Lista Aula 58-59 Torque Produzido por uma Força Magnética

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FÍSICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Marcos Haroldo
assunto: Torque Produzido Por uMa Força MagnéTica
frente: Física iii
010.550 - 136364/19
AULAS 58 E 59
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Momento de força magnética
Aplicaremos o resultado obtido anteriormente de forças 
magnéticas para calcular o torque. Lembrando o resultado da 
mecânica, temos:
τ
  
= ×r F
Em que r

 é o vetor posição do ponto de aplicação da força 
em relação ao eixo de rotação.
Entenda que mesmo que a força resultante sobre uma espira 
seja nula, esta pode sofrer torque. O torque sentido é equivalente 
ao torque produzido por um binário. Consideremos, por exemplo, a 
seguinte espira de corrente retangular, imersa em um campo magnético 
uniforme:
F2
F1
bsenθbsenθ
b
i
P
aa
bb
B
(b)(a)
θ
θ
F2
F1
B
n
θ
θ
n
^
^
Figura 10: torque magnético em uma espira retangular.
Como calcular o torque sofrido por um ímã ou por um circuito 
elétrico? Em relação ao eixo horizontal, podemos expressar as seguintes 
equações:
τ θ
τ θ
1 1 1
2 2 2
2
2
  
  
= × = ( )
= × = ( )
r F
b
Bia sen
r F
b
Bia sen
Os momentos produzidos por estas forças apontam no mesmo 
sentido. É importante perceber que os outros dois lados da espira 
possuem momento nulo. As forças atuantes nestes lados atuam em 
sentidos contrários, fazendo com que a resultante sobre a espira seja 
nula.
O torque total é então dado por:
τ θ
  
= × = ⋅r F Biba sen
Entretanto, tal método pode ser um pouco trabalhoso e temos 
outra forma de ver a coisa. Definiremos uma grandeza denominada 
momento de dipolo magnético m

. O vetor momento de dipolo 
magnético de um ímã é um vetor que aponta do polo sul para o 
polo norte e cujo módulo é tanto maior quanto mais intenso for o 
magnetismo do ímã.
A
r
v
µ
e–
I
L
I
I
Figura 11
Quanto maior for o momento de dipolo magnético de um 
ímã, mais intenso será o torque sofrido por ele sob ação de um campo 
magnético. Um momento de dipolo magnético m

 em um campo de 
indução magnética sofre um torque dado por:
τ τ θ
   
= × → =m B mB sen
Observação:
O papel deste torque é fazer o vetor m

 se alinhar ao 
vetor B

.
m
t
B
X
• Esquema representando o torque sobre um momento de 
dipolo magnético em campo magnético.
Também podemos atribuir um momento de dipolo a um circuito 
elétrico como a espira retangular da figura seguinte. Representemos 
uma vista superior da referida espira.
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Módulo de estudo
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F
1
+
F
2 d d
b
θ
θ
i
i
0
+
Figura 12: vista de perfil de uma espira imersa numa 
região de campo magnético constante.
Os módulos de F e F
 
1 2 são iguais e dados por:
F = Bia
Os momentos de F e F
 
1 2 em relação ao ponto 0 são também 
iguais e dados por: τ

= Biad.
Mas d
b
sen=
2
θ. Daí o momento total sobre a espira é:
τ θ θ

= ( ) =2
2
iaB
b
sen Bi ba sen( ) .
Esse é o módulo do torque mecânico sobre a espira. 
Comparando com a expressão em que definimos matematicamente 
o momento de dipolo magnético, temos:
τ θ θ

= =
( ) → =
mBsen i ab Bsen
ab m iA o m dulo de m
( ) .
.Da : m = ií é ó
Em que A = ab é a área de espira.
Como a espira tende a ficar perpendicular ao campo, o vetor 
m

 deve ser perpendicular ao plano que a contém. De fato, é isto que 
ocorre, e o sentido de m

 é dado pela regra da mão direita.
m
Corrente elétrica
Vetor momento
de dipolo
magnético
N
i
A
 Figura 13: aplicação da regra da mão direita na determinação 
 da direção e sentido do vetor momento de dipolo de uma espira.
Matematicamente podemos representar o vetor momento de 
dipolo magnético como sendo: 
m iAn
 =
Em que n é o versor normal à espira no sentido dado pela 
regra da mão direita.
Exercícios
01. Uma espira retangular de perímetro p, percorrida por uma corrente 
elétrica de intensidade constante I, define uma região plana de 
área S, paralela a um campo magnético uniforme B

