Questões resolvidas
Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\).
Determine a integral \int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx.
Encontre a integral \int \frac{dx}{x \ln^2(x)}.
Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 3x + 2)\).
Encontre a integral \(\int \frac{\cos(x)}{x} \, dx\).
Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\).
Calcule a integral \(\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx\).
Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} \).
Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\).
Determine a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\) de 0 a \(\infty\).
Encontre a derivada de f(x) = \sin(x) \cdot e^x.
Calcule a integral: \[\int \frac{dx}{x \sqrt{1 - x^2}}.\]
Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n}\) para qualquer \(n > 0\).
Encontre a derivada de \( f(x) = \arctan(x^2) \).
Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\).
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43. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\).
**Resposta:** \(-\frac{1}{2}\).
**Explicação:** Use a expansão em série de Taylor para \(\cos(x)\).
44. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx\).
**Resposta:** \(-\frac{\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} + C\).
**Explicação:** Use integração por partes.
45. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{dx}{x \ln^2(x)}\).
**Resposta:** \(-\frac{1}{\ln(x)} + C\).
**Explicação:** Use substituição \(u = \ln(x)\).
46. **Problema:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 3x + 2)\).
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}\).
**Explicação:** Use a regra da cadeia e a derivada do logaritmo.
47. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{\cos(x)}{x} \, dx\).
**Resposta:** Não existe uma antiderivada expressável em termos de funções elementares.
**Explicação:** É uma forma da integral de Coseno Integral.
48. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\).
**Resposta:** 0.
**Explicação:** Use a regra de L'Hôpital.
49. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\).
**Explicação:** Use substituição \(u = x^2 + 1\).
50. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}\).
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3}\).
**Explicação:** Use a regra do quociente.
51. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\).
**Resposta:** 1.
**Explicação:** Use a regra de L'Hôpital.
52. **Problema:** Determine a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\) de 0 a \(\infty\).
**Resposta:** \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\).
**Explicação:** Esta é uma forma da integral Gaussiana.
53. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \sin(x) \cdot e^x\).
**Resposta:** \(f'(x) = \sin(x) \cdot e^x + \cos(x) \cdot e^x\).
**Explicação:** Use a regra do produto.
54. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x \sqrt{1 - x^2}}\).
**Resposta:** \(\sin^{-1}(x) + C\).
**Explicação:** Use substituição trigonométrica \(x = \sin(\theta)\).
55. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n}\) para qualquer \(n >
0\).
**Resposta:** \(\infty\).
**Explicação:** O termo exponencial cresce mais rápido que qualquer potência de \(x\).
56. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}}\).
**Resposta:** \(\ln \left| x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5} \right| + C\).
**Explicação:** Complete o quadrado no denominador e use substituição.
57. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x^2)\).
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2x}{1 + x^4}\).
**Explicação:** Use a regra da cadeia.
58. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \ln(x) - \int \frac{1}{2(x^2 + 1)} \, dx\).Mais conteúdos dessa disciplina
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