Estatística e Indicadores Ambientais

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2015
Estatística E indicadorEs 
ambiEntais
Prof. Luis Augusto Ebert
Prof.ª Rafaela Tamara Marquardt
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Copyright © UNIASSELVI 2015
Elaboração:
Prof. Luis Augusto Ebert
Prof.ª Rafaela Tamara Marquardt
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
310.7
E16eSilva, Igor de Oliveira Insaurriaga 
 Estatística e indicadores ambientais/ Luis Augusto Ebert, Rafaela Tamara 
Marquardt. Indaial : UNIASSELVI, 2015.
 
 204 p. : il.
 
 ISBN 978-85-7830-907-7
 1. Estatística.
 I. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
Impresso por:
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III
aprEsEntação
Ao realizar e comparar uma pesquisa, nós necessitamos de parâmetros 
para tal comparação. E a melhor forma de fazê-la é através da estatística, 
que aplicamos a ela. Através de coleta de dados, informações pertinentes à 
pesquisa, podemos aferir tais valores. E é isso sobre que a disciplina trata, 
contudo, não é algo complexo, pois realizamos o planejamento e a ordenação 
de todos os dados, e assim aplicamos vários modelos estatísticos.
A estatística pode ser adotada em vários campos de estudos, e nas 
áreas das ciências naturais sua denominação intitula-se bioestatística, em que 
são trabalhados dados biológicos. Então, caso você em algum artigo ou livro 
ler estatística voltada às ciências naturais, nada mais é que bioestatística.
Contudo, todo experimento começa com uma hipótese, uma pergunta. 
Ao analisarmos e trabalharmos os dados obtidos através desta análise, 
devemos como pesquisador ater-nos a estas informações obtidas, pois com 
os dados em mãos podemos reduzi-los ou agrupá-los, não esquecendo que a 
estatística é uma ciência exata, e devemos cuidar para que nossos dados não 
tenham incoerências.
Para tanto, na primeira unidade deste Caderno de Estudos, vamos ver 
as principais definições, nomenclaturas utilizadas pela estatística dentro do 
contexto das ciências naturais, bem como ter uma compreensão das teorias 
das probabilidades e da distribuição. Já na segunda unidade, iremos calcular 
os dados obtidos e analisá-los dentro do espectro da pesquisa, e averiguar 
estas informações se os dados são paramétricos ou não paramétricos. E 
na terceira unidade, veremos os indicadores ambientais e suas atribuições 
dentro da pesquisa voltada às ciências naturais.
Vamos aos estudos!
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IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
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V
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VI
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VII
UNIDADE 1 – O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE 
 DE DADOS ................................................................................................................ 1
TÓPICO 1 – CONCEITOS APLICADOS À ESTATÍSTICA ........................................................ 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 3
2 DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA E BIOESTATÍSTICA ............................................................. 3
3 CONCEITOS APLICADOS À ESTATÍSTICA ............................................................................ 5
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 7
RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 12
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 13
TÓPICO 2 – MÉTODOS ESTATÍSTICOS ...................................................................................... 15
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 15
2 MÉTODOS ......................................................................................................................................... 15
2.1 MÉTODO EXPERIMENTAL ...................................................................................................... 15
2.2. MÉTODO ESTATÍSTICO ........................................................................................................... 16
2.3 IMPORTÂNCIA DA ESCOLHA DO MÉTODO ..................................................................... 16
3 ETAPAS DO TRABALHO ESTATÍSTICO ................................................................................... 16
3.1 PLANEJAMENTO – DEFINIÇÃO DO PROBLEMA .............................................................. 16
3.2 COLETA DE DADOS .................................................................................................................. 16
3.3 TAMANHO AMOSTRAL ........................................................................................................... 17
3.3.1 Estudos analíticos ............................................................................................................... 18
3.3.2 Estudos descritivos ............................................................................................................. 19
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................21
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 22
TÓPICO 3 – APRESENTAÇÃO DE DADOS ................................................................................. 23
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 23
2 TABELAS ESTATÍSTICAS .............................................................................................................. 23
3 DISTRIBUIÇÃO POR FREQUÊNCIA .......................................................................................... 26
3.1 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR PONTOS ............................................................... 26
3.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR INTERVALOS ...................................................... 27
4 GRÁFICOS .......................................................................................................................................... 31
4.1 TIPOS DE GRÁFICOS .................................................................................................................. 31
4.1.1 Gráfico em linha ou curva .................................................................................................. 31
4.1.2 Gráfico em coluna ou em barras ........................................................................................ 32
4.1.3 Gráfico em barras ................................................................................................................. 32
4.1.4 Gráfico em coluna ou em barras múltiplas ...................................................................... 33
4.1.5 Gráfico em setores ............................................................................................................... 34
4.2 GRÁFICOS ESPECIAIS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR 
 INTERVALOS ................................................................................................................................ 35
4.2.1 Histograma ........................................................................................................................... 35
4.2.2 Polígono de frequências ...................................................................................................... 36
4.2.3 Ogiva ...................................................................................................................................... 37
sumário
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VIII
RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 38
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 39
TÓPICO 4 – MÉTODOS DE AMOSTRAGEM .............................................................................. 41
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 41
2 MÉTODOS DE AMOSTRAGEM .................................................................................................. 41
2.1 AMOSTRA DE CONVENIÊNCIAS .......................................................................................... 42
2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES ................................................................................. 42
2.3 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA ............................................................................................... 43
2.4 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ESTRATIFICADA .................................................................. 44
2.5 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS .......................................................................... 44
2.6 AMOSTRAGEM POR ESTÁGIOS MÚLTIPLOS ..................................................................... 44
RESUMO DO TÓPICO 4 .................................................................................................................... 45
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 46
TÓPICO 5 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES .............................................................. 47
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 47
2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES ................................................................................... 47
2.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL .................................................................................................. 48
2.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON .................................................................................................. 50
2.3 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL ............................................................................................. 51
2.4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL ........................................................................................................ 51
2.5 DISTRIBUIÇÃO DE T DE STUDENT ....................................................................................... 55
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 55
RESUMO DO TÓPICO 5 .................................................................................................................... 58
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 59
TÓPICO 6 – INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS ................................................................................ 61
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 61
2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES ................................................................................... 61
2.1 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS ................................................................................................. 61
2.2 VARIÁVEIS QUALITATIVAS .................................................................................................... 62
3 ESCALAS ESTATÍSTICAS ............................................................................................................. 63
4 ERROS DE OBSERVAÇÃO ............................................................................................................ 64
5 ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS ...................................................................................... 64
RESUMO DO TÓPICO 6 .................................................................................................................... 66
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 67
UNIDADE 2 – MEDIDAS ESTATÍSTICAS .................................................................................... 69
TÓPICO 1 – MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO ................................................................ 71
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 71
2 MEDIDAS DE POSIÇÃO ................................................................................................................ 71
2.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( X ) ....................................................................................... 71
2.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ..................................................................................... 72
2.3 MÉDIA ARITMÉTICA DE DADOS AGRUPADOS EM INTERVALOS .............................. 74
2.4 MEDIANA (ME) ..........................................................................................................................75
2.5 MODA (MO) ................................................................................................................................. 78
3 MEDIDAS DE VARIAÇÃO ............................................................................................................ 79
3.1 DESVIO-MÉDIO (D.M.) .............................................................................................................. 79
3.2 DESVIO-PADRÃO ....................................................................................................................... 80
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IX
3.3 VARIÂNCIA OU QUADRADO MÉDIO .................................................................................. 83
3.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (C.V.) ..................................................................................... 84
3.5 ERRO-PADRÃO DA MÉDIA – s X� � ........................................................................................ 84
3.6 ERRO-PADRÃO DE PERCENTAGEN – S (P) ......................................................................... 85
3.7 SEPARATRIZES ........................................................................................................................... 86
3.7.1 Quartis .................................................................................................................................. 86
3.7.2 Decis ...................................................................................................................................... 89
3.7.3 Centis .................................................................................................................................... 90
3.8 BOX PLOT (QUANTIL) .............................................................................................................. 92
RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 94
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 95
TÓPICO 2 – TESTES DE NORMALIDADE, TESTES PARAMÉTRICOS ............................... 97
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 97
2 DIFERENÇAS ENTRE DADOS PARAMÉTRICOS E NÃO PARAMÉTRICOS .................. 97
3 TESTES DE NORMALIDADE ....................................................................................................... 98
3.1. TESTE SHAPIRO-WILK ............................................................................................................. 98
3.2 TESTE KOLMOGOROV-SMIRNOV ......................................................................................... 99
4 TESTES PARAMÉTRICOS ............................................................................................................. 99
RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 102
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 103
ANEXOS ................................................................................................................................................ 104
TÓPICO 3 – TESTES DE HIPÓTESE ............................................................................................... 107
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 107
2 HIPÓTESE ESTATÍSTICA .............................................................................................................. 107
3 QUI-QUADRADO (TESTE DE ADERÊNCIA) ........................................................................... 108
4 TESTE T – (STUDENT) .................................................................................................................... 110
4.1 DADOS DEPENDENTES ........................................................................................................... 113
4.2 DIFERENÇA ENTRA A MÉDIA AMOSTRAL E O PARÂMETRO 
 POPULACIONAL ........................................................................................................................ 115
5 COMPARAÇÃO DE DUAS PROPORÇÕES ............................................................................... 116
RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 118
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 119
ANEXOS ................................................................................................................................................ 120
TÓPICO 4 – TESTES NÃO PARAMÉTRICOS .............................................................................. 125
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 125
2 TESTE U MANN-WHITEY ............................................................................................................. 125
3 TESTE T DE WILCOXON ............................................................................................................... 128
3.1 PEQUENAS AMOSTRAS ........................................................................................................... 129
3.2 GRANDES AMOSTRAS ............................................................................................................. 130
4 TESTE DE KRUSKAL-WALLIS ..................................................................................................... 132
5 TESTE EXATO DE FISHER ............................................................................................................ 134
6 TESTE DE FRIEDMAN ................................................................................................................... 136
7 TESTE DE MCNEMAR .................................................................................................................... 138
8 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE SPEARMAN (Rs) ...................................................... 140
RESUMO DO TÓPICO 4 .................................................................................................................... 143
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 144
ANEXOS ................................................................................................................................................ 146
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X
UNIDADE 3 – ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE 
 QUALIDADE AMBIENTAL ................................................................................... 149
TÓPICO 1 – AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES 
 ECOLÓGICOS ............................................................................................................... 151
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 151
2 POR QUE UTILIZAR ÍNDICES DE QUALIDADE AMBIENTAL? ....................................... 151
3 OS ÍNDICES ECOLÓGICOS SÃO CONFIÁVEIS? ................................................................... 161
4 ESPÉCIES R E K ESTRATEGISTAS ..............................................................................................162
5 CONSERVAÇÃO AMBIENTAL X DIVERSIDADE BIOLÓGICA ......................................... 165
RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 168
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 169
TÓPICO 2 – ÍNDICES ECOLÓGICOS ............................................................................................ 171
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 171
2 ÍNDICES DE DIVERSIDADE ........................................................................................................ 171
2.1 ÍNDICES DE RIQUEZA .............................................................................................................. 179
2.2 ÍNDICES DE DOMINÂNCIA .................................................................................................... 181
2.3 ÍNDICES DE EQUITATIVIDADE .............................................................................................. 184
2.4 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE PAST PARA CÁLCULO DOS ÍNDICES 
 ECOLÓGICOS .............................................................................................................................. 185
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 188
RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 198
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 199
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 201
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1
UNIDADE 1
O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA 
UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE 
DADOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir dessa unidade, você estará apto(a) a:
• reconhecer terminologias, símbolos e conceitos básicos encontrados na 
literatura da estatística;
• reconhecer, em seus experimentos, a forma como organizar seus dados, de 
forma concisa, e interpretando suas informações;
• ter maior compreensão em relação às teorias da probabilidade e da 
distribuição
Essa primeira unidade de estudo está dividida em seis tópicos. Você 
encontrará, ao final de cada um deles, uma leitura complementar e atividades 
que contribuirão para a compreensão dos conteúdos abordados
TÓPICO 1 – CONCEITOS APLICADOS À ESTATÍSTICA
TÓPICO 2 – OS MÉTODOS ESTATÍSTICOS
TÓPICO 3 – APRESENTAÇÃO DE DADOS
TÓPICO 4 – MÉTODOS DE AMOSTRAGEM
TÓPICO 5 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
TÓPICO 6 – INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS
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3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITOS APLICADOS À 
ESTATÍSTICA
1 INTRODUÇÃO
Como acadêmico(a), você precisa conhecer alguns conceitos, de onde 
derivam, quais são suas aplicações, e na estatística não é diferente, pois, como 
dizem, “todo prédio deve ter um bom fundamento”.
Portanto, nesta unidade, você terá uma noção de alguns conceitos básicos 
aplicados à estatística, bem como um breve histórico na leitura complementar.
A estatística possui uma importância relevante nas pesquisas, pois 
acrescenta credibilidade aos dados analisados, tendo um grau elevado das 
conclusões que o pesquisador tem de seus dados coletados e observados.
2 DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA E BIOESTATÍSTICA
Ao olharmos para um experimento, ou mesmo montá-lo, queremos 
sempre ter uma resposta ou equipará-lo a outras pesquisas parecidas. Para isso 
precisamos de valores, de indicadores, para que possamos compará-los, atestá-
los, e, então, precisaremos da estatística.
Afinal, o que é essa tal de estatística?
Etimologicamente, a palavra estatística vem de “status” (estado), expressão 
latina que define “sensu lato” como o estudo do estado (DORIA FILHO, 1999; 
SOUNIS, 1971). 
Segundo Padovani (2012, p. 16), a estatística constitui-se em uma ciência 
destinada a:
I. Decidir o melhor plano (experimental ou observacional) para a 
execução de uma pesquisa metodologia científica.
II. Organizar e resumir dados de contagem, mensuração e classificação 
raciocínio dedutivo.
III. Inferir sobre populações de unidades (indivíduos, animais, objetos) 
quando uma parte (amostra) é considerada raciocínio indutivo.
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
4
Padovani (2012, p. 16) menciona ainda que “[...] os métodos da estatística 
matemática são universais (ubíquos), e o estatístico, assim como o especialista em 
modelagem matemática, é capaz de colaborar em, praticamente, qualquer área de 
conhecimento e atividade profissional [...]”. 
Portanto, você poderá aplicar a estatística em qualquer experimento que 
irá realizar, independentemente de sua área de atuação, pois é uma ciência que se 
preocupa com a análise e interpretação e, assim, você terá dados concretos para 
a tomada de possíveis decisões, baseado(a) nos valores obtidos de sua estatística.
De acordo com Motta e Wagner (2003, p. 15), a estatística se apresenta em 
duas partes:
• Estatística descritiva: é aquela que você como o próprio nome diz, 
aquela que se preocupa com a coleta, que organiza, que descreve, 
expõe os dados nas tabelas, gráficos, além do cálculo de estimativas de 
parâmetros representativos desses dados.
• Estatística inferencial: a partir das conclusões sobre a população 
estatística, estabelece-se hipóteses sobre a população de origem. 
FIGURA 1 - VISUALIZAÇÃO DA INTERAÇÃO DA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
E A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
FONTE: Adaptado de Battisti e Battisti (2008)
Na estatística, há várias formas de se obter o resultado da análise de 
um experimento, nos diversos ramos, como matemática, engenharia mecânica, 
contabilidade, entre outros, porém, quando se trabalha com dados obtidos 
nas áreas das ciências naturais, usa-se a estatística voltada para este campo, 
denominada de bioestatística. 
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TÓPICO 1 | CONCEITOS APLICADOS À ESTATÍSTICA
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Já a Bioestatística, de acordo com Padovani (2012, p. 15), “[...] é a 
metodologia estatística aplicada às ciências biológicas, com a finalidade planejar, 
coletar, organizar, resumir, analisar e interpretar os dados, permitindo tirar 
conclusões biológicas sobre populações a partir do estudo de amostras [...]”.
A bioestatística pode ser aplicada, também, à medicina e às ciências 
agrárias, porque ela está voltada às ciências ambientais, pois, muitas vezes, vocês 
irão utilizar os fatores climáticos, ou dados de população, com diversos fatores 
que influenciam de forma direta o resultado final.
Portanto, a estatística tem como objetivo principal tirar conclusões com 
base nos resultados observados, levando em consideração todos os fatores 
envolvidos no estudo.
“[...] As aplicações na área de biometria (medicina, biologia, agronomia, psicologia 
etc.), bem como nas ciências humanas, que tiveram enorme importância no desenvolvimento 
dos métodos estatísticos. Recentemente, até mesmo áreas que tradicionalmente não faziam 
análises baseadas em métodos quantitativos estão empregando modelos estatísticos 
extremamente sofisticados na pesquisa científica.Como exemplo, pode-se citar o uso de 
modelos logísticos em estudos de variação linguística, na sociolinguística [...]” (INSTITUTO DE 
MATEMÁTICA DA UFRGS).
NOTA
3 CONCEITOS APLICADOS À ESTATÍSTICA
Alguns conceitos são importantes, para que você saiba, como proceder, ou 
levantar seus dados em campo, ou fazer comparações de dados ou entre dados.
Vamos a eles:
• População: é qualquer conjunto de informações que tenham entre si uma 
característica comum (DORIA FILHO, 1999). Ex.: Num bairro, o conjunto das 
estaturas de todos os moradores constitui uma “população de estaturas”, e o 
tamanho de uma população é expressa pela letra N (maiúscula).
• Amostras: são subconjuntos representativos de uma dada população (DORIA 
FILHO, 1999). Esta amostra deve representar de forma significativa seus valores 
quantitativos e qualitativos, e ela é expressa pela letra n (minúscula).
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
6
• Hipótese: Segundo Kato (2015, p. 01), “em estatística, é uma suposição 
formulada a respeito dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade de 
uma ou mais populações. Esta hipótese será testada com base em resultados 
amostrais, sendo aceita ou rejeitada. Ela somente será rejeitada se o resultado 
da amostra for claramente improvável de ocorrer quando a hipótese for 
verdadeira. Consideremos Ho a hipótese nula, e H1 a hipótese alternativa a ser 
testada (complementar de Ho). O teste pode levar à aceitação ou rejeição de Ho, 
que corresponde, respectivamente, à negação ou afirmação de H1”.
• Nível de significância de um teste (α): é a probabilidade máxima de rejeitar 
Ho. Se, por exemplo, utilizarmos o nível de significância de 5%, a hipótese nula 
(Ho) será rejeitada somente se o resultado da amostra for tão diferente do valor 
suposto que uma diferença igual ou maior ocorreria com uma probabilidade 
máxima de 0,05. Na prática, o valor de α é fixo (geralmente, α = 0,01 ou 0,05 ou 
0,10) (KATO, 2015).
• Variável aleatória: De acordo com Battisti e Battisti (2008), são as características 
de uma população ou uma amostra. Para o exemplo dado, as variáveis aleatórias 
são as questões que o instrumento de coleta de dados (também chamado 
de questionário) contempla, por exemplo: idade, estado civil, escolaridade, 
número de filhos, qual atividade exerce, tempo que exerce a atividade, quantas 
horas trabalha por semana, se é autônomo ou empregado, e muitas outras. 
Classificamos as variáveis aleatórias em qualitativas e quantitativas: 
- As variáveis qualitativas têm seus valores (respostas para cada questão do 
questionário) não numéricos, como sexo, estado civil, nível de escolaridade, 
bairro, profissão, nível de satisfação. As variáveis quantitativas têm seus 
valores numéricos, tais como: idade, peso, salário, tempo de serviço, 
número de filhos. As variáveis qualitativas são subdivididas em nominais e 
ordinais. Quando as diferentes categorias (respostas) não têm relação entre 
si, ou seja, são independentes, classificamos a variável como qualitativa 
nominal, por exemplo, sexo, estado civil, curso de graduação e bairro. Por 
outro lado, quando as categorias têm uma relação entre si, geralmente 
atribuindo níveis, como o nível de escolaridade e o grau de satisfação do 
cliente, são denominadas qualitativas ordinais. 
- As variáveis quantitativas são subdivididas em discretas e contínuas. Motta e 
Wagner (2003) descrevem que as variáveis quantitativas discretas assumem 
somente valores numéricos inteiros, como: número de filhos, número de 
alunos, número de computadores. Já as variáveis quantitativas contínuas 
podem assumir qualquer valor numérico, resultado de uma medida dentro 
de um certo intervalo de variação possível, como: peso, idade e salário.
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TÓPICO 1 | CONCEITOS APLICADOS À ESTATÍSTICA
7
FIGURA 2 - RESUMO DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
FONTE: Adaptado de Battisti e Battisti (2008)
• Dados primários e dados secundários: De acordo com Battisti e Battisti (2008), 
os dados primários estão disponíveis na sociedade (idade, sexo, estado civil) e 
os secundários estão organizados de alguma forma, geralmente, nos meios de 
comunicação e publicações científicas (tabelas, gráficos).
O texto a seguir foi retirado, na íntegra, do site do Instituto de Matemática da 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Nele você conhecerá o começo da história da 
estatística, e seus principais percursores.
HISTÓRIA DA ESTATÍSTICA
A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS 
(Estado). Há indícios de que há 3.000 anos a.C. já se faziam censos na Babilônia, 
China e Egito; até mesmo o 4º livro do Velho Testamento faz referência a uma 
instrução dada a Moisés para que fizesse um levantamento dos homens de Israel 
que estivessem aptos para guerrear. Usualmente, estas informações eram utilizadas 
para a taxação de impostos ou para o alistamento militar. O Imperador César 
Augusto, por exemplo, ordenou que se fizesse o censo de todo o Império Romano.
A palavra CENSO é derivada da palavra CENSERE, que em latim 
significa TAXAR. Em 1085, Guilherme, o Conquistador, solicitou um 
levantamento estatístico da Inglaterra, que deveria conter informações sobre 
terras, proprietários, uso da terra, empregados e animais. Os resultados deste 
censo foram publicados em 1086, no livro intitulado “Domesday Book”, e 
serviram de base para o cálculo de impostos.
LEITURA COMPLEMENTAR
Variável 
Aleatória
Qualitativa
Ordinal
Nominal
Quantitativa
Discreta
Contínua
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 7Estatística e Indicadores Ambientais.indd 7 17/01/2023 14:37:0717/01/2023 14:37:07
UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
8
Contudo, mesmo que a prática de coletar dados sobre colheitas, composição 
da população humana ou de animais, impostos etc. fosse conhecida pelos egípcios, 
hebreus, caldeus e gregos, e se atribua a Aristóteles cento e oitenta descrições de 
estados, apenas no século XVII a Estatística passou a ser considerada disciplina 
autônoma, tendo como objetivo básico a descrição dos BENS do Estado.
A palavra Estatística foi cunhada pelo acadêmico alemão Gottfried 
Achenwall (1719-1772), que foi um notável continuador dos estudos de Hermann 
Conrig (1606-1681). A escola alemã atingiu sua maturidade com A. L. von Schlozer 
(1735-1809), mas sempre com ideias diferentes daquelas que fundamentaram 
a Estatística Moderna. Com algum exagero, pode-se dizer que o seu principal 
legado foi o termo “STAATENKUNDE”, que deu origem à designação atual. Na 
Enciclopédia Britânica, o verbete “STATISTICS” apareceu em 1797.
Em contraposição à natureza eminentemente qualitativa da escola 
alemã, na Inglaterra do século XVII surgiram os aritméticos políticos, dentre os 
quais destacaram-se John Graunt (1620-1674) e William Petty (1623-1687). Eles 
preocuparam-se com o estudo numérico dos fenômenos sociais e políticos, na busca 
de leis quantitativas que pudessem explicá-los. O estudo consistia essencialmente 
de exaustivas análises de nascimentos e mortes, realizadas através das Tábuas de 
Mortalidade, que deram origem às atuais Tábuas de Mortalidade usadas pelas 
companhias de seguros. Um dos resultados mais importantes foi a constatação de 
que o percentual de nascimento de crianças do sexo masculino (51%) é levemente 
superior ao do sexo feminino (49%). Dessa forma, a escola dos aritméticos políticos 
pode ser considerada o berço da Demografia. Um de seus mais notáveis adeptos foi 
o pastor alemão Sussmilch (1707-1767), com o qual pode-se dizer que a Estatística 
aparece pela primeira vez como meio indutivo de investigação.
Na última metade do século XIX, os alemães Helmert (1843-1917) e 
Wilhelm Lexis (1837-1914), o dinamarquês ThorvaldNicolai Thiele (1838-1910) e o 
inglês Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926) obtiveram resultados extremamente 
valiosos para o desenvolvimento da Inferência Estatística, muitos dos quais só 
foram completamente compreendidos mais tarde. Contudo, o impulso decisivo 
deve-se a Karl Pearson (1857-1936), William S. Gosset (1876-1937) e, em especial, 
a Ronald A. Fisher (1890-1962).
Karl Pearson (1857-1936) formou-se em 1879 pela Cambridge University 
e, inicialmente, dedicou-se ao estudo da evolução de Darwin, aplicando os 
métodos estatísticos aos problemas biológicos relacionados com a evolução e 
hereditariedade. Em 1896, Pearson foi eleito membro da Royal Society of London.
Entre 1893 e 1912 escreveu um conjunto de 18 artigos denominado 
Mathematical Contribution to the Theory Evolution, com contribuições extremamente 
importantes para o desenvolvimento da teoria da Análise de Regressão e do 
Coeficiente de Correlação, bem como do teste de hipóteses de qui-quadrado. Em 
sua maioria, seus trabalhos foram publicados na revista Biometrika, que fundou 
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TÓPICO 1 | CONCEITOS APLICADOS À ESTATÍSTICA
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em parceria com Walter Frank Raphael Weldon (1860-1906) e Francis Galton 
(1822-1911). Além da valiosa contribuição que deu para a teoria da regressão e 
da correlação, Pearson fez com que a Estatística fosse reconhecida como uma 
disciplina autônoma. Uma coleção de seus artigos foi publicada em “Karl Pearson 
Early Statistical Papers” (Ed. por E. S. Pearson, Cambridge University Press, 1948). 
Para ver uma relação de alguns trabalhos publicados por Karl Pearson
William Sealey Gosset (1876-1937) estudou Química e Matemática na New 
College Oxford. Em 1899, foi contratado como Químico da Cervejaria Guiness 
em Dublin, desenvolvendo um trabalho extremamente importante na área de 
Estatística. Devido à necessidade de manipular dados provenientes de pequenas 
amostras, extraídas para melhorar a qualidade da cerveja, Gosset derivou o teste 
t de Student baseado na distribuição de probabilidades.
Esses resultados foram publicados em 1908 na revista Biometrika, sob 
o pseudônimo de Student, dando origem a uma nova e importante fase dos 
estudos estatísticos. Gosset usava o pseudônimo de Student, pois a Cervejaria 
Guiness não desejava revelar aos concorrentes os métodos estatísticos que estava 
empregando no controle de qualidade da cerveja. Os estudos de Gosset podem 
ser encontrados em “Student Collected Papers” (Ed. por E.S.Pearson e J. Wishart, 
University College, Londres, 1942). 
A contribuição de Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) para a Estatística 
Moderna é, sem dúvidas, a mais importante e decisiva de todas. Formado 
em astronomia pela Universidade de Cambridge, em 1912, foi o fundador do 
célebre Statistical Laboratory da prestigiosa Estação Agronômica de Rothamsted, 
contribuindo enormemente tanto para o desenvolvimento da Estatística quanto 
da Genética. Ele apresentou os princípios de planejamento de experimentos, 
introduzindo os conceitos de aleatorização e da Análise da Variância, 
procedimentos muito usados atualmente.
No princípio dos anos 20, estabeleceu o que a maioria aceita como a 
estrutura da moderna Estatística Analítica, através do conceito da verossimilhança 
(likelihood, em inglês). O seu livro intitulado “Statistical Methods for Research 
Workers”, publicado pela primeira vez em 1925, foi extremamente importante 
para familiarizar os investigadores com as aplicações práticas dos métodos 
estatísticos e, também, para criar a mentalidade estatística entre a nova geração de 
cientistas. Os trabalhos de Fisher encontram-se dispersos em numerosas revistas, 
mas suas contribuições mais importantes foram reunidas em “Contributions to 
Mathematical Statistics” (J. Wiley & Sons, Inc., Nova Iorque, 1950).
Fisher foi eleito membro da Royal Society em 1929 e condecorado com as 
medalhas Royal Medal of the Society e Darwin Medal of the Society em 1938 e 
em 1948, respectivamente. Em 1955, foi novamente condecorado, desta vez com a 
medalha Copley Medal of the Royal Society.
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
10
Outra área de investigação extremamente importante para o 
desenvolvimento da Estatística é a Teoria das Probabilidades. Usualmente, 
costuma-se atribuir a origem do Cálculo de Probabilidades às questões relacionadas 
aos jogos de azar que o célebre cavaleiro Méré (1607-1684) encaminhou à Blaise 
Pascal (1623-1662).
No entanto, outros autores sustentam que o Cálculo de Probabilidades 
teve a sua origem na Itália, com especial referência para Luca Pacioli (1445-1517), 
Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557) e Galileo 
Galilei (1564-1642).
Três anos depois de Pascal ter previsto que a “aliança do rigor geométrico” 
com a “incerteza do azar” daria lugar a uma nova ciência, Christiaan Huygens 
(1629-1695) publicou o trabalho denominado “De Raciociciis in Ludo Aleae”, que é 
considerado o primeiro livro sobre o Cálculo de Probabilidades. Além disso, ainda 
teve a notável particularidade de introduzir o conceito de esperança matemática.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) também dedicou-se ao 
estudo do Cálculo de Probabilidades, publicando um trabalho sobre a “arte 
combinatória” e outro sobre aplicações às questões financeiras. Leibniz 
também estimulou Jacques Bernoulli (1654-1705) ao estudo do Cálculo 
de Probabilidades, cuja grande obra, denominada “Ars Conjectandi”, foi 
publicada oito anos após a sua morte.
Em Ars Conjectandi, de Jacques Bernoulli, foi publicada e rigorosamente 
provada a Lei dos Grandes Números de Bernoulli, considerado o primeiro 
teorema limite. Pode-se dizer que, graças às contribuições de Bernoulli, o Cálculo 
de Probabilidades adquiriu o status de ciência.
Além da obra póstuma de Bernoulli, o início do século XVII foi marcado 
pelos livros de Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), denominado Essai 
d’Analyse sur les Jeux de Hazard, e de Abraham De Moivre (1667-1754), intitulado 
The Doctrine of Chances.
De Moivre era francês de nascimento, mas desde a sua infância refugiou-
se na Inglaterra devido às guerras religiosas, fazendo aplicações ao cálculo de 
anuidades e estabelecendo uma equação simples para a lei da mortalidade entre 22 
anos e o limite da longevidade que fixou em 86 anos. Mais tarde, na “Miscellanea 
Analytica”, apresentou resultados aos quais Laplace deu uma forma mais geral e 
que constituem o segundo teorema limite.
É extremamente importante falar, também, do reverendo Thomas Bayes 
(1702-1761), a quem se deve o conceito de probabilidade inversa, relacionado com 
situações em que se caminha do particular para o geral. No seu livro denominado 
“Essay towards solving a problem of the doctrine of chances” (Philosophical 
Transactions of the Royal Society of London, 1764-65, póstumo), Bayes formula, 
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TÓPICO 1 | CONCEITOS APLICADOS À ESTATÍSTICA
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através do teorema que leva seu nome e do postulado que tantas vezes se lhe 
associa, a primeira tentativa de matematização da inferência Estatística. Mesmo 
sem ter publicado nenhum trabalho com seu nome, em 1742 Thomas Bayes foi 
eleito membro da Royal Society of London.
Os estudos dos astrônomos Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Johann 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-
1874) foram fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo de Probabilidades. 
Devido aos novos métodos e ideias, o trabalho de Laplace de 1812, intitulado 
“Théorie Analytique des Probabilités”, até o presente é considerado um dos mais 
importantes trabalhos sobre a matéria.
Johann Carl Friedrich Gauss,professor de astronomia e diretor do 
Observatório de Gottingen, em 1809, apresentou o estudo intitulado “Theoria 
combinationis Observatorium Erroribus Minimis Obnoxia”, explanando uma 
teoria sobre a análise de observações aplicável a qualquer ramo da ciência, 
alargando o campo de aplicação do Cálculo de Probabilidades.
Com Lambert Adolphe Jacques Quetelet, por sua vez, inicia-se a aplicação 
aos fenômenos sociais. O seu escrito “Sur l’homme et le développement de ses 
facultés” foi publicado em segunda edição com o título “Physique sociale ou 
Essai sur le développement des facultés de l’homme”, que incluía pormenorizada 
análise da teoria da probabilidade. Quetelet introduziu também o conceito de 
“homem médio” e chamou particular atenção para a notável consistência dos 
fenômenos sociais. Por exemplo, mostrou que fatores como a criminalidade 
apresentam permanências em relação a diferentes países e classes sociais.
Antoine Augustin Cournot (1801-1877) percebeu a importância da Teoria 
das probabilidades na análise estatística, tendo sido o pioneiro no tratamento 
matemático dos fenômenos econômicos. Suas ideias foram publicadas em 
“Exposition de la théorie des chances et des probabilités”.
Na segunda metade do século XIX, a Teoria das Probabilidades atingiu um 
dos pontos mais altos com os trabalhos da escola russa fundada por Pafnuty Lvovich 
Chebyshev (1821-1894), que contou com representantes como Andrei Andreyevich 
Markov (1856-1922) e Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918).
Contudo, o seu maior expoente foi Andrey Nikolayevich Kolmogorov (1903-
1987), a quem se deve um estudo indispensável sobre os fundamentos da Teoria 
das Probabilidades, denominado “Grundbegrife der Warscheinlichkeitrechnung”, 
publicado em 1933. Em 1950, foi traduzido para o Inglês sob o título “Foundations 
of Probability”.
FONTE: Disponível em: <http://www.ufrgs.br/mat/graduacao/estatistica/historia-da-estatistica>. 
Acesso em: 19 abr. 2015.
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12
Neste tópico você viu que:
• A estatística tem como definição: a ciência de coletar, organizar, apresentar, 
analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores 
decisões. 
• Estatística Descritiva como sendo: os procedimentos usados para organizar, 
resumir e apresentar dados numéricos.
• Estatística Indutiva ou Inferencial como a coleção de métodos e técnicas 
utilizados para se estudar uma população baseados em amostras probabilísticas 
desta mesma população.
• Bioestatística é voltada ao planejamento, à avaliação e interpretação de dados 
biológicos.
RESUMO DO TÓPICO 1
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13
AUTOATIVIDADE
1 Qual é a definição de bioestatística? E de que forma ela pode se 
apresentar?
2 Com relação à leitura complementar, faça um resumo cronoló-
gico sobre a estatística.
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TÓPICO 2
MÉTODOS ESTATÍSTICOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, você irá perceber que estatística não é um cálculo fixo, 
dependendo do que você realizará, ou a forma que conduzirá seu experimento, 
irá também alterar o curso de seus cálculos.
Você irá ver que os dados possuem denominações dentro da estatística, e 
conforme você conduz seu experimento, irá ver que o tamanho amostral pode ser 
verificado em formas diferentes para ter o valor.
2 MÉTODOS
Quando você se prepara para viajar, você se organiza, coloca a roupa na 
mala e, sem querer, está seguindo um método para que não se esqueça de nada. 
A estatística funciona assim também, isto é, você possui um conjunto de 
dados pertinentes para chegar a um determinado resultado, os quais podem ser 
experimentais e estatísticos.
2.1 MÉTODO EXPERIMENTAL
O próprio nome já diz: é um método que consiste, através da 
experimentação, manter constante todas as causas (fatores), menos uma, 
variando-a de modo que se possa descobrir seus efeitos, caso existam. Esse 
método passa por várias etapas: observação, hipótese, experimentação e teoria. 
A pesquisa experimental procura entender de que modo ou por quais causas 
o fenômeno é produzido, sendo utilizada nos diversos campos da atividade 
humana, bem como nas disciplinas de física, química, biologia, entre outras. 
Vantagens e desvantagens: possibilita conhecimento mediante 
procedimentos experimentais, porém, por exigir previsão e controle, torna-se, às 
vezes, inviável para objetos sociais. A pesquisa experimental exige um plano ou 
protocolo do experimento com passos bem definidos. 
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
16
2.2. MÉTODO ESTATÍSTICO
Com certa frequência, torna-se impossível fazer uso do método 
experimental, isso se deve porque não é possível manter constantes todos os 
fatores que envolvem um determinado fenômeno de estudo, pois cada variação 
que ocorrer você deve registrar e procurar determinar, no resultado final, que 
influências cabem a cada uma delas, ou seja, é muito importante controlar as 
variáveis que podem interferir em seu experimento.
2.3 IMPORTÂNCIA DA ESCOLHA DO MÉTODO
Quando você realizar um experimento, deve se ater ao que você deseja 
como resultado final, ou seja, o que você pretende com esta pesquisa, que tipo 
de conclusões quer tirar do estudo que se propôs a fazer, por isso é importante 
a escolha do método, lembrando que, na estatística descritiva, a coleta, a 
organização, a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes 
pertencem a este método, enquanto que a análise e a interpretação dos dados, 
associadas a uma margem de incerteza, ficam a cargo do método estatístico.
3.1 PLANEJAMENTO – DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
3 ETAPAS DO TRABALHO ESTATÍSTICO
Uma vez definido o problema que se deseja resolver, você irá trazer as 
observações (informações) colhidas de uma determinada população.
Exemplo: numa determinada região, há o crescimento excessivo de 
uma alga que está prejudicando o ambiente local. E isto chamou sua atenção. 
Você, em campo, observa como o ambiente se apresenta; tenta verificar qual 
a origem dessa explosão populacional; verifica se há apenas uma espécie 
ou mais nesta área, estuda as condições ambientais (temperatura, umidade, 
pluviosidade, entre outras) etc.
Você faz todo o estudo, verificando quais informações são as mais 
relevantes para o caso.
Eles podem ser:
• Direta: quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório ou 
coletados pelo próprio pesquisador. Essa coleta pode ser contínua, periódica 
ou ocasional.
3.2 COLETA DE DADOS
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TÓPICO 2 | MÉTODOS ESTATÍSTICOS
17
• Indireta: quando é feita com base em elementos já pesquisados (revista, jornal, 
livros etc.)
Na coleta de dados, podemos ter: 
• Dados discretos - resultam de contagens de eventos. Exemplo: número de 
filhos, número de batimentos cardíacos por minuto.
• Dados contínuos - estes dados são obtidos de algum tipo de medição: altura, 
peso, pressão arterial, temperatura corporal.
• Rankings ou postos – ocasionalmente, os dados representam a posição relativa 
dos membros de um grupo com relação a algum ranking. A posição de um 
indivíduo neste ranking é chamada de posto.
• Porcentagens - é necessário ter cuidado quando os dados com os quais se 
trabalha são porcentagens observadas.
• Escores - são usados quando não é possível fazer medições diretas.Em sua 
forma mais simples, estes sistemas numéricos classificam uma característica 
em diversas categorias segundo a opinião de um indivíduo. Por exemplo, a 
dor de um ferimento pode ser classificada como leve, moderada ou severa, 
podendo ser designado um valor numérico a cada categoria. Deve ser notado 
que estas escalas são subjetivas.
• Dados censurados - uma observação é chamada censurada se não pode 
ser medida de forma precisa, mas sabe-se que está além, ou aquém, de um 
limite. Por exemplo, em alguns experimentos existe um período fixo de 
acompanhamento, sendo a variável de interesse o tempo para aparecer um 
sintoma ou desaparecer alguma condição específica.
3.3 TAMANHO AMOSTRAL
Essa é sempre a maior dúvida dos pesquisadores: qual deve ser o 
tamanho de minha amostra? Esse é um ponto importante na pesquisa e, para 
realizar o cálculo do tamanho da amostra, segundo Motta e Wagner (2003), deve-
se entender que o procedimento é totalmente baseado em pressuposições que o 
pesquisador faz em relação aos dados que irá encontrar. Nesse contexto, há dois 
tipos de estimativas para o tamanho amostral: cálculo para estudos analíticos e 
cálculo para estudos descritivos.
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
18
3.3.1 Estudos analíticos
Segundo Motta e Wagner (2003, p. 171), “[...] o primeiro passo é estabelecer 
a sua hipótese de pesquisa, para que possam identificar o tipo de variável 
envolvida e o tipo de teste estatístico para a qual há fórmula disponível, fixando 
os níveis máximos de erro do tipo I (α) e do tipo II (β) o tamanho amostral é 
facilmente calculado [...]”.
Ainda segundo os autores, dentro do estudo analítico temos a variável 
quantitativa e a variável qualitativa.
Na variável quantitativa, você deve comparar dois grupos, devendo-se 
estimar:
Média esperada no grupo 1.
Média esperada no grupo 2.
Dispersão da variável nos dois grupos (usar desvio-padrão).
Com a diferença das médias, pode-se saber qual o efeito mínimo a ser 
detectado pelo estudo.
Eis a fórmula:
Sendo:
Zα: valor de Z na curva normal segundo α (geralmente bicaudal).
Zβ: valor de Z na curva normal segundo β (sempre unicaudal).
Sa: desvio-padrão no grupo a.
Sb: desvio-padrão no grupo b.
X Xa b− : diferença mínima a ser detectada no estudo.
Esta fórmula apresenta o tamanho amostral mínimo necessário por grupo, 
supondo grupos de tamanhos iguais e que corriqueiramente são utilizados α 
(0,05) e β (0,10) (MOTTA; WAGNER, 2003).
A variável qualitativa, de acordo com Motta e Wagner (2003), relata que, 
no caso de proporções, tudo que se precisa são os valores das proporções a serem 
testados. Eis a fórmula a seguir:
n
Z p q p q Z p q
p p
a a b b
a b
�
� �
�� �
� � 2 0 0
2
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 18Estatística e Indicadores Ambientais.indd 18 17/01/2023 14:37:1017/01/2023 14:37:10
TÓPICO 2 | MÉTODOS ESTATÍSTICOS
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Onde:
Zα: valor de Z na curva normal segundo α (geralmente bicaudal).
Zβ: valor de Z na curva normal segundo β (sempre unicaudal).
pa: proporção no grupo a.
qa: complemento do pa, ou seja, (1-pa).
pb: proporção no grupo b.
qb: complemento do pb, ou seja, (1-pb).
p0: proporção ponderada; p0=(xa+xb)/(na+nb), onde x é o nº de eventos 
observados.
qb= complemento de p0, ou seja, (1-p0).
pa-pb= diferença mínima a ser detectada no estudo.
Assim, como na fórmula anterior, a fórmula apresenta n mínimo por grupo 
para testagem de um efeito; em proporções, os valores mais corriqueiramente 
utilizados para α é 0,05 e para β é 0,20 (MOTTA; WAGNER, 2003).
3.3.2 Estudos descritivos
De acordo com Motta e Wagner (2003),
em estudos descritivos, ou seja, estimativa de parâmetros quantitativos 
(μ) ou qualitativos (π) a estimativa do tamanho amostral baseia-se 
essencialmente na margem do erro que será aceita no intervalo de 
confiança do parâmetro, usando-se o α, mas sem necessidade de fixar 
β e efeito mínimo a testar.
 Ainda segundo os autores, dentro do estudo descritivos temos a variável 
quantitativa e a variável qualitativa.
A variável quantitativa, após fixar o α, determina o valor esperado para 
o desvio padrão da variável e qual sua margem de erro máxima tolerável, ou 
seja, qual a diferença máxima (para cima ou para baixo) que será aceitável pelo 
pesquisador errar em relação ao parâmetro.
Eis a fórmula: n
Z S
ME
�
� �
�
�4
2
2 2
2
�Z
Onde:
Zα: valor de Z na curva normal segundo α (geralmente bicaudal).
S: desvio-padrão da variável.
ME: margem de erro máximo tolerável em relação ao parâmetro.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 19Estatística e Indicadores Ambientais.indd 19 17/01/2023 14:37:1117/01/2023 14:37:11
UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
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Já com a variável qualitativa, estima-se em que faixa de valor se espera 
que seja o parâmetro (p. e 0,10; 0,50 ou 0,80) e, em seguida, qual a margem de erro 
máxima tolerável. 
Segue a fórmula: n
Z pq
ME
�
� �
4
2
2
2
� �p
Onde:
Zα: valor de Z na curva normal segundo α (geralmente bicaudal).
p: estimativa inicial da proporção.
q: complemento de p, ou seja, (1-p).
ME: margem de erro máximo tolerável em relação ao parâmetro.
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Neste tópico você viu que:
• Método experimental é um método que, através da experimentação, mantém 
constante todas as causas (fatores), menos uma, variando-a de modo que se 
possa descobrir seus efeitos, caso existam. Esse método passa por várias etapas: 
observação, hipótese, experimentação e teoria.
• No método estatístico é muito importante controlar as variáveis que podem 
interferir em seu experimento.
• A coleta de dados pode ser direta, ou seja, quando feita sobre elementos 
informativos de registro obrigatório ou coletados pelo próprio pesquisador, 
podendo ser contínua, periódica ou ocasional; e indireta, ou seja, quando é 
feita com base em elementos já pesquisados (revista, jornal, livros etc.).
 