 no qual está 
totalmente imersa como na figura.
C D
BA
S
i
�
B
A) Expresse a intensidade t do torque resultante na espira em 
função de B, i e S.
B) Levando em conta que a expressão obtida no item A continua 
válida, se a mesma espira for deformada de modo a ficar com 
outro formato qualquer, determine, em função de B, i e p, o 
torque resultante mais intenso possível de ser conseguido por 
meio da variação exclusiva da área S.
02. Uma barra de material isolante, em forma de um “V”, pode girar 
livremente em torno de um eixo que passa por 0. Na extremidade 
direita da barra, está suspenso um prato, em que poderão ser 
colocadas massas conhecidas.
C
D
B
A
E
F
O
d
�
B
d
Na parte esquerda da barra é fixado um fio condutor rígido 
ABCDEF, cujos terminais são A e F. Os trechos BC e DE do fio são 
arcos de circunferência com centros em 0. A região CD desse fio, 
de comprimento 5,00 cm, está imersa em um campo magnético 
uniforme B

, perpendicular ao plano da figura e apontando para 
o leitor.
O sistema descrito, inicialmente em equilíbrio, permite medir a 
intensidade de B

. Para isso, usando fios muito flexíveis, que não 
perturbem o equilíbrio do sistema, ligamos os terminais A e F a 
um gerador em série com um medidor de corrente.
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Módulo de estudo
Suponha que o sentido da corrente em CD seja de C para D e 
que sua intensidade seja 10,0 A.
Estabelecida essa corrente, o sistema desequilibra-se, sendo 
necessário colocar uma massa de 15,0 g no prato para que 
o equilíbrio se restabeleça. Sendo g = 9,80 m/s2, calcule a 
intensidade de B

.
03. Uma espira triangular de arame com corrente I pode girar em torno de 
um eixo horizontal OO’, que passa pelo vértice do triângulo. A massa 
por unidade de comprimento do arame é λ. A espira se encontra 
nos campos de gravidade e magnético B

