Funções Exponenciais

Prévia do material em texto

3.	A seguir temos os gráficos das funções exponen-
ciais F e G definidas por F(x) 5 r x e G(x) 5 sx, com r e 
s reais positivos e diferentes de 1. 
x
y
2,25
22
F(x) 5 rx
Considerando esses gráficos, responda às perguntas.
	a) r > 1 ou 0 < r < 1?
	b) s > 1 ou 0 < s < 1?
	c) A função F é crescente ou decrescente? E a fun-
ção G é crescente ou decrescente?
	d) F(7) é maior do que, menor do que ou igual a F(3)?
	e) G(5) é maior do que, menor do que ou igual a 
G(4)?
	 f) Traçando os gráficos de F e G no mesmo plano 
cartesiano, em qual ponto eles vão se intersectar?
	g) Entre as leis dadas a seguir, identifique as das 
funções F e G.
 I. F(x) 5 
x
2
3




 II. F(x) 5 
x
2
5




 III. G(x) 5 
x
3
2




 IV. G(x) 5 
x
5
2




Resolução
	a) Pelo gráfico, concluímos que 0 < r < 1.
	b) Observando o gráfico, temos que s > 1.
	c) A função F é decrescente e a função G é crescente.
	d) F(7) < F(3)
	e) G(5) > G(4)
	 f) Os gráficos se intersectam no ponto (0, 1).
	g) F(x) 5 
x
2
3



 , pois F(22) 5 
2
3
3
2
9
4
2 2








5 5
2
 5 
5 2,25.
G(x) 5 
x
5
2



 , pois G(2) 5 
5
2
25
4
2




5 5 6,25.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Atividades resolvidas
	36.	Cada gráfico abaixo representa uma função exponen-
cial do tipo F(x) 5 ax, com a > 0 e a = 1. Escreva no 
caderno a lei de formação de cada função.
	a) 	b) 
	37.	Construa em um plano cartesiano o gráfico de cada 
função exponencial F: R ñ *R1 com lei de correspon-
dência dada e confirme neles as características desse 
tipo de função.
	a) F(x) 5 3x
	b) F(x) 5 
x
1
4




	38.	Observe o gráfico que você construiu, no item a da 
atividade anterior.
	a) Qual é o valor de F(0)? E qual é o valor de F(1)?
x
y
F
2
1
4
F(x) 5 2x
x
y
F
1
1
0,7
F(x) 5 (0,7)x
Os gráficos encontram-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
F(0) 5 1. F(1) 5 3.
Atividades Não escreva no livro.
	b) Se a base dessa função fosse 4, os valores de F(0) e 
F(1) seriam os mesmos do item a?
	c) E se a base dessa função fosse 0,3?
	39.	Observe a lei de cada função e classifique-a como 
crescente ou decrescente.
	a) F(x) 5 px
	b) F(x) 5 
x
2
2




	c) F(x) 5 x3( )
	d) F(x) 5 (0,01)x
	e) F(x) 5 
x
1
5




	 f) F(x) 5 22x
	40.	Escreva no caderno a lei de uma função exponencial 
F: R ñ *R1
 que seja crescente e a lei de uma função 
exponencial G: R ñ *R1
 decrescente.
	41.	Copie cada par de potências no caderno e associe-as a 
valores de uma função exponencial. Depois, compare 
as potências usando os sinais > ou <.
	a) (0,9)8 e (0,9)5.
	b) 475 e 473.
	c) 
3
3
e
3
3
.
9 8








	d) 3 e 3 .5 2( ) ( )
Crescente.
Decrescente.
Crescente.
Decrescente.
Decrescente.
Decrescente.
38. b) O valor de F(0) continuaria sendo 1, mas o valor de F(1) seria 4.
c) O valor de F(0) também continuaria sendo 1, mas o valor de 
F(1) seria 0,3.
40. Exemplos de resposta: F(x) 5 2x; F(x) 5 ( )7 x ; G(x) 5 (0,2)x; G(x) 5 
1
7
x




. Professor, os estudantes podem escrever qualquer lei da 
forma F(x) 5 ax, com a > 1, para a função ser crescente, e qualquer lei da forma G(x) 5 ax, com 0 < a < 1, para a função ser decrescente.
41. a) F(x) 5 (0,9)x, que é decrescente; então para 8 > 5, temos (0,9)8 < (0,9)5.
41. b) F(x) 5 47x, que é crescente; 
então para 5 > 3, temos 475 > 473.
d) F(x) 5 ( )3 x , que é crescente; então para 
5 > 2, temos 3 3 .
5 2( ) > ( )
c) F(x) 5 
3
3
x





