7 - O Plano

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Universidade de São Paulo 
Escola de Engenharia de Lorena - EEL 
7 – O Plano 
LOB 1036 – Geometria Analítica 
Prof. Dra. Érica Romão 
Seja A (x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano  e n = (a, b, c), 
n não nulo, um vetor normal (ortogonal) ao plano. Como n  , n 
é ortogonal a todo vetor representado em , então o vetor é 
ortogonal a n. 
Equação Geral do Plano 
ou 
(a, b, c)  (x - x1 , y - y1 , z - z1 ) = 0 
Equação Geral ou 
Cartesiana do Plano 
a (x – x1) + b (y – y1) + c (z – z1) = 0 
ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0 
Se (- ax1 - by1 - cz1 ) = d (parâmetro), temos: 
ax + by + cz + d = 0 
Observação: 
 
É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação do plano 
representam as componentes do vetor normal ao plano. 
 
Por exemplo: 
Se um plano  é dado por: 
 
: 3 x + 2y – 1z +1 = 0, um dos seus vetores normais é: 
n = (3, 2, -1). 
• Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores 
arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada. 
Ex: x = 4 e y = -2, então teremos: 
3 (4) + 2 (-2) – z + 1 = 0 
12 – 4 – z + 1 = 0 
Z = 9, portanto, o ponto (4, -2, 9) pertence ao plano. 
Exercício: 
1) Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta r e que 
contém o ponto A (1, 2, 3). 
𝑟: 
𝑥 = 2𝑦 − 3
𝑧 = −𝑦 + 1
 
2) Escrever a equação cartesiana do plano  que passa pelo ponto 
A (3, 1, -4) e é paralelo ao plano 1 : 2x – 3y + z -6 = 0 
Resp: 2x – 3y + z + 1 = 0 
Resp: 2x + y - z - 1 = 0 
Resp: x + y - 3z + 8 = 0 
3) Determinar a equação geral do plano mediador do segmento de 
extremos A(1, -2, 6) e B (3, 0, 0). 
Determinação do Plano 
Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de um plano, um vetor normal sempre 
é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano. Estes dois vetores são 
chamados VETORES-BASE do plano. 
Exercício: 
1) Escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos 
A (0, 0, 0), B (0, 3, 0) e C (0, 2, 5). 
2) Determinar a equação geral do plano que contém as retas: 
r 1: 
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑧 = −3𝑥 − 2
 r 2: 
 
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 4𝑡
𝑧 = 3 − 6𝑡
 
Resp: 7x – 2y + z + 4 = 0 
Resp: x= 0 
Equação vetorial e paramétricas do plano 
Equação vetorial do plano  
Exercício: 
1) Seja o plano  que passa pelo ponto A (2, 2, -1) e é paralelo aos 
vetores u = (2, -3, 1) e v = (-1, 5, -3). Obter uma equação vetorial, 
um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de . 
I) Se a = 0, n = (0, b, c)  Ox    Ox 
A equação geral dos planos paralelos ao eixo Ox é: by + cz + d = 0 
 
Plano de Equação: 2y + 3z – 6 = 0 
 
Planos Paralelos aos Eixos e aos Planos Coordenados 
I) Se b = 0, n = (a, 0, c)  Oy    Oy 
A equação geral dos planos paralelos ao eixo Oy é: ax + cz + d = 0 
 
Plano de Equação: x + z – 3 = 0 
 
I) Se c = 0, n = (a, b, 0)  Oz    Oz 
A equação geral dos planos paralelos ao eixo Oz é: ax + cz + d = 0 
 
Plano de Equação: x + 2y – 4 = 0 
 
II) 
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados 
Uma componente do vetor é nula 
n = (0, 2, 3) 
III) 
I) Se a = c = 0, n = (0, b, 0) = c𝑗  n // 𝑗    xOz 
A equação geral dos planos paralelos ao plano xOz é: 
by+d = 0; y = - 
𝑑
𝑏
 
 
 
 
 