• Dependendo da estatística que você irá aplicar, o tamanho amostral vai variar 
entre o analítico e o descritivo.
RESUMO DO TÓPICO 2
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22
1 Descreva as diferenças entre o método estatístico e o experi-
mental.
AUTOATIVIDADE
2 A coleta de dados pode ser:
3 Os dados podem se apresentar de que forma?
4 Em relação ao tamanho amostral, descreva as diferenças do 
cálculo para estudos analíticos e do cálculo para estudos 
descritivos.
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TÓPICO 3
APRESENTAÇÃO DE DADOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Gráficos, como equações e tabelas, mostram como se relacionam duas ou 
mais grandezas físicas. Como investigar quais são as relações existentes entre as 
grandezas constitui grande parte do trabalho, tanto experimental como teórico, 
em física; equações, tabelas e gráficos são importantes ferramentas.
Assim, uma boa forma de analisar um conjunto de dados experimentais 
e resumir os resultados é colocá-los em um gráfico. É importante fornecer, no 
gráfico, toda a informação necessária que permita sua leitura correta e simples. 
Neste tópico, você irá ver como se monta uma tabela de dados, bem como 
as diversas formas que se apresentam os gráficos.
2 TABELAS ESTATÍSTICAS
De acordo com Almeida, Araújo e Ramos (2009), a apresentação tabular é 
uma apresentação numérica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas 
e colunas distribuídos de modo ordenado, segundo algumas regras práticas 
adotadas pelos diversos sistemas estatísticos. As regras que prevalecem no Brasil 
foram fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística.
Tabela: é uma maneirade apresentar de forma resumida um conjunto 
de observações (dados). As tabelas têm a vantagem de conseguir expor 
organizadamente, em um só local, os resultados sobre determinado assunto, de 
modo a se obter uma visão global mais rápida daquilo que se pretende analisar 
(ALMEIDA; ARAÚJO; RAMOS, 2009).
Uma tabela compõe-se de: título, corpo (cabeçalho, colunas (indicadoras 
e numéricas)) e rodapé.
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
24
FIGURA 3 - PRINCIPAIS ELEMENTOS DA TABELA
FONTE: Almeida, Araújo e Ramos (2009)
Principais elementos da tabela, de acordo dom Almeida, Araújo e Ramos 
(2009):
• Título da tabela: localizado no topo, deve conter as informações mais completas 
possíveis, além de conter a palavra “TABELA” e com sua respectiva numeração.
• Corpo da tabela: é o conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre 
a variável de estudo; observando que:
- Na parte superior da tabela há o cabeçalho da coluna, que especifica o 
conteúdo da coluna. 
- Verticalmente, tem-se as colunas (indicadora e numérica), onde a coluna 
indicadora é aquela que especifica o conteúdo das linhas e, na coluna 
numérica, os valores numéricos destas linhas.
• Rodapé: localizado na parte inferior da tabela, e contém informações sobre o 
responsável (fonte). Algum texto esclarecedor do conteúdo da tabela (nota) e 
algum símbolo remissível atribuído a algum elemento que necessite de uma 
nota (chamada).
Não se delimita, ou seja, fechar as laterais da tabela. Usa-se um traço horizontal 
(-) quando o dado for nulo; usa-se [...] quando não se dispuser de dados, embora ele possa 
ser quantificado; e usa-se zero (0) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela 
unidade utilizada; também usa-se (?) quando temos dúvidas na unidade.
Adotar as configurações de tamanho do título, bem como o tamanho da fonte e demais 
informações conforme as configuração das normas brasileiras - NBR 14724/2011.
IMPORTANTE
Corpo
da
tabela
Título: o que? Quando? Onde?
Rodapé: fontes, notas, observações
cabeçalho
Coluna indicadora Coluna numérica O cruzamento de linha com 
coluna chama-se casa ou célula
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TÓPICO 3 | APRESENTAÇÃO DE DADOS
25
Séries estatísticas: é um conjunto de dados estatísticos referenciados a 
seguintes fatores: tempo, local e fenômeno.
A seguir, alguns exemplos fictícios:
1º) Série temporal ou cronológica: nesta série, o elemento de variação é o tempo 
(dia, mês, ano etc.)
TABELA 1- QUANTIDADE DE SCHINUS TEREBINTHIFOLIUS (AROEIRA), ENCONTRADA 
NA ÁREA DE PRESERVAÇÃO PERMANENTE DA LOCALIDADE DE TIJUCA, NUM 
PERÍODO DE 2012 A 2014.
FONTE: O autor
2º) Série geográfica: o elemento de variação é o lugar (município, bairro, país, 
escola etc).
TABELA 2 - A ESPÉCIE PASSER DOMESTICUS (PARDAL), CATALOGADOS PARA COLETA 
DE SANGUE E MAPEAMENTO GENÉTICO EM TRÊS ESTADOS BRASILEIROS
3º) Série especificativa: o elemento de variação é a espécie (material escolar, 
remédios, fauna, flora, produto de uma fábrica etc.).
FONTE: O autor
TABELA 3 - QUANTIDADE DE CADA ESPÉCIE ENCONTRADA NO ESTADO DE 
SANTA CATARINA NO ANO DE 2013
FONTE: O autor
Espécies Quantidade
Cedrela fissilis 2.458
Ocotea porosa 3.587
Nectandra lanceolata 7.598
Estados Quantidade
Pará 2.458
São Paulo 3.587
Minas Gerais 7.598
Anos Quantidade
2012 14
2013 20
2014 05
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
26
4º) Série mista: é a junção de duas ou mais séries simples (geográfica, especificativa 
ou temporal)
TABELA 4 - CASOS DE DENGUE REGISTRADOS NUM PERÍODO DE 4 ANOS, EM 4 MUNICÍPIOS 
ESCOLHIDOS ALEATORIAMENTE
FONTE: O autor (2015)
3 DISTRIBUIÇÃO POR FREQUÊNCIA
Por constituir-se um tipo de tabela importante para a Estatística Descritiva, 
faremos um estudo com toda distribuição de frequências. Uma distribuição 
de frequências condensa um grande número de dados numa tabela, de modo 
que 100, 200, 500 ou um número qualquer de valores pode ser representado em 
poucas linhas. É uma série estatística específica em que os dados encontram-se 
dispostos em classes ou categorias junto às suas frequências correspondentes. 
Neste caso, todos os elementos são fixos (época, local, fenômeno). A distribuição 
de frequência pode ser por intervalo ou por pontos, sendo que isto depende muito 
da quantidade de informações que você tiver ou do tipo da variável.
Municípios
Anos
2011 2012 2012 2014
Florianópolis 4 - 14 5
Blumenau 8 14 11 -
Tijucas 7 13 8 4
Lajes - 5 12 3
3.1 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR PONTOS
É uma série estatística na qual a variável observada está dividida em 
subintervalos do intervalo total observado, e o tempo, a espécie e a região 
permanecem fixos.
Usada para variáveis qualitativas ou quantitativas discretas com poucos 
valores diferentes. As observações são representadas em uma tabela de frequências, 
não agrupadas em classes. Exemplos: número de acidentes de trabalho na 
Empresa X; quantidade de livros de estatística na biblioteca da UNIASSELVI. Eis 
um exemplo de distribuição de frequências para variável discreta:
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TÓPICO 3 | APRESENTAÇÃO DE DADOS
27
TABELA 5 - NÚMERO DE ACIDENTES DE TRABALHO EM PEQUENAS EMPRESAS 
DA CIDADE DE PORTO ALEGRE (2013)
FONTE: O autor (2015)
Xi = identifica as categorias em que o fato se subdivide. 
fi = corresponde à frequência absoluta, isto é, o número de vezes que cada 
uma das categorias ocorre. 
N = soma dos fi = total de elementos observados na população. 
n = soma dos fi 
Nº de acidentes (Xi)
Número de Empresas
(fi)
0 35
1 20
2 14
3 18
4 06
5 ou mais 38
Total 131
3.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR INTERVALOS
Usada para variáveis quantitativas contínuas ou discretas com muitos 
valores diferentes, sendo as variáveis observadas representadas sob a forma de 
intervalos. Geralmente, esta variável provém de medições.
Vamos ao exemplo:
X = Notas finais de 50 estudantes da disciplina de estatística
22 46 9 40 57 22 22 13 50 42
35 2 15 41 34 52 32 75 69 44
26 42 60 56 30 3 17 79 45 37
0 12 62 50 45 41 59 11 66 39
43 33 70 50 47 20 36 40 67 29
Então, a distribuição de frequência será expressa pela tabela:
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
28
TABELA 6 – NOTAS FINAIS DOS ESTUDANTES DA DISCIPLINA DE 
ESTATÍSTICA –2009/1
FONTE: Fioreze e Marques (2015)
Notas fi
0 I--- 10 4
10 I--- 20 5
20 I--- 30 6
30 I--- 40 8
40 I--- 50 12
50 I--- 60 7
60 I--- 70 5
70 I--- 80 3
Total 50
fi é a frequência absoluta das classes, ou seja, quantas vezes ele aparece dentro 
dessa classe.
NOTA
A seguir, o passo a passo para a tabela de frequências (FIOREZE; 
MARQUES, 2015).
1. Dados Brutos: são os dados originais conforme eles foram coletados, 
não estando, portanto, numericamente organizados ou tabelados. Como exemplo 
tem-se as 50 notas dos alunos. 
2. Rol : é uma lista, onde os valores são dispostos em ordem crescente ou 
decrescente. No exemplo das notas, o rol é:
0 2 3 9 11 12 13 15 17 20
22 22 22 26 29 30 32 33 34 35
36 37 39 40 40 41 41 42 42 43
44 45 45 46 47 50 50 50 52 56
57 9 60 62 66 67 69 70 75 79
3. Amplitude Total (H): é a diferença entre o maior valor e o menor valor 
observado da variável em estudo.
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TÓPICO 3 | APRESENTAÇÃODE DADOS
29
H = Xmáx -Xmín 
No nosso caso, a nota maior é 79 é a menor é 0; logo, nossa amplitude total 
é H = 79 -0 = 79. 
Cumpre observar que, quando não dispusermos dos dados, o cálculo da 
amplitude se fará levando-se em consideração a diferença entre o limite superior 
da última classe e o limite inferior da primeira classe.
4. Limites de Classe: são os números extremos de cada intervalo: sendo 
assim, temos um limite inferior e um superior. Se a primeira classe tiver um 
intervalo de notas de 0 até 10, o 0 será o limite inferior enquanto que o 10 será o 
limite superior desta classe.
5. Classe: é cada um dos intervalos em que os dados são agrupados. 
Existem várias maneiras de apresentarmos o intervalo de classes: iguais ou 
diferentes entre si. Porém, sempre que possível, deveremos optar por intervalos 
iguais, o que facilitará os cálculos posteriores. Mesmo com intervalos iguais, as 
distribuições poderão apresentar-se da seguinte forma:
I--- inclui à esquerda e exclui à direita
---I exclui à esquerda e inclui à direita
--- exclui ambos
I---I inclui ambos
Como optaremos por este último tipo (0 - 10), poderemos definir como 
intervalo de classe a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. 
Portanto, no exemplo, 10 – 0 = 10 é o intervalo ou amplitude da classe que será 
representado pela letra h.
6. Ponto médio das classes (Xi): É a média aritmética entre o limite superior 
e o limite inferior da classe. Assim, se a classe for 0 - 10, teremos 0 + 10 / 2 = 5, que 
será o ponto médio da classe.
7. Número de Classes: Quantas classes serão necessárias para representar 
o fato? Existem vários critérios que podem ser utilizados a fim de determinar o 
número de classes, porém tais critérios servirão apenas como indicação e nunca 
como regra fixa, pois caberá sempre ao pesquisador estabelecer o melhor número, 
levando-se em conta o intervalo de classe e a facilidade para os posteriores cálculos 
numéricos. Neste estudo, destacaremos a Fórmula de Sturges, que estabelece que 
o número de classes K é calculado por:
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
K = 1 + 3,3 log n
Onde n = número de elementos observados.
Para o nosso exemplo teríamos:
K = 1 + 3,3 log n
K = 1 + 3,3 log 50
K = 1 + 3,3(1,69897)
K = 1 + 5,6 = 6,6
ou arredondando: 7 classes.
8. Amplitude das Classes (h)
h = H/ k
No exemplo anterior, a amplitude de cada classe será:
h = amplitude total/ número de classes
h = 79/7 = 11, 29 = 12
Obs. 1: Na amplitude das classes (h), observe que aumentamos uma 
unidade, não seguindo, portanto, as regras de arredondamento. Esta é uma regra 
que deve ser sempre seguida no cálculo da amplitude da classe. 
Obs. 2: Deve-se conservar o número de casas decimais dos dados 
observados. Por exemplo, se os dados se referem à massa de indivíduos em kg 
e forem expressos com uma casa após a vírgula (por exemplo, 60,5 kg), então a 
amplitude deverá ter uma casa após a vírgula.
 
Obs. 3: Usando o bom senso e a experiência, poderá ser conveniente, 
quando possível, a utilização da amplitude de um intervalo de classe igual a 10 
ou 5, facilitando as operações posteriores.
9. Frequência acumulada (Fi): Corresponde à soma das frequências de 
determinada classe com as anteriores. 
No exemplo, quero saber a frequência acumulada da 4a classe será: f1 + 
f2 + f3 + f4 = 4 + 5 + 6 + 8 = 23. Então, na quarta classe, a frequência acumulada 
é 23.
10. Frequência relativa (fri): Corresponde ao quociente entre a frequência 
absoluta da classe e o total de elementos. 
No exemplo, a frequência relativa da 7a classe é:
fri fr n= = =/ ,5
50
0 1
Observação: cada f é o valor de uma classe.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 30Estatística e Indicadores Ambientais.indd 30 17/01/2023 14:37:1417/01/2023 14:37:14
TÓPICO 3 | APRESENTAÇÃO DE DADOS
31
4 GRÁFICOS
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação, cujo objetivo é 
reproduzir, no pesquisador, ou no público em geral, uma impressão mais rápida 
e viva do fenômeno em estudo, já que, visualmente, os gráficos tendem a ser mais 
rápidos na compreensão do que as tabelas.
Para que os seus dados tenham uma representação gráfica, eles deverão 
ter alguns requisitos fundamentais, sendo eles:
• Simplicidade: como o próprio nome diz, deve ser simples, os detalhes de 
importância secundária devem ser retirados, assim como os traços desnecessários 
que possam levar o observador a uma análise morosa ou com erros.
• Clareza: o gráfico deve mostrar um correta interpretação dos valores 
representativos do fenômeno em estudo.
• Veracidade: deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.
4.1 TIPOS DE GRÁFICOS
4.1.1 Gráfico em linha ou curva
Este tipo de gráfico utiliza a linha poligonal para representar a série 
estatística. É muito utilizado para representar uma série temporal. O gráfico em linha 
constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de 
coordenadas cartesianas. Neste sistema faz-se uso de duas retas perpendiculares; as 
retas são os eixos coordenados e o ponto de intersecção, a origem. O eixo horizontal 
é denominado eixo das abscissas (ou eixo dos x) e o vertical, eixo das ordenadas (ou 
eixo dos y) ( ALMEIDA; ARAÚJO; RAMOS, 2009).
FIGURA 4 - GRÁFICO EM LINHA
FONTE: Almeida, Araújo e Ramos (2009)
anos
0
10
20
30
40
2006 2007
qu
an
tid
ad
e
2008
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 31Estatística e Indicadores Ambientais.indd 31 17/01/2023 14:37:1517/01/2023 14:37:15
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
4.1.2 Gráfico em coluna ou em barras
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos 
verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras). Quando em colunas, 
os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos 
dados. E quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos 
são proporcionais aos respectivos dados (ALMEIDA; ARAÚJO; RAMOS, 2009).
FIGURA 5 - GRÁFICO EM BARRAS – CASOS DE RAIVA REGISTRADOS NO PERÍODO DE 2006 
A 2008
FONTE: Almeida, Araújo e Ramos (2009)
4.1.3 Gráfico em barras
Geralmente utilizado para representar uma série geográfica ou 
especificativa, sempre que os dizeres a serem inscritos forem extensos, deve-se 
dar preferência ao gráfico em barra (séries geográficas e específicas). Se ainda 
assim preferir o gráfico em coluna, os dizeres deverão ser dispostos de baixo 
para cima, nunca ao contrário. A ordem a ser observada é a cronológica, se a 
série for temporal, e a decrescente, se for geográfica ou categórica (especificativa). 
A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser 
menor que a metade nem maior que os dois terços da largura (ou da altura) dos 
retângulos (ALMEIDA; ARAÚJO; RAMOS, 2009).
0
10
20
30
40
2006 2007
qu
an
tid
ad
e
2008
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 32Estatística e Indicadores Ambientais.indd 32 17/01/2023 14:37:1617/01/2023 14:37:16
TÓPICO 3 | APRESENTAÇÃO DE DADOS
33
FIGURA 6 - GRÁFICO EM BARRAS – CASOS REGISTRADOS DE RAIVA POR BAIRRO EM BELÉM NO 
ANO DE 2008
FONTE: Almeida, Araújo e Ramos (2009)
4.1.4 Gráfico em coluna ou em barras múltiplas
Este tipo de gráfico é, geralmente, empregado quando se deseja representar, 
simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito de 
comparação (ALMEIDA; ARAÚJO; RAMOS, 2009).
FIGURA 7 - GRÁFICO EM BARRAS MÚLTIPLAS – CASOS DE MALÁRIA POR MUNICÍPIO NO PERÍODO 
DE 2005 A 2008
FONTE: Almeida, Araújo e Ramos (2009)
0
Marco
Guamá
Pedreira
Jurunas
Quantidade
Ba
ir
ro
2 4 6 8
0
Abaetetuba
BarcarenaM
un
ic
íp
io Belém
Quantidade
Gráfico em Barras Multiplas
Cameta
1 2 3 4
2008
2007
2006
2005
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 33Estatística e Indicadores Ambientais.indd 33 17/01/2023 14:37:1617/01/202314:37:16
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
FIGURA 8 - GRÁFICO EM COLUNAS MÚLTIPLAS – CASOS DE MALÁRIA POR MUNICÍPIO NO 
PERÍODO DE 2005 A 2008
FONTE: Almeida, Araújo e Ramos (2009)
4.1.5 Gráfico em setores
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre 
que se deseja ressaltar a participação do dado no total (ALMEIDA; ARAÚJO; 
RAMOS, 2009); é utilizado na ilustração de dados qualitativos, não devendo ser 
utilizado quando a variável descrita apresentar mais de seis categorias (MOTTA; 
WAGNER, 2003).
Veja o exemplo a seguir:
TABELA 7 - CASOS REGISTRADOS DE RAIVA POR BAIRRO EM BELÉM NO ANO 
DE 2008
FONTE: Adaptado de Almeida, Araújo e Ramos (2009)
Bairro Quantidade %
Guamá 6 30
Pedreira 4 20
Marco 7 35
Juruna 3 15
Total 20 100
2005
Anos
Gráfico em colunas Multiplas
Q
ua
nt
id
ad
e
0
1
2
3
4
2006 2007 2008
Município
Abaetetuba
Barcarena
Belém
Cameta
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 34Estatística e Indicadores Ambientais.indd 34 17/01/2023 14:37:1717/01/2023 14:37:17
TÓPICO 3 | APRESENTAÇÃO DE DADOS
35
Para fazermos de modo manual o gráfico, calcularemos a percentagem, 
fazendo uma simples regra de 3:
Assim, temos: 20 360
06
6 20
1
� � � � � �
� � � � �
�
�
�
��
� � �
�
 = x 360 180°/
X₁
Dessa forma você deverá fazer com todos os dados. Posteriormente, 
marca-se com um transferidor os arcos correspondentes, obtendo o gráfico, ou 
usando o Excel, utilizando a coluna de %.
FIGURA 9 - GRÁFICO EM SETORES – PERCENTUAL DE REGISTROS DE RAIVA POR 
BAIRRO EM BELÉM NO ANO DE 2008
FONTE: Almeida, Araújo e Ramos (2009)
4.2 GRÁFICOS ESPECIAIS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUÊNCIA POR INTERVALOS
4.2.1 Histograma
É a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de 
retângulos justapostos, cujas alturas são proporcionais às frequências absolutas 
e cujas bases correspondem ao intervalo de classe da distribuição (FIOREZE; 
MARQUES, 2015).
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
4.2.2 Polígono de frequências
É um gráfico em linhas formado por segmentos de retas; os pontos 
extremos dos segmentos correspondem ao par ordenado formado pelo ponto 
médio de cada classe da distribuição (eixo x) e pela frequência absoluta (eixo y) 
(FIOREZE; MARQUES, 2015)
FIGURA 11 - POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS
FONTE: Fioreze e Marques (2015)
FIGURA 10 - HISTOGRAMA
FONTE: Fioreze e Marques (2015)
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 36Estatística e Indicadores Ambientais.indd 36 17/01/2023 14:37:1917/01/2023 14:37:19
TÓPICO 3 | APRESENTAÇÃO DE DADOS
37
4.2.3 Ogiva
É um gráfico em linhas formado por segmentos de retas; os pontos 
extremos dos segmentos correspondem ao par ordenado formado pelo limite 
inferior de cada classe (eixo x) e pela frequência acumulada (eixo y) (FIOREZE; 
MARQUES, 2015).
FIGURA 12 - OGIVA
FONTE: Fioreze e Marques (2015)
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 37Estatística e Indicadores Ambientais.indd 37 17/01/2023 14:37:1917/01/2023 14:37:19
38
Nesse tópico você viu que:
• Tabela é uma maneira de apresentar de forma resumida um conjunto de 
observações (os dados compõem-se de: título, corpo e rodapé).
• Séries estatísticas: é um conjunto de dados estatísticos referenciados e são 
classificados em: série temporal; geográfico; específico e mista.
• Distribuição por frequência é uma série estatística específica em que os dados 
encontram-se dispostos em classes ou categorias junto às suas frequências 
correspondentes.
• O gráfico estatístico é uma forma de apresentação, cujo objetivo é o de reproduzir, 
no pesquisador, ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do 
fenômeno em estudo, e sempre deve conter simplicidade, clareza e veracidade, 
e que, em geral, usam-se 5 gráficos – em linha ou curva, coluna, barra, em coluna 
ou barras múltiplas e em setores, conhecido também como gráfico pizza).
 
• Dentro da série de gráficos, há os considerados espécies, que seriam: histograma, 
polígono de frequências e ogiva.
RESUMO DO TÓPICO 3
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 38Estatística e Indicadores Ambientais.indd 38 17/01/2023 14:37:1917/01/2023 14:37:19
39
As atividades a seguir são necessárias para que você fixe bem o 
conteúdo estudado neste tópico:
AUTOATIVIDADE
1 De que maneira deve-se apresentar uma tabela e quais são seus 
elementos?
2 Baseado em seus estudos neste tópico, monte a seguinte tabela 
e calcule a distribuição de frequência:
- X = Análise de 16 peixes de uma mesma espécie, levando em consideração
seu comprimento em cm.
10 12 15 4
12 14 9 18
20 6 23 14
17 18 25 7
Calcule: o rol de valores; Amplitude Total (H); Ponto médio das classes (Xi); 
Número de Classes; Amplitude das Classes (h); Frequência acumulada (Fi) de 
todas as classes; Frequência relativa (fri) também de todas as classes.
3 Com base na frequência relativa (fi), monte um gráfico que 
melhor represente os seus dados.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 39Estatística e Indicadores Ambientais.indd 39 17/01/2023 14:37:2017/01/2023 14:37:20
40
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 40Estatística e Indicadores Ambientais.indd 40 17/01/2023 14:37:2017/01/2023 14:37:20
41
TÓPICO 4
MÉTODOS DE AMOSTRAGEM
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Nesse tópico você irá ter uma noção em relação à amostragem. Para serem 
conhecidas algumas características de uma população, é comum observar apenas 
uma amostra de seus elementos e, a partir dos resultados dessa amostra, obter 
estimativas para as características de interesse da população. 
Neste caso, a seleção dos elementos que irão compor a amostra deve ser feita 
por uma metodologia adequada, de tal forma que ela seja representativa, de modo 
que os resultados sejam confiáveis para avaliar as características da população.
 Segundo Motta e Wagner (2003, p. 27), ”[...] em virtude de se estudar 
as populações em sua totalidade, geralmente trabalha-se com amostras, sendo 
que está, deve ser representativa da população extraída, e sendo o mais 
parecido possível [...]”.
Vamos aos estudos?
2 MÉTODOS DE AMOSTRAGEM
Amostragem é a técnica especial de escolher amostras que garantam 
o acaso na escolha. Assim, cada elemento da população tem a mesma chance 
de ser escolhido, o que garante à amostra um caráter de representatividade da 
população.Além disso, as amostras devem ser:
• Seleção da Amostra – as amostras devem ser escolhidas de modo a poder 
aplicar a elas os cálculos de probabilidades.
• Amostra Representativa – é aquela que tem as mesmas características da 
população de onde foi retirada.
• Amostra Probabilística – é aquela cujo processo de amostragem permite atribuir 
a cada elemento da amostra uma probabilidade semelhante à da população.
• Amostragem Aleatória – é aquela em que cada um dos elementos da população 
tem a mesma chance de ser selecionado no levantamento dos dados.
A seguir são apresentados os tipos de amostragem.
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42
UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
2.1 AMOSTRA DE CONVENIÊNCIAS
Segundo Motta e Wagner (2003), a amostragem por conveniência é 
um procedimento não probabilístico, ou seja, é formada por elementos que o 
pesquisador reuniu simplesmente porque dispunha deles. Esta amostragem 
é adequada e frequentemente utilizada para geração de ideias em pesquisas 
exploratórias.
Franchi (2015, p. 8) ressalva que “os estatísticos têm muitas restrições 
ao uso de amostras de conveniência, [...] o pesquisador que utiliza amostras de 
conveniência precisa de muito senso crítico, e os dados podem ser tendenciosos”. 
Alguns exemplos:
• Solicitar a pessoas que, voluntariamente, testem umproduto e que, em seguida, 
respondam a uma entrevista.
• Parar pessoas no supermercado e colher suas opiniões.
• Colocar linhas de telefone adaptadas para que durante um programa de 
televisão os telespectadores possam dar suas opiniões.
2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
 Uma amostra escolhida de tal forma que cada item ou pessoa na população 
tem a mesma probabilidade de ser incluída. Se a população tem um tamanho N, 
cada pessoa desta população tem a mesma probabilidade igual a 1/N de entrar 
na amostra. Utilizamos uma tabela de números aleatórios para sortear (com a 
mesma probabilidade) os elementos da amostra. Também pode ser utilizada uma 
função randômica. Ou seja:
p
n
=
�1
Onde:
 
n = número de elementos que irão compor a amostra.
p= probabilidade de um elemento da população ser selecionado para 
compor a amostra.
Exemplo 1: Vamos obter uma amostra de 10%, representativa para a 
pesquisa da estatura de 90 alunos de uma escola:
1º - Numeramos os alunos de 1 a 90.
2º - Escrevemos os números dos alunos de 1 a 90, em pedaços iguais de 
papel, colocamos na urna, misturamos e retiramos, um a um, nove números que 
formarão a amostra.
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TÓPICO 4 | MÉTODOS DE AMOSTRAGEM
43
Exemplo 2: Suponha uma população com 300 elementos, que numeramos 
de 000 a 299 para selecionar uma amostra aleatória de n=15 elementos. O processo 
termina quando for sorteado o elemento 15. A probabilidade de cada elemento 
ser selecionado é p=1/15.
2.3 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há 
necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários 
médicos de um hospital, os prédios de uma rua etc. Nestes casos, a seleção dos 
elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo 
pesquisador.
 Eis a fórmula: K N
n
=
Onde: N: números de elementos da população
 n: número de elementos da amostra
Depois determinar o ponto de partida (a1): sorteio aleatório simples.
Em seguida, determinar os elementos da amostra através de uma 
progressão aritmética (PA)
a a Kn � ��1
Exemplo: Num viveiro florestal, produz-se, em média, 100 espécies diferentes 
de plantas arbóreas por dia. Chega-se à conclusão de que é necessário avaliar no 
controle de qualidade 20 dessas espécies. Determine quais espécies poderiam compor 
a amostra de modo que esta seja representativa da produção diária.
Vamos à solução:
1. Define-se K → �= =
100
20
5K
2. Ponto de partida: dentre 1 a 5, sorteia-se aleatoriamente um número. 
 Sorteio a1= 2 
3. Determinam-se os elementos da amostra (A) através da PA:
a a Kn � � � � �1 2 5 7
Resultado: A= {2; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91;98}
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44
UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
2.4 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ESTRATIFICADA
Quando a população se divide em estratos (subpopulações), convém 
que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí 
obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses 
estratos, como sexo, idade ou condição econômica (MOTTA; WAGNER, 2003).
Suponhamos que a população é subdividida em k estratos. Sejam:
N = o número de indivíduos na população
n = o número de indivíduos na amostra
Ni = o número de indivíduos contidos no i-ésimo estrato da população
ni = o número de indivíduos contidos no i-ésimo estrato na amostra
n n
N
Ni
i= x i = 1,2,...k.
 
Os estratos devem ser os mais homogêneos possíveis com relação às 
características relevantes da pesquisa (variáveis que se correlacionam fortemente 
com a variável estudada). Para um mesmo tamanho amostral, a amostragem 
aleatória estratificada com repartição proporcional é mais precisa (menor 
variância do estimador) do que a amostragem aleatória simples.
2.5 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS
Motta e Wagner (2003) descrevem que é feita uma amostragem aleatória 
entre agrupamentos (conglomerados) que ocorrem naturalmente na população. 
Em seguida, os indivíduos que compõem o conglomerado podem ser selecionados 
por outro sorteio para incluir na amostra final. Um exemplo típico, o emprego de 
escolas como conglomerados para o estudo de populações infantis.
2.6 AMOSTRAGEM POR ESTÁGIOS MÚLTIPLOS
Motta e Wagner (2003) descrevem que esta amostragem é uma modificação 
da amostragem por conglomerados. É bastante usada para reduzir os custos de 
grandes pesquisas. Envolve o estabelecimento de um conglomerado chamado 
unidade primária de amostragem, que pode ser uma escola, um bairro etc. 
Numa segunda etapa são extraídas por sorteio as unidades secundárias, que vão 
constituir a amostra propriamente dita.
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45
Neste tópico você viu que:
• Amostragem é a técnica especial de escolher amostras que garantam o acaso 
na escolha, sendo que as amostras devem ser: representativas, probabilísticas e 
aleatória.
• Amostragem por conveniência é a quantidade de elementos que o pesquisador 
reuniu simplesmente porque dispunha deles.
• Amostragem aleatória simples, quando uma amostra é escolhida de tal forma 
que cada item ou pessoa na população tem a mesma probabilidade de ser 
incluída.
• Amostragem sistemática, quando os elementos da população já se acham 
ordenados, não havendo necessidade de um sistema.
• Amostragem aleatória estratificada, quando a população se divide em estratos 
(subpopulações).
• Amostragem por conglomerados, quando é realizada uma amostragem 
aleatória entre agrupamentos (conglomerados) que ocorrem naturalmente na 
população.
 
