Cálculo III - Terceira Lista

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SMA0355 – Cálculo III Terceira Lista
1. Calcule o volume do s�olido delimitado elips�oide do s�olido dado por x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1.
2. Determinar o volume interno ao cilindro x2 + y2 = 9, 0 ≤ z ≤ 9 e externo ao cone x2 + y2 = 1
9
z2, z ≥ 0.
3. Considere a integral
∫∫∫
B
z dxdydz onde B �e o s�olido de�nido pelas desigualdades x2+y2 ≤ z, x2+y2+
z2 ≤ 2, z ≥ 0. Determine os extremos de integra�c~ao, e escreva as integrais iteradas usando coordenadas
cartesianas, coordenadas cil��ndricas e coordenadas esf�ericas. Calcule esta integral usando o sistema de
coordenadas que achar mais conveniente.
4. Calcule o volume do s�olido de�nido pelas desigualdades 1 ≤ x2 +y2 ≤ 9 e
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 6. Sugest~ao:
usar coordenadas cil��ndricas.
5. Calcular o volume do s�olido constitu��do pelo cilindro x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 2 e pelo cone x2 + y2 ≤ z2,
2 ≤ z ≤ 5.
6. Seja R a regi~ao limitada pelo parabol�oide z = 2x2+y2+1, pelo plano x+y = 1 e pelos planos coordenados.
Calcule o volume de R.
7. Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas mais conveniente:
(a)
∫4
0
∫3
0
∫√9−x2
0
√
x2 + y2 dydxdz
(b)
∫1
0
∫√1−x2
0
∫√1−x2−y2
0
z2dzdydx
(c) Seja B a regi~ao limitada pelo tetraedro formado pelo plano 12 x + 20 y + 15 z = 60 e os planos
coordenados. Calcule:
a)
∫∫∫
B
ydxdydz b)
∫∫∫
B
(x2 + y2)dxdydz
8. Uma lâmina plana �e limitada pelos gr�a�cos de y = x2 e y = 4. Ache o centro de massa, sabendo-se que
a densidade no ponto P = (x, y) �e diretamente proporcional �a distância de P ao eixo y.
9. Considere uma placa delimitada pela elipse x2
a2 + y2
b2 = 1, a, b > 0. Seccionando-se a placa segundo o
segmento que liga o ponto (0, b) ao ponto (a, 0), pede-se o centr�oide (centro de massa) de cada por�c~ao
seccionada da placa.
10. Seja B ⊂ R3 um compacto cuja fronteira tem interior nulo. Suponha que B tem a forma de um s�olido
cuja densidade dada por uma fun�c~ao cont��nua δ(x, y, z), (x, y, z) ∈ B. O momento de in�ercia deste s�olido
com rela�c~ao a um eixo ℓ �e dado por
I =
∫∫∫
B
r2(x, y, z)δ(x, y, z)dV
em que r(x, y, z) �e a distância do ponto (x, y, z) ao eixo ℓ. Calcule os seguintes momentos de in�ercia nas
seguintes situa�c~oes
(a) B �e uma bola fechada de raio R, ℓ �e um eixo que passa pelo cento de B e δ(x, y, z) = δ0 constante;
(b) B �e um cilindro (maci�co) circular de raio R e altura h, ℓ �e o eixo do cilindro e δ(x, y, z) = δ0
constante;
(c) B �e um cubo de lado a, ℓ cont�em uma das arestas de B e δ(x, y, z) = δ0 constante;
(d) B = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1], ℓ �e o eixo Oz e δ(x, y, z) = x.
11. Sejam B1 e ℓ como descritos no exerc��cio 10(b) e B2 o cilindro vazado de raio interno R0, raio externo R
e altura h. Suponha que ambos têm a mesma densidade constante. Qual dos dois tem maior momento
de in�ercia com rela�c~ao a ℓ? Suponha agora que B1 tenha densidade constante δ1, B2 tenha densidade
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constante δ2 e a massa de ambos sejam iguais. Neste caso, qual dos dois tem maior momento de in�ercia
com rela�c~ao a ℓ?
Respostas
1. 4πabc/3
2. 54π.
3. ∫1
−1
∫√1−x2
−
√
1−x2
∫√2−x2−y2
x2+y2
z dzdydx =
∫2π
0
∫1
0
∫√2−r2
r2
zr dzdrdθ
∫2π
0
∫π/4
0
∫√2
0
ρ3 cosφ senφdρdφdθ+
∫2π
0
∫π/2
π/4
∫
cosφ/ sen
2 φ
0
ρ3 cosφ senφdρdφdθ =
7π
12
4. 92π/3
5. 47π
6. 3/4
7. a) 18π b) π/30. c-a) 15/2 c-b) 34
8. (0, 8/3)
9. Parte menor: ( 2a
3(π−2) ,
2b
3(π−2) ). Parte maior: (− 2a
3(3π+2) ,−
2b
3(3π+2) ).
10. (a) I = 2MR2/5, em que M �e a massa de B
(b) I = MR2/2, em que M �e a massa de B
(c) I = 2Ma2/3, em que M �e a massa de B
(d) 5/12
11. B1; B2.