor de aderência da sequência (xn) se, e somente se, existem n0 ∈ N
e ǫ > 0 tais que n > n0 =⇒ |xn − b| ≥ ǫ.
11. Se lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ ǫ para todo n ∈ N, prove que |a− b| ≥ ǫ.
12. Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒
xn < yn.
13. Se o número real a não é o limite da sequência limitada (xn), prove que alguma sub-
sequência de (xn) converge para um limite b 6= a.
14. Prove que uma sequência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de
aderência.
15. Quais são os valores de aderência da sequência (xn) tal que x2n−1 = n e x2n =
1
n
? Esta
sequência converge?
1
16. Dados a, b ∈ R
+, defina indutivamente as sequências (xn) e (yn) pondo x1 =
√
ab, y1 =
a+ b
2
e xn+1 =
√
xnyn, yn+1 =
xn + yn
2
. Prove que (xn) e (yn) convergem para o mesmo
limite.
17. Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauchy quando, para todo ǫ > 0 dado, existe n0 ∈ N
tal que m,n > n0 =⇒ |xm − xn| < ǫ.
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
c) Prove que uma sequência (xn) é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
18. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência (xn) pondo x1 =
√
a e xn+1 =
√
a+ xn.
Prove que (xn) é convergente e calcule seu limite.
19. Defina a sequência (an) indutivamente, pondo a1 = a2 = 1 e an+2 = an+1 + an para todo
n ∈ N. Escreva xn =
an
an+1
e prove que lim xn = c, onde c é o único número positivo tal
que
1
c+ 1
= c. O termo an chama-se o n-ésimo número de Fibonacci e c =
−1 +
√
5
2
é o
número de ouro da Geometria Clássica.
20. Prove que lim n
√
n! = +∞.
21. Se lim xn = +∞ e a ∈ R, prove que lim(
√
log(xn + a)−√
log xn) = 0.
22. Dados k ∈ N e a > 0, determine o limite lim
n!
nk.an
. Supondo a > 0 e a 6= e calcule
lim
an.n!
nn
e lim
nk.an.n!
nn
.
23. Mostre que lim
log(n+ 1)
log(n)
= 1.
24. Mostre que a sequência (xn) não possui subsequência convergente se, e somente se,
lim |xn| = +∞.
25. Mostre que se xn 6= 0 para todo n ∈ N, e se existirem n0 ∈ N e c ∈ R tais que
∣
∣
∣
∣
xn+1
xn
∣
∣
∣
∣
≥
c > 1 para todo n > n0, então lim |xn| = +∞.
26. Prove que se an → +∞ e bn → L > 0, então anbn → +∞.
27. Prove que 5n3 − 4n2 + 7 tende a infinito.
28. Mostre que
√
n2 + 1−
√
n+ h → +∞.
29. Dadas as séries
∑
an e
∑
bn, com an =
√
n+ 1 − √
n e bn = ln(1 + 1
n
), mostre que
lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-ésimas reduzidas sn e tn destas séries e
mostre que lim sn = lim tn = +∞, logo as séries dadas são divergentes.
30. Use o critério de comparação para provar que
∑ 1
n2
é convergente, a partir da con-
vergência de
∑ 2
n(n+ 1)
.
2
31. Mostre que a série
+∞
∑
n=2
1
n ln(n)
diverge.
32. Mostre que se r > 1 a série
+∞
∑
n=2
1
n(ln(n))r
converge.
33. Prove que a série
∑ ln(n)
n2
converge.
34. Prove que se a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . e
∑
an converge então limnan = 0.
35. Se
∑
an é convergente e an ≥ 0 para todo n ∈ N então a série
∑
anx
n é absolutamente
convergente para todo x ∈ [−1, 1] e
∑
ansen(nx) e
∑
ancos(nx) são absolutamente con-
vergentes para todo x ∈ R.
36. A série
1− 1
2
+
2
3
− 1
3
+
2
4
− 1
4
+
2
5
− 1
5
+
2
6
− 1
6
+ . . .
tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende a zero. Entre-
tanto é divergente. Por que isto não contradiz o Teorema de Leibniz?
37. Dê exemplo de uma série convergente
∑
an e de uma sequência limitada (xn) tais que a
série
∑
anxn seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses for verificada:
(a) (xn) é convergente; (b)
∑
an é absolutamente convergente.
38. Se
∑
an é absolutamente convergente, prove que
∑
a2n converge.
39. Se
∑
a2n e
∑
b2n convergem, prove que
∑
anbn converge absolutamente.