, dirigidos verticalmente 
para baixo. Determine o ângulo de desvio do plano do triângulo 
em relação à vertical (α).
O g α
B�
��
O’
I
l → comprimento do lado do triângulo.
04. Uma espira circular de raio R, massa m e corrente I está em repouso 
sobre uma superfície horizontal áspera. Um campo magnético 
horizontal B é paralelo ao plano da espira.
B
R
l
Qual o valor da corrente I para que um lado da espira seja erguido 
pelo campo magnético?
A) m g
B R
⋅
⋅ ⋅π
 B
µ
I
B) 2 ⋅ ⋅
⋅ ⋅
m g
B Rπ
C) m g
B R
⋅
⋅ ⋅2π
D) m g
B R
⋅
⋅ ⋅4π
05. Dois fios condutores, muito longos, possuem densidade linear 
de massa λ e estão suspensos paralelamente por cordas ideais. A 
distância entre eles vale d. Os fios são conectados a um capacitor 
em uma das extremidades e na outra por um pequeno arame 
condutor.
dd
+
–
C
 A carga no capacitor (de capacitância C) é inicialmente Q
0
. 
Logo após a ligação, os fios adquirem inicialmente uma velocidade 
v
0
 devido à repulsão. Assuma que a constante de tempo de 
descarga do capacitor é negligenciável comparada ao tempo do 
impulso sofrido.
A) Mostre que v0
0 0
2
4
=
µ
πλ
Q
RCd
, em que R é a resistência do circuito.
B) Qual a altura que cada fio pode subir?
06. No interior de um solenoide longo, onde existe um campo de 
indução magnética B uniforme e axial, coloca-se uma espira 
retangular de largura a e comprimento b, em posição horizontal, 
ligada rigidamente a uma balança de braços d1 e d2. Quando 
não circula corrente na espira, a balança está em equilíbrio. 
Ao fazer passar pela espira uma corrente i, obtém-se o equilíbrio 
da balança, colocando-se no prato a massa m. Determine o campo 
de indução magnética B no interior do solenoide.
a
b
Sentido da corrente no solenoide.
d
2
d
1
07. Um pêndulo elétrico, constituído por um fio de comprimento L, 
conectado a uma partícula de massa m e carga negativa q, 
é abandonado do repouso, a partir da posição horizontal A, 
numa região que contém um campo gravitacional uniforme g 
e um campo magnético uniforme entrando no papel.Sabendo 
que o fio do pêndulo se afrouxa ao passar pela posição C 
definida pelo ângulo α, determine então a intensidade do campo 
magnético.
–
–
g α
L
A
B
C
X X
X X
X X X X
X X
X X
A) B
m
q
g
L
=
cosα
2
 B) B
m
q
g
L
= senα
2
C) B
m
q
g
L
=
2
5
cosα
 D) B
m
q
g
L
=
cosα
E) B
m
q
g
L
=
2
3
cosα
08. Considere um fio de 44 cm de comprimento. A figura mostra parte 
do fio metálico carregando uma corrente I = 6 A, do ponto A ao 
ponto C, no formato de duas semicircunferências. O citado fio 
está localizado em um campo magnético uniforme de intensidade 
B = 1,25 ⋅ 10−14 T. Determine a intensidade da força F
1
 que atua 
na parte mostrada do fio.
A) F
1
 = 1,41 ⋅ 10−4 
B) F
1
 = 1,05 ⋅ 10−4
C) F
1
 = 1,05 ⋅ 10−6 
D) F
1
 = 3,30 ⋅ 10−4 N
E) F
1
 = 3,30 ⋅ 10−6 N
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
y
A
I 5 cm
C
x2 cm2 cm
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Módulo de estudo
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09. Um fio retilíneo de comprimento L é percorrido por uma corrente 
elétrica I
2
. O fio passa pelo eixo de uma espira circular percorrida 
por uma corrente I
1
 de raio R. Seja μ
0
 a permeabilidade magnética 
do meio, determine, em função de L, I
1
, I
2
, R e μ
0
, o módulo da 
força sobre o fio.
I
1
I
2
10. 50 espiras quadradas de lados iguais a 10 cm estão localizadas 
paralelas ao plano XZ com uma corrente I fluindo na direção 
mostrada. O sistema é livre para rotacionar em torno do eixo X sem 
atrito. Um campo magnético uniforme, B = 1,5 T, tem direção ao 
longo do eixo – Z. A intensidade do momento de dipolo magnético 
das 50 espiras é m = 0,01A · m2. A intensidade da corrente através 
do sistema vale:
A) I = 0 A
B) I = 0,02 A
C) I = 0,22 A
D) I = 1,4 A
E) I = 2,7 A
11. Um condutor de cobre, de área A, está dobrado de tal modo 
que forma três lados de um quadrado e ele pode girar ao 
redor de um eixo horizontal. O condutor encontra-se em 
um campo magnético uniforme, dirigido verticalmente. 
Quando pelo condutor passa uma corrente I, ele inclina-se em um 
ângulo α, em relação à vertical. Determine a indução do campo 
A, densidade do cobre é igual a r.
α
12. No esquema da figura, a barra AB tem resistência R = 5Ω, peso de 
módulo P = 20N e comprimento l = 1 m. Essa barra faz contato 
sem atrito com dois trilhos verticais MN e M’N’, perfeitamente 
condutores. Perpendicularmente ao plano dos trilhos, existe um 
campo de indução magnética uniforme de intensidade B = 0,5 T. 
Sabendo-se que a barra AB mantém-se em repouso, determine 
a força eletromotriz e do gerador.
= 5 Ω
M
A B
ε
M
N
B
N
–
I
y
a
X
B
Z
a
13. (IME) A haste condutora rígida CD, de massa 0,05 kg, pode deslizar 
sem atrito ao longo de duas guias fixas paralelas, horizontais, 
distanciadas de 10 cm, como mostra na figura. A haste conduz 
uma corrente i = 2 A no sentido indicado, mantida constante 
pela fonte F, e está submetida a um campo magnético uniforme 
e constante, dirigido verticalmente de baixo para cima, valor B = 
0,05 Weber/m2. Indique o sentido e calcule o valor da velocidade 
adquirida pela haste em t = 2 s, supondo que ela estivesse em 
repouso no instante t = 0.
F
D
C
i
i
i
10
 c
m
i
14. Uma roda com um raio R que tem carga Q, uniformemente 
distribuída sobre o aro, é livre para rodar horizontalmente sobre 
uma haste fina. A haste é suspensa por fios não extensíveis, 
e um campo magnético B é aplicado, como mostrado na figura. 
As tensões iniciais nas cordas são T
0
. Se a quebra das tensões nas 
cordas são 3T
0
/2, encontre a velocidade angular ω
0
 máxima com 
que a roda pode ser girada.
d
B
T
0
T
0
ω0
15. Considere os pares de circuitos elétricos abaixo e informe se a 
força magnética em cada caso é atrativa ou repulsiva.
A) B)
 
i
1
i
2
 
i
1
i
2
C) D) 
 
i
1
i
2
 
i
1
i
2
E) 
 
i
1i
2
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Módulo de estudo
Gabarito
01 02 03 04 05
* 0,249 T * A *
06 07 08 09 10
* A B Zero D
11 12 13 14 15
* 200 V 0,4 m/s * *
* 01: A) Bis B) 
Bip2
4π
 03: 
BI
g4λ
 05: Demonstração
 06: B
mgd
iab
= 1
 11: 
CAtg
I
2
 14: 
dT
BQR
o
2
 15: A, B, E ⇒ Atrativa
 C, D ⇒ Repulsiva.
Anotações
SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): MARCOS HAROLDO
naldo/REV.: Camilla