Vértice e Imagem da Parábola

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Vértice da parábola, conjunto imagem e valor 
máximo ou mínimo da função quadrática
Se 2 é a abscissa do 
vértice, os pontos 
de abscissas 1 e 3 
são simétricos na 
parábola, assim 
como os pontos de 
abscissas 0 e 4, por 
exemplo.
Fique atento
y
x
28
26
(2, 28)
0 1 2 3 4
Im(F)
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
A determinação do vértice da parábola ajuda na construção dela no plano cartesia-
no e permite determinar o conjunto imagem da função, bem como o valor máximo 
ou mínimo da função.
•	 a < 0 •	 a > 0
y
x
ponto de
máximo
x
v
V
y
v
valor
máximo
Im(F)
 
y
x
ponto de
mínimo
x
v
y
v V
valor
mínimo
Im(F)
Como vimos nos exemplos anteriores, o ponto de máximo ou de mínimo de uma 
função quadrática é o vértice da parábola relacionada à função.
Uma das maneiras de determinar o vértice é lembrar que a parábola é uma curva 
simétrica em relação ao eixo y ou a uma reta paralela ao eixo y.
Ao determinar a posição desse eixo, é possível encontrar a abscissa do vértice e, 
assim, obter a ordenada do vértice. Veja os exemplos.
	 a) F(x) 5 2x2 2 8x
1o modo:
As raízes da equação correspondente à função F são x8 5 0 e x9 5 4. Dada 
a simetria das parábolas, o eixo de simetria passa pelo ponto de abscissa 
5
8 1 9
5
1
5x
x x
V
2
0 4
2
2 .
Substituindo x 5 2 na lei da função, obtemos a ordenada do vértice:
yV 5 F(2) 5 2 ? 22 2 8 ? 2 5 28
2o modo:
Escrevendo na forma canônica, ou seja, na 
forma F(x) 5 a(x 2 xV)
2 1 yV, temos: F(x)  5 
5 2(x2 2 4x) 5 2(x2 2 4x 1 4 2 4) 5 2(x 2 2)2 2 8.
Então, o vértice é o ponto V(2, 28).
A função assume valor mínimo 28 quando x 5 2.
Se o valor mínimo da função é y 5 28, então o con-
junto imagem da função é Im( F) 5 {y é R | y . 28}.
Essa função não tem valor máximo, pois é ilimita-
da superiormente.
Il
u
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B
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115
P4_114a124_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 115P4_114a124_V2_MATEMATICA_Dante_g21At_Cap2_LA.indd 115 9/1/20 11:46 AM9/1/20 11:46 AM
	 b) F(x) 5 24x2 1 4x 1 5 
Na forma canônica é possível determinar que 5
2
x
b
a
V
2
 e 5
2
5
2D
y
ac b
a a
V
4
4 4
2
; então, o vértice da 
parábola que representa a função F, dada por F(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a = 0, também pode ser calculado 
assim: V
b
a a2
,
4
2 2D



.
Nesse caso, temos:
x
b
a
V
2
4
8
1
2
5
2
5
2
2
5
y
a
V
4
16 80
16
96
16
65
2D
5
2( 1 )
2
5
2
2
5
Então, V
1
2
, 6




.
A função assume valor máximo 6 quando x
1
2
5 .
Se o valor máximo da função é y 5 6, então o conjunto imagem da 
função é Im(F) 5 {y é R | y , 6}.
Essa função não tem valor mínimo, pois é ilimitada inferiormente.
De modo geral, dada a função F: R ñ R tal que F(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com 
a = 0, se V(xV, yV) é o vértice da parábola correspondente, temos:
a > 0 ^ yV é o valor mínimo de F ^ Im(F) 5 {y é R | y . yV}
a < 0 ^ yV é o valor máximo de F ^ Im(F) 5 {y é R | y , yV}
y
x
6
5
4
3
2
1
23
22
21
F(x) 5 24x2 1 4x 1 5
2122
0
1 2 31
2
Im(F )
� , 6�1
2
	 6.	A trajetória da bola, em um chute a gol, descreve uma 
parábola. Supondo que a medida de comprimento de 
altura h, em metros, t segundos após o chute, seja 
dada por h 5 2t2 1 6t, responda aos itens.
	a) Em que instante a bola atinge a medida de com-
primento de altura máxima?
	b) Qual é a medida de comprimento de altura máxi-
ma atingida pela bola?
Resolu•‹o
Atividades resolvidas
Ponto de máximo: V (tV, hV)
	a) A bola atinge a medida de comprimento de altu-
ra máxima quando:
tV 5 
2
5
2
(2 )
5
2
2
b
a2
6
2 1
6
2
 5 3 
Logo, a bola atinge a medida de comprimento 
de altura máxima 3 segundos após o chute.
	b) A medida de comprimento de altura máxima 
atingida pela bola é:
hV 5 
2D
5
2
? (2 )
5
2
2a4
36
4 1
36
4
 5 9 ou
h(3) 5 232 1 6 ? 3 5 29 1 18 5 9 
A medida de comprimento de altura máxima 
atingida pela bola é 9 metros.
B
a
n
c
o
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m
a
g
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n
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a
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Mais à frente vamos 
demonstrar a forma 
canônica usando o 
vértice da parábola.
Fique atento
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o
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Representação da trajetória da bola em um chute a gol 
em um jogo de futebol.
116
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