• Amostragem por estágios múltiplos envolve o estabelecimento de um 
conglomerado chamado unidade primária de amostragem, e numa segunda 
etapa são extraídas por sorteio as unidades secundárias que vão constituir a 
amostra propriamente dita.
RESUMO DO TÓPICO 4
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46
AUTOATIVIDADE
1 Descreva as diferenças entre os métodos de amostragem.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 46Estatística e Indicadores Ambientais.indd 46 17/01/2023 14:37:2617/01/2023 14:37:26
47
TÓPICO 5
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Nesta unidade, vocês irão verificar que, dependendo do tamanho de suas 
amostras e de seus dados, a estatística da probabilidade leva em consideração 
valores diferentes, como média e desvio-padrão.
A distribuição de probabilidades lida com um grande volume de dados, 
os quais estão sujeitos a variações.
Neste capítulo iremos ver as seguintes distribuições: distribuição binomial; 
de Poisson; exponencial; norma; e de Student.
2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Reboita (2005) transcreve que a distribuição de probabilidade pode ser 
útil quando os dados apresentam:
• Compacidade: representação de um grande volume de dados.
• Alisamento e interpolação: os dados reais estão sujeitos a variações na 
amostragem, que podem levar à falha de dados ou a dados errôneos nas 
distribuições empíricas. Logo, pode-se verificar se um dado é real e se pode 
ocorrer ou não, para tanto, podemos calcular a probabilidade de ocorrência.
• Extrapolação: estimar a probabilidade de eventos extremos à variação de um 
conjunto de dados particular exige a suposição de eventos ainda não observados. 
Isso pode ser realizado com a imposição de um modelo de probabilidade (isto 
é, uma distribuição teórica) ajustado à série de dados.
Ainda segundo Reboita (2005), a distribuição de probabilidades apresenta-
se da seguinte forma:
• Distribuição discreta descreve quantidades aleatórias (dados de interesse) que 
podem assumir valoresparticulares e os valores são finitos. Por exemplo, a 
ocorrência de tempestades com granizo. 
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 47Estatística e Indicadores Ambientais.indd 47 17/01/2023 14:37:2617/01/2023 14:37:26
48
UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
• A distribuição contínua representa quantidades aleatórias contínuas que 
podem tomar um número infinito de valores. Por exemplo: temperatura, 
pressão, precipitação, ou qualquer elemento medido numa escala contínua, é 
uma variável aleatória contínua.
2.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL
Uma das distribuições mais comuns em estatística. Deriva de um processo 
conhecido como teste de Bernoulli, em que cada tentativa tem duas possibilidades 
excludentes de ocorrência chamada de sucesso e falha.
Um experimento aleatório é chamado binomial se em n repetições os 
ensaios são independentes; cada resultado do ensaio pode assumir somente uma 
de duas possibilidades: sucesso ou fracasso; a probabilidade de sucesso em cada 
ensaio, denotado por ( p ), permanece constante, e a probabilidade de fracasso,1-p, 
é designada por (q) (MOTTA; WAGNER, 2003).
Ainda segundo Motta e Wagner (2003), na distribuição binomial, a média 
é igual ao número de eventos estudados vezes a probabilidade de ocorrência do 
evento, ou seja, μ=np, e que o desvio padrão é igual à raiz quadrada do produto: 
n x p x q; sendo expresso pela fórmula σ npq .
Eis a fórmula da distribuição binomial:
!
! !
Onde:
n: é o número de tentativas ou repetições do experimento.
r: é o número/proporção/frequência desejada de sucesso.
n-r: é o número/proporção/frequência desejada de fracassos.
P: é a probabilidade/proporção/frequência de sucessos.
q = 1-p: é a probabilidade/proporção/frequência de fracassos.
O símbolo ! indica o fatorial de um número inteiro; o “fatorial de n” é definido 
como n!=n x (n-1) x (n-2) x ...x 1. Por definição, 0!=1. Outro exemplo: 4!=4x3x2x1=24 (MOTTA; 
WAGNER, 2003).
NOTA
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 48Estatística e Indicadores Ambientais.indd 48 17/01/2023 14:37:2817/01/2023 14:37:28
TÓPICO 5 | DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
49
Ainda segundo Motta e Wagner (2003), a fórmula dada acima é 
determinada pelo número n de tentativas, e a probabilidade p de sucesso numa 
tentativa isolada, os símbolos n e p são denominados parâmetros da distribuição.
Vamos aos exemplos, de acordo com Motta e Wagner (2003).
Exemplo: Admite-se que a probabilidade de nascimento de um menino, 
como também de uma menina, é igual a ½. Quais são as probabilidades em uma 
família de 6 filhos de ter: 0,1,2,3,4,5,6 crianças do sexo masculino? (M=masculino; 
F=feminino).
!
! !
P r ou pa� � �
�� �
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�
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0 6 0
1
2
1
2
1
64
0 0156 1 56
0 6 0!
! !
, � �, %� rra M e F� ��6 00,0156 ou 1,56% para 6M e 0F
P r ou� � �
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�
�
�
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1 6 1
1
2
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2
1
64
0 0937 9 37
1 6 1!
! !
, � �, % parra 5M e 1F0,0937 ou 9,37% para 5M e 1F
P r� � �
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�
�
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�
� � �
�6
2 6 2
1
2
1
2
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64
2 6 2!
! !
0,2343�ou�23,43%�ppara�4M�e�2F0,2343 ou 23,43% para 4M e 2F
P r� � �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�6
3 6 3
1
2
1
2
20
64
3 6 3!
! !
0,3125 ou 31,25% para 3M e 3F
0,2343 ou 23,43% para 2M e 4FP r� � �
�� �
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
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�6
4 6 4
1
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1
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! !
P r� � �
�� �
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
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�6
5 6 5
1
2
1
2
6
64
5 6 5!
! !
0,0937 ou 9,37% para 1M e 5F
P r� � �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�6
6 6 6
1
2
1
2
1
64
6 6 6!
! !
0,0156 ou 1,56% para 0M e 6F
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
 A probabilidade de que, numa família de 6 filhos, 5 ou mais sejam do 
sexo masculino é a soma das probabilidades de 5 e 6 filhos do sexo masculino, 
isto é, 0,0937+0,0156=0,1093, então, cerca de 10% das famílias de 6 filhos têm 5 ou 
mais meninos. 
Parâmetros Binomiais: de acordo com Motta e Wagner (2003), a 
distribuição binomial tem dois parâmetros: n e p. A média e a variância da 
distribuição binomial são: μ=np e σ2=np(1-p), respetivamente.
Para o exemplo acima, tais dados ficam:
2.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Segundo Motta e Wagner (2003), é uma distribuição discreta de 
probabilidade, ela descreve a probabilidade dos números de ocorrências, num 
campo ou intervalo contínuo (normalmente tempo e espaço), de eventos bem 
raros. Eis a fórmula:
P e
rr
r
� �
�
�
� �
�!
Onde:
r: frequência relativa ou probabilidade de um sucesso que pode tomar os 
valores 0,1,2,3...
e: base dos logaritmos neperianos, o número irracional 2,7183.
λ: é o número médio de sucessos por amostra (λ=np) em um determinado 
intervalo de tempo e espaço. A média λ é o único parâmetro dessa distribuição. A 
variância é idêntica ao valor médio λ (letra grega lambda). A média e a variância, 
geralmente, são menores que 5 (MOTTA; WAGNER, 2003).
Exemplo: Uma determinada espécie possui um erro inato no metabolismo 
com uma incidência de 0,6 por mil espécies. Qual a probabilidade de encontrar 3 
casos dessa anomalia numa amostra de mil espécies durante o ano de 2015?
� �
�
�
�
�
�
� �6 1
2
3
� 2 6 1
2
1
2
1 5 1 5 1 22�
�
�
�
�
�
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�
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�
�
� � � �, � � , ,desvio padrãodesvio padrão √1,5
p x our�� �
�
�
� �� �
� �3
3 0 60 06 2 7183
3
0 216 0 548812
6
0 0197 1
, ,
!
, ��, , � �
,
,, %97x 0, ou 1,97%
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 50Estatística e Indicadores Ambientais.indd 50 17/01/2023 14:37:3417/01/2023 14:37:34
TÓPICO 5 | DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
51
Então, há uma probabilidade de 1,97% de se encontrar 3 casos com a 
anomalia.
2.3 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A distribuição exponencial é aplicada nos casos que queremos analisar o 
espaço ou intervalo de acontecimentos de um evento.
A variável X, que é igual à distância entre contagens sucessivas de um 
processo de Poisson, com média λ > 0, tem uma distribuição exponencial com 
parâmetro λ. A função densidade de probabilidade de X (pdf) é:
F x e x� � � �� . .� �λ
Para 0 ≤ x ≤ ∞
Onde: 
λ: é a taxa de ocorrência por intervalo
Exemplo: Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões 
dos usuários ao sistema podem ser modeladas como um processo de Poisson, 
com média de 25 conexões por hora. Qual a probabilidade de não haver conexões 
em um intervalo de 6 minutos?
F x e x� � � �� . .� �λ
P X e dx e e ex�� � � � � � �� � � �
�
� � � � ��0 1 25 0
0 1
25 25 25 0 1 25 0 1, � . .
,
. . . , . , ,,082
2.4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Motta e Wagner (2003) descrevem que a curva normal tem forma de sino, 
ou seja, é unimodal e simétrica, e o seu valor de máxima frequência, a moda, 
coincide com o valor da média e da mediana. A média (μ) é o centro da curva e 
σ é o desvio-padrão da população, os valores da variável X são representados no 
eixo horizontal; a média de X é a projeção sobre o eixo do ponto de frequência 
máxima da curva.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 51Estatística e Indicadores Ambientais.indd 51 17/01/2023 14:37:3617/01/2023 14:37:36
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
FIGURA 13 - CURVA NORMAL TÍPICA, EM FORMATO DE SINO
FONTE: Conti (2009)
A distribuição normal padronizada é aquela na qual a média é (μ)=0 e 
o desvio padrão é (σ)=1, dessa forma, qualquer distribuição normal com média 
diferente de zero e desvio-padrão diferente de 1,0, pode ser transformada na 
normal padronizada (MOTTA; WAGNER, 2003). Ainda segundo os autores, o 
resultado da transformação aplicada a cada valor de X é a obtenção de uma nova 
variável – denominada z –, que mede o afastamento do valor x em relação à média.
O cálculo de Z é: z
X
�
�� ��
�
Onde:
z: afastamento dos valores de X em relação à média em número de desvios-
padrão.
x: valor qualquer da variável aleatória.
μ: médiada distribuição.
σ: desvio-padrão da distribuição.
Com os valores que você obteve com a fórmula Z, você irá na tabela (em anexo) 
verificar em qual ela se encaixa. Ex.: intervalo Z:0 e o Z: 1,7, então, na tabela, você irá verificar 
a coluna Z e encontrará o valor de 0,4554.
IMPORTANTE
f(X)
média
desvio padrão
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 52Estatística e Indicadores Ambientais.indd 52 17/01/2023 14:37:3717/01/2023 14:37:37
TÓPICO 5 | DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
53
Vamos ao exemplo, segundo Motta e Wagner (2003):
Exemplo 1: Em uma distribuição de valores de glicose plasmática em 
jejum em homens normais entre 30 e 39 anos de idade, apresenta a média de 
μ=100 mg/dL e desvio-padrão σ=15 mg/dL. Qual a proporção de pessoas com 
glicose plasmática entre 100 e 120 mg/dL?
1º Passo:
z
X
z�
�� �
�
�
� �
�
�
 = 120 100
15
20
15
1 33,
 2º Passo:
Na tabela você irá cruzar o intervalo de z=0 e z=1,33, e o valor que você 
irá obter é 0,4082, ou 40,82%. Então, a proporção de pessoas com concentração de 
glicose plasmática entre 100 e 200 mg/dL é de 0,4082, ou em torno de 41%.
FONTE: Motta e Wagner (2003)
FIGURA 14 - GRÁFICO EM RELAÇÃO AO EXEMPLO 1
Exemplo 2: Com os mesmos dados do exemplo anterior, qual a proporção 
de pessoas com teor de glicose plasmática acima de 120 mg/dL?
1. A fórmula para o cálculo de z é a mesma do exercício anterior z=1,33.
2. A área à esquerda de z=0 é 0,50.
3. A área entre z=0 e z=1,33 é 0,4082.
Levando todos estes dados em consideração, obtemos além de z=1,33, temos:
0,500 – 0,4082 = 0,0918
Assim, a resposta que temos é que 9% de pessoas têm glicose plasmática 
acima de 120 mg/dL.
Valores
Z
100
0
0,5000
B
A
0,4082
120
1.33
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54
UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
FIGURA 15 - GRÁFICO EM RELAÇÃO AO EXEMPLO 2
FONTE: Motta e Wagner (2003)
Exemplo 3: Com os mesmos dados do exemplo 1, pergunta-se: qual a 
proporção de pessoas com teor de glicose plasmática entre 80 e 120 mg/dL?
1. Como a curva é simétrica, ou seja, z=-1,33 e z=1,33.
2. Então, para o cálculo, usando a simetria, simplesmente duplicamos a área entre 
o z=0 e 1,33. 
3. Ficando desta forma: 2(0,4082) = 0,8164 ou 82%.
Em resposta ao exercício, temos 82% das pessoas que possuem níveis de 
glicose entre 80 e 120mg/dL.
FIGURA 16 - GRÁFICO EM RELAÇÃO AO EXEMPLO 3
FONTE: Motta e Wagner (2003)
0,4082
0,4082
0,0918 =
Valores
Z
100
0
120
1.33
A
0,5000
0,5000 -
B
A
0,4082
A
0,4082
B B
Valores
Z
80
-1.33
100
0
120
1.33
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TÓPICO 5 | DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
55
2.5 DISTRIBUIÇÃO DE T DE STUDENT
O valor de t é a medida do desvio padrão (σ) entre a média ( �X ), estimada a 
partir de uma amostra aleatória de tamanho n, e a média (μ) da população, usando 
o erro-padrão da média (EP) como unidade de medida (MOTTA; WAGNER, 2003).
Temos a seguinte fórmula: t x
s n
�
� �
�/
Ainda segundo Motta e Wagner (2003), as propriedades da distribuição t 
de Student são:
 A média é igual a zero.
 As curvas t são simétricas em torno da média, tem forma de sino, porém mais 
achatadas.
 O intervalo da variável t é: (-∞ ) a (+∞).
 A distribuição de t não é descrita por uma única distribuição, mas por uma 
família de distribuições. Há uma curva t diferente para cada número de graus 
de liberdade da amostra (n-1).
 A variação de t é maior com amostras pequenas do que com as amostras grandes, 
quando n tende para o infinito (∞), o desvio-padrão (s) tenderá para o σ.
 
 A distribuição t tem como principais aplicações: a comparação de duas médias 
pelo teste t e estimação dos intervalos de confiança para média populacional.
A seguir, um exemplo de como aplicar essas distribuições.
POLUIÇÃO ATMOSFÉRICA E ATENDIMENTOS POR PNEUMONIA E 
GRIPE EM SÃO PAULO
Objetivo: Investigar os efeitos causados pela poluição atmosférica na 
morbidade por pneumonia e por gripe em idosos entre 1996 e 1998. 
Métodos: Foram obtidos dados diários de atendimentos por pneumonia e 
gripe para idosos em pronto-socorro médico de um hospital-escola de referência 
no município de São Paulo, SP, Brasil. Os níveis diários de CO, O3, SO2, NO2 e 
PM10 foram obtidos na Companhia de Tecnologia de Saneamento Ambiental, 
e os dados diários de temperatura e umidade relativa do ar foram obtidos no 
Instituto Astronômico e Geofísico da USP. Para verificar a relação existente 
entre pneumonia e gripe e poluição atmosférica, utilizou-se o modelo aditivo 
LEITURA COMPLEMENTAR
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56
UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
generalizado de regressão de Poisson, tendo como variável dependente o número 
diário de atendimentos por pneumonia e gripe e como variáveis independentes 
as concentrações médias diárias dos poluentes atmosféricos. A análise foi 
ajustada para sazonalidade de longa duração (número de dias transcorridos), 
sazonalidade de curta duração (dias da semana), temperatura mínima, umidade 
média, períodos de rodízio e os atendimentos por doenças não respiratórias 
em idosos. Resultados O3 e SO2 estão diretamente associados à pneumonia e à 
gripe, independentemente das variáveis de controle. Porém, na análise conjunta, 
eles perdem sua significância estatística. Pôde-se observar que um aumento 
interquartil (25%-75%) para o O3 (38,80 μg/m3) e SO2 (15,05 μg/m3) levou a um 
acréscimo de 8,07% e 14,51%, respectivamente, no número de atendimentos por 
pneumonia e gripe em idosos. 
Conclusões: Os resultados sugerem que a poluição atmosférica promove 
efeitos adversos para a saúde de idosos.
ANEXO
Anexo A. Áreas sob curva normal padronizada. Para valores negativos de z, as 
áreas são obtidas por simetria
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
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TÓPICO 5 | DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
57
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,48870,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
FONTE: MARTINS, Lourdes Conceição et al. Poluição atmosférica e atendimentos por pneumonia 
e gripe em São Paulo, Brasil. Rev. Saúde Pública, 2002, v. 36, n.1, p. 88-94. 
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RESUMO DO TÓPICO 5
Neste tópico você viu que:
• A distribuição de probabilidade pode ser útil quando dados apresentarem: 
compacidade, interpolação e extrapolação.
• Na distribuição binomial, ela deriva de um processo conhecido como teste 
de Bernoulli, em que cada tentativa tem duas possibilidades excludentes de 
ocorrência chamada de sucesso e falha. 
• A distribuição de Poisson descreve a probabilidade dos números de ocorrências, 
num campo ou intervalo contínuo.
• A exponencial é aplicada nos casos que queremos analisar o espaço ou intervalo 
de acontecimentos de um evento.
• Na distribuição normal mede-se o afastamento do valor x em relação à média.
 
• A distribuição de Student tem como principais aplicações: a comparação de 
duas médias pelo teste t e estimação dos intervalos de confiança para média 
populacional.
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59
AUTOATIVIDADE
1 Qual é a diferença entre as distribuições de Poisson e Binomial?
2 Sob que condições pode a distribuição de Poisson ser usada 
como uma aproximação da distribuição Binmial? Por que isto 
pode ser útil?
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TÓPICO 6
INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Muitas são as interferências que um pesquisador sofre no decorrer de seu 
estudo. Há variáveis que você, por exemplo, deve levar em consideração quando 
for a campo para levantar uma determinada espécie.
Nesses dados devem ser observados se não há vícios que o responsável da 
pesquisa pode ter, bem como aparelhos utilizados nos levantamentos de dados.
Há detalhes que você deve levar em consideração quando for começar 
seus estudos. A seguir, você, acadêmico(a), irá compreender que pequenos 
detalhes fazem a grande diferença no final de sua análise estatística.
2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da 
amostra ou população. Como o nome diz, seus valores variam de elemento para 
elemento. As variáveis podem ter valores quantitativos ou qualitativos. (Fonte: 
Disponível em: <http://avale.iat.educacao.ba.gov.br/index.php?option=com_
content&view=article&id=76&Itemid=110>).
2.1 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
As variáveis quantitativas são características que podem ser descritas por 
números, sendo classificadas entre contínuas e discretas (MOTTA; WAGNER, 2003).
• Variáveis discretas: a variável é avaliada em números que são resultados de 
contagens e, por isso, somente fazem sentido números inteiros. Exemplos: 
número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros 
fumados por dia.
• Variáveis contínuas: a variável é avaliada em números que são resultados de 
medições e, por isso, podem assumir valores com casas decimais e devem ser 
medidas por meio de algum instrumento. Exemplos: massa (balança), altura 
(régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
2.2 VARIÁVEIS QUALITATIVAS
As variáveis qualitativas (ou categóricas) são as características que não 
possuem valores quantitativos, representam uma classificação dos indivíduos. 
Podem ser nominais ou ordinais, de acordo com Motta e Wagner (2003).
• Variáveis nominais: não existe ordenação entre as categorias. Exemplos: sexo, 
cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio.
• Variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: 
escolaridade (1º, 2º, 3º graus), estágio da doença (inicial, intermediário, 
terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro, …, dezembro).
Entretanto, as distinções são menos rígidas do que essa descrição insinua. 
Uma variável originalmente quantitativa pode ser coletada de forma qualitativa.
Por exemplo, a variável idade, medida em anos completos, é quantitativa 
(contínua); mas, se for informada apenas a faixa etária (0 a 5 anos, 6 a 10 anos 
etc.), é qualitativa (ordinal). Outro exemplo é o peso dos lutadores de boxe, uma 
variável quantitativa (contínua) se trabalharmos com o valor obtido na balança, 
mas qualitativa (ordinal) se o classificarmos nas categorias do boxe (peso-pena, 
peso-leve, peso-pesado etc.).
FIGURA 17 - CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS DE ACORDO COM SUA NATUREZA
FONTE: Disponível em: <http://avale.iat.educacao.ba.gov.br/index.php?option=com_content&
view=article&id=76&Itemid=110>. Acesso em: 22 mar. 2015.
Variáveis
Qualitativa
(categorias)
Quantitativa
(números)
Nominal (não 
existe ordem nas 
categorias)
Ordinal (existe 
ordem nas 
categorias)
Discreta (resultado 
de contagem)
Contínua (resultado 
de meensuração)
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TÓPICO 6 | INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS
63
3 ESCALAS ESTATÍSTICAS
Os valores associados a cada variável podem ser classificados em escalas 
de medida, expressando a qualidade ou quantidade dos dados. 
• A escala nominal atribui números às categorias apenas para identificá-las, e 
eles não têm significado quantitativo, por exemplo: 1 para “Feminino” e 2 para 
“Masculino”.
• A escala ordinal atribui números às categorias indicando apenas a ordem, com 
o sentido de “mais que, maior que”; ou “menos que, menor que”, por exemplo: 
1 para “Criança”; 2 para “Adolescente”, e 3 para “Adulto”.
• A escala intervalar tem as características de uma escala ordinal, e as distâncias 
ou diferenças entre quaisquer dois números na escala têm significado. Podemos 
afirmar que uma medida é igual, maior ou menor e quantificar o valor dessa 
diferença. Nesse tipo de escala, a unidade de medida e a origem são arbitrárias. 
Um exemplo é quando a temperatura de um indivíduo é medida na escala 
Fahrenheit. A origem é 0ºF e a unidade é 1ºF, que são arbitrárias, uma vez que 
se a temperatura for medida em centígrados teríamos que usar a transformação 
y = 5/(9 (x-32)) (BUSSAB; MORETTIN, 2008, p. 14).
 
• A escala de razão tem todas as característicasda escala intervalar e tem 
ponto zero verdadeiro. Neste tipo de escala, a razão entre quaisquer dois 
pontos independe da unidade de medida. As grandezas, tais como massa, 
comprimento, altura podem ser medidas com a escala de razão. No caso da 
altura, por exemplo, se ela for medida em centímetros (cm), 0cm é a origem e 
1cm é a unidade de medida. Um indivíduo com 90cm é duas vezes mais alto do 
que um indivíduo com 45cm, e esta relação contínua vale se usarmos 1m como 
unidade (BUSSAB; MORETTIN, 2008, p. 14).
FIGURA 18 - CLASSIFICAÇÃO DE ACORDO COM AS ESCALAS DE MEDIDAS
FONTE: Disponível em: <http://avale.iat.educacao.ba.gov.br/index.php?option=com_content&vie
ew=article&id=76&Itemid=110>. Acesso em: 22 mar. 2015.
Escala de 
medidas
Nominal ou 
categorica
Ordinal ou por 
pontos Intervalar De razão
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UNIDADE 1 | O MÉTODO ESTATÍSTICO E SUA UTILIZAÇÃO NA ANÁLISE DE DADOS
4 ERROS DE OBSERVAÇÃO
Quando esses erros estão ligados à aleatoriedade ou à incerteza 
modelada pela teoria da probabilidade, eles são "erros" no sentido estatístico 
(RODRIGUES, 1993).
Toda vez que repetimos uma medição com um instrumento sensível, 
obtemos resultados ligeiramente diferentes. O modelo estatístico que normalmente 
usamos é que o erro tem duas partes:
• Erro sistemático: aquele que sempre ocorre com o mesmo valor quando se usa 
o instrumento da mesma maneira e no mesmo processo; pode ser causado por 
falhas do aparelho de medida, calibração incorreta etc.
• Erro aleatório: pode variar de uma observação para outra.
O erro sistemático é, às vezes, chamado de viés estatístico. Muitas vezes 
pode ser reduzido por meio de processos cuidadosamente padronizados. O uso 
dos instrumentos padrão da disciplina faz parte do ensino de toda ciência.
O erro aleatório, ou variação aleatória, é devido a fatores que não 
controlamos, seja porque esse controle seria muito caro, seja porque ignoramos 
esses fatores. Pode até ser que tudo o que estamos tentando medir esteja mudando 
com o tempo, ou seja, fundamentalmente probabilístico (como é o caso da 
mecânica quântica). O erro aleatório muitas vezes ocorre quando os instrumentos 
são empurrados para seus limites. Por exemplo, é comum as balanças digitais 
apresentarem um erro aleatório dos seus dígitos menos significativos. 
Os erros dependentes do observador podem ser diminuídos por uma 
preparação; já os métodos caudados pela observação podem ser reduzidos 
selecionando-se as melhores técnicas, padronizando os métodos e controlando o 
funcionamento dos aparelhos (RODRIGUES, 2003).
5 ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS
Noé (2015) descreve que, nos trabalhos relacionados à Estatística, 
Matemática Financeira, entre outras situações cotidianas relacionadas ao uso 
de números, usamos algumas técnicas de arredondamento. Para efetuarmos o 
arredondamento de um número podemos utilizar as seguintes regras: 
• Se o algarismo a ser eliminado for maior ou igual a cinco, acrescentamos uma 
unidade ao primeiro algarismo que está situado à sua esquerda. 
• Se o algarismo a ser eliminado for menor que cinco, devemos manter inalterado 
o algarismo da esquerda. 
 
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TÓPICO 6 | INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS
65
Nos casos de arredondamentos sucessivos, as regras continuam valendo, 
por exemplo, escrever o número decimal 2,36935 das seguintes maneiras: 
• Quatro casas decimais: eliminaremos o algarismo 5 e acrescentaremos uma 
unidade à casa da esquerda: 2,3694. 
• Três casas decimais: eliminaremos o algarismo 4 e não modificaremos o número 
da esquerda: 2,369. 
• Duas casas decimais: eliminaremos o algarismo 9 e acrescentaremos uma 
unidade à casa da esquerda: 2,37. 
Em algumas áreas de conhecimento, como a Metrologia, ciência que 
provê a utilização de técnicas que permitem que grandezas físicas e químicas 
sejam quantificadas, os arredondamentos seguem uma normativa do IBGE, 
pois nessa ciência qualquer valor, por menor que seja, pode provocar alterações 
consideráveis (NOÉ, 2015). Veja a tabela de arredondamento de valores:
TABELA 8 – ARREDONDAMENTO DE ACORDO COM A RESOLUÇÃO Nº 886/66 DA FUNDAÇÃO 
IBGE
Condições Procedimentos Exemplos
< 5 O último algarismo a permanecer fica inalterado. 53,24
> 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a 
permanecer.
42,87 passa a 42,9 
25,08 passa a 25,1 
53,99 passa a 54,0
= 5
Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo 
diferente de zero, aumenta-se uma unidade no 
algarismo a permanecer.
2,352 passa a 2,4 
25,6501 passa a 
25,7 
76,250002 passa a 
76,3
= 5
Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só 
seguirem zeros, o último algarismo a ser 
conservado só será aumentado de uma unidade 
se for ímpar.
24,75 passa a 24,8 
24,65 passa a 24,6 
24,7500 passa a 
24,8 
24,6500 passa a 
24,6
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/arredondando-numeros.
htm>. Acesso em: 18 maio 2015.
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66
RESUMO DO TÓPICO 6
Neste tópico você viu que:
• As variáveis quantitativas são características que podem ser descritas por 
números, sendo classificadas entre contínuas e discretas.
• As variáveis qualitativas (ou categóricas) são as características que não possuem 
valores quantitativos, representam uma classificação dos indivíduos. E podem 
ser nominais ou ordinais.
• A escalas estatísticas expressam a qualidade ou quantidade dos dados, e podem 
ser: nominal, ordinal e intercalar.
• Os erros ocasionados nos experimentos podem vir das observações ou dos 
aparelhos.
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67
1 Classifique o tipo de variável para os itens abaixo.
AUTOATIVIDADE
a) Marca de perfume preferida.
b) Grau de satisfação com um produto alimentício.
c) Peso de sementes advindas do Chile.
d) Renda familiar.
e) Grau de periculosidade de um reagente químico.
f) Número de cadeiras em uma sala de reunião.
2 Descreva quais são as escalas estatísticas.
3 Em relação ao arredondamento de números, faça-os com os 
números abaixo:
16,89 14,32 10,7 126,892356 0,95 12,53 11,01 7,58 1.314,22 3,41568
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68
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69
UNIDADE 2
MEDIDAS ESTATÍSTICAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos:
• reconhecer terminologias, os símbolos e conceitos básicos, encontrados na 
literatura da estatística;
• reconhecer em seus experimentos, a forma como organizar seus dados, de 
forma concisa, e interpretando suas informações;
• ter uma maior compreenção em relação as teorias da probabilidade, e da 
distribuição.
Essa segunda unidade de estudo está dividida em quatro tópicos. Você 
encontrará no final de cada um deles atividades que contribuirão para a 
compreensão dos conteúdos abordados. Lembramos que as unidades 1 e 2 
estão correlacionadas.
TÓPICO 1 – MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
TÓPICO 2 – TESTES DE NORMALIDADE, TESTES PARAMÉTRICOS
TÓPICO 3 – TESTES DE HIPÓTESES
TÓPICO 4 – TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
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70
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71
TÓPICO 1
MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Quando estudados, estatisticamente, os fenômenos, Rodrigues (2002) 
cita que tais estudossão traduzidos por um conjunto de dados numéricos, e essa 
descrição dos conjuntos de dados torna-se mais clara quando se obtém medidas 
que resumem as informações necessárias. 
Ainda segundo Rodrigues (2002), as medidas representam ou resumem 
todos os valores obtidos pelo grupo e, como tal, fornecem uma descrição 
precisa da execução do grupo como um todo, permitindo assim o confronto 
de dois ou mais grupos.
Neste capítulo iremos ver uma análise de conjunto de dados, com as 
medidas de posição e as medidas de variação.
2 MEDIDAS DE POSIÇÃO
Segundo Rodrigues (2002), usam-se, em geral, três medidas de posição: 
média aritmética (simples, ponderada, de dados agrupados em intervalos), 
mediana e moda.
2.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( X )
A média aritmética simples é a soma dos valores ou medidas divididas 
pela quantidade destes, trata-se, portanto, de uma medida de posição em que 
as variáveis de um conjunto são tomadas isoladamente e representadas por um 
valor calculado (RODRIGUES, 2002).
Eis a fórmula: X x
n
=
£
Onde:
X : é a média
∑x: é a soma das variáveis
n: número de indivíduos
Exemplo: Se o peso em kg de 8 caprinos ao nascer é 23, 27, 20, 30, 14, 17, 
29, 31, qual é o peso médio desse conjunto de caprinos?
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 71Estatística e Indicadores Ambientais.indd 71 17/01/2023 14:37:5217/01/2023 14:37:52
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
72
X x
n
=
£
X �
� � � � � � �23 27 20 30 14 17 29 31
8
X kg= =
191
8
23 87, �kg
Portanto, o peso médio ou a média dos pesos dos caprinos é igual a 23,87 kg.
Quando utilizamos dados de uma amostra de uma determinada população, a 
média aritmética calculada será uma estimativa, pois empregamos apenas uma fração do 
conjunto total (RODRIGUES, 2002).
UNI
2.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Quando você tiver uma série de valores sucessivos com a respectiva 
distribuição de frequência, pode-se calcular a média aritmética ponderada 
(RODRIGUES, 2002).
A forma que seus dados se apresentam na distribuição de frequência:
Variáveis Frequências
X1 f1
X2 f2
X3 f3
. .
. .
. .
. .
Xn fn
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 72Estatística e Indicadores Ambientais.indd 72 17/01/2023 14:37:5417/01/2023 14:37:54
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
73
A fórmula adotada para o cálculo, se apresenta da seguinte forma:
X xf
n
x f x f x f
f f f
n n
n
� �
� ���
� ���
£
1 1 2 2
1 2
Vamos ao exemplo (RODRIGUES, 2002):
Idade (anos) Frequência
2 10
3 8
4 6
5 5
6 5
7 5
8 7
9 4
Sendo a fórmula:
X xf
n
x f x f x f
f f f
n n
n
� �
� ���
� ���
£
1 1 2 2
1 2
Aplicando a fórmula:
X
x x x x x x
x x
�
� � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � �
� � �
2 10 3 8 4 6 5 5 6 5 7 5
8 7 9 4
10 8 6 5�� � � �
� �
5 5 7 4
250
50
5�
Logo, a idade média das crianças dessa escola é de cinco anos.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 73Estatística e Indicadores Ambientais.indd 73 17/01/2023 14:37:5817/01/2023 14:37:58
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
74
2.3. MÉDIA ARITMÉTICA DE DADOS AGRUPADOS EM
INTERVALOS
Segundo Rodrigues (2002, p. 61), 
... há vezes em que os dados não se apresentam com seu verdadeiro 
valor individual, mas são representados por uma classe que pode ter 
um determinado intervalo, neste caso, operamos da mesma maneira 
do caso anterior, considerando que o intervalo não tem valor definido 
e sim um conjunto de valores, utilizamos como representante o ponto 
médio de cada intervalo...
Vamos ao exemplo (RODRIGUES, 2002), se tivéssemos a distribuição de 
frequência a seguir, procederíamos da seguinte forma:
Idade (anos) Frequência
0 I--- 5 4
5 I--- 10 2
10 I--- 15 3
15 I--- 20 1
Usaríamos a base de cálculos do exemplo anterior, ficando desta forma:
Idade (anos) Valor posição (X) Frequência X.f
0 5 2,5 4 10
5 10 7,5 2 15
10 15 12,5 3 37,5
15 20 17,5 1 17,5
Total --- 10 80
Então para calcularmos a coluna de valor de posição adotamos a seguinte 
fórmula:
5/2 = 2,5 ; 5+10/2= 7,5 e assim por diante.
Para calcularmos a coluna de X.f, adotamos os seguintes:
2,5 x 4 = 10; 7,5 x 2= 15 e assim por diante.
Adotando a fórmula anterior, ficando:
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TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
75
X xf
n
anos= = =
£
� �
80
10
8anos
Logo, a idade média é de 8 anos.
Ainda segundo Rodrigues (2002), quando os dados apresentam certa 
homogeneidade, é possível o uso da média aritmética, que tem como:
• Vantagens: ser fácil de calcular e entender; unir em um valor todas as observações 
do conjunto.
• Desvantagens: não servir para séries variáveis assimétricas; não expressar 
variações dentro da distribuição de dados.
2.4 MEDIANA (ME)
A mediana é um valor situado no centro da distribuição de frequências e 
tem como objetivo encontrar um valor que permita conter 50% dos dados acima 
deste valor e 50% abaixo, sua utilidade é especialmente útil quando se trata de 
séries assimétricas, isto é, quando alguns valores são exageradamente baixos ou 
altos (RODRIGUES, 2002).
Ainda segundo Rodrigues (2002), a mediana não é influenciada pela 
magnitude de cada uma dessas séries. Para o cálculo da mediana:
1. Ordenamos todos os valores.
2. Determinamos o total de valores (n).
3. Localizamos o valor central mediante a fórmula:
 n +1
2�
, quando o número de observações é ímpar;
n
2
� e n
2
� + 1, quando o número de observações é par, o que corresponde à 
média de valores centrais.
Vamos ao exemplo (RODRIGUES, 2002, p. 52):
A) No município de Cordeiro foram selecionados oito estabelecimentos de ensino 
que apresentaram quanto ao número de alunos:
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 75Estatística e Indicadores Ambientais.indd 75 17/01/2023 14:38:0017/01/2023 14:38:00
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
76
Estabelecimentos Nº de alunos
A 150
B 180
C 230
D 2.500
E 200
F 160
G 250
H 170
Primeiro passo: ordenar os valores: 
150, 160,170,180,200, 230, 250 e 2.500.
Então os valores centrais são: 180 e 200, portanto, levando em consideração 
as observações pares ou ímpares, temos o valor médio igual a 190, que 
corresponde à mediana. Me=190.
B) Um tipo de operação cirúrgica foi realizado por cinco médicos, cada um nos 
seguintes tempos:
Médicos Minutos
A 48
B 42
C 52
D 95
E 46
Primeiro passo: ordenar as variáveis:
42, 46, 48, 52, 95
Então o valor central correspondente a 48, valor da mediana. Me = 48 
minutos.
Segundo Rodrigues (2002), quando os dados se apresentam agrupados 
através de uma distribuição de frequência, podemos calcular a mediana pela 
seguinte fórmula:
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 76Estatística e Indicadores Ambientais.indd 76 17/01/2023 14:38:0117/01/2023 14:38:01
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
77
Me Li
n Fa
F
h
Me
Me� �
�
� .
22
Onde:
Li: limite inferior da classe que contém a mediana;
n: número de observações do conjunto;
Fa: soma das frequências das classes anteriores à classe da mediana;
hMe: amplitude da classe que contém a mediana;
fMe: frequência simples da classe da mediana.
Exemplo: Distribuição de frequências (RODRIGUES, 2002, p. 64).
Classes
Frequência
Simples Acumulada
10 I--- 20 10 10
20 I--- 30 15 25
30 I---40 20 45
40 I--- 50 15 60
50 I--- 60 8 68
60 I--- 70 2 70
Total 70 ---
Classe mediana: 30 -40 
Limite inferior: 30
Número de observações: 70
Frequência acumulada anterior à classe mediana: 25
Frequência simples da classe mediana: 20
Amplitude da classe: 10
Desta forma ficaria:
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 77Estatística e Indicadores Ambientais.indd 77 17/01/2023 14:38:0217/01/2023 14:38:02
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
78
2.5 MODA (MO)
Segundo Rodrigues (2002), quando temos uma pequena amostra, a moda 
corresponde ao valor mais frequente no conjunto de variáveis, já para dados 
agrupados, em que se utiliza uma distribuição de frequências é calculada através 
daseguinte fórmula:
Mo Li d
d d
h� �
�
� .
1
1 2
Onde:
Li: limite inferior da classe modal
d1: diferença entre a frequência da classe da moda e da classe inferior
d2: diferença entre a frequência da classe da moda e da classe posterior
h: amplitude das classes
Exemplo (RODRIGUES, 2002, p. 65):
Distribuição de frequências.
Me Li
n Fa
F
h
Me
Me� �
�
� .
22
Me � �
�
� �
�
� �30
70
2
25
20
10 30
35 25
20
10 30
10
20
10� . . .
2
Me � � �30
100
20
35
Classes
Frequência
Simples Acumulada
10 I--- 20 10 10
20 I--- 30 15 25
30 I---40 20 45
40 I--- 50 15 60
50 I--- 60 8 68
60 I--- 70 2 70
Total 70 ---
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TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
79
Classe da moda: 30 - 40
Limite inferior da classe modal: 30
d1: 20 – 15 = 5
d2: 20-15 = 5
h = 10
Temos:
Mo Li d
d d
h� �
�
� .
1
1 2
Mo � �
�
� � � �30
5
5 5
10 30
5
10
10 30
50
10
� . .
Mo � � �30 5 35
3 MEDIDAS DE VARIAÇÃO
Segundo Rodrigues (2002), usa-se em geral: desvio médio, devio-padrão, 
variância ou quadrado médio, coeficiente de variação, erro padrão da média, erro 
padrão de percentagem e separatrizes.
3.1 DESVIO-MÉDIO (D.M.)
Considerando que num conjunto de dados, cada valor apresenta em 
relação à média aritmética um afastamento, o desvio-médio será a média 
aritmética dos afastamentos da média, levando em conta os valores absolutos 
desses desvios (RODRIGUES, 2002).
Exemplo:
Para um conjunto de dados: 2,8,10,15,17,20.
Primeiro passo: X �
� � � � �
� �
2 8 10 15 17 20
6
72
6
12�
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 79Estatística e Indicadores Ambientais.indd 79 17/01/2023 14:38:0717/01/2023 14:38:07
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
80
O desvio-padrão é o afastamento médio em relação à média aritmética de 
um conjunto de valores (RODRIGUES, 2002). 
Em série simples, eis a fórmula:
S
X
X
n
n
�
�
�� �
� �
�
²
²
Onde:
X: valor do conjunto
∑: somatório
n: número de observações
Exemplo (RODRIGUES, 2002), calcular o desvio-padrão de: 2,5,9,11,14 e 25.
Primeiramente:
∑X= 2+5+9+11+14+25 = 66
∑X2=22+52+92+112+142+252=4+25+81+121+196+625=1.052
n=6
Inserindo dados na fórmula:
3.2 DESVIO-PADRÃO
Cálculo: 
 
