Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-435

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onde D é dado em coordenadas polares por
Sabemos da Equação 15.7.6 que
Mas também sabemos como calcular integrais duplas em coordenadas polares. De fato,
combinando a Equação 3 com a Equação 15.4.3, obtemos 
A Fórmula 4 é a fórmula para a integração tripla em coordenadas cilíndricas. Ela nos diz
que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndri-
cas escrevendo , e deixando z como está, utilizando os limites apro-
priados de integração para z, r e u, e trocando por . (A Figura 7 mostra como lem-
brar disto.) É recomendável a utilização dessa fórmula quando E for uma região sólida cuja
descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas e, especialmente, quando a função
envolver a expressão .
Um sólido E está contido no cilindro , abaixo do plano e
acima do paraboloide . (Veja a Figura 8.) A densidade em qualquer ponto é
proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E.
SOLUÇÃO Em coordenadas cilíndricas, o cilindro é e o paraboloide é e
podemos escrever
Como a densidade em (x, y, z) é proporcional à distância do eixo z, a função densidade é
onde K é a constante de proporcionalidade. Portanto, da Fórmula 15.7.13, a massa de E é
� K y
2�
0
d� y
1
0
�3r 2 � r 4 � dr
� y
2�
0
y
1
0
Kr 2 
4 � �1 � r 2 �� dr d�
� y
2p
0
y
1
0
y
4
1�r2
�Kr� r dz dr du
m � yyy
E
Ksx 2 � y 2 dV
f �x, y, z� � Ksx 2 � y 2 � Kr
E � ��r, u, z� � 0 � u � 2p, 0 � r � 1, 1 � r 2 � z � 4�
z � 1 � r 2r � 1
EXEMPLO 3
z � 1 � x 2 � y 2
z � 4x 2 � y 2 � 1
x 2 � y2f �x, y, z�
r dz dr dudV
y � r sen ux � r cos �
yyy
E
f �x, y, z� dV � y
b
a
y
h2�u�
h1�u�
y
u2�r cos u, r sen u�
u1�r cos u, r sen u�
f �r cos u, r sen u, z� r dz dr du4
yyy
E
f �x, y, z� dV � yy
D
�y
u2�x, y�
u1�x, y�
f �x, y, z� dz� dA3
FIGURA 6
z
x
y
0
D
r=h2(¨)
¨=b
¨=a
r=h1(¨)
z=u2(x, y)
z=u1(x, y)
924 CÁLCULO
z
dz
dr
r d¨
d¨
r
FIGURA 7
Elemento de volume em
coordenadas cilíndricas: 
dV=r dz dr d¨
0 
(1, 0, 0)
(0, 0, 1)
(0, 0, 4)
z=4 
z=1-r2
FIGURA 8
z 
x
y
Calculo15B:calculo7 5/24/13 6:57 PM Page 924