exercicios com respostas j

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34. **Problema**: Calcule o valor de \( \frac{d}{dx} \left( x^x \right) \). 
 **Resposta**: \( x^x (\ln(x) + 1) \). 
 **Explicação**: Usando a fórmula para a derivada de funções exponenciais com base 
variável, obtemos a resposta. 
 
35. **Problema**: Resolva a equação \( \cos(x) = \frac{1}{2} \). 
 **Resposta**: \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) ou \( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \), onde \( k \) é um 
número inteiro. 
 **Explicação**: Os ângulos para os quais \( \cos(x) = \frac{1}{2} \) são \( \frac{\pi}{3} \) e \( -
\frac{\pi}{3} \), com periodicidade de \( 2\pi \). 
 
36. **Problema**: Encontre o valor de \( \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx \). 
 **Resposta**: 2. 
 **Explicação**: Usando a fórmula da integral gama \( \Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} x^{n-1} 
e^{-x} \, dx \), obtemos \( \Gamma(3) = 2 \). 
 
37. **Problema**: Determine a área da região entre as curvas \( y = x^2 \) e \( y = x \ 
 
). 
 **Resposta**: \( \frac{1}{6} \). 
 **Explicação**: A área é dada pela integral \( \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \), que resulta em \( 
\frac{1}{6} \). 
 
38. **Problema**: Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)? 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: A série pode ser simplificada usando frações parciais, resultando em uma 
série telescópica. 
 
39. **Problema**: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \frac{\pi}{4} \). 
 
40. **Problema**: Resolva o problema de otimização: Encontre os valores de \( x \) e \( y \) 
que maximizam \( f(x, y) = xy \) sujeito à restrição \( x + y = 10 \). 
 **Resposta**: \( x = 5 \), \( y = 5 \). 
 **Explicação**: Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, obtemos a solução \( x = 
5 \) e \( y = 5 \). 
 
41. **Problema**: Encontre a fórmula para a soma dos primeiros \( n \) termos da sequência 
aritmética com primeiro termo \( a \) e diferença comum \( d \). 
 **Resposta**: \( S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d \right) \). 
 **Explicação**: Esta fórmula é derivada pela soma de termos consecutivos de uma 
sequência aritmética. 
 
42. **Problema**: Calcule o valor de \( \int e^{2x} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{e^{2x}}{2} + C \). 
 **Explicação**: Usando a integração direta, obtemos a resposta. 
 
43. **Problema**: Qual é a fórmula para o número de combinações de \( n \) objetos tomados 
\( k \) a \( k \)? 
 **Resposta**: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). 
 **Explicação**: Esta fórmula é usada para calcular combinações de \( n \) objetos distintos 
tomados \( k \) a \( k \). 
 
44. **Problema**: Resolva a equação \( \sin^2(x) = \frac{1}{2} \). 
 **Resposta**: \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \) ou \( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \), onde \( k \) é um 
número inteiro. 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), obtemos as 
soluções para \( \cos(2x) = 0 \). 
 
45. **Problema**: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{x^2}{x + 1} \). 
 **Resposta**: \( f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x + 1)^2} \). 
 **Explicação**: Usando a regra do quociente para derivadas, obtemos a resposta. 
 
46. **Problema**: Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \)? 
 **Resposta**: 2.