DM. . � ��
� � � � � � � � � � �2 12 8 12 10 12 15 12 17 12 20 12
6
DM. . �
� � � � �10 4 2 3 5 8
6
DM. . � ,= =
32
6
5 3
O desvio-médio deste conjunto é 5,3.
S
X X
n
n
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2 2
1
1 052 66
6
6 1
1 052 4 356
6
5
1 052 726
5
. . .
.
�= = =
326
5
65 20 8 07, ,S
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 80Estatística e Indicadores Ambientais.indd 80 17/01/2023 14:38:1017/01/2023 14:38:10
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
81
Observa-se que no cálculo do desvio-padrão utilizamos o denominador (n-
1), ou seja, 6 -1. Devemos considerar para casos em que n for menor que 30, este será 
o procedimento, por causa do pequeno número de observações, já para os casos onde 
o n é maior que 30, usa-se apenas o n no denominador (RODRIGUES, 2002).
No segundo exemplo, trata-se de uma série de dados agrupados, isto é, 
uma série de valores que se repetem, e por conseguinte são representados pela 
sua frequência (RODRIGUES, 2002).
X F FX
2 2 4
3 2 6
4 4 16
5 4 20
6 2 12
Total 14 58
Temos, portanto, um total de 14 valores agrupados em cinco categorias.
X F fX fX2
2 2 4 8
3 2 6 18
4 4 16 64
5 4 20 100
6 2 12 72
Total 14 58 262
Observando que para o cálculo da coluna fX, utilizamos (2x2=4 e assim 
por diante), e bem como para a coluna de fx2 utilizamos o seguinte procedimento 
(42=8, e assim por diante).
Seguindo o raciocínio, temos o cálculo para o desvio-padrão desta 
distribuição, utilizamos a seguinte expressão:
s fX
n
fX
n
� ��
�
�
�
�
�
£ £
2 2
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 81Estatística e Indicadores Ambientais.indd 81 17/01/2023 14:38:1117/01/2023 14:38:11
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
82
�� �
�
�
�
�
�
� � � � � � �
262
14
58
14
18 71 4 1 18 71 16 81 1 90 1 4
2
2, , , , , ,S
Logo, o desvio-padrão desse conjunto de dados é 1,4, ou seja, esse é o 
valor que os números se afastam da média aritmética.
O terceiro exemplo são dados de uma série grupada onde apresentam as 
classes em intervalos, este problema é solucionado representando-se cada um dos 
intervalos pelo valor médio (RODRIGUES, 2002, p. 68).
INTERVALO (X) F VALOR MÉDIO DO 
INTERVALO (X)
1I--- 5 4 3
6 I--- 10 15 8
10 I--- 15 81 13
16 I--- 20 90 18
Total 190 ---
Para este procedimento restante é igual ao verificado no exemplo anterior, 
ficando desta forma:
Primeiro passo: calcular a coluna fX (4x3 = 12)
Segundo passo: calcular a coluna fX2 (122=144), ficando desta forma:
Intervalo (X) f
Valor médio 
do intervalo 
(X)
fX fx2
1I--- 5 4 3 12 144
6 I--- 10 15 8 120 14.400
10 I--- 15 81 13 1.053 1.108.809
16 I--- 20 90 18 1.620 2.624.400
Total 190 --- 2.805 3.747.753
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 82Estatística e Indicadores Ambientais.indd 82 17/01/2023 14:38:1217/01/2023 14:38:12
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
83
Seguindo a fórmula:
s fX
n
fX
n
� ��
�
�
�
�
�
£ £
2 2
�� �
�
�
�
�
�
� � � � �
3 747 753
190
2 805
190
19 725 14 76 19 725 217 85
2
2. . . . , . ,S
�= =19 507 139 67. ,S
Desvio-padrão – POPULACIONAL, representada letra grega σ = σ 2
Desvio-padrão – AMOSTRAL, representada por s = s2
UNI
3.3 VARIÂNCIA OU QUADRADO MÉDIO
Quantitativamente, o seu valor corresponde ao desvio-padrão elevado ao 
quadrado, (RODRIGUES, 2002).
Segue a fórmula, seguindo o parâmetro do n.
N ≤ 30 N > 30
S �
X
X
n
n
2
2
2
1
�
�
� �
�
£
£
S
X
X
n
n
2
2
2
�
�
� �
�
£
£
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 83Estatística e Indicadores Ambientais.indd 83 17/01/2023 14:38:1717/01/2023 14:38:17
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
84
3.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (C.V.)
Segundo Rodrigues (2002), em trabalhos experimentais, através deste 
parâmetro, comprovamos a precisão alcançada, seu coeficiente é expresso em %, 
sendo muito utilizado em trabalhos científicos.
Eis a fórmula:
CV S
X
. . .= 100
Onde:
S: desvio-padrão
X : média aritmética
Ainda segundo Rodrigues (2002), há uma relação existente entre desvio-
padrão e a média aritmética, quanto maior for a dispersão no conjunto de 
observações, maior será o seu valor.
 Até 10% - ótimo
 De 11% a 20% - bom
 De 21% a 30% - regular
3.5 ERRO-PADRÃO DA MÉDIA – s X� �
Quando realizamos um experimento científico em que utilizamos dados 
de uma fração representativa de uma população (amostra), a média aritmética 
determinada representará, em relação a média populacional, e as outras amostras 
fossem retiradas da população apresentariam médias aritméticas que teriam 
outros afastamentos em relação à média, e para determinar a média destes 
afastamentos utilizamos o erro-padrão da média (RODRIGUES, 2002).
Eis a fórmula:
S X S
n
� � �
Onde:
S: desvio-padrão
n: nº de observações
Vamos a um exemplo:
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 84Estatística e Indicadores Ambientais.indd 84 17/01/2023 14:38:1917/01/2023 14:38:19
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
85
Em uma determinada amostra com 150 observações em que o desvio-
padrão é igual a 5, o erro padrão da amostra será:
S X S
n
� � � � � �
5
150
5
12 25
0 41
,
,
Logo, 0,41 é o afastamento médio com que as médias amostrais se 
apresentam em relação a média aritmética da população.
3.6 ERRO-PADRÃO DE PERCENTAGEN – S (P)
De acordo com Rodrigues (2002), nos experimentos cuja população 
procuramos estudar a frequência com que certo fenômeno ocorre, utilizam-se 
comumente amostras para tal fim, e a percentagem de ocorrência do fenômeno 
na amostra deve apresentar diferença em relação à percentagem na população. 
Assim, o erro-padrão de percentagem seria o erro médio com que estaríamos 
afastados do percentual da população.
Eis a fórmula:
S p p q
n
� � � .
Onde:
p: percentualda amostra
q: 100-p
n: nº de observações
Vamos ao exemplo:
p= 20%
Valores: 
q= 100- p = 100-20=80%
n= 400
S p p q
n
x� � � � � �
.
, %
20 80
600
1600
600
1 63
Logo, o erro-padrão da percentagem é de 1,63%
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 85Estatística e Indicadores Ambientais.indd 85 17/01/2023 14:38:2217/01/2023 14:38:22
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
86
3.7 SEPARATRIZES
Como já vimos, algumas medidas de posição, tal como a mediana, que divide 
a distribuição dos dados em duas partes com um número igual de observações. 
Agora vamos ver medidas semelhantes, mas que dividem a distribuição de dados 
de acordo com o número de elementos (RODRIGUES, 2002).
Estes elementos seriam:
• Quartis: quatro partes iguais
• Decis: dez partes iguais
• Centis: cem partes iguais
3.7.1 Quartis
Para dividirmos um conjunto de dados em quatro partes iguais 
necessitamos de separatrizes (quartis):
FONTE: Adaptado de Rodrigues (2002)
Ainda segundo Rodrigues (2002), segue a seguinte descrição:
• Primeiro quartil: em conjunto de dados, colocados em ordem crescente de 
valores, o 1º quartil (Q1) corresponderá ao valor que divide o conjunto em duas 
partes tais que 25% dos valores sejam menos e 75% dos valores sejam maiores 
do que o valor determinado.
• Segundo quartil: o Q2 corresponde ao valor mediano, dividindo o conjunto de 
dados em duas partes iguais, ou seja, 50% de cada lado.
• Terceiro quartil: é o valor da série em que teremos 75% dos valores abaixo e 
25% acima do valor determinado (Q3).
x
n
4 2 4
n 3n
Q₁ Q₂ Q₃ Z
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 86Estatística e Indicadores Ambientais.indd 86 17/01/2023 14:38:2217/01/2023 14:38:22
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
87
Há outras denominações para os quartis:
• Primeiro quartil ou quartil inferior (Qi);
• O segundo quartil ou quartil do meio é a própria mediana (Md), 
• O terceiro quartil ou quartil superior (Qs) 
Para o cálculo, como são medidas baseadas na ordenação dos dados, 
primeiro é preciso calcular a posição dos quartis.
Posição do quartil inferior = (n + 1)/4 
Posição do quartil superior = [3x(n+1)]/4
Atentem que, se o valor da posição for fracionário deve-se fazer a 
média entre os dois valores que estão nas posições imediatamente anterior e 
imediatamente posterior à posição calculada. Se os dados estiverem dispostos em 
uma distribuição de frequências, utilizar o mesmo procedimento observando as 
frequências associadas a cada valor (variável discreta) ou ponto médio de classe.
Lembrando que, n é o número total de elementos da amostra, e que com o 
cálculo acima, desta forma Qj (quartil) será um elemento entre Xk e Xk+1, onde k 
é o maior inteiro menor que j(n+1)/4 e será calculado da seguinte forma.
Onde:
Xj: número onde se encontra a posição quartil
K: resultado da fórmula da posição quartil.
Vamos ao exemplo:
Nome Idade
Beatriz 65
Guilherme 72
Monica 70
Altera em relação à posição do 
quartil
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 87Estatística e Indicadores Ambientais.indd 87 17/01/2023 14:38:2217/01/2023 14:38:22
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
88
Primeiro passo ordenar os números – atentem a essa ordem.
60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 72. 
Deste modo temos que (n+1)/4 = 9/4 = 2,25 e com isso k = 2, logo
Q X n k X Xj j k k� �
�
��
�
�
�
�
� �� ��
1
4
1
Q
1
65
8 1
4
2 67 65� �
�
��
�
�
�
�
� �� �
Q x
1
65 2 25 2 67 65 65 0 25 2 65 0 5 65 5� � �� � �� � � � � � � � �, , , ,
Também temos que 2(n+1)/4 = 18/4 = 4,5, com isso k = 4, logo
Q X
n
k X Xk k2 4 1
2 1
4
� �
�� �
�
�
�
�
�
�
� �� ��
Q x
2
68
2 8 1
4
4 69 68 68
18
4
4 1 68 0 5 1� �
�� �
�
�
�
�
�
�
� �� � � � ��
�
�
�
�
�� � � � � � �, 668 5,
E, temos que 3(n+1)/4= 27/4 = 6,75, com isso k = 6, logo
Q X
n
k X Xk k3 6 1
3 1
4
� �
�� �
�
�
�
�
�
�
� �� ��
Q k x
3
70
3 8 1
4
72 70 70 6 75 6 2 70 0 75 2 71� �
�� �
�
�
�
�
�
�
� �� � � � �� �� � � � � � �, , ,,5
Adriana 72
Glauber 60
Verusca 67
Inês 69
Gabrielle 68
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 88Estatística e Indicadores Ambientais.indd 88 17/01/2023 14:38:3117/01/2023 14:38:31
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
89
Q1 65,5
Q2 68,5
Q3 71,5
Temos assim, o seguinte resultado dos quartis:
3.7.2 Decis
Para dividirmos um conjunto de dados em dez partes iguais são necessários 
nove separatrizes (decis):
FONTE: Rodrigues (2002)
Ainda segundo Rodrigues (2002), segue a seguinte descrição:
• O primeiro decil: o 1º decil (D1) de um conjunto de dados. Colocados em ordem 
crescente, corresponde ao valor que é procedido por 10% das observações e 
seguido de 90% restantes.
• De forma semelhante podemos definir outros decis, vale frisar que a mediana 
corresponde ao quinto decil.
Já Silva (2015) descreve que a definição dos decis obedece ao mesmo 
princípio dos quartis, com a modificação da porcentagem de valores que ficam 
aquém e além do decil que se pretende calcular. Deste modo precisamos de 9 
decis para dividirmos uma série em 10 partes iguais.
Para fins de cálculos dos decis, utiliza-se a fórmula dos centis, veja a 
representação a seguir:
x
n
10 10 10 10 10 10 10 10 10
2n 3n 4n 5n 6n 7n 8n 9n
D₁ D₂ D₃ D₄ D₅ D₆ D₇ D₈ D₉ Z
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 89Estatística e Indicadores Ambientais.indd 89 17/01/2023 14:38:3217/01/2023 14:38:32
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
90
FONTE: Disponível em: <http://www.eecis.udel.edu/~portnoi/classroom/prob_
estatistica/2007_1/lecture_slides/aula02.pdf>. Acesso em: 10 maio 2015.
3.7.3 Centis
Segundo Rodrigues (2002), divide-se o conjunto de dados, em ordem 
crescente, em cem partes, para encontrar 99 separatrizes (centis).
• O primeiro centil: o 1º centil será o valor do conjunto ordenado que divide a 
série em duas partes, sendo que 1% dos valores está abaixo e 99% acima, por 
analogia, podemos considerar os outros centis.
FONTE: Rodrigues (2002)
Eis a fórmula:
L= (k/100).n
Onde:
L: posição do percentil desejado no conjunto de dados ordenado
k: percentil desejado
n: número de valores
Vamos ao exemplo, levando em consideração todas as fórmulas acima 
citadas. Com base no exemplo do Instituto de Matemática da Universidade 
Federal da Bahia (2015), observe a tabela de distribuição de frequências a seguir 
e encontre:
x C1 C2 C3 C50 .......................................................... C99 Z
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 90Estatística e Indicadores Ambientais.indd 90 17/01/2023 14:38:3217/01/2023 14:38:32
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
91
a) Primeiro quartil; b) Septuagésimo quinto centil; c) Nono decil
Vamos a solução:
a) Q1
Encontrar a posição do primeiro quartil:
EQ n
1
4
80
4
20�
�
= = ==
n
O Q1 está localizado na 20a posição, logo se encontra na 3aclasse. Com base 
nesses dados, calcularemos
Q1 da seguinte forma:
�1 45
20 20 10
14
59 29� �
��� �� � ,Q
Interpretação: 25% dos usuários consomem até 59,59 kwh. De maneira 
análoga, 75% dos usuários consomem mais de 59,59 kwh.
b) C75
Encontrar a posição do centil 75:
Ec n
75
75
100
75
80
100
60= = =
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 91Estatística e Indicadores Ambientais.indd 91 17/01/2023 14:38:3517/01/2023 14:38:35
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
92
O C75 está localizado na 60ª posição, logo se encontra na 5ª classe. Com 
base nesses dados, calcularemos C75 da seguinte forma:
C
75
85
20 60 50
14
99 29� �
�� �
� ,
Interpretação: 75% dos usuários consomem até 99,29 kwh. De maneira 
análoga, 25% dos usuários consomem mais de 99,29 kwh.
c) D9
Encontrar a posição do 9o decil:
ED n
9
9
10
9
80
10
72� � �
�
�
�
�
� �
O D9 está localizado na 72a posição, logo se encontra na 6aclasse. Com base 
nesses dados, calcularemos D9 da seguinte forma:
D
9
105
20 72 64
8
125� �
�� �
�
Interpretação: 90% dos usuários consomem até 125 kwh. De maneira 
análoga, 10% dos usuários consomem mais de 125 kwh.
3.8 BOX PLOT (QUANTIL)
Segundo Farias (2015), o boxploté um gráfico construído com base no 
resumo dos cinco números, constituído por: • Valor mínimo • Primeiro quartil 
(Q1) • Mediana (segundo quartil Q2) • Terceiro quartil (Q3) • Valor máximo.
 
Ainda segundo Farias (2015), o gráfico é formado por uma caixa construída 
paralelamente ao eixo da escala dos dados (pode ser horizontal ou vertical). Essa 
caixa vai desde o primeiro quartil até o terceiro quartil e nela se traça uma linha 
na posição da mediana. Essa caixa, que descreve os 50% centrais da distribuição, 
é comum a todas as variantes do boxplot.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 92Estatística e Indicadores Ambientais.indd 92 17/01/2023 14:38:3717/01/2023 14:38:37
TÓPICO 1 | MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIAÇÃO
93
FIGURA 19 - GRÁFICO TIPO BOX-AND-WHISKER (BOX PLOT)
FONTE: Motta e Wagner (2003)
Valor máximo
Quartil 3
Quartil 2 (mediana)
Quartil 1
Valor mínimo
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 93Estatística e Indicadores Ambientais.indd 93 17/01/2023 14:38:3717/01/2023 14:38:37
94
Neste tópico vimos que:
• Para as medidas de posição, usa-se: média aritmética (simples, ponderada, de 
dados agrupados em intervalos), mediana e moda.
• Para as medidas de variação usa-se: Desvio médio, Devio-padrão, Variância ou 
quadrado médio, coeficiente de variação, erro padrão da média, erro padrão de 
percentagem e separatrizes.
• As separatrizes dividem a distribuição de dados de acordo com o número de 
elementos, sendo elas quartis, decis e centis.
RESUMO DO TÓPICO 1
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 94Estatística e Indicadores Ambientais.indd 94 17/01/2023 14:38:3717/01/2023 14:38:37
95
AUTOATIVIDADE
Numa determinada área, foram mensuradas 20 árvores, de diferentes espécies, 
todas catalogadas e identificadas. Conforme a tabela a seguir:
Árvore Diâmetro
1 30
2 14
3 25
4 48
5 77
6 36
7 57
8 14
9 10
10 6
11 12,5
12 58
13 66,45
14 17,3
15 25
16 61,89
17 47
18 12
19 11
20 10
1 Calcule: a somatória – a média – mediana – moda – desvio-
padrão – variância da amostra – coeficiente de variação – erro-
padrão da média.
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96
Árvore Diâmetro
1 30
2 14
3 25
4 48
5 77
6 36
7 57
8 13
9 10
10 6
2 Em relação a tabela a seguir, calcule:
A) Quartis
B) Decis
C) Centis 45 posição
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 96Estatística e Indicadores Ambientais.indd 96 17/01/2023 14:38:3717/01/2023 14:38:37
97
TÓPICO 2
TESTES DE NORMALIDADE, TESTES 
PARAMÉTRICOS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Quando vamos analisar estatísticamente os nossos dados, às vezes, eles 
não são normais. Para tanto confirmamos esta situação usando alguns testes para 
averiguar: o teste D’Agostino-Pearson, o teste Pearson, teste Shapiro-Wilk e o 
teste Kolmogorov-Smirnov. Estes últimos são os mais usados. 
Depois de realizada esta análise, para dar continuidade, há os testes 
estatísticos, tanto paramétricos quanto não paramétricos, ou seja, usamos os 
testes paramétricos para quando o teste que você utilizou deu como resultado a 
normalidade dos dados, e de forma oposta, você irá utilizar os testes paramétricos 
para quando o resultado de seu teste de normalidade resultou em não normalidade. 
Suchmacher e Geller, 2005, citam: “Os testes bioestatísticos são as 
principais ferramentas que irão determinar o grau de probabilidade com o qual 
podemos afastar a hipótese de nulidade, e se dividem em dois tipos: paramétricos 
e não paramétricos”. 
Neste tópico, você irá aprender os testes de normalidade, e posterior os 
testes paramétricos suas diferenças com os não paramétricos, e quais os testes 
paramétricos mais usados no meio científico.
2 DIFERENÇAS ENTRE DADOS PARAMÉTRICOS E NÃO 
PARAMÉTRICOS
A. Testes paramétricos: de acordo com Suchmacher e Geller (2005), estes testes são 
aqueles que permitem afastar H0 com maior grau de segurança e se baseiam 
nos parâmetros de distribuição gaussiana (média e desvio-padrão). E seus 
critérios para sua aplicabilidade são:
• A distribuição dos dados da amostra deve ser normal.
• As amostras devem ser independentes uma da outra.
• As medidas de dispersão entre as amostras comparadas devem ser 
homogêneas.
• As variáveis devem ser quantitativas.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 97Estatística e Indicadores Ambientais.indd 97 17/01/2023 14:38:3817/01/2023 14:38:38
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
98
B. Testes não paramétricos: ainda de acordo com Suchmacher e Geller (2005), 
estes testes devem ser utilizados quando os testes paramétricos não puderem 
ser utilizados, tem um poder estatístico menor do que os paramétricos, e são 
aplicados nas seguintes situações:
• Dados de amostra sem distribuição normal.
• Os indivíduos da amostra estudada estão sob condições diferentes.
• Variáveis qualitativas (especialmente ordinais).
• Amostras com n pequeno.
• Amostras com medidas de dispersão diferentes.
Ainda segundo Suchmacher e Geller (2005, p. 43), “...quando os critérios 
para aplicabilidade de testes paramétricos forem preenchidos, ainda se poderá 
tentar transformar os dados do estudo, eis alguns dados de transformação: 
logarítmica, raiz cúbica dos dados e transformação angular...”.
3 TESTES DE NORMALIDADE
Estes testes de normalidade são usados para definir a normalidade ou não 
normalidade dos dados, para posteriormente, você utilizar os testes paramétricos 
ou não paramétricos.
Alguns dos testes de normalidade mais utilizados são: teste Shapiro-Wilk 
e o teste Kolmogorov-Smirnov.
3.1. TESTE SHAPIRO-WILK
Lucambio (2008) descreve que este teste foi proposto por Shapiro & Wilk 
(1965) e utilizada a seguinte fórmula:
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 98Estatística e Indicadores Ambientais.indd 98 17/01/2023 14:38:3817/01/2023 14:38:38
TÓPICO 2 | TESTES DE NORMALIDADE, TESTES PARAMÉTRICOS
99
Ainda segundo Lucambio (2008), “.... sendo m = (m1, m2, . . . , mn) > o 
vetor dos valores esperados das estatísticas de ´ordem da amostra e V a matriz de 
covariâncias dessas estatíticas. O p-valor deste teste é calculado exatamente para 
n = 3, em outras situações utilizam-se aproximações diferentes para 4 ≤ n ≤ 11 e 
para n ≥ 12”.
3.2 TESTE KOLMOGOROV-SMIRNOV
Este teste é usado para determinar se duas distribuições de probabilidade 
subjacentes diferem uma da outra ou se uma das distribuições de probabilidade 
subjacentes difere da distribuição em hipótese, em qualquer dos casos é com base 
em amostras finitas.
O teste pode ser utilizado para avaliar as hipóteses:
Ou seja, se P-Value (P-valor) for maior que o nível de significância (%), os 
dados apresentam distribuição normal.
A função distribuição acumulada Fn para n observações yi é definida por
H : Os dados seguem uma distribuição normal
H :Os dados não
0
1 seguem uma distribuição normal.
�
�
�
��
As duas estatísticas de teste Kolmogorov-Smirnov de apenas um lado são 
dadas por
D F x F x
D F x F x
n n
n n
�
�
� �
� �
max( ( ) ( ))
max( ( ) ( ))
F
 if y
 caso contrário.n
i
n
x
n
x
( )
,
�
��
�
�
��
�1 1
01
1
��
 
Onde:
F(x) é a distribuição em hipótese ou outra distribuição empírica.
4 TESTES PARAMÉTRICOS
Após verificarmos a normalidade dos dados, partimos, então para os 
testes paramétricos, que possuem as seguintes características quanto ao cálculo 
de uma amostra ou comparando as duas amostras:
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 99Estatística e Indicadores Ambientais.indd 99 17/01/2023 14:38:3917/01/2023 14:38:39
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
100
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/famat/viali/especializa/eae_fenge/
material/laminaspi/THipoteses_Par.pdf>. Acesso em: 4 maio 2015.
Nos testes paramétricos iremos ver a análise de variância conhecida como 
ANOVA.
Nesta análise de 1 fator, também é conhecida como ANOVA “One Way” – 
ANOVA de um fator, sendo utilizada para comparar mais dedois grupos através 
de suas médias.
Ao conduzir uma ANOVA, queremos saber quanto da variabilidade 
dos nossos resultados é devido ao TRATAMENTO (variância ENTRE grupos) e 
quanto é devido a ERRO (variância DENTRO dos grupos).
Segundo Anjos (2015, 112), “A análise de variância baseia-se na 
decomposicão da variação total da variável resposta em partes que podem ser 
atribuídas aos tratamentos (variância entre) e ao erro experimental (variância 
dentro). Essa variação pode ser medida por meio das somas de quadrados 
definidas para cada um dos seguintes componentes:
FIGURA 20 - TESTES PARAMÉTRICOS PARA UMA E DUAS AMOSTRAS.
FONTE: Anjos (2015)
Uma
amostra
Duas
amostras
Média
Proporção
Variância
Dependentes
Independetes
Diferença 
de médias
Diferença de médias
Diferença de proporções
Igualdade de variâncias
T
e
s
t
e
s
P
a
r
a
m
é
t
r
i
c
o
s
{ {
{
{
{
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 100Estatística e Indicadores Ambientais.indd 100 17/01/2023 14:38:4017/01/2023 14:38:40
TÓPICO 2 | TESTES DE NORMALIDADE, TESTES PARAMÉTRICOS
101
Ainda segundo Anjos (2015), a SQTrat também é chamada de variação 
Entre, que seria a variação existente entre os diferentes tratamentos e a SQRes é 
chamada de variação Dentro que tem como função analisar diferenças existentes 
entre as repetições de um mesmo tratamento.
Tais somas podem ser representadas da seguinte forma, para um resultado 
de uma análise:
FONTE: Anjos (2015)
Em que QMTrat=SQTrat/( I-1 ) e QMRes=SQRes/( I( J-1 ) ).
Anjos (2015, p. 113), descreve que
 
Pode-se mostrar que o quociente QMTrat/QMRes tem distribuição F 
com ( I − 1 ) e I ( J − 1) graus de liberdade, supondo que, yij são variáveis 
aleatórias independentes, todos os tratamentos tem variâncias iguais 
a σ2 e Yij ∼ N( μi, σ2 ). Por esses motivos, os pressupostos da ANOVA 
devem ser testados ou avaliados em qualquer análise S e Fcalculado> 
Ftabelado, rejeitamos a hipótese tese de nulidade H0, ou seja, existem 
evidências de diferença significativa entre pelo menos um par de 
médias de tratamentos, ao nível α de significância escolhido. Caso 
contrário, não rejeitamos a hipótese de nulidade H0 , ou seja, não há 
evidências de diferença significativa entre tratamentos, ao nível α 
de significância escolhido. Outra maneira de avaliar a significância 
da estatística F é utilizando o p-valor. S e o p-valor< α, rejeitamos a 
hipótese de nulidade H0. Caso contrário, se não rejeitamos a hipótese 
de nulidade H0, ou seja, não há evidências de diferenças significativas 
entre os tratamentos, ao nível α de significância escolhido.
FIGURA 21 - REPRESENTAÇÃO DA SQTrat.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 101Estatística e Indicadores Ambientais.indd 101 17/01/2023 14:38:4017/01/2023 14:38:40
102
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico vimos:
• Que os dados paramétricos possuem determinadas caraterísticas: a distribuição 
dos dados da amostra deve ser normal; as amostras devem ser independentes 
uma da outra; medidas de dispersão entre as amostras comparadas devem ser 
homogêneas; as variáveis devem ser quantitativas.
• E os dados não paramétricos: os dados da amostra não possuem distribuição 
normal; os indivíduos da amostra estudada estão sob condições diferentes e as 
variáveis qualitativas (especialmente ordinais).
• Que os testes de normalidade são usados para definir a normalidade ou 
não normalidade dos dados, para posteriormente, você utilizar os testes 
paramétricos ou não paramétricos.
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103
AUTOATIVIDADE
Quando devemos usar os dados para os testes paramétricos 
e para os testes não paramétricos?
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104
ANEXOS
TABELA 1 – TESTE DE SHAPIRO-WILK
FONTE: Disponível em: <http://docentes.esa.ipcb.pt/estatistica/apontamentos/Testes_Ajustamen
to.pdf>. Acesso em: 20 maio 2015.
Nível de significância α
0.01 0.02 0.05 0.10 0.50 0.90 0.95 0.98 0.99
Ta
m
an
ho
 d
a 
am
os
ra
, N
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,753
0,687
0,686
0,713
0,730
0,749
0,764
0,781
0,792
0,805
0,814
0,825
0,835
0,844
0,851
0,858
0,863
0,868
0,873
0,878
0,881
0,884
0,888
0,891
0,894
0,896
0,898
0,900
0,756
0,707
0,715
0,743
0,760
0,778
0,791
0,805
0,817
0,828
0,837
0,846
0,855
0,863
0,869
0,874
0,879
0,884
0,888
0,892
0,895
0,898
0,901
0,904
0,906
0,908
0,910
0,912
0,767
0,748
0,762
0,788
0,803
0,818
0,829
0,842
0,850
0,859
0,866
0,874
0,881
0,887
0,892
0,897
0,901
0,905
0,908
0,911
0,914
0,916
0,918
0,920
0,923
0,924
0,926
0,927
0,789
0,792
0,806
0,826
0,838
0,851
0,859
0,869
0,876
0,883
0,889
0,895
0,901
0,906
0,910
0,914
0,917
0,920
0,923
0,926
0,928
0,930
0,931
0,933
0,935
0,936
0,937
0,939
0,959
0,935
0,927
0,927
0,928
0,932
0,935
0,938
0,940
0,943
0,945
0,947
0,950
0,952
0,954
0,956
0,957
0,959
0,960
0,961
0,962
0,963
0,964
0,965
0,965
0,966
0,966
0,967
0,998
0,987
0,979
0,974
0,972
0,972
0,972
0,972
0,973
0,973
0,974
0,975
0,975
0,976
0,977
0,978
0,978
0,979
0,980
0,980
0,981
0,981
0,981
0,982
0,982
0,982
0,982
0,983
0,999
0,992
0,985
0,981
0,979
0,978
0,978
0,978
0,979
0,979
0,979
0,980
0,980
0,981
0,981
0,982
0,982
0,983
0,983
0,984
0,984
0,984
0,985
0,985
0,985
0,985
0,985
0,985
1,000
0,996
0,991
0,986
0,985
0,984
0,984
0,983
0,984
0,984
0,984
0,984
0,984
0,985
0,985
0,986
0,986
0,985
0,987
0,987
0,987
0,987
0,988
0,988
0,988
0,988
0,988
0,988
1,000
0,997
0,993
0,989
0,988
0,987
0,986
0,986
0,986
0,986
0,986
0,986
0,987
0,987
0,987
0,988
0,988
0,988
0,989
0,989
0,989
0,989
0,989
0,989
0,990
0,990
0,990
0,990
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105
FONTE: Disponível em: < http://www.deg.ufla.br/site/_adm/upload/file/Hidrologia%20I/
Tabelas_Hidrologia.pdf >. Acesso em: 20 maio 2015.
Tabela 2 do anexo: Smirnov --Kolmogorov
Tamanho 
da 
Amostra 
(N)
Níve de Significância (α)
0,20 0,10 0,05 0,01
1 0,900 0,950 0,975 0,995
2 0,684 0,776 0,842 0,929
3 0,565 0,642 0,708 0,829
4 0,494 0,564 0,624 0,734
5 0,446 0,510 0,563 0,669
6 0,410 0,470 0,521 0,618
7 0,381 0,438 0,486 0,577
8 0,358 0,411 0,459 0,543
9 0,339 0,388 0,432 0,514
10 0,322 0,368 0,409 0,486
15 0,268 0,304 0,338 0,404
20 0,231 0,264 0,294 0,352
25 0,210 0,240 0,264 0,320
30 0,190 0,220 0,242 0,290
40 - - 0,210 0,250
50 - - 0,190 0,230
N>50 1,07 1,22 1,36 1,63
√N √N √N √N
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106
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107
TÓPICO 3
TESTES DE HIPÓTESE
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico iremos ver alguns testes de hipótese que você irá utilizar em 
seus cálculos estatísticos, atestando seus dados coletados em campo.
2 HIPÓTESE ESTATÍSTICA
Kato (2015) descreve que “Hipótese, em estatística, é uma suposição 
formulada a respeito dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade de 
uma ou mais populações”.
Ainda segundo Kato (2015), 
o nível de significância de um teste é a probabilidade máxima de 
rejeitar Ho. Se, por exemplo, utilizarmos o nível de significância de 
5%, a hipótese nula (Ho) será rejeitada somente se o resultado da 
amostra for tão diferente do valor suposto que uma diferença igual ou 
maior ocorreria com uma probabilidade máxima de 0,05. Na prática, 
o valor de α é fixo. (Geralmente α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.) No exemplo, 
fixado α = 0,05, levaria à rejeição de Ho, pois 0,0062 < 0,05. Uma outra 
maneira de tomar-se uma decisão é comparar o valor tabelado com a 
estatística do teste.
Kato (2015) ainda descreve:
A REGIÃO CRÍTICA de um teste éonde os valores da estatística do 
teste levam à rejeição da hipótese nula. A sua área é igual ao nível de significância, 
e sua direção é a mesma da hipótese alternativa.
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108
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/famat/sergio/Estatistica_Basica_T126/Teste_de_
hipotese.pdf>. Acesso em: 25 jun. 2015.
• REGRA DE DECISÃO: Se o valor da estatística do teste cair dentro da região 
crítica, rejeita-se H0. Ao rejeitar a hipótese nula (H0) existe uma forte evidência 
de sua falsidade. Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve 
evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho.
• TIPOS DE ERROS: Pelo fato de usarmos resultados amostrais para fazer 
inferência sobre a população, estamos sujeitos a erros. Digamos que existe uma 
probabilidade α de que mesmo sendo Ho verdadeiro, �X assuma um valor que 
leva Zcalc à rejeição de Ho. As probabilidades desses erros são chamadas α e β 
respectivamente.
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/famat/sergio/Estatistica_Basica_T126/Teste_de_
hipotese.pdf>. Acesso em: 25 jun. 2015.
3 QUI-QUADRADO (TESTE DE ADERÊNCIA)
Rodrigues (1993) descreve que o teste não paramétrico de χ �2 (quiquadrado) 
foi desenvolvido por Pearson e ele designado pela letra minúscula grega χ � 
seguida do expoente 2, sendo muito aplicado nas pesquisas biológicas, este teste 
mede a variação quando temos amostras com frequências observadas, e baseadas 
na teoria, podemos calcular as frequências esperadas. 
α
α
α/2 α/2
α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H₀/H₀ é verdadeiro)
β = P(erro tipo II) = O(aceitar H₀/H₀ é falso)
DECISÃO
REALIDADE
H₀ verdadeira H₀ falsa
Aceitar H₀ Decisão correta (1-α) Erro tipo II (β)
Rejeitar H₀ Erro tipo I (α) Decisão correta (1-β)
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TÓPICO 3 | TESTES DE HIPÓTESE
109
A fórmula expressa é:
� 2 0
2
�
�� �£ f fe
ef
GL= nº de classes – 1
Onde:
f0: frequência observada
fe: frequência esperada
Vamos ao exemplo:
Quando lançamos uma moeda, esperamos que ela seja de cara ou coroa, 
não é?!
Mas, se lançarmos esta mesma moeda 350 vezes, esperamos que a metade 
delas seja cara, e a outra metade consequentemente coroa. Portanto, a frequência 
esperada é 175, igual para cada uma. 
Porém, quando realizamos o experimento, observamos que há uma 
discrepância entre os números de caras e os números de coroas. Tendo como o 
número de caras 160 e o número de coroas igual a 190. Os desvios são iguais a + 
15 para caras e para coroa é -15.
Então o teste de quiquadrado será aplicado visando verificar a significância 
nos desvios que ocorrem (RODRIGUES, 1993, p. 80).
Usando a fórmula: 
 