 , que é decrescente; então para 9 > 8, temos <
3
3
 
3
3
.
9 8












Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
x
y
6,25
G(x) 5 sx
2
47
047a065_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 47047a065_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 47 04/09/2020 11:4104/09/2020 11:41
Ampliando a ideia de função exponencial
O crescimento ou decrescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais e de algumas 
situações do cotidiano. No entanto, de modo geral não se apresenta na forma F(x) 5 ax (com a > 0 e a = 1), mas 
sim modificado por constantes características do fenômeno, como em F(x) 5 b ? akx, com b, k é R*. Dizemos que 
essa função é do tipo exponencial, e o gráfico dela em um plano cartesiano também é uma curva exponencial.
Acompanhe o exemplo: quando tomamos uma quantia emprestada ou quando aplicamos uma quantia 
em uma instituição bancária, é comum a aplicação de juros a cada novo período em que a quantia está em-
prestada ou investida. Por exemplo, ao aplicar R$ 400,00 (capital) em um banco que paga juros compostos de 
2% ao mês, temos que, no 1o mês, o juro correspondente é de R$ 8,00 (2% de 400 5 8) e o montante ao final 
desse mês (capital 1 juros) é de R$ 408,00. No 2o mês, o juro é calculado sobre o montante do mês anterior 
e, então, é de R$ 8,16 (2% de 408 5 8,16), gerando um novo montante de R$ 416,16. E assim por diante.
Esse sistema é chamado de juros compostos, também cotidianamente conhecido como “juros sobre 
juros”.
Nesse sistema, podemos relacionar o montante M ao final de cada período (dia, mês, ano, etc.), o capital ini-
cial C e a taxa de juros compostos i aplicada a cada medida de intervalo de tempo t pela fórmula M 5 C (1 1 i)t.
Considere um capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa de 2% ao mês, em regime de juros compostos.
	a) Qual é o montante ao final do 1o mês? E do 2o mês?
	b) Qual é o montante ao final de 1 semestre?
	c) Qual é o montante ao final de t meses? 
R$ 10.200,00. R$ 10.404,00.
Aproximadamente R$ 11.262,00.
M 5 10 000 ? (1,02) t
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
No item c, você obteve a lei de uma função do tipo exponencial de M em função de t, com restrição para o 
domínio natural. Assim, podemos estabelecer uma relação entre o crescimento em um sistema de juros com-
postos e a função do tipo exponencial.
Você pode usar 
alguma tecnologia 
digital para efetuar 
os cálculos.
Fique atento
	 4.	(UCS-RS) A quantidade de certa substância decresce com o passar do tempo a uma taxa proporcional à quan-
tidade restante. Se inicialmente havia 300 mg da substância e a cada hora há um decréscimo de 25% da quan-
tidade restante, a função que representará a quantidade restante após t horas será:
	a) Q(t) 5 300 ? (0,25)t.
	b) Q(t) 5 300 ? (0,75)t.
	c) Q(t) 5 300 2 0,25t.
	d) Q(t) 5 300 2 0,75t.
	e) Q(t) 5 300 2 25t.
Resolução
Dizer que a quantidade de certa substância decresce 25% a cada hora é o mesmo que multiplicar essa quanti-
dade por 
t
1
25
100




2 , ou seja, por (0,75)t, sendo t a medida de intervalo de tempo decorrida, em horas. Como 
essa quantidade inicial, de acordo com o enunciado, é de 300 mg, a função que representa a quantidade res-
tante da substância é dada por Q(t) 5 300 ? (0,75)t.
Tirando a prova, temos:
t 5 1 ~ Q(1) 5 300 ? (0,75)1 5 225
A razão entre Q(1) e Q(0), que é a quantidade inicial da substância, é dada por:
Q
Q
1
0
225
300
( )
( )
5 5 0,75
Isso indica que, após 1 hora decorrida, houve uma redução de 25%, ou seja, Q(t) 5 300 ? (0,75)t.
Resposta: alternativa b.
Atividades resolvidas
48
047a065_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 48047a065_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap1_LA.indd 48 04/09/2020 11:4104/09/2020 11:41