502882-Lista_de_Exercícios_-_Equações_da_reta_e_do_plano_-_PARTE_1

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Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 
Engenharia Civil – 3º Período 
Lista de Exercícios 
 
1. Faça um esboço dos seguintes planos: 
 
a) 2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 − 1 = 0 
b) 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 0 
c) 3𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0 
d) 2𝑥 + 3𝑧 − 1 = 0 
e) 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 
f) 5𝑦 − 2 = 0 
g) 3𝑧 − 2 = 0 
h) 2𝑥 − 1 = 0 
2. Faça um esboço das retas dadas a seguir: 
a) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3 + 3𝑡,
3
2
−
1
2
𝑡, 4 − 2𝑡) 
b) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑡, 𝑡,
3
2
𝑡) 
c) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 𝑡, 2,3 + 2𝑡) 
d) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2 + 2𝑡,
5
2
+
3
2
𝑡) 
e) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 + 2𝑡, 3 + 𝑡, 3) 
f) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,2 + 2𝑡) 
g) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2 + 2𝑡, 3) 
h) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 + 2𝑡, 2,3) 
3. Ache a equação do plano paralelo ao plano 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 − 3 = 0 e que passa por 𝑃 = (1, −2,1). 
𝜋: 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 − 9 = 0 
 
4. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto 𝑃 = (2,1,0) e é perpendicular aos planos 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 2 = 0 
e 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 − 1 = 0. 
𝜋: 5𝑥 − 10𝑦 − 5𝑧 = 0 
 
5. Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos 𝑃 = (1,0,0) e 𝑄 = (1,0,1) e é perpendicular ao plano 𝑦 = 𝑧. 
𝜋: −𝑥 + 1 = 0 
6. Determine a intersecção da reta que passa pela origem e tem vetor diretor 𝑉 = 𝑖 + 2𝑗 + �⃗⃗� com o plano 2𝑥 + 𝑦 +
𝑧 = 5. 𝑃 = (1,2,1) 
 
7. Verifique se as retas 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (9𝑡, 1 + 6𝑡, −2 + 3𝑡) e (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 2𝑡, 3 + 𝑡, 1) se interceptam e em caso 
afirmativo determine a intersecção. 𝑃 = (9,7,1) 
 
8. Dadas as retas 𝑟: 
𝑥−2
2
=
𝑦
2
= 𝑧 e 𝑠: 𝑥 − 2 = 𝑦 = 𝑧, obtenha uma equação geral para o plano determinado por 
r e s. 𝜋: 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 
 
9. Sejam 𝑃 = (4,1, −1) e 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 + 𝑡, 4 − 𝑡, 1 + 2𝑡). 
a. Mostre que 𝑃 ∉ 𝑟; 
b. Obtenha uma equação geral do plano determinado por 𝑟 e 𝑃. 𝜋: 8𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 − 39 = 0 
 
10. Dados os planos 𝜋1: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 e 𝜋2: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 1 = 0, determine o plano que contém 𝜋1 ∩ 𝜋2 e é ortogonal 
ao vetor (−1, 1, −1). 𝜋: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 
 
11. Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta? 
a. 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 4 = 0 e 𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0; Os planos se cortam segundo uma reta cujo vetor diretor é 𝑉 =
(−8, −5, −6) 
b. 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 + 3 = 0 e 4𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 0; Os planos são paralelos 𝑉 = (0,0,0) 
c. 𝑥 − 𝑦 = 0 e 𝑥 + 𝑧 = 0. Os planos se cortam segundo uma reta cujo vetor diretor é 𝑉 = (−1, −1,1) 
 
12. Encontre as equações da reta que passa pelo ponto 𝑄 = (1,2,1) e é perpendicular ao plano 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0. 
As equações paramétricas de r são (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 𝑡, 2 − 𝑡, 1 + 2𝑡) 
 
13. Ache as equações da reta que passa pelo ponto 𝑃 = (1,0,1) e é paralela aos planos 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 e 𝑥 − 𝑦 +
𝑧 = 0. (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 4𝑡, −𝑡, 1 − 5𝑡) 
 
14. Seja r a reta determinada pela intersecção dos planos 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 e 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0. Ache a equação do 
plano que passa por 𝐴 = (1,0, −1) e contém a reta 𝑟. 𝜋: 6𝑥 + 4𝑧 − 2 = 0 
 
15. Sejam r e s retas reversas passando por 𝐴 = (0,1,0) e 𝐵 = (1,1,0) e por 𝐶 = (−3,1, −4) e 𝐷 = (−1,2, −7), 
respectivamente. Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor 𝑉 = (1, −5, −1). 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (23 4⁄ + 𝑡, 𝑡 − 5𝑡, −𝑡) 
 
16. a. Mostre que os planos 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 e 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 se interceptam segundo uma reta r; 
Os planos se interceptam segundo uma reta cujo vetor diretor é 𝑉 = (−1,3,5) 
 
b. Ache equações da reta que passa pelo ponto 𝐴 = (1,0,1) e intercepta a reta r ortogonalmente. 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 − (31 35⁄ )𝑡,(23 35⁄ )𝑡, 1 − (4 7⁄ )𝑡) 
 
17. Considere as retas (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑡(1,2, −3) e (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,2) + 𝑠(2,4, −6). Encontre a equação geral do plano que 
contém estas duas retas. 𝜋: 7𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 
 
18. Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos: 
a. 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 4 = 0 e 𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0; 
b. 𝑥 − 𝑦 = 0 e 𝑥 + 𝑧 = 0 
 
19. Ache as equações da reta que intercepta as retas 𝑟1 e 𝑟2 e é perpendicular a ambas. 
a. 𝑟1: {
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 2 + 3𝑡
𝑧 = 4𝑡
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 ∈ 𝑅 e 𝑟2: 𝑥 + 1 =
𝑦−1
2
=
𝑧+2
3
 
 
 
 
b. 𝑟1: {
𝑥 = −1 + 𝑡
𝑦 = 2 + 3𝑡
𝑧 = 4𝑡
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 ∈ 𝑅 e 𝑟2: 𝑥 =
𝑦−4
2
=
𝑧−3
3
. 
 
20. Considere os vetores 𝑉 = 𝑖 + 3𝑗 + 2�⃗⃗�, 𝑊 = 2𝑖 − 𝑗 + �⃗⃗� e 𝑈 = 𝑖 − 2𝑗 Seja 𝜋 um plano paralelo aos vetores W e U e 
r uma reta perpendicular ao plano 𝜋. Ache a projeção ortogonal do vetor V sobre a reta r, ou seja, a projeção 
ortogonal de V sobre o vetor diretor da reta r. Projeção (− 1 7⁄ , − 1 14⁄ , 3 14⁄ ) 
 
21. Encontrar o ângulo entre o plano 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 e o plano que passa pelo ponto 𝑃 = (1,2,3) e é perpendicular 
ao vetor 𝑖 − 2𝑗 + �⃗⃗� . O ângulo é 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(5 6⁄ ) ≈ 33,5°