� 2 0
2
�
�� �£ f fe
ef
Lembrando que o desvio é elevado ao quadrado e dividido pela frequência 
esperada.
Com os dados anteriores:
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 109Estatística e Indicadores Ambientais.indd 109 17/01/2023 14:38:4417/01/2023 14:38:44
110
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
f0: 160 e 190
fe: 175
�
1
2
2
2190 175
175
15
175
1 28�
�� �
� � ,
�
2
2
2 2
160 175
175
15
175
1 28�
�� �
�
�� �
� ,
Somando-se os valores de χ
1
2
 e χ2
2
, tem –se:
χ
1
2
 + χ2
2
 = 1,28+1,28 = 2,56 n.s.*
*n.s. = não significativo
Em seguida, confrontamos este valor com o valor tabela.
Valor da tabela= 2-1=1 --> São duas classes
Então verifica-se que o valor obtido, igual a 2,56, é menor do que 
encontrado na tabela, portanto, χ 2 é considerado não significativo, os desvios 
observados na amostra podem ser atribuídos ao acaso.
4 TESTE T – (STUDENT)
Rodrigues (1993) descreve que se trata de um teste de larga aplicação 
utilizado para a verificação de diferenças significativas entre médias, quando 
temos apenas dois tratamentos, ou seja, duas médias.
Ainda segundo Rodrigues (1993), há três formas distintas de sua aplicação:
• Amostras ou dados independentes – comparação das médias.
• Dados dependentes – comparação de médias, antes e após determinado 
tratamento.
• Estimativa de parâmetros – quando de uma população retiramos uma amostra 
e testamos se a média desta representa bem a média da população.
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TÓPICO 3 | TESTES DE HIPÓTESE
111
O teste t é indicado segundo Rodrigues (1993), para amostras que 
apresentam pequeno número de elementos (pequenas amostras), também 
podendo ser empregado para compararmos médias de amostras independentes 
quando o número de elementos nos dois grupos é diferente.
Vamos aos exemplos:
a. Amostras independentes – variâncias conhecidas (σ2)
Comparando o peso, aos 60 dias de vida, de 26 caprinos da raça A e 26 da 
raça B, segundo Rodrigues (1993) obtivemos os seguintes dados:
Raça A Raça B
X 1 = 38 Kg X 2 = 33,5 Kg
s1 = 5 Kg s2 = 6 Kg
n1 = 26 n2 = 26
Para a determinação do valor t, para a verificação das médias se apresentam 
diferenças significativas e aplica-se a seguinte fórmula:
t x x
s
n
s
n
�
�
�
�
1 2
1
2
1
2
2
2
Em que:
X 1 e X 2 : média das amostras
s1 e s2 : desvios padrões das amostras
n1 e n2 : número de observações das amostras 
t x x
s
n
s
n
�
�
�
�
�
�
� �� �
, ,
,
,1 2
1
2
1
2
2
2
2 2
38 33 5
5
26
6
26
4 50
1 86
2 94
Recorrendo a tabela t, e lembrando que:
1,53 
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 111Estatística e Indicadores Ambientais.indd 111 17/01/2023 14:38:5017/01/2023 14:38:50
112
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
GL= n1+n2 -2, observando os valores t no nível de 5% e 1% de 
probabilidade na tabela; e que se o valor encontrado for menor que os 2 valores 
da tabela e correspondente àqueles graus de liberdade, o valor de t então, não 
será significativo, implicando, concluir que a diferença entre as médias não foi 
significativa (RODRIGUES, 1993).
Voltando ao nosso exemplo, temos como valor de t = 2,94, para 50 graus, 
pois 26 +26-2 = 50.
Conclusão: Consideramos significativo, no nível de 1% de probabilidade 
(P<0,01), por ter ultrapassado os valores da tabela; 1,67 a 5% e 2,40 a 1%. Dessa forma, 
concluímos que há 99% de probabilidade que os caprinos da raça A, aos 60 dias de 
vida, devam representar peso médio mais elevado do que os caprinos da raça B.
b. Amostras independentes – variâncias desconhecidas ( σ2)
O exemplo a seguir (RODRIGUES, 1993) possui duas amostras de 
indivíduos, que são submetidas a um determinado tratamento, obtendo-se de 
cada grupo os dados relativos à pressão arterial sistólica (PAS):
Grupo A Grupo B
X 1 = 175 X 2 = 169
s1 = 10 s2 = 11
n1= 20 n2= 32
Para a determinação do t, a fim de testar a diferença entre as médias 
aritméticas, temos:
t x x
s
n n
A B
x x
A B
A B
�
�
��
�
.
1 1
Sendo que:
xA e xB : médias aritméticas dos grupos
n1 e n2 : número de observações 
Primeiramente vamos a estes cálculos:
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 112Estatística e Indicadores Ambientais.indd 112 17/01/2023 14:38:5317/01/2023 14:38:53
TÓPICO 3 | TESTES DE HIPÓTESE
113
Depois, iremos ao teste t:
Conclusão: t = 1,98 n.s. (P>0,05)
O valor de t foi considerado não significativo, portanto, a diferença entra 
as médias não foi significativa.
4.1 DADOS DEPENDENTES
Como já foi dito antes, a amostra é observada antes e após certo tratamento 
(RODRIGUES, 1993).
Vamos ao exemplo (RODRIGUES, 1993, p. 85).
Considerando uma amostra de 10 crianças, de 8 a 12 anos de idade, as 
quais teriam o seu índice CPOD determinado antes e após a aplicação de flúor.
sx xA B� � �113 02 10 63, ,
s
s n s n
n nx x
A A B B
A B
A B� �
�� � � �� �
� �
2
2 2
1 1
2
�
.A
s
s n s n
n n
x x
x x
A A B B
A B
A B� �
�� � � �� �
� �
�
�
� �
�2
2 2
1 1
2
19 100 31 121
20 32 2
�
.A
sx xA B� �
�
� �2 19003751
50
5651
50
113 02� ,
t x x
s
n n
A B
x x
A B
A B
�
�
��
�
.
1 1
t � �
�
�
� �
� ��
, .
, . , ,
,
175 169
10 63
1
20
1
32
6
10 63 0 285
6
3 03
1 98
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114
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
Nº de crianças
Aplicação de flúor
Diferença
Antes Após
1 5,7 4,7 1,0
2 5,2 4,8 0,4
3 6,4 6,0 0,4
4 5,9 5,3 0,6
5 5,8 5,2 0,6
6 7,0 5,0 2,0
7 6,4 5,6 0,8
8 6,0 5,2 0,8
9 5,8 5,0 0,8
10 5,2 4,6 0,9
Para se verificar a diferença entre as médias, e se estas são significativas, 
utiliza-se a seguinte fórmula:
t
x x
s
n
antes após�
�
�
� �
GL = n -1
Onde:
Numerador apresenta diferença entre as médias.
No denominador, s, é o desvio-padrão da diferença entre os valores 
antes e após.
E n corresponde ao número de elementos da amostra.
E n corresponde ao número de elementos da amostra.
Dessa forma:
x antes= 5,94 
xdepois = 5,14
sdif = 0,46
n = 10
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TÓPICO 3 | TESTES DE HIPÓTESE
115
Usando a fórmula temos:
t
x x
s
n
antes após�
�
�
�
� ��
�
�
, ,
,
,
,
,
,
� 5 94 5 14
0 46
10
0 80
0 46
3 13
5 49
– após
Conclusão:
Olhando na tabela GL = 10-1=9
O t calculado é 5,49
Então, olhando para a tabela para 9 graus de liberdade, temos 1,83 (5%) e 
2,82 (1%).
Conclui-se então que, t = 5,49 e considerado significativo no nível de 1% 
de probabilidade (P<0,01), logo, a ação do flúor foi eficiente sobre a queda do 
índice de cárie.
4.2 DIFERENÇA ENTRA A MÉDIA AMOSTRAL E O PARÂMETRO
POPULACIONAL
Segundo Rodrigues (1993), neste caso, é conhecida a média da característica 
ao estudar a população e, ao determinarmos a amostra, desejamos verificar se ela 
representa a população de onde foi retirada.
Eis a fórmula:
t X
s
n
�
� �
Onde:
X = média amostral
μ = parâmetro populacional
s = desvio-padrão da amostra
n = número de elementos da amostra
Vamos ao exemplo Rodrigues (1993).
Verificamos que uma população bovina seja constituída de 10.000 animais, 
cuja média de peso seja igual a 420 kg. Retiramos dessa população uma amostra 
de 400 animais cujas observações sobre a média de peso apresentaram valor igual 
a 375 kg e desvio padrão de 23 kg. Observamos estes fatos, e neste experimento, 
queremos saber se a amostra representa bem a população, ou melhor, se haverá 
diferença significativa entre a média da amostra e da população.
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116
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
t X
s
n
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� ,
375 420
23
400
45
23
20
900
23
39 13
t = -39,13 (P<0,01)
Este valor acima, confrontado com os valores da tabela, para n=1 grau de 
liberdade, com 1,96 (5%) e 2,58 (1%), possibilita concluirmos que o valor calculado 
é significativo no nível de 1%nde probabilidade (P<0,01), sendo assim, a amostra 
não representa bem a população, pois a média aritmética se diferencia da média 
populacional (RODRIGUES, 1993).
5 COMPARAÇÃO DE DUAS PROPORÇÕES
“Quando desejamos comparar duas proporções, podemos testar uma 
hipótese nula de diferença estatística não significativa contra uma hipótese 
alternativa de diferença estatística entre eles” (RODRIGUES, 1993, 1993).
Para isso, utilizamos o valor de Z, em que:
Z p p
p q
n
p q
n
�
�
�
1 2
1 1
1
2 2
2
Onde:
p1 e p2 = frequências relativas das duas amostras comparadas, e nestas 
condições elas devem ser independentes.
n1 e n2 = número de observações em cada amostra
q1 = 1 – p1
q2 = 1 – p2
Vamos ao exemplo (RODRIGUES, 1993):
Numa pesquisa de laboratório demonstrou que a droga A administrada a 
50 animais provocou a morte de 26 deles, enquanto a droga B dada a 80 animais 
permitiu que 48 animais sobrevivessem.
Pergunto:
Há diferença significativa entre as duas drogas?
H0;p1 = p2; Ha:p1≠p2
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TÓPICO 3 | TESTES DE HIPÓTESE
117
Então temos:
p
1
26
50
0 52= = ,
q
1
1 0 52 0 48� � �, ,
n1 = 50
p
2
32
80
0 40= = ,
q
1
1 0 40 0 60� � �, ,
n2= 80
E, portanto, com a fórmula de Z, temos:
Z p p
p q
n
p q
n
�
�
�
�
�
� �� �
�
� �� �
1 2
1 1
1
2 2
2
0 52 0 40
0 52 0 48
50
0 40 0 60
8
, ,
, , , ,
00
0 12
0 00799
0 12
0 089
1 34� � ��
,
,
,
,
,
Z = 1,34
Com este resultado conclui-se que não houve diferença estatística 
significativa entre as duas drogas. Aceita-se H0, pois o valor de Z encontra-se na 
área de aceitação (RODRIGUES, 1993).
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 117Estatística e Indicadores Ambientais.indd 117 17/01/2023 14:39:0817/01/2023 14:39:08
118
Neste tópico vimos:
• Hipótese é uma suposição formulada a respeito dos parâmetros de uma 
distribuição de probabilidade de uma ou mais populações.
• Vimos os testes de quiquadrado, teste t e comparação de duas proporções, 
sendo estes os mais usados.
• O teste quiquadrado mede a variação quando temos amostras com frequências 
observadas, e baseadas na teoria, podemos calcular as frequências esperadas.
• O teste t, serve para a verificação de diferenças significativas entre médias, 
quando temos apenas dois tratamentos.
• Para verificar a comparação de duas proporções, podemos testar uma hipótese 
nula de diferença estatística não significativa contra uma hipótese alternativa 
de diferença estatística entre eles.
RESUMO DO TÓPICO 3
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 118Estatística e Indicadores Ambientais.indd 118 17/01/2023 14:39:0817/01/2023 14:39:08
119
AUTOATIVIDADE
1 Vamos reforçar os conhecimentos.
Nº de coletas AMOSTRA 01 (ml) AMOSTRA 02 (ml) AMOSTRA 03 (ml)
1 456 356 608
2 235 535 407
3 801 614 504
4 145 234 401
5 239 335 327
6 112 485 366
7 298 234 715
8 203 555 617
9 314 399 802
10 158 222 433
11 203 409 344
Como já vimos, a hipótese é uma suposição formulada a respeito 
dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade de uma ou mais 
populações, certo, de acordo com as amostras coletadas abaixo, respondam se 
entre elas há diferenças estatísticas.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 119Estatística e Indicadores Ambientais.indd 119 17/01/2023 14:39:0817/01/2023 14:39:08
120
ANEXOS
FONTE: Disponível em: <http://www.amendes.uac.pt/monograf/monograf01estatNpa
ramt.pdf>. Acesso em: 10 maio 2015.
Nível do Significância para 
D – máx|F₀ (x) – Sn (x)|
0,20 0,15 0,10 0,05 0,01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
35
Mais de 35
0,900
0,684
0,565
0,494
0,446
0,410
0,381
0,358
0,339
0,332
0,307
0,295
0,284
0,274
0,266
0,258
0,250
0,244
0,237
0,231
0,21
0,19
0,18
0,925
0,726
0,597
0,525
0,474
0,436
0,405
0,381
0,360
0,342
0,326
0,313
0,302
0,392
0,283
0,274
0,266
0,259
0,252
0,246
0,22
0,20
0,19
0,950
0,776
0,642
0,564
0,510
0,470
0,438
0,411
0,388
0,368
0,352
0,338
0,325
0,314
0,304
0,295
0,286
0,278
0,272
0,264
0,24
0,22
0,21
0,975
0,842
0,708
0,624
0,565
0,521
0,486
0,457
0,432
0,410
0,391
0,375
0,361
0,349
0,338
0,328
0,318
0,309
0,301
0,294
0,27
0,24
0,23
0,995
0,929
0,828
0,733
0,669
0,618
0,577
0,543
0,514
0,490
0,468
0,450
0,433
0,418
0,404
0,392
0,381
0,371
0,363
0,356
0,32
0,29
0,27
1,65
N N N N N
1,14 1,22 1,36 0,63
√ √ √ √ √
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 120Estatística e Indicadores Ambientais.indd 120 17/01/2023 14:39:0917/01/2023 14:39:09
121
Tabela Qui-quadrado
FONTE: Disponível em: <http://pt.slideshare.net/pcasquilho/tabela-qui-quadrado-2012>.Acesso 
em: 10 maio 2015.
n/F
1 – α
0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,250 0,500 0,750 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
5051
52
53
54
55
56
0,000
0,010
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
2,603
3,074
3,555
4,075
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
8,034
8,643
9,260
9,886
10,520
11,160
11,808
12,451
13,121
13,787
14,458
15,134
15,815
16,501
17,192
17,887
18,586
19,289
19,996
20,707
21,421
22,138
22,859
23,584
24,311
25,041
25,775
26,511
27,249
27,991
28,735
29,481
30,230
30,981
31,735
32,490
0,000
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,645
2,088
2,558
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
8,897
9,542
10,195
10,855
11,524
12,198
12,879
13,565
14,256
14,953
15,655
16,362
17,074
17,789
18,509
19,233
19,960
20,691
21,426
22,146
22,905
23,650
24,398
25,148
25,901
26,657
27,416
28,117
28,941
29,707
30,475
31,245
32,018
32,793
33,570
34,350
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,554
8,231
8,907
9,591
10,283
10,982
11,689
12,401
13,120
13,844
14,573
15,308
16,047
16,791
17,539
18,291
19,047
19,806
20,569
21,336
22,106
22,878
23,654
24,433
25,215
25,999
26,785
27,575
28,356
29,160
29,956
30,755
31,555
32,357
33,162
33,958
34,776
35,586
35,398
37,212
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
11,951
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
19,281
20,072
20,867
21,664
22,455
23,259
24,075
24,884
25,695
29,051
27,326
28,144
28,955
29,787
30,612
31,439
32,268
33,098
33,930
34,764
35,600
36,437
37,276
38,116
38,958
39,801
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
18,939
19,768
20,599
21,434
22,271
23,110
23,952
24,797
25,643
26,492
27,343
28,195
29,051
29,907
30,765
31,625
32,487
33,350
34,215
35,081
35,949
36,818
37,689
38,560
39,433
40,308
41,183
42,060
42,937
0,102
0,575
1,213
1,923
2,575
3,455
4,255
5,071
5,899
6,737
7,584
8,438
9,299
10,165
11,037
11,912
12,792
13,675
14,562
15,452
16,344
17,240
18,137
19,037
19,939
20,843
21,749
22,657
23,567
24,478
25,390
26,304
27,216
28,136
29,054
29,973
30,893
31,815
32,737
33,660
34,585
35,510
36,436
37,363
38,291
39,220
40,149
41,079
42,010
42,942
43,874
44,808
45,741
46,676
47,610
48,546
0,455
1,386
2,366
3,357
4,351
5,348
6,346
7,344
8,343
9,342
10,341
11,340
12,340
13,339
14,339
15,338
16,338
17,338
18,338
19,337
20,337
21,337
22,337
23,337
24,337
25,336
26,336
27,336
28,336
29,336
30,336
31,336
32,336
33,336
34,336
35,336
36,336
37,335
38,335
39,335
40,335
41,335
42,335
43,335
44,335
45,335
46,335
47,335
48,335
49,335
50,335
51,335
52,335
53,335
54,335
55,335
1,323
2,773
4,108
5,385
6,625
7,841
9,037
10,219
11,389
12,549
13,701
14,845
15,984
17,117
18,245
19,369
20,489
21,605
22,718
23,828
24,935
26,039
27,141
28,241
29,339
30,435
31,528
32,620
33,711
34,800
35,887
36,973
38,058
39,141
40,223
41,304
42,383
43,462
44,539
45,616
46,692
47,766
48,840
49,913
50,985
52,056
53,127
54,196
55,265
56,334
57,401
58,458
59,534
60,600
61,665
62,726
2,705
4,605
6,251
7,779
9,235
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
29,615
30,813
32,007
33,195
34,382
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
41,422
42,585
43,745
44,903
46,059
47,212
48,363
49,513
50,660
51,805
52,949
54,090
55,230
56,369
57,505
58,641
59,774
60,907
62,038
63,167
64,295
65,422
66,548
67,673
68,795
69,919
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,352
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
44,985
46,194
47,400
48,602
49,802
50,998
52,192
53,384
54,572
55,758
56,942
58,124
59,304
60,481
61,656
62,830
64,001
65,171
66,339
67,505
68,669
69,832
70,993
72,153
73,311
74,468
5,024
7,378
9,348
11,143
12,833
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,195
44,461
45,722
46,979
48,232
49,480
50,725
51,956
53,203
54,437
55,668
56,896
58,120
59,342
60,561
61,777
62,990
64,201
65,410
66,617
67,821
69,023
70,222
71,420
72,616
73,810
75,002
76,192
77,380
78,567
6,635
9,210
11,345
13,277
15,085
16,812
18,475
20,090
21,665
23,209
27,725
26,217
27,668
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
35,191
37,565
39,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
52,191
53,485
54,776
56,061
57,342
58,619
59,893
61,162
62,482
63,691
64,950
66,205
67,549
68,710
69,957
71,201
72,443
73,683
74,919
76,154
77,385
78,616
79,843
81,069
82,292
83,513
7,879
10,597
12,838
14,850
16,750
18,548
20,278
21,955
23,589
25,188
26,757
28,300
29,819
31,319
32,801
34,267
35,718
37,156
38,582
39,997
41,401
42,796
44,181
45,559
46,928
48,290
49,645
50,993
52,336
53,672
55,003
56,328
57,648
58,964
60,275
61,581
62,883
64,181
65,476
66,766
68,053
69,336
70,616
71,893
73,166
74,437
75,704
76,959
78,231
79,490
80,747
82,001
83,253
84,502
85,749
86,994
Distribuição de Qui-Quadrado
Valores da Função de Distribuição
F(ϰ) = ∫
n
0
ϰ
( )2
(n-2)
n n
-1
2
2 2
2e
Se X - ϰ² então P (X ≤ ϰ) = 1 - α
Se X - ϰ² então P (X ≤ 11,07) = 0,95(5)
(5)ϰ²₀,₉₅ = 11,07
0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
5 10 15 20 25
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122
Tabela T
FONTE: Disponível em: <http://paginapessoal.utfpr.edu.br/lcandido/tabelas-estatistica/t_student.
pdf/at_download/file> Acesso em: 15 jun. 2015.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 122Estatística e Indicadores Ambientais.indd 122 17/01/2023 14:39:1017/01/2023 14:39:10
123
Tabela Z
Áreas sob a curva normal padrão. Para os valores negativos de z as áreas 
são obtidas por simetrias.
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389
1 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767
2 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 123Estatística e Indicadores Ambientais.indd 123 17/01/2023 14:39:1017/01/2023 14:39:10
124
2,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4965 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,49730,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499
3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,49 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5
FONTE: Disponível em: <http://www.cultura.ufpa.br/dicas/biome/biotaz.htm>. Acesso em: 15 
jun. 2015.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 124Estatística e Indicadores Ambientais.indd 124 17/01/2023 14:39:1017/01/2023 14:39:10
125
TÓPICO 4
TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico você irá ver alguns testes não paramétricos adotados no 
meio científico. Tais testes são utilizados quando não há uma normalidade dos 
dados que foram levantados no experimento.
Viali (2008, p. 4) ainda cita que: “Em geral, as probabilidades das afirmativas 
obtidas na maioria dos testes não paramétricos são exatas, salvo quando se usam 
aproximações para grandes amostras. Independem da forma da população da 
qual a amostra foi obtida. São, em geral, de mais fácil aplicação, e exigem, quase 
sempre, menor volume de cálculos. Existem testes não paramétricos que nos 
permitem trabalhar com dados de diferentes populações, o que não é possível 
com os paramétricos. São úteis nos casos em que é difícil estabelecer uma escala 
de valores quantitativos para os dados. O pesquisador pode apenas dizer que 
um dado tem mais ou menos da característica que está sendo analisada, sem 
poder precisar ou quantificar as diferenças. Os dados se encontram numa certa 
ordem de classificação: mais ou menos; melhor ou pior; maior ou menor etc. São 
mais eficientes do que os paramétricos, quando os dados da população não têm 
uma distribuição normal. E quando a população é normalmente distribuída, sua 
eficiência, em alguns casos, é levemente inferior à dos concorrentes”.
2 TESTE U MANN-WHITEY
Este teste corresponde a uma alternativa para a comparação de duas 
amostras, os números naturais são classificados num conjunto de valores 
observados. Assim, o posto de um valor de um conjunto de n valores corresponde 
a um número natural que indicará a sua posição no conjunto anteriormente 
ordenado, quando ocorre a presença de valores iguais no conjunto, nós 
consideramos um ponto médio, não afetando assim o posto seguinte. Um 
exemplo, num conjunto de seis valores já ordenados 7 – 12 – 18 – 18 – 19 – 23, os 
postos serão 1 – 2 – 3,5 – 3,5 – 5 e 6, respectivamente (RODRIGUES, 2002).
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126
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
A aplicação do teste baseia-se na aplicação no cálculo de V1 eV2:
U n n
n n
T
1 1 2
1 1
1
1
2
� �
�� �
�.
E
U n n
n n
T
2 1 2
2 2
2
1
2
� �
�� �
�.
Onde:
n1 e n2 = os tamanhos das duas amostras de T1 e T2
T1 e T2 = correspondem às somas dos pontos atribuídos aos valores das 
duas amostras.
Nas fórmulas, vocês irão observar que em algumas expressões; o sinal ponto (.), 
outras vezes o X (xis), e algumas não há nenhum sinal atribuído a multiplicação, atendem a isso.
ATENCAO
Para comparação de amostras com n1 e n2 maiores que sete, o teste pode 
ser aplicado por aproximação normal (RODRIGUES, 2002).
Tendo as seguintes fórmulas:
u u n n� � � 1 2
2
.
E
� u
n n n n� � � � �� �1 2 1 2
1
12
.
Neste caso, a expressão do teste será:
Z
U u u
u
�
� � �
� �
1
�
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 126Estatística e Indicadores Ambientais.indd 126 17/01/2023 14:39:1617/01/2023 14:39:16
TÓPICO 4 | TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
127
Vamos ao exemplo Rodrigues (2002).
Num determinado experimento, vamos verificar se os dados das duas 
amostras apresentam diferenças significativas.
Amostra A Amostra B
Dados Postos Dados Postos
2,6 (9,5) 2,3 (5)
2,9 (13) 2,8 (12)
2,5 (8) 2,0 (2)
2,7 (11) 1,8 (1)
3,2 (14) 2,4 (7)
2,6 (9,5) 2,3 (5)
2,3 (5) 2,2 (3)
3,3 (15)
T1=85,0 T2=35,0
Primeiro Passo: ordenação dos valores para a obtenção dos seus postos e 
posterior somatório, já demostrado no quadro acima.
Temos então: 
n1 = 8
n2= 7
T1= 85
T2= 35
Após isso, primeiramente iremos calcular os seguintes valores:
u u n n� � � � �1 2
2
8 7
2
28
. �.�. 7
� u
n n n n� � � � �� �
� � � �1 2 1 2
1
12
8 7 16
12
896
12
74 66 8 63
. �.�.��
� , ,
. 7 . 16 896
12
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128
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
O teste pode ser aplicado tanto para U1 ou U2, pois ambos são simétricos 
em relação à média 28 (RODRIGUES, 2002).
Então:
U n n
n n
T
1 1 2
1 1
1
1
2
8 7
8 9
2
85 7� �
�� �
� � � � �. �.�
�.�. 7
. 9
Sendo assim, o valor de Z será:
Z
U u u
u
�
� � �
� �
�
�
� �1 7 28
8 63
2 43
�
�
,
,
Como o valor de | Z | absoluto é maior do que Zα, quando α=0,05, ou seja, 
o valor de 1,96, rejeitamos H0. Como conclusão final, as amostras diferem entre si 
no nível de 5% de significância (RODRIGUES, 2002).
3 TESTE T DE WILCOXON
Este teste avalia a grandeza das diferenças observadas quando comparados 
postos de observação, quando isto ocorre, atribui-se maior valor para a maior 
diferença encontrada, diminuindo este valor de acordo com as menores diferenças 
existentes (RODRIGUES, 2002).
Ainda segundo Rodrigues (2002), como os demais testes não paramétricos, 
são utilizados os números naturais 1,2,3...n para representar os valores decorrentes 
das diferenças observadas, para este teste se tivermos um conjunto de diferenças 
do tipo: 7,4,2,9,13; estes receberão uma numeração de acordo com sua grandeza: 
7(3),4(2),2(1),9(4),13(5). Observando que os números entre parênteses são os 
números naturais, e que esta é a forma ponderada comumente utilizada nos 
testes não paramétricos.
Por exemplo, se tivermos um experimento em que pares de indivíduos 
são comparados, vamos utilizar o seguinte procedimento (RODRIGUES, 2002):
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 128Estatística e Indicadores Ambientais.indd 128 17/01/2023 14:39:2217/01/2023 14:39:22
TÓPICO 4 | TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
129
Tratamento
A B Diferenças
12 9 3 (3,5)
8 4 4 (5)
7 5 2 (2)
6 6 0 (1)
9 6 3 (3,5)
10 5 5 (6)
9 3 6 (7)
Ainda, segundo Rodrigues (2002, p. 124), “na ordenação dos valores 
de diferenças observa-se o uso da ponderação, ou seja, menores valores com 
números mais baixos e, consequentemente, os valores mais altos com numeração 
mais alta. Percebe-se que há sete diferenças, sendo utilizados os primeiros sete 
números naturais. Em dois valores de diferenças, com igual grandeza, os mesmos 
receberam pontuação igual”.
3.1 PEQUENAS AMOSTRAS
Segundo Rodrigues (2002), a aplicação deste teste se dá quando as duas 
amostras sejam casualizadas e independentes, e que as variáveis em confronto 
sejam contínuas.
Ainda segundo Rodrigues 2002, sua metodologia consiste em proceder 
à ordenação dos valores das amostras, depois, atribuir aos mesmos a pontuação 
dos números naturais, em seguida, obter o somatório dos números naturais, 
atribuídos aos valores da amostra de menor tamanho, consultando a tabela do 
referido teste.
Vamos ao exemplo Rodrigues (2002, p. 125).
Em um laboratório foi realizado um ensaio clínico em que foram utilizadas 
duas drogas A e B. Com a droga A foram tratados oito pacientes e com a droga B, 
cinco. Os níveis de anticorpos correspondem a:
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130
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
Grupo A Grupo B
7,4 – 12,3 – 11,8 – 16,4 – 1,9 – 3,0 – 6,8– 
20,4 9,1 – 0,7 – 19,2 – 2,4 – 17,5
Levando em consideração a explicação acima, primeiramente vamos 
ordenar todos os valores para então proceder à classificação conjunta, atribuindo-
se os valores naturais a cada um (RODRIGUES, 2002).
Temos assim:
Observa-se que alguns valores estão sublinhados, estes correspondem aos 
elementos da menor amostra. Se somarmos os valores naturais atribuídos a estes 
valores temos: 1+3+7+11+12=34. (RODRIGUES, 2002).
Quando consultamos a Tabela de Wilcoxon, e de acordo com o resultado 
obtido W=34, verifica-se que P(W=34)=0,473.
Podemos assim afirmar que aceitamos H0, que o valores referentes às 
drogas A e B, apresentam diferenças não significativas. Concluindo assim, que 
os níveis de anticorpos em relação aos dois tipos de drogas se comportaram de 
forma semelhante (RODRIGO, 2002).
0,7 1,9 2,4 3,0 6,8 7,4 9,1 11,8 12,3 16,4 17,5 19,2 20,4
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
3.2 GRANDES AMOSTRAS
Nesses casos, estas amostras apresentam valores com distribuição normal 
e portanto, a comparação das medidas será realizada através de determinação de 
um valor W (RODRIGUES, 2002).
Ainda, segundo Rodrigues (2002, p. 126), “são enunciadas naturalmente 
as hipóteses nula e alternativa. Será rejeitada a hipótese nula se o valor de Wx for 
maior ou igual a Zα, onde Zα é o limite superior da distribuição normal no nível 
de α de significância, sendo = 1,96% para 5% e Z= 2,58 para 1%...”.
A fórmula utilizada é:
W
W
n m n
m n m n
* �
�
� �� �
� �� �
1
2
1
12
.
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TÓPICO 4 | TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
131
Em que: 
W= somatório de pontos atribuídos aos valores da menor amostra
n= número de elementos da menor amostra
m= número de elementos da maior amostra
Vamos ao exemplo (RODRIGUES, 2002).
Num experimento, uma dieta é aplicada a 23 atletas durante um período 
experimental. Posteriormente são formados dois grupos, sendo que um deles 
permanece com a mesma dieta. Verificando o ganho de peso ao final do ensaio, 
observam-se os seguintes dados:
Grupo Dieta Total (m=12) Grupo dieta Parcial (n=11)
6,0 (22) 0,2 (1)
0,8 (4) 0,9 (5)
5,4 (21) 2,3 (14)
5,3 (20) 2,9 (16)
4,9 (19) 3,0 (17)
0,4 (2) 1,9 (11)
7,3 (23) 1,7 (10)
2,4 (15) 1,0 (6)
3,7 (18) 1,2 (8)
1,4 (9) 2,0 (12)
1,1 (7) 2,2 (13) W=113
Primeiramente inicia-se uma análise fazendo-se a classificação conjunta 
dos 23 elementos, utilizando os números naturais, conforme exposto acima.
Segundo, obtém-se o somatório de pontos atribuídos aos valores da menor 
amostra (dieta parcial), o que corresponde a W=113.
n=11
m=12
Vamos ao cálculo:
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132
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
Considerando que o valor de W*=-1,17 é menor do que o valor de Z5%=1,96, 
aceitamos H0, concluindo assim, que os valores dos dois conjuntos apresentam 
diferença não significativa.
4 TESTE DE KRUSKAL-WALLIS
Segundo Rodrigues (2002), este teste é utilizado para que se verifique o 
contraste entre k amostras independentes, os valores obtidos nas diversas amostras 
diferem entre si, e portanto, será uma maneira de verificar se estas diferenças são 
devidas ao acaso ou se amostras provêm de populações diferentes. Neste teste, 
todas as N observações recebem uma pontuação através dos números naturais 
1,2,3...n, assim, ao menor valor se dará pelo número 1, e assim sucessivamente até 
o maior valor, que receberá a maior pontuação. Serão consideradas as hipóteses 
nula (H0) e alternativa (Ha).
Eis a fórmula adotada:
H
N N n
N
i
K
i
i
�
�� �
� �� �
�
�12
1
3 1
1
2
.
R
Onde:
Ri : é a soma das ordens atribuídas ao tratamento i.
K: corresponde ao número de tratamentos a comparar.
ni:o número de observações em cada tratamento K.
N: o total de observações em todos os tratamentos K.
W
W
n m n
m n m n
* �
�
� �� �
� �� �
�
�
� �� �
�
1
2
1
12
113
11 12 11 1
2
11 12 24
12
. �.� �.�. 12 . 24
W * �
�
�
�
�
�
� �
113
11 24
2
264
113 132
16 2
19
16 2
1 17
�.�
, ,
,
11 . 24
W* = -1,17
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 132Estatística e Indicadores Ambientais.indd 132 17/01/2023 14:39:2917/01/2023 14:39:29
TÓPICO 4 | TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
133
Ainda, segundo Rodrigues (2002), na ordenação global que se faz para 
atribuição dos pontos, considera-se que nos casos de empate entre duas ou mais 
observações será procedida à média das ordens que seriam atribuídas a elas se 
não houvesse o empate. Para a verificação de significância, quanto as diferenças 
observadas entre tratamentos K, Rodrigues (2002) cita que se considere que o teste 
tem uma distribuição aproximada de χ2(quiquadrado) com K-1 graus de liberdade.
Vamos ao exemplo Rodrigues (2002).
Num experimento, vamos analisar o tempo de sobrevida, em meses, de 
pacientes atendidos na clínica de abdômen do hospital X, na cidade de Cabrobó.
Radioterapia (n=7) Quimioterapia (n=8) Cirurgia (n=8)
17 (11)0 20 (12) 32 (17)
14 (9) 5 (3) 35 (20)
4 (2) 9 (6) 26 (15)
8 (5) 13 (8) 34 (18,5)
29 (16) 34 (18,5) 21 (13)
6 (4) 2 (1) 45 (21)
15 (10) 11 (7) 50 (23)
22 (14) 47 (22)
Vamos aos questionamentos.
Há diferença significativa entre os tempos de sobrevida? Qual é o 
tratamento recomendado baseado no tempo de sobrevida?
Primeiro passo: identificar os somatórios dos pontos em cada tratamento, 
dessa forma temos:
R1= 57,0
R2= 69,5
R3= 149,5
Então, com todos os dados em mãos, vamos à fórmula:
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134
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
O teste de Kruskal-Wallis segue a distribuição do teste de quiquadrado 
(RODRIGUES, 2002).
G.L= k-1=3-1=2
Os valores da tabela de X2 correspondem:
g.l. 5% 1%
2 5,99 9,21
Observando que o valor de H=11,95, e este é maior do que os valores da 
tabela, concluímos pela rejeição de H0 e, consequentemente, pela indicação de 
que o tratamento cirúrgico se destaca dos demais, pois apresenta maiores valores 
quanto ao tempo de sobrevida (RODRIGUES, 2002).
5 TESTE EXATO DE FISHER
Quando seus dados no seu experimento apresentarem uma tabela 
de contingência com formato 2x2, com pequeno número de observações, e 
consequentemente, com frequências observadas em cada casa muito baixa, a 
literatura apresenta a utilização do teste exato de Fisher, no qual estimamos a 
partir da menor frequência contida da tabela, a probabilidade de ocorrência desse 
valor e de uma frequência menor ainda, fazendo-se a comparação p pi
i
n
� �� 0
, 
em que n é a menor frequência verificada na tabela (RODRIGUES, 2002.)
De acordo com Rodrigues (2002, p. 123), “Numa tabela de contingência 
de 2x2, com totais marginais fixos, as frequências observadas têm distribuição 
hipergeométrica considerando a seguinte tabela:
H
x
x� � ��
��
�
��
�
12
23 24
3249
7
4830 25
8
22350 25
8
3 24.
. ,
H =11 95,
H
N N n
N
i
K
i
i
�
�� �
� �� � �
�� �
� �
�
�12
1
3 1
12
23 23 1
57
7
69 5
8
149 5
1
2 2 2
. � .
, ,R
22
8
3 23 1
�
�
�
�
�
� � �� �
H x� � �� �� � � �� �
12
46
464 14 603 78 2793 78 3 24
1
46
3 861 70 72 83. , , , � . . , ,995 72�
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TÓPICO 4 | TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
135
Fator I II Total
A a b a+b
B c d c+d
Total a+c b+d N
A probabilidade de ocorrência de observações na classe (B,II), é dada por:
P x d
a b c d b d
N a b c d
�� � � �� � �� � �� �! ! !
! ! ! ! !
Vamos ao exemplo de Rodrigues (2002).
Realizamos um experimento onde há dois tratamentos contra o vírus da 
AIDS versus a mortalidade.
Tipo de 
tratamento
Mortalidade
Total
Sim Não
A7 5 12
B 1 9 10
Total 8 14 22
p pi
i
n
� �� 0
, sendo que para o cálculo de p, com i variando de 0 a 1, temos:
p=1.
P
a b c d b d
N a b c d1
12 10 8 14
22 7 5 1 9
0 0�
�� � �� � �� �
� �
! ! !
! ! ! ! !
! ! ! !
! ! ! ! !
, 224
Agora modificando o p=0, temos outra tabela:
Tipo de 
tratamento
Mortalidade
Total
Sim Não
A 8 4 12
B 0 10 10
Total 8 14 22
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136
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
P
a b c d b d
N a b c d0
12 10 8 14
22 0 10 8 4
0�
�� � �� � �� �
� �
! ! !
! ! ! ! !
! ! ! !
! ! ! ! !
,00015
Resolução:
O valor de p será 0,024 + 0,0015 = 0,0255
Como este p é menor que o nível de significância, para α=0,05 a decisão correta 
será rejeitar H0 e aceitar Ha. Conclui-se então que há diferença quanto à mortalidade 
em relação ao tipo de tratamento, sendo B mais eficaz (RODRIGUES, 2002).
6 TESTE DE FRIEDMAN
Segundo Motta e Wagner (2003, p. 180), (teste de Friedman, ou também 
chamado de prova de Friedman), “... a dupla análise de variância por postos 
– o χ 2
 de Friedman ( χ p
2 ) – é a aproximação não paramétrica que permite a 
comparação de dados resultantes numa mesma amostra, em dois momentos 
distintos (na forma antes e depois)”.
Eis a fórmula:
� p NK K
R N K2
1
212
1
3 1�
�� � � � � �� �£ £
Onde:
K= número de tratamentos (número de condições em que foram realizadas 
as mensurações)
N= tamanho da amostra
∑R1= soma dos postos relativos a um particular tratamento
Ainda, segundo Motta e Wagner (2003), o emprego da dupla análise da 
variância dos postos, necessita que os seguintes requisitos sejam satisfeitos:
• Comparação de dados de uma mesma amostra mensurada sob duas ou mais 
condições (ou, então, que os membros de duas ou mais amostras tenham sido 
aglutinados em função de variáveis específicas);
• Dados ordinais - para que aos dados possam ser atribuídos postos;
• O tamanho da amostra não deve ser pequeno. O tamanho mínimo de N depende 
do número de tratamentos (K) aos quais a amostra é exposta. Por exemplo: N 
deve ser igual ou maior que 10 quando K=3; já com K=4, N≥5.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 136Estatística e Indicadores Ambientais.indd 136 17/01/2023 14:39:4117/01/2023 14:39:41
TÓPICO 4 | TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
137
Vamos ao exemplo de Rodrigues (2002, p. 132):
Num experimento são prescritos quatro procedimentos técnicos para 
a determinação de certa variável. Foram formados cinco blocos e obtidos os 
seguintes valores:
TRATAMENTOS
A B C D
12,00 (2) 13,00 (3) 16,00 (4) 07,00 (1)
08,00 (2) 09,00 (3) 12,00 (4) 05,00 (1)
14,00 (2) 20,00 (3) 22,00 (4) 06,00 (1)
17,00 (3) 16,00 (2) 21,00 (4) 11,00 (1)
12,00 (2) 15,00 (3) 16,00 (4) 10,00 (1)
Primeiramente procede-se à ordenação dos valores, em cada bloco, para a 
obtenção dos valores de Ri:
R1= 11,00
R2=14,00
R3=20,00
R4= 5
Colocando os valores na fórmula, fica:
� p NK K
R N K2
1
212
1
3 1�
�� � � � � �� �£ £
� p
2 2 2 2 212
5 4 4 1
11 14 20 5 3 5 4 1�
�� �
� � ��� �� � �� �
.
.
� p
2 12
100
121 196 400 25 3 5 5
12
100
742 75 89 04 75 14� � � �� �� � � �� � � �. . , ,004
Como o valor de graus de liberdade é igual a K-1 graus de liberdade e 
sendo K=4, tem-se três graus de liberdade> Para três graus de liberdade os valores 
do teste χ 2
correspondem a:
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138
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
Graus de liberdades 5% 1%
. . .
. . .
. . .
3 7,82 11,34
Concluindo: sendo o valor encontrado na análise igual a 14,04, maior do 
que os valores da tabela de χ 2
, verifica-se que há diferença significativa entre as 
medidas dos tratamentos, rejeitando H0 e optando-se pela hipótese alterantiva 
(Ha). Então, o tratamento C apresentou melhores resultados em relação aos 
demais grupos (RODRIGUES, 2002).
7 TESTE DE MCNEMAR
De acordo com Motta e Wagner (2003), este teste é uma alternativa para 
o teste quiquadrado para amostras dependentes (pareadas). Sendo empregado 
quando é realizado um pareamento indivíduo a indivíduo entre os membros de 
duas amostras ou quando o indivíduo é controle de si mesmo.
Eis a fórmula:
�c McNemar
b c
b c,�
�
� �� �
�
1
2
Mc Nemar
Vamos ao exemplo (VIALI, 2008, p. 13). 
Um psicólogo infantil está interessado em observar a iniciação de contatos 
sociais em crianças. Ele observou que crianças que são novas em uma escola 
maternal estabelecem contatos interpessoais com adultos ao invés de com outras 
crianças. Ele prevê que à medida que se familiarizam com o ambiente as crianças 
estabelecem contatos interpessoais com outras crianças ao invés de com adultos. 
Para testar esta hipótese ele observa 25 crianças nos seus primeiros dias em uma 
escola maternal e então categoriza suas primeiras iniciações de contatos sociais 
em: se foi dirigido a um adulto ou se foi dirigido a outra criança. Ele, então, 
observa cada uma das 25 crianças depois de elas estarem na escola por um mês, 
fazendo a mesma classificação.
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TÓPICO 4 | TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
139
FONTE: VIALI (2008, p. 13).
Hipóteses:
• Ho: Para aquelas crianças que mudam, a probabilidade de que uma criança 
mude o seu objeto de iniciação de um adulto para criança (isto é, PA) é igual 
a probabilidade que ela mude seu objeto de iniciação de criança para adulto 
(isto é, PB) e é igual a 50%, ou seja: PA = PB = 1/2.
• H1: PA > PB Prova Estatística. Prova de McNemar para a significância de 
mudanças porque o estudo utiliza duas amostras relacionadas e utiliza 
mensuração nominal. 
• Nível de significância. Sejam α = 0,05 e n = 25, o número de crianças observadas 
no primeiro e no trigésimo dia na escola maternal. Distribuição amostral. 
• Quiquadrado com 1 grau de liberdade. Região de Rejeição. Consiste de todos 
os valores da distribuição χ2 obtidos dos dados tal que a probabilidade de 
ocorrência de um valor mais extremo é menor que 0,05. Decisão. Os dados 
hipotéticos do exemplo estão mostrados na tabela acima. De acordo com eles 
o valor de quiquadrado calculado é:
�c McNemar
b c
b c,�
�
� �� �
�
1
2
Mc Nemar
�c McNemar,�
,�
� �� �
�
�
14 4 1
14 4
4 50
2
Mc Nemar
Uma consulta à tabela mostra que o valor da distribuição quiquadrado 
com “um” grau de liberdade e com probabilidade de 5% é 3,84. Como o valor 
calculado é maior do que o valor tabelado rejeita-se H0, isto é, pode-se afirmar 
que as crianças apresentam tendência significativa para mudar o objeto de 
seu interesse, de adulto para outra criança, após 30 dias de frequência à escola 
maternal. (VIALI, p. 13, 2008).
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 139Estatística e Indicadores Ambientais.indd 139 17/01/2023 14:39:4817/01/2023 14:39:48
140
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
8 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE SPEARMAN (Rs)
Motta e Wagner (2003) descrevem que este teste é o substituto do 
coeficiente de Pearson e é empregado sempre que as variáveis quantitativas não 
satisfizerem as exigências (distribuição bivariada normal e homocedascidade – 
igual (homo) dispersão (scedasticidade).
Eis a fórmula:
r d
n ns � �
�
1
6
2
3
£
Ainda segundo Motta e Wagner (2003, p. 179), “a magnitude do coeficiente 
de Spearman, indica correlação entre postos e não entre valores medidos e varia 
entre -1 (correlação perfeita negativa e +1 (correlação perfeita positiva), passando 
pelo valor 0 (ausência de correlação) sendo interpretada, portanto, do mesmo 
modo que o coeficiente de correlação de Pearson (r).
Vamos ao exemplo (VIALI, 2008):
Em um estudo sobre o efeito das pressões grupais sobre um indivíduo 
para uma atitude conformista em uma situação que envolva risco monetário, os 
pesquisadores aplicaram a 12 estudantes universitários a escala F (medidade 
autoritarismo) e uma escala destinada a medir as aspirações de status social. 
Desejava-se uma informação sobre a correlação entre os escores relativos 
ao autoritarismo e os escores referentes às aspirações de status social. (Tais 
aspirações foram definidas de acordo com os pontos de vista “O indivíduo não 
deve casar-se com pessoa de nível social inferior ao seu”, ou “Para um encontro, 
é melhor uma demonstração equestre do que um jogo de baseball”, ou ainda, “É 
interessante verificar sua genealogia”. A tabela 9 fornece os escores de cada um 
dos 12 estudantes nas duas escalas.
∑
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 140Estatística e Indicadores Ambientais.indd 140 17/01/2023 14:39:5117/01/2023 14:39:51
TÓPICO 4 | TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
141
FONTE: VIALI (2008, p. 37)
Para calcular o coeficiente de correlação por postos, de Spearman, para 
estes dois conjuntos de valores é necessário colocá-los, inicialmente em duas 
séries de postos. Estes postos são apresentados na tabela 10, juntamente com as 
diferenças entre eles e as diferenças ao quadrado. Através destes dados então, 
pode-se calcular o coeficiente de correlação rs, através da expressão mostrada 
acima. Assim:
FONTE: VIALI (2008, p. 37)
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 141Estatística e Indicadores Ambientais.indd 141 17/01/2023 14:39:5217/01/2023 14:39:52
142
UNIDADE 2 | MEDIDAS ESTATÍSTICAS
Através destes dados, então, pode-se calcular o coeficiente de correlação 
rs, através da expressão mostrada acima. Assim:
r d
n ns � �
�
� �
�
�1
6
1
6 52
12 12
0 82
2
3 3
£ .
,
r d
n ns � �
�
1
6
2
3
£∑
∑
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 142Estatística e Indicadores Ambientais.indd 142 17/01/2023 14:39:5517/01/2023 14:39:55
143
Neste tópico você viu que:
• O teste de U Mann-Whitey corresponde a uma alternativa para a comparação 
de duas amostras, os números naturais são classificados num conjunto de 
valores observados. Assim, o posto de um valor de um conjunto de n valores 
corresponde a um número natural que indicará a sua posição no conjunto 
anteriormente ordenado.
• Teste de T Wilcoxon, avalia a grandeza das diferenças observadas quando 
comparados postos de observação.
• Teste de Kruskal-Wallis, é utilizado para que se verifique o contraste entre k 
amostras independentes.
• Teste exato de Fisher, no qual estimamos a partir da menor frequência contida 
da tabela, a probabilidade de ocorrência desse valor e de uma frequência menor 
ainda, fazendo-se a comparação.
• Teste de Fridman, é a dupla análise de variância por postos, que permite a 
comparação de dados resultantes numa mesma amostra, em dois momentos 
distintos.
• Teste de McNemar, empregado quando é realizado um pareamento indivíduo 
a indivíduo entre os membros de duas amostras ou quando o indivíduo é 
controle de si mesmo.
• Coeficiente de correlação de Spermann é empregado sempre que as variáveis 
quantitativas não satisfizerem as exigências.
RESUMO DO TÓPICO 4
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 143Estatística e Indicadores Ambientais.indd 143 17/01/2023 14:39:5517/01/2023 14:39:55
144
AUTOATIVIDADE
Num experimento, com 4 tratamentos, obtivemos os seguintes 
dados:
Rep T1 T2 T3 T4
1 8 11 15 18
2 46 40 37 47
3 6 7 5 2
4 14 45 36 25
5 1 9 4 13
6 3 0 20 10
Calcule com estes dados:
a) O teste U Mann-whitey, reponda:
- Os dois primeiros tratamentos diferem entre sim?
- O terceiro tratamento com primeiro?
b) Levando em consideração oTeste de Kruskal-Wallis, essas amostras provêm 
de uma mesma população?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 18 20 25 36 37 40 45 46 47
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Levando os dados para a tabela
Rep T1 Postos T2 Postos T3 Postos T4 Postos
1 8 9 11 12 15 15 18 16
2 46 23 40 21 37 20 47 24
3 6 5 7 8 5 6 2 3
4 14 14 45 22 36 19 25 18
5 1 2 9 10 4 5 13 13
6 3 4 0 1 20 17 10 11
Total 
postos T1 57 T2 74 T3 82 T3 85
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145
a)
• Os primeiros tratamentos não são diferentes estatísticamente.
H0: As amostras têm distribuições idênticas 
Ao nível de 5% de probabilidade 
 U = 15 P(U) = 0.350 
 p-valor > 0.05 H0 não rejeitada 
 As amostras não são diferentes 
 Para o caso n2 < 9 com n2 >= n1 U' = 21 
• Para a terceira e primeira amostras
H0: As amostras têm distribuições idênticas 
Ao nível de 5% de probabilidade 
 U = 12 P(U) = 0.197 
 p-valor > 0.05 H0 não rejeitada 
 As amostras não são diferentes 
 Para o caso n2 < 9 com n2 >= n1 U' = 24 
b) Testes de Kruskal-Wallis
Hipótese nula (H0): 
 