40. Prove que uma série
∑
an é absolutamente convergente se, e somente se, é limitado o
conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos an.
41. Prove que se existir uma infinidade de ı́ndices n tais que n
√
|an| ≥ 1 então a série
∑
an
diverge. Se an 6= 0 para todo n e
∣
∣
∣
∣
an+1
an
∣
∣
∣
∣
≥ 1 para todo n > n0 então
∑
an diverge. Por
outro lado, a série
1
2
+
1
2
+
1
22
+
1
22
+
1
23
+
1
23
+ . . .
converge mas se tem
∣
∣
∣
∣
an+1
an
∣
∣
∣
∣
= 1 para todo n ı́mpar.
42. Se 0 < a < b < 1, a série
a+ b+ a2 + b2 + a3 + b3 + . . .
é convergente. Mostre que o teste de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de
d’Alembert é inconclusivo.
43. Determine se a série
∑
(
ln(n)
n
)n
é convergente usando ambos os testes, de d’Alembert
e Cauchy.
44. Prove que, para todo X ⊂ R tem-se int(intX) = intX e conclua que intX é um conjunto
aberto.
3
45. Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: “toda sequência (xn) que converge
para um ponto a ∈ A tem seus termos xn pertencentes a A para todo n suficientemente
grande”. Prove que A é aberto.
46. Prove que int(A ∪ B) ⊃ intA ∪ intB e int(A ∩ B) = intA ∩ intB, quaisquer que sejam
A,B ⊂ R.
47. Para todo X ⊂ R, prove que vale a reunião disjunta R = intX ∪ int(R −X) ∪ F , onde
F é formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhança de x contém pontos de X e
pontos de R − X. O conjunto F = frX chama-se fronteira de X. Prove que A ⊂ R é
aberto se, e somente se, A ∩ frA = ∅.
48. Prove que, para todo X ⊂ R, vale X̄ = X ∪frX. Conclua que X é fechado se, e somente
se, X ⊃ frX.
49. Para todo X ⊂ R, prove que R− intX = ¯R−X e R− X̄ = int(R−X).
50. Sejam X, Y ⊂ R. Prove que ¯X ∪ Y = X̄ ∪ Ȳ e que ¯X ∩ Y ⊂ X̄ ∩ Ȳ .
51. Dada uma sequência (xn), prove que o fecho do conjunto X = {xn;n ∈ N} é X̄ = X ∪A,
onde A é o conjunto dos valores de aderência de (xn).
52. Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X̄ = X∪X ′. Conclua que X é fechado se, e somente
se, contém todos os seus pontos de acumulação.
53. Prove que se todos os pontos do conjunto X ⊂ R são isolados então pode-se escolher,
para cada x ∈ X, um intervalo aberto Ix, de centro X, tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.
54. Prove que, para todo X ⊂ R, X ′ é um conjunto fechado.
55. Seja a um ponto de acumulação do conjunto X. Prove que existe uma sequência crescente
ou uma sequência decrescente de pontos xn ∈ X com lim xn = a.
56. Prove que o conjunto A dos valores de aderência de uma sequência (xn) é fechado. Se a
sequência for limitada, A é compacto, logo existem l e L, respectivamente o menor e o
maior valor de aderência da sequência limitada (xn). Costuma-se escrever l = lim inf xn
e L = lim sup xn.
57. Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é um
conjunto compacto.58. Dê um exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não vazios
F1 ⊃ F2 ⊃ . . . ⊃ Fn ⊃ . . .
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
L1 ⊃ L2 ⊃ . . . ⊃ Ln ⊃ . . .
tais que ∩Fn = ∅ e ∩Ln = ∅.
59. Sejam X e Y conjuntos não-vazios, com X compacto e Y fechado. Prove que existem
x0 ∈ X, y0 ∈ Y tais que |x0 − y0| ≤ |x− y| para quaisquer x ∈ X e y ∈ Y .
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60. Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um
conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado não fechado Y , cujos pontos são
todos isolados.
61. Prove que se X é compacto então o conjunto A = {x+ y; x, y ∈ X} também é compacto.
62. Prove que seK é um subconjunto compacto de R e F ⊂ K é fechado, então F é compacto.
63. Mostre que se F 6= ∅ é fechado e se d(x, F ) = inf{|x− z|; z ∈ F} = 0 então x ∈ F .
64. Mostre que se x é um ponto isolado de um conjunto A, então x é um ponto de acumulação
de R− A.
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