Lista 4 - funções vetorias, curvas e derivadas de funções vetoriais

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Campus Duque de Caxias
Cálculo Diferencial e Integral II - 2021.1
Prof. Vernny Chavez Ccajma
(v.ccajma@gmail.com)
Lista de Exercícios da Semana 4
1 Funções vetoriais
1. Determine o domínio das funções vetoriais:
(a) −→r (t) =
〈
t2,
√
t− 1,
√
5− t
〉
,
(b) −→r (t) = t− 2
t+ 2
i+ sen(t)j + ln(9− t2)k.
2. Calcule os limites:
(a) lim
t→0+
〈cos(t), sen(t), t ln(t)〉,
(b) lim
t→0
〈
et − 1
t
,
√
1 + t− 1
t
,
3
1 + t
〉
,
(c) lim
t→1
(√
t+ 3i+
t− 1
t2 − 1
j +
tan(t)
t
k
)
.
2 Curvas
1. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Explique qual é a direção que segue a
"partícula".
(a) −→r (t) = 〈t4 + 1, t, 0〉,
(b) −→t (t) = 〈t3, t2, 0〉,
(c) −→r (t) = 〈t, cos(2t), sen(2t)〉,
(d) −→r (t) = 〈1 + t, 3t, −t〉,
(e) −→r (t) = 〈sen(t), 3, cos(t)〉.
2. Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q,
onde
(a) P (1,−1, 2) e Q(4, 1, 7),
(b) P (−2, 4, 0) e Q(6,−1, 2).
3. Seja C a curva definida a partir das equações paramétricas
x = t cos(t), y = t sen(t), z = t, t ∈ R.
(a) Verifique que a curva C se encontra na superfície definida pela equação z2 = x2 + y2,
(b) Desenhe a curva.
4. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superfícies
(a) x2 + y2 = 4 e x+ y + z = 1,
(b)
x2
4
+
y2
9
= 1 e 3x+ 2y + z = 4.
1
3 Derivadas de funções vetoriais
1. Desenhe a curva plana, o vetor de posição −→r (t) e o vetor tangente −→r ′(t) para t = t0, onde
(a) −→r (t) = 〈cos(t), sen(t), t/4〉, t0 = π/4,
(b) −→r (t) = 〈1 + t,
√
t, 0〉, t0 = 1,
(c) −→r (t) = (1 + t)i+ t2j, t0 = 1,
(d) −→r (t) = eti+ e−tj, t0 = 0,
(e) −→r (t) = 2 sen(t)i+ 3 cos(t)j, t0 = π/3.
2. Determine a derivada da função vetorial:
(a) −→r (t) = 〈t2, 1− t,
√
t〉,
(b) −→r (t) = 〈cos(3t), t, sen(3t)〉,
(c) −→r (t) = i− j + e4tk,
(d) −→r (t) = et
2
i− j + ln(1 + 3t)k,
(e) −→r (t) = at cos(3t)i+ b sen3(t) + c cos3(t)k.
3. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas,
no ponto P0.
(a) x = t5, y = t4, z = t3; P0(1, 1, 1),
(b) x = t2 − 1, y = t2 + 1, z = t+ 1; P0(−1, 1, 1),
(c) x = e−t cos(t), y = e−t sen(t), z = e−t; P0(1, 0, 1),
(d) x = ln(t), y = 2
√
t, z = t2; P0(0, 2, 1).
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