 Os tratamentos provêm de uma mesma população 
 Ao nível de 5% de probabilidade 
 H = 1.3533 H-crit = 7,8147 
 p-valor > 0.05 H0 não rejeitada 
 Ao nível de 1% de probabilidade 
 H = 1.3533 H-crit = 11,3449 
 p-valor > 0.01 H0 não rejeitada
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146
ANEXOS
FONTE: Disponível em: <http://www.amendes.uac.pt/monograf/
monograf01estatNparamt.pdf>. Acesso em: 15 jun. 2015.
Estatística e Indicadores Ambientais.indd 146Estatística e Indicadores Ambientais.indd 146 17/01/2023 14:39:5617/01/2023 14:39:56
147
FONTE: Disponível em: <http://www.amendes.uac.pt/monograf/monograf01esta
tNparamt.pdf>. Acesso em: 15 jun. 2015.
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148
FONTE: Disponível em: <http://www.amendes.uac.pt/monograf/
monograf01estatNparamt.pdf>. Acesso em: 15 jun. 2015.
Valores Críticos de rS, coeficiente de correlação de Spearman
N
Nível de significância
(unilateral)
0,05 0,01
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
1,000
0,900
0,829
0,714
0,643
0,600
0,564
0,506
0,456
0,425
0,399
0,977
0,359
0,343
0,329
0,317
0,306
1,000
0,943
0,893
0,833
0,783
0,746
0,712
0,645
0,601
0,564
0,534
0,508
0,485
0,465
0,448
0,432
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149
UNIDADE 3
ÍNDICES ECOLÓGICOS 
UTILIZADOS COMO INDICADORES 
DE QUALIDADE AMBIENTAL
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• reconhecer os principais métodos e índices ecológicos para tomada de 
decisão no que tange a resolução de problemas ecológicos;
• estudar os principais ecólogos e cientistas responsáveis pela criação dos 
índices ecológicos e ambientais;
• identificar os principais problemas associados à exploração dos recursos 
naturais utilizando índices ecológicos;
• capacitar-se tecnicamente para estudos ecológicos e de impacto ambiental;
• compreender as definições básicas dos processos de avaliação e gestão dos 
recursos naturais;
• entender que a utilização de índices ecológicos possui alguma instabilidade, 
e reconhecer essa fragilidade para proposição da adequada recuperação 
ambiental;
• utilizar softwares que permitem o cálculo dos índices propostos;
• interpretar resultados de relatórios ambientais.
Esta unidade está dividida em dois tópicos, sendo que ao final de cada um 
deles, você encontrará atividades que lhe auxiliarão na apropriação dos 
conhecimentos.
TÓPICO 1 – AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES 
ECOLÓGICOS
TÓPICO 2 – ÍNDICES ECOLÓGICOS
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151
TÓPICO 1
AS ORIGENS DOS INDICADORESAMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Até o momento vimos diversas técnicas estatísticas para serem utilizadas 
em estudos ambientais. Deve-se utilizar essas técnicas para tomar decisões sobre 
o futuro de uma determinada área. Toda a decisão amparada pelo “achismo” 
pode ter graves consequências ambientais, e você, como partícipe de um 
movimento que visa à sustentabilidade deve estar muito atento a isso. No caso 
dos indicadores ambientais, eles serão fundamentais para que você decida sobre 
a saúde de um determinado ecossistema, e assim, ajude a preservá-lo.
A seguir veremos alguns aspectos ecológicos que derivam dos problemas 
ambientais enfrentados atualmente, e que estão fora da linha que vai ao encontro 
do desenvolvimento sustentável, onde visamos a integração das partes social, 
econômica e ambiental. Desta forma, esperamos sensibilizar todos vocês da 
importância de utilizarmos as ferramentas estatísticas e os indicadores ambientais 
para gerenciamento dos nossos recursos.
2 POR QUE UTILIZAR ÍNDICES DE QUALIDADE AMBIENTAL?
Ao nos depararmos com ambientes completamente degradados, colocamos 
em questão qual ou quais ferramentas poderíamos dispor para gerenciar esses 
problemas. Não importa qual bioma (mata atlântica, cerrado, restinga ou caatinga), 
e ainda em qual ambiente, se no mar, na terra, ou florestas. As ferramentas que 
dispomos para reconhecer um ambiente degradado são amplas e bem robustas. 
Assim, podemos adequar nossas decisões naquilo que é mais pertinente, e também 
aqueles métodos que nos trazem mais confiabilidade dos resultados.
Você já ouviu falar em índices de diversidade? E índices de riqueza e 
equitatividade? Acha que diversidade biológica é a mesma coisa que riqueza de 
espécies? E a similaridade, ouviu falar? Quando por exemplo comparamos uma 
área de proteção integral com outra. Normalmente, os resultados gerados por 
todos esses índices nos mostram o quanto uma determinada área está degradada 
ou ainda se está saudável do ponto de vista biológico. Como exemplo, podemos 
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
152
pegar uma Reserva Particular do Patrimônio Natural (RPPN). Como o profissional 
responsável por essa área poderá tomar uma decisão com relação à ocupação 
dessa área e apresentar para os órgãos ambientais como IBAMA e ICMBio? 
Naturalmente se os gestores dessa área optarem por lidar com as ferramentas 
que serão apresentadas nessa disciplina, tudo fica mais claro, e as proposições 
das medidas a serem tomadas, melhor geridas.
Em um primeiro momento, toda a parte estatística apresentada nas 
Unidades I e II embasam o profissional no delineamento do seu esforço amostral, 
assim como no cálculo das estatísticas pertinentes. Assim, os relatórios poderão 
ser apresentados com robustez e principalmente confiabilidade.
E para os índices de qualidade ambiental? O que fazer? Bom, voltando 
as perguntas anteriores, sobre diversidade, riqueza e equitatividade de espécies, 
por exemplo, podemos imaginar que um ambiente degradado não apresenta um 
índice de diversidade elevado. Mas em relação à riqueza de espécies, quando 
esta estiver acentuada, será que haveria um indicativo de problemas ambientais 
associados? Normalmente, na mídia, muitos especialistas confundem-se ao 
abordar esses dois conceitos como sendo a mesma coisa. Mas não são!
Para lembrá-lo: Segundo o IBGE, Bioma é um conjunto de vida (vegetal e animal) 
constituído pelo agrupamento de tipos de vegetação contíguos e identificáveis em escala 
regional, com condições geoclimáticas similares e história compartilhada de mudanças, o 
que resulta em uma diversidade biológica própria. O Brasil abriga seis biomas continentais. 
São eles: Amazônia, Cerrado, Mata Atlântica, Caatinga, Pampa e o Pantanal. 
FONTE:<http://www.florestal.gov.br/snif/recursos-florestais/os-biomas-e-suas-florestas>. 
Acesso em: 25 abr. 2015.
UNI
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TÓPICO 1 | AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
153
FIGURA 22 – BIOMAS DO BRASIL
FONTE: IBGE e MMA (2004)
Quando falamos que um ambiente é diverso em número de espécies, ou 
ainda, que tem alta diversidade, queremos dizer que existem muitas espécies 
(vegetais e animais) coexistindo, e/ou residentes em um determinado ambiente. 
Uma característica muito importante aqui é que o número de exemplares ou 
indivíduos não difere muito entre cada uma das espécies observadas. Obviamente 
que temos espécies com populações maiores e menores, mas geralmente seu 
número apresenta certa homogeneidade. Mas a riqueza?
Quando falamos em um ecossistema rico em espécies, isso quer dizer que 
determinado bioma favorece a predominância de uma ou poucas espécies. Ou 
seja, de todas as espécies residentes em uma determinada área, por exemplo, duas 
delas podem ter suas populações com o número de indivíduos muito acentuado, 
muito acima da média das demais espécies. Ficou claro? Assim sendo, qual 
diagnóstico que você, como profissional, poderia ter desta área? Na sua opinião, 
qual ambiente, independente do bioma, do ponto de vista ecológico, poderia ser 
considerado o mais estável e/ou saudável, um ambiente rico ou um ambiente 
diverso?
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
154
Se pegarmos por exemplo, fragmentos florestais de Mata Atlântica, 
podemos observar que esse ambiente é composto por uma enorme heterogeneidade 
de condições ambientais, que oscilam em função da latitude e ainda da maior ou 
menor proximidade com o mar, onde já pode ser denominada de restinga. Desta 
forma, fica fácil imaginarmos que em um local com oscilação de temperatura, 
umidade, vento, insolação, latitude e composição de solo, é esperada uma 
grande diversidade, tanto animal quanto vegetal. Fica evidente, que quanto mais 
diverso o ambiente em suas condições físicas e químicas, mais espécies esse local 
pode abrigar, ou seja, maior número de indivíduos se pode encontrar em seus 
respectivos nichos ecológicos. Olhando para a integridade deste ecossistema, 
esse estaria mais conservado do que um outro fragmento desta floresta onde o 
mesmo número de espécies não fosse observado.
Com a diversidade desse fragmento reduzida, o que falar sobre a riqueza 
de indivíduos, ou ainda, se somente uma ou duas espécies predominassem 
nesse ambiente. Certamente, que as condições de sobrevivência nesse ambiente 
seriam mais restritas, ou ainda, favoreceriam o crescimento de poucas espécies, 
e essas por sua vez, encontrariam nesse tipo de ambiente, condições para se 
reproduzirem em número muito acentuado. Assim, ficaria claro que esse 
ambiente não estaria em uma condição normal. Alguns ambientes, claro, são 
mais restritivos em relação ao número de espécies que suportam, mas de maneira 
geral, em ambientes degradados, é onde iremos verificar menor diversidade 
com algumas espécies predominando em número de indivíduos sobre outras. 
Essa característica também pode ser observada em baixas latitudes, onde as 
condições do ambiente favorecem o crescimento em número de organismos de 
algumas espécies, mas deve ficar claro que esse ambiente não necessariamente 
está degradado. Dependendo da situação, e dependendo do ambiente, caso esse 
naturalmente ofereça condições propícias para o desenvolvimento de apenas 
alguns organismos, que assim seja. Esses irão encontrar condições físico-
químicas determinantes para o crescimento exponencial de suas populações. Já 
regiões tropicais e subtropicais possuem elevada diversidade animal e vegetal, 
em função da amplitude de condições ambientais observadasnesse ambiente. 
Nesses casos, naturalmente encontramos elevada diversidade, e qualquer 
diminuição nessa característica poderia indicar sérios problemas ambientais. 
Como exemplo disso temos a Mata Atlântica.
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TÓPICO 1 | AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
155
FIGURA 23 – PROCESSO DE REDUÇÃO DA MATA ATLÂNTICA NO BRASIL
FONTE: Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/ambiente/2013/06/1289500-desmatamen
to-na-mata-atlantica-e-o-maior-desde-2008.shtml>. Acesso em: 20 abr. 2015.
Como observado na figura acima, a redução da Mata Atlântica tem 
causado inúmeros problemas ambientais em função da redução da sua cobertura 
vegetal, e também devido à fragmentação de hábitats. Esse processo torna os 
biomas particularmente sensíveis devido à limitação de conectividade entre 
os fragmentos. As espécies vegetais e animais que ali residem sofrem com o 
deslocamento, na busca de alimentos ou ainda por indivíduos a fim de completar 
o seu ciclo reprodutivo. Desta forma inúmeros problemas podem ser observados, 
como a redução de fluxo gênico entre indivíduos reprodutores o que acarreta 
na sobrevivência desses organismos devido à falta de resposta adaptativa, 
principalmente em função da geração de indivíduos consanguíneos. Outro 
problema grave que pode ser observado nesses fragmentos isolados é o chamado 
“Efeito de Borda”. Você sabe o que isso significa? Imagine uma área de floresta 
nativa do tamanho de um campo de futebol. Nas bordas desse campo, todas as 
condições físicas e químicas serão distintas daquelas observadas no interior desse 
campo imaginário. Por quê? Fica fácil entender quando observamos que todas as 
condições ecológicas como temperatura, umidade, insolação, vulnerabilidade as 
chuvas, escoamento superficial de água, erosão, minerais no solo entre muitas 
outras características alteram-se com facilidade por estarem mais expostas, certo?
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
156
E a mesma coisa ocorre com a variação do número de espécies que se 
adaptam a essas novas condições. Diferente do centro do campo de futebol, 
onde as condições são mais homogêneas, percebe-se que a diversidade antes 
observada no fragmento intacto é maior e mais homogênea, diferente daquela 
comunidade animal ou vegetal da borda desse fragmento. Nesses locais mais 
vulneráveis vamos observar que poucas espécies conseguem se adaptar e 
normalmente suas populações apresentam grande número de indivíduos 
ocasionando em elevada riqueza.
FIGURA 24 – FRAGMENTAÇÃO DE HÁBITATS NAS REGIÕES DO CERRADO NO ESTADO 
DA BAHIA
FONTE: Google Earth (2015)
A figura circular no centro do fragmento (A) representa o ambiente com 
as condições mais homogêneas e alta diversidade vegetal e animal, enquanto que 
a figura retangular (B) a região de borda desse mesmo fragmento, onde maior 
riqueza será observada. 
Voltando aos índices ecológicos, são justamente essas características que 
os especialistas em recuperação ambiental levam em consideração na tomada de 
decisão a medidas de manejo para um determinado local. 
Na figura Processo de redução da mata atlântica no Brasil, fica claro que 
a cobertura vegetal do bioma Mata Atlântica ficou reduzida a uma área muito 
menor daquela observada há aproximadamente 30 anos. A supressão de vegetação 
que ocorreu em função da exploração de madeira e também para contrução civil 
foi implacável para acelerar o processo de degradação desse importante bioma 
no Brasil. Além do problema da fragmentação florestal, não foi dada a devida 
atenção para a importância dos corredores biológicos, que na prática permitiriam 
maior conectividade entre os fragmentos remanescentes.
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TÓPICO 1 | AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
157
Conceito técnico:
Para lembrá-lo: O efeito de borda ocorre porque a maioria dos fragmentos apresenta uma 
transição abrupta entre as bordas e as matrizes. Dessa forma, a borda do fragmento fica mais 
vulnerável às ações externas, como invasões biológicas, penetração de vento e radiações 
solares. Estes fatores propiciam uma diferenciação entre as condições físicas e bióticas na 
borda e no interior do fragmento, alterando a estrutura, a composição e/ou a abundância 
relativa de espécies na parte marginal de um fragmento. Além disso, quanto maior o contraste 
entre a estrutura dos fragmentos e da matriz, maior a intensidade destes efeitos na periferia do 
fragmento, tanto sobre a flora quanto fauna. O efeito de borda, como é chamada tal alteração, 
é mais intenso em fragmentos pequenos e isolados. Esta alteração da estrutura acarreta em 
uma mudança local, e, muitas vezes, pode atingir até 500 metros. Dessa forma, estudos 
sugerem que a relação perímetro X área deve ser considerada na escolha de fragmentos a 
serem protegidos.
FONTE:<http://www.portaleducacao.com.br/biologia/artigos/25316/efeito-de-borda>. 
Acesso em: 25 abr. 2015.
UNI
Os sistemas naturais, devido à sua estrutura e complexidade, são ambientes 
vulneráveis, e que durante o processo de exploração podem ser profundamente 
afetados. Assim, sua recuperação torna-se lenta, podendo não sustentar os níveis de 
uso atual, contrastando com as metas de produção para a atual sociedade. Assim, 
planos de manejo adequado embasados por técnicas de gerenciamento corretas são 
imprescindíveis para a manutenção da biodiversidade. (RICKLEFS, 2003).
Uma alternativa para o processo de exploração dos biomas brasileiros, 
principalmente no que tange ao desmatamento e a fragmentação dos hábitats, 
seria a manutenção de corredores biológicos. Resumidamente esta estratégia 
de conservação permitiria que os maiores fragmentos de floresta ficassem 
conectados entre si através de menores parcelas, funcionando como um tipo de 
corredor de flora e fauna.
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
158
Conceito técnico
Como instrumento de gestão territorial, os Corredores Ecológicos atuam com o objetivo 
específico de promover a conectividade entre fragmentos de áreas naturais. Eles são definidos 
no SNUC como porções de ecossistemas naturais ou seminaturais, ligando unidades de 
conservação, que possibilitam entre elas o fluxo de genes e o movimento da biota, facilitando 
a dispersão de espécies e a recolonização de áreas degradadas, bem como a manutenção 
de populações que demandam para sua sobrevivência áreas com extensão maior do que 
aquelas das unidades individuais.
Os Corredores Ecológicos visam mitigar os efeitos da fragmentação dos ecossistemas 
promovendo a ligação entre diferentes áreas, com o objetivo de proporcionar o deslocamento 
de animais, a dispersão de sementes, aumento da cobertura vegetal. São instituídos com base 
em informações como estudos sobre o deslocamento de espécies, sua área de vida (área 
necessária para o suprimento de suas necessidades vitais e reprodutivas) e a distribuição de 
suas populações. A partir destas informações são estabelecidas as regras de utilização destas 
áreas, com vistas a possibilitar a manutenção do fluxo de espécies entre fragmentos naturais 
e, com isso, a conservação dos recursos naturais e da biodiversidade. São, portanto, uma 
estratégia para amenizar os impactos das atividades humanas sob o meio ambiente e uma 
busca ao ordenamento da ocupação humana para a manutenção das funções ecológicas no 
mesmo território.
As regras de utilização e ocupação dos corredores e seu planejamento são determinadasno 
plano de manejo da Unidade de Conservação à qual estiver associado, incluindo medidas 
com o fim de promover sua integração à vida econômica e social das comunidades vizinhas.
Os Corredores Ecológicos são criados por ato do Ministério do Meio Ambiente. Até o 
momento foram reconhecidos dois corredores ecológicos:
  Corredor Capivara-Confusões
  Corredor Caatinga
 
Para saber mais sobre esses corredores acesse:
 • Portaria nº 76 de 11 de março de 2005, reconhece o Corredor Capivara-Confusões.
 • Portaria nº131 de 4 de maio de 2006, reconhece o Corredor Ecológico da Caatinga.
FONTE: Disponívelem: <http://www.mma.gov.br/areas-protegidas/acoes-e-iniciativas/gestao
-territorial-para-a-conservacao/corredores-ecologicos>. Acesso em: 25 abr. 2015.
UNI
Para compreendermos a importância dos ecossistemas e sua fragilidade, o 
ecólogo Odum (1988) destaca que o ambiente é composto de:
• Ecossistemas de início de sucessão 
• Ecossistemas maduros ou clímax
• Sistemas aquáticos
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TÓPICO 1 | AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
159
Os ecossistemas em início de sucessão são aqueles que estão no início do 
seu desenvolvimento. E esse fenômeno ocorre por diferentes razões. Se usarmos 
como exemplo um bioma qualquer, por exemplo o cerrado, podemos imaginar 
duas situações. A primeira que este bioma ainda não ocupou determinada área, 
ou ainda não se desenvolveu ao longo deste novo espaço, e assim, gradualmente 
passa a ocupar um novo local e, portanto, dizemos que ele está em início do seu 
estágio sucessional. Na segunda situação, o cerrado encontra-se completamente 
desenvolvido. Na ecologia falamos em clímax, e, portanto, uma vegetação com 
maior maturidade. Aqui, para que esse ecossistema volte para a sua condição 
original, somente se alguma perturbação de ordem natural ou não degradar parte 
da mata. Pode-se imaginar aqui diversas situações. Uma queimada provocada 
por um raio. Ou ainda, um desmatamento, com posterior mobilização do solo 
preparando-o para a agricultura. Nos dois exemplos, levamos o ecossistema 
cerrado para uma fase inicial do seu desenvolvimento. Ou seja, não mais 
encontramos todas as espécies animais e vegetais que antes ali cresciam e viviam. 
Imagine agora que o solo está completamente descoberto, a céu aberto.
Se optarmos por recuperar essa área, devastada pelo fogo (ordem natural), 
ou mesmo pelo homem (supressão de vegetação de ordem antropogênica), 
devemos deixar essa área sem qualquer tipo de interferência pelos próximos anos. 
Algumas técnicas de revegetação e que aceleram esse processo de recuperação 
poderão ser utilizadas. Mas, de forma geral, esse bioma entrará gradualmente em 
processo de sucessão, onde a comunidade de fauna e flora sofrerão alteração ao 
longo dos anos. No início, muitas espécies pioneiras, que se adaptam facilmente 
às condições mais expostas – similar às condições de borda de floresta, e menor 
diversidade será observada, com maior número de indivíduos de uma mesma 
espécie, ou seja, grande riqueza. Posteriormente, conforme vamos avançando no 
tempo, essa condição vai alternando. A vegetação começa a crescer, árvores de 
maior porte começam a ser observadas, e, portanto, maior sombreamento incide 
sobre o solo. Dessa forma, uma nova condição se instala, e espécies rasteiras e de 
solo, não mais conseguem sobreviver a esta condição. Dizemos que a vegetação 
está em um processo secundário de desenvolvimento, indo em direção ao seu 
clímax, ou seja, seu estágio final de desenvolvimento, onde maior biodiversidade 
e equitabilidade de fauna e flora será encontrada.
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
160
conceitos
Para você não ter dúvidas sobre a sucessão ecológica 
Processo ordenado da instalação e desenvolvimento de uma comunidade de fauna ou flora. 
Ocorre com o tempo e termina quando se estabelece na área uma comunidade estável. 
Vamos tomar como exemplo uma região completamente desabitada, como uma rocha 
nua. O conjunto de condições para que plantas e animais sobrevivam ou se instalem nesse 
ambiente são muito desfavoráveis:
• Iluminação direta causa altas temperaturas.
• A ausência de solo dificulta a fixação de vegetais.
• A água das chuvas não se fixa e rapidamente evapora. 
Os seres vivos capazes de se instalar em tal ambiente devem ser bem adaptados e pouco 
exigentes. Estes são os liquens (associação de cianobactérias com fungos), que conseguem 
sobreviver apenas com água, luz e pouca quantidade de sais minerais. Isso caracteriza a 
formação de uma comunidade pioneira. Os liquens, por serem os primeiros seres a se instalarem, 
são chamados de “organismos pioneiros”. A atividade metabólica dos liquens vai lentamente 
modificando as condições iniciais da região. Os liquens produzem ácidos orgânicos que 
corroem gradativamente a rocha, formando através da erosão as primeiras camadas de solo. 
Camada sobre camada de líquen, vão formando um tapete orgânico, que enriquece o solo, 
deixando o mesmo úmido e rico em sais minerais. A partir de então as condições, já não 
tão desfavoráveis, permitem o aparecimento de plantas de pequeno porte, como briófitas 
(musgos), que necessitam de pequena quantidade de nutrientes para se desenvolverem e 
atingirem o estágio de reprodução. Novas e constantes modificações se sucedem permitindo 
o aparecimento de plantas de maior porte como samambaias e arbustos. Também começam 
a aparecer os pequenos animais como insetos e moluscos.
UNI
Dessa forma, etapa após etapa a comunidade pioneira evolui, até que a velocidade do 
processo começa a diminuir gradativamente, chegando a um ponto de equilíbrio, no qual 
a sucessão ecológica atinge seu desenvolvimento máximo compatível com as condições 
físicas do local (solo, clima etc.). Essa comunidade é a etapa final do processo de sucessão, 
conhecida como comunidade clímax. Cada etapa intermediária entre a comunidade pioneira 
e o clímax é chamada sere.
FONTE: Disponível em: <http://www.sobiologia.com.br/conteudos/bio_ecologia/ecologia23.
php>. Acesso em: 25 abr. 2015.
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TÓPICO 1 | AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
161
No ambiente, se formos medir índices de diversidade, riqueza, 
equitatividade ou similaridade, nos primeiros estágios do processo de sucessão 
ecológica provavelmente serão observadas muitas espécies pioneiras ou R 
estrategistas. Essas têm um ciclo de vida muito curto (nascem, se desenvolvem 
e morrem) em um período muito curto, adaptadas a locais com grande variação 
das condições ambientais. Para que a ocupação ocorra, apenas algumas espécies 
conseguem encontrar ali seu espaço para viver, adaptando-se à variabilidade 
do ambiente. Ao mesmo tempo em que somente alguns táxons conseguem, e 
por terem ciclo de vida muito curto, para compensar essas características, essas 
poucas espécies geram muitos descentes que ocupam gradativamente a área 
degradada ou intocada.
Espera-se, portanto, que o índice de riqueza observado para a área 
em início de processo de sucessão e/ou recuperação seja mais acentuada. Na 
contramão, menores índices de diversidade e equitatividade serão observados 
nesses mesmos locais no início do processo de sucessão ou recuperação. O 
processo inverso ocorre quando temos uma área cuja floresta se encontra em 
estágio de clímax ou totalmente desenvolvida. Nessas condições é esperada alta 
diversidade de flora e fauna, assim como elevada equitatividade. Então, quando a 
diversidade aumenta, podemos observar no ambiente muitos táxons e o número 
de indivíduos dentro das populações é equivalente. Desta forma, pode-sedizer 
que o ambiente está equilibrado, diverso e equitativo, sem a predominância de 
alguma espécie específica, que acarretaria aumento da riqueza.
3 OS ÍNDICES ECOLÓGICOS SÃO CONFIÁVEIS?
FIGURA 11: AS CARACTERÍSTICAS DE UMA COMUNIDADE CLÍMAX
ATRIBUTOS DO ECOSSISTEMA EM 
DESENVOLVIMENTO CLÍMAX
CONDIÇÕES AMBIENTAIS Variável e imprevisível
Constante ou 
previsivelmente 
variável
POPULAÇÕES
Mecanismos de determinação de 
tamanho populacional
Abióticos, 
independentes de 
densidade
Bióticos, dependentes 
de densidade
Tamanho do indivíduo Pequeno Grande
Ciclo de vida Curto/simples Longo/complexo
Crescimento Rápido, alta 
mortalidade
Lento, maior 
capacidade de 
sobrevivência 
competitiva
Produção Quantidade Qualidade
Flutuações Mais pronunciadas Menos pronunciadas
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
162
ESTRUTURA DA COMUNIDADE
Estratificação (heterogeneidade espacial) Pouca Muita
Diversidade de espécies (riqueza) Baixa Alta
Diversidade de espécies (equitatividade) Baixa Alta
Diversidade bioquímica Baixa Alta
Matéria orgânica total Pouca Muita
ENERGÉTICA DA COMUNIDADE
PPB/R >1 = 1
PPB/B Alta Baixa
PPL Alta Baixa
Cadeia alimentar Linear (simples) Em rede (complexa)
NUTRIENTES
Ciclo de minerais Aberto Fechado
Nutrientes inorgânicos Extrabióticos Intrabióticos
Troca de nutrientes entre organismos e 
ambiente Rápida Lenta
Papel dos detritos na regeneração de 
nutrientes Não importante Importante
POSSIBILIDADE DE EXPLORAÇÃO 
PELO HOMEM
Produção potencial Alta Baixa
Capacidade de resistir à exploração Grande Pequena
FONTE: Disponível em: <http://www.sobiologia.com.br/conteudos/bio_ecologia/ecologia23.php>. 
Acesso em: 25 abr. 2015.
4 ESPÉCIES R E K ESTRATEGISTAS
Em 1837, o matemático Pierre F. Verhulst propôs um modelo que 
define o limite máximo de crescimento de uma população, e que em seguida 
tende a se estabilizar. O seu modelo proposto foi definido por uma equação, a 
chamada Equação de Verhulst, e que determina uma condição onde a taxa de 
crescimento de uma população varia ao longo do tempo.
É um modelo que difere do modelo de crescimento exponencial, 
em que define que a taxa de crescimento é constante e não há limites para 
o tamanho da população. Para espécies animais de vida livre, por exemplo, 
a disponibilidade de alimento, abrigo e água é um fator limitante para o 
crescimento populacional. Esse limite máximo sustentável é denominado 
capacidade de suporte (K) em Ecologia.
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TÓPICO 1 | AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
163
FIGURA 25 – VERHULST / MATEMÁTICO QUE CRIOU A EQUAÇÃO
LOGÍSTICA
FONTE: Disponível em: <http://www.euquerobiologia.com.br/2013
/01/especies-k-e-r-estrategistas.html>. Acesso em: 25 abr. 2015.
Assim, para uma população de tamanho (N), com taxa de crescimento “r”, 
o modelo de crescimento logístico contínuo pode ser representado pela equação:
dN
dt
rN N
K
� �
�
�
�
�
�
��1
Pode-se observar, na equação acima, que quando a população tende 
à capacidade de suporte, tem-se que dN/dt = 0, e o tamanho da população 
permanece estável. O que se espera que ocorra é que haja ou uma elevação da 
taxa de mortalidade devido à competição por alimento e abrigo ou uma redução 
da taxa de natalidade.
Com base nos parâmetros K e r da equação do modelo logístico, surgiram 
duas definições usadas em Ecologia: a de populações K e r estrategistas. 
Uma população K estrategista seria uma população para a qual a capacidade 
de suporte do meio é um fator restritivo. Por conseguinte, os indivíduos de 
uma população K estrategista tendem a preparar a prole para a competição 
por alimento, e a apresentar um tempo de vida mais longo em comparação a 
indivíduos de espécies r estrategistas. As espécies com estratégia demográfica de 
tipo seleção K são tipicamente competidoras com outras espécies, em nichos já 
bem preenchidos, investindo mais numa descendência menos prolífica, com cada 
descendente tendo uma maior probabilidade de sobreviver até à idade adulta.
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
164
Apresentam comumente comportamentos de cuidados parentais, já 
que investem principalmente na sobrevivência e longevidade da prole. Podem 
também ser chamadas de espécies k estrategistas. Como exemplo de espécie K 
estrategista pode-se citar mamíferos de grande e médio porte como onças, antas, 
grandes aves, répteis em geral e qualquer animal que tenha que cumprir todo o 
seu ciclo de vida em pelo menos alguns anos.
Para as espécies r estrategistas, por outro lado, a capacidade de suporte não 
é um fator restritivo, com indivíduos com tempo de vida mais curto, e que tendem 
a não apresentar cuidado com a prole. Em termos gerais, as espécies com estratégia 
demográfica de tipo seleção (r) exploram nichos ecológicos vazios, e produzem um 
elevado número de descendentes a cada ciclo reprodutivo, ainda que cada um tenha 
poucas hipóteses individuais de sobreviver até à idade adulta. Podem apresentar 
picos populacionais. Podem também ser chamadas de espécies r estrategistas. 
Um exemplo seriam mosquitos que proliferam em áreas próximas a rios ou lagos, 
organismos planctônicos, micro-organismos de forma geral, algumas espécies de 
peixes como as sardinhas, assim como as lulas, moluscos que cumprem todo o seu 
ciclo de vida, ou seja, nascem, se reproduzem e morrem em apenas um ano.
FONTE: Disponível em: <http://www.euquerobiologia.com.br/2013/01/especies-k-e-r-estrategistas.
html>. Acesso em: 25 abr. 2015.
Indicação de leitura
“Eu entendo que pode haver uma crise de biodiversidade, mas como isso me afeta?” 
 
