exercicios com respostas bi

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61. **Álgebra Linear:** Resolva o sistema linear: \(\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 7 
\end{cases}\). 
 **Resposta:** \(x = 2\), \(y = 1\). 
 **Explicação:** Use o método de substituição ou eliminação para resolver o sistema. 
 
62. **Cálculo Integral:** Calcule \(\int_0^2 (x^3 - 4x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-4\). 
 **Explicação:** Calcule a integral de cada termo e combine os resultados. 
 
63. **Geometria Analítica:** Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \((2, 3)\) e 
\((4, 7)\). 
 **Resposta:** \(y = 2x - 1\). 
 **Explicação:** Calcule a inclinação e use a forma ponto-inclinação para encontrar a 
equação da reta. 
 
64. **Álgebra Linear:** Determine a matriz diagonal associada à matriz \(M = \begin{pmatrix} 
2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). 
 **Explicação:** Encontre os autovalores e autovetores da matriz para diagonalizá-la. 
 
65. **Cálculo Diferencial:** Encontre a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 
 **Resposta:** \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia e a fórmula da derivada da raiz quadrada. 
 
66. **Teoria dos Números:** Determine o menor número positivo que é divisível por todos os 
números de \(1\) a \(6\). 
 **Resposta:** \(60\). 
 **Explicação:** Encontre o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números dados. 
 
67. **Álgebra Linear:** Encontre o determinante da matriz \(N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 
4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(0\). 
 **Explicação:** O determinante é zero porque as linhas da matriz são linearmente 
dependentes. 
 
68. **Cálculo Integral:** Calcule \(\int_0^1 (x^2 + 1) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{4}{3}\). 
 **Explicação:** Calcule a integral de cada termo separadamente e combine os resultados. 
 
69. **Geometria Analítica:** Encontre a equação da esfera que passa pelos pontos \((1, 1, 1)\), 
\((1, -1, -1)\), e \((-1, 1, -1)\). 
 **Resposta:** \((x + y + z)^2 = 4\). 
 **Explicação:** Determine o centro e o raio da esfera a partir dos pontos dados. 
 
70. **Álgebra Linear:** Determine a forma canônica de Jordan da matriz \(P = \begin{pmatrix} 
5 & 4 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\). 
 **Explicação:** A matriz já está na forma canônica de Jordan para sua estrutura. 
 
71. **Cálculo Diferencial:** Encontre a derivada de \(f(x) = e^{-x^2}\). 
 **Resposta:** \(-2x e^{-x^2}\). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia e a fórmula da derivada da exponencial. 
 
72. **Teoria dos Números:** Determine o número de divisores do número \(84\). 
 **Resposta:** \(12\). 
 **Explicação:** Use a decomposição em fatores primos \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) e calcule 
o número de divisores. 
 
73. **Álgebra Linear:** Encontre a matriz inversa para \(Q = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 
\end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(Q^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{10} & - 
 
\frac{2}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{pmatrix}\). 
 **Explicação:** Use a fórmula da inversa de uma matriz \(Q^{-1} = \frac{1}{\det(Q)} 
\text{adj}(Q)\). 
 
74. **Cálculo Integral:** Calcule \(\int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx\).