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Formalizando a definição de função logarítmica
No capítulo anterior estudamos a função exponencial, na qual vimos que, dado um 
número real a, com a > 0 e a = 1, a função exponencial é F: R ñ R1
* tal que F(x) 5 ax. 
Como vimos, essa função é bijetiva (é uma correspondência biunívoca entre R e R1
*), 
sendo crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Essas considerações garantem que F tem uma função inversa e podemos defini-la.
A inversa da função exponencial de base real a (com a > 0 e a = 1) é a função logarítmica F: R1
* ñ R 
tal que F(x) 5 log
a
 x, ou seja, a função que associa a cada número real positivo x o número real log
a
 x.
Você viu, no capítulo anterior, que a função exponencial F: R ñ R1
* , dada por F(x) 5 ax, tem a propriedade 
F(x1 1 x2) 5 F(x1) ? F(x2). A função logarítmica G: R1
* ñ R, inversa da função exponencial, dada por G(x) 5 log
a
 x, 
tem a propriedade log
a
 (x1 ? x2) 5 log
a
 x1 1 log
a
 x2.
Lembre-se de que o número e, chamado de número de Napier, número 
de Euler ou constante de Euler, é irracional. Ele tem bastante importância 
na Matemática por ser usado como base em potências ou em logaritmos. 
Os logaritmos com base e (chamados de logaritmos naturais ou 
logaritmos neperianos) são muito utilizadas em situações de Engenharia 
e Física, bem como no estudo e na aplicação de outras ciências.
Fique atento
	26.	As funções logarítmicas F e G são dadas por F(x) 5 log3 x  e  G(x) 5 log4 x. Determine o que se pede.
	a) F(9)
	b) G(4)
	c) D(F)
	d) Im(F)
	e) x tal que G(x) 5 4.
	 f) F21(x)
	g) G21(x)
	h) F21(1)
	 i) G(F (81))
	27.	Um administrador observou que o lucro L(t) de uma empresa, em milhares de reais, pode ser determinado pela lei da 
função L(t) 5 log2 (t 1 2), com t 5 0 o primeiro ano de observação, t 5 1 o segundo ano e assim por diante.
	a) Calcule o lucro que a empresa obteve no primeiro ano de observação.
	b) Em qual ano após o início da observação o lucro da empresa foi de R$ 3.000,00?
	c) Se o lucro L(t) dessa empresa fosse dado por L(t) 5 log2 (t 1 4), então qual seria o lucro no primeiro ano de obser-
vação e em qual ano o lucro seria de R$ 3.000,00?
F(9) 5 2
G(4) 5 1
D(F) 5 R
1
*
Im(F) 5 R
x 5 256
F21(x) 5 3x
G21(x) 5 4x
F21(1) 5 3
G(F (81)) 5 1
R$ 1.000,00
No sétimo ano.
R$ 2.000,00 e no quinto ano, respectivamente.
Atividades Não escreva no livro.
R
F
G
*
1R
Domínio da função logarítmica: R1
*
Conjunto imagem da função logarítmica: R
A função logarítmica 
é a inversa da 
função exponencial 
de mesma base.
Fique atento
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
De fato, para F(x) 5 ax e G(x) 5 log
a
 x, a função G é a inversa da função F, pois:
F(G(x)) 5 aG(x) 5 a xalog 5 x e G(F(x)) 5 log
a
 ax 5 x ? log
a
 a 5 x ? 1 5 x
As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1. Particularmente, as de base 
10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as de base e (logaritmos naturais).
Veja alguns exemplos de leis de funções logarítmicas de R1
* em R.
	a) F(x) 5 log2 x
	b) G(x) 5 log10 x 5 log x
	c) H(x) 5 log
e
 x 5 ln x
	d) J(x) 5 xlog1
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Construção do gráfico de uma função logarítmica
Para construir o gráfico de funções logarítmicas vamos novamente utilizar o softwa-
re GeoGebra.
Lembre-se de que você tem diversas opções de uso do GeoGebra de Geome-
tria: em um computador, pode fazer o download no site www.geogebra.org/download 
(acesso em: 20 mar. 2020); em um smartphone, pode baixá-lo na loja oficial de apli-
cativos do sistema operacional do aparelho; ou pode acessá-lo on-line no site https://
www.geogebra.org/geometry (acesso em: 20 mar. 2020).
As imagens que utilizaremos a seguir são da versão on-line. Mas você pode esco-
lher a plataforma que julgar mais oportuna.
Vamos construir inicialmente o gráfico da função logarítmica F: R1
* ñ R dada por 
F(x) 5 log2 x e destacar alguns pontos importantes do gráfico. Para isso, acompanhe 
os passos a seguir.
1o passo: No campo de entrada de comando (situado na parte esquerda da tela, 
no caso da versão on-line), digite a lei da função f(x)=log(2,x) e tecle “Enter”. No 
GeoGebra, essa é a notação que usamos para indicar a lei F(x) 5 log2 x.
2o passo: Acesse as configurações de exibição (na parte superior direita da tela) e 
selecione as opções de exibir os eixos e de exibir a malha principal. Você deverá ter 
uma imagem como a apresentada abaixo.
Analise com atenção o gráfico (a curva em vermelho na imagem), observe o com-
portamento dele e como os valores da função crescem nesse caso.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção 
encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Salve as construções 
que você fizer.
Fique atento
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/w
w
w
.g
e
o
g
e
b
ra
.o
rg
Lembre-se de que você pode mover a imagem no GeoGebra clicando em algum ponto da tela e arrastando. Você 
também pode ampliar ou reduzir a imagem usando as ferramentas de zoom (na parte inferior direita da tela) ou 
utilizando o scroll do mouse.
Fique atento
Tela do GeoGebra após o 2o passo.
Tecnologias digitais
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