 
Plano de Equação: y= j 
I) Se a = b = 0, n = (0, 0, c) = c𝑘  n // 𝑘    xOy 
A equação geral dos planos paralelos ao plano xOy é: 
cz + d = 0  𝑧 = − 
𝑑
𝑐
 
 
 
Plano de Equação: z = k 
II) 
Planos Paralelos aos Planos Coordenados 
I) Se b = c = 0, n = (a, 0, 0) = a𝑖 n // 𝑖    yOz 
A equação geral dos planos paralelos ao plano yOz é: 
ax + d = 0  x= − 
𝑑
𝑎
 
 
 
 
 
Plano de Equação: x= i 
 
I) Se b = c = 0, n = (a, 0, 0) = a𝑖 n // 𝑖    yOz 
A equação geral dos planos paralelos ao plano yOz é: 
ax + d = 0  x= − 
𝑑
𝑎
 
 
 
 
 
Plano de Equação: x= i 
 
III) 
Duas componentes do vetor é nula b 
Ângulo de Dois Planos 
cos 𝜃 = 
 𝑛1 𝑛2 
 𝑛1 𝑛2 
, 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
2 
Exercício: 
1) Determinar o ângulo entre os seguintes planos: 
 
a) 1 : x + 2y + z – 10 = 0 e 2 : 2x + y - z + 1 = 0 
 
 
b) 1 : 3x + 2y – 6 = 0 e 2 : plano x0z 
 
Resp: 60° 
Resp:  = arc cos 2/13 
Condição de Paralelismo e Perpendicularismo de Dois Planos 
Paralelos: 
Perpendiculares: 
1  2 , n1  n2 logo n1  n2 = 0 
Ângulo de uma reta com um Plano 
sen ∅ = 
 𝑣 𝑛 
 𝑣 𝑛 
, 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋
2 
Condição de Paralelismo e Perpendicularismo entre 
uma Reta e um Plano 
Condição para que uma reta esteja contida no plano 
I) v  n = 0 , onde v é um vetor diretor de r e n um vetor normal 
do plano; 
II) Um ponto A  r e também ao plano (ou dois pontos A e B  r e 
também  ao plano) 
Exercício: 
1) Mostrar que a reta r está contida no plano  : 2x + y – 3z -1 = 0 
𝑟 ∶ 
𝑥 − 1
1
= 
𝑦 + 1
−2
 ; 𝑧 = 0 
Interseção de dois Planos 
Interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações 
se deseja determinar. 
Exercício: 
Sejam os planos não paralelos 1 : 5x - 2y + z +7 = 0 e 2: 3x - 3y + z +4 = 0, 
estabelecer as equações reduzidas (na variável x) da reta interseção dos planos. 
Interseção da Reta com o Plano 
Exemplo: 
 
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano  : 2x – y + 3z – 4 = 0 
𝑟 ∶ 
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 5 + 3𝑡
𝑧 = 3 − 𝑡
 
Exercícios: 
1) Calcule a medida angular  entre as retas: 
r: x = (1, 1, 9) +  (0, -1, 1) e s: x – y + 3 = z = 4 
2) O lado BC de um triângulo equilátero está contido na reta 
r: x = (0, 0, 0) +  (0, 1, -1) e seu vértice oposto é A (1, 1, 0). 
Determine B e C. 
3) Se r1 é a reta que passa por A (1, 2, 7) e B (-2, 3, -4) e r2 é a 
reta que passa por C (2, -1, 4) e D (5, 7, -3) demonstre que 
r1 e r2 são retas reversas. 
 (obs. elas não estão no mesmo plano). 
Exercícios: 
4) Determine a equação do plano  que passa pela origem das 
coordenadas e que é perpendicular aos planos: 
: 2x – y + 3z – 1 = 0 e : x + 2y + z = 0 
5) Sejam as retas r e s. Determinar a equação do plano  
que passa pelo ponto de interseção das retas r e s e pelo 
ponto A (2, -3, 1) e é paralelo a reta r. 
𝑟 ∶ 𝑧 = −3; 
𝑥 + 1
−2
 = −𝑦 + 2 
𝑠 ∶ 
𝑥 = 𝑧
𝑦 = 2𝑧 + 7