Problemas de Matemática Avançada

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17. Determine a matriz inversa de \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \). 
 - Resposta: \( A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \). 
 
18. Encontre o polinômio de Taylor de terceira ordem para \( f(x) = \ln(1 + x) \) centrado em 
\( x = 0 \). 
 - Resposta: \( P_3(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \). 
 
19. Calcule a soma dos resíduos quadrados para o ajuste linear dos pontos \( (1, 2), (2, 3), 
(3, 5) \). 
 - Resposta: Soma dos resíduos quadrados = \( 0.5 \). 
 
20. Determine o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz de \( f(x) = x^3 - 3x + 1 
\). 
 - Resposta: Aproximação de \( x \approx 1.8793852 \). 
 
21. Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0 \). 
 - Resposta: \( y = (c_1 + c_2x)e^{-2x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são constantes. 
 
22. Encontre a solução numérica para \( \cos(x) = x \) usando o método da bisseção. 
 - Resposta: Aproximação de \( x \approx 0.739085 \). 
 
23. Calcule a integral tripla de \( \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \), onde \( V \) é a região 
limitada pelo cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) e os planos \( z = 0 \) e \( z = 3 \). 
 - Resposta: \( \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = 8\pi \). 
 
24. Determine a solução do sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 \frac{dx}{dt} = 2x + y \\ 
 \frac{dy}{dt} = x - y 
 \end{cases} 
 \] 
 - Resposta: \( x(t) = e^{3t} + e^{-t} \), \( y(t) = e^{3t} - e^{-t} \). 
 
25. Encontre a solução aproximada para \( \sin(x) = x^2 \) usando o método da bisseção. 
 - Resposta: Aproximação de \( x \approx 0.876726 \). 
 
26. Calcule a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - y^3 \) em 
relação a \( x \) e \( y \). 
 - Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -6y 
\), \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6y \). 
 
27. Determine a solução numérica para \( \ln(x) = \sqrt{x} \) usando o método da bisseção. 
 - Resposta: Aproximação de \( x \approx 1 \). 
 
28. Encontre a matriz Jacobiana da função \( \mathbf{f}(x, y) = (x^2 + y, xy) \). 
 - Resposta: \( \mathbf{J} = \begin{bmatrix} 
 
2x & 1 \\ y & x \end{bmatrix} \). 
 
29. Calcule a derivada direcional de \( f(x, y, z) = xyz \) no ponto \( (1, 2, 3) \) na direção do 
vetor \( \mathbf{v} = (1, 1, 1) \). 
 - Resposta: \( D_{\mathbf{v}} f(1, 2, 3) = 6 \). 
 
30. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x} \). 
 - Resposta: \( y = \frac{1}{c - \ln|x|} \), onde \( c \) é uma constante. 
 
31. Encontre a solução numérica para \( e^x = x^3 \) usando o método da bisseção. 
 - Resposta: Aproximação de \( x \approx 1.85792 \). 
 
32. Determine a derivada direcional de \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z \) no ponto \( (1, 2, 3) \) na 
direção \( \mathbf{v} = (1, 2, -1) \). 
 - Resposta: \( D_{\mathbf{v}} f(1, 2, 3) = 5 \).