Questões resolvidas
Determine a integral de \( \int x \cos^2(x) \, dx \).
Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{e^x} \).
Calcule a integral de \( \int x e^{x^2} \, dx \).
Determine a integral de \( \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \)
Encontre a derivada de \( f(x) = \arcsin(x^2) \).
Calcule a integral de \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \).
Determine a integral de \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \).
Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 1} \).
Calcule a integral de \( \int \frac{\sqrt{x}}{x^3} \, dx \).
Determine a integral de \(\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx\).
Encontre a derivada de \(f(x) = x^2 \sin(x)\).
Calcule a integral de \( \int e^{3x} \cos(x) \, dx \).
Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)} \).
Calcule a integral de \( \int \frac{\ln(x)}{x^3} \, dx \).
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54. **Problema:** Determine a integral de \( \int x \cos^2(x) \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \).
**Explicação:** Use a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).
55. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{e^x} \).
**Resposta:** \( f'(x) = \frac{1}{2} e^{x/2} \).
**Explicação:** Use a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx}[\sqrt{e^x}] = \frac{e^x \cdot
\frac{1}{2}}{\sqrt{e^x}} = \frac{1}{2} e^{x/2} \).
56. **Problema:** Calcule a integral de \( \int x e^{-x^2} \, dx \).
**Resposta:** \( -\frac{e^{-x^2}}{2} + C \).
**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 \), então integre \( -\frac{1}{2} e^{-u} \).
57. **Problema:** Determine a integral de \( \int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx \).
**Resposta:** \( \sqrt{x^2 - 1} + C \).
**Explicação:** Use a substituição \( u = \sqrt{x^2 - 1} \).
58. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \arcsin(x^2) \).
**Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}} \).
**Explicação:** Use a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx}[\arcsin(u(x))] = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 -
u(x)^2}} \). Aqui, \( u(x) = x^2 \) e \( u'(x) = 2x \).
59. **Problema:** Calcule a integral de \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \).
**Resposta:** \( -\frac{1}{2x^2} + C \).
**Explicação:** Use a fórmula para integrar \( x^n \): \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) para \( n = -3
\).
60. **Problema:** Determine a integral de \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{e^x (\sin(x) - \cos(x))}{2} + C \).
**Explicação:** Use integração por partes duas vezes.
61. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 1} \).
**Resposta:** \( f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - (x^2 + 2x) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2 -
2x}{(x^2 + 1)^2} \).
**Explicação:** Use a regra do quociente: \( \frac{u}{v}' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
62. **Problema:** Calcule a integral de \( \int \frac{\sqrt{x}}{x^3} \, dx \).
**Resposta:** \( -\frac{2}{x^{3/2}} + C \).
**Explicação:** Reescreva a integral como \( \int x^{-5/2} \, dx \).
63. **Problema:** Determine a integral de \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \).
**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).
64. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = x^2 \sin(x) \).
**Resposta:** \( f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).
**Explicação:** Use a regra do produto: \( (uv)' = u'v + uv' \). Aqui, \( u = x^2 \) e \( v =
\sin(x) \).
65. **Problema:** Calcule a integral de \( \int e^{3x} \cos(x) \, dx \).
**Resposta:** \( \frac{e^{3x}}{10} \left(3 \cos(x) - \sin(x)\right) + C \).
**Explicação:** Use integração por partes duas vezes.
66. **Problema:** Determine a integral de \( \int \frac{\sin(x)}{x} \, dx \).
**Resposta:** Não há uma solução elementar; é conhecida como a integral de Sine Integral
\( \text{Si}(x) \).
67. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\sin(x)} \).
**Resposta:** \( f'(x) = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \).
**Explicação:** Use a regra do quociente ou a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx}[ \csc(x)] = -
\csc(x) \cot(x) \).
68. **Problema:** Calcule a integral de \( \int \frac{\ln(x)}{x^3} \, dx \).Mais conteúdos dessa disciplina
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