Boa pergunta! Funciona assim...
A diversidade biológica é o recurso do qual dependem famílias, comunidades, nações e 
gerações futuras. É o elo entre todos os organismos existentes na terra, que liga cada um 
deles a um ecossistema interdependente, em que cada espécie desempenha sua função. É 
uma verdadeira teia da vida. O patrimônio natural da Terra é composto por plantas, animais, 
terra, água, atmosfera e os seres humanos! Juntos, fazemos parte dos ecossistemas do 
planeta, o que equivale a dizer que, se houver uma crise de biodiversidade, nossa saúde e 
meios de subsistência também entram em risco. Porém, atualmente estamos usando 25% 
mais recursos naturais do que o planeta é capaz de fornecer. O resultado é que espécies, 
habitats e comunidades locais estão sofrendo pressões ou ameaças diretas. Um exemplo de 
ameaça que já atinge seres humanos é a perda de acesso à água doce. A biodiversidade é a 
base da saúde do planeta e tem um impacto direto sobre a vida de todos nós. Indo direto 
ao ponto: a redução da biodiversidade significa que milhões de pessoas estão diante de um 
futuro em que os estoques de alimentos serão mais vulneráveis a pragas e doenças e a oferta 
de água doce será irregular ou escassa. Para os seres humanos, isso é preocupante. Muito 
preocupante mesmo!
FONTE: Disponível em: <http://www.wwf.org.br/natureza_brasileira/especiais/biodiversidade/
consequencias_perda_biodiversidade/>. Acesso em: 25 abr. 2015.
UNI
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TÓPICO 1 | AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
165
5 CONSERVAÇÃO AMBIENTAL X DIVERSIDADE BIOLÓGICA
Até que ponto a diversidade biológica é indicativo de qualidade dos 
ecossistemas e poderia ser utilizada para o manejo de áreas degradadas? Essa 
é uma pergunta que muitos ecologistas atuais tentam responder, e estão cada 
vezmais convencidos de que existe correlação entre essas duas variáveis. Dada 
a vulnerabilidade dos ecossistemas naturais e dos organismos que o habitam, 
dois aspectos são de fundamental importância dentro do funcionamento no 
meio ambiente natural: o direcionamento da energia e a reciclagem contínua de 
materiais. Em outras palavras, em que prazo teremos a renovação de um recurso 
explorado, seja ele de fauna ou flora?
Nos sistemas naturais, a fonte primária de energia é a luz do Sol. A 
sua reciclagem é realizada por alguns processos regenerativos, seja de origem 
física, química ou biológica. Qualquer desequilíbrio que leve à acumulação ou 
à depressão de algum componente no ecossistema é normalmente corrigido por 
processos dinâmicos de automanutenção do ecossistema. Basta lembrarmos aqui 
dos processos sucessionais descritos anteriormente, que visam estabelecer as 
condições originais do ambiente perturbado.
Só para você entender melhor, vamos exemplificar: quando a matéria 
orgânica morta se acumula num sistema, o número de organismos detritívoros 
aumenta para consumir o excesso de detrito. Dos componentes da atmosfera até 
plantas, animais e micro-organismos modificam a condição dos ecossistemas 
terrestres e são responsáveis pela manutenção de sua qualidade. Quando os 
processos naturais são rompidos, os ecossistemas podem não ser mais capazes de 
manterem a si próprios. Podemos notar isso nas mudanças que ocorrem nos solos 
e nas correntes de água após o desmatamento de uma floresta. 
Como ocorre com qualquer organismo dentro de um sistema, todas 
as atividades humanas trazem consequências para o ambiente. Porém, como 
fazemos parte da espécie que mais interfere e ameaça os processos ecológicos, 
a seguir, Ricklefs (2003) nos dá alguns exemplos de efeitos tanto diretos quanto 
indiretos da espécie humana nestes processos:
• Sobre-exploração – a pesca, a caça, a pastagem, a coleta de madeira para 
combustível, a retirada de madeira e afins são as interações clássicas consumidor-
recurso. Na maioria dos sistemas naturais essas interações atingem estados 
estacionários porque à medida que um recurso se torna escasso, a eficiência 
da exploração e também de sobrevivência cai. Onde a fertilidade da terra for 
exaurida, a população humana pode perder a base dos recursos de que necessita 
para se sustentar. Ainda, nos casos em que a população não pode mais se 
mover para outras áreas, ou trocar suas fontes de alimentos, a perspectiva do 
controle populacional pela fome e doenças associadas, além do conflito social, 
pode ser uma realidade. Para resolvermos este problema, devemos limitar a 
exploração das populações e recursos às produtividades máximas sustentáveis, 
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
166
considerando usos sustentáveis alternativos da terra; aumentar a intensidade 
da agricultura em terras capazes de sustentá-la; e aprimorar a distribuição de 
alimentos entre as áreas de produção e as áreas de consumo.
• Introdução de espécies exóticas – intencionalmente ou não intencionalmente, 
os humanos têm levado outras espécies para toda parte que viajam. Estas 
incluem: plantas comestíveis, plantas para horticulturas e suas pragas, árvores 
de valor comercial, animais domésticos para trabalho ou alimento, aves, 
mamíferos para esporte de caça, organismos patogênicos e frequentadores de 
habitações humanas como baratas e aranhas. O resultado deste movimento 
de espécies entre os continentes é a distribuição global de espécies da flora e 
da fauna, podendo em alguns casos, resultar na eliminação ou expulsão das 
espécies locais (nativas) devido à desvantagem competitiva destas últimas.
• Conversão de habitat – alterar a natureza básica de um habitat como a estrutura 
física, muitas vezes, perturba os processos naturais de regeneração e controle. 
Exemplo: derrubada de florestas de manguezal, que controlam o regime de 
inundação, as migrações de peixes, o transporte de sedimentos, entre outros, 
para construções humanas.
• Eutrofização – os fertilizantes aplicados na agricultura para aumentar a 
produção acabam alcançando o subsolo e de lá os rios, lagos e, por fim, oceanos. 
Os nitratos, fosfatos e outros fertilizantes inorgânicos presentes nas águas têm 
o mesmo efeito que na produção em terras cultivadas: o aumento da produção 
biológica. A sobreprodução como uma consequência dessa fertilização artificial, 
frequentemente chamada eutrofização, pode originar águas turvas, acumular 
material orgânico, aumentar as taxas de decomposição bacteriana e provocar a 
desoxigenação da água, matando peixes e outros organismos. Problema ainda 
maior para a qualidade das águas é a entrada direta de resíduos orgânicos, como 
o esgoto e o escoamento diário de alimentos. Materiais orgânicos suspensos 
ou dissolvidos na água criam o que é conhecido como demanda biológica 
de oxigênio, significando que a decomposição desses materiais por bactérias 
consome o oxigênio presente na água. Uma das alternativas para o controle 
da eutrofização está em cortar as fontes externas de nutrientes orgânicos, seja 
desviando as entradas para corpos de água maiores, que possam absorvê-los, 
seja por tratamento de esgoto.
• Acumulação de toxinas – ocorre pela acidificação de solos e águas, principalmente 
pela mineração do carvão, composto por enxofre e nitrogênio. Estes, quando 
liberados na atmosfera, produzem a chuva ácida e trazem consequências como 
a diminuição do pH do solo, aumento da lixiviação dos nutrientes do solo e 
dificuldade de assimilação de nutrientes pelas raízes das plantas. A liberação 
de metais pesados e compostos orgânicos na queima de combustíveis e nos 
pesticidas de plantações, também são exemplos de outras toxinas derivadas 
das atividades humanas que podem se acumular em sistemas biológicos.
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TÓPICO 1 | AS ORIGENS DOS INDICADORES AMBIENTAIS E ÍNDICES ECOLÓGICOS
167
• Destruição da camada de ozônio – vários poluentes aerossóis, especialmente 
os clorofluorcarbonados (CFCs), reduzem as concentrações de ozônio (O3) na 
atmosfera superior.
• Efeito estufa – o dióxido de carbono (CO2) ocorre naturalmente na atmosfera 
onde absorve a radiação infravermelha de comprimento longo de onda, 
evitando a perda de calor ao mesmo tempo em que permite a passagem da 
luz solar visível e da radiação ultravioleta (ondas curtas). Os níveis crescentes 
de dióxido de carbono na atmosfera, produzidos pela queima de combustíveis 
fósseis e pelo desmatamento e queima de florestas, ameaçam aumentar 
a temperatura média da Terra em torno de 2oC a 6oC, com consequências 
potencialmente adversas para os ecossistemas naturais e para a agricultura. 
Além disso, o derretimento das calotas polares de gelo e a expansão das águas 
oceânicas aquecidas ocasionarão a elevação do nível dos mares.
a. Conservação dos Recursos Naturais
Em um primeiro momento, a resolução da crise ambiental pela qual 
estamos passando parece fácil. Mas será que é mesmo assim? Uma coisa é certa: 
esta crise não pode ser totalmente resolvida até que o crescimento populacional 
humano seja interrompido, o consumo da energia decline e o desenvolvimento 
econômico leve os valores ecológicos em consideração.
 
Além da diminuição do consumo de recursos naturais, é de preocupação 
imediata a preservação da biodiversidade (principalmente as espécies endêmicas), 
que abrange toda a variedade dos seres vivos na Terra e que responde pela 
manutenção do equilíbrio da natureza, que é de onde retiramos nossos produtos. 
O valor de cada espécie está baseado em considerações morais gerais, na estética, 
na economia e nos seus benefícios recreacionais que nós usufruímos, bem como, 
no seu papel como indicadora de qualidade ambiental(a presença ou a ausência 
de certas espécies pode dizer se determinado ambiente é mais degradado ou 
conservado). A diversidade de espécies em sistemas ecológicos pode ter um 
valor intrínseco de estabilizar a função do ecossistema. Um número crescente de 
estudos está mostrando que sistemas diversos são mais capazes de manter a alta 
produtividade em face de variações ambientais.
Com esse panorama evidenciado e sabendo que hoje a conservação 
ambiental é prioridade, temos que pensar em todas as metodologias possíveis 
para tentarmos visualizar nossos impactos no ambiente natural e claro, no que 
podemos fazer para diminuir esse impacto. A seguir vamos conhecer o conceito 
de Pegada Ecológica, e o que quantifica nosso impacto sobre o meio ambiente.
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você viu:
• Os principais motivos que levam os gestores ambientais a utilizarem os 
indicadores ecológicos para proporem medidas de recuperação ambiental.
• Os problemas atuais da fragmentação de hábitat e a redução dos biomas.
• Diminuição da diversidade biológica como fator que compromete o equilíbrio 
dos ecossistemas.
• O efeito de borda e os problemas relacionados à conectividade entre os 
ambientes degradados.
 
• Principais problemas relacionados à degradação do meio ambiente.
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AUTOATIVIDADE
Para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões a seguir.
1 Relacione a segunda coluna com a primeira, de acordo com as 
definições:
a) Fragmentação de hábitat.
b) Efeito de borda.
c) Diversidade biológica.
( ) Diferente da riqueza de espécies, que aponta a quantidade de indivíduos 
por espécie, esse conceito nos informa a quantidade de espécies, seja ela de 
fauna ou flora.
( ) Está relacionada com a diminuição de diversidade biológica em função das 
alterações físicas e químicas do ambiente, quando este se torna exposto em 
função de supressão de vegetação.
( ) Compromete a rede de conexões entre diferentes biomas e/ou hábitats, 
afetando o fluxo gênico das espécies residentes e consequentemente 
diminuição da diversidade biológica.
Agora assinale a alternativa CORRETA:
( ) c – b – a.
( ) c – a – b.
( ) a – b – c.
( ) b – a – a. 
2 Atividade de Estudo: Para você refletir e pesquisar, explique a 
frase “A diminuição da diversidade biológica é fundamental 
para a manutenção do equilíbrio do planeta”.
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TÓPICO 2
ÍNDICES ECOLÓGICOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Prezado acadêmico(a)! A partir desse tópico veremos os principais índices 
ecológicos utilizados para medidas de diversidade, riqueza e equitatividade. Este 
tópico busca fazer o entendimento entre conceitos utilizados anteriormente para 
proteção dos recursos naturais e a aplicabilidade dos índices ecológicos para o 
gerenciamento do meio ambiente. Desta forma, o entendimento do que são, para 
que servem, e como podem ser estimados é o foco a partir de agora.
2 ÍNDICES DE DIVERSIDADE
Medidas de diversidade são para ecologistas e gestores ambientais um 
dos principais objetivos a serem alcançados. O número de espécies de um local, 
nicho ou assembleia significa, como já discutido anteriormente, uma maneira 
intuitiva de observar a estrutura de uma comunidade biológica, e muitas vezes 
pode representar o último indicativo na luta da conservação e restauração de 
ambientes degradados (MAGURRAN; McGILL, 2011).
Dos índices de diversidade mais comumente utilizados, encontramos o de 
Simpson e Shannon. Destes dois, o mais conhecido para o cálculo de diversidade 
biológica é o Índice de Shannon-Weaver (H´), ou comumente conhecido como 
Índice de Shannon. Todos esses índices possuem algumas limitações em relação ao 
seu uso, no entanto, não é o objetivo desse caderno aprofundarmos esses aspectos.
Para os acadêmicos que desejam aprofundar a compreensão da utilização 
dessas ferramentas ecológicas, assim como suas limitações, recomenda-se a leitura do livro 
“Biological Diversity: Frontiers in Measurement and Assessment” ou “Diversidade Biológica: 
Fronteiras para as Avalições e Cálculos”, dos autores Anne Magurran e Brian McGill, do ano 
de 2011. Este livro traz de forma muito aprofundada todos os assuntos relativos aos índices 
ecológicos.
UNI
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
Voltando ao Índice de Shannon, uma de suas maiores limitações é atribuir 
em seus cálculos o mesmo peso para as espécies raras e abundantes. O que significa 
isso? Uma espécie rara é aquela que em um determinado ambiente, encontramos 
em abundância muito baixa. E normalmente esta tem um papel fundamental para 
a estrutura daquela comunidade. Desta forma, no Shannon, a premissa para seus 
cálculos é de que todas as espécies teriam um papel fundamental, ou que todas teriam 
o mesmo “peso” ou “valor” para o equilíbrio do ecossistema. Isso também é verdade, 
e por isso, essa fragilidade não desqualifica o índice. De qualquer forma, é sugerido 
que algum processo antrópico possa causar algum tipo de distúrbio quando espécies 
de flora e/ou fauna, são observadas em menores abundâncias no ambiente.
De acordo com a fórmula do Índice de Shannon, temos que:
Onde:
H´= Índice de Shannon.
Ni = Número de indivíduos amostrados da i-ésima espécie.
N = Número total de indivíduos amostrados.
S = Número total de espécies amostradas.
ln = Logaritmo de base neperiana.
Desta forma, quanto maior for o valor de H´, maior será a diversidade 
de espécies da comunidade. No entanto, é necessário que se façam mais réplicas 
para essa comunidade, como veremos adiante, e posteriormente, compararmos 
os valores encontrados, por exemplo, entre uma e outra comunidade, ou ainda, 
entre um ambiente preservado e outro degradado. Só assim, será possível 
entender os resultados.
De qualquer forma, o primeiro passo é fazer uma amostragem que de 
fato seja significativa (Obs.: ver na Unidade 1 deste caderno procedimentos 
para um “n” amostral adequado). Isso significa que devemos nos deslocar até o 
local, preservado ou não, e fazer o levantamento de espécies. Como não somos 
especialistas em classificação, esse tipo de trabalho faz mais sentido se tivermos o 
apoio de um profissional especialista em levantamento florístico, por exemplo, ou 
ainda um ornitólogo, para o registro das espécies de aves, e assim por diante. Caso 
tenhamos a nossa disposição guias para classificação de fauna ou flora, ou ainda 
as chaves de classificação, nada impede de nós mesmos fazermos o levantamento. 
É claro que o tempo empregado pode aumentar consideravelmente, mas é uma 
forma de nos tornarmos gestores ambientais mais completos.
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TÓPICO 2 | ÍNDICES ECOLÓGICOS
173
Uma vez que determinamos qual grupo iremos amostrar, é hora de 
partirmos para o levantamento. Vamos imaginar que iremos determinar a 
diversidade de vegetação de uma área recém-degradada, em início de processo 
de sucessão. Para que tenhamos êxito em nossa amostragem, precisamos definir 
alguns procedimentos metodológicos. O primeiro deles, é determinar o tamanho 
do meu amostrador dentro da área a ser amostrada. Esse amostrador pode ser 
compreendido por um “quadrado” de dimensões definidas, como por exemplo, 
de 2 por 2 metros. Por exemplo,podemos fazer isso com uma corda colorida, 
cercando dentro da mata, uma área de dois metros quadrados, amarrando suas 
extremidades com estacas. Feito isso, dentro desse “quadrado” ou “quadrat”, 
vamos registrar o número de espécies, e também, o número de indivíduos 
para cada uma destas. Vamos imaginar que nessa primeira área amostrada 
identificamos quatro espécies de árvores, A, B, C e D. Assim, para cada uma 
delas foi registrado o número de indivíduos (árvores) presentes nessa área de 
dois metros quadrados, conforme tabela a seguir, compreendida como réplica 1:
Réplica 1
Espécies N de indivíduos
A N = 10
B N = 11
C N = 22
D N = 15
Posteriormente, é recomendado que esse mesmo experimento seja 
repetido, caracterizando uma réplica. Podemos assim, caminhar aleatoriamente 
pela floresta, distanciando-se da área amostrada anteriormente. Novamente 
delimito a minha área a ser amostrada com o meu quadrat, com a utilização de 
cordas coloridas por exemplo, identificando as espécies e contando o número 
de exemplares dentro da área definida. Isso se faz necessário para diminuirmos 
o erro estatístico amostral, ou seja, depois que realizarmos os cálculos para a 
diversidade, a chance de encontrarmos algum erro é reduzido em função da 
repetição do experimento.
Desta forma, o número de réplicas que posso fazer depende do meu 
objetivo, do tamanho da área que estou analisando, do tempo e do dinheiro que 
tenho disponível dentro do projeto e assim por diante. Sugere-se no mínimo três 
réplicas para uma determinada área. Caso esta seja muito reduzida, uma ideia 
é diminuir o tamanho do quadrat. Se antes trabalhávamos com distanciamento 
de dois metros quadrados, podemos fazer com um metro, ou ainda 0,5 metros 
quadrados, caso estejamos trabalhando com espécies colonizadoras, como 
pequenas plantas ou gramíneas.
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174
UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
Para ilustrar melhor o cálculo de diversidade, vamos trabalhar com uma 
situação real. Para isso, vamos pegar os registros feitos para espécies de aves 
marinhas que foram observadas em ilhas oceânicas. A identificação das espécies 
de aves foi feita com a utilização de guias de identificação específicos para esse 
tipo de trabalho, e a contagem das aves foi feita com a utilização de binóculos, 
por contagem direta, ou seja, quando o indivíduo era observado, seguia com o 
registro. Um pouco diferente do que fazer a contagem de plantas ou árvores, ao 
trabalharmos com aves, o nosso quadrat é referenciado por um ponto fixo, pois 
não temos como delimitar uma área na terra para contar as aves pousadas, assim 
como não é possível demarcar com fitas e cordas o céu, quando esses animais 
encontram-se voando. No entanto, o princípio é o mesmo, ou seja, dentro de uma 
área definida por um ponto fixo, contabilizar o número de espécies e respectivo 
número de indivíduos para toda a ilha, conforme tabela a seguir:
TABELA 1 – A TABELA REPRESENTA UM EXEMPLO PRÁTICO DA CONTAGEM DO NÚMERO DE 
INDIVÍDUOS POR ESPÉCIE DE AVES. AS RÉPLICAS REPRESENTAM O NÚMERO DE VEZES QUE 
FORAM FEITAS AS CONTAGENS DE INDIVÍDUOS, PARA CADA UMA DAS ESPÉCIES.
FONTE: Os autores
Como podemos observar, nessa ilha, denominada de Moleques do Sul, foram 
realizados quatro censos visuais, ou réplicas, onde foram registradas 15 espécies. 
Reparem a importância da repetição dos censos ou réplicas. Por exemplo, a espécie 
Thalassarche melannophris, foi observada apenas na primeira réplica, enquanto 
que o Sula sula somente na terceira réplica e assim por diante. Por isso, existe a 
necessidade de “replicarmos” o experimento como comentado anteriormente. Pois 
quando estamos em atividade de campo, muitas vezes nas primeiras observações, 
determinada espécie, seja ela de flora ou fauna, pode não aparecer, e se fôssemos 
confiar apenas nos resultados da primeira observação, certamente em nossos 
relatórios destacaríamos que determinada espécie não é encontrada naquela região, 
ou neste caso, para esta ilha, estaríamos negligenciando a existência de uma ave 
que poderia ser importante para o equilíbrio daquele ecossistema.
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175
Outras observações já podem ser feitas de acordo com os resultados 
da tabela, sem calcularmos o índice. Por exemplo, algumas espécies possuem 
o número de indivíduos mais elevado do que outras. Esses padrões podem 
influenciar diretamente sobre a riqueza de espécies neste ambiente. Ou ainda, 
aumentar a competição interespecífica, ou seja, entre espécies diferentes, 
onde aquelas que conseguem se destacar, ocupam maior extensão territorial e 
consomem mais recursos do que aquelas que estão em menor número. Mas isso 
faz parte dos processos ecológicos, inerentes a qualquer ecossistema, e é função 
do profissional da área compreendê-las e através de ferramentas como os índices 
ecológicos, propor soluções para mitigar os problemas.
De qualquer forma, mesmo que um resultado aparente, existe a necessidade 
de executar os cálculos. Desta forma, como proceder com o cálculo de diversidade 
para a amostragem de aves na ilha Moleques do Sul? O primeiro passo é realizarmos 
a soma do número de indivíduos por espécie, para cada uma das réplicas, conforme 
mostra a continuação da tabela, onde estão registrados os dados:
TABELA 13 – ESTA TABELA APRESENTA O NÚMERO DE AVES OBSERVADAS POR ESPÉCIE. O 
NÚMERO DE RÉPLICAS REPRESENTA A QUANTIDADE DE VEZES QUE CADA CONTAGEM FOI 
REALIZADA. A ÚLTIMA COLUNA DESTA TABELA APRESENTA A SOMA DOS INDIVÍDUOS DE UMA 
ESPÉCIE PARA AS QUATRO RÉPLICAS.
FONTE: Os autores
No software excel, do pacote office da Microsoft, através de um comando 
simples, essa tarefa pode ser executada. Pegamos a espécie Larus dominicanus, na 
mesma linha onde estão inseridos os dados de sua abundância, na célula de excel 
seguinte inserimos o comando “=soma (seleciona todos os valores da linha com o 
mouse)” + enter. Automaticamente o programa irá contabilizar 132 + 125 +178 + 132 + 
567 = 567. Feito isso, é necessário para as demais espécies realizar a mesma somatória.
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
O passo seguinte, é realizarmos uma soma dos valores totais de indivíduos 
por espécie, ou seja, a soma das “somas”. Assim, o valor obtido será:
Lembrem-se da fórmula de riqueza destacada anteriormente. Apenas 
estamos fazendo por partes, em uma planilha do excel, o que a fórmula de 
diversidade de Shannon preconiza, ok? O próximo passo é calcularmos o “pi” ou 
conforme a fórmula descrita, o “ni”. No excel, nomeamos uma nova coluna (G3 
por exemplo), onde faremos a divisão do primeiro valor de soma do número de 
indivíduos de uma das espécies pelo número total calculado. Na prática, para 
Larus dominicanus, iremos dividir o valor 567 por 1431 = 0,396226415. No excel, 
supondo que os meus valores estejam respectivamente nas células F3 e F19, na 
célula G3 (célula de destino para cálculo do “pi”) basta inserimos o seguinte 
comando: “=F3 / F19” + Enter. Posteriormente, calcula-se para todas as demais 
espécies. Quando você for arrastar a célula para proceder com os demais cálculos, 
para todas as espécies, lembre-se que o valor total (1431), está em uma célula de 
excel qualquer, onde você procedeu com o cálculo, ok? No nosso caso, este valor 
está na célula F19. Assim, ao dar o comando para o cálculo das demais espécies, 
você precisa travar esse valor, ou seja, ele é fixo no cálculo para todas as espécies. 
Como travamos um valor no excel? É muito simples. Colocamos o símbolo de 
cifrão “$” na frente da letra da célula etambém na frente da numeração desta 
mesma célula. Ou seja, se o nosso valor total (1431) estiver calculado na célula 
F19, precisamos clicar na célula, e em cima da tela do excel, onde aparece a barra 
de cálculos do programa, inserir o cifrão, conforme o exemplo a seguir.
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FIGURA 26 – A FIGURA APRESENTA DE FORMA AMPLIADA E CIRCULADA COMO 
PROCEDER NO SOFTWARE EXCEL PARA “TRAVARMOS” UM VALOR OU FÓRMULA, 
COM A APLICAÇÃO DO CIFRÃO “$”.
FONTE: Os autores
Feito isso, partimos para os próximos cálculos. Observando a fórmula 
descrita por Shannon, veremos que a próxima etapa consiste em calcularmos o 
logaritmo natural dos valores encontrados para o “pi” ou “ni”. Para isso, o destino 
desses valores será uma nova célula, por exemplo, a “H3”. Assim, na célula de 
destino, basta darmos o comando “=LN(G3) + enter”, e os valores serão calculados 
para esta célula, conforme a figura a seguir, coluna H3:
FIGURA 27 – A FIGURA APRESENTA COMO CALCULAR OS VALORES DE LOGARITMO 
NATURAL (LN) PARA OS VALORES DE PI. A FÓRMULA, A SER DIGITADA NO EXCEL ESTÁ 
CIRCULADA E EM DESTAQUE.
FONTE: Os autores
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Posteriormente, multiplicam-se os valores de “pi” por “LN de pi”, ou 
seja, um valor pelo outro, selecionando como célula de destino a “I3”. Assim, 
pelo comando “=G3 * H3 + Enter” encontramos esse valor, conforme mostra a 
planilha a seguir:
FIGURA 28 – A FIGURA APRESENTA COMO PROCEDER COM O CÁLCULO DA 
MULTIPLICAÇÃO DOS VALORES DE PI POR LN DE PI, PARA POSTERIORMENTE 
ENCONTRARMOS ATRAVÉS DA SOMA DESSES VALORES O ÍNDICE DE DIVERSIDADE. A 
FÓRMULA ESTÁ EM DESTAQUE E CIRCULADA.
FONTE: Os autores
Por fim, a soma de todos os valores observados nesta última coluna, será 
o valor para o índice de Shannon. Neste caso, não consideramos o sinal do valor 
observado, ou seja, se encontrarmos um valor negativo, desconsideramos o sinal 
de menos.
Assim, para o nosso estudo de caso, a soma de todos os valores da 
última coluna foi igual a ( – 1,6534), ou desconsiderando o sinal, igual a (1,6534). 
Na prática, quanto maior for o valor de diversidade calculado, maior será a 
diversidade para determinada área. Podemos aplicar a mesma metodologia para 
duas áreas distintas, por exemplo, uma área preservada, ou em estado de “clímax” 
ou estágio final da sua sucessão, com outro em início de sucessão, e veremos 
que naquele em estágio inicial irá apresentar um valor de diversidade menor se 
comparado aquele ambiente maduro, ou em estágio de sucessão avançado. Isso, 
se tratarmos de fragmentos florestais. No entanto, o mesmo cenário, se repete 
para comunidades de fauna. Tipicamente para ambientes degradados, iremos 
observar índices de diversidade menores daqueles ambientes protegidos.
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A princípio, não existe um valor para podermos estabelecer uma 
comparação. Por exemplo, em nosso estudo de caso, encontramos um valor de 
1,6534. A dúvida que surge é o que esse valor significa. Normalmente, em condições 
normais, os valores de diversidade irão variar entre uma escala de 1,0 a 3,0. Então, 
para cada situação que realizarmos os cálculos, encontraremos diferentes valores, 
e a comparação deverá ser feita para períodos de tempo diferentes (variações 
sazonais dentro de uma mesma área). Jamais poderei comparar, para um mesmo 
intervalo de tempo, dois biomas distintos. Por exemplo, comparar os valores de 
diversidade de flora, para a mata atlântica e cerrado. Obviamente, que diferentes 
ecossistemas apresentarão índices de diversidade distintos, maiores ou menores, 
em função de suas características, e por isso, não podem ser comparados. Assim, 
aquele que apresentar o menor índice de diversidade não poderia ser eleito 
como um ambiente degradado. O mesmo diagnóstico deve ser observado para 
comunidades de fauna, onde ambientes distintos não podem ser comparados.
No entanto, se fizermos uma comparação entre valores observados para 
um mesmo bioma, uma diminuição do índice ao longo do tempo pode sim estar 
representando decréscimo da diversidade, provavelmente influenciado pela 
perda de qualidade ambiental.
Similar ao cálculo de diversidade de Shannon, temos os índices de 
riqueza. Os mais conhecidos são dois: o de Margalef e o de Menhinick. É o que 
iremos ver a seguir.
2.1 ÍNDICES DE RIQUEZA
Para Margalef (1974), a riqueza pode ser entendida como o número total 
de espécies (S) em uma unidade amostral. Consequentemente, esta variável fica 
muito dependente do tamanho amostral – quanto maior a amostra, maior o 
número de espécies que poderão ser amostradas. Assim, a riqueza de espécies 
diz pouco a respeito da organização da comunidade, aumentando em função da 
área, mesmo sem modificação do habitat.
Um índice muito utilizado para medir a riqueza de espécies é conhecido 
como Índice de Margalef. Ramón Margalef i López foi um ecólogo catalão que 
trabalhou durante muitos anos no Instituto Botânico da cidade de Barcelona, e já 
era conhecido pelos seus trabalhos sobre a investigação das algas de água doce e 
os processos de eutrofização.
Com relação ao seu indicador, utiliza-se a fórmula:
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onde, “S” é a riqueza de Margalef a ser encontrada, “n” é o número de espécies 
presentes em determinada amostragem, e “N” é o número total de indivíduos 
encontrados (pertencentes a todas as espécies). A notação “ln” denota o logaritmo 
neperiano do número. Assim, para os mesmos dados já registrados para o cálculo 
da diversidade, anteriormente demonstrados, os valores são: n = 15; N = 1431.
Colocando os valores na fórmula:
S n
S
S
S
�
�
�
�
�
�
1
15 1
1431
14
7 2661
1 9267
lnN
ln
,
,
Os mesmos cuidados e atenção devem ser dados na comparação de 
comunidades de fauna e flora. Portanto, não devemos comparar por exemplo, 
índices de biomas distintos. Para um mesmo ecossistema, esses valores irão 
variar em função da maior ou menor suceptibilidade a alterações antrópicas, 
ou ainda, de acordo com a maturidade e/ou estágio sucessional que se encontra 
determinado ambiente. Como já explicado, no início do processo de sucessão, 
menor diversidade deverá ser observada no início do processo sucessional, com 
a predominância de algumas espécies. Essas espécies também podem causar um 
efeito de dominância na comunidade, que veremos a seguir.
O índice de riqueza de Menhinick é muito semelhante ao de Margalef, 
e com relação a sua interpretação ecológica, enquadra-se dentro dos mesmos 
efeitos observados por outros índices de riqueza para uma comunidade, ou seja, 
estão associados a processos iniciais de sucessão ou ainda degradação ambiental. 
Para procedermos com os cálculos, devemos seguir a fórmula:
S n
RaizdeN
S
Raizde
S
=
=
=
� �
� �
,
15
1431
0 3965
Raiz de N
Raiz de 1431
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Observem que os valores encontrados para os dois índices foram 
distintos. De qualquer forma, a opção de escolha por um ou outro é do 
especialista ambiental. O que deve ser levado em consideração é a escolha de 
um índice e posteriormente fazermos a comparação entre diferentes áreas de 
um mesmo bioma ao longo do tempo (por exemplo um ano), e ficarmos atentos 
as suas oscilações.Existem ainda outros métodos que podem ser pesquisados na literatura, 
para cálculo da riqueza de uma comunidade, como o Chao e o Jackknife, no entanto, 
não é objetivo deste caderno nos aprofundarmos no estudo desses indicadores.
Quando observamos que uma, duas ou três espécies apresentam 
número de indivíduos muito acima do restante das espécies registradas em 
uma determinada área, significa que o ambiente, em suas condições físicas, 
químicas, de espaço e oferta de alimentos está favorecendo a reprodução e 
o desenvolvimento de poucas espécies em relação às demais. Isso implica um 
desequilíbrio na composição da comunidade desse ambiente, ou ainda, que este 
se encontre no seu estado inicial de recuperação ou estágio sucessional, como 
já discutimos anteriormente. Alguns cálculos permitem observar a dominância, 
como por exemplo, na fórmula a seguir:
Da Na
Na Nb Nc Nd Nn
�
� � � ���..
Onde:
Da = Dominância da espécie “a”
Na = Número de indivíduos da espécie “a”
Nb = Número de indivíduos da espécie “b”
Nc = Número de indivíduos da espécie “c”
Nd = Número de indivíduos da espécie “d”
Assim, teremos um indicativo se determinado ecossistema está em 
“equilíbrio”, ou ainda, sem a dominância de alguma espécie, favorecendo a 
competição interespecífica, ou seja, a disputa por espaço e alimentos na área entre 
espécies diferentes.
Obviamente que além de um estágio de degradação ou comprometimento 
ambiental, a dominância de uma determinada espécie em relação a outras pode 
indicar que este ambiente esteja em estágio inicial de sucessão ecológica, como já 
evidenciado anteriormente.
2.2 ÍNDICES DE DOMINÂNCIA
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Outros pesquisadores, também pensaram em outras formas de estimar 
a dominância de espécies. Um deles foi Simpson. O Índice de Dominância de 
Simpson (C) mede a probabilidade de 2 (dois) indivíduos, selecionados ao acaso 
na amostra, pertencer à mesma espécie. Assim, uma comunidade de espécies 
com maior diversidade terá uma menor dominância. O valor estimado de C varia 
de 0 (zero) a 1 (um), sendo que para valores próximos de um, a diversidade é 
considerada maior.
D
ni ni
N N
� �
�� �
�� �
1
1
 
Em que: 
D = índice de dominância de Simpson
ni = número de indivíduos amostrados da i-ésima espécie 
N = número total de indivíduos amostrados.
Assim, observe os dados da tabela a seguir, para proceder com os cálculos 
de Dominância de Simpson, conforme a descrição da fórmula.
TABELA 29 – A FIGURA APRESENTA COMO PROCEDER NO EXCEL COM O CÁLCULO 
DO ÍNDICE DE DOMINÂNCIA. NESTE CASO ESPECÍFICO APONTA PARA O PRIMEIRO 
PROCEDIMENTO PARA O CÁLCULO DE DOMINÂNCIA DA COMUNIDADE “A”. AS FÓRMULAS 
A SEREM ESCRITAS ESTÃO CIRCULADAS.
FONTE: Os autores
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Assim, inicialmente calculamos o Pi (Pi – 1) para a comunidade A. Para 
isso, pega-se o valor do número de indivíduos observados para a espécie 1 (sp1), 
que foi igual a nove (9) e multiplicamos pelo próprio valor, decrescido de 1 
conforme consta na fórmula. A operação está em destaque na planilha acima, 
circulada. Desta forma, você pode calcular no excel sem grandes dificuldades. 
Ao encontrar os resultados, somam-se os valores, que na fórmula estão descritos 
com o símbolo de somatório. O resultado é 92. Posteriormente é necessário 
calcularmos o N (N – 1) para a comunidade A, conforme podemos visualizar na 
tabela a seguir, destacado pelo círculo.
TABELA 30 – A FIGURA ILUSTRA COMO DAR SEQUÊNCIA AO CÁLCULO DE DOMINÂNCIA 
ENTRE COMUNIDADES DISTINTAS. O EXEMPLO REFERE-SE A DOMINÂNCIA DA COMUNIDADE 
“A”, ONDE ATRAVÉS DO SOMATÓRIO DO NÚMERO DE INDIVÍDUOS OBSERVADOS PARA CADA 
ESPÉCIE (VALOR = 23), CHEGA-SE AO VALOR DE 506, REFERENCIAL PARA A DOMINÂNCIA, 
INDICADO PELA SETA.
FONTE: Os autores
Observe aqui que o número 23 é a soma dos indivíduos observados para 
todas as 12 espécies, e que este varia de acordo com a comunidade ou bioma 
por exemplo. Na comunidade B, esse valor é de 13. Calculado este valor, basta 
dividirmos a soma de Pi para a comunidade A, ou seja, o valor de 92 por 506, e 
encontraremos a dominância de Simpson que é de 0,181818. Este valor também 
está descrito na planilha acima. Repare que exatamente os mesmos cálculos serão 
realizados para a comunidade B, onde encontramos um valor de 0,179487. Desta 
forma, podemos concluir que a comunidade B apresenta menor dominância se 
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comparada à comunidade A. Como sabemos que a dominância é inversamente 
proporcional da diversidade, ou seja, quanto maior a dominância, menor a 
diversidade, teoricamente a comunidade B seria mais diversa, e, portanto, mais 
saudável, ou com menor pressão antrópica, se comparada com a comunidade A, 
de um mesmo bioma. Aparentemente, esta comunidade poderia sofrer algum 
tipo de pressão externa, limitando o seu desenvolvimento, ou ainda, estaria em 
início de estágio sucessional, conforme já evidenciamos anteriormente.
2.3 ÍNDICES DE EQUITATIVIDADE
Equitatividade ou equabilidade é o índice que mede o quanto as populações 
das diferentes espécies que habitam uma comunidade ou bioma estão em equilíbrio. 
Ou seja, se não há dominância de uma ou outra espécie. Desta forma, quanto 
mais equitativo for um ecossistema, maior será a sua diversidade e vice-versa. 
Geralmente varia de 0 a 1. Os valores mais próximos a 1 são aqueles mais diversos. 
Quanto mais equitativo e diverso for esse ambiente, dizemos que mais saudável o 
mesmo está. Como já vimos, esses índices poderiam ainda ser sugestivos de um 
ambiente próximo ao clímax, nos processos finais do estágio sucessional.
Percebam que um índice complementa o outro. Os dois indicadores que 
andam juntos, ou seja, quando um é elevado, o outro também tende a ser, são a 
diversidade e a equitatividade, assim como riqueza e dominância. Essas observações 
são importantes, pois na interpretação dos resultados numéricos, se não tivermos 
uma base teórica, podemos induzir ao erro de interpretação dentro de um processo 
de tomada de decisão para o gerenciamento ambiental de um ecossistema.
Em seu cálculo, compara-se o valor de diversidade calculado (Shannon) 
em relação ao valor máximo teórico. Quanto maior for a diferença entre o valor 
calculado e o teórico, menor será a equitatividade. O índice mais conhecido para 
cálculo da equitatividade é o de Pielou, que veremos a seguir.
Onde:
J = Equabilidade de Pielou;
Hmáx= ln(S);
S = número total de espécies amostradas;
H' = índice de diversidade de Shannon-Weaver.
Para os resultados da ilha Moleques do Sul, já calculamos os valores de 
diversidade e sabemos o número de espécies, fica fácil encontrar os valores de 
equitabilidade. Desta forma, os valores que serão utilizados na fórmula serão:
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J = ? – quero descobrir!
S = número total de espécies amostradas = 15;
Hmáx= ln(S) = ln(15) = 2,7080;
H' = índice de diversidade de Shannon-Weaver = 1,6534.
Desta forma, basta substituirmos os valores na fórmula e teremos o 
resultado:
Esse é o valor observado para equitabilidade de Pielou, e que expressa a 
homogeneidade em termos de abundância de indivíduos das espécies observadas 
dentro de um ecossistema. Como nossa equitabilidade ficou pouco acima de 50%, 
ou seja, com 0,61, pode-se afirmar que esse ambiente favorece a predominância de 
algumas espécies. Para o nosso estudo de caso,é fácil observarmos que a espécie 
Larus dominicanus ocupa o primeiro lugar em número de indivíduos registrados 
na ilha. Por ser uma ave muito oportunista em relação à ocupação de hábitats, 
consegue ocupar o espaço disponível para a construção de ninhos, por exemplo, 
com mais eficácia do que as demais espécies de aves, assim como consegue 
aproveitar melhor o alimento disponível. Essas características indicam para 
um ambiente comprometido em relação a sua diversidade e saúde ambiental, 
onde a tendência é de que as demais espécies deixem gradativamente a ilha para 
ocuparem outros locais, onde possam cumprir seu ciclo de vida, devido à elevada 
competição interespecífica.
2.4 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE PAST PARA CÁLCULO 
DOS ÍNDICES ECOLÓGICOS
O programa PAST é um software muito utilizado atualmente pelos mais 
diversos profissionais da área de ecologia, biologia, oceanografia, engenharia 
ambiental, agronomia e gestão ambiental. Na prática, funciona como uma planilha 
de Excel, mas que faz todos os cálculos descritos anteriormente com apenas um 
clique no mouse, além de infinitos outros recursos.
Foi desenvolvido por pesquisadores como Oyvind Hammer do Museu de 
História Natural e também por pesquisadores da Universidade de Oslo. De acordo 
com o ecólogo Pavel Dodonov, PAST é originado do nome Palaeontological Statistics. 
É disponível on-line, e constantemente atualizado, e faz boa parte das análises mais 
comuns em ecologia, além de muitas outras de que nunca ouvimos falar.
Pode ser baixado em: <http://folk.uio.no/ohammer/past/>.
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
Os autores pedem que ao utilizarmos o programa para procedermos com 
os cálculos, os devidos créditos sejam concedidos. Isso ocorre, pois, o download do 
programa é gratuito, ou seja, não pagamos nada para utilizá-lo. Apenas baixamos 
em nosso computador e os cálculos podem ser feitos. Há ainda na internet 
apostilas em português sobre a utilização do PAST. Para quem tiver interesse, é 
muito recomendado.
FIGURA 31 – A FIGURA APRESENTA O LAYOUT DO SOFTWARE PAST, PROGRAMA DE ECOLOGIA 
QUE NOS PERMITE CALCULAR DIVERSOS ÍNDICES ECOLÓGICOS
FONTE: Os autores
Apenas para ilustrar como a utilização deste software pode ser útil, vamos 
utilizar os dados da abundância de aves marinhas presentes na ilha Moleques do 
Sul. Neste caso, vamos inserir na planilha do PAST os dados da soma das quatro 
réplicas, conforme mostra a figura a seguir.
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TÓPICO 2 | ÍNDICES ECOLÓGICOS
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FIGURA 32 – A FIGURA APRESENTA DE QUE FORMA NO PROGRAMA PAST PODEM SER 
CALCULADOS OS DIVERSOS ÍNDICES ECOLÓGICOS
FONTE: Os autores
Com os dados inseridos (567, 17, 42, 28, 299, 125...) em coluna, e selecionados, 
clicamos em Diversity, ou diversidade, do inglês, e em seguida, Diversity indices. 
Automaticamente todos os cálculos realizados anteriormente para diversidade, 
riqueza, equitatividade e dominância aparecem na tela, como visualizamos na 
figura a seguir. Repare que os dados estão muito próximos daqueles feitos por 
nós ao longo da explicação da origem dos cálculos. No entanto, por ser mais 
robusto, o PAST oferece maior certeza dos valores apresentados.
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
FIGURA 33 – A FIGURA APRESENTA OS RESULTADOS DOS DIFERENTES ÍNDICES ECOLÓGICOS 
CALCULADOS PELO PROGRAMA PAST, COM A INSERÇÃO DE UMA COLUNA DE CONTAGEM 
DE INDIVÍDUOS DE DIFERENTES ESPÉCIES. NESTE CASO ESPECÍFICO FOI UTILIZADO A SOMA 
DOS VALORES DESCRITOS ANTERIORMENTE NA CONTAGEM DAS QUATRO RÉPLICAS PARA 
ESPÉCIES DE AVES.
FONTE: Os autores
Bom, finalizamos os nossos estudos com relação a utilização de índices 
ecológicos aqui. Desta forma, esperamos ter contribuído para que todos vocês 
tenham entendido na teoria e na prática o motivo de utilizarmos índices ecológicos 
para avaliar a qualidade ambiental. Certamente, todos esses cálculos serão muito 
úteis para suas vidas profissionais.
UTILIZAÇÃO DE ÍNDICES ECOLÓGICOS PARA ANÁLISE DO 
TRATAMENTO PAISAGÍSTICO ARBÓREO DOS PARQUES URBANOS DE 
CURITIBA-PR
RESUMO
O objetivo deste trabalho foi avaliar a diversidade de espécies utilizadas 
no paisagismo arbóreo dos parques urbanos de Curitiba-PR por meio de índices 
ecológicos que traduzem a riqueza, dominância e equidade de espécies. Das 30 
unidades de parques e bosques de Curitiba, foram sorteados aleatoriamente cinco 
parques: Passeio Público, Parque General Iberê de Mattos, Parque São Lourenço, 
LEITURA COMPLEMENTAR
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Parque Municipal Barigui e Parque Municipal do Passaúna. As árvores foram 
identificadas quanto à taxonomia e origem. Para a análise da diversidade de 
espécies foram calculados os seguintes índices ecológicos relativos à riqueza, 
dominância e equidade de espécies: Margalef, Simpson, Pielou e Jaccard. Foram 
analisados 5525 indivíduos arbóreos, sendo identificados 95,9% até o nível de 
espécie. As maiores proporções de espécies exclusivas foram observadas no 
Passeio Público, seguido pelo Parque Passaúna, tanto para o total de espécies 
amostradas, quanto para a classe de espécies adultas. As menores proporções 
de espécies exclusivas foram observadas no Parque General Iberê de Mattos, 
tanto para o total amostrado, quanto para as classes jovem e adulto, sendo este o 
que apresentou a maior proporção de espécies na classe jovem. Dentre os cinco 
parques urbanos analisados, o Passeio Público foi o que apresentou maior riqueza 
de espécies e menor dominância e equidade de espécies.
PALAVRAS-CHAVE: Áreas verdes. Diversidade de espécies. Dominância 
de espécies. Equidade de espécies. Riqueza de espécies.
INTRODUÇÃO
Os parques urbanos, além de importantes espaços para recreação, esportes, 
lazer e cultura, promovem melhoria na qualidade de vida e apresentam potencial 
para contribuir com a biodiversidade regional (KABASHIMA et al., 2011). Neste 
sentido, Isernhagen et al. (2009) afirmam que a conservação da diversidade 
biológica é reconhecida como uma necessidade mundial, sendo preciso estender 
as estratégias de conservação para dentro do planejamento das áreas verdes das 
cidades. Biondi & Muller (2013) afirmam que atualmente, a conservação dos 
ecossistemas locais e/ou nacionais está diretamente associada com a qualidade 
da vegetação no tratamento paisagístico dos parques urbanos, independente da 
época de criação e estilo do projeto.
Com isto deve gerar maiores cuidados por parte dos paisagistas, 
pesquisadores e a municipalidade que é responsável pela gestão das áreas verdes 
urbanas. O conhecimento da flora urbana faz parte de um programa de estudos 
que toda cidade deveria se preocupar em desenvolver, visando a um plano de 
arborização que valorize os aspectos paisagísticos e ecológicos com a utilização, 
principalmente, de espécies nativas. Com isto, pode-se salvaguardar a identidade 
biológica da região, preservando ou cultivando as espécies vegetais que ocorrem 
em cada região específica (KRAMER & KRUPEK, 2012). Para Biondi & Leal 
(2008) a preocupação atual é grande com a biodiversidade nas áreas urbanas e 
isto se reflete na diversificação do número de espécies produzidas em viveiro; 
no entanto, esta preocupação com a diversificação de espécies é problemática, 
pois muitas vezes não há tempo suficiente para realizar pesquisas sobre as 
espécies introduzidas e desta forma ocorre a produção e a utilização de espécies 
indesejáveis para oambiente e para o homem, tais como as plantas tóxicas e as 
plantas exóticas invasoras.
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UNIDADE 3 | ÍNDICES ECOLÓGICOS UTILIZADOS COMO INDICADORES DE QUALIDADE AMBIENTAL
Ainda é muito incipiente o número de pesquisas que avaliam os índices 
ecológicos da vegetação introduzida no paisagismo dos parques urbanos. Para 
o uso de tais índices é necessário a clara distinção entre os significados de 
“diversidade” e “diversidade de espécies”. Melo (2008) considera “diversidade” 
no sentido mais restrito de “diversidade de espécies”, expressão que ainda é 
ampla e pode ser interpretada de diversas formas. No contexto de índices de 
diversidade, o mesmo autor afirma que “diversidade de espécies” poderá 
englobar riqueza de espécies ou riqueza de espécies e equabilidade. Rodrigues 
(2014) conceitua os termos de maneira mais prática e direta, assim sendo: 
diversidade de espécies refere-se à variedade de espécies de organismos vivos 
de uma determinada comunidade, habitat ou região; riqueza de espécies - 
refere-se à abundância numérica de uma determinada área geográfica, região ou 
comunidade; equidade, equitabilidade, igualdade - padrão de distribuição de 
indivíduos entre as espécies, sendo proporcional a diversidade, exceto se houver 
codominância de espécie; e dominância como o próprio nome já diz, refere-se a 
dominância de uma ou mais espécies numa determinada comunidade, habitat 
ou região. E quanto à biodiversidade refere-se tanto ao número (riqueza) de 
diferentes categorias biológicas quanto à abundância relativa (equitabilidade) 
dessas categorias.
O conhecimento da diversidade de espécies em uma área é essencial para 
o gerenciamento desta, em relação às atividades impactantes, aos interesses e 
necessidades de conservação de recursos naturais ou à necessidade de recuperação 
de áreas degradadas (MELO, 2008). Os índices de riqueza e diversidade são 
indicadores da diversidade de espécies e podem ser usados como ferramenta do 
manejo e do plano diretor da arborização urbana (BOBROWSKI, 2011). Tanto no 
planejamento como na manutenção das áreas urbanas ainda não existe, por parte 
da municipalidade, o cuidado de se analisar a proporção de espécies que compõe 
o paisagismo arbóreo das áreas verdes que mais são próximas à população 
usuária. Isto provavelmente ajudaria não só a conservação de espécies como seria 
um instrumento de popularização e educação ambiental.
Para iniciar esse processo e contribuir para futuras comparações entre 
áreas verdes e/ou entre cidades, o objetivo deste trabalho foi avaliar a diversidade 
de espécies utilizadas no paisagismo arbóreo dos parques urbanos de Curitiba-
PR por meio de índices ecológicos que traduzem a riqueza, dominância e 
equidade de espécies.
MATERIAL E MÉTODOS
No ano 2000 o município de Curitiba contava com 30 unidades de 
parques e bosques, 11 núcleos ambientais, 5 jardins ambientais, 54 largos, 15 
eixos de animação, 330 jardinetes e 453 praças (SMMA, 2006; IPPUC, 2011). Das 
30 unidades de parques e bosques de Curitiba, foram sorteados aleatoriamente 
cinco parques, representando 16,67% do total. São eles: Passeio Público, Parque 
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TÓPICO 2 | ÍNDICES ECOLÓGICOS
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General Iberê de Mattos (Bacacheri), Parque São Lourenço, Parque Barigui e 
Parque Municipal do Passaúna. O Passeio Público, inaugurado em 1886, foi o 
primeiro parque de Curitiba e apresentava cerca de 70 mil m² de vegetação nativa 
nas margens do rio Belém. Ainda naquele século foi, por algum tempo, utilizado 
como Jardim Botânico de Curitiba e depois como o primeiro zoológico, sendo 
que até hoje possui alguns animais em cativeiro, além de um aquário (PARQUES, 
2012). O Parque General Iberê de Mattos, mais conhecido por Parque Bacacheri, 
foi inaugurado em 1988, com uma área de 152 mil m². Possui canchas de futebol 
e de vôlei de areia, churrasqueiras, playground, lago artificial (PARQUES, 2012) 
e bosque de vegetação nativa. O Parque São Lourenço foi inaugurado em 1972 e 
possui uma área total igual a 204 mil m², onde existem diversos equipamentos de 
lazer (PARQUES, 2012) e bosques nativos com araucárias.
O Parque Municipal Barigui, criado em 1972, possui uma área de 1,4 
milhão m². É um dos maiores e o mais frequentado de Curitiba e possui diversos 
equipamentos de lazer, Museu do Automóvel, parque de exposições, heliporto, 
pista de bicicross e aeromodelismo (PARQUES, 2012) e remanescentes florestais. 
O Parque Municipal do Passaúna, inaugurado em 1991, possui uma área de 6,5 
milhões m². Aproximadamente a metade dessa área foi recoberta pelo lago da 
represa da Estação de Abastecimento de Água do Passaúna, que abastece parte 
da cidade de Curitiba. Por isso, é considerada, por lei estadual e municipal, 
uma Área de Proteção Ambiental (APA). Possui uma trilha ecológica de 3,5 km 
beirando o lago, Estação Biológica, diversos equipamentos de lazer e um mirante 
de 60 m de altura (PARQUES, 2012).
A coleta foi realizada no período de agosto de 2009 a junho de 2010. Em 
cada área verde foi utilizada uma planilha para a coleta de campo com os seguintes 
dados: código da espécie; número de referência da espécie para identificação 
(exsicata); estágio de desenvolvimento (adulta ou jovem) e o número de indivíduos 
de cada espécie arbórea. Todas as áreas verdes analisadas nesta pesquisa possuem 
um ou mais fragmentos de vegetação remanescente de Floresta Ombrófila Mista, 
além das árvores introduzidas no tratamento paisagístico. Somente as árvores 
introduzidas no tratamento paisagístico foram contempladas no levantamento 
florístico, sendo adotados os seguintes critérios de inclusão: (a) árvore isolada 
ou em agrupamentos fora das áreas do remanescente florestal, fazendo parte de 
uma composição com outras plantas ou complementando áreas específicas do 
parque, tais como estacionamento, playground, áreas com churrasqueiras, bordas 
de caminhos e outros; (b) mudas arbóreas com tronco sem ramificação na base 
(padrão para arborização de ruas de mudas produzidas no Horto Municipal da 
Barreirinha, Curitiba); (c) mudas arbóreas com presença de tutor (material utilizado 
pela prefeitura para apoiar ou sustentar a muda ereta), sendo que, em caso de 
dúvida, buscaram-se informações sobre o seu plantio com os funcionários do local.
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Foi coletado, quando existente, material vegetal fértil (com flor e/ou fruto), 
para elaboração de exsicata e posterior identificação de espécies que não foram 
identificadas durante as coletas de campo. As exsicatas foram identificadas no 
Herbário do Curso de Engenharia Florestal da UFPR. Os nomes científicos e a 
autoria dos epítetos específicos foram conferidos pelo banco eletrônico do Jardim 
Botânico de Missouri (MISSOURI BOTANICAL GARDEN, 2012) e pela lista de 
espécies da flora do Brasil (MUSEU BOTÂNICO DO RIO DE JANEIRO, 2012). 
Para a análise da diversidade de espécies foram calculados, em cada parque 
selecionado, os seguintes índices ecológicos relativos à riqueza, dominância e 
equidade de espécies:
a) Índice de Margalef - expressa a riqueza de espécies, considerando o número de 
espécies (S-1) e o logaritmo (base 10 ou natural) do número total de indivíduos. 
É estimado por meio da seguinte equação (MAGURRAN, 2011): Dmg = (S – 
1) / ln N; Onde: S = número de espécies amostradas; N = número total de 
indivíduos em todas as espécies.
b) Índice de Simpson – expressa a dominância de espécies e a probabilidade de 
dois indivíduos selecionados ao acaso serem da mesma espécie. Varia de 0 a 1 e 
quanto mais alto for, maior a probabilidade deos indivíduos serem da mesma 
espécie, ou seja, maior a dominância e menor a diversidade (URAMOTO et 
al., 2005). Possui uma vantagem em relação aos índices de Margalef, Gleason 
e Menhinick, pois não somente considera o número de espécies (s) e o total de 
números de indivíduos (N), mas também a proporção do total de ocorrência 
de cada espécie. A dominância de Simpson é estimada por meio da equação 
(MAGURRAN, 2011): λ = Σpi2; Onde: pi = proporção de cada espécie, para i 
variando de 1 a S.
c) Índice de Pielou – exprime a análise da equitabilidade, o qual refere-se ao padrão 
de distribuição dos indivíduos entre as espécies, com valores variando entre 
0 e 1, para um mínimo e máximo de uniformidade (MOÇO et al., 2005; RODE 
et al., 2009). Segundo Kanieski et al. (2010) este índice mede a proporção da 
diversidade observada em relação à máxima diversidade esperada. De acordo 
com Magurran (2011) o índice de Pielou é obtido pela equação: J’= H’ / Hmax; 
Onde: H’ = índice de diversidade de Shannon-Wiener; Hmax = ln do número 
total de espécies (S).
d) Índice de Jaccard – utilizado para a análise da similaridade de espécies entre as 
parcelas (parques). Este coeficiente é utilizado para estudar a coexistência de 
espécies ou a similaridade entre unidades amostrais (REAL & VARGAS, 1996), 
sendo uma medida de correlação que varia entre 0 e 1 (RODE et al., 2009). 
Segundo Real & Vargas (1996) pode ser descrito pela equação: J = C / A+B+C; 
Onde: A = número de espécies presentes na parcela A e ausentes na parcela 
B; B = número de espécies presentes na parcela B e ausentes na parcela A; C = 
número de espécies comuns entre as parcelas A e B. A quantidade de espécies 
classificadas nas classes total, adulta e jovem foi comparada, aos pares, por 
meio do teste de quiquadrado ao nível de 1% de probabilidade.
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RESULTADOS E DISCUSSÃO
Do total de espécies arbóreas identificadas nos parques avaliados (149 
espécies), metade das espécies (75 espécies) ocorre em apenas um parque e 12% 
delas (18 espécies) ocorrem simultaneamente em todos eles. O maior número de 
espécies foi encontrado no Passeio Público (81 espécies), seguido pelos parques 
São Lourenço (69 espécies) e Passaúna (57 espécies). O maior número de famílias 
foi encontrado no Parque São Lourenço (37 famílias), seguido do Passeio Público 
(32 famílias) e do Parque Municipal do Passaúna (30 famílias). O número total de 
indivíduos arbóreos amostrados foi igual a 5.525.
A partir dos dados apresentados na Tabela 1 constatou-se que houve 
diferença estatisticamente significativa (p < 0,01) entre a quantidade de espécies 
observadas nos grupos Total e Classe Jovem (χ² = 87,61; GL = 4) e entre os grupos 
Classe Jovem e Classe Adulto (χ² = 101,19; GL = 4). As maiores proporções de 
espécies exclusivas foram observadas no Passeio Público, seguido pelo Parque 
Municipal Passaúna, tanto para o total de espécies amostradas (15,44% e 12,08% 
respectivamente), quanto para a classe de espécies adultas (14,77% e 12,08% 
respectivamente). Para o Parque Municipal Passaúna foi observada a maior 
proporção de espécies como indivíduos da classe adulta (98,36%), bem como a 
maior proporção de espécimes com indivíduos da classe adulta (89,82%). Isso 
reflete duas situações relacionadas à composição do tratamento paisagístico 
arbóreo do parque: a implantação de espécies florestais se deu há algum 
tempo, não sendo verificados plantios expressivos dada a baixa quantidade de 
árvores jovens, e a composição observada se dá essencialmente com espécies 
provenientes da regeneração natural da área, já que este é o parque municipal 
mais naturalmente preservado.
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As menores proporções de espécies exclusivas foram observadas para o 
Parque Bacacheri, tanto para o total amostrado (2,01%) quanto para as classes jovem 
(2,44%) e adulto (1,34%), sendo este o parque que apresentou a maior proporção 
de espécies na classe jovem (91,11%). Por outro lado, o Parque São Lourenço, que 
apresentou a segunda maior proporção de espécies na classe jovem (84,0%), foi 
a área verde amostrada onde se observou a maior proporção de espécimes como 
indivíduos enquadrados na classe jovem (81,29%). As menores proporções de 
espécies classificadas na classe jovem foram observadas para os parques Passeio 
Público e Passaúna (37,80% e 19,67% respectivamente) e as menores proporções 
de espécimes enquadrados na classe jovem foram observadas nos parques Barigui 
e Passaúna (18,03% e 10,18% respectivamente).
Com relação aos índices de diversidade analisados constatou-se que a 
maior riqueza específica, expressa pelo índice de Margalef, foi observada para 
o Passeio Público, tanto para o total amostrado quanto para a classe de árvores 
adultas; ao passo que o menor valor deste índice ocorreu para o Parque Bacacheri, 
também para o total amostrado e para a classe de árvores adultas. Para a classe 
de árvores jovens a maior riqueza específica foi observada no Parque São 
Lourenço e a menor delas para o Parque Municipal Passaúna, sendo que para 
o primeiro parque foi constatada a maior quantidade de espécies exclusivas e 
para o segundo parque a menor delas. Em análise da composição arbórea de 
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TÓPICO 2 | ÍNDICES ECOLÓGICOS
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sete parques urbanos em Recife-PE, SILVA et al. (2007) encontraram valores de 
riqueza específica, expresso pelo índice de Margalef, variando entre 3,54 a 10,07. 
Os valores de riqueza específica encontrados no tratamento arbóreo paisagístico 
dos parques analisados em Curitiba, Paraná, em relação ao total de indivíduos, 
também apresentaram valores altos de diversidade, mas com menor amplitude.
A análise comparativa dos valores deste trabalho com os valores do 
trabalho de SILVA et al. (2007) não deve ser utilizada como parâmetro de qual 
situação apresenta a melhor diversidade de espécies na composição paisagística, 
pois de acordo com MAGURRAN (2011) a análise comparativa de índices de 
diversidade deve levar em consideração as respectivas áreas de amostragem e 
suas equivalências, caso contrário deve-se adotar a rarefação dos dados para 
poder realizar uma análise comparativa apropriada. RICHTER et al. (2012), 
em análise da arborização de vias públicas e dos parques urbanos na cidade de 
Mata-RS, consideraram como baixa diversidade os valores do índice de riqueza 
específica de Margalef menores que 2,0 e como alta diversidade os valores do 
índice maiores que 5,0. Se adotado esse critério na análise do levantamento 
florístico dos parques verifica-se que houve elevada diversidade para o total 
amostrado em cada parque, mas baixa diversidade de espécies na classe jovem, 
para o Parque Municipal Passaúna.
Deve-se observar que no Parque São Lourenço houve a maior introdução 
de novas espécies (39 espécies), representado pela maior quantidade da diferença 
entre os valores da classe adulto e os valores do total amostrado, e que no Parque 
Municipal Passaúna houve a menor introdução de novas espécies (apenas 
uma). Apesar de não existirem referências ou uma padronização técnica de 
composição do tratamento paisagístico arbóreo de parques urbanos, em termos 
de diversificação, ISERNHAGEN et al. (2009) afirmam que altos valores de índices 
de diversidade podem mascarar a presença de espécies exóticas e principalmente 
das exóticas invasoras, não indicando de forma confiável a boa qualidade 
ambiental da arborização implantada.
Neste sentido, Sjömana et al. (2012) atestam que ainda não há conhecimento 
apropriado sobre níveis de diversidadesustentáveis para uma população de 
árvores urbanas. Sendo assim, os resultados obtidos na análise de diversidade 
do Passeio Público é um exemplo de que o maior valor da diversidade pode 
não representar uma qualidade ambiental no momento. Segundo Biondi & 
Muller (2013) quando estudaram os mesmos parques urbanos desta pesquisa, 
constataram que o Passeio Público foi o parque que apresentou maior número de 
espécies exóticas (13 espécies) e exóticas invasoras (10 espécies). Por ser o primeiro 
parque de Curitiba, inaugurado em 1886, a utilização de espécies exóticas nas 
áreas verdes no século 19 tinha forte influência europeia. Além disso, a utilização 
de espécies exóticas pode também ser justificada pela função primitiva do parque. 
Segundo NOGUEIRA (2010), durante o século 19, essa área verde foi, por um 
tempo, o primeiro Jardim Botânico de Curitiba, e depois o primeiro zoológico de 
Curitiba, até 1982. Quando uma área verde funciona como Jardim Botânico ela 
necessita de uma grande variedade de espécies nativas e exóticas para compor 
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uma coleção de espécies exsitu, que, de acordo com o PLANO DE AÇÃO PARA 
OS JARDINS BOTÂNICOS BRASILEIROS (2004), é requisito para a conservação 
da diversidade biológica dos jardins botânicos nacionais. A análise dos índices 
de diversidade utilizados demonstra que quanto maior a riqueza específica 
encontrada, menores tendem a ser os valores de dominância e de equidade na 
composição da diversidade de espécies do tratamento paisagístico arbóreo dos 
parques. O comportamento contraditório entre os índices de Margalef e Simpson 
é um fato esperado, tendo em vista que quanto maior a riqueza de espécies de 
uma comunidade vegetal menor tende a ser a dominância de uma espécie em 
específico (KANIESKI et al., 2010).
A reduzida equidade observada na amostragem da composição paisagística 
arbórea dos parques revela que as espécies não são plantadas de maneira uniforme, 
atendendo a uma mesma proporção de composição por espécie. A maior dominância 
constatada para a classe de indivíduos adultos no Parque Bacacheri se deve ao 
predomínio da espécie Handroanthus chrysotrichus (Mart. ex A.DC.) Mattos (ipê-
amarelo-miúdo), da qual foram amostrados 64 indivíduos (35,75% do total). Para 
o Parque Municipal Passaúna, a maior dominância constatada na classe jovem se 
deve ao predomínio de plantio de indivíduos de Lafoensia pacari St.-Hil (dedaleiro), 
da qual foram amostrados 42 indivíduos (27,81% do total). Esse fato é reforçado 
pela constatação da menor variabilidade de indivíduos por espécie expressa pelo 
menor coeficiente de variação para o parque (Tabela 2), que apresentou a menor 
quantidade de espécies com indivíduos na classe jovem (Tabela 1).
A variabilidade dos resultados do índice de equidade de Pielou (Tabela 1) 
apresentou correspondências interessantes com os dados da estatística descritiva 
apresentados na Tabela 2. Para a classe jovem, o maior valor de equidade obtido 
com o Parque Municipal Passaúna (0,22) está relacionado ao menor coeficiente 
de variação da quantidade de indivíduos por espécie (107,24%), porém o menor 
valor observado para este índice, com o Parque São Lourenço (0,07), na classe 
jovem, não corresponde ao maior valor de coeficiente de variação.
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TÓPICO 2 | ÍNDICES ECOLÓGICOS
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Para a classe adulta, o maior valor de equidade verificado no Parque 
Bacacheri (0,14) corresponde ao maior coeficiente de variação (225,70%); o menor 
valor de equidade verificado para o Passeio Público (0,05) corresponde ao menor 
valor do coeficiente de variação para a classe (136,43%). Com base nisso, constata-
se que o uso de informações básicas da estatística descritiva não consegue explicar 
satisfatoriamente a equidade na composição da diversidade de espécies. Em 
termos de similaridade de composição, os dados foram analisados por meio do 
índice de Jaccard e estão apresentados na Tabela 3.
Verifica-se que a maior similaridade de composição paisagística arbórea 
para a classe jovem, referente ao plantio de novas mudas e espécies, ocorreu entre os 
parques Bacacheri e Passaúna (0,91), demonstrando que as espécies introduzidas 
são essencialmente as mesmas, porém com predomínios (dominância) diferentes. 
Para a classe adultos e para o total amostrado a maior similaridade de composição 
de espécies foi encontrada entre os parques Bacacheri e Barigui.
CONCLUSÕES
Com os resultados obtidos foi possível concluir que dentre os cinco 
parques urbanos analisados, o Passeio Público foi o que apresentou maior riqueza 
de espécies e menor dominância e equidade de espécies. O índice de Jaccard 
mostrou-se uma ferramenta útil para a análise comparativa da composição 
florística entre tratamentos paisagísticos nos parques urbanos. O uso dos índices 
ecológicos para descrição da diversidade de espécies em parques urbanos deve 
sempre ser feito mediante considerações acerca da origem das espécies florestais 
avaliadas, a fim de demonstrar a participação das espécies exóticas invasoras e de 
pautar ações de substituição, priorizando aquelas nativas do ecossistema local.
FONTE: Disponível em: < http://www.conhecer.org.br/enciclop/2014a/AGRARIAS/utilizacao%20
de%20indices.pdf>. Acesso em: 30 jun. 2015.
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RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você viu:
• O que são índices ecológicos.
• Para que utilizarmos indicadores ambientais visando prever o comportamento 
de um ecossistema.
• Os índices de diversidade e de equitatividade sempre possuem uma correlação 
positiva.
• Sempre que índices de riqueza forem elevados, os de dominância também 
serão.
• Elevados índices de diversidade biológica e equitabilidade sugerem que um 
ecossistema esteja com seu estágio de sucessão concluído, ou ainda, que este 
ambiente esteja saudável, sem a interferência de ações antrópicas.
 
• Utilização do software PAST para cálculo de índices ecológicos.
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AUTOATIVIDADE
Para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva a 
questão a seguir.
Para esta atividade de estudo, sugerimos que com o apoio do tutor 
externo, vocês façam uma saída de campo, buscando por uma área com 
cobertura vegetal. Assim, podem proceder com os cálculos dos índices vistos 
anteriormente. Vocês podem, por exemplo, comparar o interior desta floresta, 
com sua região de borda, no que tange à diversidade vegetal. Não precisamos 
chegar a ponto de classificar as espécies. Apenas vamos classificá-las como 
A, B, C, D e assim por diante, e contar o número de indivíduos presentes 
dentro de um quadrat. Este pode ter por exemplo, 2 X 2, ou se estivermos 
trabalhando dentro de uma área com árvores de maior porte, pode-se ampliar 
o tamanho do quadrat. Podemos trabalhar com no mínimo três réplicas para 
cada área, ou seja, três quadrats no interior da mata, e três fora, na região 
de borda. Posteriormente anotamos todos os dados em planilhas de excel e 
procedemos com os cálculos, fazendo a comparação dos dados obtidos.
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REFERÊNCIAS
MAGURRAN, A. E.; MCGILL, B. J. Biological Diversity: Frontiers in 
Measurement and Assessment. Estados Unidos: Oxford University Press, 2011.
Margalef, R.Ecología. Barcelona: Editora Omega, 1974.
ODUM, E.P. Ecologia. Guanabara Koogan: Rio de Janeiro, 1988.
PARTIDÁRIO, M. do R.; JESUS, J. de. Avaliação do impacte ambiental: 
conceitos, procedimentos e aplicações. Portugal: CEPGA, 1999.
RICKLEFS, R.E. A economia da natureza. 5. ed. Guanabara Koogan: Rio de 
Janeiro, 2003.
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ANOTAÇÕES
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